第二十二章 曲面积分
§ 1 第一型曲面积分
§ 2 第二型曲面积分
§ 3 高斯 (Gauss)公式
第二十二章 曲面积分
§ 1 第一型曲面积分
一、概念的引入
若曲面 ? 是光滑的,它的面密度为连
续函数 ),,( zyx?,求它的质量,
实例
所谓曲面光滑
即曲面上各点处都
有切平面,且当点在
曲面上连续移动时,
切平面也连续转动,
一、概念的引入 若曲面 ? 是光滑的,它的面密度为连续函数
),,( zyx?,求它的质量, 实例
分割
取近似
求和,),,(1?? ???
n
i
iiii SM ????
取极限,),,(lim 10 ??? ???
n
i
iiii SM ?????
把 ? 分成 n 小块 iS? （ iS? 也
表示第 i 小块曲面 的面积）, ?? ),,( iii ??? iS?
iiiii SM ???? ),,( ????
二、对面积的曲面积分的定义
设曲面 ? 是光滑的,函数 ),,( zyxf 在 ? 上有界, 把 ?
分成 n 小块 iS? （ iS? 同时也表示第 i 小块曲面的面
积）,设点 ),,(
iii
??? 为
i
S? 上任意取定的点,作乘积
?),,(
iii
f ???
i
S?,并作和 ?
?
?
n
i
iiif
1
),,( ???
i
S?,若当各小块曲面直径的最大值 0?? 时,和式的极
限存在,则称此极限为函数 ),,( zyxf 在曲面 ? 上 对
面积的曲面积分 或 第一类曲面积分, 记为
1.定义
??
?
dSzyxf ),,(,
即 ??
?
dSzyxf ),,( iii
n
i
i Sf ?? ?
??
),,(lim
10
???
?
被积函数
积分曲面
2.对面积的曲面积分的 性质
则及可分为分片光滑的曲面若,)3( 21 ???; ),,( ),,( )1( ????
??
? dSzyxfkdSzyxkf
??
?
? dSzyxgzyxf )],,(),,([ )2(; ),,( ),,( ????
??
?? dSzyxgdSzyxf
,),,( ),,( ),,(
21
??????
???
?? dSzyxgdSzyxfdSzyxf
特别, 的面积。 ????
?
dS 时，当 1),,( ?zyxf
三、计算法
);,(:.1 yxzz ??若曲面
,)( ),(),(1 22 xyiiiyiixi zzS ????? ?????
xyi )( ??
),( ii ??
iS?
x
y
z ),(, yxzz ??
o
),,( iii ???
则 ??
?
dSzyxf ),,( iii
n
i
i Sf ?? ?
??
),,(lim
10
???
?
?
??
????
n
i
xyiiiyiixiiii zzzf
1
22
0
)( ),(),(1)],(,,[lim ?????????
?;1)],(,,[ 22 d x d yzzyxzyxf
xyD
yx?? ?????
));,(,,( ),,( ),(,yxzyxfzyxf yxzz ??; ),(),(1 22 dxdyyxzyxzdS yx ???
,xyDx o y 面投影，得向将曲面 ?;1)],(,,[ ),,( 22 d x d yzzyxzyxfdSzyxf
xyD
yx???? ?????
?
);,(:.1 yxzz ??若曲面 则
三代：
二换：
一投：;1]),,(,[ 22 d x d zyyzzxyxf
xzD
zx?? ???????
?
dSzyxf ),,(
);),,(,( ),,( ),(,zzxyxfzyxf zxyy ??; ),(),(1 22 d x d zzxyzxydS zx ???
,xzDxoz 面投影，得向将曲面 ?
则
三代：
二换：
一投：
),(.2 zxyy ??,若曲面
.1],),,([ 22 d y d zxxzyzyxf
yzD
zy?? ???????
?
dSzyxf ),,(
),(.3 zyxx ??,若曲面 则
三代,);,),,((
),,( ),(,zyzyxfzyxf zyxx ??
二换,; ),(),(1 22 d y d zzyxzyxdS zy ???
一投,,yzDy o z 面投影，得向将曲面 ?;1)],(,,[ ),,( 22 d x d yzzyxzyxfdSzyxf
xyD
yx???? ?????
?
);,(:.1 yxzz ??若曲面 则;1]),,(,[ 22 d x d zyyzzxyxf
xzD
zx?? ???????
?
dSzyxf ),,(
),,(:.2 zxyy ??若曲面 则
.1],),,([ 22 d y d zxxzyzyxf
yzD
zy?? ???????
?
dSzyxf ),,(
),(.3 zyxx ??,若曲面 则
注意,这里曲面方程均是 单值函数 。
例 1 计算 dSx y z??
?
,
其中 ? 为平面 1,0,0 ????? zyxyx 所围成
的四面体的整个边界曲面,
解
x
y
z
o
1
1
1
??????????
?????
????
4321
? 在平面 1,0,0 ????? zyxyx
上的部分依次记为 4321,,,????,
由于在 4321,,,???? 上,
被积函数,0),,( ?? x y zzyxf
.0
321
??? ??????
???
x yz d S所以
d x d yzzdS yx 221 ?????
,3)1()1(1 22 d x d yd x d y ??????
dSx y z??
?
?
4
原式
d x d yyxxy
xyD
)1(3 ??? ??
?
其中 1|),{( ???? yxyxD xy,}0,0 ?? yx
,14 yxz ???? 上，在
?? ? ??? x dyyxx d x 1010 )1(3
dxxx
31
0 6
)1(3 ?? ?
.1 2 03?
??
?
? x yz d S
例 2
解
计算 ??
?
z
dS,其中
? 是球面 2222 azyx ???
被平面 )0( ahhz ??? 截出的顶部,
h
x
y
z
o
a a
a
面投影，得向将曲面 xoy?
., 222 yxaz ????
., 2222 hayxD xy ???
,222
yxa
xz
x ??
??
.222
yxa
yz
y ??
??
d x d yyxzyxzdS yx ),(),(1 22 ???
,222
yxa
xz
x ??
??,
222 yxa
yz
y ??
??
.222 d x d y
yxa
a
??
?
???
? z
dS d x d y
yxa
a
yxaxyD 222222
1
??
?
????
d x d y
yxa
a
xyD
1 222??
??
?
h
x
y
z
o
a a
a
?
?
?
???
??
.0
,20
,22
har
D xy
??
???
? z
dS d x d y
yxa
a
xyD
1 222??
??
h
x
y
z
o
a a
a
?
?
?
???
??
.0
,20
,22
har
D xy
??
??
?
?
?
.s in
,c o s
?
?
ry
rx drr
rada
ha 1 22
0 22
2
0 ??? ??
?? ?
.ln2 haa ??
)( 1 )2 1( 220 2220 22 radrada ha ????? ?? ?? ?
? ?? ???? ? ?20 0 22 22)l n (2 draa ha?? ? ?20 ln22 dhaa
计算 ??
?
?? dSzyx )(
222
,其中
(1) ?,
2222
azyx ??? 在第一卦限部分,
(2) ?,
2222
azyx ??? 在第一卦限和
第八卦限部分,
例 3
解
x
y
z
oa a
a
面投影，得向将曲面 xoy?
., )1( 222 yxaz ????
.0,0,,222 ???? yxayxD xy
,222
yxa
xz
x ??
??,
2yxa
yz
y ?
??
d x d yyxzyxzdS yx ),(),(1 22 ???
,222
yxa
xz
x ??
??,
2yxa
yz
y ?
??
.222 d x d y
yxa
a
??
?
dSzyx )( 222??
?
??
d x d y
yxa
ayxayx
xyD
222
222222 ))((
??
?????? ??
d x d y
yxa
a
xyD
1 2223 ??
??
?
dSzyx )( 222??
?
??
??
?
?
?
??
??
.0
,20
:
ar
D xy
??
d x d y
yxa
a
xyD
1 2223 ??
??
?
所以,dSzyx )(
222??
?
??
drr
ra
da a 10 22203 ?
?
? ?? ? ?.2 4 a??
??
?
?
?
.s in
,c o s
?
?
ry
rxx
y
z
oa a
a
(2) ?, 2222 azyx ??? 在第一卦限和 第八卦限部分,
面投影，得向将曲面 y o z?
., 222 zyax ????
.0,,222 ??? yazyD yz
,222
zya
yx
y ??
??
.222
zya
zx
z ??
??
x
y
z
oa a
a
d y d zyxxyxxdS zy ),(),(1 22 ???,222 d y d zzya
a
??
?
dSzyx )( 222??
?
??
d y d z
zya
azyzya
yzD
222
222222 ))((
??
?????? ??
d y d z
zya
a
yzD
1 2223 ??
??
?
d y d zyxxyxxdS zy ),(),(1 22 ???,222 d y d zzya
a
??
?
x
y
z
oa a
a
??
?
?
?
??
???
.0
,22
:
ar
D yz
???
x
y
z
oa a
a
??
?
?
?
??
???
.0
,22
:
ar
D yz
???
??
?
?
?
.s in
,c o s
?
?
rz
ry
dSzyx )( 222??
?
??
d y d z
zya
a
yzD
1 2223 ??
??
?
drr
ra
da a 1 0 222 23 ?
?
? ???? ? ?.4 a??
例 4
解
计算 dSx y z ??
?
,其中 ? 是 由 平面,0?x,0?y
,0?z 及 1??? zyx 所 围成 的 四面体 的 整个 边
界 曲面,
.4321 ?????????
x
y
z
o
1
1
1 1?
2?
3? 4?
.0:1 ?? x,0),,( ?? x y zzyxf
.0:2 ?? y,0),,( ?? x y zzyxf
dSx y zdSx y z
dSx y zdSx y zdSx y z
43
21
????
