第十六章 多元函数的极限与连续
§ 2二元函数的极限
§ 3二元函数的连续性
§ 1 平面点集与多元函数
第十六章 多元函数的极限与连续
§ 1 平面点集与多元函数
一, 平面点集
1,邻域, 以点 X0 = (x0,y0)为中心,以 ? 为半径
的圆内部点的全体称为 X0 的 ? 邻域,
即 ?),( 0 ?X? })()(|),{( 2020 ????? yyxxyx
}|||| |),({ 0 ????? XXyxX
记 ? (X0,? ) = U (X0,? ) ? { X0 },称为 X0 的
去心 ? 邻域, 如图
),,( 0 ?X?记作
X0
?
X0
?
U (X0,? ) ? (X0,? )
当不关心邻域半径时,简记为 U (X0 )和 ? (X0).
2.内点, 设 E 是一平面点集,X0 = (x0,y0)?E,
若 存在 邻域 U(X0,? ) ? E,则称 X0为
E 的内点,
E 的全体内点所成集合称为 E 的内部,记为 E0.
,1 22 为单位圆盘的定义域比如 Dyxz ???
D = {(x,y)| x2 + y2 ?1 } 如图
x
y
o
x2 + y2 = 1
1
1
D
易知,圆内部的每一点都是 D 的内点, 但
圆周上的点不是 D 的内点,
x + y = 0
x
y
0
如图
D
又如 z = ln (x+y)的定义域 D = {(x,y)| x+y > 0}
易见,直线上方
每一点都是 D的内点,
即 D=D?,但直线上
的点不是 D的内点,
3,边界点, 设 E 是一平面点集,X0 = (x0,y0)是平面
上一个点, 若 X0的 任何 邻域 U(X0,? )
内既有属于 E 的点,又有不属于 E的点,
则称 X0 为 E 的边界点,
E 的全体边界点所成集合称为 E 的边界, 记作 ?E.
如,例 1中定义域 D 的边界是直线 x +y = 0
上点的全体, 例 2中定义域 D 的边界是单位圆
周 x2 + y2 = 1上的点的全体, 如图
x
y
o 1
1
x2 + y2 = 1
D
x + y = 0
x
y
o
E 的边界点可以是 E 中的点,
也可以不是 E 中的点,
D
4,开集
设 E 是一平面点集,若 E 中每一点都是 E 的内点,
即 E ? E0,则称 E 是一个开集,
由于总有 E0 ? E,因此,E ? E0 ? E = E0
故也可说,
比如,例 1中 D 是开集,(D = D0 ),而例 2中 D 不是
开集,
若 E = E0,则称 E 是一个开集,
规定,?,R2为开集,
x
y
o
E
又比如,E 如图
若 E 不包含边界,则 E 为开集,
若 E 包含边界,则 E 不是开集,
结论,非空平面点集 E 为开集的充要
条件是 E 中每一点都不是 E 的边界点, 即
E 不含有 E 的边界点,
证, 必要性, 设 E 为开集,?X ?E,
由开集定义知 X 为 E 的内点,
故 X 不是 E 的边界点,
充分性,若 E 中每一点都不是 E 的边界点,
要证 E 为开集, ?X ?E,由于 X 不是 E 的边界点,
故必存在 X的一个邻域 U(X,? ),在这个邻域 U(X,? )
内或者全是 E 中的点, 或者全都不是 E 中的点,两
者必居其一, 由于 X ?E,故后一情形不会发生,
因此,U(X,? )内必全是 E 中的点, 故 X ?E0,即,
E ? E0,所以 E 是开集,
5,连通集
设 E 是一非空平面点集,若 ?X,Y?E,都
可用完全含于 E 的折线将它们连接起来,则称
E 为连通集, 如图
X Y
E 连通
YX
E 不连通
从几何上看,所谓 E 是连通集,是指 E 是
连成一片的, E 中的点都可用折线连接,
例 1,2中的 D 都是连通集, 如图
x + y = 0
x
y
o x
y
o 1
1
x2 + y2 = 1
6,开区域 (开域 )
设 E 是一平面点集,
比如,例 1中 D 是
开区域,
如图,
E
从几何上看,开
区域是连成一片的,不
包括边界的平面点集,
若 E 是连通的非空开集,则称 E 是开区域,
7,闭区域 (闭域 )
若 E 是开域,记 EEEEE ???? ?? 0
称为闭区域,
如图,
E
易见,例 2中的 D 是
闭区域, 从几何上看,闭
区域是连成一片的, 包括
边界的平面点集,
(本书把 )开区域和闭区域都叫作区域,
8,设 E ? R2,若存在 r > 0,使 E ? U(O,r),则称
E 为有界集, 否则称 E 为无界集,
易见,例 1中 D 是无界集,它是无界开区域,
而例 2中 D 是有界集,它是有界闭区域,
9,聚点,
设 E 是平面点集,X0 是平面上一个点,
若 X0的 任一 邻域内总有无限多个点属于 E,
则称 X0 是 E 的一个聚点,
从几何上看,所谓 X0 是 E 的聚点是指
在 X0 的附近聚集了无限多个 E 中的点, 即,
在 X0 的任意近傍都有无限多个 E 中的点,
X0
?
如图
1,聚点定义也可叙述为, 若 X0 的任一邻域
内至少含有 E 中一个 异于 X0 的点, 则称 X0 为
E 的 一个聚点, (自证 ).
2,E 的聚点 X0可能属于 E,也可能不属于 E,
3,E 的内点一定是 E 的聚点,
4,若 E 是开区域, 则 E 中每一点都是 E 的聚点,
., 的聚点中每一点都是则为闭区域若 EEEEE ?? ?
