§ 1 平面图形的面积
§ 2 由平行截面面积求体积
§ 3 平面曲线的长
§ 4 定积分在物理学中的应用
§ 1 平面图形的面积
本章中我们将用前面学过的定积分的知识来
分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的
不仅是建立计算这些几何、物理的公式，而且
更重要的还在于介绍运用元素法解决问题
的定积分的分析方法。
考虑曲边梯形面积计算问题
?? ba dxxfA )(
一 问题的提出
曲边 梯形由连 续曲 线
)( xfy ? )0)(( ?xf,
x 轴与两条直线 ax ?,
bx ? 所围成。
a b x
y
o
)(xfy ?
面积表示为定积分要通过如下步骤：
（ 1 ） 把区间 ],[ ba 分成 n 个长度为
i
x? 的小区间，
相应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形，第 i
小窄曲边梯形的面积为 iA?,则 ?
?
??
n
i
i
AA
1
.
（ 2 ） 计算 iA? 的近似值iii xfA ??? )(? ii x???
（ 3） 求和，得 A的近似值,)(
1
ii
n
i
xfA ?? ?
?
?
（ 4） 求极限，得 A的精确值
ii
n
i
xfA ?? ?
??
)(lim
10
?
? ??
b
a dxxf )(
ii
n
i
xf ??
??
)(lim
10
?
?
比较 ? b
a dxxf )(与
两式，我们发现一个事实，左边的极限式子与右边
的定积分表达式有很好的对应。我们让
?
??
n
i 10
l i m
? ?
b
a
对应
ii xf ?)(?而使 dxxf )(对应
要想得到一个定积分表达式，只要求出被积
表达式,)( dxxf 这就是定积分的元素法
当所求量 U 符合下列条件
（ 1 ） U 是与一个变量 x 的变化区间 ? ?ba,有关的
量；
（ 2 ） U 对于区间 ? ?ba,具有可加性，就是说，
如果把区间 ? ?ba,分成许多部分区间，则 U 相应
地分成许多部分量,而 U 等于所有部分量之
和；
（ 3 ） 部分量 iU? 的近似值可表示为 ii xf ?)( ? ；
就可以考虑用定积分来表达这个量 U
二 定积分的元素法（ Element Method ）
元素法的一般步骤
1 ） 根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为
积分变量，并确定它的变化区间 ],[ ba ；
2 ） 设想把区间 ],[ ba 分成 n 个小区间，取其中任
一小区间并记为 ],[ dxxx ?,求出相应于这小区
间的部分量 U? 的近似值, 如果 U? 能近似地表
示为 ],[ ba 上的一个连续函数在 x 处的值 )( xf
与 dx 的乘积，就把 dxxf )( 称为量 U 的元素且
记作
dU
，即 dxxfdU )(? ；
3 ） 以所求量 U 的元素 dxxf )( 为被积表达式，在
区间 ],[ ba 上作定积分，得 ??
b
a
dxxfU )(,
即为所求量 U 的积分表达式,
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
功；水压力；引力和平均值等,
?复习, 定积分的几何意义
三、平面图形的面积,
由连续曲线 y=f(x),直线 x=a,x=b及 x轴所
围成的图形
y=f(x)
a b0 x
y
怎样求面积呢？
?? dxxfba )(.1
A
-A
0)( ?xf
0)( ?xf
A表示以 y=f(X)为曲边的 曲 边梯形面积
a b
a b
y=f(x)>0
y=f(x)<0
x x
y y
0 0
A
A
321)( AAAdxxf
b
a ????则
2.如果 f(x)在 [a,b]上时正，时负，如下图
?结论：
的代数和表示
积的值都可用区边梯形面dxxfba )(? 几何意义
a b x
y
y=f(x)
2A
1A
3A
0
问题,试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
0 x
y=x2
2
y y
0 x
y=f(x)
y=g(x)
a b
?讲授新课,
?直角坐标系
x
y
o
)( xfy ?
a b x
y
o
)(1 xfy ?
)(2 xfy ?
a b
曲边梯形的面积
?? ba dxxfA )(
曲边梯形的面积
? ?? ba dxxfxfA )]()([ 12
1 直角坐标系情形
x xxx ?? x?
穿针法或微元素法 被积函数上 -下、右 -左
结论,一般地,由上,下两条曲线 y=f(x)与 y=g(x)
以及两条直线 x=a与 x=b(a<b)所围平面图形
的面积计算公式为
.)()( dxxgxfA ba ?? ?
例 1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
积为义，可得阴影部分的面
根据定积分的几何意上连续，且
，在）在图①中，被积函数（
,0)(
]0[)(1 2
?
?
xf
axxf
解：
dxxA a 20??
0 0 0 0a
y
x
y
x
y
x
y
x
f(x)=x2 f(x)=x2
-1 2
f(x)=1
a b -1 2
f(x)=(x-1)2-1
① ② ③ ④
积为义，可得阴影部分的面
根据定积分的几何意上连续，且
，在）在图②中，被积函数（
,0)(
]21[)(2 2
?
??
xf
xxf
解：
dxxA 22 1? ??
0 0 0 0a
y
x
y
x
y
x
y
x
f(x)=x2 f(x)=x2
-1 2
f(x)=1
a b -1 2
f(x)=(x-1)2-1
① ② ③ ④
积为义，可得阴影部分的面
根据定积分的几何意上连续，且
，在）在图③中，被积函数（
,0)(
][1)(3
?
?
xf
baxf
解：
dxA ba??
