§ 1 含参量正常积分
§ 2 含参量反常积分
§ 3 欧拉积分
§ 1 含参量正常积分
一、含参量正常积分
含参量正常积分的定义、1
设 是定义在矩形域 上的二元
函数,当 取 上某定值时,函数 则是定义在
上以 为自变量的一元函数,若此时 在 上可积,
则其积分值是 在 上取值的函数,表为
),( yxf ),( dycbxaR ????
x ],[ ba ),( yxf ],[ dc
],[ dcy ),( yxf
x ],[ ba
],[,),(I ( x ) baxdyyxfdc ?? ?
称为含参量 的正常积分,或简称含参量积分, x
:2 含参量正常积分的性质、
:)( 连续性、i
若二元函数 在矩形域 上连续,),( yxf ),( dycbxaR ????
则函数 ?? d
c dyyxf ),(I ( x )
在 上连续],[ ba
:证 于是有对充分小的设 ],,[,],,[ baxxxbax ?????
.)],(),([I ( x )-x)I(x dyyxfyxxfdc? ??????
上连续从而一致连续知在由于 Ryxf ),(
当,),(),,(,0,0 2211 Ryxyx ?????? ??,,2121 ?? ???? yyxx
.),(),( 2211 ??? yxfyxf有
时有故当 ??? x
.),(),(I ( x )-x)I(x dyyxfyxxfdc? ??????
).( cddxdc ??? ? ??
.],[)( 上连续在从而 baxI
的积分则含参量上连续在矩形域若同理可证 y，Ryxf ),(:
?? ba dxyxf ),(J ( y ),],[ 上连续在 dc
:注 都有则上连续在矩形域若由连续性 ],,[),( 0 bax，Ryxf,??
?? ?? ? dc xxdcxx dyyxfdyyxf ),(lim),(lim
00
.的顺序是可交换的其极限运算与积分运算即定义在矩形域上连续,
:)( 可微性、ii
若函数 与其偏导数 都在矩形域),( yxf ),( yxfx??
),( dycbxaR ???? 上连续,则
?? dc dyyxf ),(I ( x ) 在 上可微,且],[ ba
?? ??? dcdc dyyxfxdyyxfdd ),(),(x
:证 则有对充分小的设 ],,[,],,[ baxxxbax ?????
.),(),(x I ( x )-x)I(x dyx yxfyxxfd
c? ?
????
?
??
上连续知在有界闭域中值定理及由 RyxfL a g r a n g e x ),(
就有只要不,,0,0 ??? ?????? x
),(),(),( yxfx yxfyxxf x?? ???
,y)( x,f-y)x,(xf xx ?? ???? 因此其中 ).1,0(??
).(),(),(),(),( cddyyxfx yxfyxxfdyyxfxI dc xdc x ???? ??????? ?? ?
有即 ],,[ bax ?? ?? ?
?? d
c
d
c
dyyxfxdyyxfdd ),(),(x
:注 则导数上连续在矩形域与若由可微性,Ryxf
xyxf,),(),( ?
?
.顺序运算与积分运算可交换
:)( 可积性、iii
若二元函数 在矩形域 上连续,),( yxf ),( dycbxaR ????
则 和 在 和 可微,且],[ ba)(xI )(yJ ],[ dc
? ??? ? dc badcba dxyxfdydyyxfdx ),(),(
:证,),(( u )I 1 ??? d
c
u
a dyyxfdx记 ? ??
d
c
u
a dxyxfdy ),()I(u 2
则其中 ],,[ bau ? ? ?? u
a uIdxxIdx
duI ).()()('
1
则令,),(),( ?? ua dxyxfyuH ?? dc dyyuHuI,),()(2
由可微性上连续都在与因为,RyufyuHyuH u ),(),(),( ?
??? ???? dcdc udc uIdyyufdyyuHdyyuHduduI ).(),(),(),()('2
].,[),()( 21 bauuIuI ??
有因此从而 ],,[),()( '2'1 bauuIuI ??? ).(,)()( 21 为常数kkuIuI ??
即得时于是时当,kaIa，Iau 0,0)()( 21 ????
.,即得所证结论取 bu ?
