§ 1 实数
§ 2 数集,确界原理
§ 3 函数概念
§ 4 具有某些特性的函数
§ 1 实 数
1,我们用符号,?” 表示“任取”
或“对于任意的” 或“对于所有的”,
符号, ?” 称为全称量词,
几个常用符号
2,我们用符号,?” 表示“存
在”,
例：命题“对任意的实数 x,都存在实数 y,
使得 x+y=1”可表示为,?x?R,?y?R,
使 x+y=1”
符号,?” 称
为存在量词,
3,我们用符号,?”表示“充分条件”
比如,若用 p,q分别表示两个命题或陈述句,
或,推出” 这一意思,
则,p ? q”表示,若 p成立,则 q也成
立”, 即 p是 q成立的充分条件,
4,我们用符号,?”表示“当且仅当”
比如,p? q”表示,p成立当且仅当 q成
立” 或者说 p成立的充要条件是 q成立,
或,充要条件” 这一意思,
1.集合
?集合
集合是指具有某种特定性质的事物的总体,
集合可用大写的字母 A,B,C,D 等标识,
?元素
组成集合的事物称为集合的元素,
集合的元素可用小写的字母 a,b,c,d 等标识,
a是集合 M的元素记为 a?M,读作 a属于 M.
a不是集合 M的元素记为 a?M,读作 a不属于 M.
一、集合
?集合的表示
?列举法
把集合的全体元素一一列举出来,
例如 A?{a,b,c,d,e,f,g}.
?描述法
若集合 M是由元素具有某种性质 P的元素 x的全体所
组成,则 M可表示为
M?{x | x具有性质 P }.
例如 M?{(x,y)| x,y为实数,x2?y2?1}.
?几个数集
所有自然数构成的集合记为 N,称为自然数集,
所有实数构成的集合记为 R,称为实数集,
所有整数构成的集合记为 Z,称为整数集,
所有有理数构成的集合记为 Q,称为有理集,
?子集
如果集合 A的元素都是集合 B的元素,则称 A是 B的子
集,记为 A?B(读作 A包含于 B).
A?B?若 x?A,则 x?B.
显然,N?Z,Z?Q,Q?R.
2.集合的运算
设 A,B是两个集合,则
A?B?{x|x?A或 x?B}称为 A与 B的并集 (简称并 ).
A?B?{x|x?A且 x?B}称为 A与 B的交集 (简称交 ).
A\B?{x|x?A且 x?B}称为 A与 B的差集 (简称差 ).
AC?I\A?{x|x?A}为称 A的余集或补集,其中 I为全集,
提示,
如果研究某个问题限定在一个大的集合 I中进行,所
研究的其他集合 A都是 I的子集, 则称集合 I为全集或基本
集,
?集合运算的法则
设 A,B,C为任意三个集合,则有
(1)交换律 A?B?B?A,
A?B?B?A;
(2)结合律 (A?B)?C?A?(B?C),
(A?B)?C?A?(B?C);
(3)分配律 (A?B)?C?(A?C)?(B?C),
(A?B)?C?(A?C)?(B?C);
(4)对偶律 (A?B)C?AC?BC,(A?B)C?AC?BC.
?(A?B)C?AC?BC的证明
所以 (A?B)C?AC?BC,?x?AC?BC,
?x?AC且 x?BC?x?A?B?x?A且 x?Bx?(A?B)C
?直积 (笛卡儿乘积 )
设 A,B是任意两个集合,则有序对集合
A?B?{(x,y)|x?A且 y?B}
称为集合 A与集合 B的直积,
例如,R?R?{(x,y)| x?R且 y?R }即为 xOy面上全体点
的集合,R?R常记作 R2.
说明, 对于负实数 x,y,若有 -x = -y与 -x > -y,则
分别称 x = y与 x <y (y >x)
3.实数集
?两个实数的大小关系
说明,
.自然规定任何非负实数大于任何负实数
.
)2,1(,
,,2,1,
.90,90),2,1(,
,,.,.
1100
00210210
xyyxx，yyx
balkbalba
y；x，yxkba
ba，kba
，babbbbyaaaax
llkk
kk
kkkk
nn
<>
>??>
???
?????
??
??
或分别记为小于或大于则称
而使得或存在非负整数若
记为相等与则称若有
为整数
为非负整数其中
给定两个非负实数
L
L
L
LLLL
?定义 1
?定义 2
L
L
LL
,2,1,0101
.
.
210
210
???
?
?
,nnxxx
，nxaaaax
aaaax
nnn
nn
n
位过剩近似的称为而有理数
位不足近似的为实数称有理数
为非负实数设
说明,
..101.
.
210210
210
nnnnn
n
aaaaxaaaax
naaaax
LL
LL
-?-?
-?
与分别规定为
位不足近似与过剩近似的负实数
说明,
.
,
210
210
L
L
???
???
xxx，nx
xxx，nxx
n
n
即有增大时不增当过剩近似
即有增大时不减当的不足近似实数
?命题 1
.
.,:
..
位过剩近似的表示位不足近似的表示其中
的充要条件是则
为两个实数与设
nyy，nxx
yxNnyx
，bbbyaaax
nn
nn >??>
??
?
LL
?实数的性质
1.实数集 R对加,减,乘,除 (除数不为 0)四则运算是封闭的,
即任意两个实数和,差,积,商 (除数不为 0)仍然是实数,
2.实数集是有序的,即任意两个实数 a,b必满足下
述三个关系之一, a < b,a = b,a > b,
3.实数集的大小关系具有传递性,即若 a > b,b > c,
则有 a>c
?实数的性质
.,
则存在正整数 n,使得 nb > a.
即对任何4.实数具有阿基米德性,a > b > 0,
5.实数集 R具有稠密性,即任何两个不相等的实数
之间几有另一个实数,且既有在理数,也有无理数,
6.实数集 R与数轴上的点具有一一对应关系,即任
一实数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的
每一点也都唯一的代表一个实数,
?实数的性质
例 1
证明
.::,yrxr，yx <<满足存在有理数证明为实数设
.,
)(21.,
yrxyyrxx，r
yxryxn，yx
nn
nnnn
<<?<<?
??<<
即得且有为有理数则
令使得故存在非负整数由于
.,:,,babaRba ??<? 则有若对任何正数证明设 ee例 2
..
,,.
.
baba
bababa
，
??<
??-?>
从而必有矛盾
这与假设为正数且则令有
则根据实数的有序性假若结论不成立用反证法
e
eee
证明
3.小结
P9,1,2,3,4,5.
(1),两个实数的大小关系 ;
:作业
(2),实数的性质 ;
(3),区间和邻域的概念 ;
(4),确界原理,
§ 2 数集,确界原理
数集 {x|a<x<b}称为开区间,
记为 (a,b),即 (a,b)?{x|a<x<b}.
[a,b]?{x|a?x?b}——闭区间,
[a,b)?{x|a?x<b}——半开区间,
(a,b]?{x|a<x?b}——半开区间,
?有限区间
上述区间都是有限区间,其中
a和 b称为区间的端点,b-a 称为区
间的长度,
1.区间和邻域
(-?,b]?{ x|x?b},
(-?,??)?{ x| |x|<??}.
