1
,自动控制原理,
—— 频率特性 法 （ 6－ 2）
上海交通大学自动化系
田作华
Zhtian@sjtu.edu.cn
2
频率特性的三种图示法
1,极坐标 图 —— Nyquist图 （ 又叫奈奎斯特图, 简
称奈氏图或幅相频率特性 ） 。
2,对数坐标图 ——Bode图 （ 又叫伯德图, 简称伯氏图 ）
3,复合坐标图 ——Nichocls图 （ 又叫尼柯尔斯图, 简称
尼氏图 ） ；一般常用于闭环系统的
频率特性分析 。
6－ 2 典型环节的极坐标图
3
6－ 2 典型环节的极坐标图
一、典型环节的极坐标图
1.放大环节
G(jω)=K=U+jV
=
放大环节是复平面实轴上的一个点，它到原
点的距离为 K。
KVU ?? 22
? ?jωG
?0)( 1 ?? ?
U
VtgjG ?
0
Im
ReK
4
2,微分环节
G(jω)=jω
=ω
微分环节是一条与
虚轴正段相重合的直线。
? ?jωG
)( ?jG ?9001 ?? ? ?tg
0? ?
? ??
0
Im
Re
5
3,积分环节
G(jω)=
jω
1
= ? ?
jωG ω1
)( ?jG
由于 = - 90°是常数。而随 ω增大而减小。因此，
积分环节是一条与虚轴负段相重合的直线。
)( ?jG
? ??
0? ?
Im
Re0
?90
0
1
1 ??
?
? ? ?tg
6
4,惯性环节
我们取三个特殊点，显然
不难看出，随着频率 ω=0→∞ 变化，惯性环节的幅值逐步衰
减，最终趋于 0。相位移的绝对值越来越大，但最终不会大于
90°,其极坐标图为一个半圆。
?90- 0)G ( j ???
?0 1G ( j 0 ) ??
? ? 22 Tω1 1jωG ??
? ? 2222 Tω1 TωjTω1 1Tωj1 1ωjG ??????
)( ?jG
?
1
1?
? ? ?
tg
?
? ? ?
2
1
T
1
jG ?
?
?
?
?
?
?
?45-
7
设, G(jω)=U+jV,极坐标图为一个半圆可证明如下,
实频特性
虚频特性
将它们之比 代入
实频特性表达式
经化简、配方得到,
上式为圆方程，圆心为,半径为 。
2T1
1U
2???
22 Tω1
ω TV
?
??
TωUV ??
2
U
V1
1U
?
?
??
?
??
?
2
2
2
2
1V
2
1U ?
?
??
?
????
?
??
?
? ?
??????,021
2
1
0? ?
?
1
2 1
Re
Im
????0
8
5,振荡环节
显然，当 ω=0,和 ω=∞时,
? ? ? ? 12122 ??? ???? TjjTjG
? ? ? ? ? ?
2222 21
1
???
?
TT
jG
??
?
)( ?jG 1?tg 221 2 ???T T???
? ? ? ? ? ? ? ? 22222222
22
21
2
21
1
???
??
???
?
TT
Tj
TT
T
?????
??
?0 1G ( j0 ) ??
?90211 ????
?
??
?
?
?TjG
?1 8 0- 0)G ( j ???
9
极坐标相位从 0°到
–180°变化，频率特性
与虚轴交点处的频率是
无阻尼自然振荡频率
ωn, ζ越小，对应 ω
的幅值越大。说明频率
特性与 ω,ζ均有关。
当 ζ小到一定程度时,
将会出现峰值，这个值
称为谐振峰值 Mr,对应
频率称为谐振频率 ωr。
? ??
0? ?
n
?
n
?
n
?
2
?
3
?
Im
Re
0
1
?
?
?
321
??? ??
1
?
?
?
?
10
6,一阶微分环节
G(jω)=1+jωT
当 ω从零变化到无
穷时，相频从 0°变化
到 +90°，其幅相频率
特性是通过（ 1,0）
点，且平行于正虚轴
的一条直线 。
? ? 22 Tω1jωG ??
??)( ?jG 1?tg?
0? ?
? ?
10
Im
Re
11
7,二阶微分环节
随着 ω的增加,
G(jω)的虚部是正
的单调增加，而实
部则由 1开始单调
递减。
? ? ? ? ? ? ? ? T ωj2 ζωT11j ωT2 ζj ωTj ωG 2222 ??????
? ? ? ? 222222 ωT4 ζωT1j ωG ???
)( ?jG 1?tg? 22ωT1 T ω2? ?
0? ?
??
Re
Im
0 1
?
12
8,延迟环节
延迟环节的幅频特性
是与 ω无关的常量,
其值为 1。而相频特
性则与 ω成线性变化。
故其极坐标图是一个
单位图 。
Tje ?? ? =)G ( j
? ? 1jωG ?
? ? ?)( ?jG 1?tg?
?
Im
Re
11?
j?
j?
0
13
二,开环系统 的幅相频率特性
绘制系统开环频率特性的极坐标图，则需把系
统所包含的各个环节对应频率的幅值相乘，相角相加。
例,求如下传递函数的极坐标图。
解,G(jω)可写为,
? ? Tjω1 ejωG Tjω?? ?
? ? Tj ω1 1ej ωG Tj ω ??? ?
14
其幅值与相角分别为,
由于幅值是从 1开始单调减小，相角也是单调减
小，所以该传递函数的极坐标图是一条螺旋线
? ? 22Tj ω Tω1 1Tj ω1 1ej ωG ???? ?
TtgT ??? 1Tj ω Tj ω1 1e)G ( j ?? ?????????
?
0? ?
Im
Re
0
1
15
设系统的开环传递函数为
系统的型号,一种依据系统开环传递函
数中积分环节的多少来对系统进行分类
的方法
１,0 型系统 （ N=0）
２,I 型系统 （ N=1）
3, II 型系统 （ N=2）
… …
? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ??? ???
21
N
ba
Tj ω1Tj ω1j ω
Tj ω1Tj ω1K)j ω(j ωG
??
???H
16
极坐标图的形状与系统的型号有关，一
般情况如下 （注意 起始点 ）,
II型系 统
I型系 统
0 型系 统
0
Im
Re
0??
?
?
?
?
0
? ?
?
0
17
? ??
()
()
()
m
m
n
n
b j w
G j w
a j w
?
?
?
LL
LL
Re
Im
0
1?? mn
2?? mn
3?? mn
注意 终止点,
18
e
R
m
I
?
21
21
TT
TT
?
1
0?????
m
I
)1)(1(
1
21
?? TjTj ??
eR
mI
0?????
1
1
?Tj?
1
?
增加 n个有限负实
极点 后,ω=0→ ∞
时,GH的奈氏 的
曲线顺时针转 nπ/2
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)1) (1(
21
?? TjTjj ???
1
3
?j?
T
e
R
m
I
???
?
e
R
m
I
???
?
)1) (1(
1
21
?? TjTjj ???
增加 n个有限负实 零点 后,ω=0→ ∞
时,GH的奈氏 的曲线逆时针转 nπ/2
20
结论,
１,0 型系统 （ N=0）,极坐标图起始于正实轴
上的有限点，终止于原点。
２,I 型系统 （ N=1）,由于存在一个积分环
节，所以低频时，极坐标图是一条渐近于和虚轴平
行的直线。当 ω=∞时，幅值为零，曲线收敛于原
点并且与某坐标轴相切。
3, II 型系统 （ N=2）,低频处，极坐标图是
一条渐近于负实轴的直线 。在 ω=∞处幅值为零,
且曲线相切于某坐标轴。