0 0 0 0a
y
x
y
x
y
x
y
x
f(x)=x2 f(x)=x2
-1 2
f(x)=1
a b -1 2
f(x)=(x-1)2-1
① ② ③ ④
可得阴影部分的面积为根据定积分的几何意义
，上，在上，上连续，且在
，在）在图④中，被积函数（
0)(]20[,0)(]01[
]21[1)1()(4 2
???
????
xfxf
xxf
解：
dxxdxxA ?? ?????? ? ]1)1[(]1)1[( 22020 1
0 0 0 0a
y
x
y
x
y
x
y
x
f(x)=x2 f(x)=x2
-1 2
f(x)=1
a b -1 2
f(x)=(x-1)2-1
① ② ③ ④
例 2 计算由两条抛物线 xy ?2 和 2xy ? 所围成的
图形的面积,
解 两曲线的交点，
)1,1()0,0(
面积元素 dxxxdA )( 2??
选 为积分变量x ]1,0[?x
dxxxA )( 210 ?? ?
1
0
3
33
2
2
3
??
?
??
? ?? xx
.31?
2xy?
2yx?
??
?
?
?
2
2
xy
xy解方程组
注 被积函数为上 -下，上为 下为xy ?2 2xy ?
例 3 计算由曲线 xy 22 ? 和直线 4?? xy 所围
成的图形的面积,
解 两曲线的交点
).4,8(),2,2( ??
?
?
?
??
?
4
22
xy
xy
选 为积分变量y ]4,2[??y
.18244 2
2
?? ?????? ??? ? dyyyA
xy 22?
4??xy
注 被积函数为“右 -左”
右为直线，左为抛物线
如果曲边梯形的曲边为参数方程
??
?
?
?
)(
)(
ty
tx
?
?
曲边梯形的面积,)()(2
1?
?? tt dtttA ??
（其中 1t 和 2t 对应曲线起点与终点的参数值）
在 [ 1t,2t ] （或 [ 2t,1t ] ）上 )( tx ?? 具有连续导
数,)( ty ?? 连续,
例 4 求椭圆 12
2
2
2
?? byax 的面积,
解 椭圆的参数方程
??
?
?
?
tby
tax
s i n
c o s
由对称性知总面积等于 4倍第一象限部分面积．
?? a yd xA 04 ??? 0
2
)c o s(s in4 tatdb
dttab ? ?? 20 2s i n4,ab??
设由曲线 )( ???r 及射线
?? ?, ?? ? 围成一曲边扇
形，求其面积．这里,)(??
在 ],[ ?? 上连续，且 0)( ???,
xo
?? ?
?d
?? ? ?
?? d?
面积元素 ??? ddA 2)]([
2
1?
曲边扇形的面积,)]([21 2 ????
? dA ??
2 极坐标系情形
)(???r
例 5 求阿基米德螺线 ?ar ? )0( ?a 上相应
于 ? 从 0 到 ?2 的弧与极轴所围成的图形的面
积,
?d?? dadA )(
2
1 22?
解
]2,0[ ?? ??
?? ? ??20 2221 daA
于是
322
0
2
3
4]
3[2
1 ?? ? aa ??
例 6 求心形线 )co s1( ??? ar 所围平面图形
的面积 )0( ?a,
解 ?? dadA 22 )co s1(21 ??
利用对称性知
.23 2a??
?d
?? d2)c o s1( ? ? ??? 02212 aA
??? d)c o sc o s21( 2????? 02a
??
?
??
? ??? ??? 2s in
4
1s in2
2
32a ?
0
例 7 求双纽线 ?? 2c o s22 a? 所围平面图形
的面积,
解 由对称性知总面积 =4倍第
一象限部分面积
14 AA ?
??? daA 2co s214 40 2??,2a?
xy?
?? 2cos22 a?
1A
元素法的提出、思想、步骤,
（注意微元法的本质）
四 小结
思考题
微元法与定积分的关系是什么？
平面图形面积的计算方法
（注直角坐标、参数方程、极坐标）
§ 2 由平行截面面积求体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内
一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做
旋转轴．
圆柱 圆锥 圆台
1 旋转体的体积
一,空间立体的体积
旋转体可以看作是由连续曲线 )( xfy ?,直线
ax ?, bx ? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋
转一周而成的立体，现在我们考虑用定积分来计
算这种旋转体的体积。
取积分变量为 x],[ ba变化范围
相应于 ],[ ba 上的任一小区间
],[ dxxx ?,窄边梯形绕 x 轴
旋转而成的薄片的体积近似的于以 )( xf 为底半
径,dx 为高的扁圆柱体的体积，即体积元素
dxxfdV 2)]([??
x dxx? x
y
o
旋转体的体积为 dxxfV b
a
2)]([? ??
)(xfy ?
y
例 1 连接坐标原点 O 及点 ),( rhP 的直线、直线
hx ? 及 x 轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴旋
转构成一个底半径为 r,高为 h 的圆锥体，计算
圆锥体的体积,
r
解
h
P
xhry ?
取积分变量为 x, ],0[ h它的变化区间为圆锥体中相应于 ],0[ h 上任一小区间 ],[ dxxx ? 的薄片
xo直线方程为
),( rhp过原点 及点o
的体积近似于底半径为 xh
r
、高为 dx 的扁圆柱体的体
积即体积元素
dxxhrdV
2
??
?
??
???
于是所求圆锥体的体积为
dxxhrV h
2
0 ??
??
?
??? ?
hx
h
r
0
3
2
2
3 ??
?
??
???
.3
2hr?