[a,??)?{ x|a?x},
?无限区间
(-?,b)?{ x|x<b},
(a,??)?{ x|a<x},
1.区间和邻域
?邻域
以点 a为中心的任何开区间称为点 a的邻域,记作 U(a).
设 ?>0,则称
U(a,?)?(a-?,a??)?{x| |x-a|<?}
为点 a的 ?邻域,其中点 a称为邻域的中心,? 称为邻域的半
径,
?去心邻域
U(a,?)?{x|0<|x-a|<?}.
。
说明,
2.确界原理
?定义 1
若数集 S既有上界又有下界,则称 S为有界集,
若数集 S不是有界集,则称 S为无界集,
.,,1][,0
.1
00 无上界即则取
的下界的实数都是任何一个不大于显然
?
?
>??>? NMnMnM
N，
).()()(),(
)(
下界的一个上界称为数的数集下界为有上界则称
都有使得对一切若存在数中的一个数集是设
SLM，SLx
MxS，x，LM，RS
?
??
{ },有下界而无上界为正整数数集例如 nnN ??
?定义 2
说明,
S
xx
1x2 x3 x4x5 xn
,)( xa <?ii
a
,,00 a>?? xSx 使得
x0
，S的最小上界又是即 x;.,)( 的上界是即有
满足若数中的一个数集是设
SxSxi
，RS
xx
x
???
.supS，S ?xx 记作的上确界为数集则称数
同理可得下确界的定义,?定义 3:;.,)( 的下界是即有
满足若数中的一个数集是设
SxSxi
，RS
hh
h
???
.inf
,,,)( 00
S，S
，SxSxii
?
<??>?
hh
hbhb
记作的下确界为数集则称数
的最大下界又是即使得
? 确界原理
设 S为非空数集,若 S有上界,则 S必有上确界 ;若 S有下界,
则 S必有下确界,
例 3 设 A,B为非空数集,满足,,,yxByAx ????? 有
证明数集 A有上确界,数集 B有下确界,且,in fs u p BA ?
证,
故有确界原理知,数集 A有上确界,数集 B有下确界,
是数集 A的一个上界,而由上确界的定义知,By ?? y
由假设,数集 B中任一数 都是数集 A的上界,y
A中任一数 都是 B的下界,x
y.s up A ?是数集 A的最小上界,故有supA
下确界都存在的上因此,S
设 A,B为非空有限数集,,证明,BAS ??
而此式又表明数 是数集 B的一个下界,supA
故由下确界的定义证得,in fs u p BA ?
例 4
证, 显然是非空有界数集由于 BAS ??
BxAxBxAxSxi s u ps u p,)( ??????? 或或有
{ },s u p,s u pm a x BAx ?从而有
{ } ;s u p,s u pm a xs u p)( BASi ?
{ }.in f,in fm inin f)( BASii ?
supS { };s u p,s u pm a x BA?故得
,s u ps u ps u p,SASxSxAx,???????另一方面
.s u ps u p SB ?同理又有
综上,即证得 { }.s u p,s u pm a xs u p BAS ?
(ii) 可类似证明,
supS { }.s u p,s u pm a x BA?所以
3.小结
P9,1,2,3,4,5.
(1),两个实数的大小关系 ;
:作业
(2),实数的性质 ;
(3),区间和邻域的概念 ;
(4),确界原理,
§ 3 函数概念
说明,
记号 f和 f(x)的区别, 前者表示自变量 x和因变量 y之间的对
应法则,而后者表示与自变量 x对应的函数值,
说明
为了叙述方便,常用记号, f(x),x?D”或, y?f(x),x?D”来
表示定义在 D上的函数,这时应理解为由它所确定的函数 f.
说明
函数的记号是可以任意选取的,除了用 f 外,还可用,g”
、,F”、,?”等,此时函数就记作 y?g(x),y?F(x),y??(x)
等,
但在同一问题中,不同的函数应选用不同的记号,
设数集 D?R,则称映射 f, D ?R为定义在 D上的函数,
通常简记为
y?f(x),x?D,
其中 x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作 Df,
即 Df?D.
1.函数概念
?定义
构成函数的要素是定义域 Df及对应法则 f.
如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么
这两个函数就是相同的,否则就是不同的,
?函数的两要素
函数的定义域通常按以下两种情形来确定,
对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际
意义确定,
?函数的定义域
对抽象地用算式表达的函数,其定义域是使得算式
有意义的一切实数组成的集合,这种定义域称为函数的
自然定义域,
表示函数的主要方法有三种, 表格法, 图形法, 解
析法 (公式法 ).
用图形法表示函数是基于函数图形的概念,坐标平
面上的点集
{P(x,y)|y?f(x),x?D}
称为函数 y?f(x),x?D的图形,
?函数的表示法
?单值函数与多值函数
在函数的定义中,对每个 x?D,对应的函数值 y总是唯
一的,这样定义的函数称为单值函数,
如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个 x?D,总
有确定的 y值与之对应,但这个 y不总是唯一的,我们称这
种法则确定了一个多值函数,
例如,由方程 x2?y2?r2确定的函数是一个多值函数,
此多值函数附加条件,y?0”后可得到一个单值分支
221 )( xrxyy -??,
22 xry -??,
此函数称为绝对值函数,
其定义域为 D?(-?,+?),
其值域为 Rf ?[0,+ ?).
例 6, 函数 ??? <- ??? 0 0 || xx xxxy,
例 6
例 5 函数 y?2.
这是一个常值函数,
其定义域为 D?(-?,??),
其值域为 Rf ?{2}.
?函数举例
此函数称为符号函数,
其 定义域为 D?(-?,+?),
其值域为 Rf ?{-1,0,1}.
例 8 函数 y?[x].
例 7 例 7, 函数
??
?
?
?
<-
?
>
??
01
00
0 1
s g n
x
x
x
xy
,
注, 设 x为任上实数,不超过 x的最大整数称为 x的整数部
分,记作 [x],
此函数 称为取整函数,
其定义域为 D?(-?,+?),
其值域为 Rf ?Z.
例 6, 函数
??
?
>?
???
11
10 2
xx
xxy
,
例 9
此函数 的 定义域为 D?[0,1]?(0,??)?[0,??).
当 0 ? x ? 1 时,xy 2? ? 当 x >1 时,y ? 1 ? x,
例 如 2212)21( ??f ?
2 1 2)1( ??f ? f(3)?1?3?4.
例 如 2212)21( ??f ?
2 1 2)1( ?f ?
?分段函数
在自变量的不同变化范围中,对
应法则用不同式子来表示的函数称
为分段函数,
当 0 ? x ? 1 时,xy 2? ? 当 x >1 时,y ? 1 ? x,
2.反函数
设函数 f, D?f(D)是单射,则它存在逆映射
f -1,f(D)?D,
称此映射 f -1为函数 f 的反函数,
按习惯,y?f(x),x?D的反函数记成 y?f -1(x),x?f(D).
例如,函数 y?x3,x?R是单射,所以它的反函数存在,
其反函数为
3
1
xy ?,x ? R,
3
1
yx ?,y ? R, 函数 y?x
3,x?R的反函数是
提问, 下列结论是否正确？
2.反函数
?反函数
设函数 f, D?f(D)是单射,则它存在逆映射
f -1,f(D)?D,
称此映射 f -1为函数 f 的反函数,
按习惯,y?f(x),x?D的反函数记成 y?f -1(x),x?f(D).