.的聚点从而是 E即,区域中的任一点都是该区域
的聚点,
一般,集合 E 的边界点不一定是 E 的聚点,
但若 E 是开集,则 E 的边界点一定是 E 的
聚点,自证,
邻域,内点,边界点,开集,连通,
有界,开区域,闭区域,聚点 这 些概念
都可毫无困难地推广到三维空间 R3
中去,且有类似的几何意义, 它们还可
推广到 4 维以上的空间中去,但不再
有几何意义,
（ 3） 点集 E的聚点可以属于 E，也可以不属于 E．
}10|),{( 22 ??? yxyx例如,
(0,0) 是聚点但不属于集合．
}1|),{( 22 ?? yxyx例如,
边界上的点都是聚点也都属于集合．
（ 1） 内点一定是聚点；
说明：
（ 2） 边界点可能是聚点；
}10|),{( 22 ??? yxyx例如，
(0,0) 既是 边界点也是聚点．
（ 4） n 维空间
实数 x 一一对应 数轴点,
数组 (x,y)
实数全体表示直线 (一维空间 )
一一对应
R
平面点
(x,y) 全体表示平面 (二维空间 ) 2R
数组 (x,y,z) 一一对应 空间点
(x,y,z) 全体表示空间 (三维空间 ) 3R
推广,
n 维数组 (x1,x2,…,xn) 全体称为 n 维空间,记为,nR
n 维空间中两点间 距离公式
),,,,( 21 nxxxP ? ),,,,( 21 nyyyQ ?
.)()()(|| 2222211 nn xyxyxyPQ ??????? ?
设两点为
特殊地，当 n =1,2,3时，便为数轴、平面、空间两
点间的距离．
n 维空间中 邻域 概念,? ?
.,|| ),( 00 nRPPPPPU ??? ??
区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
（ 5）二元函数的定义
回忆
y 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是
设 x 和 y 是两个变量。 D 是一个给定
的 数集,若对于每个数 Dx ?,变量
).( xfy ?x 的 函数,记作
定义 1 设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点
DyxP ?),(,变量 z 按照一定的法则总有确定
的值和它对应，则称 z 是变量 yx,的 二元函数,
记为 ),( yxfz ? （或记为 )( Pfz ? ）,
}),(),,( { DyxyxfzzW ???
点集 D ---定义域,
--- 值域,
x,y ---自变量, z ---因变量,
当 2?n 时,n 元函数统称为 多元函数,
对应地，函数 )( xfy ? 称为 一元函数,
类似地可定义三元及三元以上函数．
定义 1 设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点
DyxP ?),(,变量 z 按照一定的法则总有确定
的值和它对应，则称 z 是变量 yx,的 二元函数,
记为 ),( yxfz ? （或记为 )( Pfz ? ）,
}),(),,( { DyxyxfzzW ???
点集 D ---定义域,
--- 值域,
x,y ---自变量, z ---因变量,
).,(),,( yxzyxzzyxz ???的函数也可记为、是
函数的 两个要素, 定义域、对应法则,
与一元函数相类似，对于定义域 约定,
定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集,
例 1 求 的定义域,2
22 )3a r c s i n (
),(
yx
yxyxf
?
???
解 ?
?
?
?
?
??
???
0
13
2
22
yx
yx
??
???
?
????
2
22 42
yx
yx
所求定义域为 }.,42|),{( 222 yxyxyxD ?????
（ 6）二元函数 的图形 ),( yxfz ?
设函数 ),( yxfz ? 的定义域为 D,对于任意
取定的 DyxP ?),(,对应的函数值为 ),( yxfz ?,
以 x 为横坐标,y 为纵坐标,z 为竖坐标在空
间就确定一点 ),,( zyxM,当 ),( yx 取遍 D 上一切
点时，得一个空间点集
}),(),,(|),,{( Dyxyxfzzyx ??,
这个点集称为二元函数的 图形,
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面,
xyz sin?
例如,
图形如右图,
2222 azyx ???
例如,
左图球面,
}.),{( 222 ayxyxD ???
222 yxaz ???
.222 yxaz ????
单值分支,
x
y
z
o
第十六章 多元函数的极限与连续
§ 2 二元函数的极限
回忆一元函数的极限, 设 y = f (x),
,)(l i m
0
Axfxx ??所谓
当 x 不论是从 x0的左边
还是从 x0的右边无限接
近于 x0时,对应的函数
值无限接近于数 A.
表示
如图
x
y
A
0
f (x)f (x)
y = f (x)
x0 xx
x ? x0
,)(l i m
0
语言表示用 ?? ??? Axfxx 就是 ?? >0,??>0.
当 0<|x – x0|< ? 时,有 |f (x) – A |< ?.
设二元函数 z = f (X) = f (x,y),定义域为 D,如图
D
z = f (x,y)
X X
如果当 X在 D内
变动并无限接近于
X0时 (从任何方向,
以任何方式 ),对应
的函数值 f (X)无限
接近于数 A,
则称 A为当 X趋近于
X0时 f (X)的极限,
M
X0
A
y
z
x
o
f (X)
类似于一元函数,f (X)无限接近于数 A可用
| f (X)– A | < ? 刻划, 而平面上的点 X = (x,y) 无
限接近于点 X0 = (x0,y0) 则可用它们之间的距离
,)()( |||| 20200 来刻划??????? yyxxXX
设二元函数 z = f (X) = f (x,y),定义域为 D.
X0= (x0,y0)是 D 的一个聚点, A 为常数,
若 ?? > 0,?? > 0,当
,)()( 2020 时?????? yyxx 对应的函数值满足
| f (X)– A | < ?
则称 A 为 z = f (X)的,当 X 趋近于 X0时 (二重 )极限,
记作,)(l i m
0
AXfXX ?? 或,),(lim
0
0
Ayxf
yy
xx
?
?
?
也可记作 f (X) ? A(X ? X0),或,f (x,y) ? A (x ? x0,
y ? y0 )
定义 1
|||| 0 0XX ??
