第
十
四
章
幂
级
数
函
数
的
幂
级
数
展
开
幂
级
数
第
十
四
章
幂
级
数
§ 1 幂级数
一、函数项级数的一般概念
1.定义,
设 ?? ),(,),(),(
21
xuxuxu
n
是定义在 RI ? 上的
函数,则 ?? ??????
?
?
)()()()(
21
1
xuxuxuxu
n
n
n
称为定义在区间 I 上的 ( 函数项 ) 无穷级数,
,1 2
0
??????
?
?
xxx
n
n例如级数
2.收敛点与收敛域,
如果 Ix ?0,数项级数 ?
?
? 1
0 )(
n
n xu 收敛,
则称 0x 为级数 )(
1
xu
n
n?
?
?
的 收敛点,
否则称为 发散点,
所有发散点的全体称为 发散域,
函数项级数 )(
1
xu
n
n?
?
?
的所有收敛点的全体称为 收敛域,
)()(lim xsxs nn ???函数项级数的部分和
余项 )()()( xsxsxr nn ??
(x在收敛域上 )0)(lim ?
?? xrnn
注意 函数项级数在某点 x的收敛问题,实质上
是数项级数的收敛问题,
3.和函数,
?? ????? )()()()( 21 xuxuxuxs n
在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 )( xs,
称 )( xs 为函数项级数的 和函数,
(定义域是?)
),(xsn
例 1 求级数 n
n
n
xn
)
1
1
(
)1(
1 ?
???
?
的收敛域,
解 由达朗贝尔判别法
)(
)(1
xu
xu
n
n?
xn
n
???? 1
1
1 )(1
1 ??
?? nx
,11 1)1( ?? x当
,20 时或即 ??? xx 原级数绝对收敛,
,11 ??? x
,11 1)2( ?? x当,11 ??? x
,02 时即 ??? x原级数发散,
,0时当 ?x ?
?
?
?
1
)1(
n
n
n级数 收敛 ;
,2 时当 ??x ?
?
? 1
1
n n
级数 发散 ;
).,0[)2,( ??????故级数的收敛域为
,1|1|)3( ?? x当,20 ???? xx 或
二、幂级数及其收敛性
1.定义,形如
n
n
n xxa )(
0
0?
?
?
? 的级数称为 幂级数,
,,0
0
0
n
n
n xax ?
?
?
? 时当 其中
na 为 幂级数系数,
2.收敛性,
,1 2
0
??????
?
?
xxx
n
n例如级数;,1 收敛时当 ?x ;,1 发散时当 ?x
);1,1( ?收敛域 );,1[]1,( ??????发散域
定理 1 ( Abel 定理 )如果级数 ?
?
? 0n
n
n xa 在
)0( 00 ?? xxx 处收敛,则
它在满足不等式 0xx ? 的一切 x 处绝对收敛 ;如果级数 ?
?
? 0n
n
n xa 在 0
xx ? 处发散,则它在满足
不等式 0xx ? 的一切 x 处发散,
证明,0lim 0 ??
??
n
nn xa,)1(
0
0 收敛?
?
?n
n
n xa?
),2,1,0(0 ??? nMxa nn使得,M?
n
n
n
n
n
n x
xxaxa
0
0 ??
n
n
n x
xxa
0
0 ?
n
x
xM
0
?
,1
0
时当 ?xx?,
0 0
收敛等比级数
n
n x
xM??
?
,
0
收敛?
?
?
?
n
n
n xa ;
0
收敛即级数 ?
?
?n
n
n xa
,)2( 0 时发散假设当 xx ?
而有一点 1x 适合 01 xx ? 使级数收敛,
则级数当 0xx ? 时应收敛,
这与所设矛盾,
由 (1)结论
xo? ?? ?? ?? ?? ??R? R
几何说明
收敛区域
发散区域发散区域
如果幂级数 ?
?
? 0n
n
n
xa 不是仅在 0?x 一点收敛,也
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质,
当 Rx ? 时,幂级数绝对收敛 ;
当 Rx ? 时,幂级数发散 ;
当 RxRx ??? 与 时,幂级数可能收敛也可能发散,
推论
定义, 正数 R称为幂级数的 收敛半径,
幂级数的收敛域称为幂级数的 收敛区间,
,0?R
),,[ RR? ],,( RR? ].,[ RR?
规定
,???R
收敛区间 0?x ;
收敛区间 ),( ????,
问题 如何求幂级数的收敛半径?
),,( RR?
(1 ) 幂级数只在 0?x 处收敛,
(2) 幂级数对一切 x 都收敛,
定理 2 如果幂级数 ?
?
? 0n
n
n xa 的所有系数 0?na,
设 ???
??
n
n
n a
a 1
lim ( 或 ??
??
n
nn al i m )
( 1 ) 则当 0?? 时,
?
?
1
R ;
( 3 ) 当 ???? 时,0?R,
( 2 ) 当 0?? 时,???R ;
证明 应用达朗贝尔判别法对级数 ?
?
? 0n
n
n xa
n
n
n
n
n xa
xa 11
l i m
?
?
?? xa
a
n
n
n
1lim ?
??
?,x??
,)0(l i m)1( 1 存在如果 ???
??
??
n
n
n a
a
由比值审敛法,,1|| 时当 ??x,||
0
收敛级数 ?
?
?n
n
n xa
.
0
收敛绝对从而级数 ?
?
?n
n
n xa
,1|| 时当 ??x,||
0
发散级数 ?
?
?n
n
n xa
开始并且从某个 n |,||| 11 nnnn xaxa ??? 0|| ?nn xa
.
0
??
?n
n
n xa 发散从而级数 ;
1
??R收敛半径
,0)2( ??如果,0??x
),(0
1
1 ???
?
? n
xa
xa
n
n
n
n有
,||
0
收敛级数 ?
?
?n
n
n xa
.
0
收敛绝对从而级数 ?
?
?n
n
n xa ;???R收敛半径
,)3( ????如果
,0??x,
0
??
?n
n
n xa 必发散级数
)||01(
0
收敛使知将有点否则由定理 ?
?
?
?
n
n
n xax
.0?R收敛半径 定理证毕,
例 2 求下列幂级数的收敛区间,
解 )1(
n
n
n a
a 1l i m ?
??
???
1l i m ?? ?? n
n
n 1? 1?? R
,1时当 ?x
,1时当 ??x
,)1(
1
?
?
?
?
n
n
n级数为
,1
1
??