若 f 是定义在 D上的单调函数,则 f, D?f(D)是单射,
于是 f 的反函数 f -1必定存在,而且容易证明 f -1也是 f(D)上
的单调函数,
相对于反函数 y?f -1(x)来说,
原来的函数 y?f(x)称为直接函数,
函数 y?f(x)和 y?f -1(x)的图形
关于直线 y?x 是对称的,
?反函数
设函数 f, D?f(D)是单射,则它存在逆映射
f -1,f(D)?D,
称此映射 f -1为函数 f 的反函数,
按习惯,y?f(x),x?D的反函数记成 y?f -1(x),x?f(D).
3.复合函数
设函数 y?f(u)的定义域为 D1,函数 u?g(x)在 D上有定义
且 g(D)?D1,则由
y?f[g(x)],x?D
确定的函数称为由函数 u?g(x)和函数 y?f(u)构成的复合函
数,它的定义域为 D,变量 u称为中间变量,
函数 g与函数 f 构成的复合函数通常记为 f o g,即
(f o g)(x)?f[g(x)].
说明, g与 f 构成的复合函数 f o g的条件是, 是函数 g在 D上
的值域 g(D)必须含在 f 的定义域 Df 内,即 g(D)?Df, 否则,
不能构成复合函数, 例如 >>>
4.函数的运算
设函数 f(x),g(x)的定义域依次为 D1,D2,D?D1?D2??,
则可以定义这两个函数的下列运算,
和 (差 ) f ?g, (f ?g)(x)?f(x)?g(x),x?D;
积 f ?g, (f ?g)(x)?f(x)?g(x),x?D;
商 gf, )( )())(( xg xfxgf ?,x ? D \ { x | g ( x ) ? 0 },
例 10 设函数 f(x)的定义域为 (-l,l),证明必存在 (-l,l)
上的偶函数 g(x)及奇函数 h(x),使得 f(x)?g(x)?h(x).
提示, 如果 f(x)?g(x)?h(x),则 f(-x)?g(x)-h(x),于是
)]()([21)( xfxfxg -??,)]()([21)( xfxfxh --?,
证 作 )]()([21)( xfxfxg -??,)]()([21)( xfxfxh --?,
证
则 f(x)?g(x)?h(x),且
)()]()([21)( xgxfxfxg ??-?-,
)()]()([21)]()([21)( xhxfxfxfxfxh -?---?--?-,
)()]()[21)( xgxfxfxg ??-?-,)()]()([21)( xgxfxfxg ??-?-,
)()]()([21)]()([21)( xhxfxfxfxfxh -?---?--?-, )()]()([21)]()([21)( xhxfxfxffxh -?---?--?-, )()]()([21)]()([21)( xhxfxffxfxh -?--?-?,
幂函数, y?x ? (??R是常数 );
指数函数, y?a x(a>0且 a?1);
对数函数, y?loga x (a>0且 a?1),
特别当 a?e时,记为 y?ln x;
三角函数, y?sin x,y?cos x,
y?tan x,y?cot x,
y?sec x,y?csc x;
反三角函数, y?arcsin x,y?arccos x,
y?arctan x,y?arccot x, >>>
?基本初等函数
(一 )幂函数的图形
同一坐标系中 幂函数的图象
)( 是常数?? ?xy
o x
y
)1,1(
1
1
2xy?
xy?
xy
1?
xy ?
(二 )指数函数的图形
同一坐标系中指数函数的图象
)1,0( ?>? aaay x
xay ?
x
ay )
1(?
)1( >a
)1,0(?
(三 )对数函数的图形
同一坐标系中对数函数的图象
)1,0(l o g ?>? aaxy a
xy alo g?
xy
a
1lo g?
)1( >a)0,1(?
正弦函数 的图象
xy sin?
xy sin?
(四 )三角函数的图形
xy cos?
xy co s?余弦函数 的图象
(五 )反三角函数的图象
设函数 y?f(u)的定义域为 D1,函数 u?g(x)在 D上有定义
且 g(D)?D1,则由
y?f[g(x)],x?D
确定的函数称为由函数 u?g(x)和函数 y?f(u)构成的复合函
数,它的定义域为 D,变量 u称为中间变量,
函数 g与函数 f 构成的复合函数通常记为 f o g,即
(f o g)(x)?f[g(x)].
说明, g与 f 构成的复合函数 f o g的条件是, 是函数 g在 D上
的值域 g(D)必须含在 f 的定义域 Df 内,即 g(D)?Df, 否则,
不能构成复合函数, 例如 >>>
?复合函数
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有
限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,
称为初等函数,
都是初等函数,
例如,函数
21 xy -?,xy 2s i n?,2c o t xy ?
?初等函数
?双曲函数
应用上常遇到的双曲函数是,
双曲正弦,
2s h
xx eex --?
双曲余弦,
2c h
xx eex -??
双曲正切,
xx
xx
ee
ee
x
xx
-
-
?
-??
ch
shth
?双曲函数与反双曲函数
?双曲函数与反双曲函数
?双曲函数的性质
比较 sin(x?y)?sin x cos y?cos x sin y,
sh(x?y)?sh x ch y?ch x sh y,
ch2 x- sh2 x?1,
ch(x?y)?ch x ch y?sh x sh y,
sh 2x?2sh x ch x,
ch 2x?ch2x+sh2x,
比较 cos(x?y)?cos x cos y sin x sin y,?
?双曲函数与反双曲函数
?反双曲函数
双曲函数 y?sh x,y?ch x,y?th x的反函数依次记为
反双曲正弦, y=arsh x,
反双曲余弦, y=arch x,
反双曲正切, y=arth x.
可以证明
)1l n (a r s h 2 ???? xxxy,
)1l n (a r c h 2 -??? xxxy,
x
xxy
-
???
1
1ln
2
1a r th,
6.小结
P9,1,2,4,5,7,8,
(1),基本初等函数的概念 ;
:作业
(2),基本初等函数的图象及性质 ;
(3),复合函数的概念及性质 ;
(4),双曲函数的概念 ;
(5),初等函数的概念,
(1) 符号函数
?
?
?
?
?
<-
?
>
??
01
00
01
s g n
x
x
x
xy
当
当
当
1
-1
x
y
o
xxx ?? s g n
?几个特殊函数举例
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 的最大整数
1 2 3 4 5
-2
-4
-4 -3 -2 -1
4
3
2
1 -1
-3
x
y
o
阶梯曲线
x
??
???
是无理数时当
是有理数时当
x
xxDy
0
1)(
有理数点无理数点
?
1
x
y
o
(3) 狄利克雷函数
(4) 取最值函数
)}(),(m a x { xgxfy ? )}(),(m i n{ xgxfy ?y
xo
)(xf
)(xg
y
xo
)(xf
)(xg
??
?
?-
>-?