:注 累次积分连续的假设下可积性说明在,yxf ),(
? ??? dc badcba dxyxfdydyyxfdx ),(),( 与
.与求积顺序无关
:3 形式含参量正常积分的一般、
:定义?
设 是定义在区域 上的? ?bxaxdyxcyxG ????? ),()(),(),( yxf
),( yxf
的二元 函数,其中,为定义在 上的连续函数,若
对于 每一固定的 值,作为 的函数在
上可积,则其积分值是 在 上取值的函数,表为
x
)(xc )(xd
],[ ba
],[ ba
)](),([ xdxc
x
y
],[ ba
].,[,),(F( x ) )( )( baxdyyxfxd xc ?? ?
称为含参量 的正常积分,或简称含参量积分, x
x
y
o a b
G
Y=c(x)
Y=d(x)
:性质?
:)( 连续性、i
若二元函数 在矩形域),( yxf ? ?bxaxdyxcyxG ????? ),()(),(
上连续,其中,为定义在 上的连续函数,则函数)(xc )(xd ],[ ba
?? )( )( ),(F( x ) xd xc dyyxf在 上连续],[ ba
).())(,()())(,(),(( x )F '')( )(' xcxcxfxdxdxfdyyxfxd xc x ??? ?
上其值含于 内的可微函数,则函数],[ ba ],[ qp
?? )( )( ),(F( x ) xd xc dyyxf在 上可微,且],[ ba
请结合复合函数及活动上限积分的求导法则完成证明
若 在 上连续,为定义在),(),,( yxfyxf x ],[],[ qpbaR ?? )(),( xdxc
:)( 可微性、ii
:1例,
1lim
1
220 ?
?
? ??
?
?? ?x
dx求
.1)( 1 22? ? ??? ?? ?? x dxI记:解
.41)0(1lim 1 1
0 2220
?
?
?
??
??????? ??
? x
dxI
x
dx
，xx 的连续函数和都是由于 ???? 221 1,1,???
从而处连续在所以,I 0)( ???
:2例,)0(
ln
1
0?
???? abdxxxxI
ab
求
:解,ln xxxdyx
abb
a
y ???因为
.10 dyxdxI ba y???所以
从而上满足可积性条件在由于函数,baRx y ],[]1,0[ ??
.11ln1 11
0 a
bdy
ydxxdyI
b
a
yb
a ?
??
??? ? ??
:4 小结、
(1),含参量正常积分的概念 ;
(2),含参量正常积分的性质,
( i),连续性 ;
(ii),可微性 ;
(iii),可积性 ;
作业, P178,2,3,4,5,6.
§ 2 含参量反常积分
含参量反常积分
含参量反常积分的定义、1
设 是定义在无界区域 上,
若对每一个固定的,反常积分
? ??????? ycbxayxR,),(
],[ bax?
),( yxf
???c dyyxf ),(
],[,),()( baxdyyxfxI c ?? ? ??
x都收敛,则它的值是 在区间 上取值的函数,表为],[ ba
称为定义在 上的含参量 的无穷限反常积分,或x],[ ba
简称为含参量反常积分,
敛的定义含参量反常积分一致收、2
对于含参量反常积分 和函数 )(xI???
c dyyxf ),(
都有若 ],,[,,0,0 baxNMN ???????? ?,),( ??? ??M dyyxf
则称含参量反常积分 在 上一致收敛于,)(xI???
c dyyxf ),(
],[ ba
敛的判别方法含参量反常积分一致收、3
? 一致收敛的柯西准则,
含参量反常积分 在 上一致收敛的充要???
c dyyxf ),(
],[ ba
都有条件是 ],,[,,,,0 21 baxMAAcM ???????? ?
.),(2
1
??? AA dyyxf
? 一致收敛的充要条件 ;
含参量反常积分 在 上一致收敛的充要???
c dyyxf ),(
],[ ba
],[ ba ?? ? ?
?
?
?
??
