1
第四章 控制系统的时域分析
三性分析,稳定性 稳态特性 动态特性
控制系统的输出,
c(t)=ct(t)+ cs(t)
ct(t) —— 动态分量（又叫暂态分量）
cs(t) —— 稳态分量
? 控制系统的动态响应（又叫瞬态响应）是指系统从初始
状态到接近稳定状态的响应。输入只影响稳态分量。
? 系统分析的准确度取决于数学模型描述的真实程度。
? 动态响应对稳定系统才有意义。
? 不稳定系统的动态响应是发散的。
2
第四章 控制系统的时域分析
4,3 控制系统的动态特性
一．动态性能指标
通常以系统单位阶跃输入时的响应来定义时域性能指标。
1．超调量 —— 阶跃响应超过稳态值的最大值与稳态值之比
的百分数。下式中,为输出响应的最大值； 为稳态值。
2．延迟时间,响应曲线第一次达到终值一半所需的时间。
3．峰值时间,对应于最大超调量发生的时间。
4．上升时间,动态响应曲线从零到第一次上升到稳态值所需
的时间。（若无超调量，取稳态值 10－ 90％）
%1 0 0)(c )(c)t(c PP ?? ????
)(Ptc )(?c
3
5．调整时间（ 又称 过渡过程时间 ）, 响应曲线达到并保
持与终值之差在预定的差值 △ 内（又叫误差带 ）所需要
的时间。一般取 ± 2%或 ± 5%。
()ct
rt pt st
1
0
p?
tdt 5.0
误 差 带,
05.0?
或
02.0?
4
第四章 控制系统的时域分析
4.3.1 一阶系统的动态响应
希望系统有很快地响应速度。即在控制信号的作用
下，系统的输出能很快地随控制信号变化而变化。
一、慨述
1,单位阶跃响应
TssR
sC
?? 1
1
)(
)(
()Rs ?
?
()Cs
Ts
1
TssTsssC ????? 1
11
)1(
1)(
Ttetc ??? 1)( )0( ?t
5
4.3.1 一阶系统的动态响应
一阶系统响应的特点,
（ 1） t=T时，输出达到稳态值的 0.632
——— t= 0时,输出为 0
—— t=∞时，输出达到稳态值 1
—— t=T时，输出达到稳态值的 0.632
—— t=3T时，输出达到稳态值的 0.95
——— t=4T时，输出达到稳态值的 0.98
（ 2） t＝ 0时，响应曲线的切线斜率为 1/T,切线与稳态值的交
点处的 t=T。 t增加,c(t)斜率下降。
T
tetc ??? 1)(
632.01)( 1 ??? ?eTc
T
t
eTdt tdc ?? 1)( Tdt tdc
t
1)(
0
?
? Tdt
tdc
Tt
13 6 8.0)( ?
?
0)(lim ??? dt tdct
98.01)4( 4 ??? ?eTc
95.01)3( 3 ??? ?eTc
01)0( 0 ??? ?ec
11)( ???? ??ec
6
4.3.1 一阶系统的动态响应
（ 3）过渡过程时间 ts=3T（ 95％）,ts=4T（ 98％）
（ 4）延迟时间 td≈0.69T
（ 5）上升时间 tr≈0.22T
∴ tr=2.3T-0.1T=2.2T
（ 6）特征根 S=－ 1/T,T越小，动特性越好，稳态特性也越好。
Ttetc dTtd 69.05.01)( ???? ?
Ttetc T t 1.01.01)( ???? ?
Ttetc T t 3.29.01)( ???? ?
7
一阶系统单位阶跃响应曲线
这是一条指数曲线,处斜率最大，其值为 1/T，
若系统保持此变化速度，在 t=T 时，输出将达到稳态值。
而实际系统只能达到稳态值的 0.632,经过 3T或 4T的时间
系统输出响应分加别达到稳态值的 0.95或 0.98。
0
1
0.6 32
()ct
tT 2 T 3 T 4 T 5 T
63.2%
86,5% 95% 98.2% 99.3%
斜率=1 /T
0?t
8
2,单位脉冲响应,
单位脉冲响应曲线
也是一条指数曲线,
在 时为 ；
不难看出：单位脉
冲响应是单位阶跃
响应的导数，而单
位阶跃响应是单位
脉冲响应的积分。
TssRTssC ????? 1
1)(
1
1)(
T
t
eTtctg ??? 1)()(
0?t T1
0 T 2 T 3 T 4 T t
()ct
1
T
/
1
()
tT
c t e
T
?
?
()Rs ?
?
()Cs
Ts
1
9
3,单位速度响应
系统输出,
响应曲线由两部分组成,
稳态分量为（ t-T）,它
也是单位斜坡函数，但
有时间 T的延迟，即稳态
误差。瞬态分量为 Te-t/T,
以 1/T的系数衰减到零。
T越小，稳态误差也越小。
21)( ssR ? Ts TsTssTssC /1111 1)( 22 ???????