0,1
0,12)(,
2 xx
xxxf例如
12 -? xy12 -? xy
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为 分段函数,
§ 4 具有某些特性的函数
1,单调 函数
单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数,
x
y
o
f (x)单调递增
x
y
o
f (x)单调递减
设 f (x)在 (a,b)有定义, 若 ?x1,x2?(a,b),
x1< x2,有 f (x1)?f (x2) (f (x1)?f (x2)),则称 f
(x)在 (a,b)上单调递增 (单调递减 ).
区间 (a,b)称为 f (x)的单调区间,
如,y = x2,图
y=x2
0 x
y
在 (-?,0]上单调递减,而在 [0,+?)上单调递增,
2,奇偶函数,
(1) 若 ?x?D(f ),有 f (–x)= f (x),则称 f (x)为偶函
数, 其图形关于 y 轴对称,
(2) 若 ?x?D(f ),有 f (–x)= –f (x),则称 f (x)为奇
函数, 其图形关于 原点对称,
设 f (x)的定义域为 D(f ),满足 ?x?D(f ),
有 –x?D(f ),
易见,常函数 y=c是偶函数,
狄利克莱函数 D(x)也是偶函数,
因为若 x为有理数,则 –x也是有理数,从而
若 x为无理数,则 –x也是无理数,从而
综合起来,总有 D(x)= D(–x),因此,D(x)是一
个偶函数,
D(x)= D(– x)=1
D(x)= D(– x)=0
3,周期函数,
设 f (x)的定义域为 D(f ),若存在常数
T?0,使 ?x?D(f ),有 x?T?D(f ),且 f
(x?T)=f (x).则称 f (x)为周期函数, T为
f (x)的周期,
由于周期函数的函数值是呈周期变化, 因此,
周期函数的图形也是呈周期性变化, 会周而复始
的重复出现, 如 y=sinx,y=cosx,
易见,若 T为 f (x)的周期,则 nT均为 f (x)的周
期,n=1,2,…,通常称最小正周期为 f (x)的周期,
画周期函数图形可以先在一周期内画好,
然后向数轴两端平移,
如 y=sinx,2n?都是 sinx的周期,其中 n=1,2,…,
它的最小正周期为 2?.
2
2c o s1s i n,2 xxy -??又如 是周期函数,
它的周期为 n?,n=1,2,… 最小正周期为 ?.
有些周期函数没有最小正周期,
如常数函数 y=f (x)=c (常数 ),是一个周期函数,
任何一个大于 0的常数 T都是它的一个周期,
这是因为 f (x)= c= f (x+T)
在这无穷多个大于 0的周期 T中,找不到一个
最小的正周期 T.
又如,狄利克莱函数 D(x)也是周期函数, 任何
一个大于 0的有理数 T都是 D(x)的周期,
因为 (i) 若 x为有理数,则 x+T也是有理数,
从而 D(x) = 1 = D(x+T )
(ii) 若 x为无理数,则 x+T也是无理数,
从而 D(x) = 0 = D(x+T )
所以,总有 D(x) = D(x+T ),即 T是 D(x)的周期,
但是在这无穷多个大于 0的有理数 T中,找不
到一个最小的 T.
4,有界函数
定义 4.
几何意义：由于 | f (x)|
?M ?-M? f (x) ?M.因此,f
(x)在 (a,b)内有界, 就表示了
f (x)的图形夹在两平行直线
y = ?M 之间,
x
y
o a
b
-M
M
设 f (x)在 (a,b)有定义,若存在常数 M>0,使
?x?(a,b),有 | f (x) |?M.则称 f (x)在 (a,b)内
有界,否则,称 f (x)在 (a,b)内无界,
若 ?M1,使 ?x?(a,b),
有 f (x)? M1,则称 f (x)在
(a,b)内有上界, M1称为
它的一个上界,看图,
若 ?M2,使 ?x?(a,b),
有 M2 ? f (x),则称 f (x)
在 (a,b)内有下界, M2称
为它的一个下界,看图,
x
y
o a b
M2
x
y
o a
b
M1
f (x)在 (a,b)有界 ? f (x)在 (a,b)既有上界,又有下界,
易见,若 f (x)在 (a,b)有上界 M1,则它在 (a,b)有
无穷多个上界,
若 f (x)在 (a,b)有下界 M2,则它在 (a,b)有
无穷多个下界, 比如 M2 –1,M2 –2,… 都
是它的下界,
比如 M1 +1,M1 +2,… 都是它的上界,
可以证明,在这无穷多个上界中必有一个最
小的上界 M,称为 f (x)在 (a,b)的上确界,记作
)(s u p
),(
xfM
bax ?
?
在这无穷多个下界中必有一个最大的下界 m,
称为 f (x)在 (a,b)的下确界,记作
)(in f ),( xfm bax ??
比如 y=sinx,由于 |sinx|?1,所以,1和 -1分别
是 sinx的上界和下界,
若 f (x)在 (a,b)内不满足有界性定义 4,则称
f (x)在 (a,b)无界,
且可看出 1是 sinx的上确
界, 而 -1是 sinx的下确界,
即,若对 ?M > 0,?x0?(a,b),
使得 | f (x0)|> M,则称 f (x)在 (a,b)无界,
xy
1?比如,,在 (0,1)内无界,
xy
1?
从几何上看,
它的图形不能全部夹在任何两条平等于 x 轴
的直线之间,
y
0
1
1 x
2.反函数
设函数 f, D?f(D)是单射,则它存在逆映射
f -1,f(D)?D,
称此映射 f -1为函数 f 的反函数,
按习惯,y?f(x),x?D的反函数记成 y?f -1(x),x?f(D).
例如,函数 y?x3,x?R是单射,所以它的反函数存在,
其反函数为
3
1
xy ?,x ? R,
3
1
yx ?,y ? R, 函数 y?x
3,x?R的反函数是
提问, 下列结论是否正确？
2.反函数
?反函数
设函数 f, D?f(D)是单射,则它存在逆映射
f -1,f(D)?D,
称此映射 f -1为函数 f 的反函数,
按习惯,y?f(x),x?D的反函数记成 y?f -1(x),x?f(D).
若 f 是定义在 D上的单调函数,则 f, D?f(D)是单射,
于是 f 的反函数 f -1必定存在,而且容易证明 f -1也是 f(D)上
的单调函数,
三、反函数
0x
0y
0x
0y
x
y
D
W
)( xfy ?函数
o x
y
D
W
)( yx ??反函数
o
相对于反函数 y?f -1(x)来说,
原来的函数 y?f(x)称为直接函数,
函数 y?f(x)和 y?f -1(x)的图形
关于直线 y?x 是对称的,
?反函数
设函数 f, D?f(D)是单射,则它存在逆映射
f -1,f(D)?D,
称此映射 f -1为函数 f 的反函数,
按习惯,y?f(x),x?D的反函数记成 y?f -1(x),x?f(D).
