§ 1 连续性概念
§ 2 连续函数的性质
§ 3 闭区间上连续函数的性质
§ 1 连续性概念
解,1,2)1()( limlim
11 ??? ?? xxf xx
y
1
2
0 21 x
1)( ?? xxf
2,2)1(11)( limlimlim
1
2
11
??????
???
xxxxg
xxx
1
1)( 2
?
??
x
xxg
(1,2)
从图象上看, 在 处, 连续,, 在 处, 间
断, 。
1?x1?x )(xg)(xf
2、,1,)1()( ?? xxf 11)(
2
?
??
x
xxg
引例 求下列 函数在 处的函数值和极限，并作出图象。1?x
2)1( ?f 不存在)1(g
图象,图象：
y
x0
1
1 2
2 (1,2)
函数的连续性
设函数 y=f(x)在点 x0的某一个邻域 U(x0)内有定义 ?
称 Dy=f(x0+Dx)-f(x0)为函数 y的增量 ?
在邻域 U(x0)内 ? 若自变量 x从初值 x0变到终值 x1?
则称 Dx=x1-x0为自变量 x的增量 ?
Dx
Dy
? 函数的增量
? 函数的改变量（增量）
设有函数,在函数定义域内，当 从
变到 时，函数 相应地从 变到
称
为函数 在 处的改变量（增量）。)(xfy ?
x
xx D?0 y )( 0xf )( 0 xxf D?
)()( 00 xfxxfy ?D??D
)(xfy ? 0x
0x
当变量 由初值 变到终值 时, 称终值与初值
的差 为变量 的改变量 （ 增量 ）, 记为,
即
x 0x 1x
01 xx ? xD
01 xxx ??D
x
一, 函数连续性的概念
那么称函数 在点 处连续, 点 称为函数
的 连续点 。
)(xf 0x 0x )(xf
2、函数在一点处的连续性
定义 如果
（ 1） 函数 在 处及其近旁有定义；)(xfy ? 0x
（ 2） 存在；)(lim
0
xfxx?
（ 3） )()( 0lim
0
xfxfxx ??
提示,
0lim 0 ?D?D yx ? 0)]()([lim 0
0
??? xfxfxx ? )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
设 x?x0+Dx?则当 Dx?0时 ?x?x0?因此
设函数 y=f(x) 在点 x0的某一个邻域内有定义 ? 如果
那么就称函数 y=f(x) 在点 x0处连续 ?
0lim 0 ?D?D yx ? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ? 0l i m 0 ?D?D yx ? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
Dy?f(x0?Dx)?f(x0)?
0l i m 0 ?D?D yx 0)]()([lim 0
0
??? xfxfxx ? )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ? 0lim 0 ?D?D yx ? 0)])([lim 0
0
??? xfxfxx ? )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
2、函数在一点处的连续性
讨论,
如何用 e?d 语言叙述函数的连续性定义？
??e >0??d >0? 当 |x?x0|<d? 有 |f(x)?f(x0)|<e ?
提示,
? )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
设函数 y?f(x) 在点 x0的某一个邻域内有定义 ? 如果
那么就称函数 y?f(x) 在点 x0处连续 ?
0lim 0 ?D?D yx ? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ? 0l i m 0 ?D?D yx ? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
2、函数在一点处的连续性
? 左连续与右连续
?结论
函数 y=f(x)在点 x0处连续 ?函数 y=f(x)在点 x0处左连续且右
连续 ?
如果 )()(lim 0
0
xfxf
xx
??
?
? 则称 y ? f ( x ) 在点 0x 处左连续 ?
如果 )()(lim 0
0
xfxf
xx
??
?
? 则称 y ? f ( x ) 在点 0x 处右连续 ?
设函数 y=f(x) 在点 x0的某一个邻域内有定义 ? 如果
那么就称函数 y=f(x) 在点 x0处连续 ?
0lim 0 ?D?D yx ? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ? 0l i m 0 ?D?D yx ? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
2、函数在一点处的连续性
（ 2）函数的左连续、右连续：设函数 在 处
及其左（或右）近旁有定义，如果
（或 ），那么称函数 在 左连
续（或右连续）。
)(xfy ? 0x
)()( 0lim
0
xfxfxx ???
)()( 0lim
0
xfxfxx ??? (xf 0x
（ 1）如果函数 在开区间 内每一点都连续，
称函数 在 内连续。
)(xf
)(xf
),( ba
),( ba
3、函数在区间上的连续性
如果 在开区间 内连续，且在右端点
处左连续，在左端点 处右连续，那么称函数 在
闭区间 上连续。
)(xf ),( ba b
a )(xf
],[ ba
连续函数的图象是一条连续不间断的曲线。
函数 y=sin x 在区间 (-?? +?)内是连续的 ?
这是因为 ? 函数 y=sin x在 (-?? +?)内任意一点 x处有定义 ?
并且
]s i n)[ s i n (limlim 00 xxxy xx ?D??D ?D?D
0)2c o s (2s i n2lim 0 ?D?D? ?D xxxx ?
在区间上每一点都连续的函数 ? 叫做在该区间上的连续函数 ?
或者说函数在该区间上连续 ?
?连续函数举例
3、函数在区间上的连续性
xD?1
例 1,设, 求适合下列条件的函数的
改变量 （ 增量 ） 。
（ 1） 由 1变到 1.2 （ 2） 由 1变到 0.8 （ 3） 由 1变到xxx
12)( 2 ?? xxf
（ 2） )1()8.0( ffy ??D
)112(]1)8.0(2[ 22 ??????
72.0??
（ 3） )1()1( fxfy ?D??D
)112(]1)1(2[ 22 ????D?? x
解,（ 1） )1()2.1( ffy ??D
)112(]1)2.1(2[ 22 ??????
88.0?
2)(2)(4 xx D?D?
练习 1,求函数, 当,
时的改变量 。
xxy 212 ??? 1?x 5.0?Dx
解,的初值为 1,终值为 1.5x
)1()5.1( ffy ??D
)211(]5.121)5.1[( 22 ???????
125.125.22 5.225.2 ????????
例 2 讨论函数
??
?
??
??
2,2
2,)( 2
xx
xxxf
在 处的连续性, 并作出函数的图象 。2?x
解,根据定义的三个步骤进行验证：
（ 1） 的定义域是, 故 在
及其附近有定义, ;
)(xf ),( ???? )(xf
2?x 4)2( ?f
（ 2） )(lim2 xfx ?? 2
2lim xx ???
4?
)(lim2 xfx ?? )2(lim 2 ?? ?? xx 4?
所以 4)(lim 2 ?? xfx
（ 3） )2()(lim 2 fxfx ??
因此 在 处连续。)(xf 2?x
x0
4
1 2 3-1-2
1
2
3
y
符合定义的三个步骤。
在 处连续 。
例 3 适当选取 的值，使函数a
??
???
??
???
0,
0,)1()(
1
xax
xxxf x
0?
