1
2－ 2 传递函数
传递函数 是经典控制最基本，最重要的概念之一。
1,定义, 线性定常系统 在 初始条件为零 时,输出量的拉氏变
换和输入量的拉氏变换之比。
设,输入 ----r(t)，输出 ----c(t)，则传递函数,
式中,C(s)=L[c(t)]—— 输出量的拉氏变换式
R(s)=L[r(t)]—— 输入量的拉氏变换式。
那么
C(s)=R(s)G(s)
控制系统的时间响应 c(t)等于 C(s)的拉氏反变换,
R ( s )
)s(C
L [ r ( t ) ]
L [ c ( t ) ]G ( s ) ??
[ R ( s ) G ( s ) ]L[ C ( s ) ] c ( t ) -1??
2
2－ 2 传递函数
推广到一般情况，系统的时域数学模型 —— 微分方程,
其中,(i =0,1,2,…….n; j =0,1,2…….m) 均为实数，是由
系统本身的结构参数所决定，对上式两边进行拉氏变换,
所以，控制系统传递函数的一般表达式,
c ( t )adtd c ( t )adt c ( t )dadt c ( t )da 011-n1-n1-nnnn ???? ??
r ( t )bdtd r ( t )bdt r ( t )ddt r ( t )db 011-m1-m1-mmmm ????? ??b
R ( s )bs R ( s )bR ( s )sbR ( s )sb
)s(sCa)s(sCaC ( s )saC ( s )sa
01
1m
1-m
m
m
01
1n
1-n
n
n
????
???
?
?
??
??
01
1n
1n
n
n
01
1m
1m
m
m
asasasa
bsbsbsb
R ( s )
C ( s )G ( s )
???
?????
?
?
?
?
??
??
)p(s)p) ( sp(s
)z(s)z) ( sz(sK
R ( s )
C ( s )G ( s )
n21
m21
r ???
?????
??
??
b,a ji
3
2－ 2 传递函数
2,几点说明,
1) 传递函数是系统（或环节）在复数域中的数学模型，是固
有特性的描述，反映了线性定常系统输入量和输出量之间
的一种关系式。
2) 传递函数只取决于系统本身的结构参数，与外界输入无关。
3) 传递函数是复变量 s的有理真分式函数，即 m?n。（ m, n分
别为分子、分母的最高阶次。）
4) 若输入为单位脉冲函数，即 r(t)=?(t)，则 R(s)=L[r(t)]=1，则
这说明此时系统的 c(t)与传递函数 G(s)有单值对应关系，它们
都可以用来表征系统的动态特性。
5) 闭环系统传递函数 G(s)的分母并令其为 0，就是系统的特征
方程。
[ G ( s ) ]L[ R ( s ) G ( s ) ]Lc ( t ) -1-1 ??
4
一、方块图基本单元
图模型的一个突出优点是直观、形象，是工程上用来分析
复杂系统的重要手段。方块图组成的四个基本单元,
（ 1） 信号线； （ 2）分支点 (又叫测量点 )；（ 3）比较点 (又叫
求和点 )；（ 4）方块（又叫环节）；
系统的方块图实质上是将原理图与数学方程两者结合起来，它
一种对系统的全面描写。
2－ 3 方块图
()Gs
()Rs+
-
()Cs
( ) ( )R s C s?()rt ()ct
()Cs
()Cs
()a ()b ()c ()d
()Rs
)( sR ()Cs
5
2－ 3 方块图
+
_
+
_
+
_
Ka
1
1
Cs
2
1
Cs
2
1
R
1
R
()Rs
()Cs
1
()Us
1
()Us
1
()Us
1
()Is
1
()Is
2
()Is
2
()Is
2
()Is
()Cs
(b)
1 ()it 2 ()it
1 ()ut ()ct()rt
1R 2R
1C2C
( t )iR ( t )ur ( t ) 11 1 ??
? ?? ( t ) ] d ti( t )[iC1( t )u 2111
( t )iR c ( t )( t )u 2
2
1 ??