定义 2 ? 设 n 元函数 )( Pf 的定义域为点集,D
0
P 是
其聚点，如果对于任意给定的正数 ?,总
存在正数 ?,使得对于适合不等式
??? ||0
0
PP
的一切点 DP ?,都有 ??? |)(| APf 成立,
则称 A 为 )( Pf 当
0
PP ? 时的 极限,记为
APf
PP
?
?
)(lim
0
,
利用点函数的形式有 n元函数的极限
说明：
（ 1）定义中 的方式是任意的； 0PP ?
（ 2）二元函数的极限也叫 二重极限 );,(lim
0
0
yxf
yy
xx
?
?
（ 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
（ 4）二重极限的 几何意义,
??> 0,?P0 的去心 ?邻域 oU(P0,? )。 在 oU(P0,? )
内，函数 ),( yxfz ? 的图形总在平面 ??? Az
及 ??? Az 之间。
例 2 求证
证
.01s i n)(lim 2222
0
0
?
?
?
?
? yx
yx
y
x
01s i n)( 2222 ?
?
?
yx
yx
22
22 1s i n
yx
yx
?
??? 22 yx ??
,0?? ?,?? ??
当 时,?????? 22 )0()0(0 yx
.01s i n)( 2222 ???
?
?
yx
yx
原结论成立．
注意, 是指 P以任何 方式趋于 P0,0PP ?
,)(lim 0
0
Axfxx ???
,)(lim 0
0
Axfxx ???,)(l i m 0 Axfxx ?? ?
一
元
中
多
元
中
,)(l i m
0
AxfPP ??, )( ) ( 0PPAxf 以某种方式趋于???
Axf
yy
xx
?
?
?
)(lim
0
0
Ayxf
yy
xx
?
?
?
),(l i m
0
0 ) ( 0Px ?轴沿平行
Ayxf
yy
xx
?
?
?
),(l i m
0
0 ) ( 0Py ?轴沿平行
)
)( (
0
00
P
xxkyy
?
???沿 Ayxf
xx ?? ),(l i m 0
000 )( yxxky ???
??
确定极限 不存在 的 方法,
(1) 令 ),( yxP 沿 )( 00 xxkyy ??? 趋向于 ),( 000 yxP,
若极限值与 k有关，则可断言极限不存在；
(2) 找两种不同趋近方式，使 ),(lim
0
0
yxf
yy
xx
?
? 存在，但
两者不相等，此时也可断言 ),( yxf 在点 ),( 000 yxP
处极限不存在．
例 3 设
解
??
?
?
?
??
??
??
.0,0,0
,0,0,
),( 22
yx
yx
yx
xy
yxf
但取,kxy? ),(li m
0
0
yxf
kxy
x
??
? 2200 )(
lim
kxx
kxx
kxy
x ?
??
??
?
其值随 k 的不同而变化。
不存在．
).,(l i m
0
0
yxf
y
x
?
?
求
?
?
?
),(lim
0
0
yxf
y
x,00lim 0 ??y
?
?
?
),(lim
0
0
yxf
y
x,00lim 0 ??x
.1 2kk??
故 ),(lim
0
0
yxf
y
x
?
?
例 4 求
解
).32(lim 22
1
0
xyyx
y
x
??
?
?
???
?
?
)32(lim 22
1
0
xyyx
y
x
)lim()lim(3)(lim2)(lim
1
0
1
0
2
1
0
2
1
0
yxyx
y
x
y
x
y
x
y
x
?
?
?
?
?
?
?
?
????
)3(lim)2(lim)(lim
1
0
2
1
0
2
1
0
xyyx
y
x
y
x
y
x
?
?
?
?
?
?
??
.2103120 ???????
例 5 求极限
.)s i n (l i m 22
2
0
0 yx
yx
y
x ?
?
?
解 22
2
0
0
)s in (lim
yx
yx
y
x ?
?
?
,)s i n (lim 22
2
2
2
0
0 yx
yx
yx
yx
y
x ?
??
?
?
其中 yx
yx
y
x 2
2
0
0
)s in (lim
?
? u u
u
s inlim
0?,1?
22
2
0
yx
yx
?
? x
21?,00?? ?? ?x,0)s i n (lim
22
2
0
0
?
?
?
? yx
yx
y
x
于是，
yxu 2?
注 1,定义 1中要求 X0是定义域 D的聚点,这是
为了保证 X0的任意近傍总有点 X使得 f (X)存在,进
而才有可能判断 | f (X)– A | 是否小于 ?的问题,
若 D是一区域, 则只须要求,0 DDDX ??? ?
就可保证 X0 是 D的一个聚点,
另外," 0 < ||X ? X0 || < ? "表示 X 不等于 X0.
2,),( xf对一元函数
.)(l i m)(l i m
00
Axfxf xxxx ?? ?? ??
如图
x x0 x
?? 0xx ?? 0xx
x
??? Axfxx )(lim
0
有
xo
X0
X
D
对二元函数 f (X),如图
有,)(lim
0
AXfXX ??
?点 X以任何方式趋近
于 X0时,f (X)的极限都存
在且为 A.D
z = f (x,y)
X
f (X)
M
X0
A
y
z
x
o
因此,如果当 X以某几种特殊方式趋于 X0时,
f (X)的极限为 A,不能断定二重极限,)(lim
0
AXfXX ??
若 X以不同方式趋于 X0时,f (X)的 极限不同,
则可肯定二重极限,)(l i m
0
不存在XfXX ?
3,极限定义可推广到三元以上函数中去,且多元
函数极限的运算法则等都与一元函数相同,
例 6.,1s i n),()( yxxyyxfXf ???设二元函数
用定义证明, 0
1s i nlim
0
0
?
?
?
? yx
xy
y
x
证, ?? >0,22||)0,0(||0 yxX ????