11
)(),(1
n
n
n
A
A
xudyyxfn
n
条件是,对任一趋于 的递增数列 (其中 ),函数
项级数 在 一致收敛,
?? ? ?nA cA?1
? 魏尔斯特拉斯 M判别法 ;
设有函数,使得)(yg
.,),(),( ??????? ycbxaygyxf
，dyygc 收敛若 ? ?? )(,],[),( 上一致收敛在则 badyyxfc? ??
.],[ 上一致收敛在 ba
，上一致有界
含参量反常积分若,)( cNi ?? ?Nc dyyxf ),( ],[ bax 在对参数
则含参量反常积分一致地收敛于对参量,0),(,yxgx
时是单调递减且当关于函数 ????? yyxgbaxii )(],,[)(
? ??c dyyxgyxf ),(),(
? 狄利克雷判别法 ;
? 阿贝耳判别法 ;;],[),()( 上一致收敛在若 badyyxfi c? ??
,),(],,[)( x，yyxgbaxii 且对参量的单调函数为函数??
则含参量反常积分上一致有界在,bayxg ],[),(
? ??c dyyxgyxf ),(),(,],[ 上一致收敛在 ba
含参量反常积分的性质、4
:注
? 连续性
含参量反常积分上连续在设,cbayxf ),[],[),( ???
? ??? c dyyxfxI ),()(,],[)(,],[ 上连续在则上一致收敛在 baxIba
极限运算在一致收敛的条件下连续性定理说明,，
.换顺序与积分运算可以可以交
.),(lim),(),(lim
00 0
dyyxfdyyxfdyyxf c xxccxx ??? ?? ?????? ??即,
? 可微性
若上连续在区域与设,cbayxfyxf x ),[],[),(),( ???
,],[ 上收敛在 ba? ???
c dyyxfxI ),()(
且上可微在则致收敛,baxI ],[)(,
???c x dyyxf ),( 上一在 ],[ ba
.),()(' ? ??? c x dyyxfxI
:注 可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算
可以交换,即
.),(),( dyyxfxdyyxfdxd cc ?? ???? ???
:注
? 可积性
若上连续在区域设,cbayxf ),[],[),( ???? ???
c dyyxfxI ),()(
且上可积在则上一致收敛在,baxIba ],[)(,],[
???? ???? ? baccba dxyxfdydyyxfdx,),(),(
若上连续在设,cayxf ),[],[),( ?????
,],[),()( 上一致收敛任何闭区间在关于 dcydxyxfi c? ??;],[),( 上一致收敛任何闭区间在关于 baxdyyxfc? ??
.),(),()( 中有一个收敛与积分 dxyxfdydyyxfdxii c aa c ? ?? ? ?? ???? ??
且则另一个也收敛,
???? ???????? ? acca dxyxfdydyyxfdx,),(),(
:1例
含参量反常积分 在 上一致收敛, ),( ????dx
x
xy? ??
?0 21
c os
:证,
1
1
1
c o s
22 xx
xyRy
????? 有由于
收敛而反常积分 ? ?? ?
0 21 x
dx
判别法知故有魏尔斯特拉斯 M
证明反常积分 在 上一致收敛, ),( ????dx
x
xy? ??
?0 21
c os
:2例 证明含参量反常积分 dx
x
xe xy? ?? ?
0
s in
],0[ d在 上一致收敛,
:证 收敛由于反常积分 dx
x
x? ??
0
s i n
)],0[,( 上一致收敛它在对于参量当然 dy，
单调且对任何对每个函数 ],0[),( dxeyxg xy ?? ?
.1),(0,0 ????? ? xyeyxgxdy 都有
含参量反常积分由阿贝耳判别法知,
dx
x
xe xy? ?? ?
0
s in ],0[ d在 上一致收敛,
:3例 证明含参量反常积分
dxe ux??? ?
0
2
),[ ??a在 上一致收敛, )0( ?a
:证,),,[ 22 axux eeau ?? ????? 有
收敛而无穷积分 ? ?? ?0 2 dxe ax
判别法知故有魏尔斯特拉斯 M
含参量反常积分 dxe ux??? ?