?n n
级数为
该级数收敛
该级数发散;)1()1(
1 n
x n
n
n?
?
?
? ;)()2(
1
??
?
?
n
nnx;!)3(
1
??
?n
n
n
x,)
2
1(2)1()4(
1
n
n
n
n x
n ???
?
?
故收敛区间是 ]1,1( ?,
n n
n a???? l i m? nn ??? lim,???
,???? R
级数只在 0?x 处收敛,
n
n
n a
a 1l i m ?
??
??? 11l i m ??
?? nn,0?
,0?? R
收敛区间 ),( ????,;)()2(
1
??
?
?
n
nnx;!)3(
1
??
?n
n
n
x
n
n
n a
a 1l i m ?
??
???
1
2lim
?? ?? n
n
n
2?,21?? R
,2121 收敛即 ??x,)1,0( 收敛?x
.)21(2)1()4(
1
n
n
n
n x
n ???
?
?
,0时当 ?x,
1
1
?
?
?n n
级数为
,1时当 ?x,)1(
1
?
?
?
?
n
n
n级数为
发散
收敛
故收敛区间为 (0,1].
例 3 求幂级数 ?
?
?
?
1
12
2n n
nx
的收敛区间,
解 ?? ??? 3
5
2
3
222
xxx级数为 缺少偶次幂的项
应用达朗贝尔判别法
)(
)(l i m 1
xu
xu
n
n
n
?
?? n
n
n
n
n x
x
2
2l i m
12
1
12
?
?
?
??
?
,21 2x?
级数收敛,,121 2 ?x当,2时即 ?x
,121 2 ?x当,2时即 ?x 级数发散,
,2时当 ?x,21
1
??
?n
级数为
,2时当 ??x,2
1
1
?
?
?
?
n
级数为
级数发散,
级数发散,
原级数的收敛区间为 ).2,2(?
三、幂级数的运算
1.代数运算性质,
(1) 加减法
??
?
?
?
?
?
00 n
n
n
n
n
n xbxa,
0
??
?
?
n
n
n xc
(其中
? ?21,m i n RRR ?
)nnn bac ??
? ?RRx,??
,21
00
RRxbxa
n
n
n
n
n
n 和的收敛半径各为和设 ??
?
?
?
?
(2) 乘法
)()(
00
??
?
?
?
?
?
n
n
n
n
n
n xbxa,
0
??
?
?
n
n
n xc ? ?RRx,??
(其中 )0110 bababac nnnn ??????? ? ?
00ba 10ba 20ba 30ba
01ba 11ba 21ba 31ba
02ba 12ba 22ba 32ba
03ba 13ba 23ba 33ba
?
?
????
?
?
?
柯
西
乘
积
?321 xxx
(3) 除法
?
?
?
?
?
?
0
0
n
n
n
n
n
n
xb
xa
.
0
??
?
?
n
n
n xc
)0(
0
??
?
?n
n
n xb收敛域内
(相除后的收敛区间比原来
两级数的收敛区间小得多 )
2.和函数的分析运算性质,
(1 ) 幂级数 ?
?
? 0n
n
n
xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续,
( 2 ) 幂级数 ?
?
? 0n
n
n xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内可积,且对 ),( RRx ??? 可逐项积分,
? ??
?
?
? x
n
n
n
x dxxadxxs
0 00
)()(即
? ?
?
?
?
0 0n
x n
n dxxa,1
1
0
?
?
?
? ?? n
n
n x
n
a
(收敛半径不变 )
(3) 幂级数 ?
?
? 0n
n
n xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内可导,并可逐项求导任意次,
?
?
?
???
0
)()(
n
n
n xaxs即
?
?
?
??
0
)(
n
n
n xa,
1
1?
?
?
??
n
n
n xna
(收敛半径不变 )
例 4 求级数 ?
?
?
??
1
1)1(
n
n
n
n
x 的和函数,
解,)1()(
1
1?
?
?
???
n
n
n
n
xxs?,0)0( ?s显然
两边积分得
)1l n ()(0 xdttsx ????
?????? 21)( xxxs,1 1 x?? )11( ??? x
,1 时又 ?x,1)1(
1
1 收敛?
?
?
??
n
n
n
).1l n ()1(
1
1 x
n
x
n
n
n ???? ?
?
?
? )11( ??? x
),1l n ()( xxs ???
)1l n ()0()( xsxs ???即
例 5 求 ?
?
?
?
1 2
)1(
n
n
nn
的和,
解,)1(
1
n
n
xnn?
?
?
?考虑级数 收敛区间 (-1,1),
?
?
?
??
1
)1()(
n
nxnnxs则 )(
1
1 ??? ?
?
?
?
n
nxx
)1(
2
???? xxx,)1( 2 3xx??
?
?
?
?
1 2
)1(
n
n
nn故
)21(s?,8?
常用已
知和函
数的幂
级数;1 1)1(
0 x
x
n
n
???
?
?;1 1)1()2( 2
0
2
xxn
nn
????
?
?;1)3( 2
0
2
x
aax
n
n
???
?
?;!)4(
0
x
n
n
enx ??
?
?
);1l n (1)1()6(
0
1
xnx
n
n
n ??
???
?
?
?;sin)!12()1()5(
1
12
1 x
n
x
n
n
n ?
???
?
?
?
?
四、小结
2.幂级数的收敛性, 收敛半径 R
3.幂级数的运算, 分析运算性质
1.函数项级数的概念,
思考题
幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那
么它的收敛域是否也不变？
思考题解答
不一定,
例,)(
1
2?
?
?
?
n
n
n
xxf,)(
1
1
?
?
?
?
??
n
n
n
xxf
,)1()(
2
2
?
?
?
??
???
n
n
n
xnxf 它们的收敛半径都是 1,
但它们的收敛域各是 )1,1(),1,1[],1,1[ ???
一,求下列幂级数的收敛区间,
1, ?
?
? ?
???
??
?
?
)2(42422
2
n
xxx
n；
2, ?? ?
?
???
n
n
x
n
xx
1
2
5
2
2
2
2
2
2；
3, ?
?
?
?
?
1
22
2
12
n
n
n
x
n；
4, )0,0(
1
??
?
?
?
?
ba
ba
x
n
nn
n
.
练 习 题
二,利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数,
1, ?
?
?
?
1
1
n
n
nx ；
2, ?? ?
?
????
?
1253
1253
n
xxx
x
n
.