??????
??
???
??
???
.0:1 ?? x
dSx y zdSx y z
dSx y zdSx y zdSx y z
43
21
????
??????
??
???
??
???
,0),,( ?? x y zzyxf
.0:2 ?? y,0),,( ?? x y zzyxf
.0:3 ?? z,0),,( ?? x y zzyxf
dSx y zdSx y zdSx y zdSx y zdSx y z
4321
??????????
?????
????
dSx y z
4
??
?
?
3?
1?
2?
x
y
z
o
1
1
1
4?
.1:4 yxz ????
dSx y zdSx y zdSx y zdSx y zdSx y z
4321
??????????
?????
????
dSx y z
4
??
?
?
面投影，得向将曲面 4 xoy?
??
?
???
??
.10
,10,
xy
xD
xy
,1??xz,1??yz
d x d yyxzyxzdS yx ),(),(1 22 ???, 3 dxdy?
3?
1?
2?
x
y
z
o
1
1
1
4?
dSx y zdSx y z
4
????
??
?
d x d yyxxy
XYD
3)1(?? ????
dyyxxydx x )1( 3 1010 ?? ? ???
.1203?
,1??xz,1??yz
d x d yyxzyxzdS yx ),(),(1 22 ???, 3 dxdy?
3?
1?
2?
x
y
z
o
1
1
1
4?
计算 ??
?
?? dszyx )(,其中 ? 为平面
5?? zy 被柱面 2522 ?? yx 所截得的部分,
例 5
积分曲面
?, yz ?? 5,
解
投影域,
}25|),{( 22 ??? yxyxD xy
??
?
?? dszyx )(故
?? ????
xyD
dxdyyyx )5(2 ?? ??
xyD
dxdyx )5(2
r d rrd ?? ???? ? 5020 )c o s5(2,2125 ??
d x d yzzdS yx 221 ?????
d x d y2)1(01 ????,2 d x d y?
例 6 计算 dSx yz??
?
||,
其中 ? 为抛物面 22 yxz ?? （ 10 ?? z ）,
解 依对称性知：
被积函数 || x yz 关于
xoz, y o z 坐标面对称
轴对称，关于
抛物面
z
yxz 22 ??
有 ????
??
?
1
4 成立,( 1? 为第一卦限部分曲面 )
x y
z
d x d yzzdS yx 221 ?????
d x d yyx 22 )2()2(1 ???
原式 dSx yz??
?
? || dSx y z??
?
?
1
4
d x d yyxyxxy
xyD
2222 )2()2(1)(4 ???? ??
?
其中 1|),{( 22 ???? yxyxD xy,}0,0 ?? yx
利用极坐标 trx c o s?,try s i n?,
r d rrrttrdt ?? ??? 10 22220 41s i nc o s4
?
drrrt d t 210 50 412s i n2 2 ?? ?? ? 令 241 ru ??
duuu 25
1
)4 1(41 ?? ?,420 15125 ??
计算 ??
?
x d S,其中 ? 是圆柱面 122 ?? yx,
平面 2?? xz 及 0?z 所围成的空间立体的表面,
例 7
解 ????????
????
???
321
其中 1?, 0?z,2?, 2?? xz,
3?, 122 ?? yx,投影域 1D, 122 ?? yx
显然 0
11
?? ????
? D
x d x d yxdS,
,011
12
??? ????
? D
dxdyxxdS
讨论 3? 时,将投影域选在 x o z 上,（ 注意,21 xy ??? 分为左、右两片 ）
??
? 3
x d S ??
?
?
31
xdS ??
?
?
32
xdS
（左右两片投影相同）
?? ?????
xzD
zx dxdzyyx
2212
xoz
??
?
??
xzD
dxdz
x
xx
2
2
1
12
? ?? ??? 1 1 20212 x dzdxxx
,??
??
?
? xdS ?????? 00,
计算 dSzyx )( 222 ????
?
,其中 ? 为内接于球面
2222 azyx ??? 的八面体 azyx ??? |||||| 表面,
例 8
被积函数 ?),,( zyxf 222 zyx ??,解
关于坐标面、原点均对称,
积分曲面 ? 也具有对称性,
故原积分 ????
??
?
1
8,
( 其中 1? 表示第一卦限部分曲面 )
1?, azyx ???,即 yxaz ???
d x d yzzdS yx 221 ??? d x d y3?
dSzyx )( 222 ????
? ???
???
1
)(8 222 dSzyx
dxdyyxayx
xyD
?? ????? 3])([8 222
.32 4a?
四、小结
2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上
的二重积分计算,
1、对面积的曲面积分的概念 ;??
?
dSzyxf ),,( iii
n
i
i Sf ?? ?
??
),,(lim
10
???
?
（按照曲面的不同情况分为三种）
作业,P282,1 (1)~(4),2,3.
思考题
在对面积的曲面积分化为二重积分
的公式中,有因子,试说明
这个因子的几何意义,
221 yx zz ??
思考题解答
是曲面元的面积,dS 221
1),c o s (
yx zz
zn
??
?
221 yx zz ??故 是曲面法线与 轴夹角的余弦
的倒数,
z
一,填空题,
1, 已知曲面 ? 的面 a积为,则 ?
??
?
ds10 ___ _ ___ ；
2,
??
?
dszyxf ),,( =
??
yz
D
zyzyxf ),),,(( ___ _ ___ _
d y d z；
3, 设 ? 为球面
2222
azyx ??? 在
x o y
平面的上方部
分,则 ???
??
?
dszyx )(
222
___ ___ ___ ___ ；
4, ?
??
?
z d s3 _____,其中 ? 为抛物面 )(2
22
yxz ???
在
x o y
面上方的部分；
5, ??
??
?
dsyx )(
22
___ __ _,其中
?
为锥面
22
yxz ??
及平面 1?z 所围成的区域的整个边界曲面,
练 习 题
二、计算下列对面积的曲面积分,
1,
??
?
??? dszxxxy )22(
2
,其中 ? 为平面
622 ??? zyx 在第一卦限中的部分；
2,
??
?
?? dszxyzxy )(,其中 ? 为锥面
22
yxz ?? 被
柱面 axyx 2
22
?? 所截得的有限部分,
三、求抛物面壳
)10)((
2
1
22
???? zyxz
的质量,此壳
的面密度的大小为 z??,
四、求抛物面壳
)10()(
2
1
22
???? zyxz
的质量，此
壳的面密度的大小为,z??
练习题答案
一,1, a10 ； 2,
22
)()(1
z
x
y
x
?
?
?
?
?
? ；
3,
4
2 a? ； 4, ?
10
1 1 1；
5, ?
2
21 ?
.
二,1,
4
27
? ； 2,
4
2
15
64
a,
三、
6
?
.
四,)136(
15
2
?
?
.
第二十二章 曲面积分
§ 2第二型曲面积分
一、基本概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的 )
曲面分 上 侧和 下 侧 曲面分 内 侧和 外 侧
n?
曲面的分类, 1.双侧曲面 ; 2.单侧曲面,
典
型
双
侧
曲
面
莫比乌斯带典型 单侧曲面,
播放
曲面法 向量的指向 决定曲面的 侧,
决定了侧的曲面称为 有向曲面,
曲面的投影问题,
面在 xoyS?,
在有向曲面 Σ 上取一小块
.
0c o s0
0c o s)(
0c o s)(
)(
?
?
?
?
?
?
???
??
??
时当
时当
时当
?
??
??
xy
xy
xyS
.)( 表示投影区域的面积其中 xy??
为上的投影 xyS )( ?曲面 S?
二、概念的引入
实例, 流向曲面一侧的流量,
(1) 流速场为常向量 v?,有向平面区域 A,求单位
时间流过 A 的流体的质量 ? ( 假定密度为 1),
A
v?
0n?
?
AvnvA
vA
????
?
????
??
0
c o s ?
流量
(2) 设稳定流动的不可压缩流体 ( 假定密度为 1)
的速度场由
kzyxRjzyxQizyxPzyxv
???
?
),,(),,(),,(),,( ???
给出,Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
都在 Σ 上连续,求在单位
时间内流向 Σ 指定侧的流
体的质量 ?,
x
y
z
o
?
x
y
z
o
? ?
iS? ),,( iii ???
iv
?
in?
把曲面 Σ 分成 n 小块
i
s? (
i
s? 同时也代表
第 i 小块曲面的面积 ),
在 is? 上任取一点
),,(
iii
???,
1,分割
则该点流速为,iv?
法向量为,in?
该点处曲面 Σ 的单位法向量
kjin iiii ???? ??? c o sc o sc o s0 ???,
通过 is? 流向指定侧的流量的近似值为
).,,2,1( niSnv iii ????
,),,(),,(),,(
),,(
kRjQiP
vv
iiiiiiiii
iiii ???
?
?????????
???
???
?
2,求和 通过 Σ 流向指定侧的流量 ?
?
????
n
i
iii Snv
1
iiiii
iiii
n
i
iiii
SR
QP
??
?? ?
?
]c o s),,(
c o s),,(c o s),,([
1
????
????????
xyiiii
xziiiiyz
n
i
iiii
SR
SQSP
))(,,(
))(,,())(,,([
1
??
???? ?
?
???
??????
3.取极限 0??,的精确值取极限得到流量 ?
定义 设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有
界,把Σ分成 n 块小曲面
i
S? (
i
S? 同时又表示第
i 块小曲面的面积 ),
i
S? 在 x o y 面上的投影为
xyi
S )( ?,),,(
iii
??? 是
i
S? 上任意取定的一点,如
果当各小块曲面的直径的最大值 0?? 时,
?