解,（ 1） 的定义域是,在
及其附近有定义 。
)(xf ),( ???? 0?x
af ?)0(
（ 2） )(lim0 xfx ?? xx x 10 )1(lim ?? ?? e?
)(lim0 xfx ?? )(lim 0 axx ?? ?? a?
即,此时
欲使 在 处连续，须有)(xf 0?x )()( limlim 00 xfxf xx ?? ?? ?
ea? exf
x
?
?
)(lim
0
（ 3） )0()(lim 0 fxfx ??
所以 时,在 处连续。ea? )(xf 0?x
练习 2 用定义讨论函数
??
?
?
???
0,
0,1)(
xe
xxxf
x在 处的连续性并作图。0?x
解：由定义的三个步骤进行验证：
（ 1） 1)0(),,( ?????? fx
（ 2） 1)(,1)( 0
00 limlim _ ??? ??? exfxf xx
所以,1)(lim 0 ?? xfx
（ 3） )1()(lim 0 fxfx ??
函数 在 处连续。)(xf 0?x
1
-1 x
y
0
二,函数的间断点
如果函数 在 处不连续，那么称函数
在 处是间断的，并称点 为函数 的间
断点或不连续点。
)(xfy ? 0x
)(xf 0x 0x )(xf
由函数 在 处连续的定义知，当函数
有下列三种情形之一时，函数 在 处间断。
)(xf 0x )(xf
)(xf 0x
（ 1） 在 近旁有定义，但在 处没有定义。0xx? 0x
（ 2） 虽在 处有定义，但 不存在。0x )(lim
0
xfxx?
（ 3） 虽在 处有定义，且 存在，但0x )(lim
0
xfxx?
)()( 0lim
0
xfxfxx ??
定理 1 基本初等函数在其定义域内都是连续的。
通常把间断点分成两类 ?
设 x0是函数 f(x)的间断点 ? 如果左极限 f(x0-)及右极限
f(x0+)都存在 ? 那么 x0称为函数 f(x)的第一类间断点 ?
不属于第一类间断点的间断点 ? 称为第二类间断点 ?
在第一类间断点中 ? 左、右极限相等者称为可去间断
点 ?
?间断点的类型
注,
.)(,)(
)(,)(lim
00
0
0
的可去间断点为则称
或有定义但无定义在点而若
xfxAxf
，xxfAxfxx
?
?
?
不相等者称为跳跃间断点 ?
注
.)(
),(lim)(lim,,)(
0
0
00
的跳跃间断点为函数则称点
但右极限都存在的左在点若函数
xfx
xfxfxxf
xxxx ?? ??
?
无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点 ?
（ 2） 函数
在 处有定义，但
不存在。所以,是该函数的间断点。
??
???
?
??
? 0,1
0,1
)( x
x
xx
xf
0?x
1)(lim0 ??? xfx ????? )(lim0 xfx
)(lim0 xfx? 0?x
例如：
（ 1）函数 在 处无定义
所以 是该函数的间断点。
2
4)( 2
?
??
x
xxf 2?x
2?x
2-2
2
y
x0
)(xfy ?
1-1
x
y
0
(3) 函数,在 处有定义，
且,
但
所以 是该函数的间断点。
??
???
?
?
? 1,
2
1
1,
)( x
xx
xf 1?x
2
1)1( ?f 1)(lim
1 ?? xfx
)1()(lim 1 fxfx ??
1?x
x
y
1
21
0 1
?间断点举例
例 1
例 1 ? 正切函数 y ? ta n x 在 2 ??x 处没有定义 ?
所以点 2 ??x 是函数 ta n x 的间断点 ?
因为 ??
?
x
x
t a nlim
2
? ?
故称 2 ??x 为函数 ta n x 的无穷间断点 ?
例 2 ? 函数 xy 1s i n? 在点 x ? 0 没有定义 ?
例 2
当 x?0时 ? 函数值在 ?1与 ?1之间变动无限多次 ?
所以点 x?0是函数的间断点 ?
所以点 x?0称为函数的振荡间断点 ?
?间断点举例
xy
1sin?
所以点 x?1是函数的间断点 ?
如果补充定义 ? 令 x?1时 y?2? 则所给
函数在 x?1成为连续 ? 所以 x?1称为
该函数的可去间断点 ?
例 3
例 3 ? 函数 112 ??? xxy 在 x ? 1 没有定义 ?
因为 11l i m 21 ??? xxx 2)1(l i m 1 ??? ? xx ?
?间断点举例
1
12
?
??
x
xy
所以 x?1是函数 f(x)的间断点 ?
如果改变函数 f(x)在 x?1处的定义 ? 令 f(1)?1? 则函数在
x?1成为连续 ? 所以 x?1也称为此函数的可去间断点 ?
例 4 例 4 ? 设函数
??
?
?
?
?
?
?? 1
2
1
1
)( x
xx
xfy ?
因为 1lim)(lim 11 ?? ?? xxf xx ? 21)1( ?f ?
)1()(lim 1 fxfx ?? ?
2
1)1( ?f ?
?间断点举例
因函数 f(x)的图形在 x?0处产生跳跃现象 ? 我们称 x?0
为函数 f(x)的跳跃间断点 ?
例 5 例 5 ? 设函数
??
?
?
?
??
?
??
?
0 1
0 0
0 1
)(
xx
x
xx
xf ?
所以极限 )(l i m 0 xfx ? 不存在 ? x ? 0 是函数 f ( x ) 的间断点 ? 所以极限 )(l i m 0 xfx ? 不存在 ? x ? 0 是函数 f ( x ) 的间断点 ?
?间断点举例
因为 1)1(lim)(lim 00 ???? ?? ?? xxf xx ?
1)1(lim)(lim 00 ??? ?? ?? xxf xx ?
)(lim)(lim 00 xfxf xx ?? ?? ? ?
例 4 已知函数 问函数
有无间断点。
??
???
?
??
? 0,s in
0,2
)(
2
x
x
x
xx
xf )(xf
解,点 处可能间断，分三步验证。0?x
（ 1） 在 及其附近有定义，且)(xf 0?x 2)0( ?f
（ 2） 2)2()( 2
00 limlim ??? ?? ?? xxf xx x
xxf
xx
s i n)( limlim
00 ?? ??
?1?
不存在)(lim
0 xfx?
所以，函数 在 处间断。)(xf 0?x
三、初等函数的连续性
1、定理：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
2、由函数连续的定义，如果函数 在 处连续，
有
)(xf 0x
)()( 0lim
0
xfxfxx ??
3、分段函数只可能在分段点处间断。
例 5 求
2
2
2 1
)1ln (2lim
xe
xx
xx ?
??
?
)2()(lim 2 fxfx ??
22
2
21
)12ln (22
?
???
e
22 5
54
5
4
ee ??
解,设
因为 是初等函数，其定义域为,而
根据初等函数连续性的定理
得到函数在 处连续，
)(xf ),1( ?? ),1(2 ???
2?x
2
2
2 1
)1ln (2)( lim
xe
xxxf
xx ?
???
?