?? ( t ) d tiC1c ( t ) 2
2
例,
6
2－ 3 方块图
+
_
+
_
+
-
1
1
Cs 2
1
R
2
1
Cs1
1
R
()Rs ()Cs
将上图汇总得到,
7
2－ 3 方块图
二、方块图运算法则,
1,串联运算 法则
因为
结论,多个环节串联后总的传递函数等于每个环
节传递函数的乘积。
G(s) = G1(s) G2(s)?? Gn(s)
1 ()Xs 2 ()Xs 3 ()Xs
2 ()Gs1 ()Gs
( s)X
( s)X( s)G
1
21 ? ( s)X ( s)X( s)G
2
32 ?
( s )( s ) GG( s )X ( s )X( s )X ( s )X( s )X ( s )XG ( s ) 21
2
3
1
2
1
3 ????
8
2－ 3 方块图
2,并联运算 法则
因为
所以
结论,多个环节并联后的传递函数等于所有并
联
环节传递函数之和。
G(s) = G1(s) + G2(s) +?? + Gn(s)
()Rs ()Cs
1 ()Gs
2 ()Gs
1 ()Xs
2 ()Xs
+
-
R (s)
(s)X(s)G 1
1 ?
C ( s )( s )X( s )XR ( s )( s )X( s )G 2122 ???
( s )G( s )G
R ( s )
( s )X
R ( s )
( s )X
R ( s )
( s )X( s )X
R ( s )
C ( s )G ( s )
21
2121
??
?????
9
2－ 3 方块图
3,反馈运算 法则
前向通道和反馈通道传递函数分别为 G ( s ),H ( s )
结论,具有负反馈结构环节传递函数等于前向通
的传递函数除以 1加（若正反馈为减）前向通道与反
馈通道传递函数的乘积。
+
_
()Rs ()Cs
()Hs
()Bs
()Es
()Gs
H ( s ) C ( s ) ]G ( s ) [ R ( s ) B ( s ) ]G ( s ) [ R ( s )G ( s ) E ( s )C ( s ) ?? ???
G ( s ) H ( s )1
G ( s )
R ( s )
C ( s )
??
10
序号
1
2
3
4
5
+
-
+ +
A
B
C
A B C??
+
-
A
B
C
A B C??
+
+
+
A
B
A G B?+
-
A
B
-
A G B?
1
G
+
A
B
-
AG BG?
B
A
+
-
AG BG?
G
AG
AG
AG
AG
G
G
G
G
G
+
A
B C
A B C??
-
+
+
+
C B
A A B C??+
_
原方块图 等效方块图
比较点交换
比较点分解
比较点前移
比较点后移
分支点前移
变换方式
A
A
G
G
11
6
7
8
9
10
A
G
AGA
A
A
G
1
G
AG
+
B
-
A
AB ?
AB ?
B
B
+
-
+
-
A AB ?
AB ?
A
1
G
2
G
12
A G A G?
+
+
A
1
G2
G
2
1
G
12
A G A G?
+
+
A
A
A
A
B
B
B
B
1
G
2
G
+
-
2
1
G
1
G
2
G
+
-
1
G
1
G
2
G
2
G
1
AG
1
AG 1
AG
1
AG
分支点后移
化成单位并联
化成单位反馈
分支点交换
比较点与分支点
交换
12
2－ 3 方块图
例
解,利用方块图变换法则
(a) 比较点 A前移，分支点 D后移
()Rs
D
+ +
_
_
+
_
()Cs
2
1
Cs2
1
R1
1
Cs
1
1
R
A
B
C
-
+
_
+
_
1
1
Cs 2
1
R
2
1
Cs1
1
R
()Rs ()CsB C
2Cs1R
()a
13
2－ 3 方块图
(b) 消除局部反馈回路
+
_
()Rs ()Cs
11
1
1R C s ? 22
1
1R C s ?