?
y
r
h
P
xo
用与上面类似地方 法可以推出：由曲线
)( yx ??,直线 cy ?, dy ? )( dc ? 与 y 轴所
围成的曲边梯形，绕 y 轴旋转一周而成的旋转
体的体积为
x
y
o
)( yx ??c
d
dyy 2)]([?? ?? dcV
例 2 计算摆线 )s i n( ttax ??, )co s1( tay ?? 的
一拱与 0?y 所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴旋
转构成旋转体的体积,
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
dxxyV ax )(220? ? ??
? ? ????? 20 22 )c o s1()c o s1( dttata
? ? ????? 20 323 )c o sc o s3c o s31( dtttta,5 32a??
a?2a?
)(xy
绕 y 轴旋转的旋转体体积
可看作平面图 O A B C 与 O B C
分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差,
dtyxV ay )(220 2? ?? dtyxa )(220 1? ??
o
y
xa?2 A
BCa2 )(2 yxx ?
)(1 yxx ?
? ?? ???? 2 22 s in)s in( td tatta
? ? ???? 0 22 s in)s in( td tatta
? ? ??? 20 23 s in)s in( td ttta,6 33a??
用与上面类似地方法可以推出另一个计算旋转
体的体积公式：
由连续曲线 0)( ?? xfy,直线 ax ?,
bx ? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周
而成的立体，体积为
dxxfxV bay )(2 ?? ?
dxxx ?
x
dxxf
xfxxfdxxdV
)(2
)()()( 22
?
??
?
???
证明：如图，体积元素
dxxfxV bay )(2 ??? ?
y
)(xf
dxxfxV b
ay
)(2 ?? ?
利用公式,
dxxfxV ay |)(|2 20? ???
? ? ?????? 20 )]s in([)c o s1()s in(2 ttadtatta
? ? ???? 20 23 )c o s1)(s in(2 dtttta,6 33a??
可知上例中
xo a b
2、平行截面面积为已知的立体的体积
x dxx?
从计算旋转体体积的过程可以看出：如果一个
立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一
定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积
也可用定积分来计算,
如图,)( xA 表
示过点 x 且垂
直于 x 轴的截
面面积,)( xA
为 x 的已知连续函数，体积元素
,)( dxxAdV ?,)(?? ba dxxAV立体体积
例 3 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中
心，并与底面交成角 ?,计算这平面截圆柱体所
得立体的体积,
R
R?
x
yo
解
?
建立坐标系, 底圆方程为
222 Ryx ?? 垂直于 x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积,t a n)(21)( 22 ?xRxA ??
立体体积 dxxRV R
R ?t a n)(2
1 22 ?? ?
?,t a n3
2 3 ?R?
轴。轴的直线为垂直于
轴，底面上过圆心、且
为取平面与圆柱体的交线
yx
x
例 4 求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底圆
半径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积,
解
建立坐标系, 底圆方程为
,222 Ryx ??
x
y
o Rx
垂直于 x 轴的截面为等腰三角形
截面面积 22)( xRhyhxA ????
立体体积 dxxRhV RR?? ?? 22.21 2 hR??
正劈锥的顶平行。
轴与为原点，并使圆心
面，取底圆所在的平面为
xo
xoy
§ 3 平面曲线的弧长
xo
y
0MA?
nMB?1M
2M 1?nM设 A, B 是曲线弧 AB 上
的两个端点，在弧上插入
分点
BMM
MMMA
nn
i
?
?
?,,
,,,
1
10
?
?
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无
限增加且每个小弧段 ii MM 1? 都缩向一点时,此折线的长 ||
1
1?
?
?
n
i
ii MM 的极限存在，则称此极限为
曲线弧 AB 的弧长,
1,平面曲线弧长的概念
平面曲线的弧长
定理 光滑曲线弧是可求长的 。
简介 光滑曲线
当曲线上每一点处都具有切线，且切线
随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为
光滑曲线。
就是一条光滑曲线。如 2xy ?
-2 -1 1 2
1
2
3
4
-6 -4 -2 2 4 6
-1
-0.5
0.5
1
2xy ? xy s i n?
设曲线弧为 )( xfy ?
)( bxa ??,其中 )( xf
在 ],[ ba 上有一阶连续导数
xo
y
a bx dxx?
?dy
小切线段的长 22 )()( dydx ? dxy 21 ???
就是弧长元素
dxyds 21 ???
弧长,1 2 dxys ba? ???
2 直角坐标情形
由第三章的弧微分公式知
dxyds 21 ???
例 1 0 计算曲线 2
3
3
2
xy ? 上相应于 x 从 a 到b
的一段弧的长度,
解
,21xy ??因为
dxxds 2)(1 21??从而弧长元素,1 dxx??
所以弧长为
dxxs ba? ?? 1 ].)1()1[(32 2323 ab ????
0.5 1 1.5 2
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
设曲线弧为,
)(
)(
??
?
?
?
ty
tx
?
? )( ?? ?? t
其中 )(),( tt ?? 在 ],[ ?? 上具有连续导数,
22 )()( dydxds ?? 222 ))](()([ dttt ?? ????
dttt )()( 22 ?? ????
弧长,)()( 22 dttts ? ???? ?? ??
3 参数方程情形
解
)0()c o s1( ),s i n( ?
??
?
??
?? a
tay
ttax例 11 计算曲线的全长
).20(
2
s i n2
)]([)]([
s i n)(),c o s1()(
22
????
????
?????
tdt
t
a
dttytxds
tatytatx
于是
.8
2
c o s4
2
s i n2 20
2
0
atadttas ???? ? ?
?
所以
a?2
a?
)( x
曲线弧为 )( ??? ??)(?rr ?
其中 )( ?r 在 ],[ ?? 上具有连续导数,
?
?
?
?
?
??
??
s i n)(
c o s)(
ry
rx
由 )( ??? ??