练习 3
讨论下列函数在给定点处的连续性。
（ 1） 在 处
??
?
??
??
0,
0,)(
xx
xxxf 0?x
（ 2） 在 处
??
?
??
??
0,1
0,1)(
x
xxf 0?x
解：,Rx? 0)()(,0)0( limlim
00 ??? ?? ?? xfxff xx
解,0)0(,?? fRx
0)(,1)( limlim 00 ??? ?? ?? xfxf xx
所以, 在 处连续 0)0()(lim
0 ??? fxfx )(xf ?x
所以,不存在,在 处间断。)(lim
0 xfx?
0?x)(xf
求下列 函数的间断点
（ 3） 11)( 2 ??? xxxf
（ 4） ?
?
?
?
?
??
?
??
?
1,1
1,1
1,1
)(
2
xx
x
xx
xf
解,为初等函数，在定义域内连续
，,定义域为
间断点为
)(xf
012 ??x 1??x },1|{ Rxxx ???
1??x
解,不是初等函数，分段点 且)(xf 1?x 1)1(,?? fRx;0)(,0)(,0)( limlimlim 111 ??? ??? ?? xfxfxf xxx
因为 所以,在 处间断。)1()(lim
1 fxfx ??
1?x)(xf
（ 5）求极限 xe
x
x ?? 1
lim
1
解,初等函数在定义区间内连续，函数
定义域为
所以，
x
exf x
?? 1)(
},1|{ Rxxx ???
2)1(1lim 1
ef
x
e x
x ????
? 小结
(1),函数的连续性 ;
(3),函数的间断点 ;
(2),函数左连续与右连续 ;
(4),初等函数的连续性,
? 作业 P73,2,3,4,5,6,7.
§ 2 连续函数的性质
?定理 1 (局部有界性 )
?定理 2 (局部保号性 )
内有界在则连续在点若函数 );()(,)( 00 dxUxfxxf
).)(()(
);(),;()),(0(
)(0)0)((0)(,)(
000
0000
rxfrxf
xUxxUxfr
xfrxfxfxxf
???
??????
?????
或
有使得或
则或且连续在点若函数
dd
一、连续函数的性质
?定理 3
设函数 f(x)和 g(x)在点 x0连续 ? 则函数
在点 x0也连续 ?
f ( x ) ? g ( x ) ? f ( x ) ?g ( x ) ? )( )( xg xf ( 当 0)( 0 ?xg 时 )
例 1 因为 sin x和 cos x都在区间 (??? ??)内连续 ?
所以 tan x和 cot x在它们的定义域内是连续的 ?
三角函数 sin x,cos x,sec x,csc x,tan x,cot x 在
其有定义的区间内都是连续的 ?
(连续函数四则运算法则 )
?定理 4
如果函数 f(x)在区间 Ix上单调增加 (或减少 )且连续 ? 那
么它的反函数 x?f ?1(y)在区间 Iy?{y|y?f(x)? x?Ix}上也是单
调增加 (或减少 )且连续的 ?
所以它的反函数 y?arcsin x 在区间 [?1? 1]上也是连续的 ?
例 2 例 2 ? 由于 y ? s i n x 在区间 ]
2,2[ ??? 上单调 增加 且连续 ?
同样 ? y?arccos x 在区间 [?1? 1]上是连续的 ?
y?arctan x 在区间 (??? ??)内是连续的 ?
y?arccot x 在区间 (??? ??)内是连续的 ?
(反函数的连续性 )
反三角函数 arcsin x,arccos x,arctan x,arccot x在
它们的定义域内都是连续的 ?
?定理 4
如果函数 f(x)在区间 Ix上单调增加 (或减少 )且连续 ? 那
么它的反函数 x?f ?1(y)在区间 Iy?{y|y?f(x)? x?Ix}上也是单
调增加 (或减少 )且连续的 ?
所以它的反函数 y?arcsin x 在区间 [?1? 1]上也是连续的 ?
例 2 例 2 ? 由于 y ? s i n x 在区间 ]
2,2[ ??? 上单调 增加 且连续 ?
(反函数的连续性 )
注,
(1)把定理中的 x?x0换成 x???可得类似的定理 ?
( 2 ) 定理 的 结 论 也 可 写 成 )](lim[)]([lim
00
xgfxgf xxxx ?? ? ?
提示,
9
3lim
23 ?
?
? x
x
x 6
1? ? 函数 uy ? 在点
6
1?u 连续 ?
?定理 5
例 3 例 3 ? 求
9
3lim
23 ?
?
? x
x
x ?
解 ? 93lim 23 ??? xxx 93lim 23 ??? ? xxx 61? ? 解
设函数 y?f[g(x)]由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成 ?
gfDxU ?
? ?)(
0 ? 若 0)lim
0
uxg
xx
??
?
? 而 函数 y ? f ( u ) 在 0u 连续 ? 则
)()(lim)][lim 0
00
ufufxgf uuxx ??? ?? ?
解 ? 93lim 23 ??? xxx 9lim 3? ? xx 61? ? 解 ? 93lim 23 ??? xxx 93lim 2??? ? xxx 61? ?
9
3
2 ?
??
x
xy 是由 uy ? 与
9
3
2 ?
??
x
xu 复合而成的 ?
(复合函数的连续性 )
设函数 y?f[g(x)]由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成 ?
U(x0)?Df o g? 若函数 u?g(x) 在点 x0 连续 ? 函数 y?f(u)在点
u0?g(x0)连续 ? 则复合函数 y?f[j(x)]在点 x0也连续 ?
?定理 5’
?定理 5
设函数 y?f[g(x)]由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成 ?
gfDxU ?
? ?)(
0 ? 若 0)lim
0
uxg
xx
??
?
? 而 函数 y ? f ( u ) 在 0u 连续 ? 则
)()(lim)][lim 0
00
ufufxgf uuxx ??? ?? ?
(复合函数的连续性 )
(复合函数的连续性 )
sin u 当 ??<u<??时是连续的 ?
例 4
例 4 ? 讨论函数 xy 1s i n? 的连续性 ?
解 ? 函数 xy 1s i n? 是由 y ? s i n u 及 xu 1? 复合而成的 ?
x
1 当 ? ? < x <0 和 0< x < ? ? 时是连续的 ?
解
内是连续的 ?
根据定理 4 ? 函数 x1s i n 在无限区间 ( ? ? ? 0 ) 和 (0 ? ? ? )
二、初等函数的连续性
?结论
基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 ?
一切初等函数在其定义区间内都是连续的 ?
注,
所谓定义区间 ? 就是包含在定义域内的区间 ?
例 8 ? 求 x xax )1(lo glim 0 ?? ?
例 6
例 5 例 7 ? 求
x
x
x
11lim 2
0
??
?
?
解 ? xx
x
11lim 2
0
??
? )11(
)11)(11(lim
2
22
0 ??
?????
? xx
xx
x
02011lim 2
0
?????
? x
x
x
?
解 ? x xa
x
)1(lo glim
0
?