练习题答案
一,1, ),( ???? ；
2, ]
2
1
,
2
1
[ ? ；
3, )2,2( ? ；
4, ),( cc?,其中
? ? 0,m a x ?? bac
.
二,1, )11(
)1(
1
2
???
?
x
x；
2, )11(
1
1
ln
2
1
???
?
?
x
x
x
.
第
十
四
章
幂
级
数
§ 2 函数的幂级数展开
一、泰勒级数
上节例题 )11()1l n ()1(
1
1 ???????
?
?
? xx
n
x
n
n
n
n
n
n xxaxf )()( 0
0
?? ?
?
?
存在幂级数在其收敛
域内以 f(x)为和函数
问题, 1.如果能展开,是什么?na
2.展开式是否唯一?
3.在什么条件下才能展开成幂级数?
证明 即内收敛于在 ),()()( 00
0
xfxuxxa n
n
n ??
?
?
?
?? ??????? nn xxaxxaaxf )()()( 0010
定理 1 如果函数 )( xf 在 )(
0
xU
?
内具有任意阶导
数,且在 )(
0
xU
?
内 能 展开成 )(
0
xx ? 的幂级数,
即
n
n
n
xxaxf )()(
0
0
?? ?
?
?
则其系数 ),2,1,0()(
!
1
0
)(
??? nxf
n
a
n
n
且展开式是唯一的,
?? ?????? ? )(23)1(!)( 01)( xxannanxf nnn
即得令,0xx ?
),2,1,0()(!1 0)( ??? nxfna nn
泰勒系数是唯一的,.)( 的展开式是唯一的xf?
?? ???????? ? 10021 )()(2)( nn xxnaxxaaxf
逐项求导任意次,得
??
泰勒系数
如果 )( xf 在点 0x 处任意阶可导,则幂级数
n
n
n
xx
n
xf
)(
!
)(
0
0
0
)(
??
?
?
称为 )( xf 在点 0x 的 泰勒级数,
n
n
n
x
n
f
?
?
? 0
)(
!
)0(
称为 )( xf 在点 00 ?x 的 麦克劳林级数,
问题
n
n
n
xxn xfxf )(! )(?)( 0
0
0
)(
??
?
???
定义
泰勒级数在收敛区间是否收敛于 f(x)? 不一定,
??
?
?
?
?
??
?
0,0
0,)(
2
1
x
xexf x例如
),2,1,0(0)0()( ??? nf n且
?
?
?
??
0
0)(
n
nxxf 的麦氏级数为
.0)(),( ????? xs内和函数该级数在 可见
).()(,0 xfxfs 于的麦氏级数处处不收敛外除 ?
在 x=0点任意可导,
定理 2 )( xf 在点 0x 的泰勒级数,在 )( 0xU ? 内收
敛于 )( xf ? 在 )( 0xU ? 内 0)(l i m ?
??
xR n
n
.
证明 必要性
)()(! )()( 0
0
0
)(
xRxxi xfxf ni
n
i
i
??? ?
?
?
),()()( 1 xsxfxR nn ????
,)( 能展开为泰勒级数设 xf
)()(l i m 1 xfxs nn ?????
?? ?? )(l i m xR nn )]()([lim 1 xsxf nn ??? ?;0?
充分性 ),()()( 1 xRxsxf nn ?? ??
)]()([lim 1 xsxf nn ??? ?? )(lim xR nn ???,0?
),()(lim 1 xfxs nn ????即
).()( xfxf 的泰勒级数收敛于?
定理 3 设 )( xf 在 )(
0
xU 上有定义,0?? M,对
),(
00
RxRxx ????,恒有 Mxf
n
?)(
)(
),2,1,0( ??n,则 )( xf 在 ),(
00
RxRx ?? 内可展
开成点 0x 的泰勒级数,
证明
1
0
)1(
)()!1( )()( ?
?
??? n
n
n xxn
fxR ??
,)!1(
1
0
?
?? ?
n
xxM n
),( 00 RxRxx ???,),(
)!1(0
1
0 收敛在 ????
?
???
?
?
n
n
n
xx?
,0)!1(l i m
1
0 ?
?
?? ?
?? n
xx n
n,0)(lim ??? xR nn故
.0 的泰勒级数可展成点 x?
),( 00 RxRxx ???
二、函数展开成幂级数
1.直接法 (泰勒级数法 )
步骤, ;! )()1( 0
)(
n
xfa n
n ?求
,)(0l i m)2( )( MxfR nnn ???? 或讨论
).( xf敛于则级数在收敛区间内收
例 1
解
.)( 展开成幂级数将 xexf ?
,)()( xn exf ? ),2,1,0(.1)0()( ??? nf n
?? ?????? nx xnxxe !1!211 2
,0??M 上在 ],[ MM? xn exf ?)()( Me?
),2,1,0( ??n ?? ??????? nx x
nxxe !
1
!2
11 2
由于 M的任意性,即得
),(!1!211 2 ??????????? xxnxxe nx ??
例 2,s i n)( 的幂级数展开成将 xxxf ?
解 ),2s i n()()( ??? nxxf n,2s i n)0()( ?? nf n
,0)0()2( ?? nf,)1()0()12( nnf ??? ),2,1,0( ??n
?)()( xf n且 )2s i n (
?? nx 1? ),( ?????x
?? ?????????
?
)!12()1(!5
1
!3
1s i n 1253
n
xxxxx nn
),( ?????x
例 3,)()1()( 的幂级数展开成将 xRxxf ??? ??
解,)1)(1()1()()( nn xnxf ?????????? ??
),1()1()0()( ??????? nf n ?),2,1,0( ??n
??? ??????????????? nxn nxx ! )1()1(!2 )1(1 2
n
n
n a
a 1l i m ?
??
? 1???? n n,1?,1?? R
若内在,)1,1( ?
??? ???????????? nxn nxxs ! )1()1(1)(
??? ?? ??????????????? ? 1)!1( )1()1()1()( nxn nxxs
??? ?? ????????? nxn nxxxsx )!1( )1()1()1()( 2 ??????
!
)1()1(
!
)()1(
)!1(
)1()1(
n
nmmm
n
nmm
n
nmm ???????
?
??? ???利用
)()1( xsx ???
??? ????????????????? ? 1
2
22
!
)1()1(
!2
)1( nx
n
nxx
)( xs??
,1)( )( xxs xs ???? ?,1)0( ?s且
两边积分,1)( )( 00 dxxdxxs xs
xx ??