0
2
),[ ??a在 上一致收敛, )0( ?a
小结、5
(2),含参量反常积分一致收敛的定义 ;
(1),含参量反常积分的定义 ;
(3),含参量反常积分一致收敛的判别 ;
? 一致收敛的柯西准则,
? 一致收敛的充要条件 ;
? 魏尔斯特拉斯 M判别法 ;
P189,1 (1)~(5),2,3,4 (1)~(3),
? 阿贝耳判别法 ;
? 狄利克雷判别法 ;
(4),含参量反常积分的性质 ;
( i),连续性 ;
(ii),可微性 ;
作业
(iii),可积性 ;
§ 3 欧拉积分
)0()( 0 1 ??? ? ?? ?? sdxxes sx定义
特点 1.积分区间为无穷 ;
.
001.2
右领域内无界
的时被积函数在点当 ??? xs
,,1 1210 11 ?? ?? ???? ?? dxxeIdxxeI sxsx设;,1)1( 1 是常义积分时当 Is ?,10 时当 ?? s
函数??
,111 111 sxssx xexxe ???? ?????
.,2,11 1 收敛根据比较审敛法而 Is ??
,0lim)(lim)2(
1
12 ???
?
???
??
??? x
s
x
sx
x e
xxex?
.,1 2 也收敛根据极限审敛法 I
.0
)2(),1(
0
1 均收敛对
知由
?? ?? ?? sdxxe sx
s
)(s?
o
－ 函数的几个重要性质
).0()()1( ????? ssss１．递推公式
.)(0 ?????? ss 时，２．当
).10(s i n)1()(3 ???????? ssss．余元公式
.2)(
)(
0
12
2
0
1
2
?
?
??
??
??
??
??
???
duues
uxdxxes
su
sx
有
，中，作代换４．在
?
无界函数的反常积分
无穷限反常的积分
? ???? dxxf )( ? ??b dxxf )( ? ??a dxxf )(
? ?? ?? ca bcba dxxfdxxfdxxf )()()(
?ba dxxf )(
小结
的重要性质函数??
六 思考、判断题
（ 1） 积分 的瑕点有两个 （ ）? ?10 1ln dxx x
) ( 2111 )2(
1
1
1
1 2 ???????
?
??
? ???
?
? xx
dx
§ 2 含参量反常积分
§ 3 欧拉积分
§ 1 含参量正常积分
一、含参量正常积分
含参量正常积分的定义、1
设 是定义在矩形域 上的二元
函数,当 取 上某定值时,函数 则是定义在
上以 为自变量的一元函数,若此时 在 上可积,
则其积分值是 在 上取值的函数,表为
),( yxf ),( dycbxaR ????
x ],[ ba ),( yxf ],[ dc
],[ dcy ),( yxf
x ],[ ba
],[,),(I ( x ) baxdyyxfdc ?? ?
称为含参量 的正常积分,或简称含参量积分, x
:2 含参量正常积分的性质、
:)( 连续性、i
若二元函数 在矩形域 上连续,),( yxf ),( dycbxaR ????
则函数 ?? d
c dyyxf ),(I ( x )
在 上连续],[ ba
:证 于是有对充分小的设 ],,[,],,[ baxxxbax ?????
.)],(),([I ( x )-x)I(x dyyxfyxxfdc? ??????
上连续从而一致连续知在由于 Ryxf ),(
当,),(),,(,0,0 2211 Ryxyx ?????? ??,,2121 ?? ???? yyxx
.),(),( 2211 ??? yxfyxf有
时有故当 ??? x
.),(),(I ( x )-x)I(x dyyxfyxxfdc? ??????
).( cddxdc ??? ? ??
.],[)( 上连续在从而 baxI
的积分则含参量上连续在矩形域若同理可证 y，Ryxf ),(:
?? ba dxyxf ),(J ( y ),],[ 上连续在 dc
:注 都有则上连续在矩形域若由连续性 ],,[),( 0 bax，Ryxf,??
?? ?? ? dc xxdcxx dyyxfdyyxf ),(lim),(lim
00
.的顺序是可交换的其极限运算与积分运算即定义在矩形域上连续,
:)( 可微性、ii
若函数 与其偏导数 都在矩形域),( yxf ),( yxfx??