?
xa
x
x
1
0
)1(lo glim ??
? a
ea ln 1log ?? ?
解
解
解 ? xx
x
11l i m 2
0
??
? )11(
)11)(11(lim
2
22
0 ??
?????
? xx
xx
x
02011lim 2
0
?????
? x
x
x
?
解 ? x xa
x
)1(lo glim
0
?
?
xa
x
x
1
0
)1(lo glim ??
? a
ea ln 1log ? ? 解 ? x xa
x
)1(lo glim
0
?
?
xa
x
x
1
0
)1(lo glim ??
? a
ea ln 1log ?? ?
?利用连续性求极限举例
例 7
例 9 ? 求 xa xx 1lim 0 ?? ?
令 a x?1?t?解
x
a x
x
1lim
0
?
?
? att
at
ln)1(lo glim
0
??
?
? xa x
x
1lim
0?
? att
at
ln)1(lo glim
0
??
?
? xa x
x
1lim
0
?
?
? att
at
ln)1(lolim
0
??
?
?
则 x?log a(1?t)? x?0时 t?0? 于是
?利用连续性求极限举例
例 8 求
2
2
2 1
)1ln (2lim
xe
xx
xx ?
??
?
)2()(lim 2 fxfx ??
22
2
21
)12ln (22
?
???
e
22 5
54
5
4
ee ??
解,设
因为 是初等函数，其定义域为,而
根据初等函数连续性的定理
得到函数在 处连续，
)(xf ),1( ?? ),1(2 ???
2?x
2
2
2 1
)1ln (2)( lim
xe
xxxf
xx ?
???
?
例 9 求极限 xe
x
x ?? 1
lim
1
解,初等函数在定义区间内连续，函数
定义域为
所以，
x
exf x
?? 1)(
},1|{ Rxxx ???
2)1(1lim 1
ef
x
e x
x ????
? 小结
(1),连续函数的局部有界性 ;
(3),四则运算法则 ;
(2),局部保号性 ;
(6),初等函数的连续性,
? 作业 P80,1,2,3,4,5,6,7.
(4),反函数的连续性 ;
(5),复合函数的连续性 ;
§ 3 闭区间连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理
?最大值与最小值
对于在区间 I上有定义的函数 f(x)? 如果有 x0?I? 使得对于
任一 x?I都有
f(x)?f(x0) (f(x)?f(x0))?
则称 f(x0)是函数 f(x)在区间 I上的最大值 (最小值 )?
最大值与最小值举例,
函数 f(x)?1?sinx在区间
[0?2?]上有最大值 2 和最小
值 0 ?
函数 y?sgn x 在区间 (?????)
内有最大值 1和最小值 ?1? 但在开
区间 (0???)内 ? 它的最大值和最小
值都是 1?
最大值与最小值举例,
一、有界性与最大值最小值定理
?最大值与最小值
对于在区间 I上有定义的函数 f(x)? 如果有 x0?I? 使得对于
任一 x?I都有
f(x)?f(x0) (f(x)?f(x0))?
则称 f(x0)是函数 f(x)在区间 I上的最大值 (最小值 )?
并非任何函数都有最大值和
最小值 ?
例如, 函数 f(x)?x在开区间
(a?b)内既无最大值又无最小值 ?
应注意的问题,
一、有界性与最大值最小值定理
?最大值与最小值
对于在区间 I上有定义的函数 f(x)? 如果有 x0?I? 使得对于
任一 x?I都有
f(x)?f(x0) (f(x)?f(x0))?
则称 f(x0)是函数 f(x)在区间 I上的最大值 (最小值 )?
说明,
?定理 1(最大值和最小值定理 )
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大
值和最小值 ?
又至少有一点 x2?[a?b]? 使 f(x2)是 f(x)在 [a?b]上的最小值 ?
至少有一点 x1?[a?b]? 使 f(x1)是 f(x)在 [a?b]上的最大值 ?
定理说明 ? 如果函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?那么
应注意的问题,
如果函数仅在开区间内连续 ? 或函数在闭区间上有间断
点 ? 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 ?
例如 ? 函数 f(x)?x在开区间 (a?b)
内既无最大值又无最小值 ?
?定理 1(最大值和最小值定理 )
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大
值和最小值 ?
又如 ? 如下 函数在闭区间 [0?2]
内既无最大值又无最小值 ?
??
?
?
?
????
?
????
??
21 3
1 1
10 1
)(
xx
x
xx
xfy ?
应注意的问题,
如果函数仅在开区间内连续 ? 或函数在闭区间上有间断
点 ? 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 ?
?定理 1(最大值和最小值定理 )
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大
值和最小值 ?
?定理 2(有界性定理 )
在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 ?
证明 设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?
根据定理 1? 存在 f(x)在区间 [a? b]上的最大值 M和最小值
m? 使任一 x?[a?b]满足
m?f(x)?M?
上式表明 ? f(x)在 [a?b]上有上界 M和下界 m? 因此函数 f(x)在
[a?b]上有界 ?
?定理 1(最大值和最小值定理 )
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大
值和最小值 ?
二、零点定理与介值定理
注,
如果 x0使 f(x0)?0? 则 x0称为函数 f(x)的零点 ?
?定理 3(零点定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?且 f(a)与 f(b)异号 ?那么
在开区间 (a?b)内至少一点 x?使 f(x)?0?
例 1 证明方程 x3?4x2?1?0在区间 (0?1)内至少有一个根 ?
证明 设 f(x)?x3?4x2?1?则 f(x)在闭区间 [0?1]上连续 ?
并且 f(0)?1>0? f(1)??2<0?
根据零点定理 ? 在 (0? 1)内至少有一点 x? 使得 f(x)?0?
即 x3?4x2?1?0 ?
这说明方程 x3?4x2?1?0在区间 (0?1)内至少有一个根是 x?
二、零点定理与介值定理
?定理 3(零点定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?且 f(a)与 f(b)异号 ?那么
在开区间 (a?b)内至少一点 x?使 f(x)?0?
?定理 4(介值定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?且 f(a)?f(b)?那么 ? 对于
f(a)与 f(b)之间的任意一个数 C?在开区间 (a?b)内至少有一点 x?
使得 f(x)?C?>>>
二、零点定理与介值定理
?定理 3(零点定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?且 f(a)与 f(b)异号 ?那么
在开区间 (a?b)内至少一点 x?使 f(x)?0?
二、零点定理与介值定理
?定理 3(零点定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?且 f(a)与 f(b)异号 ?那么
在开区间 (a?b)内至少一点 x?使 f(x)?0?
?推论
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M与最小值 m
之间的任何值 ?
?定理 4(介值定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?且 f(a)?f(b)?那么 ? 对于
f(a)与 f(b)之间的任意一个数 C?在开区间 (a?b)内至少有一点 x?
使得 f(x)?C?
? 小结
(1),最大值与最小值定理 ;
(3),零点定理 ;
(2),有界性定理 ;
(4),介值定理,
? 作业 P81,9,10,12,13,14,15,17,18.
