§ 1不定积分的概念与基本积分公式
§ 2 换元积分法与分部积分法
§ 3有理函数和可化为有理函数的不定积分
第八章 不定积分
§ 1不定积分的概念与基本积分公式
第八章 不定积分
在第三章我们研究了已知 f，如何求 f 的导数
f? 的表达式，得到了一些计算法则，例如：
(f + g)? = f? + g?,
(f g)? = f? g + f g?,
(f [?])? = f ? [?] ??
这些计算方法加上基本初等函数的导数公式，
我们可以解决初等函数的求导问题，即是，若 f
为初等函数,f ? 的表达式能求出,
我们现在来研究第三章求导问题的逆问题。
问题, 在已知 f ? 的表达式时,f 的表达式是
什么形式呢？
即是，已知函数 f ? 的表达式，求 f ? 的原函
数是什么。
.
? 基本积分表
? 换元积分法
? 分部积分法
? 有理函数积分
本章主要内容,
例如，在区间 (-?,+?)内，因为 (sin x)??cos x，
所以 sin x是 cos x的一个原函数。
提问：
cos x还有其它的原函数吗？
提示：
cos x的原函数还有 sin x+C。
定义 1 如果在区间 I 上，可导函数 F(x) 的导数为
f(x)，即对任一 x?I,都有
F?(x)?f(x) 或 dF(x)?f(x)dx，
则称函数 F(x) 是函数 f(x) 在区间 I 上的原函数。
? 原函数概念
两点说明：
2,f(x) 的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如
果 ?(x) 和 F(x) 都是 f(x) 的原函数, 则 ?(x)-F(x)?C (C为
某个常数 )。
1、如果 F(x)是 f(x)的原函数,那么 F(x)+C 都是 f(x)
的原函数，其中 C 是任意常数。
定义 1 如果在区间 I 上，可导函数 F(x) 的导数为
f(x)，即对任一 x?I,都有
F?(x)?f(x) 或 dF(x)?f(x)dx，
则称函数 F(x) 是函数 f(x) 在区间 I 上的原函数。
? 原函数概念
注 2,符号 差别：与?b
a xxf d)( ? xxf d)(
不定积分的概念
1,定义,设 I为某区间，称 f (x)在 I上的原函数的
全体为 f (x)在 I上的不定积分，记作 ? dxxf )(
? xxf d)(
积分号 被积函数 积分变量
注 1,(3)式中积分号下的 f (x)dx,可看作是原函数
的微分。
数 一族函数
(3)
定理 1,设 F(x)是 f (x)在区间 I上的一个原函数，则
CxFxxf +?? )(d)( (4)
其中 C为任意常数
0 x0
y
x
y = F(x)+C1
y = F(x)+C2
y = F(x)+C3
y = F(x)+C4
如果 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，则 dxxf )(? ? F ( x ) + C 。
当 x <0 时,[ ln (- x )] ? xx 1)1(1 ?-?-?, Cxdxx +-?? )l n ( 1 ( x < 0 )。
合并上面两式，得到 Cxdxx +?? ||ln 1 ( x ? 0) 。
例 1 因为 ( s i n x ) ?? c o s x,所以 Cxx d x +?? s i nc o s 。
例 2 因为 ( x 3 ) ? ? 3 x 2,所以 Cxdxx +?? 323 。
解,当 x >0 时,( ln x )? x1?, Cxdxx +?? ln 1 ( x > 0 )； 解,当 x >0 时,( l n x ) ? x1?, Cxdxx +?? ln 1 ( x > 0 ) ；
当 x <0 时,[ln(-x )] ? xx 1)1(1 ?-?-?, Cxdxx +-?? )ln ( 1 (x < 0 )。 当 x <0 时,[ ln (- x )] ? xx 1)1(1 ?-?-?, Cxdxx +-?? )l n ( 1 ( x < 0 )。 当 x<0 时,[ln(-x)]? xx 1)1(1 ?-?-?, Cxdx +-?? )ln( (x<0)。 当 x <0 时,[ l n ( - x )] ? xx 1)1(1 ?-?-?, Cxx +-?? )l n ( 1 ( x < 0 ) 。
例 1 因为 ( s i n x ) ?? c o s x,所以 Cxx d x +?? s i nc s 。
例 1．
例 2 因为 ( x 3 ) ? ? 3 x 2,所以 Cxdxx +?? 323 。
例 2．
例 3 求函数 xxf 1)( ? 的不定积分。
例 3．
解,当 x >0 时,( ln x )? x1?, Cxdxx +?? ln 1 ( x > 0 )；
解：
-1 O 1 x
y
y=x2
函数 f(x)的原函数的图
形称为 f(x)的积分曲线 。 Cxx d x +??
22
C1
y=x2+C1
C2
y=x2+C2
C3
y=x2+C3
函数 f(x)的积分曲线也
有无限多条 。 函数 f(x)的不
定积分表示 f(x)的一簇积分
曲线, 而 f(x)正是积分曲线
的斜率 。
三、不定积分的几何意义
例 4,求过点 (1,3)，且其切线斜率为 2x的曲线方程。
解,设所求的曲线方程为 y?f(x),则 y??f ?(x) ?2x，
即 f(x)是 2x 的一个原函数 。
因为所求曲线通过点 (1,3)，
故 3?1+C,C?2。
于是所求曲线方程为
y?x2+2。 -2 -1 O 1 2 x
-2
-1
1
2
y
y?x2+2
y?x2(1,3),
因为 Cxx d x +?? 22, 所以 y=f(x)?x2+C。
例 5,? xx d2
解,容易看到 2x'x 3)( 3 ?
两边除以 3，得 23 )(
3
1 x'x ?
求导数的性质
的一个原函数。为得 2331 xx
),())(( x'af'xaf ?
Cxxx +?? 32 31d
y y=x2
x
y 331 xy ?
x
因此,
2,不定积分的性质：
1)
2)
3)
4)
? ?? +?+ xxgxxfxxgxf d)(d)(d))()((
为常数???,d)(d)( ?? ? xxfxxf
)(d)(dd xfxxfx ??
? +? Cxfxx'f )(d)(
3,基本积分公式
积分公式 导数公式
1?
2?
3?
kckx ?+ )'(
?? ? x'x )1()( 1 +?+
0 1)( l n ?? xx'x
0 1))( l n ( ??- xx'x
)( d 为常数kCkxxk +??
)1( 11d 1 -?++? +? ?? ?? Cxxx
Cxxx +?? ||lnd1
1)
2)
3)
5)
6)
7)
5?
6?
7?
1,0
ln
1d
??
+??
aa
Caaxa xx
Cxxx +?? s indc o s
Cxxx +-?? c o sds in
1,0
ln)(
??
??
aa
aa'a xx
x'x c o s)( s i n ?
x'x s i n)( c o s -?
4? xx e'e ?)( Cexe xx +?? d4)
10)
11)
10?
11?
9) 9? Cxxx +-?? c tgdc s c 2 x'x 2c s c)( c tg -?
Cx
x
x +?
-?
a r c s in
1
d
2
Cxxx +?+? a r c tg1 d 2
21
1)( a r c s in
x'x -?
21
1)a r c t g(
x'x +?
8) 8? Cxxx +?? tgds e c 2 x'x 2s e c)tg( ?
4,积分公式的简单应用
例 1,求 ? -+ x
xxxx d)
2(
3
22
解, ? -+ x
xxxx d)
2(
3
22
??? --+? xxxxxx d2dd 3252
Cxxx +++? 22
7
3 1
7
2
3
1
例 2,求 ?
+
++ x
xx
xx d
)1(
1
2
2
解,
?? ++? xxxx d1 d 2
Cxx ++? ||lna r c t a n
? +++ xxx xx d)1(1 2
2
例 3,求
解,
? xx dta n 2
xx d)1( s e c 2? -?
Cxx +-? t a n
? xx dta n 2
?? -? xxx dds e c 2
例 4,求 其中,d)(? xxf f (x)=
x2+1,x<0.
1,1 ?xx
10,1 ?? x
解,
作函数
，待定和原函数
内分别有和在
),(ln,
3
],1[]1,0[),0,()(
2121
3
CCCxCxx
x
xf
+++
+?-?
F(x)=
0,3
3
?+ xxx
1 ln 2 ?+ xCx
10 1 ??+ xCx
而要使 F(x)成为 f (x)在 R上的原函数，必须
F(x)连续，从而 C1＝ 0,C2＝ 1，因此满足
条件的函数为
F(x)=
0,3
3
?+ xxx
.1 1ln ?+ xx
10,?? xx
故 CxFxxf +?? )(d)(
2
7
7
2 x? + C
7
2? x 3 x + C 。
( 2 ) ? x ? dx ? 11+? x ?? + 1 + C,
例 1 ? 31
x
dx ?? x -3 dx 131+-? x -3+1+C 2
2
1
x
-? +C 。 例 1 ? 31
x
dx ?? x - 3 dx 131 +-? x - 3 + 1 + C 2
2
1
x
-? + C 。 例 1 ? 31
x
dx ?? x - 3 dx 131 +-? x + 1+ C 2
2
1
x
-? + C 。
例 2 ? x 2 x dx ?? 2
5
x dx
1
2
5
1
2
5
1 +
+
? x + C 例 2 ? x 2 x dx ?? 2
5
x dx
1
2
5
1
2
5
1 +
+
? x + C
例 3 ?
3
xx
dx
??
3
4
-
x dx
1
3
4
1
3
4
+-
?
+-
x
+ C
3
3
x
-? + C 。 例 3 ?
3
xx
dx
??
3
4
-
x dx
1
3
4
1
3
4
+-
?
+-
x
+ C
3
3
x
-? + C 。 例 3 ?
3
xx
dx
??
3
4
-
x dx
1
3
4
1
3
4
+-
?
+-
x
+ C
3
3
x
-? + C 。
例 1 ? 31
x
dx ?? x - 3 dx 131+-? x - 3+ 1+C 2
2
1
x
-? +C 。
例 5．
例 2 ? x 2 x dx ?? 2
5
x dx
1
2
5
1
2
5
1 +
+
? x + C
例 6．
例 3 ?
3
xx
dx
??
3
4
-
x dx
1
3
4
1
3
4
+-
?
+-
x
+C
3
3
x
-? + 。 例 7．
dxxgxf )]()([ ?? dxxgdxxf ?? ?? )()(, ?? ? dxxfkdxxkf )()( 。
dxxdxx? ?-? 2
1
2
5
5 dxxdxx? ?-? 2
1
2
5
5
Cxx +?-? 2
3
2
7
3
25
7
2 Cxxxx +-?
3
10
7
2 3 。
例 4 dxxx )5( 2 -? dxxx )5( 2
1
2
5
? -?
dxxdxx? ?-? 2
1
2
5
5 dxxdxx? ?-? 2
1
2
5
5
Cxx +?-? 2
3
2
7
3
25
7
2 Cxxxx +-?
3
10
7
2 3 。
例 4 dxxx )5( 2 -? dxxx )5( 2
1
2
5
? -
例 8．
dxxgxf )]()([ ?? dxxgdxxf ?? ?? )()(, ?? ? dxxfkdxxkf )()( 。
dx
xx
x )133( 2-+-? ?
dx
x
dxxdxx d x ???? -+-? 21133
221 x? - 3 x + 3 l n | x | x1+ + C 。
例 5 dx
x
x? -
2
3)1(
? -+-? dxx xxx 2
23 133
练习：
习题五,2(1,3,5,7)
例 5 dx
x
x? -
2
3)1(
? -+-? dxx xxx 2
23 133
例 9．
( 4 ) ? a x dx ? aa
x
ln + C, (6 ) ? c o s x d x ? sin x + C, dx
2s e c? ? t g x + C,
例 6 ? ( e x - 3 c o s x ) d x ? e x - 3 s i n x + C 。
例 7 ? 2 x e x dx ?? (2 e ) x dx )2ln( )2( ee
x
? + C 2ln1 2+?
xx e
+ C 。 例 7 ? 2 x e x dx ?? (2 e ) x dx )2ln( )2( ee
x
? + C 2ln1 2+?
xx e
+ C 。 例 7 ? 2 x e x dx ?? (2 e ) x )ln( )2( ee
x
? + C 2ln1 2+?
xx e
+ C 。
例 8 ? tg 2 x d x ?? ( s e c 2 x - 1) dx ? tg x - x + C 。 例 8 ? tg 2 x d x ?? ( s e c 2 x - 1) dx ? tg x - x + C 。
例 9 ? sin 2 2x dx dxx )c o s1(21 -? ? Cxx +-? )s i n(21 。 例 9 ? sin 2 2x dx dxx )c o s1(21 -? ? Cx +-? )s i n(21 。
例 10 ? dx
xx
2
c o s
2
sin
1
22
?? dxx2s i n
1
4 ? - 4 c t g x + C 。 例 10 ? dx
xx
2
c o s
2
sin
1
22
?? dxx2s i n
1
4 ? - 4 c t g x + C 。
例 6 ? ( e x- 3 c o s x ) d x ? e x- 3 s i n x + C 。
例 10．
例 7 ? 2 x e xdx ? (2 e ) x dx )2ln( )2( ee
x
? + C 2ln1 2+?
xx e
+ C 。
例 11．
例 8 ? tg 2x d x ?? (s e c 2x-1) dx ?tg x-x+C 。
例 12．
例 9 ? sin 22x dx dxx )c o s1(21 -? ? Cxx +-? )s i n(21 。
例 13．
例 10 ? dx
x
2
c o ssin
1
22
?? dxx2s i n
1
4 ? - 4 c t g x + C 。
例 14．
( 3 ) ? x1 dx ? l n |x |+ C, ( 1 1 ) ? 21 1 x+ dx ? a r c t g x + C 。
? ?+
+
? dxxdx
x
1
1
1
2 ? a r c t g x + l n | x |+ C 。
?
+
+-? dx
x
x )
1
11(
2
2
3
1? x 3 - x + a r c t g x + C 。
? ?+
+
? dxxdx
x
1
1
1
2 ? a r c t g x + l n | x |+ C 。
例 12 ?
+
dx
x
x
2
4
1 ? +
+-? dx
x
x
2
4
1
11 ?
+
+-+? dx
x
xx
2
22
1
1)1)(1( 例 12 ?
+
dx
x
x
2
4
1 ? +
+-? dx
x
x
2
4
1
11 ?
+
+-+? dx
x
xx
2
22
1
1)1)(1(
?
+
+-? dx
x
x )
1
11(
2
2
3
1? x 3 - x + a r c t g x + C 。
例 11 ?
+
++ dx
xx
xx
)1(
1
2
2
? + ++? dxxx xx )1( )1( 2
2
? ++? dxxx )11 1( 2 例 11 ? + ++ dxxx xx )1(1 2
2
? + ++? dxxx xx )1( )1( 2
2
? ++? dxxx )11 1( 2 例 11 ? + + dxxx xx )1(1 2
2
? + +? dxx xx ) )1( 2
2
? ++? dxx )11 1(
例 15．
例 12 ?
+
dx
x
x
2
4
1 ? +
+-? dx
x
x
2
4
1
11 ?
+
+-+? dx
x
xx
2
2
1
1)1)(1(
例 16．
y ? ? )257(
x
+ dx xx 507 +? + C 。
解,因为总成本是总成本变化率 y?的原函数，所以
已知当 x?0 时,y?1000，
例 17,某厂生产某种产品, 每日生产的产品的总成
本 y 的 变化率 是日产量 x 的函数 y ? x257 +?,已知固定 ?
成本为 1000元，求总成本与日产量的函数关系。
因此有 C =1000，
作业：
P181,1,2,3,4,5(1) ~ (16).
于是 总成本 y 与日产量 x 的函数 为 y xx 507 +? + 1000 。
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§ 2 换元积分法与分部积分法
第八章 不定积分
§ 2 换元积分法与分部积分法
但是 ? x d x2c o s,s i n Cx +? 2
解决方法 利用复合函数，设置中间变量,
令 xt 2?,21 dtdx ??