5.小结
(1),有界函数 ;
(2),单调函数 ;
(3),奇,偶函数 ;
(4),周期函数 ;
(5),各类特殊函数图象的特点,
函数的分类,
函
数
初
等
函
数
非初等函数 (分段函数,有无穷多项等函数 )
代
数
函
数
超越函数 (指数、对数、三角、反三角 )
有
理
函
数
无理函数
有理整函数 (多项式函数 )
有理分函数 (分式函数 )
? P20,1,2,3,4,5,6,
? P21,1,2,3,8,9,10,
12,13,14,15,16,
:作业
§ 2 数集,确界原理
§ 3 函数概念
§ 4 具有某些特性的函数
§ 1 实 数
1,我们用符号,?” 表示“任取”
或“对于任意的” 或“对于所有的”,
符号, ?” 称为全称量词,
几个常用符号
2,我们用符号,?” 表示“存
在”,
例：命题“对任意的实数 x,都存在实数 y,
使得 x+y=1”可表示为,?x?R,?y?R,
使 x+y=1”
符号,?” 称
为存在量词,
3,我们用符号,?”表示“充分条件”
比如,若用 p,q分别表示两个命题或陈述句,
或,推出” 这一意思,
则,p ? q”表示,若 p成立,则 q也成
立”, 即 p是 q成立的充分条件,
4,我们用符号,?”表示“当且仅当”
比如,p? q”表示,p成立当且仅当 q成
立” 或者说 p成立的充要条件是 q成立,
或,充要条件” 这一意思,
1.集合
?集合
集合是指具有某种特定性质的事物的总体,
集合可用大写的字母 A,B,C,D 等标识,
?元素
组成集合的事物称为集合的元素,
集合的元素可用小写的字母 a,b,c,d 等标识,
a是集合 M的元素记为 a?M,读作 a属于 M.
a不是集合 M的元素记为 a?M,读作 a不属于 M.
一、集合
?集合的表示
?列举法
把集合的全体元素一一列举出来,
例如 A?{a,b,c,d,e,f,g}.
?描述法
若集合 M是由元素具有某种性质 P的元素 x的全体所
组成,则 M可表示为
M?{x | x具有性质 P }.
例如 M?{(x,y)| x,y为实数,x2?y2?1}.
?几个数集
所有自然数构成的集合记为 N,称为自然数集,
所有实数构成的集合记为 R,称为实数集,
所有整数构成的集合记为 Z,称为整数集,
所有有理数构成的集合记为 Q,称为有理集,
?子集
如果集合 A的元素都是集合 B的元素,则称 A是 B的子
集,记为 A?B(读作 A包含于 B).
A?B?若 x?A,则 x?B.
显然,N?Z,Z?Q,Q?R.
2.集合的运算
设 A,B是两个集合,则
A?B?{x|x?A或 x?B}称为 A与 B的并集 (简称并 ).
A?B?{x|x?A且 x?B}称为 A与 B的交集 (简称交 ).
A\B?{x|x?A且 x?B}称为 A与 B的差集 (简称差 ).
AC?I\A?{x|x?A}为称 A的余集或补集,其中 I为全集,
提示,
如果研究某个问题限定在一个大的集合 I中进行,所
研究的其他集合 A都是 I的子集, 则称集合 I为全集或基本
集,
?集合运算的法则
设 A,B,C为任意三个集合,则有
(1)交换律 A?B?B?A,
A?B?B?A;
(2)结合律 (A?B)?C?A?(B?C),
(A?B)?C?A?(B?C);
(3)分配律 (A?B)?C?(A?C)?(B?C),
(A?B)?C?(A?C)?(B?C);
(4)对偶律 (A?B)C?AC?BC,(A?B)C?AC?BC.
?(A?B)C?AC?BC的证明
所以 (A?B)C?AC?BC,?x?AC?BC,
?x?AC且 x?BC?x?A?B?x?A且 x?Bx?(A?B)C
?直积 (笛卡儿乘积 )
设 A,B是任意两个集合,则有序对集合
A?B?{(x,y)|x?A且 y?B}
称为集合 A与集合 B的直积,
例如,R?R?{(x,y)| x?R且 y?R }即为 xOy面上全体点
的集合,R?R常记作 R2.
说明, 对于负实数 x,y,若有 -x = -y与 -x > -y,则
分别称 x = y与 x <y (y >x)
3.实数集
?两个实数的大小关系
说明,
.自然规定任何非负实数大于任何负实数
.
)2,1(,
,,2,1,
.90,90),2,1(,
,,.,.
1100
00210210
xyyxx，yyx
balkbalba
y；x，yxkba
ba，kba
，babbbbyaaaax
llkk
kk
kkkk
nn
<>
>??>
???
?????
??
??
或分别记为小于或大于则称
而使得或存在非负整数若
记为相等与则称若有
为整数
为非负整数其中
给定两个非负实数
L
L
L
LLLL
?定义 1
?定义 2
L
L
LL
,2,1,0101
.
.
210
210
???
?
?
,nnxxx
，nxaaaax
aaaax
nnn
nn
n
位过剩近似的称为而有理数
位不足近似的为实数称有理数
为非负实数设
说明,
..101.
.
210210
210
nnnnn
n
aaaaxaaaax
naaaax
LL
LL
-?-?
-?
与分别规定为
位不足近似与过剩近似的负实数
说明,
.
,
210
210
L
L
???
???
xxx，nx
xxx，nxx
n
n
即有增大时不增当过剩近似
即有增大时不减当的不足近似实数
?命题 1
.
.,:
..
位过剩近似的表示位不足近似的表示其中
的充要条件是则
为两个实数与设
nyy，nxx
yxNnyx
，bbbyaaax
nn
nn >??>
??
?
LL
?实数的性质
1.实数集 R对加,减,乘,除 (除数不为 0)四则运算是封闭的,
即任意两个实数和,差,积,商 (除数不为 0)仍然是实数,
2.实数集是有序的,即任意两个实数 a,b必满足下
述三个关系之一, a < b,a = b,a > b,
3.实数集的大小关系具有传递性,即若 a > b,b > c,
则有 a>c
?实数的性质
.,
则存在正整数 n,使得 nb > a.
即对任何4.实数具有阿基米德性,a > b > 0,
5.实数集 R具有稠密性,即任何两个不相等的实数
之间几有另一个实数,且既有在理数,也有无理数,
6.实数集 R与数轴上的点具有一一对应关系,即任
一实数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的
每一点也都唯一的代表一个实数,
?实数的性质
例 1
证明
.::,yrxr，yx <<满足存在有理数证明为实数设
.,
)(21.,
yrxyyrxx，r
yxryxn，yx
nn
nnnn
<<?<<?
??<<
即得且有为有理数则
令使得故存在非负整数由于
.,:,,babaRba ??<? 则有若对任何正数证明设 ee例 2
..
,,.
.
baba
bababa
，
??<
??-?>
从而必有矛盾
这与假设为正数且则令有
则根据实数的有序性假若结论不成立用反证法
e
eee
证明
3.小结
P9,1,2,3,4,5.
(1),两个实数的大小关系 ;
:作业
(2),实数的性质 ;
(3),区间和邻域的概念 ;
(4),确界原理,
§ 2 数集,确界原理
数集 {x|a<x<b}称为开区间,
记为 (a,b),即 (a,b)?{x|a<x<b}.
[a,b]?{x|a?x?b}——闭区间,
[a,b)?{x|a?x<b}——半开区间,
(a,b]?{x|a<x?b}——半开区间,
?有限区间
上述区间都是有限区间,其中
a和 b称为区间的端点,b-a 称为区
间的长度,
1.区间和邻域
(-?,b]?{ x|x?b},
(-?,??)?{ x| |x|<??}.