§ 2 连续函数的性质
§ 3 闭区间上连续函数的性质
§ 1 连续性概念
解,1,2)1()( limlim
11 ??? ?? xxf xx
y
1
2
0 21 x
1)( ?? xxf
2,2)1(11)( limlimlim
1
2
11
??????
???
xxxxg
xxx
1
1)( 2
?
??
x
xxg
(1,2)
从图象上看, 在 处, 连续,, 在 处, 间
断, 。
1?x1?x )(xg)(xf
2、,1,)1()( ?? xxf 11)(
2
?
??
x
xxg
引例 求下列 函数在 处的函数值和极限，并作出图象。1?x
2)1( ?f 不存在)1(g
图象,图象：
y
x0
1
1 2
2 (1,2)
函数的连续性
设函数 y=f(x)在点 x0的某一个邻域 U(x0)内有定义 ?
称 Dy=f(x0+Dx)-f(x0)为函数 y的增量 ?
在邻域 U(x0)内 ? 若自变量 x从初值 x0变到终值 x1?
则称 Dx=x1-x0为自变量 x的增量 ?
Dx
Dy
? 函数的增量
? 函数的改变量（增量）
设有函数,在函数定义域内，当 从
变到 时，函数 相应地从 变到
称
为函数 在 处的改变量（增量）。)(xfy ?
x
xx D?0 y )( 0xf )( 0 xxf D?
)()( 00 xfxxfy ?D??D
)(xfy ? 0x
0x
当变量 由初值 变到终值 时, 称终值与初值
的差 为变量 的改变量 （ 增量 ）, 记为,
即
x 0x 1x
01 xx ? xD
01 xxx ??D
x
一, 函数连续性的概念
那么称函数 在点 处连续, 点 称为函数
的 连续点 。
)(xf 0x 0x )(xf
2、函数在一点处的连续性
定义 如果
（ 1） 函数 在 处及其近旁有定义；)(xfy ? 0x
（ 2） 存在；)(lim
0
xfxx?
（ 3） )()( 0lim
0
xfxfxx ??
提示,
0lim 0 ?D?D yx ? 0)]()([lim 0
0
??? xfxfxx ? )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
设 x?x0+Dx?则当 Dx?0时 ?x?x0?因此
设函数 y=f(x) 在点 x0的某一个邻域内有定义 ? 如果
那么就称函数 y=f(x) 在点 x0处连续 ?
0lim 0 ?D?D yx ? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ? 0l i m 0 ?D?D yx ? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
Dy?f(x0?Dx)?f(x0)?
0l i m 0 ?D?D yx 0)]()([lim 0
0
??? xfxfxx ? )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ? 0lim 0 ?D?D yx ? 0)])([lim 0
0
??? xfxfxx ? )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
2、函数在一点处的连续性
讨论,
如何用 e?d 语言叙述函数的连续性定义？
??e >0??d >0? 当 |x?x0|<d? 有 |f(x)?f(x0)|<e ?
提示,
? )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
设函数 y?f(x) 在点 x0的某一个邻域内有定义 ? 如果
那么就称函数 y?f(x) 在点 x0处连续 ?
0lim 0 ?D?D yx ? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ? 0l i m 0 ?D?D yx ? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
2、函数在一点处的连续性
? 左连续与右连续
?结论
函数 y=f(x)在点 x0处连续 ?函数 y=f(x)在点 x0处左连续且右
连续 ?
如果 )()(lim 0
0
xfxf
xx
??
?
? 则称 y ? f ( x ) 在点 0x 处左连续 ?
如果 )()(lim 0
0
xfxf
xx
??
?
? 则称 y ? f ( x ) 在点 0x 处右连续 ?
设函数 y=f(x) 在点 x0的某一个邻域内有定义 ? 如果
那么就称函数 y=f(x) 在点 x0处连续 ?
0lim 0 ?D?D yx ? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ? 0l i m 0 ?D?D yx ? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
2、函数在一点处的连续性
（ 2）函数的左连续、右连续：设函数 在 处
及其左（或右）近旁有定义，如果
（或 ），那么称函数 在 左连
续（或右连续）。
)(xfy ? 0x
)()( 0lim
0
xfxfxx ???
)()( 0lim
0
xfxfxx ??? (xf 0x
（ 1）如果函数 在开区间 内每一点都连续，
称函数 在 内连续。
)(xf
)(xf
),( ba
),( ba
3、函数在区间上的连续性
如果 在开区间 内连续，且在右端点
处左连续，在左端点 处右连续，那么称函数 在
闭区间 上连续。
)(xf ),( ba b
a )(xf
],[ ba
连续函数的图象是一条连续不间断的曲线。
函数 y=sin x 在区间 (-?? +?)内是连续的 ?
这是因为 ? 函数 y=sin x在 (-?? +?)内任意一点 x处有定义 ?
并且
]s i n)[ s i n (limlim 00 xxxy xx ?D??D ?D?D
0)2c o s (2s i n2lim 0 ?D?D? ?D xxxx ?
在区间上每一点都连续的函数 ? 叫做在该区间上的连续函数 ?
或者说函数在该区间上连续 ?
?连续函数举例
3、函数在区间上的连续性
xD?1
例 1,设, 求适合下列条件的函数的
改变量 （ 增量 ） 。
（ 1） 由 1变到 1.2 （ 2） 由 1变到 0.8 （ 3） 由 1变到xxx
12)( 2 ?? xxf
（ 2） )1()8.0( ffy ??D
)112(]1)8.0(2[ 22 ??????
72.0??
（ 3） )1()1( fxfy ?D??D
)112(]1)1(2[ 22 ????D?? x
解,（ 1） )1()2.1( ffy ??D
)112(]1)2.1(2[ 22 ??????
88.0?
2)(2)(4 xx D?D?
练习 1,求函数, 当,
时的改变量 。
xxy 212 ??? 1?x 5.0?Dx
解,的初值为 1,终值为 1.5x
)1()5.1( ffy ??D
)211(]5.121)5.1[( 22 ???????
125.125.22 5.225.2 ????????
例 2 讨论函数
??
?
??
??
2,2
2,)( 2
xx
xxxf
在 处的连续性, 并作出函数的图象 。2?x
解,根据定义的三个步骤进行验证：
（ 1） 的定义域是, 故 在
及其附近有定义, ;
)(xf ),( ???? )(xf
2?x 4)2( ?f
（ 2） )(lim2 xfx ?? 2
2lim xx ???
4?
)(lim2 xfx ?? )2(lim 2 ?? ?? xx 4?
所以 4)(lim 2 ?? xfx
（ 3） )2()(lim 2 fxfx ??
因此 在 处连续。)(xf 2?x
x0
4
1 2 3-1-2
1
2
3
y
符合定义的三个步骤。
在 处连续 。
例 3 适当选取 的值，使函数a
??
???
??
???
0,
0,)1()(
1
xax
xxxf x
0?