? x d x2c o s dtt?? co s21 Ct +? s i n21,2s i n21 Cx +?
一 问题的提出
? +? Cxx d x s i nco s我们知道
xCx 22 c o s)( s i n ??+?
1 22 ?-? dxxx 令 tx s in?
?-? dxxx 22 1 t d ttt c o ssi n1)( si n 22? -
td tt 22 co ss i n??
利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不
定积分是非常有限的；我们可以把复合函数的微分
法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，
得到复合函数的积分法，称为换元积分法 。
目的是去掉根式。
若 ),()( ufuF ?? 则,)()(? +? CuFduuf
设 )( xu ?? （且可微，根据复合函数微分法，）
dxxxfxdF )()]([)]([ ??? ???
? +??? CxFdxxxf )]([)()]([ ???
? ?? )(])([ xuduuf ?
于是可得下述定理
二 第一类换元法
注意 使用此公式的关键在于将
?? +??? CxFxdxfdxxxf ))(()())(()()]([ ?????
设 )( uf 具有原函数，
? ?? dxxxf )()]([ ??? ? )(])([ xuduuf ?
第一类换元公式（ 凑微分法 ）
)( xu ?? 可导，
则有换元公式
定理 1
即将 )())(()()]([ xdxdxxxf ???? 拼凑成?
第一类换元法又称为凑微分法。
解决问题的关键在哪里呢？再看上式的特点
)(')]([))])([( xxfxf ??? ???
外部函数
的导数 中间变量 u
中间变量
u的导数
复合函数求导数得到的函数是两个因子的乘积
外部函数的导数 ?中间变量的导数。
如果从被积函数中你能看出这种形式，问题的
答案就出来了。
例 1,求 ? xxx dc o s3 32
解,函数 3x2cosx3看上去象某复合函数求导而得：
cosx3 ? 3x2
sinu的导数 中间变量 u 中间变量 u的导数
因此猜测 sinx3是一个原函数，求导数验证
233 3c o s)'( s in xxx ??
所以
Cxxxx +?? 332 s i ndc o s3
使用这种方法的基本想法 从被积函数
中找到一个作中间变量的函数，其导数是作
为一个因子出现的。
这个想法在相差一个常数因子时也可以
用。使用这种方法要求想象出复合函数的形
式。
例 2,? + xxe x d12求
解,观察 12 +xxe 中间变量 u=x2+1
但 u=x2+1的导数为
u? = 2x
在被积函数中添加 2个因子
12 2
2
1 +xex
'u u
因此 Cexxe xx +? ++? 11 22
2
1d
换元法
);()(,1 uFIuf 有原函数在区间
IJJxxu ??? )(,),(,2 ??
CxFdxxxf +?? )]([)('))('( ???则
? xxxf d)('))(( ?? ? uuf d)(u=?(x) xu dd ???
例 3,? + xxx d543求
解, ? + xxx d 5 34
Cu +
+
??
+ 1
2
1
1
2
1
1
4
1
5 4 +? xu ? udu
4
1 21
Cx ++? 2
3
4 )5(
6
1
u u du
? +? xxx d4 541 34
重算一遍
?? ++?+ )5(d415d5 4443 xxxxx
Cx ++
+
??
+ 1
2
1
4 )5(
1
2
1
1
4
1
Cx ++? 2
3
4 )5(
6
1
例 4,)0(d
22 ?-? axa
x求
解,能想出原函数的形式吗？
Cxxx +?-? a r c s in1 d 2
记得这个公式吗？如何用这个公式？
??
-
?
- 22 )(1
d
)(1
d
a
x
a
x
a
x
a
x
Cax +? a r c s in
例 5,求 sin2xdx
解,?? -? xxxx d2 2c o s1ds i n 2
?? -? xxx d2c o s21d21
?-? )2(d2c o s4121 xxx
Cxx +-? 2s i n4121
例 8.
解：
? - 22d xa x求
? -++? xxaxaa d)11(21? - 22d xa x
?????? ---++? ?? xa xaxa xaa )(d)(d2 1
? ? Cxaxaa +--+? ||ln||ln2 1
Cxa xaa +-+? ln21
例 9.
解：
? xx ds e c求
?? ? xxxx c o sdds e c
?? xxx dc o sc o s2
)8(|s i n1 s i n1|ln21 由例Cxx +-+?
? -? xx2s i n1 )(s i nd
Cx x +?
?
??
?
? +? 2
c o s
s in1ln
2
1
Cxx ++? |t a ns e c|ln
例 3 求
.dxx? + 23 1
解
,)( ?+?+??+ xxx 2323 12123 1
dxx? + 23 1 dxxx )( ?+?+? ? 2323 121
duu? 121 Cu +? ln2
1
.)l n ( Cx ++? 2321
xu 23 +?
例 4 求,
)ln51(
1 dx
xx? +
解
dxxx? + )ln51( 1 )( l nln51
1 xd
x? +?
)ln51(ln51 151 xdx ++? ?
xu ln21 +? ?? du
u
1
5
1
Cu +? ln51
熟练以后就不需要进行 )( xu ?? 转化了
Cx ++? )ln51l n (51
例 4 求
.
)(
dx
x
x?
+ 21
解
dxxx? + 21 )(
)(])()([ xdxx ++-+? ? 11 11 1 2
21 1
11 C
xCx +++++? )()ln(
dxxx? + -+? 21 11 )(
Cxx ++++? )()ln( 1 11
例 5 求,1 22 dxxa? +
解 dxxa? + 22 1
dx
a
xa ?
+
? 2
2
2
1
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?+
? ?
a
x
d
a
xa
2
1
11
.a rcta n1 Caxa +?
例 6 求 dxx? 2c os
? +? dxx2 2c os1
Cxx ++? 4 2s i n2
dxx? 2c os解
? ?+? ))2(221(21 xxdc oxdx
例 7
解
dxx? 3s in
Cxxxdx
xdxxdxx
+--?--?
?
?
??
)c o s( c o sc o s)c o s(
s i ns i ns i n
32
23
3
1
1
正弦余弦三角函数积分偶次幂降幂齐次幂拆开
放在微分号 d 后面 。
?+? dxe
x1
1 dx
e
edx
ee x
x
xx ?? -
-
- +
?+ 1)1( 1
x
xx
x
deexdee -
--
-
?? +-?-+-? 1 1)(1
)1(1 1 x
x
ede -
-
++-? ?
.)1l n ( Ce x ++-? -
解
例 8 求,1 1 dxe x? +
例 9 求
xdxx? 35 s e ct a n
xdxx? 35 s e ct a n 解
x d xxxx t a ns e cs e ct a n?? 24
xxdx s e cs e c)( s e c 222 1-? ?
xdxxx s e c)s e cs e c( s e c 246 2 +-? ?
Cxxx ++-? 357 315271 s e cs e cs e c
例 10 求
解
.co s1 1? + dxx
? + dxxco s1 1
? --? dxxx2co s1 co s1 ? -? dxx x2s i nco s1
?? -? )(s i ns i n1s i n1 22 xdxdxx
.s i n1co t Cxx ++-?
例 11 求
解
.co ss i n 52? ? x d xx
? ? x d xx 52 c o ss i n
? -?? )( s i n)s i n1(s i n 222 xdxx
? +-? )( s i n)s i ns i n2( s i n 642 xdxxx
.s i n71s i n52s i n31 753 Cxxx ++-?
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇
次项去凑微分,
? ?? )( s inc o ss i n xxdx 42
例 12 求
解
.2c o s3c o s? xdxx
),5co s(co s212co s3co s xxxx +?
?? +? dxxxxdxx )5co s(co s212co s3co s
.5s i n101s i n21 Cxx ++?
利用三角学中的积化和差公式，得
解 ?? dxxs i n1? xdxc s c
? --? )(co sco s1 1 2 xdx
? --? duu 21 1 ? ?????? ++--? duuu 1 11 121
Cuu ++-? 11ln21,co s1 co s1ln21 Cxx ++-?
类似地可推出
例 13 求,c s c? xdx
?? dxxx2s i ns i n
.)t a nln ( s e cs e c Cxxx d x ++??
.)c o tl n ( c s c Cxx +-?
?
-
-? xd
x
c o s
c o s1
1
2 Cx
x +
-
+-? |
c o s1
c o s1|ln
2
1
Cx x +-? |s i nc o s1|ln ? l n |c s c x - c t g x |+ C 。
???????? x d xs e c? ? ++? )2()2c s c ( ?? xdx
Cxx ++-+? |)2(c t g)2c s c (|ln ?? ? l n | s e c x + tg x |+ C 。
?
-
-? xd
x
c o s
c o s1
1
2 Cx
x +
-
+-? |
c o s1
c o s1|ln
2
1
Cx x +-? |s i nc o s1|ln ? l n | c s c x - c t g x |+ C 。
???????? x d xs e c? ? ++? )2()2c s c ( ?? xdx
Cxx ++-+? |)2(c t g)2c s c (|ln ?? ? l n |s e c x + tg x |+ C 。
例 9 x d xc s c? ?? dxxs i n1 ?? dx
x
x
2s i n
s i n 例 9 x d xc s c? ?? dx
xs i n
1 ?? dx
x
x
2s i n
s i n 例 9 x d xc s c? ?? dx
xs i n
1 ?? dx
x
x
2s i n
s i n
例 15．
Caxa +? a r c t a n1 。
例 17,当 a>0时，
dx
xa
?
- 22
1
dx
a
xa
?
?
?
?
?
?
?
-
??
2
1
11
a
x
d
a
x
?
?
?
?
?
?
?
-
?
2
1
1
Cax +? a r c s i n 。
练习,3(8,9,10)
例 10 dx
xa? + 22
1
dx
a
xa
?
?
?
?
?
?
?
+
?
22
1
11
a
x
d
a
xa
?
?
?
?
?
?
?
+
?
2
1
11
例 10 dx
xa? + 22
1
dx
a
xa
?
?
?
?
?
?
?
+
?
22
1
11
a
x
d
a
xa
?
?
?
?
+
?
2
1
11
dx
xa
?
- 22
1
dx
a
xa
?
?
?
?
?
?
?
-
??
2
1
11
a
x
d
a
x
?
?
?
?
?
?
?
-
?
2
1
1
dx
xa
?
- 22
1
dx
a
xa
?
?
?
?
?
?
?
-
??
2
1
11
a
x
d
a
x
?
?
?
?
?
?
?
-
?
2
1
1
例 10 dx
xa? + 22
1
dx
a
xa
?
?
?
?
?
?
?
+
?
22
1
11
a
x
d
a
xa
?
?
?
?
?
?
?
+
?
2
1
11
例 16．
? ? sin 2 x ( 1 - sin 2 x ) 2 d s i n x ?? ( s i n 2 x - 2 s i n 4 x + sin 6 x ) d s i n x
31? sin 3 x 52- sin 5 x 71+ sin 7 x + C 。
例 12 ? sin 3 x dx ?? sin 2 x s i n x d x ? -? (1 - c o s 2 x ) d c o s x 例 12 ? sin 3 x dx ?? sin 2 x s i n x d x ? -? (1 - c o s 2 x ) d c o s x
? - ? d c o s x +? c o s 2 xd c o s x ? - c o s x 31+ c o s 3 x + C 。 ? -? d c o s x +? c o s 2 xd c o s x ? - c o s x 31+ c s 3 x + C 。
例 13 ? sin 2 x c o s 5 x dx ?? sin 2 x c o s 4 x d s i n x
? ? sin 2 x ( 1 - sin 2 x ) 2 d s i n x ?? ( s i n 2 - 2 s i n 4 x + sin 6 x ) d s i n x
例 14 ? c o s 2 x dx ?? 21 (1 + c o s 2 x ) dx Cx ++? 2s i n4121 。 例 14 ? c o s 2 x dx ?? 21 (1 + c o s 2 x ) dx Cx+? 2s i n4121 。
例 12 sin 3 x dx ?? sin x s i n x d x ? -? (1 - c o s 2 x ) d c o s x
例 18．
例 13 ? sin 2 x c o s 5 x dx ?? sin 2 x c o s 4 x d s i n x
例 19．
例 14 ? c s 2 x dx ?? 21 + c o s 2 x ) dx Cx ++? 2s i n4121 。
例 20．
41? ( 23 x + sin 2 x 81+ sin 4 x ) + C 83? x 41+ sin 2 x 321+ sin 4 x + C 。 41? ( 23 x + sin 2 x 81+ sin 4 x ) + C 83? x 41+ sin 2 x 321+ sin 4 x + C 。
41? ? (1 + 2 c o s 2 x + c o s 2 2 x ) dx
41? ? (23 + 2 c o s 2 x 21+ c o s 4 x ) dx
例 15 ? c o s 4 x dx ?? ( c o s 2 x ) 2 dx ?? [21 (1 + c o s 2 x )] 2 dx
21? s i n x 10 1+ sin 5 x + C 。
例 1 6 ? c o s 3 x c o s 2 x dx 21? ? ( c o s x + c o s 5 x ) dx
练习,3(24,28,30)
例 15 ? c o s 4 x dx ?? ( c o s 2 x ) 2 dx ?? [21 (1 + c o s 2 x )] 2 dx
例 21．
例 1 6 ? c o s 3 x c o s 2 x dx 21? ? ( c o s x + c o s 5 x ) dx
例 22．
三 第二类换元法
?? ? duufdxxxf )()()]([ 化为积分??
第一类换元法是通过变量替换
将积分
)( xu ??
下面介绍的第二类换元法是通过变量替
换 将积分)(tx ??
?? ? dtttfdxxf )()]([)( ??化为积分
其中 )( x? 是 )( tx ?? 的反函数,
证 设 为 的原函数,)(t? )()]([ ttf ?? ?
令 )]([)( xxF ???
则 dxdtdtdxF ???? )( )()]([ ttf ?? ??,)(1t???
设 )( tx ?? 是单调的、可导的函数，
? ?
)(
)()]([)(
xt
dtttfdxxf
?
??
???
??则有换元公式
并且 0)( ?? t?,又设 )()]([ ttf ?? ? 具有原函数，
定理 2
第二类积分换元法
? +?? CxFdxxf )()(,)]([ Cx +???
)]([ tf ?? ).( xf?
说明 )( xF 为 )( xf 的原函数,
??
?
根式代换
三角代换分为两种基本类型
? ? )()()]([)( xtdtttfdxxf ??? ??? ??
例 13 求
解
).0(22 ?-? adxxa
td tadx co s??
?? ??- t d tatadxxa c o sc o s22
22,s i n
?? ??-? ttax
tataaxa co ss i n 22222 ?-?-
? ? +?? dttat dta 2 2c os1c os 222
Cttata ++? c oss i n22
22
Cxax
a
xaa
xt
+-+?
?
22
2
2
1
2
a r c s i n
a r c s i nt
22 xa -
xa
1 三角代换
例 14 求
解
).0(1 22 ?-? adxax
令 tax s e c? ?????? ?? 2,0t td ttadx t a ns e c?
?-? dxax 22 1 dtta tta? ?ta nta ns ec
?? tdts e c Ctt ++? )ta nl n( s ec
ta
x 22 ax -
.ln
22
C
a
ax
a
x +
??
?
?
??
?
? -
+?
例 15 求
解
).0(1 22 ?+? adxax
令 tax ta n? td tadx 2s ec??
?+? dxax 22 1 tdtata 2s ecs ec1 ??
?? tdts e c Ctt ++? )ta nl n( s ec
t a
x 22 ax +,ln 22 C
a
ax
a
x +
???
?
???
? ++?
?????? ??-? 2,2t
注 三角代换的目的是化掉根式,
例 16 求
解
.dx
e x? +1
1
xet ?令,dttdx
1?
dttt? -? )( 122 dt
tt? ??