[a,??)?{ x|a?x},
?无限区间
(-?,b)?{ x|x<b},
(a,??)?{ x|a<x},
1.区间和邻域
?邻域
以点 a为中心的任何开区间称为点 a的邻域,记作 U(a).
设 ?>0,则称
U(a,?)?(a-?,a??)?{x| |x-a|<?}
为点 a的 ?邻域,其中点 a称为邻域的中心,? 称为邻域的半
径,
?去心邻域
U(a,?)?{x|0<|x-a|<?}.
。
说明,
2.确界原理
?定义 1
若数集 S既有上界又有下界,则称 S为有界集,
若数集 S不是有界集,则称 S为无界集,
.,,1][,0
.1
00 无上界即则取
的下界的实数都是任何一个不大于显然
?
?
>??>? NMnMnM
N，
).()()(),(
)(
下界的一个上界称为数的数集下界为有上界则称
都有使得对一切若存在数中的一个数集是设
SLM，SLx
MxS，x，LM，RS
?
??
{ },有下界而无上界为正整数数集例如 nnN ??
?定义 2
说明,
S
xx
1x2 x3 x4x5 xn
,)( xa <?ii
a
,,00 a>?? xSx 使得
x0
，S的最小上界又是即 x;.,)( 的上界是即有
满足若数中的一个数集是设
SxSxi
，RS
xx
x
???
.supS，S ?xx 记作的上确界为数集则称数
同理可得下确界的定义,?定义 3:;.,)( 的下界是即有
满足若数中的一个数集是设
SxSxi
，RS
hh
h
???
.inf
,,,)( 00
S，S
，SxSxii
?
<??>?
hh
hbhb
记作的下确界为数集则称数
的最大下界又是即使得
? 确界原理
设 S为非空数集,若 S有上界,则 S必有上确界 ;若 S有下界,
则 S必有下确界,
例 3 设 A,B为非空数集,满足,,,yxByAx ????? 有
证明数集 A有上确界,数集 B有下确界,且,in fs u p BA ?
证,
故有确界原理知,数集 A有上确界,数集 B有下确界,
是数集 A的一个上界,而由上确界的定义知,By ?? y
由假设,数集 B中任一数 都是数集 A的上界,y
A中任一数 都是 B的下界,x
y.s up A ?是数集 A的最小上界,故有supA
下确界都存在的上因此,S
设 A,B为非空有限数集,,证明,BAS ??
而此式又表明数 是数集 B的一个下界,supA
故由下确界的定义证得,in fs u p BA ?
例 4
证, 显然是非空有界数集由于 BAS ??
BxAxBxAxSxi s u ps u p,)( ??????? 或或有
{ },s u p,s u pm a x BAx ?从而有
{ } ;s u p,s u pm a xs u p)( BASi ?
{ }.in f,in fm inin f)( BASii ?
supS { };s u p,s u pm a x BA?故得
,s u ps u ps u p,SASxSxAx,???????另一方面
.s u ps u p SB ?同理又有
综上,即证得 { }.s u p,s u pm a xs u p BAS ?
(ii) 可类似证明,
supS { }.s u p,s u pm a x BA?所以
3.小结
P9,1,2,3,4,5.
(1),两个实数的大小关系 ;
:作业
(2),实数的性质 ;
(3),区间和邻域的概念 ;
(4),确界原理,
§ 3 函数概念
说明,
记号 f和 f(x)的区别, 前者表示自变量 x和因变量 y之间的对
应法则,而后者表示与自变量 x对应的函数值,
说明
为了叙述方便,常用记号, f(x),x?D”或, y?f(x),x?D”来
表示定义在 D上的函数,这时应理解为由它所确定的函数 f.
说明
函数的记号是可以任意选取的,除了用 f 外,还可用,g”
、,F”、,?”等,此时函数就记作 y?g(x),y?F(x),y??(x)
等,
但在同一问题中,不同的函数应选用不同的记号,
设数集 D?R,则称映射 f, D ?R为定义在 D上的函数,
通常简记为
y?f(x),x?D,
其中 x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作 Df,
即 Df?D.
1.函数概念
?定义
构成函数的要素是定义域 Df及对应法则 f.
如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么
这两个函数就是相同的,否则就是不同的,
?函数的两要素
函数的定义域通常按以下两种情形来确定,
对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际
意义确定,
?函数的定义域
对抽象地用算式表达的函数,其定义域是使得算式
有意义的一切实数组成的集合,这种定义域称为函数的
自然定义域,
表示函数的主要方法有三种, 表格法, 图形法, 解
析法 (公式法 ).
用图形法表示函数是基于函数图形的概念,坐标平
面上的点集
{P(x,y)|y?f(x),x?D}
称为函数 y?f(x),x?D的图形,
?函数的表示法
?单值函数与多值函数
在函数的定义中,对每个 x?D,对应的函数值 y总是唯
一的,这样定义的函数称为单值函数,
如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个 x?D,总
有确定的 y值与之对应,但这个 y不总是唯一的,我们称这
种法则确定了一个多值函数,
例如,由方程 x2?y2?r2确定的函数是一个多值函数,
此多值函数附加条件,y?0”后可得到一个单值分支
221 )( xrxyy -??,
22 xry -??,
此函数称为绝对值函数,
其定义域为 D?(-?,+?),
其值域为 Rf ?[0,+ ?).
例 6, 函数 ??? <- ??? 0 0 || xx xxxy,
例 6
例 5 函数 y?2.
这是一个常值函数,
其定义域为 D?(-?,??),
其值域为 Rf ?{2}.
?函数举例
此函数称为符号函数,
其 定义域为 D?(-?,+?),
其值域为 Rf ?{-1,0,1}.
例 8 函数 y?[x].
例 7 例 7, 函数
??
?
?
?
<-
?
>
??
01
00
0 1
s g n
x
x
x
xy
,
注, 设 x为任上实数,不超过 x的最大整数称为 x的整数部
分,记作 [x],
此函数 称为取整函数,
其定义域为 D?(-?,+?),
其值域为 Rf ?Z.
例 6, 函数
??
?
>?
???
11
10 2
xx
xxy
,
例 9
此函数 的 定义域为 D?[0,1]?(0,??)?[0,??).
当 0 ? x ? 1 时,xy 2? ? 当 x >1 时,y ? 1 ? x,
例 如 2212)21( ??f ?
2 1 2)1( ??f ? f(3)?1?3?4.
例 如 2212)21( ??f ?
2 1 2)1( ?f ?
?分段函数
在自变量的不同变化范围中,对
应法则用不同式子来表示的函数称
为分段函数,
当 0 ? x ? 1 时,xy 2? ? 当 x >1 时,y ? 1 ? x,
2.反函数
设函数 f, D?f(D)是单射,则它存在逆映射
f -1,f(D)?D,
称此映射 f -1为函数 f 的反函数,
按习惯,y?f(x),x?D的反函数记成 y?f -1(x),x?f(D).
例如,函数 y?x3,x?R是单射,所以它的反函数存在,
其反函数为
3
1
xy ?,x ? R,
3
1
yx ?,y ? R, 函数 y?x
3,x?R的反函数是
提问, 下列结论是否正确？
2.反函数
?反函数
设函数 f, D?f(D)是单射,则它存在逆映射
f -1,f(D)?D,
称此映射 f -1为函数 f 的反函数,
按习惯,y?f(x),x?D的反函数记成 y?f -1(x),x?f(D).