),( dycbxaR ???? 上连续,则
?? dc dyyxf ),(I ( x ) 在 上可微,且],[ ba
?? ??? dcdc dyyxfxdyyxfdd ),(),(x
:证 则有对充分小的设 ],,[,],,[ baxxxbax ?????
.),(),(x I ( x )-x)I(x dyx yxfyxxfd
c? ?
????
?
??
上连续知在有界闭域中值定理及由 RyxfL a g r a n g e x ),(
就有只要不,,0,0 ??? ?????? x
),(),(),( yxfx yxfyxxf x?? ???
,y)( x,f-y)x,(xf xx ?? ???? 因此其中 ).1,0(??
).(),(),(),(),( cddyyxfx yxfyxxfdyyxfxI dc xdc x ???? ??????? ?? ?
有即 ],,[ bax ?? ?? ?
?? d
c
d
c
dyyxfxdyyxfdd ),(),(x
:注 则导数上连续在矩形域与若由可微性,Ryxf
xyxf,),(),( ?
?
.顺序运算与积分运算可交换
:)( 可积性、iii
若二元函数 在矩形域 上连续,),( yxf ),( dycbxaR ????
则 和 在 和 可微,且],[ ba)(xI )(yJ ],[ dc
? ??? ? dc badcba dxyxfdydyyxfdx ),(),(
:证,),(( u )I 1 ??? d
c
u
a dyyxfdx记 ? ??
d
c
u
a dxyxfdy ),()I(u 2
则其中 ],,[ bau ? ? ?? u
a uIdxxIdx
duI ).()()('
1
则令,),(),( ?? ua dxyxfyuH ?? dc dyyuHuI,),()(2
由可微性上连续都在与因为,RyufyuHyuH u ),(),(),( ?
??? ???? dcdc udc uIdyyufdyyuHdyyuHduduI ).(),(),(),()('2
].,[),()( 21 bauuIuI ??
有因此从而 ],,[),()( '2'1 bauuIuI ??? ).(,)()( 21 为常数kkuIuI ??
即得时于是时当,kaIa，Iau 0,0)()( 21 ????
.,即得所证结论取 bu ?
:注 累次积分连续的假设下可积性说明在,yxf ),(
? ??? dc badcba dxyxfdydyyxfdx ),(),( 与
.与求积顺序无关
:3 形式含参量正常积分的一般、
:定义?
设 是定义在区域 上的? ?bxaxdyxcyxG ????? ),()(),(),( yxf
),( yxf
的二元 函数,其中,为定义在 上的连续函数,若
对于 每一固定的 值,作为 的函数在
上可积,则其积分值是 在 上取值的函数,表为
x
)(xc )(xd
],[ ba
],[ ba
)](),([ xdxc
x
y
],[ ba
].,[,),(F( x ) )( )( baxdyyxfxd xc ?? ?
称为含参量 的正常积分,或简称含参量积分, x
x
y
o a b
G
Y=c(x)
Y=d(x)
:性质?
:)( 连续性、i
若二元函数 在矩形域),( yxf ? ?bxaxdyxcyxG ????? ),()(),(
上连续,其中,为定义在 上的连续函数,则函数)(xc )(xd ],[ ba
?? )( )( ),(F( x ) xd xc dyyxf在 上连续],[ ba
).())(,()())(,(),(( x )F '')( )(' xcxcxfxdxdxfdyyxfxd xc x ??? ?
上其值含于 内的可微函数,则函数],[ ba ],[ qp
?? )( )( ),(F( x ) xd xc dyyxf在 上可微,且],[ ba
请结合复合函数及活动上限积分的求导法则完成证明
若 在 上连续,为定义在),(),,( yxfyxf x ],[],[ qpbaR ?? )(),( xdxc
:)( 可微性、ii
:1例,
1lim
1
220 ?
?
? ??
?
?? ?x
dx求
.1)( 1 22? ? ??? ?? ?? x dxI记:解
.41)0(1lim 1 1
0 2220
?
?
?
??
??????? ??
? x
dxI
x
dx
，xx 的连续函数和都是由于 ???? 221 1,1,???
从而处连续在所以,I 0)( ???
:2例,)0(
ln
1
0?