??
?
?
+
-?
1
112
Ctt ++-? )]l n ([ l n 12
,ln tx 2??
2 根式代换
考虑到被积函数中的根号是困难所在，故
dx
e x? +1
1
回代将 xet ?,ln C
e
e
x
x
+??
?
?
?
?
?
?
+
?
1
2原式
当被积函数含有两种或两种以上的
根式 时，可采用令
（其中 为各根指数的最小公倍数）
lk xx,,? ntx ?
n
例 17 求,)1(
1
3 dxxx? +
解 令 6tx ?,6 5 dttdx ??
dxxx? + )1( 1 3? +? dttt t )1( 6 23
5
? +? dttt 2
2
1
6
3 其他形式代换
注 1 积分中为了化掉根式除采用上述代换外还
可用双曲代换,
122 ?- tshtch?
a c h txa s h tx ???,也可以化掉根式
中,令 dxax? + 221 ash tx ?
dxax? + 221
?? dtachtacht ? +?? Ctdt
Caxa rsh +?
.ln
22
C
a
ax
a
x +
???
?
???
? ++?
a ch td tdx ?
注 2 倒数代换 也是常用的代换之一.1tx ?
例 18 求 dx
xx n? + )( 1
1
令 tx 1?,12 dttdx -??
dxxx n? + )( 11 dt
t
t
t
n ?
?
?
?
?
?
-?
+?
?
?
?
?
?
? ? 2
1
1
1 ? +-?
-
dt
t
t
n
n
1
1
Ctn n ++-? ||ln 11,||ln Cxn n ++-?
111
解
例 19 求
解
.dxx xa? -4
22
令 tx 1?,12 dttdx -??
dt
t
t
t
a
?
?
?
?
?
?
-
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
? ?
24
2
2
1
1
1
dttta? --? 122
dxx xa? -4
22
分母的次幂太高
dx
x
xax ? -?
4
22
0,时当
)( 112 1 22222 ---? ? tadtaa
C
a
ta +--?
2
2
3
22
3
1 )(
.)( C
xa
xa +--?
32
2
3
22
3
dx
x
xax ? -?
4
22
0,时当,
)( C
xa
xa +--?
32
2
3
22
3
基
本
积
分
表
续;co slnta n)16( ? +-? Cxx d x;s i nlnco t)17( ? +? Cxxdx;)ta nl n( s ecs ec)18( ? ++? Cxxxdx;)co tl n( c s ccs c)19( ? +-? Cxxx d x;a rcta n11)20( 22 Caxadxxa +?+?;ln2 11)22( 22 Cxa xaadxxa +-+?-?;a r c s i n1)23( 22 Caxdxxa +?-?
.)l n (1)24( 2222 Caxxdxax +?+???;ln2 11)21( 22 Cax axadxax ++-?-?
考虑积分 ? ??c os x dxx
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则,
分部积分公式
四 分部积分法
?
?
-?
?
x d xxx
xxd
s i ns i n
s i n? x dxx c os
?
设函数 )( xuu ? 和 )( xvv ? 具有连续导数,
? ?,vuvuuv ?+??? ? ?,vuuvvu ?-????移项
,dxvuuvdxvu ?? ?-??
.duvuvu d v ?? -?分部积分公式
下面利用两个函数乘积的求导法则，得
出求积分的基本方法 —— 分部积分法,
对此不等式两边求不定积分
即
分部积分公式：
? ?? -??? vduuvudvdx)x(g)x(f
关键：恰当选取 u和确定 v.
如何选取 u:(LIATE法 )
L-----对数函数 I-----反三角函数
A-----代数函数 T-----三角函数
E-----指数函数
根据 LIATE法,f(x)与 g(x)谁排在 LIATE这一字母表
前面就选谁为 u.
即若选 f(x)为 u,则 g(x)dx=dv。 v=∫g(x)dx、或 v'=g(x).
? ? dx)x(g)x(f 使用分部积分公式，若选 f(x)=u,则 v≠g(x)注,而 v'=g(x).
例 1 求积分,c o s? xdxx
解 令,xu?
dvxdx d x ?? s i nc o s
? x d xx c o s ?? xxd s i n ?-? x d xxx s i ns i n,c o ss i n Cxxx ++?
xv s in?
如果令,c o s xu ? dvdxxdx ?? 221
? x d xx c o s ?+? xdxxxx s i n2c o s2
22
显然,选择不当，积分更难进行,vu ?,
一般地, 若被积函数是幂函数和正 (余 )弦函数
的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次 (假定
幂指数是正整数 )
u
一般要考虑下面两点：和选取
是一个关键。和，恰当选取所以应用分部积分法时
果，选取不当，就求不出结和由此可见，如果
dvu
dvu
dvu
? ? 容易积出。要比）（
要容易求得；）（
u d vv d u
v
2
1
例 2 求积分
.? dxxe x
解
,xu ?设,dvdedxe
xx ??
? dxxe x Cexedxexe xxxx +-?-? ?
若被积函数是幂函数和指数函数的乘积,
就考虑设幂函数为 v,使其降幂一次 (假定幂
指数是正整数 )
,xev ?
解过程表述为熟练以后，可将以上求
? dxxe x ?? xxde Cexedxexe xxxx +-?-? ?
例 3 求积分,2? dxex x
解,2xu ?,dvdedxe xx ??
? dxex x2 ?-? 22 dxeex xx
.)(22 Cexeex xxx +--?
xev ?
)( dxexeex xxx ?--? 22
dxxeex xx ?-? 22
xx dexex ?-? 22
例 4 求积分,ln? x dxx
解,ln xu ?,
2
2
dvxdxdx ??
? xd xx ln
?-? xdxxx 2121 2 ln
?? 221 xdxln
Cxxx +-? 22 4121 ln
若被积函数是幂函数和对数函数的乘
积，就考虑设对数函数为,u
例 5 求积分,a r ct a n? x d xx
解 令,a r c t a n xu ? dvxdx d x ?? 2
2
? xdxx a r c t a n )( a r c t a n2a r c t a n2
22
xdxxx ?-?
dxxxxx 2
22
1
1
2a r c t a n2 +?-? ?x
x ar c t an
2
2
?
.)ar c t an(21ar c t an2
2
Cxxxx +--? dxx )1 11(21
2+-?- ?
若被积函数是幂函数和反三角函数的乘
积，就考虑设反三角函数为 u.
例 6 求积分,s i n? xdxe x
解 ? xdxe x s i n ?? xx d es i n ?-? )( s i ns i n xdex xx
?-? x d xexe xx c o ss i n ?-? xx xdexe c o ss i n
?--? )c o sc o s(s i n xdexexe xxx
?--? x d xexxe xx s i n)c o s( s i n
?? x d xe x s i n,)c o s( s i n2 Cxxe
x
+-?
复原法在求不定积分时有着广泛的应用。
例 7 求积分
.s e c? xdx3
解
? xdx3s ec ?? xxd t a ns e c
dxxxxx ?-? 2t a ns e ct a ns e c
dxxxxx )( s e cs e ct a ns e c 12 --? ?
dxxdxxxx ?? +-? s e cs e ct a ns e c 3
xxdxxxx t a ns e clns e ct a ns e c -+-? ? 3
? xdx3s ec Cxxxx +-+? )t a ns e clnt a n( s e c21
例 8 求积分
? ?+? NndxxaI nn,)( 22 1
解 用分部积分法，当 时，有1?n
? -- +? dxxaI nn 1221 1 )(
? +-++? - dxxa xnxa x nn )()()( 22
2
122 12
? +-+-++? -- dxxa axanxa x nnn ])()([)()( 22
2
122122
112
))(()( nnnn IaInxa xI 211221 12 --++? ---
])()([)( 11222 3212 1 -- -++-? nnn Inxa xnaI
.,a r c t a n nIC
a
x
a
I 即得
以此作递推公式，并由
+?
1
1
在 积分的过程中往往要兼用换元法与分部积分法。
例 9 求积分,? dxe x
解
td tdxtxxt 22 ???,,则令
.)(
)(
Cxe
Ctedetdttedxe
x
tttx
+-?
+-??? ???
12
1222
例 10 已知 )( xf 的 一 个 原 函 数 是
2x
e -,求
? ? dxxfx )(,
解 ? ? dxxfx )( ?? )( xx d f,)()( ?-? dxxfxxf
,)( 2? +?? - Cedxxf x? ? ),()( xfdxxf ????
两边同时对 求导,得x,2)( 2xxexf --?
??? ? dxxfx )( ?- dxxfxxf )()(
222 xex --?,Ce +- -
例题与练习
? x d xx a r c t a n5）（
xdxxx a r c t a n21a r c t a n21 22 ?-
dxxxxx ? +-? 2
2
2
12
1a r c t a n
2
1
dxxxxx ? + -+-? 2
2
2
1
11
2
1a r c t a n
2
1
Cxxxx ++-? a r c ta n2121a r c ta n21 2
练习 1.求下列不定积分
?? - x d xxdxxe x ln)2()1( 2
? )21(a r c t a n 2xxd
解,? ?x d xx a r c t a n
常用解题技巧
(Ⅰ )多次使用分部积分法则
? x d xs i nx 2求
解：
?? x d xx s i n2
?+-? 22 c o sc o s x d xxx
?+-? x d xxxx c o s2c o s2
?+-? xxdxx s i n2c o s2
?-+-? x d xxxxx s i n2s i n2c o s2
Cxxxxx +++-? c o s2s i n2c o s2
练习 2.求不定积分
? x d xc o sx 2
例 2.
)(c o s2 xdx?
常用解题技巧
(Ⅱ )还原法
例 3,?
xdxs i ne,x求解：
?? ? xx d es i n原式
x d xexe xx ?-? c o ss i n
xx x d exe ?-? c o ss i n
xdexexe xxx c o sc o ss i n ?+-?
x d xexexe xxx s i nc o ss i n ?--?
?? ? x d xe x s i n2
?? x d xe x s i n即
练习 3,?
x d xc o se x求不定积分
xdexe xx s i ns i n ?? -
1co ss i n Cxexe xx +-
)2c o ss i n21 1 CCCxxe x ?+- （）（
Ⅲ 与换元法相结合
C)1x(e2 x +-
dxe.4 x?例
t d t2dx,tx,tx 2 ???令
?? ? dtte t2原式 ?-? dte2te2 tt
Ce2te2 tt +-? C)1t(e2 t +-?
回代
练习 4.求不定积分 ?
dxxs i n
解：
常用解题技巧
? ttde2
例 5 ? ln x d x ? x ln x -? xd ln x ? x ln x -? dx ? x ln x - x + C 。 例 5 ? ln d x ? x ln x -? xd ln x ? x ln x -? ? x ln x - x + C 。 例 5 ? ln x d x ? x ln x -? xd ln x ? ln -? dx ? x ln x - x + C 。
例 6 ? a r c c o s x d x ? x a r c c o s x -? xd a r c c o s x
?
-
?+? dx
x
xxx
21
1arcco s
? ---?
-
)1()1(21a r c c o s 22
1
2 xdxxx ? x a r c c o s x 21 x-- + C 。 ? ---? - )1()1(
2
1a r c c o s 2212 xdxxx ? x a r c c o s x 21 x-- + C 。
例 7 ? x a r c t g x d x 21? ? a r c t g x d x 2
?
+
?-? dx
x
xxx 222
1
1
2
1a r c t g
2
1
?
+
--? dx
x
xx )
1
11(
2
1a r c t g
2
1
2
2 Cxxxx +--? )a r c t g(
2
1a r c t g
2
1 2 。 ?
+
--? dx
x
xx )
1
11(
2
1a r c t g
2
1
2
2 Cxxxx +--? )a r c t g(
2
1a r c t g
2
1 2 。
练习,5(2,4,6)
例 ? ln xdx ? ln x-? xd ln x ? ln x-? dx ?x x -x +C。
例 9．
例 6 ? a r c c o s x d x ? x a r c c o s x -? xd a r c c o s x
例 10．
例 7 ? x a r c tg x d x 21? ? a r c tg x d x 2
例 11．
解,因为
所以 ? e x sin x d x 21? e x ( s i n x - c o s x ) + C 。
? e x sin x d x ?? sin x d e x ? e x sin x -? e x d sin x ? e x sin x d x ?? x d e x ? e x sin x-? e x d sin x ? e x sin x d x ? ? sin x d e x ? e x sin x -? e x d sin x
? e x s i n x - ? e x c o s x d x ? e x sin x -? c o s x d e x
? e x sin x - e x c o s x +? e x d c o s x ? e x sin x - e x c o s x -? e x sin x d x,
? e x s i n x - ? e x c o s d x ? e x sin x -? c o s x d e x
? e x sin x - e x c o s x +? e x d c o s x ? e x sin x - e x c o s x -? e x sin x d x,
练习：
.c o s? x d xe x求
例 8 求 ? e x sin x d x 。
例 12．
解,因为
所 以 ? s e c 3 x d x 21? ( s e c x tg x + l n | s e c x + tg x |) + C 。
? s e c 3 x d x ?? s e c x s e c 2 x d x ?? s e c xd tg x
? s e c x tg x - ? s e c x tg 2 x d x ? s e c x tg x -? s e c x ( s e c 2 x - 1) dx
? s e c x tg x - ? s e c 3 x d x +? s e c x d x
? s e c x tg x + l n | s e c x + tg x |-? s e c 3 x d x,
? s e c 3 x d x ?? s e c x s e c 2 x d x ?? s e c xd tg x
? s e c x tg x - ? s e c x tg 2 x d x ? s e c x tg x -? s e c ( s e c 2 x - 1) dx
例 9 求 ? s e c 3 x d x 。
例 13．
12 +? x
dx
x d xc s c?
dxxe x
2
? x d xtg?
22 xa
dx
-
?
dxxx 32 -?
?
+ 22 ax
dx
dxxa? - 22
?
- 22 ax
dx
?
-
dx
x
x 1
? x c o s x d x ? xe
x
dx ? x
2
e
x
dx ? x ln x d x
? ln x d x ? a rc c o s x d x ? x a rc t g x d x ? e x s i n x d x
练习,用什么积分法求下列积分？
五 小结
两类积分换元法：
??
?
（一） 凑微分
（二） 三角代换、根式代换、倒数代换
三角代换常有下列规律
22)1( xa -可令 ;s i n tax ?
22)2( xa +可令 ;t a n tax ?
22)3( ax -可令,s e c tax ?
合理选择,正确使用分部积分式vu ?,
dxvuuvdxvu ?? ?-??
注意复原分部积分
若被积函数是幂函数和正 (余 )弦函数
的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一
次 (假定幂指数是正整数 )
u一般地，（ 1）
（ 2） 若被积函数是幂函数和指数函数的乘
积,就考虑设幂函数为 v,使其降幂一次 (假
定幂指数是正整数 )
(4) 若被积函数是指数函数与三角函数乘积时,
二者皆可作为 u,但作为 u的函数的类型不变。
(3) 若被积函数是幂函数和对数函数的乘
积，就考虑设对数函数或反三角函数为 u,
六 思考与判断题
? +-? Cxxdx 2co s2s i n1
2
CxCxdx
x
+?+-?
-
- ? a r c c o sa r c s i n2
1
1
u 函数使用分部积分公式的要点是确定3
4 ? x d xa r cs in 中 xvxu ??,a r cs i n
作业,P189
2(1) ~ (10),3(1) ~ (4).
5 根据 LIATE法，恰当选取 u和确定 v.
第八章 不定积分
§ 3有理函数和可化为有理函数的不定积分
一 问题的提出
.11)1( 11 2 ---+? xxx
2)1(
1
-xx即
dxxx? - 2111 )()(
怎么计算？
关键是被积函数的裂项
？
（ 2）,co ss i n1 s i n? ++ dxxx x很显然不能用
凑微分和分部积分
怎么办？
（ 3） ? + dx
x
x
x
11 去掉根号才能计算，怎样去掉
根号？
两个多项式的商表示的函数,
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xP
++++
++++?