若 f 是定义在 D上的单调函数,则 f, D?f(D)是单射,
于是 f 的反函数 f -1必定存在,而且容易证明 f -1也是 f(D)上
的单调函数,
相对于反函数 y?f -1(x)来说,
原来的函数 y?f(x)称为直接函数,
函数 y?f(x)和 y?f -1(x)的图形
关于直线 y?x 是对称的,
?反函数
设函数 f, D?f(D)是单射,则它存在逆映射
f -1,f(D)?D,
称此映射 f -1为函数 f 的反函数,
按习惯,y?f(x),x?D的反函数记成 y?f -1(x),x?f(D).
3.复合函数
设函数 y?f(u)的定义域为 D1,函数 u?g(x)在 D上有定义
且 g(D)?D1,则由
y?f[g(x)],x?D
确定的函数称为由函数 u?g(x)和函数 y?f(u)构成的复合函
数,它的定义域为 D,变量 u称为中间变量,
函数 g与函数 f 构成的复合函数通常记为 f o g,即
(f o g)(x)?f[g(x)].
说明, g与 f 构成的复合函数 f o g的条件是, 是函数 g在 D上
的值域 g(D)必须含在 f 的定义域 Df 内,即 g(D)?Df, 否则,
不能构成复合函数, 例如 >>>
4.函数的运算
设函数 f(x),g(x)的定义域依次为 D1,D2,D?D1?D2??,
则可以定义这两个函数的下列运算,
和 (差 ) f ?g, (f ?g)(x)?f(x)?g(x),x?D;
积 f ?g, (f ?g)(x)?f(x)?g(x),x?D;
商 gf, )( )())(( xg xfxgf ?,x ? D \ { x | g ( x ) ? 0 },
例 10 设函数 f(x)的定义域为 (-l,l),证明必存在 (-l,l)
上的偶函数 g(x)及奇函数 h(x),使得 f(x)?g(x)?h(x).
提示, 如果 f(x)?g(x)?h(x),则 f(-x)?g(x)-h(x),于是
)]()([21)( xfxfxg -??,)]()([21)( xfxfxh --?,
证 作 )]()([21)( xfxfxg -??,)]()([21)( xfxfxh --?,
证
则 f(x)?g(x)?h(x),且
)()]()([21)( xgxfxfxg ??-?-,
)()]()([21)]()([21)( xhxfxfxfxfxh -?---?--?-,
)()]()[21)( xgxfxfxg ??-?-,)()]()([21)( xgxfxfxg ??-?-,
)()]()([21)]()([21)( xhxfxfxfxfxh -?---?--?-, )()]()([21)]()([21)( xhxfxfxffxh -?---?--?-, )()]()([21)]()([21)( xhxfxffxfxh -?--?-?,
幂函数, y?x ? (??R是常数 );
指数函数, y?a x(a>0且 a?1);
对数函数, y?loga x (a>0且 a?1),
特别当 a?e时,记为 y?ln x;
三角函数, y?sin x,y?cos x,
y?tan x,y?cot x,
y?sec x,y?csc x;
反三角函数, y?arcsin x,y?arccos x,
y?arctan x,y?arccot x, >>>
?基本初等函数
(一 )幂函数的图形
同一坐标系中 幂函数的图象
)( 是常数?? ?xy
o x
y
)1,1(
1
1
2xy?
xy?
xy
1?
xy ?
(二 )指数函数的图形
同一坐标系中指数函数的图象
)1,0( ?>? aaay x
xay ?
x
ay )
1(?
)1( >a
)1,0(?
(三 )对数函数的图形
同一坐标系中对数函数的图象
)1,0(l o g ?>? aaxy a
xy alo g?
xy
a
1lo g?
)1( >a)0,1(?
正弦函数 的图象
xy sin?
xy sin?
(四 )三角函数的图形
xy cos?
xy co s?余弦函数 的图象
(五 )反三角函数的图象
设函数 y?f(u)的定义域为 D1,函数 u?g(x)在 D上有定义
且 g(D)?D1,则由
y?f[g(x)],x?D
确定的函数称为由函数 u?g(x)和函数 y?f(u)构成的复合函
数,它的定义域为 D,变量 u称为中间变量,
函数 g与函数 f 构成的复合函数通常记为 f o g,即
(f o g)(x)?f[g(x)].
说明, g与 f 构成的复合函数 f o g的条件是, 是函数 g在 D上
的值域 g(D)必须含在 f 的定义域 Df 内,即 g(D)?Df, 否则,
不能构成复合函数, 例如 >>>
?复合函数
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有
限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,
称为初等函数,
都是初等函数,
例如,函数
21 xy -?,xy 2s i n?,2c o t xy ?
?初等函数
?双曲函数
应用上常遇到的双曲函数是,
双曲正弦,
2s h
xx eex --?
双曲余弦,
2c h
xx eex -??
双曲正切,
xx
xx
ee
ee
x
xx
-
-
?
-??
ch
shth
?双曲函数与反双曲函数
?双曲函数与反双曲函数
?双曲函数的性质
比较 sin(x?y)?sin x cos y?cos x sin y,
sh(x?y)?sh x ch y?ch x sh y,
ch2 x- sh2 x?1,
ch(x?y)?ch x ch y?sh x sh y,
sh 2x?2sh x ch x,
ch 2x?ch2x+sh2x,
比较 cos(x?y)?cos x cos y sin x sin y,?
?双曲函数与反双曲函数
?反双曲函数
双曲函数 y?sh x,y?ch x,y?th x的反函数依次记为
反双曲正弦, y=arsh x,
反双曲余弦, y=arch x,
反双曲正切, y=arth x.
可以证明
)1l n (a r s h 2 ???? xxxy,
)1l n (a r c h 2 -??? xxxy,
x
xxy
-
???
1
1ln
2
1a r th,
6.小结
P9,1,2,4,5,7,8,
(1),基本初等函数的概念 ;
:作业
(2),基本初等函数的图象及性质 ;
(3),复合函数的概念及性质 ;
(4),双曲函数的概念 ;
(5),初等函数的概念,
(1) 符号函数
?
?
?
?
?
<-
?
>
??
01
00
01
s g n
x
x
x
xy
当
当
当
1
-1
x
y
o
xxx ?? s g n
?几个特殊函数举例
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 的最大整数
1 2 3 4 5
-2
-4
-4 -3 -2 -1
4
3
2
1 -1
-3
x
y
o
阶梯曲线
x
??
???
是无理数时当
是有理数时当
x
xxDy
0
1)(
有理数点无理数点
?
1
x
y
o
(3) 狄利克雷函数
(4) 取最值函数
)}(),(m a x { xgxfy ? )}(),(m i n{ xgxfy ?y
xo
)(xf
)(xg
y
xo
)(xf
)(xg
??
?
?-
>-?
0,1
0,12)(,
2 xx
xxxf例如
12 -? xy12 -? xy
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为 分段函数,
§ 4 具有某些特性的函数
1,单调 函数
单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数,
x
y
o
f (x)单调递增
x
y
o
f (x)单调递减
设 f (x)在 (a,b)有定义, 若 ?x1,x2?(a,b),
x1< x2,有 f (x1)?f (x2) (f (x1)?f (x2)),则称 f
(x)在 (a,b)上单调递增 (单调递减 ).
