§ 1 函数项级数的概念
§ 2 函数项级数的一致收敛性
§ 3 一致收敛级数的性质
§ 1 函数项级数的概念
函数项级数的一般概念
1.定义,
设 ?? ),(,),(),(
21
xuxuxu
n
是定义在 RI ? 上的
函数,则 ?? ??????
?
?
)()()()(
21
1
xuxuxuxu
n
n
n
称为定义在区间 I 上的 ( 函数项 ) 无穷级数,
,1 2
0
??????
?
?
xxx
n
n例如级数
2.收敛点与收敛域,
如果 Ix ?0,数项级数 ?
?
? 1
0 )(
n
n xu 收敛,
则称 0x 为级数 )(
1
xu
n
n?
?
?
的 收敛点,
否则称为 发散点,
所有发散点的全体称为 发散域,
函数项级数 )(
1
xu
n
n?
?
?
的所有收敛点的全体称为 收敛域,
)()(lim xsxs nn ???函数项级数的部分和
余项 )()()( xsxsxr nn ??
(x在收敛域上 )0)(lim ?
?? xrnn
注意 函数项级数在某点 x的收敛问题,实质上
是数项级数的收敛问题,
3.和函数,
?? ????? )()()()( 21 xuxuxuxs n
在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 )( xs,
称 )( xs 为函数项级数的 和函数,
(定义域是?)
),(xsn
例 1 求级数 n
n
n
xn
)
1
1
(
)1(
1 ?
???
?
的收敛域,
解 由达朗贝尔判别法
)(
)(1
xu
xu
n
n?
xn
n
???? 1
1
1 )(1
1 ??
?? nx
,11 1)1( ?? x当
,20 时或即 ??? xx 原级数绝对收敛,
,11 ??? x
,11 1)2( ?? x当,11 ??? x
,02 时即 ??? x原级数发散,
,0时当 ?x ?
?
?
?
1
)1(
n
n
n级数 收敛 ;
,2 时当 ??x ?
?
? 1
1
n n
级数 发散 ;
).,0[)2,( ??????故级数的收敛域为
,1|1|)3( ?? x当,20 ???? xx 或
§ 2 函数项级数的一致收敛性
一、问题的提出
有限个连续函数的和仍是连续函数，有
限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的
导数及积分的和．对于无限个函数的和是否具
有这些性质呢？对于幂函数是这样的，那么对
于一般的函数项级数是否如此？
问题,
解
,)( nn xxs ?且 得和函数：
因为该级数每一项都在 [0,1]是连续的，
??
?
?
????
??,1,1
,10,0)(lim)(
x
xxsxs
nn
.1)( 处间断在和函数 ?xxs
例 1 考察函数项级数
?? ???????? ? )()()( 1232 nn xxxxxxx
和函数的连续性．
函数项级数的每一项在 ],[ ba 上连续，并且
级数在 ],[ ba 上收敛，其和函数不一定在 ],[ ba 上
收敛．同样函数项级数的每一项的导数及积分所
成的级数的和也不一定等于他们和函数的导数及
积分．
结论 对什么级数，能从每一项的连续性得出和
函数的连续性，从每一项的导数及积分所成的级
数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢？ 问题
二、函数项级数的一致收敛性
设有函数项级数 ?
?
? 1
)(
n
n
xu,如果对于任意
给定的正数 ?,都存在着一个只依赖于 ? 的自
然数 N,使得当 Nn ? 时，对区间 I 上的一切
x,都有不等式
???? )()()( xsxsxr
nn
成立，则成函数项级数 ?
?
? 1
)(
n
n
xu 在区间 I 上一致
收敛于和 )( xs,也称函数序列
)( xs
n 在区间
I 上
一致收敛于
)( xs
．
定义
只要 n 充分大 )( Nn ?,在区间 I 上所有曲
线 )( xsy n? 将位于曲线
??? )( xsy 与 ??? )( xsy 之间,
x
y
o I
??? )( xsy
??? )( xsy
)(xsy ?
)( xsy n??
?
几何解释,
研究级数
?? ??
?
?
?
?
?
??
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 1
11
1
1
2
1
1
1
nxnxxxx
在区间 ),0[ ?? 上的一致收敛性,
例 2
解,1)( nxxs n ???
)0(01lim)(lim)( ????????
????
xnxxsxs
nnn
余项的绝对值
)0(11)()( ????????? xnnxxsxsr nn
对于任给 0??,取自然数 ?1?N,
则当 Nn ? 时，对于区间 ],0[ ?? 上的一切 x,
，有 ??)( xrn根据定义，
所给级数在区间 ],0[ ?? 上一致收敛于,0)( ?xs
例 3 研究例 1中的级数
?? ???????? ? )()()( 1232 nn xxxxxxx
在区间 ( 0,1]内的一致收敛性,
解 该级数在区间 ( 0,1) 内处处收敛于和 0)( ?xs,
但并不一致收敛．
对于任意一个自然数,n 取 nnx 21?,于是
,21)( ?? nnnn xxs
,0)( ?nxs但,21)()()( ??? nnnnn xsxsxr从而
? 只要取
2
1
??,不论 n 多么大，在 ( 0,1 ) 总存在
点 nx,,)( ??
nn xr使得
因此级数在 ( 0,1 )内不一致连续．
说明,
从下图可以看出,
但
虽然函数序列 nn xxs ?)( 在 ( 0,1 )内处处
,0)( ?xs )(xsn 在 ( 0,1 )内各点处收收敛于
敛于零的“快慢”程度是不一致的．
o x
y (1,1) nn xxsy ?? )(
1?n 2?n
4?n 10?n
30?n
1
一致收敛．
上，这级数在注意：对于任意正数 ],0[1 rr ?