-
-
-
-
1
1
10
1
1
10
)(
)(
?
?其中 m, n 都是非负整数；
naaa,,,10 ? 及
mbbb,,,10 ? 都是实数，并且 00 ?a, 00 ?b,
二 有理函数的积分
(Integration of Rational Function)
有理函数的定义：
假定分子与分母之间没有公因式
,)1( mn ?这有理函数是真分式；
,)2( mn ?这有理函数是假分式；
有理函数有以下性质：
1）利用多项式除法,假分式可以化成一个
多项式和一个真分式之和,
例如，我们可将
1
1
2
3
+
++
x
xx
.
1
1
2 ++ xx
化为多项式与真分式之和
kax
A
)( -
2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和
其中 qpaBA,,,,都是待定的常数,
最简分式是下面两种形式的分式;)( kqpxx BAx ++ +2
042 ?- qpk 为正整数，
（ 1）分母中若有因式,则分解后为 kax )( -
,)()( 121 ax Aax Aax A kkk -++-+- - ?
3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：
其中 kAAA,,,21 ? 都是待定的常数,
特殊地：,1?k 分解后为 ;axA-
（ 2）分母中若有因式, 其中 kqpxx )( 2 ++
则分解后为 042 ?- qp
qpxx
NxM
qpxx
NxM
qpxx
NxM kk
kk ++
+++
++
++
++
+
- 212
22
2
11
)()( ?
其中 ii NM,都是待定的常数 ),,2,1( ki ??,
特殊地,,1?k 分解后为 ;2 qpxx
NMx
++
+
便于求积分必须把真分式化为部分分式之和，同
时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定
系数法
65
3
2 +-
+
xx
x
)3)(2(
3
--
+?
xx
x,
32 -+-? x
B
x
A
??
?
?+-
?+?
,3)23(
,1
BA
BA,
6
5
??
?
?
-??
B
A
65
3
2 +-
+?
xx
x,
3
6
2
5
-+-
-?
xx
例 1
)3)(2(
)2()3(
--
-+-?
xx
xBxA
)3)(2(
)23()(
--
+-+?
xx
BAxBA
2)1(
1
-xx
,1)1( 2 -+-+? x Cx BxA
)1()2()(1 2 AxCABxCA +--++?
.11)1( 11 2 ---+? xxx2)1( 1-? xx
例 2
通分以后比较分子得：
?
?
?
?
?
?
?--
?+
1
02
0
A
CAB
CA
? 1,1,1 -??? CBA
65
3
2 +-
+
xx
x
)3)(2(
3
--
+?
xx
x,
32 -+-? x
B
x
A
),2()3(3 -+-?+ xBxAx?
),23()(3 BAxBAx +-+?+?
??
?
?+-
?+?
,3)23(
,1
BA
BA,
6
5
??
?
?
-??
B
A
65
3
2 +-
+?
xx
x,
3
6
2
5
-+-
-?
xx
例 1
2)1(
1
-xx
,1)1( 2 -+-+? x Cx BxA
)1()1()1(1 2 -++-? xCxBxxA
代入特殊值来确定系数 CBA,,
取,0?x 1?? A 取,1?x 1?? B
取,2?x BA,并将 值代入 )1( 1-?? C
.11)1( 11 2 ---+? xxx2)1( 1-? xx
例 2
例 3
.
1
5
1
5
2
21
5
4
2x
x
x +
+-
+
+
?
)1)(21(
1
2xx ++
),21)(()1(1 2 xCBxxA ++++?
,)2()2(1 2 ACxCBxBA +++++?
?
?
?
?
?
?+
?+
?+
,1
,02
,02
CA
CB
BA
,51,52,54 ?-??? CBA
,121 2x CBxxA + ++?
)1)(21(
1
2xx ++?
整理得
例 4 求积分,)1( 1 2 dxxx? -
dxxx? - 2)1( 1 dxxxx? ?
?
?
??
?
---+? 1
1
)1(
11
2
dxxdxxdxx ??? ---+? 11)1( 11 2
.)1l n(11ln Cxxx +----?
解
例 5 求积分
解
.)1)(21( 1 2? ++ dxxx
dx
x
x
dx
x ?? +
+-
+
+
? 2
1
5
1
5
2
21
5
4
? ++ dxxx )1)(21( 1 2
dxxdxxxx ?? +++-+? 22 1 1511 251)21l n (52
.a rcta n51)1l n(51)21l n(52 2 Cxxx +++-+?
例 6 求积分
解
.
1
1
632
dx
eee
xxx?
+++
令 6xet ?,ln6 tx ??,6 dttdx ?
dx
eee
xxx?
+++ 6321
1
dttttt 61 1 23 ?+++? ?
dtttt? ++? )1)(1( 16 2 dt
t
t
tt? ??
??
?
?
+
+-
+-? 21
33
1
36
Ctttt +-+-+-? a rcta n3)1l n(23)1l n(3ln6 2
dttttt? ?????? ++-+-? 21 331 36
.)a r c t a n (3)1l n (23)1l n (3 636 Ceeex
xxx
+-+-+-?
2
3)1l n(3ln6 -+-? tt dt
tt
td? ?
+-+
+
22
2
1
13
1
)1(
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出
现三类情况：
)1( 多项式； ;)()2( nax A- ;)()3( 2 nqpxx NMx ++ +
讨论积分,)( 2? ++
+ dx
qpxx
NMx
n
,42
22
2 pqpxqpxx -+?
?
??
?
? +?++?
令 tpx ?+ 2
,4
2
2 pqa -?,
2
MpNb -?则
? ++ +? dxqpxx NMx n)( 2
? +? dtat Mt n)( 22 ? ++ dtat b n)( 22
,222 atqpxx +?++,bMtNMx +?+记
,1)2( ?n ? ++
+ dx
qpxx
NMx
n)( 2
122 ))(1(2 -+--? natn
M,
)(
1
22? ++ dtatb n
这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数,
结论 有理函数的原函数都是初等函数,
,1)1( ?n ? ++ + dxqpxx NMx2
)l n(2 2 qpxxM ++? ;2a r c t a n Ca
px
a
b +++
)()( 111 2 -++-? xCxBxxA
.11)1( 11 2 ---+? xxx2)1( 1-? xx
我们也可以用代值确定法来得到最简分式，
比如前面的例 2，两端去分母后得到;1,1 ??? Bxx 值，令代入特殊的;1,0 ??? Ax令;1,2 -??? Cx令
例 3
.
1
5
1
5
2
21
5
4
2x
x
x +
+-
+
+
?
)1)(21(
1
2xx ++
),21)(()1(1 2 xCBxxA ++++?
,)2()2(1 2 ACxCBxBA +++++?
?
?
?
?
?
?+
?+
?+
,1
,02
,02
CA
CB
BA
,51,52,54 ?-??? CBA
,121 2x CBxxA + ++?
)1)(21(
1
2xx ++?
整理得
例 4 求积分
.2 1 23 dxxxx? +-
dxxx? - 2)1( 1
dxxxx? ?
?
?
??
?
---+? 1
1
)1(
11
2
dxxdxxdxx ??? ---+? 11)1( 11 2
.)1l n(11ln Cxxx +----?
解 ?
+-? dxxxx 23 2
1
由前面的裂项
例 5 求积分
解
.)1)(21( 1 2? ++ dxxx
dx
x
x
dx
x ?? +
+-
+
+
? 2
1
5
1
5
2
21
5
4? ++
dxxx )1)(21( 1 2
dxxdxxxx ?? +++-+? 22 1 1511 251)21l n (52
.a rcta n51)1l n(51)21l n(52 2 Cxxx +++-+?
由前面的裂项得
.
1
5
1
5
2
21
5
4
2? +
+-
+
+
? dx
x
x
x
三角有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 )co s,(s i n xxR
2co s2s i n2s i n
xxx ??
2
s e c
2
t a n2
2 x
x
?,
2
t a n1
2
t a n2
2 x
x
+
?
,2s i n2co sco s 22 xxx -?
二、三角函数有理式的积分
2
s e c
2
t a n1
c o s
2
2
x
x
x
-
?,
2
t a n1
2
t a n1
2
2
x
x
+
-
?
令 2ta n xu ?
,1 2s i n 2uux +?,11c o s 2
2
u
ux
+
-?
ux a r c t a n2?
duudx 21 2+?
? ?dxxxR )co s,(s i n,1 211,1 2 22
2
2 duuu
u
u
uR
+??
??
?
?
+
-
+?
（万能置换公式）
例 7 求积分,co ss i n1 s i n? ++ dxxx x
解,1 2s i n 2uux +?
2
2
1
1c o s
u
ux
+
-?,
1
2
2 duudx +?
由万能置换公式
? ++ dxxx x co ss i n1 s i n duuu u? ++? )1)(1( 2 2
duuu uuu? ++ --++? )1)(1( 112 2
22
duuu uu? ++ +-+? )1)(1( )1()1( 2
22
duuu? ++? 211 duu? +- 1 1
ua r cta n? )1l n(21 2u++ Cu ++- |1|ln
2t an
xu ??
2
x? |
2s e c|ln
x+,|
2ta n1|ln C
x ++-
例 6 求积分
.)c o s1(s i n s i n1? ++ dxxx x
解,1 2s i n 2uux +?
2
2
1
1c o s
u
ux
+
-?,
1
2
2 duudx +?
由万能置换公式
duu uu? ++? 1221
2?
+
+ dx
xx
x
)c o s1(s i n
s i n1
Cuuu +++? )ln22(21
2
C
xx
x
+++?
2
t a nln
2
1
2
t a n
4
2
t a n 2
例 7 求积分
.s i n1 c o s? + dxxx
解
?
+
+
++
-
?
)
1
2
1(
1
2
1
1
2
22
2
u
u
u
du
u
u
? + dxxxs i n1 c o s
duuu u? ++ -? )1)(1( )1(2 2??
一直做下去，一定积出来，只是太麻烦。
? + dxxxs i n1 c o s ?
+
+?
x
xd
s i n1
)s i n1( Cx ++? )s i n1l n (
由此可以看出，万能代换法不是最简方法，
能不用尽量不用。
例 8 求积分,s i n14? dxx
解（一）,2ta n xu ?,1 2s i n 2uux +?,1 2 2 duudx +?
? dxx4s i n1 duu uuu? +++? 4 642 8 331
Cuuuu +++--? ]3333 1[81
3
3,
2
t a n
24
1
2
t a n
8
3
2
t a n8
3
2
t a n24
1
3
3 C
xx
xx
+?
?
?
?
?
?
++-
?
?
?
?
?
?
-?
解（二） 修改万能置换公式,xu ta n?令
,1s i n 2uux +?,1 1 2 duudx +?
? dxx4s i n1
du
u
u
u
? +?
?
?
?
?
?
?
+
? 24
2
1
1
1
1
duu u? +? 4
21
Cuu +--? 13 1 3,co tco t31 3 Cxx +--?
解（三） 可以不用万能置换公式,
? dxx4s i n1 dxxx )co t1(cs c 22? +?
x d xxx d x 222 c s cc o tc s c? ?+? )(c o t xd?
.co t31co t 3 Cxx +--?
结论 比较以上三种解法,便知万能置换不一定
是最佳方法,故三角有理式的计算中先考
虑其它手段,不得已才用万能置换,
例 9 求积分,s i n3s i n s i n1? ++ dxxx x
解 2c o s2s i n2s i ns i n
BABABA -+?+
? ++ dxxx xs i n3s i n s i n1 ? +? dxxx xco s2s i n2 s i n1
? +? dxxx x 2co ss i n4 s i n1
?? dxxx 2co ss i n 141 ?+ dxx2co s141
? +? dxxx xx 2
22
c o ss i n
c o ss i n
4
1
?+ dxx2co s141
?? +? dxxdxxx s i n141co ss i n41 2?+ dxx2co s141
?? +-? dxxxdx s i n141)(co sco s141 2?+ dxx2co s141
xco s4
1?
2t a nln4
1 x+,ta n
4
1 Cx ++
讨论类型 ),,( n baxxR + ),,( n ecx baxxR ++
解决方法 作代换去掉根号,
例 10 求积分 ? + dxx xx 11
解 令 tx x ?+1,1 2tx x ?+?
三、简单无理函数的积分
,112 -? tx ? ?,12 22 --? t td tdx
? + dxx xx 11 ? ? ? ? dtt ttt? ---? 222 121? --? 12 2
2
t
dtt
dtt? ?????? -+-? 1112 2 Cttt ++---? 11ln2
.11ln12
2
C
x
xx
x
x +
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
? -+-+-?
例 11 求积分,11
1
3? +++ dxxx
解 令 16 +? xt,6 5 dxdtt ??
? +++ dxxx 3 11 1 dtttt 523 61 ?+? ?
dtt t? +? 16
3
Ctttt ++++-? |1|ln6632 23
.)11l n (6131312 663 Cxxxx +++++++-+?
说明 无理函数去根号时,取根指数的 最小公倍数,
例 12 求积分,1213? +++ dxxx
x
解 先对分母进行有理化
原式 ? +-++++ +-+? dxxxxx xxx )1213)(1213( )1213(
? +-+? dxxx )1213(
)13(1331 ++? ? xdx )12(1221 ++- ? xdx
.)12(31)13(92 2
3
2
3
Cxx ++-+?
例 9 求积分,
21
1
3? ++ dxx
解 令 23 +? xt,3
2 dxdtt ??
dt
t
t?
+
?
1
3 2 dt
t
t?
+
+-?
1
113 2
Cttt +++-? |)1|ln2(3
2
.)12l n (3)2(3)2(23 333 2 Cxxx +++++-+?
? ++ dxx3 21 1
说明 无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数,
例 10 求积分
.1 3?
+
dx
xx
解 令 xt ?6,6 5 dxdtt ??
? + dxxx 31 ? +? dttt
t
)1(
6
23
5
? +? dttt 2
2
1
6
Ctt +-? )a r c t a n(6?
+-? dtt )1
11(6
2
Cxx +-? )a r c t a n(6 66
简单无理式的积分去掉根式,
（注意：关键为了去掉根号）
有理式分解成部分分式之和的积分,
（注意：必须化成真分式）
三角有理式的积分,（万能置换公式）
（注意：万能公式并不万能）
四、小结
五、作业 P198,1 (1)~(6),2 (1)~(6).
六 思考、判断题
1 dx
x
xxx
?
+ 53
2
运用无理根式代换计算
2 dx
xx? + )1(
1
1
11
)1(
1
+-?+ xxxx
被积函数裂项可以直接判断的，不必运用待定系数法
例如
思考题
将分式分解成部分分式之和时应注意什么？
思考题解答
分解后的部分分式必须是最简分式,
一,填空题：
1, ?? ?
?
?
?
?
?
+-
+
+
+
?
+
dx
xx
CBx
x
A
dx
x 111
3
23
，其 ?A ____,
?B ____ __ _ _,?C ___ __ _ __ __ ；
2,
? ? ? ? ? ?
?? ?
?
?
?
?
?
-
+
+
+
+
?
-+
+
dx
x
C
x
B
x
A
dx
xx
x
11111
1
22
2
,
其中
?A
____ _,
?B
__ ___,?C ___ ___ _ ；
3,计算 ?
+
,
s i n2 x
dx
可用万能代换 ?xs i n __ _ __ __ ___ _,
?dx _ _ __ __ ___ __ __ ；
4,计算 ?
++
,
mbax
dx
令 ?t ___,?x __ _,?dx ___ _,
练习题
5,有理函数的原函数都是 __ ___ __ __,
二、求下列不定积分：
1,
? ?? ?? ?
?
+++ 321 xxx
x d x； 2,
? ?? ?
?
++ xxx
dx
22
1；
3,
?