区间 (a,b)称为 f (x)的单调区间,
如,y = x2,图
y=x2
0 x
y
在 (-?,0]上单调递减,而在 [0,+?)上单调递增,
2,奇偶函数,
(1) 若 ?x?D(f ),有 f (–x)= f (x),则称 f (x)为偶函
数, 其图形关于 y 轴对称,
(2) 若 ?x?D(f ),有 f (–x)= –f (x),则称 f (x)为奇
函数, 其图形关于 原点对称,
设 f (x)的定义域为 D(f ),满足 ?x?D(f ),
有 –x?D(f ),
易见,常函数 y=c是偶函数,
狄利克莱函数 D(x)也是偶函数,
因为若 x为有理数,则 –x也是有理数,从而
若 x为无理数,则 –x也是无理数,从而
综合起来,总有 D(x)= D(–x),因此,D(x)是一
个偶函数,
D(x)= D(– x)=1
D(x)= D(– x)=0
3,周期函数,
设 f (x)的定义域为 D(f ),若存在常数
T?0,使 ?x?D(f ),有 x?T?D(f ),且 f
(x?T)=f (x).则称 f (x)为周期函数, T为
f (x)的周期,
由于周期函数的函数值是呈周期变化, 因此,
周期函数的图形也是呈周期性变化, 会周而复始
的重复出现, 如 y=sinx,y=cosx,
易见,若 T为 f (x)的周期,则 nT均为 f (x)的周
期,n=1,2,…,通常称最小正周期为 f (x)的周期,
画周期函数图形可以先在一周期内画好,
然后向数轴两端平移,
如 y=sinx,2n?都是 sinx的周期,其中 n=1,2,…,
它的最小正周期为 2?.
2
2c o s1s i n,2 xxy -??又如 是周期函数,
它的周期为 n?,n=1,2,… 最小正周期为 ?.
有些周期函数没有最小正周期,
如常数函数 y=f (x)=c (常数 ),是一个周期函数,
任何一个大于 0的常数 T都是它的一个周期,
这是因为 f (x)= c= f (x+T)
在这无穷多个大于 0的周期 T中,找不到一个
最小的正周期 T.
又如,狄利克莱函数 D(x)也是周期函数, 任何
一个大于 0的有理数 T都是 D(x)的周期,
因为 (i) 若 x为有理数,则 x+T也是有理数,
从而 D(x) = 1 = D(x+T )
(ii) 若 x为无理数,则 x+T也是无理数,
从而 D(x) = 0 = D(x+T )
所以,总有 D(x) = D(x+T ),即 T是 D(x)的周期,
但是在这无穷多个大于 0的有理数 T中,找不
到一个最小的 T.
4,有界函数
定义 4.
几何意义：由于 | f (x)|
?M ?-M? f (x) ?M.因此,f
(x)在 (a,b)内有界, 就表示了
f (x)的图形夹在两平行直线
y = ?M 之间,
x
y
o a
b
-M
M
设 f (x)在 (a,b)有定义,若存在常数 M>0,使
?x?(a,b),有 | f (x) |?M.则称 f (x)在 (a,b)内
有界,否则,称 f (x)在 (a,b)内无界,
若 ?M1,使 ?x?(a,b),
有 f (x)? M1,则称 f (x)在
(a,b)内有上界, M1称为
它的一个上界,看图,
若 ?M2,使 ?x?(a,b),
有 M2 ? f (x),则称 f (x)
在 (a,b)内有下界, M2称
为它的一个下界,看图,
x
y
o a b
M2
x
y
o a
b
M1
f (x)在 (a,b)有界 ? f (x)在 (a,b)既有上界,又有下界,
易见,若 f (x)在 (a,b)有上界 M1,则它在 (a,b)有
无穷多个上界,
若 f (x)在 (a,b)有下界 M2,则它在 (a,b)有
无穷多个下界, 比如 M2 –1,M2 –2,… 都
是它的下界,
比如 M1 +1,M1 +2,… 都是它的上界,
可以证明,在这无穷多个上界中必有一个最
小的上界 M,称为 f (x)在 (a,b)的上确界,记作
)(s u p
),(
xfM
bax ?
?
在这无穷多个下界中必有一个最大的下界 m,
称为 f (x)在 (a,b)的下确界,记作
)(in f ),( xfm bax ??
比如 y=sinx,由于 |sinx|?1,所以,1和 -1分别
是 sinx的上界和下界,
若 f (x)在 (a,b)内不满足有界性定义 4,则称
f (x)在 (a,b)无界,
且可看出 1是 sinx的上确
界, 而 -1是 sinx的下确界,
即,若对 ?M > 0,?x0?(a,b),
使得 | f (x0)|> M,则称 f (x)在 (a,b)无界,
xy
1?比如,,在 (0,1)内无界,
xy
1?
从几何上看,
它的图形不能全部夹在任何两条平等于 x 轴
的直线之间,
y
0
1
1 x
2.反函数
设函数 f, D?f(D)是单射,则它存在逆映射
f -1,f(D)?D,
称此映射 f -1为函数 f 的反函数,
按习惯,y?f(x),x?D的反函数记成 y?f -1(x),x?f(D).
例如,函数 y?x3,x?R是单射,所以它的反函数存在,
其反函数为
3
1
xy ?,x ? R,
3
1
yx ?,y ? R, 函数 y?x
3,x?R的反函数是
提问, 下列结论是否正确？
2.反函数
?反函数
设函数 f, D?f(D)是单射,则它存在逆映射
f -1,f(D)?D,
称此映射 f -1为函数 f 的反函数,
按习惯,y?f(x),x?D的反函数记成 y?f -1(x),x?f(D).
若 f 是定义在 D上的单调函数,则 f, D?f(D)是单射,
于是 f 的反函数 f -1必定存在,而且容易证明 f -1也是 f(D)上
的单调函数,
三、反函数
0x
0y
0x
0y
x
y
D
W
)( xfy ?函数
o x
y
D
W
)( yx ??反函数
o
相对于反函数 y?f -1(x)来说,
原来的函数 y?f(x)称为直接函数,
函数 y?f(x)和 y?f -1(x)的图形
关于直线 y?x 是对称的,
?反函数
设函数 f, D?f(D)是单射,则它存在逆映射
f -1,f(D)?D,
称此映射 f -1为函数 f 的反函数,
按习惯,y?f(x),x?D的反函数记成 y?f -1(x),x?f(D).
5.小结
(1),有界函数 ;
(2),单调函数 ;
(3),奇,偶函数 ;
(4),周期函数 ;
(5),各类特殊函数图象的特点,
函数的分类,
函
数
初
等
函
数
非初等函数 (分段函数,有无穷多项等函数 )
代
数
函
数
超越函数 (指数、对数、三角、反三角 )
有
理
函
数
无理函数
有理整函数 (多项式函数 )
有理分函数 (分式函数 )
? P20,1,2,3,4,5,6,
? P21,1,2,3,8,9,10,
12,13,14,15,16,
:作业