22 )()( dydxds ??得到,)()(
22 ??? drr ???
弧长,)()( 22 ????
? drrs ? ???
4 极坐标情形
例 1 2 求阿基米德螺线 ?ar ? )0( ?a 上相应
于 ? 从 0 到 ?2 的弧长,
解
????? drrs ? ??? )()( 22
? ?.)412l n (4122 22 ????????? a
? ?? 20 ?? daa 222 ? ? ?? 20a ?? d12 ?
1光滑曲线的概念,
四 小结
2平面曲线弧长的概念
直角坐标系下
参数方程情形下
极坐标系下
3 弧长的公式 ?
?
?
?
?
§ 4 定积分在物理学中的应用
由物理学知道，如果物体在作直线运动的
过程中有一个不变的力 F 作用在这物体上，且
这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在
物体移动了距离 s 时，力 F 对物体所作的功为
sFW ??, 如果物体在运动的过程中所受的力是变化
的，就会遇到变力作功的问题，不能直接使用此
公式，而采用,元素法”。
一 变力沿直线所作的功
例 1 把一个带 q? 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的
电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正
电荷放在这个电场中距离原点为
r
的地方，那么
电场对它的作用力的大小为
2
r
q
kF ? （k 是常
数），当这个单位正电荷在电场中从
ar ?
处沿
r
轴移动到 br ? 处时，计算电场力
F
对它所作
的功．
解 取 r 为积分变量,ro?q? ?a ?b? ? ? ? ???1?r
],,[ bar ?
? drr?
即功元素为,2 drrkqdw ?
所求功为 dr
r
kqw b
a?? 2
b
ar
kq ?
?
?
??
??? 1
.11 ?????? ?? bakq
于区间上所作的功近似等
取 ],[ drrr ? 为 [ a,b ] 上的任一小区间,电场力在此小
,2 drrkq
例 2 一圆柱形蓄水池高为 5 米，底
半径为 3 米，池内盛满了水, 问要把
池内的水全部吸出，需作多少功？
解 建立坐标系如图
x
o x
dxx?取 x 为积分变量,]5,0[?x
5取任一小区间 ],[ dxxx ?,
5m
3m
这一薄层水的重力为
dx238.9 ??
功元素为,2.88 dxxdw ????
dxxw ???? ? 2.8850
5
0
2
2
2.88 ?
?
?
??
??? x
3462? (千焦 )．
x
o
3m
5m
由物理学知道，在水深为 h 处的压强为
hp ??,这里 ? 是水的比重．如果有一面积为 A
的平板水平地放置在水深为 h 处，那么，平板一
侧所受的水压力为 ApP ??,
如果平板垂直放置在水中，由于水深不同
的点处压强 p 不相等，平板一侧所受的水压力
就不能直接使用此公式，而采用, 元素法”．
二 水压力
例 3 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，
设桶的底半径为 R,水的比重为 ?,计算桶的一端
面上所受的压力．
解 在端面建立坐标系如图
x
o
取 x 为积分变量,],0[ Rx ?
取任一小区间 ],[ dxxx ?
x dxx?小矩形片上各处的压强近
似相等
小矩形片的面积为,2 22 dxxR ?
,xp ??
小矩形片的压力元素为 dxxRxdP 222 ?? ?
端面上所受的压力
dxxRxP R 220 2 ?? ? ?
)( 220 22 xRdxRR ???? ??
? ? RxR
0
322
3
2
??
?
??
? ??? ?
.32 3R??
例 5 将斜边定长为 L 的直角三角形薄板垂
直地浸人水中，斜边朝下，使一直角边的边
长与水面重合，问斜边与此直角边的夹角 ?
多大时，才能使薄板一侧所受水的压力最
大？
解 建立坐标系如图
L
?
x
o a2?则斜边所在直线方程
dxLxxy d xxdp
Lxy
]c o s)c o t[()(
)
2
0(,c o s)c o t(
???
?
???
????
?????
压力微元
?? ???? ?? ??s i n0 2s i n0 )c o sc o t(LL xdxLxdpp
?? 2
3
s i nc o s6L?
)
2
0(2ar c t an2t an
0)s i ns i n c os2(
6
32
3
?
???
???
?
????
???
，所以可得
L
d
dp
由定义域内驻点唯一知当 2ar c t an??
时所受压力最大 。
由物理学知道，质量分别为
21
,mm 相距为
r 的两个质点间的引力的大小为
2
21
r
mm
kF ?,其中 k 为引力系数，引力的方
向沿着两质点的连线方向．
如果要计算一根细棒对一个质点的引力，
那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化
的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，
就不能用此公式计算．
三、引力
例 6 有一长度为 l,线密度为 ? 的均匀细棒，
在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的质
点 M,计算该棒对质点 M 的引力．
2l
2l?
? x
y
o Ma
解 建立坐标系如图
取 y 为积分变量
取任一小区间 ],[ dyyy ?
,2,2 ???????? lly
将典型小段近似看成质点
小段的质量为,dy?
ry dyy?
小段与质点的距离为,22 yar ??
引力,22 ya dymkF ??? ?
水平方向的分力元素,)(
2
322 ya
dyamkdF
x ???
?
2
3
2
2 )( 22 ya
dyamkF l
lx ??? ??
?
,
)4(
2
2
122 laa
lkm
?
?? ?