+
dx
x
4
1
1； 4,
?
+ x
dx
2
s i n3；
5, ?
+- 5c o ss i n2 xx
dx； 6, ?
++
-+
dx
x
x
11
11；
7, ?
+
-
x
dx
x
x
1
1； 8, ?
-+
3
42
)1()1( xx
dx
,
三、求下列不定积分 （用以前学过的方法）：
1,
? ?
?
-
dx
x
x
3
1； 2,
?
+
+
dx
xx
x
s i n
c o s1；
3,
?
+
24
1 xx
dx； 4,
?
dx
x
x
3
2
c o s
s i n；
5,
?
+
dx
x
x
28
3
)1(； 6, dx
x
x
?
+ s i n1
s i n；
7,
?
+
dx
xxx
x
)(
3
3； 8,
?
+
dx
e
xe
x
x
2
)1(；
9,
?
++ dxxx
22
)]1[l n ( ； 10,
?
- xdxx a r c s i n1
2；
11, dx
xx
xx
?
+ c o ss i n
c o ss i n； 12, ?
-- ))(( xbax
dx
.
二,1, C
xx
x
+
++
+
3
4
)3)(1(
)2(
ln
2
1；
2, Cx
xx
x
+-
++
a r c ta n
2
1
)1()1(
ln
4
1
22
4；
3, )12a r c ta n (
4
2
12
12
ln
8
2
2
2
++
+-
++
x
xx
xx
C+-+ )12a r c t a n (
4
2；
一,1, 2,1,1 - ； 2, -1,
2
1
,
2
1； 3,
22 1
2
,
1
2
u
du
u
u
++；
4, bax +,
a
bt -2
,dt
a
t2； 5,初等函数,
练习题答案
4, C
x
+
3
ta n2
a r c ta n
32
1；
5, C
x
+
+
5
1
2
ta n3
a r c ta n
5
1；
6, Cxxx +++++- )11l n (414 ；
7,
xx
xx
++-
+--
11
11
ln C
x
x
+
+
-
+
1
1
a r c ta n2,或
Cx
x
x
+-
--
a r c s i n
11
ln
2；
8, C
x
x
+
-
+
-
3
1
1
2
3
.
三,1, C
xx
+
-
-
- 1
1
)1(2
1
2；
2, Cxx ++ )si nl n ( ；
3, C
x
x
x
x
+
+
+
+
-
2
3
32
1
3
)1(；
4, Cxx
x
x
++- )t a nl n ( s e c
2
1
c o s2
s i n
2；
5, Cx
x
x
++
+
4
8
4
a r c ta n
8
1
)1(8；
6, Cx
x
++
+
2
ta n1
2
,或
Cxxx +-+ t a ns e c；
7, C
x
x
+
+
66
)1(
ln ；
8, Ce
e
xe
x
x
x
++-
+
)1l n (
1；
9,
Cxxxx
xxx
+++++-
++
2)1l n (12
)]1[l n
22
22；
10, xx
xx
a r c s i n1
24
)( a r c s i n
2
2
-+ C
x
+-
4
2；
11, C
x
x
xx +
+
+
+-
s i n21
c o s21
ln
22
1
)c o s( s i n
2
1；
12, C
xb
ax
+
-
-
a r c t a n2,
§ 2 换元积分法与分部积分法
§ 3有理函数和可化为有理函数的不定积分
第八章 不定积分
§ 1不定积分的概念与基本积分公式
第八章 不定积分
在第三章我们研究了已知 f，如何求 f 的导数
f? 的表达式，得到了一些计算法则，例如：
(f + g)? = f? + g?,
(f g)? = f? g + f g?,
(f [?])? = f ? [?] ??
这些计算方法加上基本初等函数的导数公式，
我们可以解决初等函数的求导问题，即是，若 f
为初等函数,f ? 的表达式能求出,
我们现在来研究第三章求导问题的逆问题。
问题, 在已知 f ? 的表达式时,f 的表达式是
什么形式呢？
即是，已知函数 f ? 的表达式，求 f ? 的原函
数是什么。
.
? 基本积分表
? 换元积分法
? 分部积分法
? 有理函数积分
本章主要内容,
例如，在区间 (-?,+?)内，因为 (sin x)??cos x，
所以 sin x是 cos x的一个原函数。
提问：
cos x还有其它的原函数吗？
提示：
cos x的原函数还有 sin x+C。
定义 1 如果在区间 I 上，可导函数 F(x) 的导数为
f(x)，即对任一 x?I,都有
F?(x)?f(x) 或 dF(x)?f(x)dx，
则称函数 F(x) 是函数 f(x) 在区间 I 上的原函数。
? 原函数概念
两点说明：
2,f(x) 的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如
果 ?(x) 和 F(x) 都是 f(x) 的原函数, 则 ?(x)-F(x)?C (C为
某个常数 )。
1、如果 F(x)是 f(x)的原函数,那么 F(x)+C 都是 f(x)
的原函数，其中 C 是任意常数。
定义 1 如果在区间 I 上，可导函数 F(x) 的导数为
f(x)，即对任一 x?I,都有
F?(x)?f(x) 或 dF(x)?f(x)dx，
则称函数 F(x) 是函数 f(x) 在区间 I 上的原函数。
? 原函数概念
注 2,符号 差别：与?b
a xxf d)( ? xxf d)(
不定积分的概念
1,定义,设 I为某区间，称 f (x)在 I上的原函数的
全体为 f (x)在 I上的不定积分，记作 ? dxxf )(
? xxf d)(
积分号 被积函数 积分变量
注 1,(3)式中积分号下的 f (x)dx,可看作是原函数
的微分。
数 一族函数
(3)
定理 1,设 F(x)是 f (x)在区间 I上的一个原函数，则
CxFxxf +?? )(d)( (4)
其中 C为任意常数
0 x0
y
x
y = F(x)+C1
y = F(x)+C2
y = F(x)+C3
y = F(x)+C4
如果 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，则 dxxf )(? ? F ( x ) + C 。
当 x <0 时,[ ln (- x )] ? xx 1)1(1 ?-?-?, Cxdxx +-?? )l n ( 1 ( x < 0 )。
合并上面两式，得到 Cxdxx +?? ||ln 1 ( x ? 0) 。
例 1 因为 ( s i n x ) ?? c o s x,所以 Cxx d x +?? s i nc o s 。
例 2 因为 ( x 3 ) ? ? 3 x 2,所以 Cxdxx +?? 323 。
解,当 x >0 时,( ln x )? x1?, Cxdxx +?? ln 1 ( x > 0 )； 解,当 x >0 时,( l n x ) ? x1?, Cxdxx +?? ln 1 ( x > 0 ) ；
当 x <0 时,[ln(-x )] ? xx 1)1(1 ?-?-?, Cxdxx +-?? )ln ( 1 (x < 0 )。 当 x <0 时,[ ln (- x )] ? xx 1)1(1 ?-?-?, Cxdxx +-?? )l n ( 1 ( x < 0 )。 当 x<0 时,[ln(-x)]? xx 1)1(1 ?-?-?, Cxdx +-?? )ln( (x<0)。 当 x <0 时,[ l n ( - x )] ? xx 1)1(1 ?-?-?, Cxx +-?? )l n ( 1 ( x < 0 ) 。
例 1 因为 ( s i n x ) ?? c o s x,所以 Cxx d x +?? s i nc s 。
例 1．
例 2 因为 ( x 3 ) ? ? 3 x 2,所以 Cxdxx +?? 323 。
例 2．
例 3 求函数 xxf 1)( ? 的不定积分。
例 3．
解,当 x >0 时,( ln x )? x1?, Cxdxx +?? ln 1 ( x > 0 )；
解：
-1 O 1 x
y
y=x2
函数 f(x)的原函数的图
形称为 f(x)的积分曲线 。 Cxx d x +??
22
C1
y=x2+C1
C2
y=x2+C2
C3
y=x2+C3
函数 f(x)的积分曲线也
有无限多条 。 函数 f(x)的不
定积分表示 f(x)的一簇积分
曲线, 而 f(x)正是积分曲线
的斜率 。
三、不定积分的几何意义
例 4,求过点 (1,3)，且其切线斜率为 2x的曲线方程。
解,设所求的曲线方程为 y?f(x),则 y??f ?(x) ?2x，
即 f(x)是 2x 的一个原函数 。
因为所求曲线通过点 (1,3)，
故 3?1+C,C?2。
于是所求曲线方程为
y?x2+2。 -2 -1 O 1 2 x
-2
-1
1
2
y
y?x2+2
y?x2(1,3),
因为 Cxx d x +?? 22, 所以 y=f(x)?x2+C。
例 5,? xx d2
解,容易看到 2x'x 3)( 3 ?
两边除以 3，得 23 )(
3
1 x'x ?
求导数的性质
的一个原函数。为得 2331 xx
),())(( x'af'xaf ?
Cxxx +?? 32 31d
y y=x2
x
y 331 xy ?
x
因此,
2,不定积分的性质：
1)
2)
3)
4)
? ?? +?+ xxgxxfxxgxf d)(d)(d))()((
为常数???,d)(d)( ?? ? xxfxxf
)(d)(dd xfxxfx ??
? +? Cxfxx'f )(d)(
3,基本积分公式
积分公式 导数公式
1?
2?
3?
kckx ?+ )'(
?? ? x'x )1()( 1 +?+
0 1)( l n ?? xx'x
0 1))( l n ( ??- xx'x
)( d 为常数kCkxxk +??
)1( 11d 1 -?++? +? ?? ?? Cxxx
Cxxx +?? ||lnd1
1)
2)
3)
5)
6)
7)
5?
6?
7?
1,0
ln
1d
??
+??
aa
Caaxa xx
Cxxx +?? s indc o s
Cxxx +-?? c o sds in
1,0
ln)(
??
??
aa
aa'a xx
x'x c o s)( s i n ?
x'x s i n)( c o s -?
4? xx e'e ?)( Cexe xx +?? d4)
10)
11)
10?
11?
9) 9? Cxxx +-?? c tgdc s c 2 x'x 2c s c)( c tg -?
Cx
x
x +?
-?
a r c s in
1
d
2
Cxxx +?+? a r c tg1 d 2
21
1)( a r c s in
x'x -?
21
1)a r c t g(
x'x +?
8) 8? Cxxx +?? tgds e c 2 x'x 2s e c)tg( ?
4,积分公式的简单应用
例 1,求 ? -+ x
xxxx d)
2(
3
22
解, ? -+ x
xxxx d)
2(
3
22
??? --+? xxxxxx d2dd 3252
Cxxx +++? 22
7
3 1
7
2
3
1
例 2,求 ?
+
++ x
xx
xx d
)1(
1
2
2
解,
?? ++? xxxx d1 d 2
Cxx ++? ||lna r c t a n
? +++ xxx xx d)1(1 2
2
例 3,求
解,
? xx dta n 2
xx d)1( s e c 2? -?
Cxx +-? t a n
? xx dta n 2
?? -? xxx dds e c 2
例 4,求 其中,d)(? xxf f (x)=
x2+1,x<0.
1,1 ?xx
10,1 ?? x
解,
作函数
，待定和原函数
内分别有和在
),(ln,
3
],1[]1,0[),0,()(
2121
3
CCCxCxx
x
xf
+++
+?-?
F(x)=
0,3
3
?+ xxx
1 ln 2 ?+ xCx
10 1 ??+ xCx
而要使 F(x)成为 f (x)在 R上的原函数，必须
F(x)连续，从而 C1＝ 0,C2＝ 1，因此满足
条件的函数为
F(x)=
0,3
3
?+ xxx
.1 1ln ?+ xx
10,?? xx
故 CxFxxf +?? )(d)(
2
7
7
2 x? + C
7
2? x 3 x + C 。
( 2 ) ? x ? dx ? 11+? x ?? + 1 + C,
例 1 ? 31
x
dx ?? x -3 dx 131+-? x -3+1+C 2
2
1
x
-? +C 。 例 1 ? 31
x
dx ?? x - 3 dx 131 +-? x - 3 + 1 + C 2
2
1
x
-? + C 。 例 1 ? 31
x
dx ?? x - 3 dx 131 +-? x + 1+ C 2
2
1
x
-? + C 。
例 2 ? x 2 x dx ?? 2
5
x dx
1
2
5
1
2
5
1 +
+
? x + C 例 2 ? x 2 x dx ?? 2
5
x dx
1
2
5
1
2
5
1 +
+
? x + C
例 3 ?
3
xx
dx
??
3
4
-
x dx
1
3
4
1
3
4
+-
?
+-
x
+ C
3
3
x
-? + C 。 例 3 ?
3
xx
dx
??
3
4
-
x dx
1
3
4
1
3
4
+-
?
+-
x
+ C
3
3
x
-? + C 。 例 3 ?
3
xx
dx
??
3
4
-
x dx
1
3
4
1
3
4
+-
?
+-
x
+ C
3
3
x
-? + C 。
例 1 ? 31
x
dx ?? x - 3 dx 131+-? x - 3+ 1+C 2
2
1
x
-? +C 。
例 5．
例 2 ? x 2 x dx ?? 2
5
x dx
1
2
5
1
2
5
1 +
+
? x + C
例 6．
例 3 ?
3
xx
dx
??
3
4
-
x dx
1
3
4
1
3
4
+-
?
+-
x
+C
3
3
x
-? + 。 例 7．
dxxgxf )]()([ ?? dxxgdxxf ?? ?? )()(, ?? ? dxxfkdxxkf )()( 。
dxxdxx? ?-? 2
1
2
5
5 dxxdxx? ?-? 2
1
2
5
5
Cxx +?-? 2
3
2
7
3
25
7
2 Cxxxx +-?
3
10
7
2 3 。
例 4 dxxx )5( 2 -? dxxx )5( 2
1
2
5
? -?
dxxdxx? ?-? 2
1
2
5
5 dxxdxx? ?-? 2
1
2
5
5
Cxx +?-? 2
3
2
7
3
25
7
2 Cxxxx +-?
3
10
7
2 3 。
例 4 dxxx )5( 2 -? dxxx )5( 2
1
2
5
? -
例 8．
dxxgxf )]()([ ?? dxxgdxxf ?? ?? )()(, ?? ? dxxfkdxxkf )()( 。
dx
xx
x )133( 2-+-? ?
dx
x
dxxdxx d x ???? -+-? 21133
221 x? - 3 x + 3 l n | x | x1+ + C 。
例 5 dx
x
x? -
2
3)1(
? -+-? dxx xxx 2
23 133
练习：
习题五,2(1,3,5,7)
例 5 dx
x
x? -
2
3)1(
? -+-? dxx xxx 2
23 133
例 9．
( 4 ) ? a x dx ? aa
x
ln + C, (6 ) ? c o s x d x ? sin x + C, dx
2s e c? ? t g x + C,
例 6 ? ( e x - 3 c o s x ) d x ? e x - 3 s i n x + C 。
例 7 ? 2 x e x dx ?? (2 e ) x dx )2ln( )2( ee
x
? + C 2ln1 2+?
xx e
+ C 。 例 7 ? 2 x e x dx ?? (2 e ) x dx )2ln( )2( ee
x
? + C 2ln1 2+?
xx e
+ C 。 例 7 ? 2 x e x dx ?? (2 e ) x )ln( )2( ee
x
? + C 2ln1 2+?
xx e
+ C 。
例 8 ? tg 2 x d x ?? ( s e c 2 x - 1) dx ? tg x - x + C 。 例 8 ? tg 2 x d x ?? ( s e c 2 x - 1) dx ? tg x - x + C 。
例 9 ? sin 2 2x dx dxx )c o s1(21 -? ? Cxx +-? )s i n(21 。 例 9 ? sin 2 2x dx dxx )c o s1(21 -? ? Cx +-? )s i n(21 。
例 10 ? dx
xx
2
c o s
2
sin
1
22
?? dxx2s i n
1
4 ? - 4 c t g x + C 。 例 10 ? dx
xx
2
c o s
2
sin
1
22
?? dxx2s i n
1
4 ? - 4 c t g x + C 。
例 6 ? ( e x- 3 c o s x ) d x ? e x- 3 s i n x + C 。
例 10．
例 7 ? 2 x e xdx ? (2 e ) x dx )2ln( )2( ee
x
? + C 2ln1 2+?
xx e
+ C 。
例 11．
例 8 ? tg 2x d x ?? (s e c 2x-1) dx ?tg x-x+C 。
例 12．
例 9 ? sin 22x dx dxx )c o s1(21 -? ? Cxx +-? )s i n(21 。
例 13．
例 10 ? dx
x
2
c o ssin
1
22
?? dxx2s i n
1
4 ? - 4 c t g x + C 。
例 14．
( 3 ) ? x1 dx ? l n |x |+ C, ( 1 1 ) ? 21 1 x+ dx ? a r c t g x + C 。
? ?+
+
? dxxdx
x
1
1
1
2 ? a r c t g x + l n | x |+ C 。
?