TtTeTttc /)( ????
)( tr
)( tc
t
)( tr
)( tc
Te
ss
?
()Rs ?
?
()Cs
Ts
1
10
4.3.2 二阶系统的瞬态响应
一个可以用二阶微分方程来描述的系统称为二
阶系统。从物理上讲，二阶系统包含有二个独立的
储能元件，经常用到的储能元件有电感、电容等。
一、二阶系统标准形式
T
Ks
T
1s
T
K
)s(R
)s(C)s(
2 ??
???
( 1 )
K
s Ts ?
()Rs ()Cs?
?
11
令,则 二阶系统标准式,
－－无阻尼自然振荡频率；
－－阻尼比
二阶系统的特征方程为,
系统的两个特征根（闭环极点）为
特征根的性质取决于 的大小，下面分四种情况讨论。
( 1 )
K
s Ts ?
()Rs ()Cs?
?
TKn ?2?
?
Tn 12 ???
1s 2nn2,1 ???? ????
?
)10( ?? ?0s2s 2nn2 ??? ???
2nn2
2n
s2s)s( ???
??
???
n?
T
Ks
T
1s
T
K
)s(R
)s(C)s(
2 ??
???
12
特征根的 [s]平面的分布情况见图
1,欠阻尼情况,
则二阶系统具有一对共轭复根,
式中,—— 称为衰减系数
—— 称为阻尼振荡频率
n??? ?
)10( ???
djs ?? ???2,1
[s]
[s]
Im
Re0
[s]
Im
Re
0
[s]
2
s
2
s
1
s
1
s
1
s
2
1
n
?? ?
n
???
?
01 ???
0
0? ?
(a) (b) (d)
Im
Re
1? ?
Im
Re01s2s
1? ?(c)
21 ??? ?? nd
1s 2nn2,1 ???? ????
1s 2nn2,1 ???? ????
??? 21tg ??
13
输入为单位阶跃信号，则系统输出量的拉氏变换为
对上式进行拉氏反变换，可得 单位阶跃响应,
式中,
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为一条衰减振荡曲线。
振荡频率为,曲线 为动态 响应的包络线，包络线
的时间常数为 。单位阶跃响曲线 C(t)总是包含在一对包络
线之内，收敛速率取决于时间常数为 数值,所以又把
称为衰减系数。
)2()( 22
2
nn
n ssssC ???? ???
2222 )()(
1
dn
n
dn
n ss ss ??? ????? ?? ????? ???
)ts i n1t( c o se1)t(c d2dtn ???????? ???
ts i ntc o s1(e1 11 dd2t2 n ?????????? ???
)ts i n (1e1 d2tn ????? ???? ?
??? a r c c o s
d? 2
tn
1
e1
?
??
??
?
n1??
n????
n????
14
越小，系统振荡越厉害，一般取 0.5—— 0.8之间。
0
1
2
1
1
1 ?
?
?
2
1
1
1 ?
?
?
2
1
1
n
t
e
??
?
?
?
?
1
n
T
??
?
T 2 T 3 T 4 T
t
()ct
2
1
1
n
t
e
??
?
?
?
?
?
15
4.3.2 二阶系统的瞬态响应
二、二阶系统的动态响应性能指示。
（ 1）峰值时间
因为
整理得,
为输出响应达到第一个峰值所需的时间，应取
因为,得到
与极点虚部成反比,ζ一定时,极点离实轴越远,越短。
)s i n (
1
1)( 2 ??
?
??
?
?
??
?
tetc d
tn
0dt )t(dc
ptt
?
?
0)c o s ()s in ( ???? ?? ??????? ???? pdtdpdtn tete pnpn
?
??? 2
pd
1)t(tg ???
??? 21tg ??
Pt ?? ?Pd t
21 ??
?
?
?
??? ndPt
?????? 3,2,,0?pp t
Pt P
t
Pt
16
（ 2）最大超调量
因为最大超调量发生在峰值时间上，所以将
代入
得
表明,二阶系统的最大超调量仅与阻尼比有关,ζ越大,越小。
21 ??
?
?
?
??? ndPt
P?
)s i n
1
( c o se1)t(c
2
21
P ??
???
??
?
??? ?
?
21e1 ??
???
?? %100e 21P ?? ?
?
?
??
?
)s i n (11)( 2 ???
??
????
?
tetc d
tn
4.3.2 二阶系统的瞬态响应
P?
17
（ 3）调整时间 ts
欠阻尼情况下输出响应的衰减情况可以用包络线近似。
（ ）
求得
当 时，忽略
（ ）
( )
表明：调整时间与系统极点的实数值成反比。由于 由
决定，若 不变，加大 的数值，则可在不影响系统 的情
况下，减少,加快系统的响应速度。
? ?21ln05.0ln1 ??? ????
n
st
1??? 21ln ??
n
st ??