解,（ 1） 的定义域是,在
及其附近有定义 。
)(xf ),( ???? 0?x
af ?)0(
（ 2） )(lim0 xfx ?? xx x 10 )1(lim ?? ?? e?
)(lim0 xfx ?? )(lim 0 axx ?? ?? a?
即,此时
欲使 在 处连续，须有)(xf 0?x )()( limlim 00 xfxf xx ?? ?? ?
ea? exf
x
?
?
)(lim
0
（ 3） )0()(lim 0 fxfx ??
所以 时,在 处连续。ea? )(xf 0?x
练习 2 用定义讨论函数
??
?
?
???
0,
0,1)(
xe
xxxf
x在 处的连续性并作图。0?x
解：由定义的三个步骤进行验证：
（ 1） 1)0(),,( ?????? fx
（ 2） 1)(,1)( 0
00 limlim _ ??? ??? exfxf xx
所以,1)(lim 0 ?? xfx
（ 3） )1()(lim 0 fxfx ??
函数 在 处连续。)(xf 0?x
1
-1 x
y
0
二,函数的间断点
如果函数 在 处不连续，那么称函数
在 处是间断的，并称点 为函数 的间
断点或不连续点。
)(xfy ? 0x
)(xf 0x 0x )(xf
由函数 在 处连续的定义知，当函数
有下列三种情形之一时，函数 在 处间断。
)(xf 0x )(xf
)(xf 0x
（ 1） 在 近旁有定义，但在 处没有定义。0xx? 0x
（ 2） 虽在 处有定义，但 不存在。0x )(lim
0
xfxx?
（ 3） 虽在 处有定义，且 存在，但0x )(lim
0
xfxx?
)()( 0lim
0
xfxfxx ??
定理 1 基本初等函数在其定义域内都是连续的。
通常把间断点分成两类 ?
设 x0是函数 f(x)的间断点 ? 如果左极限 f(x0-)及右极限
f(x0+)都存在 ? 那么 x0称为函数 f(x)的第一类间断点 ?
不属于第一类间断点的间断点 ? 称为第二类间断点 ?
在第一类间断点中 ? 左、右极限相等者称为可去间断
点 ?
?间断点的类型
注,
.)(,)(
)(,)(lim
00
0
0
的可去间断点为则称
或有定义但无定义在点而若
xfxAxf
，xxfAxfxx
?
?
?
不相等者称为跳跃间断点 ?
注
.)(
),(lim)(lim,,)(
0
0
00
的跳跃间断点为函数则称点
但右极限都存在的左在点若函数
xfx
xfxfxxf
xxxx ?? ??
?
无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点 ?
（ 2） 函数
在 处有定义，但
不存在。所以,是该函数的间断点。
??
???
?
??
? 0,1
0,1
)( x
x
xx
xf
0?x
1)(lim0 ??? xfx ????? )(lim0 xfx
)(lim0 xfx? 0?x
例如：
（ 1）函数 在 处无定义
所以 是该函数的间断点。
2
4)( 2
?
??
x
xxf 2?x
2?x
2-2
2
y
x0
)(xfy ?
1-1
x
y
0
(3) 函数,在 处有定义，
且,
但
所以 是该函数的间断点。
??
???
?
?
? 1,
2
1
1,
)( x
xx
xf 1?x
2
1)1( ?f 1)(lim
1 ?? xfx
)1()(lim 1 fxfx ??
1?x
x
y
1
21
0 1
?间断点举例
例 1
例 1 ? 正切函数 y ? ta n x 在 2 ??x 处没有定义 ?
所以点 2 ??x 是函数 ta n x 的间断点 ?
因为 ??
?
x
x
t a nlim
2
? ?
故称 2 ??x 为函数 ta n x 的无穷间断点 ?
例 2 ? 函数 xy 1s i n? 在点 x ? 0 没有定义 ?
例 2
当 x?0时 ? 函数值在 ?1与 ?1之间变动无限多次 ?
所以点 x?0是函数的间断点 ?
所以点 x?0称为函数的振荡间断点 ?
?间断点举例
xy
1sin?
所以点 x?1是函数的间断点 ?
如果补充定义 ? 令 x?1时 y?2? 则所给
函数在 x?1成为连续 ? 所以 x?1称为
该函数的可去间断点 ?
例 3
例 3 ? 函数 112 ??? xxy 在 x ? 1 没有定义 ?
因为 11l i m 21 ??? xxx 2)1(l i m 1 ??? ? xx ?
?间断点举例
1
12
?
??
x
xy
所以 x?1是函数 f(x)的间断点 ?
如果改变函数 f(x)在 x?1处的定义 ? 令 f(1)?1? 则函数在
x?1成为连续 ? 所以 x?1也称为此函数的可去间断点 ?
例 4 例 4 ? 设函数
??
?
?
?
?
?
?? 1
2
1
1
)( x
xx
xfy ?
因为 1lim)(lim 11 ?? ?? xxf xx ? 21)1( ?f ?
)1()(lim 1 fxfx ?? ?
2
1)1( ?f ?
?间断点举例
因函数 f(x)的图形在 x?0处产生跳跃现象 ? 我们称 x?0
为函数 f(x)的跳跃间断点 ?
例 5 例 5 ? 设函数
??
?
?
?
??
?
??
?
0 1
0 0
0 1
)(
xx
x
xx
xf ?
所以极限 )(l i m 0 xfx ? 不存在 ? x ? 0 是函数 f ( x ) 的间断点 ? 所以极限 )(l i m 0 xfx ? 不存在 ? x ? 0 是函数 f ( x ) 的间断点 ?
?间断点举例
因为 1)1(lim)(lim 00 ???? ?? ?? xxf xx ?
1)1(lim)(lim 00 ??? ?? ?? xxf xx ?
)(lim)(lim 00 xfxf xx ?? ?? ? ?
例 4 已知函数 问函数
有无间断点。
??
???
?
??
? 0,s in
0,2
)(
2
x
x
x
xx
xf )(xf
解,点 处可能间断，分三步验证。0?x
（ 1） 在 及其附近有定义，且)(xf 0?x 2)0( ?f
（ 2） 2)2()( 2
00 limlim ??? ?? ?? xxf xx x
xxf
xx
s i n)( limlim
00 ?? ??
?1?
不存在)(lim
0 xfx?
所以，函数 在 处间断。)(xf 0?x
三、初等函数的连续性
1、定理：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
2、由函数连续的定义，如果函数 在 处连续，
有
)(xf 0x
)()( 0lim
0
xfxfxx ??
3、分段函数只可能在分段点处间断。
例 5 求
2
2
2 1
)1ln (2lim
xe
xx
xx ?
??
?
)2()(lim 2 fxfx ??
22
2
21
)12ln (22
?
???
e
22 5
54
5
4
ee ??
解,设
因为 是初等函数，其定义域为,而
根据初等函数连续性的定理
得到函数在 处连续，
)(xf ),1( ?? ),1(2 ???
2?x
2
2
2 1
)1ln (2)( lim
xe
xxxf
xx ?
???
?