?
??? )1,1(??x
得 ),1l n()0(ln)(ln xsxs ????
即,)1l n ()(ln ??? xxs
,)1()( ?xxs ???
)1,1(??x
??? ????????????????
?? ?
nx
n
nxx
x
!
)1()1(
!2
)1(1
)1(
2
)1,1(??x
牛顿二项式展开式
注意,,1 的取值有关处收敛性与在 ???x
);1,1(1 ???? 收敛区间为
];1,1(11 ????? 收敛区间为
].1,1[1 ??? 收敛区间为
有时当,21,1 ????
)1,1()1(11 1 32 ?????????? ?? nn xxxxx
]1,1[
!)!2(
!)!32()1(
642
31
42
1
2
111 32
?
?????
??
??
?
???? ?? nn x
n
nxxxx
]1,1[
!)!2(
!)!12()1(
642
531
42
31
2
11
1
1 32
?
?????
??
???
?
????
?
?? nn x
n
nxxx
x
双阶乘
2.间接法
根据唯一性,利用常见展开式,通过 变量代换,
四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分 等方
法,求展开式,
例如 )(s i nco s ?? xx
?? ???????? )!2()1(!41!211co s
2
42
n
xxxx nn
),( ?????x
??? ????????
?
)!12()1(!5
1
!3
1s i n 1253
n
xxxxx nn
? ?? x xdxx 0 21a rc ta n
?? ????????
?
12)1(5
1
3
1 1253
n
xxxx nn
]1,1[??x
? ??? x xdxx 0 1)1l n(
?? ??????? ? nxxxx
n
n 132 )1(
3
1
2
1
]1,1(??x
例 4 处展开成泰勒级数在将 14 1)( ???? xxxxf
解
).1()1( )( nfx 并求的幂级数展开成 ?
)1(3
1
4
1
???? xx?
,
)
3
11(3
1
??? x
])3 1()3 1(3 11[31 2 ?? ????????? nxxx
31 ??x
xxx
x
????
??
4
1)1(
4
1
?? ?????????? n
nxxx
x 3 )1(3 )1(3 )1()1(31 3
3
2
2
31 ??x
!
)1()(
n
f n于是
.3 !)1()( nn nf ?故
,31n?
例 5,展开下列函数为 x的幂级数
(1) f (x) = cos x
2)1(
1)( )2(
xxf ??
解, (1)
),( )!12()1(!5!3s i n
1253
????????????
?
?? nxxxxx
n
n因
),()!2()1(!4!21c o s
242
??????????? ?? nxxxx
n
n
在幂级数的收敛域内逐项求导,得
解,
(2)
)1,1()1(11 1 32 ????????? ?? nn xxxxx由
用 ?x 换 x,
)1,1(11 1 32 ???????? ?? nxxxxx
两边求导
)1,1(321
)1(
1 12
2 ????????
? ?? nnxxx
x
解, (1)
例 6,在 x = x 0处展开下列函数为幂级数
(1) f (x) = ex
00 xxxx eee ??
?
?
?
??
0
0
!
)(0
n
n
x
n
xxe
n
n
x
xx
n
e )(
! 00
0
?? ?
?
?
(2) g (x) = ax,(a > 0,a ? 1)
(??,??)
(2) axx ea ln?
?
?
?
???
0
0
!
)]([ ln0
n
n
x
n
xxaa
n
n
nx
xxn aa )(! )( l n 0
0
0
?? ?
?
?
(??,??)
)(lnln 00 xxaax ee ??
例 7.
.158 2)(1 2 展开为泰勒级数处将在 ???? xxxfx
解,
)5)(3(
2
158
2
2 xxxx ????? xx ???? 5
1
3
1
?? ?
?
?
?
????
00
)4 1(41)2 1(21
n
n
n
n xx
4
1
1
1
4
1
2
1
1
1
2
1
?
?
?
?
?
?
xx
??
?
?? ???
0
11 )1)(4
1
2
1(
n
n
nn x
)1(4
1
)1(2
1
?????? xx
)3,1(}1|4 1{|}1|2 1{| ?????? xx ?收敛区间
例 8.
解,
.4s i n)( 展开为泰勒级数在将 ??? xxxf
)]4(4s in [s in ?? ??? xx
)4s i n (4c o s)4c o s (4s i n ???? ???? xx
)]4c o s ()4[ s in (2 2 ?? ???? xx
),(],
)!2(
)
4
(
)1(
)!12(
)
4
(
)1([
2
2
2
0
12
0
????
?
??
?
?
?? ??
?
?
?
?
? n
x
n
x n
n
n
n
n
n
??
三、
小结
1.如何求函数的泰勒级数 ;
2.泰勒级数收敛于函数的条件 ;
3.函数展开成泰勒级数的方法,
思考题
什么叫幂级数的间接展开法？
思考题解答
从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运
算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数
展开式的方法称之,
一,将下列函数展开成 x 的幂级数,并求展开式成立的
区间,
1,
x
a ； 2, )1l n ()1( xx ?? ;
3, xa r c s i n ； 4,
3
)1(
1
x
x
?
?
.
二,将函数
3
)( xxf ? 展开成 )1( ?x 的幂级数,并求展
开式成立的区间,
三,将函数
23
1
)(
2
??
?
xx
xf 展开成 )4( ?x 的幂级
数,
四,将级数 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
12
1
1
)!12(2
)1(
n
n
n
n
n
x
的和函数展开成 )1( ?x
的幂级数,
练 习 题
练习题答案
一,1, )(
!
)(l n
0
???????
?
?
xx
n
a
n
n
n；
2, )11(
)1(
)1(
1
1
1
???
?
?
? ?
?
?
?
?
xx
nn
x
n
n
n；
3, )11()
2
(
)12()!(
)!2(2
1
12
2
???
?
? ?
?
?
?
x
x
nn
n
x
n
n；
4, )1,1(
1
12
??
?
?
?
n
n
xn,
二,??? )1(
2
3
1 x ?
?
?
?
?
??
?
0
2
2
)
2
1
(
2)2)(1(
3
)!(
)!2(
)1(
n
n
n
n
x
nnn
n
)20( ?? x,
三,)2,6()4)(
3
1
2
1
(
0
11
?????
?
?
??
n
n
nn
x,
四,?
?
?
?
?
?
0
2
)1(
)!12(2
)1(
2
1
s i n2
n
n
n
n
x
n
),()1(
)!12(2
)1(
2
1
c o s
0
12
?????