?
?
?
n
i
xyiiii
SR
1
0
))(,,(lim ???
?
存在,
则称此极限为函数 ),,( zyxR 在有向曲面 Σ 上 对
坐标 yx,的曲面积分 ( 也称 第二类曲面积分 )
三、概念及性质
记作 ??
?
dxdyzyxR ),,(,即
???
???
??
n
i
xyiiii SRd x d yzyxR
10
))(,,(lim),,( ???
?
被积函数积分曲面
类似可定义 ???
???
??
n
i
yziiii SPd y d zzyxP
10
))(,,(lim),,( ???
?
???
???
??
n
i
zxiiii SQd z d xzyxQ
10
))(,,(lim),,( ???
?
存在条件,
当 ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在有向光滑曲
面 Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在,
组合形式,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,( ????
?
物理意义,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,( ???? ??
?
性质,
????
??
??
???
??????
??
21
21
.1
R d x d yQ d z d xP d y d zR d x d yQ d z d xP d y d z
R d x d yQ d z d xP d y d z
????
????
????
???
???
???
??
??
??
d x d yzyxRd x d yzyxR
d z d xzyxQd z d xzyxQ
d y d zzyxPd y d zzyxP
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(.2
四、计算法
设积分曲面 Σ 是由
方程 ),( yxzz ? 所给
出的曲面上侧,Σ 在
x o y 面上的投影区域
为
xy
D,函数
),( yxzz ? 在
xy
D 上具
有一阶连续偏导数,
被积函数 ),,( zyxR 在
Σ 上连续,
? ),( yxfz ?
xyD
x
y
z
o
xys)(?
???
???
??
n
i
xyiiii SRd x d yzyxR
10
))(,,(lim),,( ???
?
),(
,)()(,0co s,
iii
xyxyi
z
S
???
??
?
??????
?
?
又
取上侧
?
?
?
?
?
?
??
??
n
i
xyiiiii
n
i
xyiiii
zR
SR
1
0
1
0
)))(,(,,(lim
))(,,(lim
?????
???
?
?
???? ?
? xyD
d x d yyxzyxRd x d yzyxR )],(,,[),,(即
,)()(,0c o s,xyxyiS ?? ??????? 取下侧若 ???? ??
? xyD
d x d yyxzyxRd x d yzyxR )],(,,[),,(
则有给出由如果,),( zyxx ?? ???? ??
? yzD
d yd zzyzyxPd yd zzyxP ],),,([),,(
则有给出由如果,),( xzyy ?? ???? ??
? zxD
d z d xzxzyxQd z d xzyxQ ]),,(,[),,(
注意,对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧,
例 1 计算 ??
?
x y z d x d y
其中 Σ 是球面
1
222
??? zyx 外侧
在 0,0 ?? yx 的部分,
解 两部分和分成把 21 ???;1,2211 yxz ?????
,1,2222 yxz ????
x
y
z
2?
?
1? ?
??????
???
??
12
x y z d x d yx y z d x d yx y z d x d y
???? ???????
xyxy DD
dxdyyxxydxdyyxxy )1(1 2222
?? ???
xyD
d x d yyxxy 2212
.1521c o ss i n2 22?? ???
xyD
r d r drr ???
五、两类曲面积分之间的联系
设有向曲面 Σ 是由方程 ),( yxzz ? 给出,Σ 在
xoy 面上的投影区域为
xy
D,函数 ),( yxzz ? 在
xy
D
上具有一阶连续偏导数,),,( zyxR 在 Σ 上连续,
对坐标的曲面积分为
??
??
??
?
xyD
d x d yyxzyxR
d x d yzyxR
)],(,,[
),,(
xyD
),( yxfz ?
?
x
y
z
o
dsn?
曲面 Σ 的法向量的方向余弦为
.
1
1
c o s
,
1
c o s
,
1
c o s
22
22
22
yx
yx
y
yx
x
zz
zz
z
zz
z
??
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
对面积的曲面积分为
???? ??
? xyD
dxdyyxzyxRdSzyxR )],(,,[co s),,( ?所以 dSzyxRd x d yzyxR ?c o s),,(),,( ????
??
?
( 注意取曲面的两侧均成立 )
dSRQP
d x d yRQd z d xPd y d z
)c o sc o sc o s( ?????
??
?
?
???
??
两类曲面积分之间的联系
向量形式
????????
????
????? dSAsdAdSnASdA n??????? 或
其中 }c os,c os,{ c os},,,{ ????? nRQPA
??
为
有向曲面 Σ 上点 ),,( zyx 处的单位法向量,
},,{ dx dydz dxdy dzdSnSd ??
??
称为 有 向 曲 面
元,nA 为向量 A
?
在 n
?
上的投影,
例 2 计算 z d xd ydy dzxz ????
?
)(
2
,其中 Σ 是
旋转抛物面 )(
2
1
22
yxz ?? 介于平面 0?z 及
2?z 之间的部分的下侧,
解 ??
?
? d y d zxz )( 2
有上在曲面,?
?
??
?
?? dsxz ?co s)( 2
??
?
?? dxdyxz ??co sco s)( 2
??
??
?
?
????
???
d x d yzxxz
z d x d yd y d zxz
]))([(
)(
2
2
?? ????????
xyD
d x d yyxxxyx )}(21)(])(41{[ 2222
?? ???
xyD
dxdyyxx )](21[ 222
?? ???? ? 20 22220 )21co s( r d rrrd
.
1
1c o s,
1
c o s 2222
yxyx
x
??
??
??
? ??
.8??
六、小结
1、物理意义
2、计算时应注意以下两点
曲面的侧
“一投,二代,三定号,
思考题
设 ? 为球面 1
222
??? zyx,若以其
球面的外侧为正侧，试问
22
1 zxy ???
之左侧 （即 oy 轴与其法线成钝角的一侧）
是正侧吗？那么
22
1 zxy ???? 的左侧
是正侧吗？
思考题解答
此时 的左侧为 负 侧,221 zxy ???
而 的左侧为 正 侧, 221 zxy ????
一,填空题,
1, ????
??
??
? d z d xzyxQd z d xzyxQ ),,(),,(
= _ _ _ __ __ _ __ __ __ _ __ __ _ __ _,
2,第二类曲面积分 d x d yRQ d z d xP d y d z??
?
?? 化成第
一类曲面积分是 __ _ __ __ __ _,其中
???,,
为有向
曲面
?
上点
),,( zyx
处的 __ __ _ __ _ __ _ 的方向角,
二、计算下列对坐标的曲面积分,
1, ??
?
?? y d z d xx d y d zz d x d y,其中 ? 是柱面 1
22
?? yx
被平面 0?z 及 3?z 所截得的在第一卦限内的部分的
前侧；
练 习 题
2,
??
?
?? y z d z d xx y d y d zx z d x d y,其中 ? 是平面
1,0,0,0 ?????? zyxzyx 所围成的空间区
域的整个边界曲面的外侧；
3, d x d y
yx
e
z
??
?
?
22
,其中
?
为锥面
22
yxz ?? 和
2,1 ?? zz
所围立体整个表面的外侧,
三、把对坐标的曲面积分
??
?
? d z d xzyxQd y d zzyxP ),,(),,(
d x d yzyxR ),,(?
化
成对面积的曲面积分,其中
?
是平面
63223 ??? zyx 在第一卦限的部分的上侧,
练习题答案
一,1, 0 ；
2, ??
?
?? dSRQP )co sco sco s( ???,法向量,
二,1, ?
2
3； 2,
8
1； 3,
2
2 e?,
三,dSRQP )
5
32
5
2
5
3
(?? ??,
第二十二章 曲面积分
§ 3 高斯 (Gauss)公式
设空间闭区域 ? 由分片光滑的闭曲面Σ围成,
函数 ),,( zyxP, ),,( zyxQ, ),,( zyxR 在 ? 上具有
一阶连续偏导数,则有公式
?????
??
???
?
?
?
?
?
?
?
?
R dxd yQ dz dxP dy dzdv
z
R
y
Q
x
P
)(
一、高 斯 公 式
dSRQP
dv
z
R
y
Q
x
P
)co sco sco s(
)(
??
???
?
?
??????
?
?
?
?
?
?
?
?
或
1,定 理,
这里 ? 是 ? 的整个边界曲面的外侧，
??? c o s,c o s,c o s 是 ? 上点 ),,( zyx 处的法向
量的方向余弦,
证明
设闭区域 ? 在面 xoy
上的投影区域为 xyD,
x
y
z
o
? 由 1?,2? 和 3? 三部分组成,
),(1:1 yxzz ??
),(2:2 yxzz ??
3?
?
1?
2?
3?
xyD
根据三重积分的计算法
d x d ydzzRdvzR
xyD
yxz
yxz??? ?? ?
? ?
??
?
? }{ ),(
),(
2
1
.)]},(,,[)],(,,[{ 12?? ??
xyD
d x d yyxzyxRyxzyxR
根据曲面积分的计算法
,)],(,,[),,( 1
1
???? ??
? xyD
dxdyyxzyxRdxdyzyxR
( 1? 取下侧,2? 取上侧,3? 取外侧 )
,)],(,,[),,( 2
2
???? ?
? xyD
dxdyyxzyxRdxdyzyxR
,)]},(,,[)],(,,[{ 12?? ??
xyD
d x d yyxzyxRyxzyxR
??
?
d x d yzyxR ),,(于是
.0),,(
3
???
?
d x d yzyxR
.),,(?????
??
???? d x d yzyxRdvzR
,),,(?????
??
??? d ydzzyxPdvxP同理
,),,(?????
??
??? d z d xzyxQdvyQ
?????
??