<?时,有 | f (x,y) – 0 | < ? ).
考虑 | f (x,y) – 0 | yxxy ?? 1s in || xy? 2
22 yx ?
?
(要证 ?? >0,使得当
要使 | f (x,y) – 0 | < ?,只须 ???2
22 yx
?222 ?? yx即
有时则当取,||)0,0(||,2 22 ??? ????? yxX
| f (x,y) – 0 | < ?
01s i nlim
0
0
?
?
?
? yx
xy
y
x故
例 7.设 f (x,y) =
,0,2222 时当 ??? yxyx xy
,0,0 22 时当 ?? yx
证明 f (x,y)在 (0,0)点的极限不存在,
证, 由注 2知,只须证明当 X 沿不同的线路趋于 (0,0)
时,函数 f (x,y)对应的极限也不同即可,
考察 X =(x,y)沿平面直线 y = kx 趋于 (0,0)的情形,
如图
对应函数值
22),( yx
xyyxf
??
)0,0(),(,)1( 22
2
??? yxkx kx
x
o
y
从而,当 X = (x,y) 沿 y = kx 趋于 (0,0)时,
函数极限
),(lim
0
yxf
kxy
x
?
? 21 k
k
??
当 k 不同时,极限也不同, 因此,f (x,y) 在
(0,0)的极限不存在,
请考察当 X = (x,y)沿 x 轴,沿 y 轴趋于 (0,0)
的情形,
)1(lim 22
2
0 kx
kx
x ?
?
?
),(lim
0
0
yxf
y
x
?
?
沿 x 轴,y = 0,函数极限
= 0 00lim 20 ?? ? xx
沿 y 轴,x = 0,函数极限
),(lim
0
0
yxf
x
y
?
? = 0 20 0
0lim
yx ?? ?
但不能由此断定该二重极限为 0 (注 2).
第十六章 多元函数的极限与连续
§ 3 二元函数的连续性
)()(l i m 0
0
XfXfXX ??若
定义 2
多元函数的连续性
设 z = f (X) = f (x,y),在区域 D上有定义,
则称 f (X) 在 X0 连续,X0 称为 f (X) 的连续点,
否则称 f (X) 在 X0 间断,X0 称为 f (X) 的间断点,
X = (x,y) ?D,X0 = (x0,y0) ?D,
若 f (X) 在 D 上每一点都连续,则称 f (X)
在 D 上连续,记为 f (X) ? C (D).
易知,例 2中 f (x,y)在 (0,0)间断 (极限不存在 ),
上在直线中例 01s i n),(,1 ???? yxyxxyyxf
每一点都间断,
注
1,二元函数 f (X)在 X0 连续必须满足三个条件,
在 X0 有定义,在 X0 的极限存在,两者相等,
2,多元连续函数的和,差,积,商 (分母不为 0)以
及多元连续函数的复合仍是多元连续函数,
定义可推广到三元以上函数中去,
多元初等函数：
由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四
则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表
示的多元函数叫 多元初等函数 。
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域 是指包含在定义域内的区域或闭区域．
在 定义区域内的 连续点求极限可用, 代入法,,
)()()(lim 00
0
定义区域??? PPfPfPP
例 1 求极限
.lim
2
1 xy
yx
y
x
?
?
?
xy
yxyxf ??),(
解 是多元初等函数。
定义域,}.0,0 | ),{( ??? yxyxD
}0,0 | ),{()2,1( 1 ???? yxyxD点,D?
于是,??
?
? xy
yx
y
x
2
1
lim
21 21??,23?
（不连通）
xo
y
例 2
.11lim
0
0 xy
xy
y
x
??
?
?
求
解 )11(
11l i m
0
0 ??
??
?
? xyxy
xy
y
x
11
1l i m
0
0 ??
?
?
? xy
y
x
.21?
???
?
? xy
xy
y
x
11l i m
0
0
3,多元初等函数在它有定义的区域内都是连续的,
所谓多元初等函数是指以 x,y,z,… 为自变量的
基本初等函数 f (x),?(y),g(z),… 以及常函数,经
有限次四则运算和复合所构成的函数,
如 f (x) = exy ·sin(x2+y),22)s i n (ln),( yx yxxyyxf ????
)(tg3),,( s i n xyezx xyzzyxf ???
)s i n (lim 2si n
0
0
yxe xy
y
x
??
?
?
而 = e0 ·sin0 = 0,
4,二元连续函数的几何意义,
定义在区域 D 上的二元连续函数 z = f (X)
= f (x,y)表示了在 D上的一片没有 "空洞 ",没
有 "裂缝 " 的连续曲面,
这里条件 "D 是一区域 " 是必要的, 若 D不是
区域,z = f (X)可能不是通常意义下的连续曲面,
例, 设 D = {(x,y) | x,y 均为有理数 }? R2,z =f (x,y)
是定义在 D 上的,在 D 上恒等于 1,在别的点上
无定义的函数,即
f (x,y) =
1,当 (x,y) ? D时,
无定义,当 (x,y) ? D时,
如图
x
y
z
o
1
可知,? (x0,y0) ? D,
),(1),(l i m 00
0
0
yxfyxf
yy
xx
??
?
?
但曲面 z = f (x,y)不是通常意义下的连续曲面,
有界闭区域上二元连续函数的性质
性质 1,
.)( 值上必须取最大值和最小在则 DXf
性质 2,
.|)(|,
,0,)(
MXfDX
MDXf
???
??