+
+-? dx
x
x )
1
11(
2
2
3
1? x 3 - x + a r c t g x + C 。
? ?+
+
? dxxdx
x
1
1
1
2 ? a r c t g x + l n | x |+ C 。
例 12 ?
+
dx
x
x
2
4
1 ? +
+-? dx
x
x
2
4
1
11 ?
+
+-+? dx
x
xx
2
22
1
1)1)(1( 例 12 ?
+
dx
x
x
2
4
1 ? +
+-? dx
x
x
2
4
1
11 ?
+
+-+? dx
x
xx
2
22
1
1)1)(1(
?
+
+-? dx
x
x )
1
11(
2
2
3
1? x 3 - x + a r c t g x + C 。
例 11 ?
+
++ dx
xx
xx
)1(
1
2
2
? + ++? dxxx xx )1( )1( 2
2
? ++? dxxx )11 1( 2 例 11 ? + ++ dxxx xx )1(1 2
2
? + ++? dxxx xx )1( )1( 2
2
? ++? dxxx )11 1( 2 例 11 ? + + dxxx xx )1(1 2
2
? + +? dxx xx ) )1( 2
2
? ++? dxx )11 1(
例 15．
例 12 ?
+
dx
x
x
2
4
1 ? +
+-? dx
x
x
2
4
1
11 ?
+
+-+? dx
x
xx
2
2
1
1)1)(1(
例 16．
y ? ? )257(
x
+ dx xx 507 +? + C 。
解,因为总成本是总成本变化率 y?的原函数，所以
已知当 x?0 时,y?1000，
例 17,某厂生产某种产品, 每日生产的产品的总成
本 y 的 变化率 是日产量 x 的函数 y ? x257 +?,已知固定 ?
成本为 1000元，求总成本与日产量的函数关系。
因此有 C =1000，
作业：
P181,1,2,3,4,5(1) ~ (16).
于是 总成本 y 与日产量 x 的函数 为 y xx 507 +? + 1000 。
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§ 2 换元积分法与分部积分法
第八章 不定积分
§ 2 换元积分法与分部积分法
但是 ? x d x2c o s,s i n Cx +? 2
解决方法 利用复合函数，设置中间变量,
令 xt 2?,21 dtdx ??
? x d x2c o s dtt?? co s21 Ct +? s i n21,2s i n21 Cx +?
一 问题的提出
? +? Cxx d x s i nco s我们知道
xCx 22 c o s)( s i n ??+?
1 22 ?-? dxxx 令 tx s in?
?-? dxxx 22 1 t d ttt c o ssi n1)( si n 22? -
td tt 22 co ss i n??
利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不
定积分是非常有限的；我们可以把复合函数的微分
法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，
得到复合函数的积分法，称为换元积分法 。
目的是去掉根式。
若 ),()( ufuF ?? 则,)()(? +? CuFduuf
设 )( xu ?? （且可微，根据复合函数微分法，）
dxxxfxdF )()]([)]([ ??? ???
? +??? CxFdxxxf )]([)()]([ ???
? ?? )(])([ xuduuf ?
于是可得下述定理
二 第一类换元法
注意 使用此公式的关键在于将
?? +??? CxFxdxfdxxxf ))(()())(()()]([ ?????
设 )( uf 具有原函数，
? ?? dxxxf )()]([ ??? ? )(])([ xuduuf ?
第一类换元公式（ 凑微分法 ）
)( xu ?? 可导，
则有换元公式
定理 1
即将 )())(()()]([ xdxdxxxf ???? 拼凑成?
第一类换元法又称为凑微分法。
解决问题的关键在哪里呢？再看上式的特点
)(')]([))])([( xxfxf ??? ???
外部函数
的导数 中间变量 u
中间变量
u的导数
复合函数求导数得到的函数是两个因子的乘积
外部函数的导数 ?中间变量的导数。
如果从被积函数中你能看出这种形式，问题的
答案就出来了。
例 1,求 ? xxx dc o s3 32
解,函数 3x2cosx3看上去象某复合函数求导而得：
cosx3 ? 3x2
sinu的导数 中间变量 u 中间变量 u的导数
因此猜测 sinx3是一个原函数，求导数验证
233 3c o s)'( s in xxx ??
所以
Cxxxx +?? 332 s i ndc o s3
使用这种方法的基本想法 从被积函数
中找到一个作中间变量的函数，其导数是作
为一个因子出现的。
这个想法在相差一个常数因子时也可以
用。使用这种方法要求想象出复合函数的形
式。
例 2,? + xxe x d12求
解,观察 12 +xxe 中间变量 u=x2+1
但 u=x2+1的导数为
u? = 2x
在被积函数中添加 2个因子
12 2
2
1 +xex
'u u
因此 Cexxe xx +? ++? 11 22
2
1d
换元法
);()(,1 uFIuf 有原函数在区间
IJJxxu ??? )(,),(,2 ??
CxFdxxxf +?? )]([)('))('( ???则
? xxxf d)('))(( ?? ? uuf d)(u=?(x) xu dd ???
例 3,? + xxx d543求
解, ? + xxx d 5 34
Cu +
+
??
+ 1
2
1
1
2
1
1
4
1
5 4 +? xu ? udu
4
1 21
Cx ++? 2
3
4 )5(
6
1
u u du
? +? xxx d4 541 34
重算一遍
?? ++?+ )5(d415d5 4443 xxxxx
Cx ++
+
??
+ 1
2
1
4 )5(
1
2
1
1
4
1
Cx ++? 2
3
4 )5(
6
1
例 4,)0(d
22 ?-? axa
x求
解,能想出原函数的形式吗？
Cxxx +?-? a r c s in1 d 2
记得这个公式吗？如何用这个公式？
??
-
?
- 22 )(1
d
)(1
d
a
x
a
x
a
x
a
x
Cax +? a r c s in
例 5,求 sin2xdx
解,?? -? xxxx d2 2c o s1ds i n 2
?? -? xxx d2c o s21d21
?-? )2(d2c o s4121 xxx
Cxx +-? 2s i n4121
例 8.
解：
? - 22d xa x求
? -++? xxaxaa d)11(21? - 22d xa x
?????? ---++? ?? xa xaxa xaa )(d)(d2 1
? ? Cxaxaa +--+? ||ln||ln2 1
Cxa xaa +-+? ln21
例 9.
解：
? xx ds e c求
?? ? xxxx c o sdds e c
?? xxx dc o sc o s2
)8(|s i n1 s i n1|ln21 由例Cxx +-+?
? -? xx2s i n1 )(s i nd
Cx x +?
?
??
?
? +? 2
c o s
s in1ln
2
1
Cxx ++? |t a ns e c|ln
例 3 求
.dxx? + 23 1
解
,)( ?+?+??+ xxx 2323 12123 1
dxx? + 23 1 dxxx )( ?+?+? ? 2323 121
duu? 121 Cu +? ln2
1
.)l n ( Cx ++? 2321
xu 23 +?
例 4 求,
)ln51(
1 dx
xx? +
解
dxxx? + )ln51( 1 )( l nln51
1 xd
x? +?
)ln51(ln51 151 xdx ++? ?
xu ln21 +? ?? du
u
1
5
1
Cu +? ln51
熟练以后就不需要进行 )( xu ?? 转化了
Cx ++? )ln51l n (51
例 4 求
.
)(
dx
x
x?
+ 21
解
dxxx? + 21 )(
)(])()([ xdxx ++-+? ? 11 11 1 2
21 1
11 C
xCx +++++? )()ln(
dxxx? + -+? 21 11 )(
Cxx ++++? )()ln( 1 11
例 5 求,1 22 dxxa? +
解 dxxa? + 22 1
dx
a
xa ?
+
? 2
2
2
1
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?+
? ?
a
x
d
a
xa
2
1
11
.a rcta n1 Caxa +?
例 6 求 dxx? 2c os
? +? dxx2 2c os1
Cxx ++? 4 2s i n2
dxx? 2c os解
? ?+? ))2(221(21 xxdc oxdx
例 7
解
dxx? 3s in
Cxxxdx
xdxxdxx
+--?--?
?
?
??
)c o s( c o sc o s)c o s(
s i ns i ns i n
32
23
3
1
1
正弦余弦三角函数积分偶次幂降幂齐次幂拆开
放在微分号 d 后面 。
?+? dxe
x1
1 dx
e
edx
ee x
x
xx ?? -
-
- +
?+ 1)1( 1
x
xx
x
deexdee -
--
-
?? +-?-+-? 1 1)(1
)1(1 1 x
x
ede -
-
++-? ?
.)1l n ( Ce x ++-? -
解
例 8 求,1 1 dxe x? +
例 9 求
xdxx? 35 s e ct a n
xdxx? 35 s e ct a n 解
x d xxxx t a ns e cs e ct a n?? 24
xxdx s e cs e c)( s e c 222 1-? ?
xdxxx s e c)s e cs e c( s e c 246 2 +-? ?
Cxxx ++-? 357 315271 s e cs e cs e c
例 10 求
解
.co s1 1? + dxx
? + dxxco s1 1
? --? dxxx2co s1 co s1 ? -? dxx x2s i nco s1
?? -? )(s i ns i n1s i n1 22 xdxdxx
.s i n1co t Cxx ++-?
例 11 求
解
.co ss i n 52? ? x d xx
? ? x d xx 52 c o ss i n
? -?? )( s i n)s i n1(s i n 222 xdxx
? +-? )( s i n)s i ns i n2( s i n 642 xdxxx
.s i n71s i n52s i n31 753 Cxxx ++-?
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇
次项去凑微分,
? ?? )( s inc o ss i n xxdx 42
例 12 求
解
.2c o s3c o s? xdxx
),5co s(co s212co s3co s xxxx +?
?? +? dxxxxdxx )5co s(co s212co s3co s
.5s i n101s i n21 Cxx ++?
利用三角学中的积化和差公式，得
解 ?? dxxs i n1? xdxc s c
? --? )(co sco s1 1 2 xdx
? --? duu 21 1 ? ?????? ++--? duuu 1 11 121
Cuu ++-? 11ln21,co s1 co s1ln21 Cxx ++-?
类似地可推出
例 13 求,c s c? xdx
?? dxxx2s i ns i n
.)t a nln ( s e cs e c Cxxx d x ++??
.)c o tl n ( c s c Cxx +-?
?
-
-? xd
x
c o s
c o s1
1
2 Cx
x +
-
+-? |
c o s1
c o s1|ln
2
1
Cx x +-? |s i nc o s1|ln ? l n |c s c x - c t g x |+ C 。
???????? x d xs e c? ? ++? )2()2c s c ( ?? xdx
Cxx ++-+? |)2(c t g)2c s c (|ln ?? ? l n | s e c x + tg x |+ C 。
?
-
-? xd
x
c o s
c o s1
1
2 Cx
x +
-
+-? |
c o s1
c o s1|ln
2
1
Cx x +-? |s i nc o s1|ln ? l n | c s c x - c t g x |+ C 。
???????? x d xs e c? ? ++? )2()2c s c ( ?? xdx
Cxx ++-+? |)2(c t g)2c s c (|ln ?? ? l n |s e c x + tg x |+ C 。
例 9 x d xc s c? ?? dxxs i n1 ?? dx
x
x
2s i n
s i n 例 9 x d xc s c? ?? dx
xs i n
1 ?? dx
x
x
2s i n
s i n 例 9 x d xc s c? ?? dx
xs i n
1 ?? dx
x
x
2s i n
s i n
例 15．
Caxa +? a r c t a n1 。
例 17,当 a>0时，
dx
xa
?
- 22
1
dx
a
xa
?
?
?
?
?
?
?
-
??
2
1
11
a
x
d
a
x
?
?
?
?
?
?
?
-
?
2
1
1
Cax +? a r c s i n 。
练习,3(8,9,10)
例 10 dx
xa? + 22
1
dx
a
xa
?
?
?
?
?
?
?
+
?
22
1
11
a
x
d
a
xa
?
?
?
?
?
?
?
+
?
2
1
11
例 10 dx
xa? + 22
1
dx
a
xa
?
?
?
?
?
?
?
+
?
22
1
11
a
x
d
a
xa
?
?
?
?
+
?
2
1
11
dx
xa
?
- 22
1
dx
a
xa
?
?
?
?
?
?
?
-
??
2
1
11
a
x
d
a
x
?
?
?
?
?
?
?
-
?
2
1
1
dx
xa
?
- 22
1
dx
a
xa
?
?
?
?
?
?
?
-
??
2
1
11
a
x
d
a
x
?
?
?
?
?
?
?
-
?
2
1
1
例 10 dx
xa? + 22
1
dx
a
xa
?
?
?
?
?
?
?
+
?
22
1
11
a
x
d
a
xa
?
?
?
?
?
?
?
+
?
2
1
11
例 16．
? ? sin 2 x ( 1 - sin 2 x ) 2 d s i n x ?? ( s i n 2 x - 2 s i n 4 x + sin 6 x ) d s i n x
31? sin 3 x 52- sin 5 x 71+ sin 7 x + C 。
例 12 ? sin 3 x dx ?? sin 2 x s i n x d x ? -? (1 - c o s 2 x ) d c o s x 例 12 ? sin 3 x dx ?? sin 2 x s i n x d x ? -? (1 - c o s 2 x ) d c o s x
? - ? d c o s x +? c o s 2 xd c o s x ? - c o s x 31+ c o s 3 x + C 。 ? -? d c o s x +? c o s 2 xd c o s x ? - c o s x 31+ c s 3 x + C 。
例 13 ? sin 2 x c o s 5 x dx ?? sin 2 x c o s 4 x d s i n x
? ? sin 2 x ( 1 - sin 2 x ) 2 d s i n x ?? ( s i n 2 - 2 s i n 4 x + sin 6 x ) d s i n x
例 14 ? c o s 2 x dx ?? 21 (1 + c o s 2 x ) dx Cx ++? 2s i n4121 。 例 14 ? c o s 2 x dx ?? 21 (1 + c o s 2 x ) dx Cx+? 2s i n4121 。
例 12 sin 3 x dx ?? sin x s i n x d x ? -? (1 - c o s 2 x ) d c o s x
例 18．
例 13 ? sin 2 x c o s 5 x dx ?? sin 2 x c o s 4 x d s i n x
例 19．
例 14 ? c s 2 x dx ?? 21 + c o s 2 x ) dx Cx ++? 2s i n4121 。
例 20．
41? ( 23 x + sin 2 x 81+ sin 4 x ) + C 83? x 41+ sin 2 x 321+ sin 4 x + C 。 41? ( 23 x + sin 2 x 81+ sin 4 x ) + C 83? x 41+ sin 2 x 321+ sin 4 x + C 。
41? ? (1 + 2 c o s 2 x + c o s 2 2 x ) dx
41? ? (23 + 2 c o s 2 x 21+ c o s 4 x ) dx
例 15 ? c o s 4 x dx ?? ( c o s 2 x ) 2 dx ?? [21 (1 + c o s 2 x )] 2 dx
21? s i n x 10 1+ sin 5 x + C 。
例 1 6 ? c o s 3 x c o s 2 x dx 21? ? ( c o s x + c o s 5 x ) dx
练习,3(24,28,30)
例 15 ? c o s 4 x dx ?? ( c o s 2 x ) 2 dx ?? [21 (1 + c o s 2 x )] 2 dx
例 21．
例 1 6 ? c o s 3 x c o s 2 x dx 21? ? ( c o s x + c o s 5 x ) dx
例 22．
三 第二类换元法
?? ? duufdxxxf )()()]([ 化为积分??