??????????? Rdx d yQd z d xP d ydzdvzRyQxP )(
------------------高斯公式
和并以上三式得：
Gauss公式的实质
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界
曲面上的曲面积分之间的关系,
.)c o sc o sc o s(
)(
??
???
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
dSRQP
dv
z
R
y
Q
x
P
???
由两类曲面积分之间的关系知
例 1 计算曲面积分
x d y d zzyd x d yyx )()( ?????
?
其中 Σ 为柱面 1
22
?? yx 及平
面 3,0 ?? zz 所围成的空间闭
区域 ? 的整个边界曲面的外侧,
x
o
z
y11
3
解
,
,0,)(
yxR
QxzyP
??
???
2,简单应用,
,0,0,?????????? zRyQzyxP
???
?
?? d x d y d zzy )(原式
???
?
???? dzr d r dzr )s i n(
.29???
(利用柱面坐标得 )
x
o
z
y11
3
??? ???? ? 301020 )( s in r d zzrdrd
使用 Guass公式时应注意,
1,RQP,,是对什么变量求偏导数 ;
2,是否满足高斯公式的条件 ;
3,Σ 是取闭曲面的外侧,
x
y
z
o
例 2 计算曲面积分
dszyx )c o sc o sc o s(
222
??? ??
??
?
,其中 Σ 为
锥面
222
zyx ?? 介于平面
0?z 及 )0( ?? hhz
之间的部分的下侧,
??? c o s,c o s,c o s
是 Σ 在
),,( zyx
处
的法向量的方向余弦,
h?
xyD
x
y
z
o
h?1?
解 空间曲面在 面上的投影域为xoy xyD
)(,2221 hyxhz ????补充
曲面 ?不是封闭曲面,为利用
高斯公式
取上侧，1? ?
构成封闭曲面，1???
.1 ???? 围成空间区域
,上使用高斯公式在 ?
???
??
?
???
???
??
dvzyx
dSzyx
)(2
)co sco sco s(
1
222 ???
?? ? ? ???
xyD
h
yx
dzzyxdxdy 22,)(2
}.|),{( 222 hyxyxD xy ???其中
?? ? ? ??
xyD
h
yx
dzyxdxdy 22,0)(?
??
??
???
???
???
xyD
dxdyyxh
dSzyx
)(
)co sco sco s(
222
222
1
???
.21 4h??
????
??
??????
11
2222 )c o sc o sc o s( dSzdSzyx?
???
xyD
d x d yh 2,4h??
故所求积分为
??
?
????? dSzyx )co sco sco s( 222
4
2
1 h?? 4h??,
2
1 4h???
设有向量场
kzyxRjzyxQizyxPzyxA
????
),,(),,(),,(),,( ???
沿场中某一有向曲面 Σ 的第二类曲面积分为
(1),通量的定义,
??
????
?
??
???
?????
R d x d yQd z d xP d y d z
dSnASdA 0
????
称为向量场 ),,( zyxA? 向正侧穿过曲面 Σ 的 通量,
3,物理意义,
设有向量场 ),,( zyxA
?
,在场内作包围点 M
的闭曲面 ?,? 包围的区域为 V,记体积为 V, 若
当 V 收缩成点 M 时,极限
V
SdA
MV
??
?
?
?
??
lim 存在,
则称此极限值为 A? 在点 M 处的 散度,记为 Adiv ?,
(2),散度的定义,
散度在直角坐标系下的形式
?????
??
????????? dSvdvzRyQxP n)(
?????
??
????????? dSvVdvzRyQxPV n1)(1
??
?
????????? dSvVzRyQxP n1)( ),,( ???
??
???
????????? dSvVzRyQxP n
M
1l im
积分中值定理,
两边取极限,
z
R
y
Q
x
PAdi v
?
??
?
??
?
???
高斯公式可写成 ?????
??
? dSAdvAd i v n?
)co sco sco s( 0 ??? RQPnAA n ????? ??
的边界曲面，是空间闭区域其中 ??
.的外侧法向量上的投影在曲面是向量 ?AA n ?
定理 设 ? 为分段光滑的空间有向闭曲线,? 是以 ? 为
边界的分片光滑的有向曲面,? 的正向与 ? 的侧
符合右手规则,函数 ),,( zyxP,),,( zyxQ,
),,( zyxR 在包含 曲面 ? 在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数,则有公式
二、斯托克斯 (stokes)公式
dxdy
y
P
x
Q
d z d x
x
R
z
P
d y d z
z
Q
y
R
)()()(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??? R d zQd yP d x
---- 斯托克斯公式
1,定 理,
证明思路
曲面积分 二重积分 曲线积分
??? ?
?
???
?
?
?
?
?
? R d zQ d yP d x
RQP
zyx
d x d yd z d xd y d z
便于记忆形式
??? ?
?
???
?
?
?
?
?
? R d zQ d yP d xds
RQP
zyx
??? c o sc o sc o s
或
}.c o s,c o s,{c o s ????n其中
Stokes 公式的 实质,
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上
的曲线积分之间的关系,
斯托克斯公式 格林公式特殊情形
( 当 Σ 是 x o y 面的平面闭区域时 )
}.1,0,0{}c o s,c o s,{c o s ?? ???n此时，
例 1 计算曲线积分 y d zx d yz d x ???
?
,
其中 ? 是平面 1??? zyx 被三坐标面所截成的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则,
解 按斯托克斯公式,有
dzyxdyz d x?? ??
??
?
??? dxdyd z d xd y d z
弦都为正，的法向量的三个方向余由于 ?
o
x
y
z
n
1 1
1
1,简单应用,
o
x
y
z
n
1 1
1解 按斯托克斯公式,有
dzyxdyz d x?? ??
??
?
??? dxdyd z d xd y d z
弦都为正，的法向量的三个方向余由于 ?
再由对称性知：
???
xyD
d?3 x
y
o 1
xyD
1 dzyxdyz d x?? ??
??
?
??? dxdyd z d xd y d z
.23?
例 2 计算曲线积分
dzyxdyxzdxzy )()()(
222222
??????
?
其中 ? 是平面
2
3
??? zyx 截立方体,
10 ?? x,10 ?? y,10 ?? z 的表面所得的截
痕,若从
ox
轴的正向看去,取逆时针方向,
解
取 Σ 为平面
2
3??? zyx
的上侧被 ? 所围成的部分,
则单位法向量
}.1,1,1{31 ?n o
x
y
z
1 1
1
解
取 Σ 为平面
2
3??? zyx
的上侧被 ? 所围成的部分,
则单位法向量
}.1,1,1{31 ?n ox y
z
1 1
1
即,3
1c o sc o sc o s ??? ???
dS
yxxzzy
zyx
I ??
?
???
?
?
?
?
?
?
?
222222
3
1
3
1
3
1
由 斯托克斯公式
??
?
???? dSzyx )(34
?? ???
xyD
d x d y32334
.29??
即,3
1c o sc o sc o s ??? ???
dS
yxxzzy
zyx
I ??
?
???
?
?
?
?
?
?
?
222222
3
1
3
1
3
1
由 斯托克斯公式
o x
y
21
21
23?? yx
21?? yx; 3 dxdydS ?;,xyD得投影?
三代：
二换：
一投：
.23??? zyx
8121 ???xyDS,43?
三、小结
?????
??
? dSAdvAd i v n?
3、应用的条件
4、物理意义
2、高斯公式的实质
1、高斯公式
?????
??
??????????? Rdx d yQd z d xP d ydzdvzRyQxP )(
6,斯托克斯公式成立的条件
5,斯托克斯公式
??? ?
?
???
?
?
?
?
?
?? R d zQ d yP d x
RQP
zyx
dxdyd z d xd y d z ds
RQP
zyx
c o sc o sc o s
??
?
?
?
?
?
?
?
???
作业, P295,1,2,3,4,5.
思考题
曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？
思考题解答
曲面应是分片光滑的 闭 曲面,
一,利用高斯公式计算曲面积分,
1, d x d yzd z d xyd y d zx
333
??
??
?
,其中 ? 为球面
2222
azyx ??? 外侧；
2,
??
?
?? z d x d yy d z d xx d y d z,其中
?
是界于 0?z 和
3?z
之间的圆柱体 9
22
?? yx 的整个表面的外
侧；
3, ??
?
x z d y d z,?其中 是上半球面
222
yxRz ???
的上侧,
练习题
二、证明, 由封闭曲面所包围的体积为
??
?
??? dszyxV )c o sc o sc o s(
3
1
???,式中
??? c o s,c o s,c o s 是曲面的外法线的方向余弦,
三、求向量 kxzjyxizxA
22
)2( ????,穿过曲面 ?,
为
立方体
ayax ???? 0,0
,az ??0 的全表面,流
向外侧的通量,
四、求向量场
kxzjxyieA
xy
??
)c o s ()c o s (
2
???
的散
度,
五、设 ),,(,),,( zyxvzyxu 是两个定义在闭区域 ? 上的
具有二阶连续偏导数的函数,
n
v
n
u
?
?
?
?
,依次表示
),,(,),,( zyxvzyxu 沿 ? 的外法线方向的方向导
数,
证明, ds
n
u
v
n
v
ud x d y d zuvvu )()(
?
?
?
?
?
????
??? ??
? ?
其中
?
是空间闭区域
?
的整个边界曲面,
( 注
2
2
2
2
2
2
zyx ?
?
?
?
?
?
?
?
??,称为拉普拉斯算子 )
练习题答案
一,1,
5
5
12
a? ； 2, ?81 ； 3,
4
4
R
?
.
三,)
6
2(
2
3 a
a ?,
四,)s i n (2)s i n (
2
xzxzxyxyeAd i v
xy
???