?
?
? ?
?
?
?
n
n
n
n
x
n
.
十
四
章
幂
级
数
函
数
的
幂
级
数
展
开
幂
级
数
第
十
四
章
幂
级
数
§ 1 幂级数
一、函数项级数的一般概念
1.定义,
设 ?? ),(,),(),(
21
xuxuxu
n
是定义在 RI ? 上的
函数,则 ?? ??????
?
?
)()()()(
21
1
xuxuxuxu
n
n
n
称为定义在区间 I 上的 ( 函数项 ) 无穷级数,
,1 2
0
??????
?
?
xxx
n
n例如级数
2.收敛点与收敛域,
如果 Ix ?0,数项级数 ?
?
? 1
0 )(
n
n xu 收敛,
则称 0x 为级数 )(
1
xu
n
n?
?
?
的 收敛点,
否则称为 发散点,
所有发散点的全体称为 发散域,
函数项级数 )(
1
xu
n
n?
?
?
的所有收敛点的全体称为 收敛域,
)()(lim xsxs nn ???函数项级数的部分和
余项 )()()( xsxsxr nn ??
(x在收敛域上 )0)(lim ?
?? xrnn
注意 函数项级数在某点 x的收敛问题,实质上
是数项级数的收敛问题,
3.和函数,
?? ????? )()()()( 21 xuxuxuxs n
在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 )( xs,
称 )( xs 为函数项级数的 和函数,
(定义域是?)
),(xsn
例 1 求级数 n
n
n
xn
)
1
1
(
)1(
1 ?
???
?
的收敛域,
解 由达朗贝尔判别法
)(
)(1
xu
xu
n
n?
xn
n
???? 1
1
1 )(1
1 ??
?? nx
,11 1)1( ?? x当
,20 时或即 ??? xx 原级数绝对收敛,
,11 ??? x
,11 1)2( ?? x当,11 ??? x
,02 时即 ??? x原级数发散,
,0时当 ?x ?
?
?
?
1
)1(
n
n
n级数 收敛 ;
,2 时当 ??x ?
?
? 1
1
n n
级数 发散 ;
).,0[)2,( ??????故级数的收敛域为
,1|1|)3( ?? x当,20 ???? xx 或
二、幂级数及其收敛性
1.定义,形如
n
n
n xxa )(
0
0?
?
?
? 的级数称为 幂级数,
,,0
0
0
n
n
n xax ?
?
?
? 时当 其中
na 为 幂级数系数,
2.收敛性,
,1 2
0
??????
?
?
xxx
n
n例如级数;,1 收敛时当 ?x ;,1 发散时当 ?x
);1,1( ?收敛域 );,1[]1,( ??????发散域
定理 1 ( Abel 定理 )如果级数 ?
?
? 0n
n
n xa 在
)0( 00 ?? xxx 处收敛,则
它在满足不等式 0xx ? 的一切 x 处绝对收敛 ;如果级数 ?
?
? 0n
n
n xa 在 0
xx ? 处发散,则它在满足
不等式 0xx ? 的一切 x 处发散,
证明,0lim 0 ??
??
n
nn xa,)1(
0
0 收敛?
?
?n
n
n xa?
),2,1,0(0 ??? nMxa nn使得,M?
n
n
n
n
n
n x
xxaxa
0
0 ??
n
n
n x
xxa
0
0 ?
n
x
xM
0
?
,1
0
时当 ?xx?,
0 0
收敛等比级数
n
n x
xM??
?
,
0
收敛?
?
?
?
n
n
n xa ;
0
收敛即级数 ?
?
?n
n
n xa
,)2( 0 时发散假设当 xx ?
而有一点 1x 适合 01 xx ? 使级数收敛,
则级数当 0xx ? 时应收敛,
这与所设矛盾,
由 (1)结论
xo? ?? ?? ?? ?? ??R? R
几何说明
收敛区域
发散区域发散区域
如果幂级数 ?
?
? 0n
n
n
xa 不是仅在 0?x 一点收敛,也
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质,
当 Rx ? 时,幂级数绝对收敛 ;
当 Rx ? 时,幂级数发散 ;
当 RxRx ??? 与 时,幂级数可能收敛也可能发散,
推论
定义, 正数 R称为幂级数的 收敛半径,
幂级数的收敛域称为幂级数的 收敛区间,
,0?R
),,[ RR? ],,( RR? ].,[ RR?
规定
,???R
收敛区间 0?x ;
收敛区间 ),( ????,
问题 如何求幂级数的收敛半径?
),,( RR?
(1 ) 幂级数只在 0?x 处收敛,
(2) 幂级数对一切 x 都收敛,
定理 2 如果幂级数 ?
?
? 0n
n
n xa 的所有系数 0?na,
设 ???
??
n
n
n a
a 1
lim ( 或 ??
??
n
nn al i m )
( 1 ) 则当 0?? 时,
?
?
1
R ;
( 3 ) 当 ???? 时,0?R,
( 2 ) 当 0?? 时,???R ;
证明 应用达朗贝尔判别法对级数 ?
?
? 0n
n
n xa
n
n
n
n
n xa
xa 11
l i m
?
?
?? xa
a
n
n
n
1lim ?
??
?,x??
,)0(l i m)1( 1 存在如果 ???
??
??
n
n
n a
a
由比值审敛法,,1|| 时当 ??x,||
0
收敛级数 ?
?
?n
n
n xa
.
0
收敛绝对从而级数 ?
?
?n
n
n xa
,1|| 时当 ??x,||
0
发散级数 ?
?
?n
n
n xa
开始并且从某个 n |,||| 11 nnnn xaxa ??? 0|| ?nn xa
.
0
??
?n
n
n xa 发散从而级数 ;
1
??R收敛半径
,0)2( ??如果,0??x
),(0
1
1 ???
?
? n
xa
xa
n
n
n
n有
,||
0
收敛级数 ?
?
?n
n
n xa
.
0
收敛绝对从而级数 ?
?
?n
n
n xa ;???R收敛半径
,)3( ????如果
,0??x,
0
??
?n
n
n xa 必发散级数
)||01(
0
收敛使知将有点否则由定理 ?
?
?
?
n
n
n xax
.0?R收敛半径 定理证毕,
例 2 求下列幂级数的收敛区间,
解 )1(
n
n
n a
a 1l i m ?
??
???
1l i m ?? ?? n
n
n 1? 1?? R
,1时当 ?x
,1时当 ??x
,)1(
1
?