第一类换元法是通过变量替换
将积分
)( xu ??
下面介绍的第二类换元法是通过变量替
换 将积分)(tx ??
?? ? dtttfdxxf )()]([)( ??化为积分
其中 )( x? 是 )( tx ?? 的反函数,
证 设 为 的原函数,)(t? )()]([ ttf ?? ?
令 )]([)( xxF ???
则 dxdtdtdxF ???? )( )()]([ ttf ?? ??,)(1t???
设 )( tx ?? 是单调的、可导的函数，
? ?
)(
)()]([)(
xt
dtttfdxxf
?
??
???
??则有换元公式
并且 0)( ?? t?,又设 )()]([ ttf ?? ? 具有原函数，
定理 2
第二类积分换元法
? +?? CxFdxxf )()(,)]([ Cx +???
)]([ tf ?? ).( xf?
说明 )( xF 为 )( xf 的原函数,
??
?
根式代换
三角代换分为两种基本类型
? ? )()()]([)( xtdtttfdxxf ??? ??? ??
例 13 求
解
).0(22 ?-? adxxa
td tadx co s??
?? ??- t d tatadxxa c o sc o s22
22,s i n
?? ??-? ttax
tataaxa co ss i n 22222 ?-?-
? ? +?? dttat dta 2 2c os1c os 222
Cttata ++? c oss i n22
22
Cxax
a
xaa
xt
+-+?
?
22
2
2
1
2
a r c s i n
a r c s i nt
22 xa -
xa
1 三角代换
例 14 求
解
).0(1 22 ?-? adxax
令 tax s e c? ?????? ?? 2,0t td ttadx t a ns e c?
?-? dxax 22 1 dtta tta? ?ta nta ns ec
?? tdts e c Ctt ++? )ta nl n( s ec
ta
x 22 ax -
.ln
22
C
a
ax
a
x +
??
?
?
??
?
? -
+?
例 15 求
解
).0(1 22 ?+? adxax
令 tax ta n? td tadx 2s ec??
?+? dxax 22 1 tdtata 2s ecs ec1 ??
?? tdts e c Ctt ++? )ta nl n( s ec
t a
x 22 ax +,ln 22 C
a
ax
a
x +
???
?
???
? ++?
?????? ??-? 2,2t
注 三角代换的目的是化掉根式,
例 16 求
解
.dx
e x? +1
1
xet ?令,dttdx
1?
dttt? -? )( 122 dt
tt? ??
??
?
?
+
-?
1
112
Ctt ++-? )]l n ([ l n 12
,ln tx 2??
2 根式代换
考虑到被积函数中的根号是困难所在，故
dx
e x? +1
1
回代将 xet ?,ln C
e
e
x
x
+??
?
?
?
?
?
?
+
?
1
2原式
当被积函数含有两种或两种以上的
根式 时，可采用令
（其中 为各根指数的最小公倍数）
lk xx,,? ntx ?
n
例 17 求,)1(
1
3 dxxx? +
解 令 6tx ?,6 5 dttdx ??
dxxx? + )1( 1 3? +? dttt t )1( 6 23
5
? +? dttt 2
2
1
6
3 其他形式代换
注 1 积分中为了化掉根式除采用上述代换外还
可用双曲代换,
122 ?- tshtch?
a c h txa s h tx ???,也可以化掉根式
中,令 dxax? + 221 ash tx ?
dxax? + 221
?? dtachtacht ? +?? Ctdt
Caxa rsh +?
.ln
22
C
a
ax
a
x +
???
?
???
? ++?
a ch td tdx ?
注 2 倒数代换 也是常用的代换之一.1tx ?
例 18 求 dx
xx n? + )( 1
1
令 tx 1?,12 dttdx -??
dxxx n? + )( 11 dt
t
t
t
n ?
?
?
?
?
?
-?
+?
?
?
?
?
?
? ? 2
1
1
1 ? +-?
-
dt
t
t
n
n
1
1
Ctn n ++-? ||ln 11,||ln Cxn n ++-?
111
解
例 19 求
解
.dxx xa? -4
22
令 tx 1?,12 dttdx -??
dt
t
t
t
a
?
?
?
?
?
?
-
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
? ?
24
2
2
1
1
1
dttta? --? 122
dxx xa? -4
22
分母的次幂太高
dx
x
xax ? -?
4
22
0,时当
)( 112 1 22222 ---? ? tadtaa
C
a
ta +--?
2
2
3
22
3
1 )(
.)( C
xa
xa +--?
32
2
3
22
3
dx
x
xax ? -?
4
22
0,时当,
)( C
xa
xa +--?
32
2
3
22
3
基
本
积
分
表
续;co slnta n)16( ? +-? Cxx d x;s i nlnco t)17( ? +? Cxxdx;)ta nl n( s ecs ec)18( ? ++? Cxxxdx;)co tl n( c s ccs c)19( ? +-? Cxxx d x;a rcta n11)20( 22 Caxadxxa +?+?;ln2 11)22( 22 Cxa xaadxxa +-+?-?;a r c s i n1)23( 22 Caxdxxa +?-?
.)l n (1)24( 2222 Caxxdxax +?+???;ln2 11)21( 22 Cax axadxax ++-?-?
考虑积分 ? ??c os x dxx
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则,
分部积分公式
四 分部积分法
?
?
-?
?
x d xxx
xxd
s i ns i n
s i n? x dxx c os
?
设函数 )( xuu ? 和 )( xvv ? 具有连续导数,
? ?,vuvuuv ?+??? ? ?,vuuvvu ?-????移项
,dxvuuvdxvu ?? ?-??
.duvuvu d v ?? -?分部积分公式
下面利用两个函数乘积的求导法则，得
出求积分的基本方法 —— 分部积分法,
对此不等式两边求不定积分
即
分部积分公式：
? ?? -??? vduuvudvdx)x(g)x(f
关键：恰当选取 u和确定 v.
如何选取 u:(LIATE法 )
L-----对数函数 I-----反三角函数
A-----代数函数 T-----三角函数
E-----指数函数
根据 LIATE法,f(x)与 g(x)谁排在 LIATE这一字母表
前面就选谁为 u.
即若选 f(x)为 u,则 g(x)dx=dv。 v=∫g(x)dx、或 v'=g(x).
? ? dx)x(g)x(f 使用分部积分公式，若选 f(x)=u,则 v≠g(x)注,而 v'=g(x).
例 1 求积分,c o s? xdxx
解 令,xu?
dvxdx d x ?? s i nc o s
? x d xx c o s ?? xxd s i n ?-? x d xxx s i ns i n,c o ss i n Cxxx ++?
xv s in?
如果令,c o s xu ? dvdxxdx ?? 221
? x d xx c o s ?+? xdxxxx s i n2c o s2
22
显然,选择不当，积分更难进行,vu ?,
一般地, 若被积函数是幂函数和正 (余 )弦函数
的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次 (假定
幂指数是正整数 )
u
一般要考虑下面两点：和选取
是一个关键。和，恰当选取所以应用分部积分法时
果，选取不当，就求不出结和由此可见，如果
dvu
dvu
dvu
? ? 容易积出。要比）（
要容易求得；）（
u d vv d u
v
2
1
例 2 求积分
.? dxxe x
解
,xu ?设,dvdedxe
xx ??
? dxxe x Cexedxexe xxxx +-?-? ?
若被积函数是幂函数和指数函数的乘积,
就考虑设幂函数为 v,使其降幂一次 (假定幂
指数是正整数 )
,xev ?
解过程表述为熟练以后，可将以上求
? dxxe x ?? xxde Cexedxexe xxxx +-?-? ?
例 3 求积分,2? dxex x
解,2xu ?,dvdedxe xx ??
? dxex x2 ?-? 22 dxeex xx
.)(22 Cexeex xxx +--?
xev ?
)( dxexeex xxx ?--? 22
dxxeex xx ?-? 22
xx dexex ?-? 22
例 4 求积分,ln? x dxx
解,ln xu ?,
2
2
dvxdxdx ??
? xd xx ln
?-? xdxxx 2121 2 ln
?? 221 xdxln
Cxxx +-? 22 4121 ln
若被积函数是幂函数和对数函数的乘
积，就考虑设对数函数为,u
例 5 求积分,a r ct a n? x d xx
解 令,a r c t a n xu ? dvxdx d x ?? 2
2
? xdxx a r c t a n )( a r c t a n2a r c t a n2
22
xdxxx ?-?
dxxxxx 2
22
1
1
2a r c t a n2 +?-? ?x
x ar c t an
2
2
?
.)ar c t an(21ar c t an2
2
Cxxxx +--? dxx )1 11(21
2+-?- ?
若被积函数是幂函数和反三角函数的乘
积，就考虑设反三角函数为 u.
例 6 求积分,s i n? xdxe x
解 ? xdxe x s i n ?? xx d es i n ?-? )( s i ns i n xdex xx
?-? x d xexe xx c o ss i n ?-? xx xdexe c o ss i n
?--? )c o sc o s(s i n xdexexe xxx
?--? x d xexxe xx s i n)c o s( s i n
?? x d xe x s i n,)c o s( s i n2 Cxxe
x
+-?
复原法在求不定积分时有着广泛的应用。
例 7 求积分
.s e c? xdx3
解
? xdx3s ec ?? xxd t a ns e c
dxxxxx ?-? 2t a ns e ct a ns e c
dxxxxx )( s e cs e ct a ns e c 12 --? ?
dxxdxxxx ?? +-? s e cs e ct a ns e c 3
xxdxxxx t a ns e clns e ct a ns e c -+-? ? 3
? xdx3s ec Cxxxx +-+? )t a ns e clnt a n( s e c21
例 8 求积分
? ?+? NndxxaI nn,)( 22 1
解 用分部积分法，当 时，有1?n
? -- +? dxxaI nn 1221 1 )(
? +-++? - dxxa xnxa x nn )()()( 22
2
122 12
? +-+-++? -- dxxa axanxa x nnn ])()([)()( 22
2
122122
112
))(()( nnnn IaInxa xI 211221 12 --++? ---
])()([)( 11222 3212 1 -- -++-? nnn Inxa xnaI
.,a r c t a n nIC
a
x
a
I 即得
以此作递推公式，并由
+?
1
1
在 积分的过程中往往要兼用换元法与分部积分法。
例 9 求积分,? dxe x
解
td tdxtxxt 22 ???,,则令
.)(
)(
Cxe
Ctedetdttedxe
x
tttx
+-?
+-??? ???
12
1222
例 10 已知 )( xf 的 一 个 原 函 数 是
2x
e -,求
? ? dxxfx )(,
解 ? ? dxxfx )( ?? )( xx d f,)()( ?-? dxxfxxf
,)( 2? +?? - Cedxxf x? ? ),()( xfdxxf ????
两边同时对 求导,得x,2)( 2xxexf --?
??? ? dxxfx )( ?- dxxfxxf )()(
222 xex --?,Ce +- -
例题与练习
? x d xx a r c t a n5）（
xdxxx a r c t a n21a r c t a n21 22 ?-
dxxxxx ? +-? 2
2
2
12
1a r c t a n
2
1
dxxxxx ? + -+-? 2
2
2
1
11
2
1a r c t a n
2
1
Cxxxx ++-? a r c ta n2121a r c ta n21 2
练习 1.求下列不定积分
?? - x d xxdxxe x ln)2()1( 2
? )21(a r c t a n 2xxd
解,? ?x d xx a r c t a n
常用解题技巧
(Ⅰ )多次使用分部积分法则
? x d xs i nx 2求
解：
?? x d xx s i n2
?+-? 22 c o sc o s x d xxx
?+-? x d xxxx c o s2c o s2
?+-? xxdxx s i n2c o s2
?-+-? x d xxxxx s i n2s i n2c o s2
Cxxxxx +++-? c o s2s i n2c o s2
练习 2.求不定积分
? x d xc o sx 2
例 2.
)(c o s2 xdx?
常用解题技巧
(Ⅱ )还原法
例 3,?
xdxs i ne,x求解：
?? ? xx d es i n原式
x d xexe xx ?-? c o ss i n
xx x d exe ?-? c o ss i n
xdexexe xxx c o sc o ss i n ?+-?
x d xexexe xxx s i nc o ss i n ?--?
?? ? x d xe x s i n2
?? x d xe x s i n即
练习 3,?
x d xc o se x求不定积分
xdexe xx s i ns i n ?? -
1co ss i n Cxexe xx +-
)2c o ss i n21 1 CCCxxe x ?+- （）（
Ⅲ 与换元法相结合
C)1x(e2 x +-
dxe.4 x?例
t d t2dx,tx,tx 2 ???令
?? ? dtte t2原式 ?-? dte2te2 tt
Ce2te2 tt +-? C)1t(e2 t +-?
回代
练习 4.求不定积分 ?
dxxs i n
解：
常用解题技巧
? ttde2
例 5 ? ln x d x ? x ln x -? xd ln x ? x ln x -? dx ? x ln x - x + C 。 例 5 ? ln d x ? x ln x -? xd ln x ? x ln x -? ? x ln x - x + C 。 例 5 ? ln x d x ? x ln x -? xd ln x ? ln -? dx ? x ln x - x + C 。
例 6 ? a r c c o s x d x ? x a r c c o s x -? xd a r c c o s x
?
-
?+? dx
x
xxx
21
1arcco s
? ---?
-
)1()1(21a r c c o s 22
1
2 xdxxx ? x a r c c o s x 21 x-- + C 。 ? ---? - )1()1(
2
1a r c c o s 2212 xdxxx ? x a r c c o s x 21 x-- + C 。
例 7 ? x a r c t g x d x 21? ? a r c t g x d x 2
?
+
?-? dx
x
xxx 222
1
1
2
1a r c t g
2
1
?
+
--? dx
x
xx )
1
11(
2
1a r c t g
2
1
2
2 Cxxxx +--? )a r c t g(
2
1a r c t g
2
1 2 。 ?
+
--? dx
x
xx )
1
11(
2
1a r c t g
2
1
2
2 Cxxxx +--? )a r c t g(
2
1a r c t g
2
1 2 。
练习,5(2,4,6)
例 ? ln xdx ? ln x-? xd ln x ? ln x-? dx ?x x -x +C。
例 9．
例 6 ? a r c c o s x d x ? x a r c c o s x -? xd a r c c o s x
例 10．
例 7 ? x a r c tg x d x 21? ? a r c tg x d x 2
例 11．
解,因为
所以 ? e x sin x d x 21? e x ( s i n x - c o s x ) + C 。
? e x sin x d x ?? sin x d e x ? e x sin x -? e x d sin x ? e x sin x d x ?? x d e x ? e x sin x-? e x d sin x ? e x sin x d x ? ? sin x d e x ? e x sin x -? e x d sin x
? e x s i n x - ? e x c o s x d x ? e x sin x -? c o s x d e x
? e x sin x - e x c o s x +? e x d c o s x ? e x sin x - e x c o s x -? e x sin x d x,
? e x s i n x - ? e x c o s d x ? e x sin x -? c o s x d e x
? e x sin x - e x c o s x +? e x d c o s x ? e x sin x - e x c o s x -? e x sin x d x,
练习：
.c o s? x d xe x求
例 8 求 ? e x sin x d x 。
例 12．
解,因为
所 以 ? s e c 3 x d x 21? ( s e c x tg x + l n | s e c x + tg x |) + C 。
? s e c 3 x d x ?? s e c x s e c 2 x d x ?? s e c xd tg x
? s e c x tg x - ? s e c x tg 2 x d x ? s e c x tg x -? s e c x ( s e c 2 x - 1) dx
? s e c x tg x - ? s e c 3 x d x +? s e c x d x
? s e c x tg x + l n | s e c x + tg x |-? s e c 3 x d x,
? s e c 3 x d x ?? s e c x s e c 2 x d x ?? s e c xd tg x
? s e c x tg x - ? s e c x tg 2 x d x ? s e c x tg x -? s e c ( s e c 2 x - 1) dx
例 9 求 ? s e c 3 x d x 。
例 13．
12 +? x
dx
x d xc s c?
dxxe x
2
? x d xtg?