???? abdxxxxI
ab
求
:解,ln xxxdyx
abb
a
y ???因为
.10 dyxdxI ba y???所以
从而上满足可积性条件在由于函数,baRx y ],[]1,0[ ??
.11ln1 11
0 a
bdy
ydxxdyI
b
a
yb
a ?
??
??? ? ??
:4 小结、
(1),含参量正常积分的概念 ;
(2),含参量正常积分的性质,
( i),连续性 ;
(ii),可微性 ;
(iii),可积性 ;
作业, P178,2,3,4,5,6.
§ 2 含参量反常积分
含参量反常积分
含参量反常积分的定义、1
设 是定义在无界区域 上,
若对每一个固定的,反常积分
? ??????? ycbxayxR,),(
],[ bax?
),( yxf
???c dyyxf ),(
],[,),()( baxdyyxfxI c ?? ? ??
x都收敛,则它的值是 在区间 上取值的函数,表为],[ ba
称为定义在 上的含参量 的无穷限反常积分,或x],[ ba
简称为含参量反常积分,
敛的定义含参量反常积分一致收、2
对于含参量反常积分 和函数 )(xI???
c dyyxf ),(
都有若 ],,[,,0,0 baxNMN ???????? ?,),( ??? ??M dyyxf
则称含参量反常积分 在 上一致收敛于,)(xI???
c dyyxf ),(
],[ ba
敛的判别方法含参量反常积分一致收、3
? 一致收敛的柯西准则,
含参量反常积分 在 上一致收敛的充要???
c dyyxf ),(
],[ ba
都有条件是 ],,[,,,,0 21 baxMAAcM ???????? ?
.),(2
1
??? AA dyyxf
? 一致收敛的充要条件 ;
含参量反常积分 在 上一致收敛的充要???
c dyyxf ),(
],[ ba
],[ ba ?? ? ?
?
?
?
??
11
)(),(1
n
n
n
A
A
xudyyxfn
n
条件是,对任一趋于 的递增数列 (其中 ),函数
项级数 在 一致收敛,
?? ? ?nA cA?1
? 魏尔斯特拉斯 M判别法 ;
设有函数,使得)(yg
.,),(),( ??????? ycbxaygyxf
，dyygc 收敛若 ? ?? )(,],[),( 上一致收敛在则 badyyxfc? ??
.],[ 上一致收敛在 ba
，上一致有界
含参量反常积分若,)( cNi ?? ?Nc dyyxf ),( ],[ bax 在对参数
则含参量反常积分一致地收敛于对参量,0),(,yxgx
时是单调递减且当关于函数 ????? yyxgbaxii )(],,[)(
? ??c dyyxgyxf ),(),(
? 狄利克雷判别法 ;
? 阿贝耳判别法 ;;],[),()( 上一致收敛在若 badyyxfi c? ??
,),(],,[)( x，yyxgbaxii 且对参量的单调函数为函数??
则含参量反常积分上一致有界在,bayxg ],[),(
? ??c dyyxgyxf ),(),(,],[ 上一致收敛在 ba
含参量反常积分的性质、4
:注
? 连续性
含参量反常积分上连续在设,cbayxf ),[],[),( ???
? ??? c dyyxfxI ),()(,],[)(,],[ 上连续在则上一致收敛在 baxIba
极限运算在一致收敛的条件下连续性定理说明,，
.换顺序与积分运算可以可以交
.),(lim),(),(lim
00 0
dyyxfdyyxfdyyxf c xxccxx ??? ?? ?????? ??即,
? 可微性
若上连续在区域与设,cbayxfyxf x ),[],[),(),( ???
,],[ 上收敛在 ba? ???
c dyyxfxI ),()(
且上可微在则致收敛,baxI ],[)(,
???c x dyyxf ),( 上一在 ],[ ba
.),()(' ? ??? c x dyyxfxI
:注 可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算
可以交换,即
.),(),( dyyxfxdyyxfdxd cc ?? ???? ???
:注
? 可积性
若上连续在区域设,cbayxf ),[],[),( ???? ???
c dyyxfxI ),()(
且上可积在则上一致收敛在,baxIba ],[)(,],[
???? ???? ? baccba dxyxfdydyyxfdx,),(),(
若上连续在设,cayxf ),[],[),( ?????