?
?
?
n
n
n级数为
,1
1
??
?n n
级数为
该级数收敛
该级数发散;)1()1(
1 n
x n
n
n?
?
?
? ;)()2(
1
??
?
?
n
nnx;!)3(
1
??
?n
n
n
x,)
2
1(2)1()4(
1
n
n
n
n x
n ???
?
?
故收敛区间是 ]1,1( ?,
n n
n a???? l i m? nn ??? lim,???
,???? R
级数只在 0?x 处收敛,
n
n
n a
a 1l i m ?
??
??? 11l i m ??
?? nn,0?
,0?? R
收敛区间 ),( ????,;)()2(
1
??
?
?
n
nnx;!)3(
1
??
?n
n
n
x
n
n
n a
a 1l i m ?
??
???
1
2lim
?? ?? n
n
n
2?,21?? R
,2121 收敛即 ??x,)1,0( 收敛?x
.)21(2)1()4(
1
n
n
n
n x
n ???
?
?
,0时当 ?x,
1
1
?
?
?n n
级数为
,1时当 ?x,)1(
1
?
?
?
?
n
n
n级数为
发散
收敛
故收敛区间为 (0,1].
例 3 求幂级数 ?
?
?
?
1
12
2n n
nx
的收敛区间,
解 ?? ??? 3
5
2
3
222
xxx级数为 缺少偶次幂的项
应用达朗贝尔判别法
)(
)(l i m 1
xu
xu
n
n
n
?
?? n
n
n
n
n x
x
2
2l i m
12
1
12
?
?
?
??
?
,21 2x?
级数收敛,,121 2 ?x当,2时即 ?x
,121 2 ?x当,2时即 ?x 级数发散,
,2时当 ?x,21
1
??
?n
级数为
,2时当 ??x,2
1
1
?
?
?
?
n
级数为
级数发散,
级数发散,
原级数的收敛区间为 ).2,2(?
三、幂级数的运算
1.代数运算性质,
(1) 加减法
??
?
?
?
?
?
00 n
n
n
n
n
n xbxa,
0
??
?
?
n
n
n xc
(其中
? ?21,m i n RRR ?
)nnn bac ??
? ?RRx,??
,21
00
RRxbxa
n
n
n
n
n
n 和的收敛半径各为和设 ??
?
?
?
?
(2) 乘法
)()(
00
??
?
?
?
?
?
n
n
n
n
n
n xbxa,
0
??
?
?
n
n
n xc ? ?RRx,??
(其中 )0110 bababac nnnn ??????? ? ?
00ba 10ba 20ba 30ba
01ba 11ba 21ba 31ba
02ba 12ba 22ba 32ba
03ba 13ba 23ba 33ba
?
?
????
?
?
?
柯
西
乘
积
?321 xxx
(3) 除法
?
?
?
?
?
?
0
0
n
n
n
n
n
n
xb
xa
.
0
??
?
?
n
n
n xc
)0(
0
??
?
?n
n
n xb收敛域内
(相除后的收敛区间比原来
两级数的收敛区间小得多 )
2.和函数的分析运算性质,
(1 ) 幂级数 ?
?
? 0n
n
n
xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续,
( 2 ) 幂级数 ?
?
? 0n
n
n xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内可积,且对 ),( RRx ??? 可逐项积分,
? ??
?
?
? x
n
n
n
x dxxadxxs
0 00
)()(即
? ?
?
?
?
0 0n
x n
n dxxa,1
1
0
?
?
?
? ?? n
n
n x
n
a
(收敛半径不变 )
(3) 幂级数 ?
?
? 0n
n
n xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内可导,并可逐项求导任意次,
?
?
?
???
0
)()(
n
n
n xaxs即
?
?
?
??
0
)(
n
n
n xa,
1
1?
?
?
??
n
n
n xna
(收敛半径不变 )
例 4 求级数 ?
?
?
??
1
1)1(
n
n
n
n
x 的和函数,
解,)1()(
1
1?
?
?
???
n
n
n
n
xxs?,0)0( ?s显然
两边积分得
)1l n ()(0 xdttsx ????
?????? 21)( xxxs,1 1 x?? )11( ??? x
,1 时又 ?x,1)1(
1
1 收敛?
?
?
??
n
n
n
).1l n ()1(
1
1 x
n
x
n
n
n ???? ?
?
?
? )11( ??? x
),1l n ()( xxs ???
)1l n ()0()( xsxs ???即
例 5 求 ?
?
?
?
1 2
)1(
n
n
nn
的和,
解,)1(
1
n
n
xnn?
?
?
?考虑级数 收敛区间 (-1,1),
?
?
?
??
1
)1()(
n
nxnnxs则 )(
1
1 ??? ?
?
?
?
n
nxx
)1(
2
???? xxx,)1( 2 3xx??
?
?
?
?
1 2
)1(
n
n
nn故
)21(s?,8?
常用已
知和函
数的幂
级数;1 1)1(
0 x
x
n
n
???
?
?;1 1)1()2( 2
0
2
xxn
nn
????
?
?;1)3( 2
0
2
x
aax
n
n
???
?
?;!)4(
0
x
n
n
enx ??
?
?
);1l n (1)1()6(
0
1
xnx
n
n
n ??
???
?
?
?;sin)!12()1()5(
1
12
1 x
n
x
n
n
n ?
???
?
?
?
?
四、小结
2.幂级数的收敛性, 收敛半径 R
3.幂级数的运算, 分析运算性质
1.函数项级数的概念,
思考题
幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那
么它的收敛域是否也不变？
思考题解答
不一定,
例,)(
1
2?
?
?
?
n
n
n
xxf,)(
1
1
?
?
?
?
??
n
n
n
xxf
,)1()(
2
2
?
?
?
??
???
n
n
n
xnxf 它们的收敛半径都是 1,
但它们的收敛域各是 )1,1(),1,1[],1,1[ ???
一,求下列幂级数的收敛区间,
1, ?
?
? ?
???
??
?
?
)2(42422
2
n
xxx
n；
2, ?? ?
?
???
n
n
x
n
xx
1
2
5
2
2
2
2
2
2；
3, ?
?
?
?
?
1
22
2
12
n
n
n
x
n；
4, )0,0(
1
??
?
?
?
?
ba
ba
x
n
nn
n
.
练 习 题
二,利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数,
1, ?
?
?
?
1
1
n
n
nx ；
2, ?? ?