?
.
§ 1 第一型曲面积分
§ 2 第二型曲面积分
§ 3 高斯 (Gauss)公式
第二十二章 曲面积分
§ 1 第一型曲面积分
一、概念的引入
若曲面 ? 是光滑的,它的面密度为连
续函数 ),,( zyx?,求它的质量,
实例
所谓曲面光滑
即曲面上各点处都
有切平面,且当点在
曲面上连续移动时,
切平面也连续转动,
一、概念的引入 若曲面 ? 是光滑的,它的面密度为连续函数
),,( zyx?,求它的质量, 实例
分割
取近似
求和,),,(1?? ???
n
i
iiii SM ????
取极限,),,(lim 10 ??? ???
n
i
iiii SM ?????
把 ? 分成 n 小块 iS? （ iS? 也
表示第 i 小块曲面 的面积）, ?? ),,( iii ??? iS?
iiiii SM ???? ),,( ????
二、对面积的曲面积分的定义
设曲面 ? 是光滑的,函数 ),,( zyxf 在 ? 上有界, 把 ?
分成 n 小块 iS? （ iS? 同时也表示第 i 小块曲面的面
积）,设点 ),,(
iii
??? 为
i
S? 上任意取定的点,作乘积
?),,(
iii
f ???
i
S?,并作和 ?
?
?
n
i
iiif
1
),,( ???
i
S?,若当各小块曲面直径的最大值 0?? 时,和式的极
限存在,则称此极限为函数 ),,( zyxf 在曲面 ? 上 对
面积的曲面积分 或 第一类曲面积分, 记为
1.定义
??
?
dSzyxf ),,(,
即 ??
?
dSzyxf ),,( iii
n
i
i Sf ?? ?
??
),,(lim
10
???
?
被积函数
积分曲面
2.对面积的曲面积分的 性质
则及可分为分片光滑的曲面若,)3( 21 ???; ),,( ),,( )1( ????
??
? dSzyxfkdSzyxkf
??
?
? dSzyxgzyxf )],,(),,([ )2(; ),,( ),,( ????
??
?? dSzyxgdSzyxf
,),,( ),,( ),,(
21
??????
???
?? dSzyxgdSzyxfdSzyxf
特别, 的面积。 ????
?
dS 时，当 1),,( ?zyxf
三、计算法
);,(:.1 yxzz ??若曲面
,)( ),(),(1 22 xyiiiyiixi zzS ????? ?????
xyi )( ??
),( ii ??
iS?
x
y
z ),(, yxzz ??
o
),,( iii ???
则 ??
?
dSzyxf ),,( iii
n
i
i Sf ?? ?
??
),,(lim
10
???
?
?
??
????
n
i
xyiiiyiixiiii zzzf
1
22
0
)( ),(),(1)],(,,[lim ?????????
?;1)],(,,[ 22 d x d yzzyxzyxf
xyD
yx?? ?????
));,(,,( ),,( ),(,yxzyxfzyxf yxzz ??; ),(),(1 22 dxdyyxzyxzdS yx ???
,xyDx o y 面投影，得向将曲面 ?;1)],(,,[ ),,( 22 d x d yzzyxzyxfdSzyxf
xyD
yx???? ?????
?
);,(:.1 yxzz ??若曲面 则
三代：
二换：
一投：;1]),,(,[ 22 d x d zyyzzxyxf
xzD
zx?? ???????
?
dSzyxf ),,(
);),,(,( ),,( ),(,zzxyxfzyxf zxyy ??; ),(),(1 22 d x d zzxyzxydS zx ???
,xzDxoz 面投影，得向将曲面 ?
则
三代：
二换：
一投：
),(.2 zxyy ??,若曲面
.1],),,([ 22 d y d zxxzyzyxf
yzD
zy?? ???????
?
dSzyxf ),,(
),(.3 zyxx ??,若曲面 则
三代,);,),,((
),,( ),(,zyzyxfzyxf zyxx ??
二换,; ),(),(1 22 d y d zzyxzyxdS zy ???
一投,,yzDy o z 面投影，得向将曲面 ?;1)],(,,[ ),,( 22 d x d yzzyxzyxfdSzyxf
xyD
yx???? ?????
?
);,(:.1 yxzz ??若曲面 则;1]),,(,[ 22 d x d zyyzzxyxf
xzD
zx?? ???????
?
dSzyxf ),,(
),,(:.2 zxyy ??若曲面 则
.1],),,([ 22 d y d zxxzyzyxf
yzD
zy?? ???????
?
dSzyxf ),,(
),(.3 zyxx ??,若曲面 则
注意,这里曲面方程均是 单值函数 。
例 1 计算 dSx y z??
?
,
其中 ? 为平面 1,0,0 ????? zyxyx 所围成
的四面体的整个边界曲面,
解
x
y
z
o
1
1
1
??????????
?????
????
4321
? 在平面 1,0,0 ????? zyxyx
上的部分依次记为 4321,,,????,
由于在 4321,,,???? 上,
被积函数,0),,( ?? x y zzyxf
.0
321
??? ??????
???
x yz d S所以
d x d yzzdS yx 221 ?????
,3)1()1(1 22 d x d yd x d y ??????
dSx y z??
?
?
4
原式
d x d yyxxy
xyD
)1(3 ??? ??
?
其中 1|),{( ???? yxyxD xy,}0,0 ?? yx
,14 yxz ???? 上，在
?? ? ??? x dyyxx d x 1010 )1(3
dxxx
31
0 6
)1(3 ?? ?
.1 2 03?
??
?
? x yz d S
例 2
解
计算 ??
?
z
dS,其中
? 是球面 2222 azyx ???
被平面 )0( ahhz ??? 截出的顶部,
h
x
y
z
o
a a
a
面投影，得向将曲面 xoy?
., 222 yxaz ????
., 2222 hayxD xy ???
,222
yxa
xz
x ??
??
.222
yxa
yz
y ??
??
d x d yyxzyxzdS yx ),(),(1 22 ???
,222
yxa
xz
x ??
??,
222 yxa
yz
y ??
??
.222 d x d y
yxa
a
??
?
???
? z
dS d x d y
yxa
a
yxaxyD 222222
1
??
?
????
d x d y
yxa
a
xyD
1 222??
??
?
h
x
y
z
o
a a
a
?
?
?
???
??
.0
,20
,22
har
D xy
??
???
? z
dS d x d y
yxa
a
xyD
1 222??
??
h
x
y
z
o
a a
a
?
?
?
???
??
.0
,20
,22
har
D xy
??
??
?
?
?
.s in
,c o s
?
?
ry
rx drr
rada
ha 1 22
0 22
2
0 ??? ??
?? ?
.ln2 haa ??
)( 1 )2 1( 220 2220 22 radrada ha ????? ?? ?? ?
? ?? ???? ? ?20 0 22 22)l n (2 draa ha?? ? ?20 ln22 dhaa
计算 ??
?
?? dSzyx )(
222
,其中
(1) ?,
2222
azyx ??? 在第一卦限部分,
(2) ?,
2222
azyx ??? 在第一卦限和
第八卦限部分,
例 3
解
x
y
z
oa a
a
面投影，得向将曲面 xoy?
., )1( 222 yxaz ????
.0,0,,222 ???? yxayxD xy
,222
yxa
xz
x ??
??,
2yxa
yz
y ?
??
d x d yyxzyxzdS yx ),(),(1 22 ???
,222
yxa
xz
x ??
??,
2yxa
yz
y ?
??
.222 d x d y
yxa
a
??
?
dSzyx )( 222??
?
??
d x d y
yxa
ayxayx
xyD
222
222222 ))((
??
?????? ??
d x d y
yxa
a
xyD
1 2223 ??
??
?
dSzyx )( 222??
?
??
??
?
?
?
??
??
.0
,20
:
ar
D xy
??
d x d y
yxa
a
xyD
1 2223 ??
??
?
所以,dSzyx )(
222??
?
??
drr
ra
da a 10 22203 ?
?
? ?? ? ?.2 4 a??
??
?
?
?
.s in
,c o s
?
?
ry
rxx
y
z
oa a
a
(2) ?, 2222 azyx ??? 在第一卦限和 第八卦限部分,
面投影，得向将曲面 y o z?
., 222 zyax ????
.0,,222 ??? yazyD yz
,222
zya
yx
y ??
??
.222
zya
zx
z ??
??
x
y
z
oa a
a
d y d zyxxyxxdS zy ),(),(1 22 ???,222 d y d zzya
a
??
?
dSzyx )( 222??
?
??
d y d z
zya
azyzya
yzD
222
222222 ))((
??
?????? ??
d y d z
zya
a
yzD
1 2223 ??
??
?
d y d zyxxyxxdS zy ),(),(1 22 ???,222 d y d zzya
a
??
?
x
y
z
oa a
a
??
?
?
?
??
???
.0
,22
:
ar
D yz
???
x
y
z
oa a
a
??
?
?
?
??
???
.0
,22
:
ar
D yz
???
??
?
?
?
.s in
,c o s
?
?
rz
ry
dSzyx )( 222??
?
??
d y d z
zya
a
yzD
1 2223 ??
??
?
drr
ra
da a 1 0 222 23 ?
?
? ???? ? ?.4 a??
例 4
解
计算 dSx y z ??
?
,其中 ? 是 由 平面,0?x,0?y
,0?z 及 1??? zyx 所 围成 的 四面体 的 整个 边
界 曲面,
.4321 ?????????
x
y
z
o
1
1
1 1?
2?
3? 4?
.0:1 ?? x,0),,( ?? x y zzyxf
.0:2 ?? y,0),,( ?? x y zzyxf
dSx y zdSx y z
dSx y zdSx y zdSx y z
43
21
????