由对称性知，引力在铅直方向分力为,0?yF
利用“元素法”求
（ 1）变力作功（ 2）水压力（ 3）引力
等物理问题．
（注意熟悉相关的物理知识）
四 小结
重点是用微元法建立微元，然后积分
五 思考与判断题
吸水作功的“作功微元”实际上是对“微元”
部分克服重力作功。
§ 2 由平行截面面积求体积
§ 3 平面曲线的长
§ 4 定积分在物理学中的应用
§ 1 平面图形的面积
本章中我们将用前面学过的定积分的知识来
分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的
不仅是建立计算这些几何、物理的公式，而且
更重要的还在于介绍运用元素法解决问题
的定积分的分析方法。
考虑曲边梯形面积计算问题
?? ba dxxfA )(
一 问题的提出
曲边 梯形由连 续曲 线
)( xfy ? )0)(( ?xf,
x 轴与两条直线 ax ?,
bx ? 所围成。
a b x
y
o
)(xfy ?
面积表示为定积分要通过如下步骤：
（ 1 ） 把区间 ],[ ba 分成 n 个长度为
i
x? 的小区间，
相应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形，第 i
小窄曲边梯形的面积为 iA?,则 ?
?
??
n
i
i
AA
1
.
（ 2 ） 计算 iA? 的近似值iii xfA ??? )(? ii x???
（ 3） 求和，得 A的近似值,)(
1
ii
n
i
xfA ?? ?
?
?
（ 4） 求极限，得 A的精确值
ii
n
i
xfA ?? ?
??
)(lim
10
?
? ??
b
a dxxf )(
ii
n
i
xf ??
??
)(lim
10
?
?
比较 ? b
a dxxf )(与
两式，我们发现一个事实，左边的极限式子与右边
的定积分表达式有很好的对应。我们让
?
??
n
i 10
l i m
? ?
b
a
对应
ii xf ?)(?而使 dxxf )(对应
要想得到一个定积分表达式，只要求出被积
表达式,)( dxxf 这就是定积分的元素法
当所求量 U 符合下列条件
（ 1 ） U 是与一个变量 x 的变化区间 ? ?ba,有关的
量；
（ 2 ） U 对于区间 ? ?ba,具有可加性，就是说，
如果把区间 ? ?ba,分成许多部分区间，则 U 相应
地分成许多部分量,而 U 等于所有部分量之
和；
（ 3 ） 部分量 iU? 的近似值可表示为 ii xf ?)( ? ；
就可以考虑用定积分来表达这个量 U
二 定积分的元素法（ Element Method ）
元素法的一般步骤
1 ） 根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为
积分变量，并确定它的变化区间 ],[ ba ；
2 ） 设想把区间 ],[ ba 分成 n 个小区间，取其中任
一小区间并记为 ],[ dxxx ?,求出相应于这小区
间的部分量 U? 的近似值, 如果 U? 能近似地表
示为 ],[ ba 上的一个连续函数在 x 处的值 )( xf
与 dx 的乘积，就把 dxxf )( 称为量 U 的元素且
记作
dU
，即 dxxfdU )(? ；
3 ） 以所求量 U 的元素 dxxf )( 为被积表达式，在
区间 ],[ ba 上作定积分，得 ??
b
a
dxxfU )(,
即为所求量 U 的积分表达式,
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
功；水压力；引力和平均值等,
?复习, 定积分的几何意义
三、平面图形的面积,
由连续曲线 y=f(x),直线 x=a,x=b及 x轴所
围成的图形
y=f(x)
a b0 x
y
怎样求面积呢？
?? dxxfba )(.1
A
-A
0)( ?xf
0)( ?xf
A表示以 y=f(X)为曲边的 曲 边梯形面积
a b
a b
y=f(x)>0
y=f(x)<0
x x
y y
0 0
A
A
321)( AAAdxxf
b
a ????则
2.如果 f(x)在 [a,b]上时正，时负，如下图
?结论：
的代数和表示
积的值都可用区边梯形面dxxfba )(? 几何意义
a b x
y
y=f(x)
2A
1A
3A
0
问题,试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
0 x
y=x2
2
y y
0 x
y=f(x)
y=g(x)
a b
?讲授新课,
?直角坐标系
x
y
o
)( xfy ?
a b x
y
o
)(1 xfy ?
)(2 xfy ?
a b
曲边梯形的面积
?? ba dxxfA )(
曲边梯形的面积
? ?? ba dxxfxfA )]()([ 12
1 直角坐标系情形
x xxx ?? x?
穿针法或微元素法 被积函数上 -下、右 -左
结论,一般地,由上,下两条曲线 y=f(x)与 y=g(x)
以及两条直线 x=a与 x=b(a<b)所围平面图形
的面积计算公式为
.)()( dxxgxfA ba ?? ?
例 1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
积为义，可得阴影部分的面
根据定积分的几何意上连续，且
，在）在图①中，被积函数（
,0)(
]0[)(1 2
?
?
xf
axxf
解：
dxxA a 20??
0 0 0 0a
y
x
y
x
y
x
y
x
f(x)=x2 f(x)=x2
-1 2
f(x)=1
a b -1 2
f(x)=(x-1)2-1
① ② ③ ④
积为义，可得阴影部分的面
根据定积分的几何意上连续，且
，在）在图②中，被积函数（
,0)(
]21[)(2 2
?
??
xf
xxf
解：
dxxA 22 1? ??
0 0 0 0a
y
x
y
x
y
x
y
x
f(x)=x2 f(x)=x2
-1 2
f(x)=1
a b -1 2
f(x)=(x-1)2-1
① ② ③ ④
积为义，可得阴影部分的面
根据定积分的几何意上连续，且
，在）在图③中，被积函数（
,0)(
][1)(3
?
?
xf
baxf
解：
dxA ba??