?
????
?
1253
1253
n
xxx
x
n
.
练习题答案
一,1, ),( ???? ；
2, ]
2
1
,
2
1
[ ? ；
3, )2,2( ? ；
4, ),( cc?,其中
? ? 0,m a x ?? bac
.
二,1, )11(
)1(
1
2
???
?
x
x；
2, )11(
1
1
ln
2
1
???
?
?
x
x
x
.
第
十
四
章
幂
级
数
§ 2 函数的幂级数展开
一、泰勒级数
上节例题 )11()1l n ()1(
1
1 ???????
?
?
? xx
n
x
n
n
n
n
n
n xxaxf )()( 0
0
?? ?
?
?
存在幂级数在其收敛
域内以 f(x)为和函数
问题, 1.如果能展开,是什么?na
2.展开式是否唯一?
3.在什么条件下才能展开成幂级数?
证明 即内收敛于在 ),()()( 00
0
xfxuxxa n
n
n ??
?
?
?
?? ??????? nn xxaxxaaxf )()()( 0010
定理 1 如果函数 )( xf 在 )(
0
xU
?
内具有任意阶导
数,且在 )(
0
xU
?
内 能 展开成 )(
0
xx ? 的幂级数,
即
n
n
n
xxaxf )()(
0
0
?? ?
?
?
则其系数 ),2,1,0()(
!
1
0
)(
??? nxf
n
a
n
n
且展开式是唯一的,
?? ?????? ? )(23)1(!)( 01)( xxannanxf nnn
即得令,0xx ?
),2,1,0()(!1 0)( ??? nxfna nn
泰勒系数是唯一的,.)( 的展开式是唯一的xf?
?? ???????? ? 10021 )()(2)( nn xxnaxxaaxf
逐项求导任意次,得
??
泰勒系数
如果 )( xf 在点 0x 处任意阶可导,则幂级数
n
n
n
xx
n
xf
)(
!
)(
0
0
0
)(
??
?
?
称为 )( xf 在点 0x 的 泰勒级数,
n
n
n
x
n
f
?
?
? 0
)(
!
)0(
称为 )( xf 在点 00 ?x 的 麦克劳林级数,
问题
n
n
n
xxn xfxf )(! )(?)( 0
0
0
)(
??
?
???
定义
泰勒级数在收敛区间是否收敛于 f(x)? 不一定,
??
?
?
?
?
??
?
0,0
0,)(
2
1
x
xexf x例如
),2,1,0(0)0()( ??? nf n且
?
?
?
??
0
0)(
n
nxxf 的麦氏级数为
.0)(),( ????? xs内和函数该级数在 可见
).()(,0 xfxfs 于的麦氏级数处处不收敛外除 ?
在 x=0点任意可导,
定理 2 )( xf 在点 0x 的泰勒级数,在 )( 0xU ? 内收
敛于 )( xf ? 在 )( 0xU ? 内 0)(l i m ?
??
xR n
n
.
证明 必要性
)()(! )()( 0
0
0
)(
xRxxi xfxf ni
n
i
i
??? ?
?
?
),()()( 1 xsxfxR nn ????
,)( 能展开为泰勒级数设 xf
)()(l i m 1 xfxs nn ?????
?? ?? )(l i m xR nn )]()([lim 1 xsxf nn ??? ?;0?
充分性 ),()()( 1 xRxsxf nn ?? ??
)]()([lim 1 xsxf nn ??? ?? )(lim xR nn ???,0?
),()(lim 1 xfxs nn ????即
).()( xfxf 的泰勒级数收敛于?
定理 3 设 )( xf 在 )(
0
xU 上有定义,0?? M,对
),(
00
RxRxx ????,恒有 Mxf
n
?)(
)(
),2,1,0( ??n,则 )( xf 在 ),(
00
RxRx ?? 内可展
开成点 0x 的泰勒级数,
证明
1
0
)1(
)()!1( )()( ?
?
??? n
n
n xxn
fxR ??
,)!1(
1
0
?
?? ?
n
xxM n
),( 00 RxRxx ???,),(
)!1(0
1
0 收敛在 ????
?
???
?
?
n
n
n
xx?
,0)!1(l i m
1
0 ?
?
?? ?
?? n
xx n
n,0)(lim ??? xR nn故
.0 的泰勒级数可展成点 x?
),( 00 RxRxx ???
二、函数展开成幂级数
1.直接法 (泰勒级数法 )
步骤, ;! )()1( 0
)(
n
xfa n
n ?求
,)(0l i m)2( )( MxfR nnn ???? 或讨论
).( xf敛于则级数在收敛区间内收
例 1
解
.)( 展开成幂级数将 xexf ?
,)()( xn exf ? ),2,1,0(.1)0()( ??? nf n
?? ?????? nx xnxxe !1!211 2
,0??M 上在 ],[ MM? xn exf ?)()( Me?
),2,1,0( ??n ?? ??????? nx x
nxxe !
1
!2
11 2
由于 M的任意性,即得
),(!1!211 2 ??????????? xxnxxe nx ??
例 2,s i n)( 的幂级数展开成将 xxxf ?
解 ),2s i n()()( ??? nxxf n,2s i n)0()( ?? nf n
,0)0()2( ?? nf,)1()0()12( nnf ??? ),2,1,0( ??n
?)()( xf n且 )2s i n (
?? nx 1? ),( ?????x
?? ?????????
?
)!12()1(!5
1
!3
1s i n 1253
n
xxxxx nn
),( ?????x
例 3,)()1()( 的幂级数展开成将 xRxxf ??? ??
解,)1)(1()1()()( nn xnxf ?????????? ??
),1()1()0()( ??????? nf n ?),2,1,0( ??n
??? ??????????????? nxn nxx ! )1()1(!2 )1(1 2
n
n
n a
a 1l i m ?
??
? 1???? n n,1?,1?? R
若内在,)1,1( ?
??? ???????????? nxn nxxs ! )1()1(1)(
??? ?? ??????????????? ? 1)!1( )1()1()1()( nxn nxxs
??? ?? ????????? nxn nxxxsx )!1( )1()1()1()( 2 ??????
!
)1()1(
!
)()1(
)!1(
)1()1(
n
nmmm
n
nmm
n
nmm ???????
?
??? ???利用
)()1( xsx ???
??? ????????????????? ? 1
2
22
!
)1()1(
!2
)1( nx
n
nxx
)( xs??