有
使得对即上有界在则
为设 2RD ? 上在若 DXf )(有界闭域,连续,
为设 2RD ? 上在若 DXf )(有界闭域,连续,
小结
多元函数极限的概念
多元函数连续的概念
闭区域上连续函数的性质
（注意趋近方式的 任意性 ）
多元函数的定义
作业,P 105 1,2,3,4,5,6,7,
§ 2二元函数的极限
§ 3二元函数的连续性
§ 1 平面点集与多元函数
第十六章 多元函数的极限与连续
§ 1 平面点集与多元函数
一, 平面点集
1,邻域, 以点 X0 = (x0,y0)为中心,以 ? 为半径
的圆内部点的全体称为 X0 的 ? 邻域,
即 ?),( 0 ?X? })()(|),{( 2020 ????? yyxxyx
}|||| |),({ 0 ????? XXyxX
记 ? (X0,? ) = U (X0,? ) ? { X0 },称为 X0 的
去心 ? 邻域, 如图
),,( 0 ?X?记作
X0
?
X0
?
U (X0,? ) ? (X0,? )
当不关心邻域半径时,简记为 U (X0 )和 ? (X0).
2.内点, 设 E 是一平面点集,X0 = (x0,y0)?E,
若 存在 邻域 U(X0,? ) ? E,则称 X0为
E 的内点,
E 的全体内点所成集合称为 E 的内部,记为 E0.
,1 22 为单位圆盘的定义域比如 Dyxz ???
D = {(x,y)| x2 + y2 ?1 } 如图
x
y
o
x2 + y2 = 1
1
1
D
易知,圆内部的每一点都是 D 的内点, 但
圆周上的点不是 D 的内点,
x + y = 0
x
y
0
如图
D
又如 z = ln (x+y)的定义域 D = {(x,y)| x+y > 0}
易见,直线上方
每一点都是 D的内点,
即 D=D?,但直线上
的点不是 D的内点,
3,边界点, 设 E 是一平面点集,X0 = (x0,y0)是平面
上一个点, 若 X0的 任何 邻域 U(X0,? )
内既有属于 E 的点,又有不属于 E的点,
则称 X0 为 E 的边界点,
E 的全体边界点所成集合称为 E 的边界, 记作 ?E.
如,例 1中定义域 D 的边界是直线 x +y = 0
上点的全体, 例 2中定义域 D 的边界是单位圆
周 x2 + y2 = 1上的点的全体, 如图
x
y
o 1
1
x2 + y2 = 1
D
x + y = 0
x
y
o
E 的边界点可以是 E 中的点,
也可以不是 E 中的点,
D
4,开集
设 E 是一平面点集,若 E 中每一点都是 E 的内点,
即 E ? E0,则称 E 是一个开集,
由于总有 E0 ? E,因此,E ? E0 ? E = E0
故也可说,
比如,例 1中 D 是开集,(D = D0 ),而例 2中 D 不是
开集,
若 E = E0,则称 E 是一个开集,
规定,?,R2为开集,
x
y
o
E
又比如,E 如图
若 E 不包含边界,则 E 为开集,
若 E 包含边界,则 E 不是开集,
结论,非空平面点集 E 为开集的充要
条件是 E 中每一点都不是 E 的边界点, 即
E 不含有 E 的边界点,
证, 必要性, 设 E 为开集,?X ?E,
由开集定义知 X 为 E 的内点,
故 X 不是 E 的边界点,
充分性,若 E 中每一点都不是 E 的边界点,
要证 E 为开集, ?X ?E,由于 X 不是 E 的边界点,
故必存在 X的一个邻域 U(X,? ),在这个邻域 U(X,? )
内或者全是 E 中的点, 或者全都不是 E 中的点,两
者必居其一, 由于 X ?E,故后一情形不会发生,
因此,U(X,? )内必全是 E 中的点, 故 X ?E0,即,
E ? E0,所以 E 是开集,
5,连通集
设 E 是一非空平面点集,若 ?X,Y?E,都
可用完全含于 E 的折线将它们连接起来,则称
E 为连通集, 如图
X Y
E 连通
YX
E 不连通
从几何上看,所谓 E 是连通集,是指 E 是
连成一片的, E 中的点都可用折线连接,
例 1,2中的 D 都是连通集, 如图
x + y = 0
x
y
o x
y
o 1
1
x2 + y2 = 1
6,开区域 (开域 )
设 E 是一平面点集,
比如,例 1中 D 是
开区域,
如图,
E
从几何上看,开
区域是连成一片的,不
包括边界的平面点集,
若 E 是连通的非空开集,则称 E 是开区域,
7,闭区域 (闭域 )
若 E 是开域,记 EEEEE ???? ?? 0
称为闭区域,
如图,
E
易见,例 2中的 D 是
闭区域, 从几何上看,闭
区域是连成一片的, 包括
边界的平面点集,
(本书把 )开区域和闭区域都叫作区域,
8,设 E ? R2,若存在 r > 0,使 E ? U(O,r),则称
E 为有界集, 否则称 E 为无界集,
易见,例 1中 D 是无界集,它是无界开区域,
而例 2中 D 是有界集,它是有界闭区域,
9,聚点,
设 E 是平面点集,X0 是平面上一个点,
若 X0的 任一 邻域内总有无限多个点属于 E,
则称 X0 是 E 的一个聚点,
从几何上看,所谓 X0 是 E 的聚点是指
在 X0 的附近聚集了无限多个 E 中的点, 即,
在 X0 的任意近傍都有无限多个 E 中的点,
X0
?
如图
1,聚点定义也可叙述为, 若 X0 的任一邻域
内至少含有 E 中一个 异于 X0 的点, 则称 X0 为
E 的 一个聚点, (自证 ).
2,E 的聚点 X0可能属于 E,也可能不属于 E,
3,E 的内点一定是 E 的聚点,
4,若 E 是开区域, 则 E 中每一点都是 E 的聚点,
., 的聚点中每一点都是则为闭区域若 EEEEE ?? ?