??????
??
???
??
???
.0:1 ?? x
dSx y zdSx y z
dSx y zdSx y zdSx y z
43
21
????
??????
??
???
??
???
,0),,( ?? x y zzyxf
.0:2 ?? y,0),,( ?? x y zzyxf
.0:3 ?? z,0),,( ?? x y zzyxf
dSx y zdSx y zdSx y zdSx y zdSx y z
4321
??????????
?????
????
dSx y z
4
??
?
?
3?
1?
2?
x
y
z
o
1
1
1
4?
.1:4 yxz ????
dSx y zdSx y zdSx y zdSx y zdSx y z
4321
??????????
?????
????
dSx y z
4
??
?
?
面投影，得向将曲面 4 xoy?
??
?
???
??
.10
,10,
xy
xD
xy
,1??xz,1??yz
d x d yyxzyxzdS yx ),(),(1 22 ???, 3 dxdy?
3?
1?
2?
x
y
z
o
1
1
1
4?
dSx y zdSx y z
4
????
??
?
d x d yyxxy
XYD
3)1(?? ????
dyyxxydx x )1( 3 1010 ?? ? ???
.1203?
,1??xz,1??yz
d x d yyxzyxzdS yx ),(),(1 22 ???, 3 dxdy?
3?
1?
2?
x
y
z
o
1
1
1
4?
计算 ??
?
?? dszyx )(,其中 ? 为平面
5?? zy 被柱面 2522 ?? yx 所截得的部分,
例 5
积分曲面
?, yz ?? 5,
解
投影域,
}25|),{( 22 ??? yxyxD xy
??
?
?? dszyx )(故
?? ????
xyD
dxdyyyx )5(2 ?? ??
xyD
dxdyx )5(2
r d rrd ?? ???? ? 5020 )c o s5(2,2125 ??
d x d yzzdS yx 221 ?????
d x d y2)1(01 ????,2 d x d y?
例 6 计算 dSx yz??
?
||,
其中 ? 为抛物面 22 yxz ?? （ 10 ?? z ）,
解 依对称性知：
被积函数 || x yz 关于
xoz, y o z 坐标面对称
轴对称，关于
抛物面
z
yxz 22 ??
有 ????
??
?
1
4 成立,( 1? 为第一卦限部分曲面 )
x y
z
d x d yzzdS yx 221 ?????
d x d yyx 22 )2()2(1 ???
原式 dSx yz??
?
? || dSx y z??
?
?
1
4
d x d yyxyxxy
xyD
2222 )2()2(1)(4 ???? ??
?
其中 1|),{( 22 ???? yxyxD xy,}0,0 ?? yx
利用极坐标 trx c o s?,try s i n?,
r d rrrttrdt ?? ??? 10 22220 41s i nc o s4
?
drrrt d t 210 50 412s i n2 2 ?? ?? ? 令 241 ru ??
duuu 25
1
)4 1(41 ?? ?,420 15125 ??
计算 ??
?
x d S,其中 ? 是圆柱面 122 ?? yx,
平面 2?? xz 及 0?z 所围成的空间立体的表面,
例 7
解 ????????
????
???
321
其中 1?, 0?z,2?, 2?? xz,
3?, 122 ?? yx,投影域 1D, 122 ?? yx
显然 0
11
?? ????
? D
x d x d yxdS,
,011
12
??? ????
? D
dxdyxxdS
讨论 3? 时,将投影域选在 x o z 上,（ 注意,21 xy ??? 分为左、右两片 ）
??
? 3
x d S ??
?
?
31
xdS ??
?
?
32
xdS
（左右两片投影相同）
?? ?????
xzD
zx dxdzyyx
2212
xoz
??
?
??
xzD
dxdz
x
xx
2
2
1
12
? ?? ??? 1 1 20212 x dzdxxx
,??
??
?
? xdS ?????? 00,
计算 dSzyx )( 222 ????
?
,其中 ? 为内接于球面
2222 azyx ??? 的八面体 azyx ??? |||||| 表面,
例 8
被积函数 ?),,( zyxf 222 zyx ??,解
关于坐标面、原点均对称,
积分曲面 ? 也具有对称性,
故原积分 ????
??
?
1
8,
( 其中 1? 表示第一卦限部分曲面 )
1?, azyx ???,即 yxaz ???
d x d yzzdS yx 221 ??? d x d y3?
dSzyx )( 222 ????
? ???
???
1
)(8 222 dSzyx
dxdyyxayx
xyD
?? ????? 3])([8 222
.32 4a?
四、小结
2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上
的二重积分计算,
1、对面积的曲面积分的概念 ;??
?
dSzyxf ),,( iii
n
i
i Sf ?? ?
??
),,(lim
10
???
?
（按照曲面的不同情况分为三种）
作业,P282,1 (1)~(4),2,3.
思考题
在对面积的曲面积分化为二重积分
的公式中,有因子,试说明
这个因子的几何意义,
221 yx zz ??
思考题解答
是曲面元的面积,dS 221
1),c o s (
yx zz
zn
??
?
221 yx zz ??故 是曲面法线与 轴夹角的余弦
的倒数,
z
一,填空题,
1, 已知曲面 ? 的面 a积为,则 ?
??
?
ds10 ___ _ ___ ；
2,
??
?
dszyxf ),,( =
??
yz
D
zyzyxf ),),,(( ___ _ ___ _
d y d z；
3, 设 ? 为球面
2222
azyx ??? 在
x o y
平面的上方部
分,则 ???
??
?
dszyx )(
222
___ ___ ___ ___ ；
4, ?
??
?
z d s3 _____,其中 ? 为抛物面 )(2
22
yxz ???
在
x o y
面上方的部分；
5, ??
??
?
dsyx )(
22
___ __ _,其中
?
为锥面
22
yxz ??
及平面 1?z 所围成的区域的整个边界曲面,
练 习 题
二、计算下列对面积的曲面积分,
1,
??
?
??? dszxxxy )22(
2
,其中 ? 为平面
622 ??? zyx 在第一卦限中的部分；
2,
??
?
?? dszxyzxy )(,其中 ? 为锥面
22
yxz ?? 被
柱面 axyx 2
22
?? 所截得的有限部分,
三、求抛物面壳
)10)((
2
1
22
???? zyxz
的质量,此壳
的面密度的大小为 z??,
四、求抛物面壳
)10()(
2
1
22
???? zyxz
的质量，此
壳的面密度的大小为,z??
练习题答案
一,1, a10 ； 2,
22
)()(1
z
x
y
x
?
?
?
?
?
? ；
3,
4
2 a? ； 4, ?
10
1 1 1；
5, ?
2
21 ?
.
二,1,
4
27
? ； 2,
4
2
15
64
a,
三、
6
?
.
四,)136(
15
2
?
?
.
第二十二章 曲面积分
§ 2第二型曲面积分
一、基本概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的 )
曲面分 上 侧和 下 侧 曲面分 内 侧和 外 侧
n?
曲面的分类, 1.双侧曲面 ; 2.单侧曲面,
典
型
双
侧
曲
面
莫比乌斯带典型 单侧曲面,
播放
曲面法 向量的指向 决定曲面的 侧,
决定了侧的曲面称为 有向曲面,
曲面的投影问题,
面在 xoyS?,
在有向曲面 Σ 上取一小块
.
0c o s0
0c o s)(
0c o s)(
)(
?
?
?
?
?
?
???
??
??
时当
时当
时当
?
??
??
xy
xy
xyS
.)( 表示投影区域的面积其中 xy??
为上的投影 xyS )( ?曲面 S?
二、概念的引入
实例, 流向曲面一侧的流量,
(1) 流速场为常向量 v?,有向平面区域 A,求单位
时间流过 A 的流体的质量 ? ( 假定密度为 1),
A
v?
0n?
?
AvnvA
vA
????
?
????
??
0
c o s ?
流量
(2) 设稳定流动的不可压缩流体 ( 假定密度为 1)
的速度场由
kzyxRjzyxQizyxPzyxv
???
?
),,(),,(),,(),,( ???
给出,Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
都在 Σ 上连续,求在单位
时间内流向 Σ 指定侧的流
体的质量 ?,
x
y
z
o
?
x
y
z
o
? ?
iS? ),,( iii ???
iv
?
in?
把曲面 Σ 分成 n 小块
i
s? (
i
s? 同时也代表
第 i 小块曲面的面积 ),
在 is? 上任取一点
),,(
iii
???,
1,分割
则该点流速为,iv?
法向量为,in?
该点处曲面 Σ 的单位法向量
kjin iiii ???? ??? c o sc o sc o s0 ???,
通过 is? 流向指定侧的流量的近似值为
).,,2,1( niSnv iii ????
,),,(),,(),,(
),,(
kRjQiP
vv
iiiiiiiii
iiii ???
?
?????????
???
???
?
2,求和 通过 Σ 流向指定侧的流量 ?
?
????
n
i
iii Snv
1
iiiii
iiii
n
i
iiii
SR
QP
??
?? ?
?
]c o s),,(
c o s),,(c o s),,([
1
????
????????
xyiiii
xziiiiyz
n
i
iiii
SR
SQSP
))(,,(
))(,,())(,,([
1
??
???? ?
?
???
??????
3.取极限 0??,的精确值取极限得到流量 ?
定义 设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有
界,把Σ分成 n 块小曲面
i
S? (
i
S? 同时又表示第
i 块小曲面的面积 ),
i
S? 在 x o y 面上的投影为
xyi
S )( ?,),,(
iii
??? 是
i
S? 上任意取定的一点,如
果当各小块曲面的直径的最大值 0?? 时,
?
?
?