12R C s
()b
14
2－ 3 方块图
（ C） 消除主反馈回路
可以看出：方块图的化简方法不是唯一
的，人们应充分地利用各种变换技巧，选择最
简捷的路径，以达到省力省时的目。
2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
1
( ) 1R C R C s R C R C R C s? ? ? ?
()Rs ()Cs
15
2－ 3 方块图
三,系统的传递函数
1、开环传递函数
定义：反馈信号 B(s)与偏差信号 E(s)之比
结论：开环传递函数等于前向通路传递函数 G(s)和反馈通
路
传递函数 H(s)的乘积。
()Cs
_
()Rs
()Hs
()Bs
()Es
()Gs
+
G ( s ) H ( s )E ( s )B ( s ) ?
16
2－ 3 方块图
推广到一般情况,
式中,K—— 闭环系统的开环放大系数 （ 又叫开环放大倍数或
开环增益 ）, 是影响系统性能的重要参数 。
当反馈传递函数 H（ s） =1时, 开环传递函数和前向传递函数
相同, 均等于 G( s )。
1)sTζ2s(TΠ1)s(TΠs
1)sτζ2τ(Π1)sτ(Π
asasasa
bsbsbsb
G ( s ) H ( s )
nini
2i
ni
σ
1i
i
ρ
1i
ν
ddi
2
di
η
1i
i
u
1i
01
1n
1n
n
n
01
1m
1m
m
m
???
????
?
???
???
?
??
??
?
?
?
?
??
??
17
2－ 3 方块图
2、闭环传递函数
定义：系统的主反馈回路接通以后，输出量与输入
量之间的传递函数，通常用 ?(s)
3,扰动传递函数
把系统输入量以外的作用信号均称之为扰动信号。
G ( s ) H ( s )1
G ( s )
R ( s )
C ( s )( s )
????
+
_
()Rs ()Cs
()Hs
()Bs
()Es
()Ns扰动
+
+
1 ()Gs 2 ()Gs
18
2－ 3 方块图
设输入量 R（ s） =0
当 时,
此时扰动的影响可被抑制 。
设扰动信号 N（ s） =0
当 时,
表明此时系统的闭环传递函数只与 H（ S） 有关,
与被包围的 环节无关。
( s ) H ( s )( s ) GG1
( s )G
N ( s )
( s )C( s )
21
2NN
????
( s ) H ( s )( s ) GG1
( s )( s ) GG
R ( s )
( s )C( s )
21
21R
R ????
0N (s)(s)C N ?
1( s ) H ( s )( s ) GG 21 ??
1( s) H( s)G 1 ??
1( s ) H ( s )( s ) GG 21 ??
)(
1
R ( s)
( s)C R
sH?
( s)G ( s),G 21
19
2－ 3 方块图
R（ s）,N（ s） 同时作用时,
N ( s ) ]( s ) R ( s )[G
( s ) H ( s )( s ) GG1
( s )G
N ( s )
( s ) H ( s )( s ) GG1
( s )G
R ( s )
( s ) H ( s )( s ) GG1
( s )( s ) GG
( s )C( s )CC ( s )
1
21
2
21
2
21
21
NR
?
?
?
?
?
?
?
??
20
2－ 3 方块图
4、误差传递函数
a) 在控制量作用下系统的误差传递函数,
假设 N(s)＝ 0,则
称为误差传递函数
)(
)()(1
)(
)()()(
)(
)(
sR
sHsC
sR
sHsCsR
sR
sE ????
)()()(1
1
)()()(1
)()()(1
2121
21
sHsGsGsHsGsG
sHsGsG
?????
21
2－ 3 方块图
b) 扰动量作用下系统的误差传递函数,
c) 在控制量 R(s)和扰动量 N(s)同时作用时，系
统总的误差,
)()()(1
)()(
)(
)(
21
2
sHsGsG
sHsG
sN
sE
?
??
)()()()(1 )()()()()()(1 1)(
21
2
21
sNsHsGsG sHsGsRsHsGsGsE ????