练习 3
讨论下列函数在给定点处的连续性。
（ 1） 在 处
??
?
??
??
0,
0,)(
xx
xxxf 0?x
（ 2） 在 处
??
?
??
??
0,1
0,1)(
x
xxf 0?x
解：,Rx? 0)()(,0)0( limlim
00 ??? ?? ?? xfxff xx
解,0)0(,?? fRx
0)(,1)( limlim 00 ??? ?? ?? xfxf xx
所以, 在 处连续 0)0()(lim
0 ??? fxfx )(xf ?x
所以,不存在,在 处间断。)(lim
0 xfx?
0?x)(xf
求下列 函数的间断点
（ 3） 11)( 2 ??? xxxf
（ 4） ?
?
?
?
?
??
?
??
?
1,1
1,1
1,1
)(
2
xx
x
xx
xf
解,为初等函数，在定义域内连续
，,定义域为
间断点为
)(xf
012 ??x 1??x },1|{ Rxxx ???
1??x
解,不是初等函数，分段点 且)(xf 1?x 1)1(,?? fRx;0)(,0)(,0)( limlimlim 111 ??? ??? ?? xfxfxf xxx
因为 所以,在 处间断。)1()(lim
1 fxfx ??
1?x)(xf
（ 5）求极限 xe
x
x ?? 1
lim
1
解,初等函数在定义区间内连续，函数
定义域为
所以，
x
exf x
?? 1)(
},1|{ Rxxx ???
2)1(1lim 1
ef
x
e x
x ????
? 小结
(1),函数的连续性 ;
(3),函数的间断点 ;
(2),函数左连续与右连续 ;
(4),初等函数的连续性,
? 作业 P73,2,3,4,5,6,7.
§ 2 连续函数的性质
?定理 1 (局部有界性 )
?定理 2 (局部保号性 )
内有界在则连续在点若函数 );()(,)( 00 dxUxfxxf
).)(()(
);(),;()),(0(
)(0)0)((0)(,)(
000
0000
rxfrxf
xUxxUxfr
xfrxfxfxxf
???
??????
?????
或
有使得或
则或且连续在点若函数
dd
一、连续函数的性质
?定理 3
设函数 f(x)和 g(x)在点 x0连续 ? 则函数
在点 x0也连续 ?
f ( x ) ? g ( x ) ? f ( x ) ?g ( x ) ? )( )( xg xf ( 当 0)( 0 ?xg 时 )
例 1 因为 sin x和 cos x都在区间 (??? ??)内连续 ?
所以 tan x和 cot x在它们的定义域内是连续的 ?
三角函数 sin x,cos x,sec x,csc x,tan x,cot x 在
其有定义的区间内都是连续的 ?
(连续函数四则运算法则 )
?定理 4
如果函数 f(x)在区间 Ix上单调增加 (或减少 )且连续 ? 那
么它的反函数 x?f ?1(y)在区间 Iy?{y|y?f(x)? x?Ix}上也是单
调增加 (或减少 )且连续的 ?
所以它的反函数 y?arcsin x 在区间 [?1? 1]上也是连续的 ?
例 2 例 2 ? 由于 y ? s i n x 在区间 ]
2,2[ ??? 上单调 增加 且连续 ?
同样 ? y?arccos x 在区间 [?1? 1]上是连续的 ?
y?arctan x 在区间 (??? ??)内是连续的 ?
y?arccot x 在区间 (??? ??)内是连续的 ?
(反函数的连续性 )
反三角函数 arcsin x,arccos x,arctan x,arccot x在
它们的定义域内都是连续的 ?
?定理 4
如果函数 f(x)在区间 Ix上单调增加 (或减少 )且连续 ? 那
么它的反函数 x?f ?1(y)在区间 Iy?{y|y?f(x)? x?Ix}上也是单
调增加 (或减少 )且连续的 ?
所以它的反函数 y?arcsin x 在区间 [?1? 1]上也是连续的 ?
例 2 例 2 ? 由于 y ? s i n x 在区间 ]
2,2[ ??? 上单调 增加 且连续 ?
(反函数的连续性 )
注,
(1)把定理中的 x?x0换成 x???可得类似的定理 ?
( 2 ) 定理 的 结 论 也 可 写 成 )](lim[)]([lim
00
xgfxgf xxxx ?? ? ?
提示,
9
3lim
23 ?
?
? x
x
x 6
1? ? 函数 uy ? 在点
6
1?u 连续 ?
?定理 5
例 3 例 3 ? 求
9
3lim
23 ?
?
? x
x
x ?
解 ? 93lim 23 ??? xxx 93lim 23 ??? ? xxx 61? ? 解
设函数 y?f[g(x)]由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成 ?
gfDxU ?
? ?)(
0 ? 若 0)lim
0
uxg
xx
??
?
? 而 函数 y ? f ( u ) 在 0u 连续 ? 则
)()(lim)][lim 0
00
ufufxgf uuxx ??? ?? ?
解 ? 93lim 23 ??? xxx 9lim 3? ? xx 61? ? 解 ? 93lim 23 ??? xxx 93lim 2??? ? xxx 61? ?
9
3
2 ?
??
x
xy 是由 uy ? 与
9
3
2 ?
??
x
xu 复合而成的 ?
(复合函数的连续性 )
设函数 y?f[g(x)]由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成 ?
U(x0)?Df o g? 若函数 u?g(x) 在点 x0 连续 ? 函数 y?f(u)在点
u0?g(x0)连续 ? 则复合函数 y?f[j(x)]在点 x0也连续 ?
?定理 5’
?定理 5
设函数 y?f[g(x)]由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成 ?
gfDxU ?
? ?)(
0 ? 若 0)lim
0
uxg
xx
??
?
? 而 函数 y ? f ( u ) 在 0u 连续 ? 则
)()(lim)][lim 0
00
ufufxgf uuxx ??? ?? ?
(复合函数的连续性 )
(复合函数的连续性 )
sin u 当 ??<u<??时是连续的 ?
例 4
例 4 ? 讨论函数 xy 1s i n? 的连续性 ?
解 ? 函数 xy 1s i n? 是由 y ? s i n u 及 xu 1? 复合而成的 ?
x
1 当 ? ? < x <0 和 0< x < ? ? 时是连续的 ?
解
内是连续的 ?
根据定理 4 ? 函数 x1s i n 在无限区间 ( ? ? ? 0 ) 和 (0 ? ? ? )
二、初等函数的连续性
?结论
基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 ?
一切初等函数在其定义区间内都是连续的 ?
注,
所谓定义区间 ? 就是包含在定义域内的区间 ?
例 8 ? 求 x xax )1(lo glim 0 ?? ?
例 6
例 5 例 7 ? 求
x
x
x
11lim 2
0
??
?
?
解 ? xx
x
11lim 2
0
??
? )11(
)11)(11(lim
2
22
0 ??
?????
? xx
xx
x
02011lim 2
0
?????
? x
x
x
?
解 ? x xa
x
)1(lo glim
0
?
?
xa
x
x
1
0
)1(lo glim ??