0 0 0 0a
y
x
y
x
y
x
y
x
f(x)=x2 f(x)=x2
-1 2
f(x)=1
a b -1 2
f(x)=(x-1)2-1
① ② ③ ④
可得阴影部分的面积为根据定积分的几何意义
，上，在上，上连续，且在
，在）在图④中，被积函数（
0)(]20[,0)(]01[
]21[1)1()(4 2
???
????
xfxf
xxf
解：
dxxdxxA ?? ?????? ? ]1)1[(]1)1[( 22020 1
0 0 0 0a
y
x
y
x
y
x
y
x
f(x)=x2 f(x)=x2
-1 2
f(x)=1
a b -1 2
f(x)=(x-1)2-1
① ② ③ ④
例 2 计算由两条抛物线 xy ?2 和 2xy ? 所围成的
图形的面积,
解 两曲线的交点，
)1,1()0,0(
面积元素 dxxxdA )( 2??
选 为积分变量x ]1,0[?x
dxxxA )( 210 ?? ?
1
0
3
33
2
2
3
??
?
??
? ?? xx
.31?
2xy?
2yx?
??
?
?
?
2
2
xy
xy解方程组
注 被积函数为上 -下，上为 下为xy ?2 2xy ?
例 3 计算由曲线 xy 22 ? 和直线 4?? xy 所围
成的图形的面积,
解 两曲线的交点
).4,8(),2,2( ??
?
?
?
??
?
4
22
xy
xy
选 为积分变量y ]4,2[??y
.18244 2
2
?? ?????? ??? ? dyyyA
xy 22?
4??xy
注 被积函数为“右 -左”
右为直线，左为抛物线
如果曲边梯形的曲边为参数方程
??
?
?
?
)(
)(
ty
tx
?
?
曲边梯形的面积,)()(2
1?
?? tt dtttA ??
（其中 1t 和 2t 对应曲线起点与终点的参数值）
在 [ 1t,2t ] （或 [ 2t,1t ] ）上 )( tx ?? 具有连续导
数,)( ty ?? 连续,
例 4 求椭圆 12
2
2
2
?? byax 的面积,
解 椭圆的参数方程
??
?
?
?
tby
tax
s i n
c o s
由对称性知总面积等于 4倍第一象限部分面积．
?? a yd xA 04 ??? 0
2
)c o s(s in4 tatdb
dttab ? ?? 20 2s i n4,ab??
设由曲线 )( ???r 及射线
?? ?, ?? ? 围成一曲边扇
形，求其面积．这里,)(??
在 ],[ ?? 上连续，且 0)( ???,
xo
?? ?
?d
?? ? ?
?? d?
面积元素 ??? ddA 2)]([
2
1?
曲边扇形的面积,)]([21 2 ????
? dA ??
2 极坐标系情形
)(???r
例 5 求阿基米德螺线 ?ar ? )0( ?a 上相应
于 ? 从 0 到 ?2 的弧与极轴所围成的图形的面
积,
?d?? dadA )(
2
1 22?
解
]2,0[ ?? ??
?? ? ??20 2221 daA
于是
322
0
2
3
4]
3[2
1 ?? ? aa ??
例 6 求心形线 )co s1( ??? ar 所围平面图形
的面积 )0( ?a,
解 ?? dadA 22 )co s1(21 ??
利用对称性知
.23 2a??
?d
?? d2)c o s1( ? ? ??? 02212 aA
??? d)c o sc o s21( 2????? 02a
??
?
??
? ??? ??? 2s in
4
1s in2
2
32a ?
0
例 7 求双纽线 ?? 2c o s22 a? 所围平面图形
的面积,
解 由对称性知总面积 =4倍第
一象限部分面积
14 AA ?
??? daA 2co s214 40 2??,2a?
xy?
?? 2cos22 a?
1A
元素法的提出、思想、步骤,
（注意微元法的本质）
四 小结
思考题
微元法与定积分的关系是什么？
平面图形面积的计算方法
（注直角坐标、参数方程、极坐标）
§ 2 由平行截面面积求体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内
一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做
旋转轴．
圆柱 圆锥 圆台
1 旋转体的体积
一,空间立体的体积
旋转体可以看作是由连续曲线 )( xfy ?,直线
ax ?, bx ? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋
转一周而成的立体，现在我们考虑用定积分来计
算这种旋转体的体积。
取积分变量为 x],[ ba变化范围
相应于 ],[ ba 上的任一小区间
],[ dxxx ?,窄边梯形绕 x 轴
旋转而成的薄片的体积近似的于以 )( xf 为底半
径,dx 为高的扁圆柱体的体积，即体积元素
dxxfdV 2)]([??
x dxx? x
y
o
旋转体的体积为 dxxfV b
a
2)]([? ??
)(xfy ?
y
例 1 连接坐标原点 O 及点 ),( rhP 的直线、直线
hx ? 及 x 轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴旋
转构成一个底半径为 r,高为 h 的圆锥体，计算
圆锥体的体积,
r
解
h
P
xhry ?
取积分变量为 x, ],0[ h它的变化区间为圆锥体中相应于 ],0[ h 上任一小区间 ],[ dxxx ? 的薄片
xo直线方程为
),( rhp过原点 及点o
的体积近似于底半径为 xh
r
、高为 dx 的扁圆柱体的体
积即体积元素
dxxhrdV
2
??
?
??
???
于是所求圆锥体的体积为
dxxhrV h
2
0 ??
??
?
??? ?
hx
h
r
0
3
2
2
3 ??
?
??
???
.3
2hr?