,1)( )( xxs xs ???? ?,1)0( ?s且
两边积分,1)( )( 00 dxxdxxs xs
xx ??
?
??? )1,1(??x
得 ),1l n()0(ln)(ln xsxs ????
即,)1l n ()(ln ??? xxs
,)1()( ?xxs ???
)1,1(??x
??? ????????????????
?? ?
nx
n
nxx
x
!
)1()1(
!2
)1(1
)1(
2
)1,1(??x
牛顿二项式展开式
注意,,1 的取值有关处收敛性与在 ???x
);1,1(1 ???? 收敛区间为
];1,1(11 ????? 收敛区间为
].1,1[1 ??? 收敛区间为
有时当,21,1 ????
)1,1()1(11 1 32 ?????????? ?? nn xxxxx
]1,1[
!)!2(
!)!32()1(
642
31
42
1
2
111 32
?
?????
??
??
?
???? ?? nn x
n
nxxxx
]1,1[
!)!2(
!)!12()1(
642
531
42
31
2
11
1
1 32
?
?????
??
???
?
????
?
?? nn x
n
nxxx
x
双阶乘
2.间接法
根据唯一性,利用常见展开式,通过 变量代换,
四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分 等方
法,求展开式,
例如 )(s i nco s ?? xx
?? ???????? )!2()1(!41!211co s
2
42
n
xxxx nn
),( ?????x
??? ????????
?
)!12()1(!5
1
!3
1s i n 1253
n
xxxxx nn
? ?? x xdxx 0 21a rc ta n
?? ????????
?
12)1(5
1
3
1 1253
n
xxxx nn
]1,1[??x
? ??? x xdxx 0 1)1l n(
?? ??????? ? nxxxx
n
n 132 )1(
3
1
2
1
]1,1(??x
例 4 处展开成泰勒级数在将 14 1)( ???? xxxxf
解
).1()1( )( nfx 并求的幂级数展开成 ?
)1(3
1
4
1
???? xx?
,
)
3
11(3
1
??? x
])3 1()3 1(3 11[31 2 ?? ????????? nxxx
31 ??x
xxx
x
????
??
4
1)1(
4
1
?? ?????????? n
nxxx
x 3 )1(3 )1(3 )1()1(31 3
3
2
2
31 ??x
!
)1()(
n
f n于是
.3 !)1()( nn nf ?故
,31n?
例 5,展开下列函数为 x的幂级数
(1) f (x) = cos x
2)1(
1)( )2(
xxf ??
解, (1)
),( )!12()1(!5!3s i n
1253
????????????
?
?? nxxxxx
n
n因
),()!2()1(!4!21c o s
242
??????????? ?? nxxxx
n
n
在幂级数的收敛域内逐项求导,得
解,
(2)
)1,1()1(11 1 32 ????????? ?? nn xxxxx由
用 ?x 换 x,
)1,1(11 1 32 ???????? ?? nxxxxx
两边求导
)1,1(321
)1(
1 12
2 ????????
? ?? nnxxx
x
解, (1)
例 6,在 x = x 0处展开下列函数为幂级数
(1) f (x) = ex
00 xxxx eee ??
?
?
?
??
0
0
!
)(0
n
n
x
n
xxe
n
n
x
xx
n
e )(
! 00
0
?? ?
?
?
(2) g (x) = ax,(a > 0,a ? 1)
(??,??)
(2) axx ea ln?
?
?
?
???
0
0
!
)]([ ln0
n
n
x
n
xxaa
n
n
nx
xxn aa )(! )( l n 0
0
0
?? ?
?
?
(??,??)
)(lnln 00 xxaax ee ??
例 7.
.158 2)(1 2 展开为泰勒级数处将在 ???? xxxfx
解,
)5)(3(
2
158
2
2 xxxx ????? xx ???? 5
1
3
1
?? ?
?
?
?
????
00
)4 1(41)2 1(21
n
n
n
n xx
4
1
1
1
4
1
2
1
1
1
2
1
?
?
?
?
?
?
xx
??
?
?? ???
0
11 )1)(4
1
2
1(
n
n
nn x
)1(4
1
)1(2
1
?????? xx
)3,1(}1|4 1{|}1|2 1{| ?????? xx ?收敛区间
例 8.
解,
.4s i n)( 展开为泰勒级数在将 ??? xxxf
)]4(4s in [s in ?? ??? xx
)4s i n (4c o s)4c o s (4s i n ???? ???? xx
)]4c o s ()4[ s in (2 2 ?? ???? xx
),(],
)!2(
)
4
(
)1(
)!12(
)
4
(
)1([
2
2
2
0
12
0
????
?
??
?
?
?? ??
?
?
?
?
? n
x
n
x n
n
n
n
n
n
??
三、
小结
1.如何求函数的泰勒级数 ;
2.泰勒级数收敛于函数的条件 ;
3.函数展开成泰勒级数的方法,
思考题
什么叫幂级数的间接展开法？
思考题解答
从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运
算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数
展开式的方法称之,
一,将下列函数展开成 x 的幂级数,并求展开式成立的
区间,
1,
x
a ； 2, )1l n ()1( xx ?? ;
3, xa r c s i n ； 4,
3
)1(
1
x
x
?
?
.
二,将函数
3
)( xxf ? 展开成 )1( ?x 的幂级数,并求展
开式成立的区间,
三,将函数
23
1
)(
2
??
?
xx
xf 展开成 )4( ?x 的幂级
数,
四,将级数 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
12
1
1
)!12(2
)1(
n
n
n
n
n
x
的和函数展开成 )1( ?x
的幂级数,
练 习 题
练习题答案
一,1, )(
!
)(l n
0
???????
?
?
xx
n
a
n
n
n；
2, )11(
)1(
)1(
1
1
1
???
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?
?
?
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xx
nn
x
n
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2
(
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)!2(2
1
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? ?
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?
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x
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x
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4, )1,1(
1
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n
n
xn,
二,??? )1(
2
3
1 x ?
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?
?
?
??
?
0
2
2
)
2
1
(
2)2)(1(
3
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)1(
n
n
n
n
x
nnn
n
)20( ?? x,
三,)2,6()4)(
3
1
2
1
(
0
11
?????
?
?
??
n
n
nn
x,
四,?
?
?
?
?
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0
2
)1(
)!12(2
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2
1
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n
n
n
n
x
n
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)!12(2
)1(
2
1
c o s
0
12
?????
?
?
? ?
?
?
?
n
n
n
n
x
n
.