4?
05.0
1
11)(1
2
???
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?? sn t
s
etc－
nn
st ????
305.0ln ????
05.0?
02.0? 05.0?
P? ?
? n?
P?
st
18
（ 4）上升时间
根据定义
因为,
必有,
所以,
上式表明：在 一定的情况下，无阻尼自然振荡频率 越
大，系统的响应就越迅速。 ( )
n?
4.3.2 二阶系统的瞬态响应
rt
1)ts i n (1e1)t(c rd2
tn
r ?????
?
???
??
0?? rn te ??
??? ??rd t
d
rt ?
?? ??
21 ??? ?? nd
?
19
4.3.2 二阶系统的瞬态响应
小结
阻尼比小：上升时间短，调整时间长，超调量大,
稳态误差增加（ Kv 减小）
阻尼比大：上升时间长
希 望：上升时间短、调整时间短、超调量小，工程
上阻尼比一般取 0.4－ 0.8。阻尼比为 0.707称
为最佳阻尼比,
d
rt ?
?? ??
nst ??
43?
%100e 21P ?? ?
?
?
??
?
21 ??
?
?
?
??? ndPt
20
2,临界阻尼情况（ ）
由 可知，此时系统有两个相等的
实根
对单位阶跃输入，系统输出的拉氏变换可写为
响应曲线,
1??
1s 2nn2,1 ???? ????
n2,1s ???
nnnnnn sssssssc ?????? ???????? 1)(1)2()( 222 2
)1(1)( tetc ntn ??? ??? ?
()ct
()rt
0
1
t
()ct
21
3,过阻尼情况（ ）
此时系统有两个不相等的负实根
对单位阶跃输入，输出拉氏变换式写成部分分式为
将上式拉氏反变换，得 过阻尼情况时的时域响应,
式中
1??
1s 2nn2,1 ???? ????
1s
]11(2[
1s
)]11(2[
s
1)s(c
2
nn
122
2
nn
122
???
????
???
????? ??
????
???
????
???
)TeTe(
12
11)t(c
2
t2T
1
t1T
2 ?
??
?
??
?
n
n
T
T
???
???
)1(
)1(
2
2
2
1
????
????
()rt
t
()ct
0
22
4,无阻尼情况
当此时系统有一对虚根
这是一条平均值为 1的等幅振荡曲线。
njs ???2,1
1s 2nn2,1 ???? ????
)0( ??
tc o s1)t(c n??? )0t( ?
()ct
0
1
2
t
)0( ??
23
通常把三阶以上的系统就称为高阶系统 。 一般近似为一个二
阶系统来处理。
设 控制系统的闭环传递函数为
阶跃响应
01
1n
1n
n
n
01
1m
1m
m
m
asasasa
bsbsbsb
)s(D
)s(M
)s(R
)s(C
????
??????
?
?
?
?
??
??
sjsjsps
zsk
sC q
j
r
k
kkj
m
i
i 1
)()((()(
)(
)(
1 1
22
1 ?
?????
?
?
? ?
?
? ?
?
????
)1s i n1c o s()( 2
1 1
2
0 tCtBeeaatC kkk
q
j
r
i
kkk
ttp
j kk
j ?????? ?????? ? ?
? ?
??
)1s i n (
1 1
2
0 k
q
j
r
i
kk
t
k
tp
j teDeaa kkj ???
?? ????? ? ?
? ?
??
4.3.3 高阶系统的瞬态响应
24
高阶系统阶跃响应曲线
1,响应曲线的类型（振荡情况）由闭环极点的性质所决定。
2,动态响应曲线的形状由闭环系统的零、极点共同决定。
3.闭环极点离虚轴愈近，其对系统的影响愈大。
主导极点, 这种离虚轴最近的闭环极点将对系统的动态响
应起主导作用，并称其为闭环。
偶 极 子,同一位置或相距很近的闭环零、极点,对系统
的影响很小。
()ct)( tr10 t t()ct01 )( tr ()ct t01 )( tr
25
例：三阶系统的闭环传递函数
系统闭环极点,
P1, P2 的实部和实极点 P3 的实部之比,
所以 P1, P2为一对主导极点。系统单位阶跃响应,
如果忽略 P3 对应的动态分量，两该系统的解相近,
)5200s20s)(60s(
3 1 2 0 0 0
)s(R
)s(C
2 ????
5
1
6
1
60
10
]pR e [
]pR e [
3
1 ??
?
??
t60ot10 e6 8 6.0)93.26t7.71s i n (e6 9 6.01)t(c ?? ????
)93.26t7.71s i n (e6 9 6.01)t(c ot10 ??? ?
60,7.7110 32,1 －???? pjp
26
习题,305页
P4.10
P4.12
P4.13
P4.15 (a) (b) (c)