.的聚点从而是 E即,区域中的任一点都是该区域
的聚点,
一般,集合 E 的边界点不一定是 E 的聚点,
但若 E 是开集,则 E 的边界点一定是 E 的
聚点,自证,
邻域,内点,边界点,开集,连通,
有界,开区域,闭区域,聚点 这 些概念
都可毫无困难地推广到三维空间 R3
中去,且有类似的几何意义, 它们还可
推广到 4 维以上的空间中去,但不再
有几何意义,
（ 3） 点集 E的聚点可以属于 E，也可以不属于 E．
}10|),{( 22 ??? yxyx例如,
(0,0) 是聚点但不属于集合．
}1|),{( 22 ?? yxyx例如,
边界上的点都是聚点也都属于集合．
（ 1） 内点一定是聚点；
说明：
（ 2） 边界点可能是聚点；
}10|),{( 22 ??? yxyx例如，
(0,0) 既是 边界点也是聚点．
（ 4） n 维空间
实数 x 一一对应 数轴点,
数组 (x,y)
实数全体表示直线 (一维空间 )
一一对应
R
平面点
(x,y) 全体表示平面 (二维空间 ) 2R
数组 (x,y,z) 一一对应 空间点
(x,y,z) 全体表示空间 (三维空间 ) 3R
推广,
n 维数组 (x1,x2,…,xn) 全体称为 n 维空间,记为,nR
n 维空间中两点间 距离公式
),,,,( 21 nxxxP ? ),,,,( 21 nyyyQ ?
.)()()(|| 2222211 nn xyxyxyPQ ??????? ?
设两点为
特殊地，当 n =1,2,3时，便为数轴、平面、空间两
点间的距离．
n 维空间中 邻域 概念,? ?
.,|| ),( 00 nRPPPPPU ??? ??
区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
（ 5）二元函数的定义
回忆
y 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是
设 x 和 y 是两个变量。 D 是一个给定
的 数集,若对于每个数 Dx ?,变量
).( xfy ?x 的 函数,记作
定义 1 设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点
DyxP ?),(,变量 z 按照一定的法则总有确定
的值和它对应，则称 z 是变量 yx,的 二元函数,
记为 ),( yxfz ? （或记为 )( Pfz ? ）,
}),(),,( { DyxyxfzzW ???
点集 D ---定义域,
--- 值域,
x,y ---自变量, z ---因变量,
当 2?n 时,n 元函数统称为 多元函数,
对应地，函数 )( xfy ? 称为 一元函数,
类似地可定义三元及三元以上函数．
定义 1 设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点
DyxP ?),(,变量 z 按照一定的法则总有确定
的值和它对应，则称 z 是变量 yx,的 二元函数,
记为 ),( yxfz ? （或记为 )( Pfz ? ）,
}),(),,( { DyxyxfzzW ???
点集 D ---定义域,
--- 值域,
x,y ---自变量, z ---因变量,
).,(),,( yxzyxzzyxz ???的函数也可记为、是
函数的 两个要素, 定义域、对应法则,
与一元函数相类似，对于定义域 约定,
定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集,
例 1 求 的定义域,2
22 )3a r c s i n (
),(
yx
yxyxf
?
???
解 ?
?
?
?
?
??
???
0
13
2
22
yx
yx
??
???
?
????
2
22 42
yx
yx
所求定义域为 }.,42|),{( 222 yxyxyxD ?????
（ 6）二元函数 的图形 ),( yxfz ?
设函数 ),( yxfz ? 的定义域为 D,对于任意
取定的 DyxP ?),(,对应的函数值为 ),( yxfz ?,
以 x 为横坐标,y 为纵坐标,z 为竖坐标在空
间就确定一点 ),,( zyxM,当 ),( yx 取遍 D 上一切
点时，得一个空间点集
}),(),,(|),,{( Dyxyxfzzyx ??,
这个点集称为二元函数的 图形,
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面,
xyz sin?
例如,
图形如右图,
2222 azyx ???
例如,
左图球面,
}.),{( 222 ayxyxD ???
222 yxaz ???
.222 yxaz ????
单值分支,
x
y
z
o
第十六章 多元函数的极限与连续
§ 2 二元函数的极限
回忆一元函数的极限, 设 y = f (x),
,)(l i m
0
Axfxx ??所谓
当 x 不论是从 x0的左边
还是从 x0的右边无限接
近于 x0时,对应的函数
值无限接近于数 A.
表示
如图
x
y
A
0
f (x)f (x)
y = f (x)
x0 xx
x ? x0
,)(l i m
0
语言表示用 ?? ??? Axfxx 就是 ?? >0,??>0.
当 0<|x – x0|< ? 时,有 |f (x) – A |< ?.
设二元函数 z = f (X) = f (x,y),定义域为 D,如图
D
z = f (x,y)
X X
如果当 X在 D内
变动并无限接近于
X0时 (从任何方向,
以任何方式 ),对应
的函数值 f (X)无限
接近于数 A,
则称 A为当 X趋近于
X0时 f (X)的极限,
M
X0
A
y
z
x
o
f (X)
类似于一元函数,f (X)无限接近于数 A可用
| f (X)– A | < ? 刻划, 而平面上的点 X = (x,y) 无
限接近于点 X0 = (x0,y0) 则可用它们之间的距离
,)()( |||| 20200 来刻划??????? yyxxXX
设二元函数 z = f (X) = f (x,y),定义域为 D.
X0= (x0,y0)是 D 的一个聚点, A 为常数,
若 ?? > 0,?? > 0,当
,)()( 2020 时?????? yyxx 对应的函数值满足
| f (X)– A | < ?
则称 A 为 z = f (X)的,当 X 趋近于 X0时 (二重 )极限,
记作,)(l i m
0
AXfXX ?? 或,),(lim
0
0
Ayxf
yy
xx
?
?
?
也可记作 f (X) ? A(X ? X0),或,f (x,y) ? A (x ? x0,
y ? y0 )
定义 1
|||| 0 0XX ??