?
y
r
h
P
xo
用与上面类似地方 法可以推出：由曲线
)( yx ??,直线 cy ?, dy ? )( dc ? 与 y 轴所
围成的曲边梯形，绕 y 轴旋转一周而成的旋转
体的体积为
x
y
o
)( yx ??c
d
dyy 2)]([?? ?? dcV
例 2 计算摆线 )s i n( ttax ??, )co s1( tay ?? 的
一拱与 0?y 所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴旋
转构成旋转体的体积,
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
dxxyV ax )(220? ? ??
? ? ????? 20 22 )c o s1()c o s1( dttata
? ? ????? 20 323 )c o sc o s3c o s31( dtttta,5 32a??
a?2a?
)(xy
绕 y 轴旋转的旋转体体积
可看作平面图 O A B C 与 O B C
分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差,
dtyxV ay )(220 2? ?? dtyxa )(220 1? ??
o
y
xa?2 A
BCa2 )(2 yxx ?
)(1 yxx ?
? ?? ???? 2 22 s in)s in( td tatta
? ? ???? 0 22 s in)s in( td tatta
? ? ??? 20 23 s in)s in( td ttta,6 33a??
用与上面类似地方法可以推出另一个计算旋转
体的体积公式：
由连续曲线 0)( ?? xfy,直线 ax ?,
bx ? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周
而成的立体，体积为
dxxfxV bay )(2 ?? ?
dxxx ?
x
dxxf
xfxxfdxxdV
)(2
)()()( 22
?
??
?
???
证明：如图，体积元素
dxxfxV bay )(2 ??? ?
y
)(xf
dxxfxV b
ay
)(2 ?? ?
利用公式,
dxxfxV ay |)(|2 20? ???
? ? ?????? 20 )]s in([)c o s1()s in(2 ttadtatta
? ? ???? 20 23 )c o s1)(s in(2 dtttta,6 33a??
可知上例中
xo a b
2、平行截面面积为已知的立体的体积
x dxx?
从计算旋转体体积的过程可以看出：如果一个
立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一
定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积
也可用定积分来计算,
如图,)( xA 表
示过点 x 且垂
直于 x 轴的截
面面积,)( xA
为 x 的已知连续函数，体积元素
,)( dxxAdV ?,)(?? ba dxxAV立体体积
例 3 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中
心，并与底面交成角 ?,计算这平面截圆柱体所
得立体的体积,
R
R?
x
yo
解
?
建立坐标系, 底圆方程为
222 Ryx ?? 垂直于 x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积,t a n)(21)( 22 ?xRxA ??
立体体积 dxxRV R
R ?t a n)(2
1 22 ?? ?
?,t a n3
2 3 ?R?
轴。轴的直线为垂直于
轴，底面上过圆心、且
为取平面与圆柱体的交线
yx
x
例 4 求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底圆
半径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积,
解
建立坐标系, 底圆方程为
,222 Ryx ??
x
y
o Rx
垂直于 x 轴的截面为等腰三角形
截面面积 22)( xRhyhxA ????
立体体积 dxxRhV RR?? ?? 22.21 2 hR??
正劈锥的顶平行。
轴与为原点，并使圆心
面，取底圆所在的平面为
xo
xoy
§ 3 平面曲线的弧长
xo
y
0MA?
nMB?1M
2M 1?nM设 A, B 是曲线弧 AB 上
的两个端点，在弧上插入
分点
BMM
MMMA
nn
i
?
?
?,,
,,,
1
10
?
?
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无
限增加且每个小弧段 ii MM 1? 都缩向一点时,此折线的长 ||
1
1?
?
?
n
i
ii MM 的极限存在，则称此极限为
曲线弧 AB 的弧长,
1,平面曲线弧长的概念
平面曲线的弧长
定理 光滑曲线弧是可求长的 。
简介 光滑曲线
当曲线上每一点处都具有切线，且切线
随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为
光滑曲线。
就是一条光滑曲线。如 2xy ?
-2 -1 1 2
1
2
3
4
-6 -4 -2 2 4 6
-1
-0.5
0.5
1
2xy ? xy s i n?
设曲线弧为 )( xfy ?
)( bxa ??,其中 )( xf
在 ],[ ba 上有一阶连续导数
xo
y
a bx dxx?
?dy
小切线段的长 22 )()( dydx ? dxy 21 ???
就是弧长元素
dxyds 21 ???
弧长,1 2 dxys ba? ???
2 直角坐标情形
由第三章的弧微分公式知
dxyds 21 ???
例 1 0 计算曲线 2
3
3
2
xy ? 上相应于 x 从 a 到b
的一段弧的长度,
解
,21xy ??因为
dxxds 2)(1 21??从而弧长元素,1 dxx??
所以弧长为
dxxs ba? ?? 1 ].)1()1[(32 2323 ab ????
0.5 1 1.5 2
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
设曲线弧为,
)(
)(
??
?
?
?
ty
tx
?
? )( ?? ?? t
其中 )(),( tt ?? 在 ],[ ?? 上具有连续导数,
22 )()( dydxds ?? 222 ))](()([ dttt ?? ????
dttt )()( 22 ?? ????
弧长,)()( 22 dttts ? ???? ?? ??
3 参数方程情形
解
)0()c o s1( ),s i n( ?
??
?
??
?? a
tay
ttax例 11 计算曲线的全长
).20(
2
s i n2
)]([)]([
s i n)(),c o s1()(
22
????
????
?????
tdt
t
a
dttytxds
tatytatx
于是
.8
2
c o s4
2
s i n2 20
2
0
atadttas ???? ? ?
?
所以
a?2
a?
)( x
曲线弧为 )( ??? ??)(?rr ?
其中 )( ?r 在 ],[ ?? 上具有连续导数,
?
?
?
?
?
??
??
s i n)(
c o s)(
ry
rx
由 )( ??? ??
22 )()( dydxds ??得到,)()(
22 ??? drr ???