小结 一致收敛性与所讨论的区间有关．
定理 （魏尔斯特拉斯 (Weierstrass)判别法）
如果函数项级数 ?
?
? 1
)(
n
n xu 在区间 I 上满足条件,
(1) )3,2,1()( ??? naxu
nn;
( 2 ) 正项级数 ?
?
? 1n
n
a 收敛,
则函数项级数 ?
?
? 1
)(
n
n xu 在区间 I 上一致收敛,
一致收敛性简便的判别法：
证
由条件 ( 2 ),对任意给定的 0??,根据柯西
审敛原理存在自然数 N,使得当 Nn ? 时，对
于任意的自然数 p 都有
.221 ????? ??? pnnn aaa ?
由条件 ( 1 ),对任何 Ix ?,都有
)()()(
21
xuxuxu
pnnn ???
??? ?
)()()(
21
xuxuxu
pnnn ???
???? ?
,221 ?????? ??? pnnn aaa ?
令 ??p,则由上式得
?
?
??
2
)( xr n,
因此函数项级数 ?
?
? 1
)(
n
n xu 在区间 I 上一致收敛,
例 4 证明级数
?? ???? 2
2
2
2
2
s i n
2
2s i n
1
s i n
n
xnxx
在 ),( ???? 上一致收敛,
证 ? 　在 ),( ???? 内
),3,2,1(1s i n 22
2
??? nnn xn
? 级数 ?
?
? 1
2
1
n n
收敛，
由魏尔斯特拉斯判别法，
?所给级数在 ),( ???? 内一致收敛．
三、小结
1、函数项级数一致收敛的定义；
2、一致收敛级数的判别法 —— 魏尔斯特拉斯
判别法；
3、一致收敛级数的基本性质；
练 习 题
上一致收敛．在任一有限区间证明
之差的绝对值小于正数
与其极限时能使当取多大问
．上收敛于
在一、已知函数序列
],[)(.2;
)(,,),(.1
0
),(),3,2,1(s i n
baxs
xsNnxN
n
n
x
s
n
n
n
?
? ?
?????? ?
上的一致收敛性．
在区间二、按定义讨论级数 ),(
)1(
)1( 2
2
1
1 ????
?
??
?
?
?
n
n
n
x
x
.0,.2;,
2
c o s
.1
1
2
1
????
??????
?
?
?
?
?
?
?
xex
x
nx
n
nx
n
n
区间上的一致收敛性．
所给判别法证明下列级数在三、利用魏尔斯特拉斯
练习题答案
．取自然数一,?xN ?.1
二、一致收敛．
§ 3 一致收敛级数的性质
一致收敛级数的基本性质
定理 1
如果级数 ?
?
? 1
)(
n
n
xu 的各项 )( xu
n
在区间
[ ba,] 上都连续,且 ?
?
? 1
)(
n
n
xu 在区间 [ ba,] 上一
致收敛于 )( xs,则 )( xs 在 [ ba,] 上也连续,
证
设 xx,0 为 ? ?ba,上任意点．由
)()()(),()()( 000 xrxsxsxrxsxs nnnn ????
)()()()( 00 xrxrxsxs nnnn ???? (1)
)()()()()()( 000 xrxrxsxsxsxs nnnn ??????
? 级数 ?
?
? 1
)(
n
n xu 一致收敛于 )( xs,
对 0?? ?,必 ? 自然数 )( ?NN ?,使得当 Nn ? 时,
对 ? ?ba,上的一切 x 都有
3)(
??xr
n (2)
.3)( 0 ??xrn同样有
故 )( xs n ( Nn ? ) 在点 0x 连续，
(3)0?? ? 当 ??? 0xx 时总有 3)()( 0
??? xsxs
nn
由 (1),(2),(3)可见,对任给 0??,必有 0??,
当 ??? 0xx 时，有,)()( 0 ??? xsxs
? 　 )( xs n 是有限项连续函数之和，
所以 )( xs 在点 0x 处连续,　而 0x 在 [ ba,] 上是任意
的，因此 )( xs 在 [ ba,] 上连续．
定理 2
如果级数 ?
?
? 1
)(
n
n
xu 的各项 )( xu
n
在区间
[ ba,] 上都连续,且 ?
?
? 1
)(
n
n
xu 在区间 [ ba,] 上一
致收敛于 )( xs,则 )( xs 在 [ ba,] 上可以逐项积分,
即
??? ??