? a
ea ln 1log ?? ?
解
解
解 ? xx
x
11l i m 2
0
??
? )11(
)11)(11(lim
2
22
0 ??
?????
? xx
xx
x
02011lim 2
0
?????
? x
x
x
?
解 ? x xa
x
)1(lo glim
0
?
?
xa
x
x
1
0
)1(lo glim ??
? a
ea ln 1log ? ? 解 ? x xa
x
)1(lo glim
0
?
?
xa
x
x
1
0
)1(lo glim ??
? a
ea ln 1log ?? ?
?利用连续性求极限举例
例 7
例 9 ? 求 xa xx 1lim 0 ?? ?
令 a x?1?t?解
x
a x
x
1lim
0
?
?
? att
at
ln)1(lo glim
0
??
?
? xa x
x
1lim
0?
? att
at
ln)1(lo glim
0
??
?
? xa x
x
1lim
0
?
?
? att
at
ln)1(lolim
0
??
?
?
则 x?log a(1?t)? x?0时 t?0? 于是
?利用连续性求极限举例
例 8 求
2
2
2 1
)1ln (2lim
xe
xx
xx ?
??
?
)2()(lim 2 fxfx ??
22
2
21
)12ln (22
?
???
e
22 5
54
5
4
ee ??
解,设
因为 是初等函数，其定义域为,而
根据初等函数连续性的定理
得到函数在 处连续，
)(xf ),1( ?? ),1(2 ???
2?x
2
2
2 1
)1ln (2)( lim
xe
xxxf
xx ?
???
?
例 9 求极限 xe
x
x ?? 1
lim
1
解,初等函数在定义区间内连续，函数
定义域为
所以，
x
exf x
?? 1)(
},1|{ Rxxx ???
2)1(1lim 1
ef
x
e x
x ????
? 小结
(1),连续函数的局部有界性 ;
(3),四则运算法则 ;
(2),局部保号性 ;
(6),初等函数的连续性,
? 作业 P80,1,2,3,4,5,6,7.
(4),反函数的连续性 ;
(5),复合函数的连续性 ;
§ 3 闭区间连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理
?最大值与最小值
对于在区间 I上有定义的函数 f(x)? 如果有 x0?I? 使得对于
任一 x?I都有
f(x)?f(x0) (f(x)?f(x0))?
则称 f(x0)是函数 f(x)在区间 I上的最大值 (最小值 )?
最大值与最小值举例,
函数 f(x)?1?sinx在区间
[0?2?]上有最大值 2 和最小
值 0 ?
函数 y?sgn x 在区间 (?????)
内有最大值 1和最小值 ?1? 但在开
区间 (0???)内 ? 它的最大值和最小
值都是 1?
最大值与最小值举例,
一、有界性与最大值最小值定理
?最大值与最小值
对于在区间 I上有定义的函数 f(x)? 如果有 x0?I? 使得对于
任一 x?I都有
f(x)?f(x0) (f(x)?f(x0))?
则称 f(x0)是函数 f(x)在区间 I上的最大值 (最小值 )?
并非任何函数都有最大值和
最小值 ?
例如, 函数 f(x)?x在开区间
(a?b)内既无最大值又无最小值 ?
应注意的问题,
一、有界性与最大值最小值定理
?最大值与最小值
对于在区间 I上有定义的函数 f(x)? 如果有 x0?I? 使得对于
任一 x?I都有
f(x)?f(x0) (f(x)?f(x0))?
则称 f(x0)是函数 f(x)在区间 I上的最大值 (最小值 )?
说明,
?定理 1(最大值和最小值定理 )
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大
值和最小值 ?
又至少有一点 x2?[a?b]? 使 f(x2)是 f(x)在 [a?b]上的最小值 ?
至少有一点 x1?[a?b]? 使 f(x1)是 f(x)在 [a?b]上的最大值 ?
定理说明 ? 如果函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?那么
应注意的问题,
如果函数仅在开区间内连续 ? 或函数在闭区间上有间断
点 ? 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 ?
例如 ? 函数 f(x)?x在开区间 (a?b)
内既无最大值又无最小值 ?
?定理 1(最大值和最小值定理 )
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大
值和最小值 ?
又如 ? 如下 函数在闭区间 [0?2]
内既无最大值又无最小值 ?
??
?
?
?
????
?
????
??
21 3
1 1
10 1
)(
xx
x
xx
xfy ?
应注意的问题,
如果函数仅在开区间内连续 ? 或函数在闭区间上有间断
点 ? 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 ?
?定理 1(最大值和最小值定理 )
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大
值和最小值 ?
?定理 2(有界性定理 )
在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 ?
证明 设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?
根据定理 1? 存在 f(x)在区间 [a? b]上的最大值 M和最小值
m? 使任一 x?[a?b]满足
m?f(x)?M?
上式表明 ? f(x)在 [a?b]上有上界 M和下界 m? 因此函数 f(x)在
[a?b]上有界 ?
?定理 1(最大值和最小值定理 )
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大
值和最小值 ?
二、零点定理与介值定理
注,
如果 x0使 f(x0)?0? 则 x0称为函数 f(x)的零点 ?
?定理 3(零点定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?且 f(a)与 f(b)异号 ?那么
在开区间 (a?b)内至少一点 x?使 f(x)?0?
例 1 证明方程 x3?4x2?1?0在区间 (0?1)内至少有一个根 ?
证明 设 f(x)?x3?4x2?1?则 f(x)在闭区间 [0?1]上连续 ?
并且 f(0)?1>0? f(1)??2<0?
根据零点定理 ? 在 (0? 1)内至少有一点 x? 使得 f(x)?0?
即 x3?4x2?1?0 ?
这说明方程 x3?4x2?1?0在区间 (0?1)内至少有一个根是 x?
二、零点定理与介值定理
?定理 3(零点定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?且 f(a)与 f(b)异号 ?那么
在开区间 (a?b)内至少一点 x?使 f(x)?0?
?定理 4(介值定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?且 f(a)?f(b)?那么 ? 对于
f(a)与 f(b)之间的任意一个数 C?在开区间 (a?b)内至少有一点 x?
使得 f(x)?C?>>>
二、零点定理与介值定理
?定理 3(零点定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?且 f(a)与 f(b)异号 ?那么
在开区间 (a?b)内至少一点 x?使 f(x)?0?
二、零点定理与介值定理
?定理 3(零点定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?且 f(a)与 f(b)异号 ?那么
在开区间 (a?b)内至少一点 x?使 f(x)?0?
?推论
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M与最小值 m
之间的任何值 ?
?定理 4(介值定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续 ?且 f(a)?f(b)?那么 ? 对于
f(a)与 f(b)之间的任意一个数 C?在开区间 (a?b)内至少有一点 x?
使得 f(x)?C?
? 小结
(1),最大值与最小值定理 ;
(3),零点定理 ;
(2),有界性定理 ;
(4),介值定理,
? 作业 P81,9,10,12,13,14,15,17,18.