?
n
i
xyiiii
SR
1
0
))(,,(lim ???
?
存在,
则称此极限为函数 ),,( zyxR 在有向曲面 Σ 上 对
坐标 yx,的曲面积分 ( 也称 第二类曲面积分 )
三、概念及性质
记作 ??
?
dxdyzyxR ),,(,即
???
???
??
n
i
xyiiii SRd x d yzyxR
10
))(,,(lim),,( ???
?
被积函数积分曲面
类似可定义 ???
???
??
n
i
yziiii SPd y d zzyxP
10
))(,,(lim),,( ???
?
???
???
??
n
i
zxiiii SQd z d xzyxQ
10
))(,,(lim),,( ???
?
存在条件,
当 ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在有向光滑曲
面 Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在,
组合形式,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,( ????
?
物理意义,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,( ???? ??
?
性质,
????
??
??
???
??????
??
21
21
.1
R d x d yQ d z d xP d y d zR d x d yQ d z d xP d y d z
R d x d yQ d z d xP d y d z
????
????
????
???
???
???
??
??
??
d x d yzyxRd x d yzyxR
d z d xzyxQd z d xzyxQ
d y d zzyxPd y d zzyxP
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(.2
四、计算法
设积分曲面 Σ 是由
方程 ),( yxzz ? 所给
出的曲面上侧,Σ 在
x o y 面上的投影区域
为
xy
D,函数
),( yxzz ? 在
xy
D 上具
有一阶连续偏导数,
被积函数 ),,( zyxR 在
Σ 上连续,
? ),( yxfz ?
xyD
x
y
z
o
xys)(?
???
???
??
n
i
xyiiii SRd x d yzyxR
10
))(,,(lim),,( ???
?
),(
,)()(,0co s,
iii
xyxyi
z
S
???
??
?
??????
?
?
又
取上侧
?
?
?
?
?
?
??
??
n
i
xyiiiii
n
i
xyiiii
zR
SR
1
0
1
0
)))(,(,,(lim
))(,,(lim
?????
???
?
?
???? ?
? xyD
d x d yyxzyxRd x d yzyxR )],(,,[),,(即
,)()(,0c o s,xyxyiS ?? ??????? 取下侧若 ???? ??
? xyD
d x d yyxzyxRd x d yzyxR )],(,,[),,(
则有给出由如果,),( zyxx ?? ???? ??
? yzD
d yd zzyzyxPd yd zzyxP ],),,([),,(
则有给出由如果,),( xzyy ?? ???? ??
? zxD
d z d xzxzyxQd z d xzyxQ ]),,(,[),,(
注意,对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧,
例 1 计算 ??
?
x y z d x d y
其中 Σ 是球面
1
222
??? zyx 外侧
在 0,0 ?? yx 的部分,
解 两部分和分成把 21 ???;1,2211 yxz ?????
,1,2222 yxz ????
x
y
z
2?
?
1? ?
??????
???
??
12
x y z d x d yx y z d x d yx y z d x d y
???? ???????
xyxy DD
dxdyyxxydxdyyxxy )1(1 2222
?? ???
xyD
d x d yyxxy 2212
.1521c o ss i n2 22?? ???
xyD
r d r drr ???
五、两类曲面积分之间的联系
设有向曲面 Σ 是由方程 ),( yxzz ? 给出,Σ 在
xoy 面上的投影区域为
xy
D,函数 ),( yxzz ? 在
xy
D
上具有一阶连续偏导数,),,( zyxR 在 Σ 上连续,
对坐标的曲面积分为
??
??
??
?
xyD
d x d yyxzyxR
d x d yzyxR
)],(,,[
),,(
xyD
),( yxfz ?
?
x
y
z
o
dsn?
曲面 Σ 的法向量的方向余弦为
.
1
1
c o s
,
1
c o s
,
1
c o s
22
22
22
yx
yx
y
yx
x
zz
zz
z
zz
z
??
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
对面积的曲面积分为
???? ??
? xyD
dxdyyxzyxRdSzyxR )],(,,[co s),,( ?所以 dSzyxRd x d yzyxR ?c o s),,(),,( ????
??
?
( 注意取曲面的两侧均成立 )
dSRQP
d x d yRQd z d xPd y d z
)c o sc o sc o s( ?????
??
?
?
???
??
两类曲面积分之间的联系
向量形式
????????
????
????? dSAsdAdSnASdA n??????? 或
其中 }c os,c os,{ c os},,,{ ????? nRQPA
??
为
有向曲面 Σ 上点 ),,( zyx 处的单位法向量,
},,{ dx dydz dxdy dzdSnSd ??
??
称为 有 向 曲 面
元,nA 为向量 A
?
在 n
?
上的投影,
例 2 计算 z d xd ydy dzxz ????
?
)(
2
,其中 Σ 是
旋转抛物面 )(
2
1
22
yxz ?? 介于平面 0?z 及
2?z 之间的部分的下侧,
解 ??
?
? d y d zxz )( 2
有上在曲面,?
?
??
?
?? dsxz ?co s)( 2
??
?
?? dxdyxz ??co sco s)( 2
??
??
?
?
????
???
d x d yzxxz
z d x d yd y d zxz
]))([(
)(
2
2
?? ????????
xyD
d x d yyxxxyx )}(21)(])(41{[ 2222
?? ???
xyD
dxdyyxx )](21[ 222
?? ???? ? 20 22220 )21co s( r d rrrd
.
1
1c o s,
1
c o s 2222
yxyx
x
??
??
??
? ??
.8??
六、小结
1、物理意义
2、计算时应注意以下两点
曲面的侧
“一投,二代,三定号,
思考题
设 ? 为球面 1
222
??? zyx,若以其
球面的外侧为正侧，试问
22
1 zxy ???
之左侧 （即 oy 轴与其法线成钝角的一侧）
是正侧吗？那么
22
1 zxy ???? 的左侧
是正侧吗？
思考题解答
此时 的左侧为 负 侧,221 zxy ???
而 的左侧为 正 侧, 221 zxy ????
一,填空题,
1, ????
??
??
? d z d xzyxQd z d xzyxQ ),,(),,(
= _ _ _ __ __ _ __ __ __ _ __ __ _ __ _,
2,第二类曲面积分 d x d yRQ d z d xP d y d z??
?
?? 化成第
一类曲面积分是 __ _ __ __ __ _,其中
???,,
为有向
曲面
?
上点
),,( zyx
处的 __ __ _ __ _ __ _ 的方向角,
二、计算下列对坐标的曲面积分,
1, ??
?
?? y d z d xx d y d zz d x d y,其中 ? 是柱面 1
22
?? yx
被平面 0?z 及 3?z 所截得的在第一卦限内的部分的
前侧；
练 习 题
2,
??
?
?? y z d z d xx y d y d zx z d x d y,其中 ? 是平面
1,0,0,0 ?????? zyxzyx 所围成的空间区
域的整个边界曲面的外侧；
3, d x d y
yx
e
z
??
?
?
22
,其中
?
为锥面
22
yxz ?? 和
2,1 ?? zz
所围立体整个表面的外侧,
三、把对坐标的曲面积分
??
?
? d z d xzyxQd y d zzyxP ),,(),,(
d x d yzyxR ),,(?
化
成对面积的曲面积分,其中
?
是平面
63223 ??? zyx 在第一卦限的部分的上侧,
练习题答案
一,1, 0 ；
2, ??
?
?? dSRQP )co sco sco s( ???,法向量,
二,1, ?
2
3； 2,
8
1； 3,
2
2 e?,
三,dSRQP )
5
32
5
2
5
3
(?? ??,
第二十二章 曲面积分
§ 3 高斯 (Gauss)公式
设空间闭区域 ? 由分片光滑的闭曲面Σ围成,
函数 ),,( zyxP, ),,( zyxQ, ),,( zyxR 在 ? 上具有
一阶连续偏导数,则有公式
?????
??
???
?
?
?
?
?
?
?
?
R dxd yQ dz dxP dy dzdv
z
R
y
Q
x
P
)(
一、高 斯 公 式
dSRQP
dv
z
R
y
Q
x
P
)co sco sco s(
)(
??
???
?
?
??????
?
?
?
?
?
?
?
?
或
1,定 理,
这里 ? 是 ? 的整个边界曲面的外侧，
??? c o s,c o s,c o s 是 ? 上点 ),,( zyx 处的法向
量的方向余弦,
证明
设闭区域 ? 在面 xoy
上的投影区域为 xyD,
x
y
z
o
? 由 1?,2? 和 3? 三部分组成,
),(1:1 yxzz ??
),(2:2 yxzz ??
3?
?
1?
2?
3?
xyD
根据三重积分的计算法
d x d ydzzRdvzR
xyD
yxz
yxz??? ?? ?
? ?
??
?
? }{ ),(
),(
2
1
.)]},(,,[)],(,,[{ 12?? ??
xyD
d x d yyxzyxRyxzyxR
根据曲面积分的计算法
,)],(,,[),,( 1
1
???? ??
? xyD
dxdyyxzyxRdxdyzyxR
( 1? 取下侧,2? 取上侧,3? 取外侧 )
,)],(,,[),,( 2
2
???? ?
? xyD
dxdyyxzyxRdxdyzyxR
,)]},(,,[)],(,,[{ 12?? ??
xyD
d x d yyxzyxRyxzyxR
??
?
d x d yzyxR ),,(于是
.0),,(
3
???
?
d x d yzyxR
.),,(?????
??
???? d x d yzyxRdvzR
,),,(?????
??
??? d ydzzyxPdvxP同理
,),,(?????
??
??? d z d xzyxQdvyQ
?????
??