?
x
x
x
x
x
x
dxxudxxu
dxxs
00
0
)()(
)(
21 ?? ?? ? x
x n dxxu0 )(
其中 bxxa ??? 0,并且上式右端的级数在
[ ba,] 上也一致收敛,
(4)
证 ? 级数 ?
?
? 1
)(
n
n xu 在 [ ba,] 一致收敛于 )( xs,
由定理 1,)( xs, )( xr
n
都在 [ ba,] 上连续，
所以积分 ?
x
x
dxxs
0
)(, ?
x
x n
dxxr
0
)( 存在,从而有
?? ?? xx nxx dxxsdxxs
00
)()( ? xx n dxxr
0
)(.)(
0?
? xx n dxxr
又由级 数的一 致收 敛性,对任 给正数 ? 必有
)( ?NN ? 使得当 Nn ? 时,对 [ ba,] 上的一切 x,都
有,)(
abxrn ??
?
?? ? xx nxx dxxsdxxs 00 )()( ?? xx n dxxr0 )(
.)( 0 ?? ????? xxqb 根据极限定义，有
? ???
?????
??
n
i
x
x nn
x
x nn
x
x dxxudxxsdxxs 1 000 )(lim)(lim)(
即 ? ??
?
?
?
1 00
)()(
i
x
x i
x
x dxxudxxs
由于 N 只依赖于 ? 而于 xx,0 无关，
所以级数 ? ?
?
? 1 0
)(
i
x
x i
dxxu 在 [ ba,] 上一致收敛,
于是，当 Nn ? 时有
定理 3
如果级数 ?
?
? 1
)(
n
n
xu 在区间 [ ba,] 上收敛
于和 )( xs,它的各项 )( xu
n
都具有连续导数
)( xu
n
?
，并且级数 ?
?
?
?
1
)(
n
n
xu 在 [ ba,] 上一致收敛，
则级数 ?
?
? 1
)(
n
n
xu 在 [ ba,] 上也一致收敛，且可逐
项求导，即
?? ????????? )()()()(
21
xuxuxuxs
n
(5)
注意,级数一致收敛并不能保证可以逐项求导,
例如，级数 ?? ????
2
2
2
2
2
s i n
2
2s i n
1
s i n
n
xnxx
在任何区间 ],[ ba 上都是一致收敛的,
逐项求导后得级数
,c o s2c o sc o s 22 ?? ???? xnxx
.
,
发散的
都是所以对于任意值因其一般项不趋于零 x
所以原级数不可以逐项求导．
定理 4
如果幂级数 ?
?
? 1n
n
n
xa 的收敛半径为 0?R,
则其级数在 ),( RR? 内的任意闭区间 [ ba,] 上一
致收敛,
进一步还可以证明，如果幂级数 ?
?
? 1n
n
n
xa 在收敛
区间的端点收敛，则一致收敛的区间可扩大到包
含端点．
幂级数的一致收敛性
定理 5
如 果 幂 级 数 ?
?
? 1n
n
n
xa 的 收 敛 半 径 为
0?R,则其和函数 )( xs 在 ),( RR? 内可导，且
有逐项求导公式
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1
1
1
)(
n
n
n
n
n
n
xnaxaxs,
逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收
敛半径．
证
在 ),( RR? 内任意取定 x,在限定 1x,使得
Rxx ??
1,记 1
1
??
x
x
q,则
先证级数 ?
?
?
?
1
1
n
n
n xna 在 ),( RR? 内收敛．
,11 1
1
1
1
1
1
1
1 n
n
nn
n
n
n
n xaxnqxaxx
xnxna ???? ???
由比值审敛法可知级数 ?
?
?
?
1
1
n
nnq 收敛，
),(01 ???? nnq n于是
故数列 1?nnq 有界，必有 0?M,使得
),2,1(1
1
1 ????? nM
xnq
n
又 Rx ?? 10,级数 ?
?
? 1
1
n
n
n xa 收敛，
由比较审敛法即得级数 ?
?
?
?
1
1
n
n
n xna 收敛,由定理 4,级数 ?
?
?
?
1
1
n
n
n
xna 在 ),( RR? 内的任意
闭区间 [ ba,] 上一致连续，
故幂级数 ?
?
? 1n
n
n
xa 在 [ ba,] 上适合定理 3 条件，从
而可以逐项求导．
即得幂级数 ?
?
? 1n
n
n xa 在 ),( RR? 内可逐项求导,
设幂级数 ?
?
?
?
1
1
n
n
n xna 的收敛半径为 R ?,,RR ??
由 [ ba,] 在 ),( RR? 内的任意性，
将此幂级数 ?
?
?
?
1
1
n
n
n
xna 在 [ x,0 ] )( Rx ?? 上
逐项积分即得,
1
?
?
?n
n
n
xa
因逐项积分所得级数的收敛半径不会缩小，
,RR ??所以,RR ??于是
即 ?
?
?
?
1
1
n
n
n xna 与 ?
?
? 1n
n
n xa 的收敛半径相同．