定义 2 ? 设 n 元函数 )( Pf 的定义域为点集,D
0
P 是
其聚点，如果对于任意给定的正数 ?,总
存在正数 ?,使得对于适合不等式
??? ||0
0
PP
的一切点 DP ?,都有 ??? |)(| APf 成立,
则称 A 为 )( Pf 当
0
PP ? 时的 极限,记为
APf
PP
?
?
)(lim
0
,
利用点函数的形式有 n元函数的极限
说明：
（ 1）定义中 的方式是任意的； 0PP ?
（ 2）二元函数的极限也叫 二重极限 );,(lim
0
0
yxf
yy
xx
?
?
（ 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
（ 4）二重极限的 几何意义,
??> 0,?P0 的去心 ?邻域 oU(P0,? )。 在 oU(P0,? )
内，函数 ),( yxfz ? 的图形总在平面 ??? Az
及 ??? Az 之间。
例 2 求证
证
.01s i n)(lim 2222
0
0
?
?
?
?
? yx
yx
y
x
01s i n)( 2222 ?
?
?
yx
yx
22
22 1s i n
yx
yx
?
??? 22 yx ??
,0?? ?,?? ??
当 时,?????? 22 )0()0(0 yx
.01s i n)( 2222 ???
?
?
yx
yx
原结论成立．
注意, 是指 P以任何 方式趋于 P0,0PP ?
,)(lim 0
0
Axfxx ???
,)(lim 0
0
Axfxx ???,)(l i m 0 Axfxx ?? ?
一
元
中
多
元
中
,)(l i m
0
AxfPP ??, )( ) ( 0PPAxf 以某种方式趋于???
Axf
yy
xx
?
?
?
)(lim
0
0
Ayxf
yy
xx
?
?
?
),(l i m
0
0 ) ( 0Px ?轴沿平行
Ayxf
yy
xx
?
?
?
),(l i m
0
0 ) ( 0Py ?轴沿平行
)
)( (
0
00
P
xxkyy
?
???沿 Ayxf
xx ?? ),(l i m 0
000 )( yxxky ???
??
确定极限 不存在 的 方法,
(1) 令 ),( yxP 沿 )( 00 xxkyy ??? 趋向于 ),( 000 yxP,
若极限值与 k有关，则可断言极限不存在；
(2) 找两种不同趋近方式，使 ),(lim
0
0
yxf
yy
xx
?
? 存在，但
两者不相等，此时也可断言 ),( yxf 在点 ),( 000 yxP
处极限不存在．
例 3 设
解
??
?
?
?
??
??
??
.0,0,0
,0,0,
),( 22
yx
yx
yx
xy
yxf
但取,kxy? ),(li m
0
0
yxf
kxy
x
??
? 2200 )(
lim
kxx
kxx
kxy
x ?
??
??
?
其值随 k 的不同而变化。
不存在．
).,(l i m
0
0
yxf
y
x
?
?
求
?
?
?
),(lim
0
0
yxf
y
x,00lim 0 ??y
?
?
?
),(lim
0
0
yxf
y
x,00lim 0 ??x
.1 2kk??
故 ),(lim
0
0
yxf
y
x
?
?
例 4 求
解
).32(lim 22
1
0
xyyx
y
x
??
?
?
???
?
?
)32(lim 22
1
0
xyyx
y
x
)lim()lim(3)(lim2)(lim
1
0
1
0
2
1
0
2
1
0
yxyx
y
x
y
x
y
x
y
x
?
?
?
?
?
?
?
?
????
)3(lim)2(lim)(lim
1
0
2
1
0
2
1
0
xyyx
y
x
y
x
y
x
?
?
?
?
?
?
??
.2103120 ???????
例 5 求极限
.)s i n (l i m 22
2
0
0 yx
yx
y
x ?
?
?
解 22
2
0
0
)s in (lim
yx
yx
y
x ?
?
?
,)s i n (lim 22
2
2
2
0
0 yx
yx
yx
yx
y
x ?
??
?
?
其中 yx
yx
y
x 2
2
0
0
)s in (lim
?
? u u
u
s inlim
0?,1?
22
2
0
yx
yx
?
? x
21?,00?? ?? ?x,0)s i n (lim
22
2
0
0
?
?
?
? yx
yx
y
x
于是，
yxu 2?
注 1,定义 1中要求 X0是定义域 D的聚点,这是
为了保证 X0的任意近傍总有点 X使得 f (X)存在,进
而才有可能判断 | f (X)– A | 是否小于 ?的问题,
若 D是一区域, 则只须要求,0 DDDX ??? ?
就可保证 X0 是 D的一个聚点,
另外," 0 < ||X ? X0 || < ? "表示 X 不等于 X0.
2,),( xf对一元函数
.)(l i m)(l i m
00
Axfxf xxxx ?? ?? ??
如图
x x0 x
?? 0xx ?? 0xx
x
??? Axfxx )(lim
0
有
xo
X0
X
D
对二元函数 f (X),如图
有,)(lim
0
AXfXX ??
?点 X以任何方式趋近
于 X0时,f (X)的极限都存
在且为 A.D
z = f (x,y)
X
f (X)
M
X0
A
y
z
x
o
因此,如果当 X以某几种特殊方式趋于 X0时,
f (X)的极限为 A,不能断定二重极限,)(lim
0
AXfXX ??
若 X以不同方式趋于 X0时,f (X)的 极限不同,
则可肯定二重极限,)(l i m
0
不存在XfXX ?
3,极限定义可推广到三元以上函数中去,且多元
函数极限的运算法则等都与一元函数相同,
例 6.,1s i n),()( yxxyyxfXf ???设二元函数
用定义证明, 0
1s i nlim
0
0
?
?
?
? yx
xy
y
x
证, ?? >0,22||)0,0(||0 yxX ????