??????????? Rdx d yQd z d xP d ydzdvzRyQxP )(
------------------高斯公式
和并以上三式得：
Gauss公式的实质
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界
曲面上的曲面积分之间的关系,
.)c o sc o sc o s(
)(
??
???
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
dSRQP
dv
z
R
y
Q
x
P
???
由两类曲面积分之间的关系知
例 1 计算曲面积分
x d y d zzyd x d yyx )()( ?????
?
其中 Σ 为柱面 1
22
?? yx 及平
面 3,0 ?? zz 所围成的空间闭
区域 ? 的整个边界曲面的外侧,
x
o
z
y11
3
解
,
,0,)(
yxR
QxzyP
??
???
2,简单应用,
,0,0,?????????? zRyQzyxP
???
?
?? d x d y d zzy )(原式
???
?
???? dzr d r dzr )s i n(
.29???
(利用柱面坐标得 )
x
o
z
y11
3
??? ???? ? 301020 )( s in r d zzrdrd
使用 Guass公式时应注意,
1,RQP,,是对什么变量求偏导数 ;
2,是否满足高斯公式的条件 ;
3,Σ 是取闭曲面的外侧,
x
y
z
o
例 2 计算曲面积分
dszyx )c o sc o sc o s(
222
??? ??
??
?
,其中 Σ 为
锥面
222
zyx ?? 介于平面
0?z 及 )0( ?? hhz
之间的部分的下侧,
??? c o s,c o s,c o s
是 Σ 在
),,( zyx
处
的法向量的方向余弦,
h?
xyD
x
y
z
o
h?1?
解 空间曲面在 面上的投影域为xoy xyD
)(,2221 hyxhz ????补充
曲面 ?不是封闭曲面,为利用
高斯公式
取上侧，1? ?
构成封闭曲面，1???
.1 ???? 围成空间区域
,上使用高斯公式在 ?
???
??
?
???
???
??
dvzyx
dSzyx
)(2
)co sco sco s(
1
222 ???
?? ? ? ???
xyD
h
yx
dzzyxdxdy 22,)(2
}.|),{( 222 hyxyxD xy ???其中
?? ? ? ??
xyD
h
yx
dzyxdxdy 22,0)(?
??
??
???
???
???
xyD
dxdyyxh
dSzyx
)(
)co sco sco s(
222
222
1
???
.21 4h??
????
??
??????
11
2222 )c o sc o sc o s( dSzdSzyx?
???
xyD
d x d yh 2,4h??
故所求积分为
??
?
????? dSzyx )co sco sco s( 222
4
2
1 h?? 4h??,
2
1 4h???
设有向量场
kzyxRjzyxQizyxPzyxA
????
),,(),,(),,(),,( ???
沿场中某一有向曲面 Σ 的第二类曲面积分为
(1),通量的定义,
??
????
?
??
???
?????
R d x d yQd z d xP d y d z
dSnASdA 0
????
称为向量场 ),,( zyxA? 向正侧穿过曲面 Σ 的 通量,
3,物理意义,
设有向量场 ),,( zyxA
?
,在场内作包围点 M
的闭曲面 ?,? 包围的区域为 V,记体积为 V, 若
当 V 收缩成点 M 时,极限
V
SdA
MV
??
?
?
?
??
lim 存在,
则称此极限值为 A? 在点 M 处的 散度,记为 Adiv ?,
(2),散度的定义,
散度在直角坐标系下的形式
?????
??
????????? dSvdvzRyQxP n)(
?????
??
????????? dSvVdvzRyQxPV n1)(1
??
?
????????? dSvVzRyQxP n1)( ),,( ???
??
???
????????? dSvVzRyQxP n
M
1l im
积分中值定理,
两边取极限,
z
R
y
Q
x
PAdi v
?
??
?
??
?
???
高斯公式可写成 ?????
??
? dSAdvAd i v n?
)co sco sco s( 0 ??? RQPnAA n ????? ??
的边界曲面，是空间闭区域其中 ??
.的外侧法向量上的投影在曲面是向量 ?AA n ?
定理 设 ? 为分段光滑的空间有向闭曲线,? 是以 ? 为
边界的分片光滑的有向曲面,? 的正向与 ? 的侧
符合右手规则,函数 ),,( zyxP,),,( zyxQ,
),,( zyxR 在包含 曲面 ? 在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数,则有公式
二、斯托克斯 (stokes)公式
dxdy
y
P
x
Q
d z d x
x
R
z
P
d y d z
z
Q
y
R
)()()(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??? R d zQd yP d x
---- 斯托克斯公式
1,定 理,
证明思路
曲面积分 二重积分 曲线积分
??? ?
?
???
?
?
?
?
?
? R d zQ d yP d x
RQP
zyx
d x d yd z d xd y d z
便于记忆形式
??? ?
?
???
?
?
?
?
?
? R d zQ d yP d xds
RQP
zyx
??? c o sc o sc o s
或
}.c o s,c o s,{c o s ????n其中
Stokes 公式的 实质,
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上
的曲线积分之间的关系,
斯托克斯公式 格林公式特殊情形
( 当 Σ 是 x o y 面的平面闭区域时 )
}.1,0,0{}c o s,c o s,{c o s ?? ???n此时，
例 1 计算曲线积分 y d zx d yz d x ???
?
,
其中 ? 是平面 1??? zyx 被三坐标面所截成的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则,
解 按斯托克斯公式,有
dzyxdyz d x?? ??
??
?
??? dxdyd z d xd y d z
弦都为正，的法向量的三个方向余由于 ?
o
x
y
z
n
1 1
1
1,简单应用,
o
x
y
z
n
1 1
1解 按斯托克斯公式,有
dzyxdyz d x?? ??
??
?
??? dxdyd z d xd y d z
弦都为正，的法向量的三个方向余由于 ?
再由对称性知：
???
xyD
d?3 x
y
o 1
xyD
1 dzyxdyz d x?? ??
??
?
??? dxdyd z d xd y d z
.23?
例 2 计算曲线积分
dzyxdyxzdxzy )()()(
222222
??????
?
其中 ? 是平面
2
3
??? zyx 截立方体,
10 ?? x,10 ?? y,10 ?? z 的表面所得的截
痕,若从
ox
轴的正向看去,取逆时针方向,
解
取 Σ 为平面
2
3??? zyx
的上侧被 ? 所围成的部分,
则单位法向量
}.1,1,1{31 ?n o
x
y
z
1 1
1
解
取 Σ 为平面
2
3??? zyx
的上侧被 ? 所围成的部分,
则单位法向量
}.1,1,1{31 ?n ox y
z
1 1
1
即,3
1c o sc o sc o s ??? ???
dS
yxxzzy
zyx
I ??
?
???
?
?
?
?
?
?
?
222222
3
1
3
1
3
1
由 斯托克斯公式
??
?
???? dSzyx )(34
?? ???
xyD
d x d y32334
.29??
即,3
1c o sc o sc o s ??? ???
dS
yxxzzy
zyx
I ??
?
???
?
?
?
?
?
?
?
222222
3
1
3
1
3
1
由 斯托克斯公式
o x
y
21
21
23?? yx
21?? yx; 3 dxdydS ?;,xyD得投影?
三代：
二换：
一投：
.23??? zyx
8121 ???xyDS,43?
三、小结
?????
??
? dSAdvAd i v n?
3、应用的条件
4、物理意义
2、高斯公式的实质
1、高斯公式
?????
??
??????????? Rdx d yQd z d xP d ydzdvzRyQxP )(
6,斯托克斯公式成立的条件
5,斯托克斯公式
??? ?
?
???
?
?
?
?
?
?? R d zQ d yP d x
RQP
zyx
dxdyd z d xd y d z ds
RQP
zyx
c o sc o sc o s
??
?
?
?
?
?
?
?
???
作业, P295,1,2,3,4,5.
思考题
曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？
思考题解答
曲面应是分片光滑的 闭 曲面,
一,利用高斯公式计算曲面积分,
1, d x d yzd z d xyd y d zx
333
??
??
?
,其中 ? 为球面
2222
azyx ??? 外侧；
2,
??
?
?? z d x d yy d z d xx d y d z,其中
?
是界于 0?z 和
3?z
之间的圆柱体 9
22
?? yx 的整个表面的外
侧；
3, ??
?
x z d y d z,?其中 是上半球面
222
yxRz ???
的上侧,
练习题
二、证明, 由封闭曲面所包围的体积为
??
?
??? dszyxV )c o sc o sc o s(
3
1
???,式中
??? c o s,c o s,c o s 是曲面的外法线的方向余弦,
三、求向量 kxzjyxizxA
22
)2( ????,穿过曲面 ?,
为
立方体
ayax ???? 0,0
,az ??0 的全表面,流
向外侧的通量,
四、求向量场
kxzjxyieA
xy
??
)c o s ()c o s (
2
???
的散
度,
五、设 ),,(,),,( zyxvzyxu 是两个定义在闭区域 ? 上的
具有二阶连续偏导数的函数,
n
v
n
u
?
?
?
?
,依次表示
),,(,),,( zyxvzyxu 沿 ? 的外法线方向的方向导
数,
证明, ds
n
u
v
n
v
ud x d y d zuvvu )()(
?
?
?
?
?
????
??? ??
? ?
其中
?
是空间闭区域
?
的整个边界曲面,
( 注
2
2
2
2
2
2
zyx ?
?
?
?
?
?
?
?
??,称为拉普拉斯算子 )
练习题答案
一,1,
5
5
12
a? ； 2, ?81 ； 3,
4
4
R
?
.
三,)
6
2(
2
3 a
a ?,
四,)s i n (2)s i n (
2
xzxzxyxyeAd i v
xy
???
?
.