,],[),()( 上一致收敛任何闭区间在关于 dcydxyxfi c? ??;],[),( 上一致收敛任何闭区间在关于 baxdyyxfc? ??
.),(),()( 中有一个收敛与积分 dxyxfdydyyxfdxii c aa c ? ?? ? ?? ???? ??
且则另一个也收敛,
???? ???????? ? acca dxyxfdydyyxfdx,),(),(
:1例
含参量反常积分 在 上一致收敛, ),( ????dx
x
xy? ??
?0 21
c os
:证,
1
1
1
c o s
22 xx
xyRy
????? 有由于
收敛而反常积分 ? ?? ?
0 21 x
dx
判别法知故有魏尔斯特拉斯 M
证明反常积分 在 上一致收敛, ),( ????dx
x
xy? ??
?0 21
c os
:2例 证明含参量反常积分 dx
x
xe xy? ?? ?
0
s in
],0[ d在 上一致收敛,
:证 收敛由于反常积分 dx
x
x? ??
0
s i n
)],0[,( 上一致收敛它在对于参量当然 dy，
单调且对任何对每个函数 ],0[),( dxeyxg xy ?? ?
.1),(0,0 ????? ? xyeyxgxdy 都有
含参量反常积分由阿贝耳判别法知,
dx
x
xe xy? ?? ?
0
s in ],0[ d在 上一致收敛,
:3例 证明含参量反常积分
dxe ux??? ?
0
2
),[ ??a在 上一致收敛, )0( ?a
:证,),,[ 22 axux eeau ?? ????? 有
收敛而无穷积分 ? ?? ?0 2 dxe ax
判别法知故有魏尔斯特拉斯 M
含参量反常积分 dxe ux??? ?
0
2
),[ ??a在 上一致收敛, )0( ?a
小结、5
(2),含参量反常积分一致收敛的定义 ;
(1),含参量反常积分的定义 ;
(3),含参量反常积分一致收敛的判别 ;
? 一致收敛的柯西准则,
? 一致收敛的充要条件 ;
? 魏尔斯特拉斯 M判别法 ;
P189,1 (1)~(5),2,3,4 (1)~(3),
? 阿贝耳判别法 ;
? 狄利克雷判别法 ;
(4),含参量反常积分的性质 ;
( i),连续性 ;
(ii),可微性 ;
作业
(iii),可积性 ;
§ 3 欧拉积分
)0()( 0 1 ??? ? ?? ?? sdxxes sx定义
特点 1.积分区间为无穷 ;
.
001.2
右领域内无界
的时被积函数在点当 ??? xs
,,1 1210 11 ?? ?? ???? ?? dxxeIdxxeI sxsx设;,1)1( 1 是常义积分时当 Is ?,10 时当 ?? s
函数??
,111 111 sxssx xexxe ???? ?????
.,2,11 1 收敛根据比较审敛法而 Is ??
,0lim)(lim)2(
1
12 ???
?
???
??
??? x
s
x
sx
x e
xxex?
.,1 2 也收敛根据极限审敛法 I
.0
)2(),1(
0
1 均收敛对
知由
?? ?? ?? sdxxe sx
s
)(s?
o
－ 函数的几个重要性质
).0()()1( ????? ssss１．递推公式
.)(0 ?????? ss 时，２．当
).10(s i n)1()(3 ???????? ssss．余元公式
.2)(
)(
0
12
2
0
1
2
?
?
??
??
??
??
??
???
duues
uxdxxes
su
sx
有
，中，作代换４．在
?
无界函数的反常积分
无穷限反常的积分
? ???? dxxf )( ? ??b dxxf )( ? ??a dxxf )(
? ?? ?? ca bcba dxxfdxxfdxxf )()()(
?ba dxxf )(
小结
的重要性质函数??
六 思考、判断题
（ 1） 积分 的瑕点有两个 （ ）? ?10 1ln dxx x
) ( 2111 )2(
1
1
1
1 2 ???????
?
??
? ???
?
? xx
dx