弧长,)()( 22 ????
? drrs ? ???
4 极坐标情形
例 1 2 求阿基米德螺线 ?ar ? )0( ?a 上相应
于 ? 从 0 到 ?2 的弧长,
解
????? drrs ? ??? )()( 22
? ?.)412l n (4122 22 ????????? a
? ?? 20 ?? daa 222 ? ? ?? 20a ?? d12 ?
1光滑曲线的概念,
四 小结
2平面曲线弧长的概念
直角坐标系下
参数方程情形下
极坐标系下
3 弧长的公式 ?
?
?
?
?
§ 4 定积分在物理学中的应用
由物理学知道，如果物体在作直线运动的
过程中有一个不变的力 F 作用在这物体上，且
这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在
物体移动了距离 s 时，力 F 对物体所作的功为
sFW ??, 如果物体在运动的过程中所受的力是变化
的，就会遇到变力作功的问题，不能直接使用此
公式，而采用,元素法”。
一 变力沿直线所作的功
例 1 把一个带 q? 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的
电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正
电荷放在这个电场中距离原点为
r
的地方，那么
电场对它的作用力的大小为
2
r
q
kF ? （k 是常
数），当这个单位正电荷在电场中从
ar ?
处沿
r
轴移动到 br ? 处时，计算电场力
F
对它所作
的功．
解 取 r 为积分变量,ro?q? ?a ?b? ? ? ? ???1?r
],,[ bar ?
? drr?
即功元素为,2 drrkqdw ?
所求功为 dr
r
kqw b
a?? 2
b
ar
kq ?
?
?
??
??? 1
.11 ?????? ?? bakq
于区间上所作的功近似等
取 ],[ drrr ? 为 [ a,b ] 上的任一小区间,电场力在此小
,2 drrkq
例 2 一圆柱形蓄水池高为 5 米，底
半径为 3 米，池内盛满了水, 问要把
池内的水全部吸出，需作多少功？
解 建立坐标系如图
x
o x
dxx?取 x 为积分变量,]5,0[?x
5取任一小区间 ],[ dxxx ?,
5m
3m
这一薄层水的重力为
dx238.9 ??
功元素为,2.88 dxxdw ????
dxxw ???? ? 2.8850
5
0
2
2
2.88 ?
?
?
??
??? x
3462? (千焦 )．
x
o
3m
5m
由物理学知道，在水深为 h 处的压强为
hp ??,这里 ? 是水的比重．如果有一面积为 A
的平板水平地放置在水深为 h 处，那么，平板一
侧所受的水压力为 ApP ??,
如果平板垂直放置在水中，由于水深不同
的点处压强 p 不相等，平板一侧所受的水压力
就不能直接使用此公式，而采用, 元素法”．
二 水压力
例 3 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，
设桶的底半径为 R,水的比重为 ?,计算桶的一端
面上所受的压力．
解 在端面建立坐标系如图
x
o
取 x 为积分变量,],0[ Rx ?
取任一小区间 ],[ dxxx ?
x dxx?小矩形片上各处的压强近
似相等
小矩形片的面积为,2 22 dxxR ?
,xp ??
小矩形片的压力元素为 dxxRxdP 222 ?? ?
端面上所受的压力
dxxRxP R 220 2 ?? ? ?
)( 220 22 xRdxRR ???? ??
? ? RxR
0
322
3
2
??
?
??
? ??? ?
.32 3R??
例 5 将斜边定长为 L 的直角三角形薄板垂
直地浸人水中，斜边朝下，使一直角边的边
长与水面重合，问斜边与此直角边的夹角 ?
多大时，才能使薄板一侧所受水的压力最
大？
解 建立坐标系如图
L
?
x
o a2?则斜边所在直线方程
dxLxxy d xxdp
Lxy
]c o s)c o t[()(
)
2
0(,c o s)c o t(
???
?
???
????
?????
压力微元
?? ???? ?? ??s i n0 2s i n0 )c o sc o t(LL xdxLxdpp
?? 2
3
s i nc o s6L?
)
2
0(2ar c t an2t an
0)s i ns i n c os2(
6
32
3
?
???
???
?
????
???
，所以可得
L
d
dp
由定义域内驻点唯一知当 2ar c t an??
时所受压力最大 。
由物理学知道，质量分别为
21
,mm 相距为
r 的两个质点间的引力的大小为
2
21
r
mm
kF ?,其中 k 为引力系数，引力的方
向沿着两质点的连线方向．
如果要计算一根细棒对一个质点的引力，
那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化
的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，
就不能用此公式计算．
三、引力
例 6 有一长度为 l,线密度为 ? 的均匀细棒，
在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的质
点 M,计算该棒对质点 M 的引力．
2l
2l?
? x
y
o Ma
解 建立坐标系如图
取 y 为积分变量
取任一小区间 ],[ dyyy ?
,2,2 ???????? lly
将典型小段近似看成质点
小段的质量为,dy?
ry dyy?
小段与质点的距离为,22 yar ??
引力,22 ya dymkF ??? ?
水平方向的分力元素,)(
2
322 ya
dyamkdF
x ???
?
2
3
2
2 )( 22 ya
dyamkF l
lx ??? ??
?
,
)4(
2
2
122 laa
lkm
?
?? ?
由对称性知，引力在铅直方向分力为,0?yF
利用“元素法”求
（ 1）变力作功（ 2）水压力（ 3）引力
等物理问题．
（注意熟悉相关的物理知识）
四 小结
重点是用微元法建立微元，然后积分
五 思考与判断题
吸水作功的“作功微元”实际上是对“微元”
部分克服重力作功。