<?时,有 | f (x,y) – 0 | < ? ).
考虑 | f (x,y) – 0 | yxxy ?? 1s in || xy? 2
22 yx ?
?
(要证 ?? >0,使得当
要使 | f (x,y) – 0 | < ?,只须 ???2
22 yx
?222 ?? yx即
有时则当取,||)0,0(||,2 22 ??? ????? yxX
| f (x,y) – 0 | < ?
01s i nlim
0
0
?
?
?
? yx
xy
y
x故
例 7.设 f (x,y) =
,0,2222 时当 ??? yxyx xy
,0,0 22 时当 ?? yx
证明 f (x,y)在 (0,0)点的极限不存在,
证, 由注 2知,只须证明当 X 沿不同的线路趋于 (0,0)
时,函数 f (x,y)对应的极限也不同即可,
考察 X =(x,y)沿平面直线 y = kx 趋于 (0,0)的情形,
如图
对应函数值
22),( yx
xyyxf
??
)0,0(),(,)1( 22
2
??? yxkx kx
x
o
y
从而,当 X = (x,y) 沿 y = kx 趋于 (0,0)时,
函数极限
),(lim
0
yxf
kxy
x
?
? 21 k
k
??
当 k 不同时,极限也不同, 因此,f (x,y) 在
(0,0)的极限不存在,
请考察当 X = (x,y)沿 x 轴,沿 y 轴趋于 (0,0)
的情形,
)1(lim 22
2
0 kx
kx
x ?
?
?
),(lim
0
0
yxf
y
x
?
?
沿 x 轴,y = 0,函数极限
= 0 00lim 20 ?? ? xx
沿 y 轴,x = 0,函数极限
),(lim
0
0
yxf
x
y
?
? = 0 20 0
0lim
yx ?? ?
但不能由此断定该二重极限为 0 (注 2).
第十六章 多元函数的极限与连续
§ 3 二元函数的连续性
)()(l i m 0
0
XfXfXX ??若
定义 2
多元函数的连续性
设 z = f (X) = f (x,y),在区域 D上有定义,
则称 f (X) 在 X0 连续,X0 称为 f (X) 的连续点,
否则称 f (X) 在 X0 间断,X0 称为 f (X) 的间断点,
X = (x,y) ?D,X0 = (x0,y0) ?D,
若 f (X) 在 D 上每一点都连续,则称 f (X)
在 D 上连续,记为 f (X) ? C (D).
易知,例 2中 f (x,y)在 (0,0)间断 (极限不存在 ),
上在直线中例 01s i n),(,1 ???? yxyxxyyxf
每一点都间断,
注
1,二元函数 f (X)在 X0 连续必须满足三个条件,
在 X0 有定义,在 X0 的极限存在,两者相等,
2,多元连续函数的和,差,积,商 (分母不为 0)以
及多元连续函数的复合仍是多元连续函数,
定义可推广到三元以上函数中去,
多元初等函数：
由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四
则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表
示的多元函数叫 多元初等函数 。
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域 是指包含在定义域内的区域或闭区域．
在 定义区域内的 连续点求极限可用, 代入法,,
)()()(lim 00
0
定义区域??? PPfPfPP
例 1 求极限
.lim
2
1 xy
yx
y
x
?
?
?
xy
yxyxf ??),(
解 是多元初等函数。
定义域,}.0,0 | ),{( ??? yxyxD
}0,0 | ),{()2,1( 1 ???? yxyxD点,D?
于是,??
?
? xy
yx
y
x
2
1
lim
21 21??,23?
（不连通）
xo
y
例 2
.11lim
0
0 xy
xy
y
x
??
?
?
求
解 )11(
11l i m
0
0 ??
??
?
? xyxy
xy
y
x
11
1l i m
0
0 ??
?
?
? xy
y
x
.21?
???
?
? xy
xy
y
x
11l i m
0
0
3,多元初等函数在它有定义的区域内都是连续的,
所谓多元初等函数是指以 x,y,z,… 为自变量的
基本初等函数 f (x),?(y),g(z),… 以及常函数,经
有限次四则运算和复合所构成的函数,
如 f (x) = exy ·sin(x2+y),22)s i n (ln),( yx yxxyyxf ????
)(tg3),,( s i n xyezx xyzzyxf ???
)s i n (lim 2si n
0
0
yxe xy
y
x
??
?
?
而 = e0 ·sin0 = 0,
4,二元连续函数的几何意义,
定义在区域 D 上的二元连续函数 z = f (X)
= f (x,y)表示了在 D上的一片没有 "空洞 ",没
有 "裂缝 " 的连续曲面,
这里条件 "D 是一区域 " 是必要的, 若 D不是
区域,z = f (X)可能不是通常意义下的连续曲面,
例, 设 D = {(x,y) | x,y 均为有理数 }? R2,z =f (x,y)
是定义在 D 上的,在 D 上恒等于 1,在别的点上
无定义的函数,即
f (x,y) =
1,当 (x,y) ? D时,
无定义,当 (x,y) ? D时,
如图
x
y
z
o
1
可知,? (x0,y0) ? D,
),(1),(l i m 00
0
0
yxfyxf
yy
xx
??
?
?
但曲面 z = f (x,y)不是通常意义下的连续曲面,
有界闭区域上二元连续函数的性质
性质 1,
.)( 值上必须取最大值和最小在则 DXf
性质 2,
.|)(|,
,0,)(
MXfDX
MDXf
???
??
有
使得对即上有界在则
为设 2RD ? 上在若 DXf )(有界闭域,连续,
为设 2RD ? 上在若 DXf )(有界闭域,连续,
小结
多元函数极限的概念
多元函数连续的概念
闭区域上连续函数的性质
（注意趋近方式的 任意性 ）
多元函数的定义
作业,P 105 1,2,3,4,5,6,7,