22 xa
dx
-
?
dxxx 32 -?
?
+ 22 ax
dx
dxxa? - 22
?
- 22 ax
dx
?
-
dx
x
x 1
? x c o s x d x ? xe
x
dx ? x
2
e
x
dx ? x ln x d x
? ln x d x ? a rc c o s x d x ? x a rc t g x d x ? e x s i n x d x
练习,用什么积分法求下列积分？
五 小结
两类积分换元法：
??
?
（一） 凑微分
（二） 三角代换、根式代换、倒数代换
三角代换常有下列规律
22)1( xa -可令 ;s i n tax ?
22)2( xa +可令 ;t a n tax ?
22)3( ax -可令,s e c tax ?
合理选择,正确使用分部积分式vu ?,
dxvuuvdxvu ?? ?-??
注意复原分部积分
若被积函数是幂函数和正 (余 )弦函数
的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一
次 (假定幂指数是正整数 )
u一般地，（ 1）
（ 2） 若被积函数是幂函数和指数函数的乘
积,就考虑设幂函数为 v,使其降幂一次 (假
定幂指数是正整数 )
(4) 若被积函数是指数函数与三角函数乘积时,
二者皆可作为 u,但作为 u的函数的类型不变。
(3) 若被积函数是幂函数和对数函数的乘
积，就考虑设对数函数或反三角函数为 u,
六 思考与判断题
? +-? Cxxdx 2co s2s i n1
2
CxCxdx
x
+?+-?
-
- ? a r c c o sa r c s i n2
1
1
u 函数使用分部积分公式的要点是确定3
4 ? x d xa r cs in 中 xvxu ??,a r cs i n
作业,P189
2(1) ~ (10),3(1) ~ (4).
5 根据 LIATE法，恰当选取 u和确定 v.
第八章 不定积分
§ 3有理函数和可化为有理函数的不定积分
一 问题的提出
.11)1( 11 2 ---+? xxx
2)1(
1
-xx即
dxxx? - 2111 )()(
怎么计算？
关键是被积函数的裂项
？
（ 2）,co ss i n1 s i n? ++ dxxx x很显然不能用
凑微分和分部积分
怎么办？
（ 3） ? + dx
x
x
x
11 去掉根号才能计算，怎样去掉
根号？
两个多项式的商表示的函数,
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xP
++++
++++?
-
-
-
-
1
1
10
1
1
10
)(
)(
?
?其中 m, n 都是非负整数；
naaa,,,10 ? 及
mbbb,,,10 ? 都是实数，并且 00 ?a, 00 ?b,
二 有理函数的积分
(Integration of Rational Function)
有理函数的定义：
假定分子与分母之间没有公因式
,)1( mn ?这有理函数是真分式；
,)2( mn ?这有理函数是假分式；
有理函数有以下性质：
1）利用多项式除法,假分式可以化成一个
多项式和一个真分式之和,
例如，我们可将
1
1
2
3
+
++
x
xx
.
1
1
2 ++ xx
化为多项式与真分式之和
kax
A
)( -
2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和
其中 qpaBA,,,,都是待定的常数,
最简分式是下面两种形式的分式;)( kqpxx BAx ++ +2
042 ?- qpk 为正整数，
（ 1）分母中若有因式,则分解后为 kax )( -
,)()( 121 ax Aax Aax A kkk -++-+- - ?
3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：
其中 kAAA,,,21 ? 都是待定的常数,
特殊地：,1?k 分解后为 ;axA-
（ 2）分母中若有因式, 其中 kqpxx )( 2 ++
则分解后为 042 ?- qp
qpxx
NxM
qpxx
NxM
qpxx
NxM kk
kk ++
+++
++
++
++
+
- 212
22
2
11
)()( ?
其中 ii NM,都是待定的常数 ),,2,1( ki ??,
特殊地,,1?k 分解后为 ;2 qpxx
NMx
++
+
便于求积分必须把真分式化为部分分式之和，同
时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定
系数法
65
3
2 +-
+
xx
x
)3)(2(
3
--
+?
xx
x,
32 -+-? x
B
x
A
??
?
?+-
?+?
,3)23(
,1
BA
BA,
6
5
??
?
?
-??
B
A
65
3
2 +-
+?
xx
x,
3
6
2
5
-+-
-?
xx
例 1
)3)(2(
)2()3(
--
-+-?
xx
xBxA
)3)(2(
)23()(
--
+-+?
xx
BAxBA
2)1(
1
-xx
,1)1( 2 -+-+? x Cx BxA
)1()2()(1 2 AxCABxCA +--++?
.11)1( 11 2 ---+? xxx2)1( 1-? xx
例 2
通分以后比较分子得：
?
?
?
?
?
?
?--
?+
1
02
0
A
CAB
CA
? 1,1,1 -??? CBA
65
3
2 +-
+
xx
x
)3)(2(
3
--
+?
xx
x,
32 -+-? x
B
x
A
),2()3(3 -+-?+ xBxAx?
),23()(3 BAxBAx +-+?+?
??
?
?+-
?+?
,3)23(
,1
BA
BA,
6
5
??
?
?
-??
B
A
65
3
2 +-
+?
xx
x,
3
6
2
5
-+-
-?
xx
例 1
2)1(
1
-xx
,1)1( 2 -+-+? x Cx BxA
)1()1()1(1 2 -++-? xCxBxxA
代入特殊值来确定系数 CBA,,
取,0?x 1?? A 取,1?x 1?? B
取,2?x BA,并将 值代入 )1( 1-?? C
.11)1( 11 2 ---+? xxx2)1( 1-? xx
例 2
例 3
.
1
5
1
5
2
21
5
4
2x
x
x +
+-
+
+
?
)1)(21(
1
2xx ++
),21)(()1(1 2 xCBxxA ++++?
,)2()2(1 2 ACxCBxBA +++++?
?
?
?
?
?
?+
?+
?+
,1
,02
,02
CA
CB
BA
,51,52,54 ?-??? CBA
,121 2x CBxxA + ++?
)1)(21(
1
2xx ++?
整理得
例 4 求积分,)1( 1 2 dxxx? -
dxxx? - 2)1( 1 dxxxx? ?
?
?
??
?
---+? 1
1
)1(
11
2
dxxdxxdxx ??? ---+? 11)1( 11 2
.)1l n(11ln Cxxx +----?
解
例 5 求积分
解
.)1)(21( 1 2? ++ dxxx
dx
x
x
dx
x ?? +
+-
+
+
? 2
1
5
1
5
2
21
5
4
? ++ dxxx )1)(21( 1 2
dxxdxxxx ?? +++-+? 22 1 1511 251)21l n (52
.a rcta n51)1l n(51)21l n(52 2 Cxxx +++-+?
例 6 求积分
解
.
1
1
632
dx
eee
xxx?
+++
令 6xet ?,ln6 tx ??,6 dttdx ?
dx
eee
xxx?
+++ 6321
1
dttttt 61 1 23 ?+++? ?
dtttt? ++? )1)(1( 16 2 dt
t
t
tt? ??
??
?
?
+
+-
+-? 21
33
1
36
Ctttt +-+-+-? a rcta n3)1l n(23)1l n(3ln6 2
dttttt? ?????? ++-+-? 21 331 36
.)a r c t a n (3)1l n (23)1l n (3 636 Ceeex
xxx
+-+-+-?
2
3)1l n(3ln6 -+-? tt dt
tt
td? ?
+-+
+
22
2
1
13
1
)1(
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出
现三类情况：
)1( 多项式； ;)()2( nax A- ;)()3( 2 nqpxx NMx ++ +
讨论积分,)( 2? ++
+ dx
qpxx
NMx
n
,42
22
2 pqpxqpxx -+?
?
??
?
? +?++?
令 tpx ?+ 2
,4
2
2 pqa -?,
2
MpNb -?则
? ++ +? dxqpxx NMx n)( 2
? +? dtat Mt n)( 22 ? ++ dtat b n)( 22
,222 atqpxx +?++,bMtNMx +?+记
,1)2( ?n ? ++
+ dx
qpxx
NMx
n)( 2
122 ))(1(2 -+--? natn
M,
)(
1
22? ++ dtatb n
这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数,
结论 有理函数的原函数都是初等函数,
,1)1( ?n ? ++ + dxqpxx NMx2
)l n(2 2 qpxxM ++? ;2a r c t a n Ca
px
a
b +++
)()( 111 2 -++-? xCxBxxA
.11)1( 11 2 ---+? xxx2)1( 1-? xx
我们也可以用代值确定法来得到最简分式，
比如前面的例 2，两端去分母后得到;1,1 ??? Bxx 值，令代入特殊的;1,0 ??? Ax令;1,2 -??? Cx令
例 3
.
1
5
1
5
2
21
5
4
2x
x
x +
+-
+
+
?
)1)(21(
1
2xx ++
),21)(()1(1 2 xCBxxA ++++?
,)2()2(1 2 ACxCBxBA +++++?
?
?
?
?
?
?+
?+
?+
,1
,02
,02
CA
CB
BA
,51,52,54 ?-??? CBA
,121 2x CBxxA + ++?
)1)(21(
1
2xx ++?
整理得
例 4 求积分
.2 1 23 dxxxx? +-
dxxx? - 2)1( 1
dxxxx? ?
?
?
??
?
---+? 1
1
)1(
11
2
dxxdxxdxx ??? ---+? 11)1( 11 2
.)1l n(11ln Cxxx +----?
解 ?
+-? dxxxx 23 2
1
由前面的裂项
例 5 求积分
解
.)1)(21( 1 2? ++ dxxx
dx
x
x
dx
x ?? +
+-
+
+
? 2
1
5
1
5
2
21
5
4? ++
dxxx )1)(21( 1 2
dxxdxxxx ?? +++-+? 22 1 1511 251)21l n (52
.a rcta n51)1l n(51)21l n(52 2 Cxxx +++-+?
由前面的裂项得
.
1
5
1
5
2
21
5
4
2? +
+-
+
+
? dx
x
x
x
三角有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 )co s,(s i n xxR
2co s2s i n2s i n
xxx ??
2
s e c
2
t a n2
2 x
x
?,
2
t a n1
2
t a n2
2 x
x
+
?
,2s i n2co sco s 22 xxx -?
二、三角函数有理式的积分
2
s e c
2
t a n1
c o s
2
2
x
x
x
-
?,
2
t a n1
2
t a n1
2
2
x
x
+
-
?
令 2ta n xu ?
,1 2s i n 2uux +?,11c o s 2
2
u
ux
+
-?
ux a r c t a n2?
duudx 21 2+?
? ?dxxxR )co s,(s i n,1 211,1 2 22
2
2 duuu
u
u
uR
+??
??
?
?
+
-
+?
（万能置换公式）
例 7 求积分,co ss i n1 s i n? ++ dxxx x
解,1 2s i n 2uux +?
2
2
1
1c o s
u
ux
+
-?,
1
2
2 duudx +?
由万能置换公式
? ++ dxxx x co ss i n1 s i n duuu u? ++? )1)(1( 2 2
duuu uuu? ++ --++? )1)(1( 112 2
22
duuu uu? ++ +-+? )1)(1( )1()1( 2
22
duuu? ++? 211 duu? +- 1 1
ua r cta n? )1l n(21 2u++ Cu ++- |1|ln
2t an
xu ??
2
x? |
2s e c|ln
x+,|
2ta n1|ln C
x ++-
例 6 求积分
.)c o s1(s i n s i n1? ++ dxxx x
解,1 2s i n 2uux +?
2
2
1
1c o s
u
ux
+
-?,
1
2
2 duudx +?
由万能置换公式
duu uu? ++? 1221
2?
+
+ dx
xx
x
)c o s1(s i n
s i n1
Cuuu +++? )ln22(21
2
C
xx
x
+++?
2
t a nln
2
1
2
t a n
4
2
t a n 2
例 7 求积分
.s i n1 c o s? + dxxx
解
?
+
+
++
-
?
)
1
2
1(
1
2
1
1
2
22
2
u
u
u
du
u
u
? + dxxxs i n1 c o s
duuu u? ++ -? )1)(1( )1(2 2??
一直做下去，一定积出来，只是太麻烦。
? + dxxxs i n1 c o s ?
+
+?
x
xd
s i n1
)s i n1( Cx ++? )s i n1l n (
由此可以看出，万能代换法不是最简方法，
能不用尽量不用。
例 8 求积分,s i n14? dxx
解（一）,2ta n xu ?,1 2s i n 2uux +?,1 2 2 duudx +?
? dxx4s i n1 duu uuu? +++? 4 642 8 331
Cuuuu +++--? ]3333 1[81
3
3,
2
t a n
24
1
2
t a n
8
3
2
t a n8
3
2
t a n24
1
3
3 C
xx
xx
+?
?
?
?
?
?
++-
?
?
?
?
?
?
-?
解（二） 修改万能置换公式,xu ta n?令
,1s i n 2uux +?,1 1 2 duudx +?
? dxx4s i n1
du
u
u
u
? +?
?
?
?
?
?
?
+
? 24
2
1
1
1
1
duu u? +? 4
21
Cuu +--? 13 1 3,co tco t31 3 Cxx +--?
解（三） 可以不用万能置换公式,
? dxx4s i n1 dxxx )co t1(cs c 22? +?
x d xxx d x 222 c s cc o tc s c? ?+? )(c o t xd?
.co t31co t 3 Cxx +--?
结论 比较以上三种解法,便知万能置换不一定
是最佳方法,故三角有理式的计算中先考
虑其它手段,不得已才用万能置换,
例 9 求积分,s i n3s i n s i n1? ++ dxxx x
解 2c o s2s i n2s i ns i n
BABABA -+?+
? ++ dxxx xs i n3s i n s i n1 ? +? dxxx xco s2s i n2 s i n1
? +? dxxx x 2co ss i n4 s i n1
?? dxxx 2co ss i n 141 ?+ dxx2co s141
? +? dxxx xx 2
22
c o ss i n
c o ss i n
4
1
?+ dxx2co s141
?? +? dxxdxxx s i n141co ss i n41 2?+ dxx2co s141
?? +-? dxxxdx s i n141)(co sco s141 2?+ dxx2co s141
xco s4
1?
2t a nln4
1 x+,ta n
4
1 Cx ++
讨论类型 ),,( n baxxR + ),,( n ecx baxxR ++
解决方法 作代换去掉根号,
例 10 求积分 ? + dxx xx 11
解 令 tx x ?+1,1 2tx x ?+?
三、简单无理函数的积分
,112 -? tx ? ?,12 22 --? t td tdx
? + dxx xx 11 ? ? ? ? dtt ttt? ---? 222 121? --? 12 2
2
t
dtt
dtt? ?????? -+-? 1112 2 Cttt ++---? 11ln2
.11ln12
2
C
x
xx
x
x +
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
? -+-+-?
例 11 求积分,11
1
3? +++ dxxx
解 令 16 +? xt,6 5 dxdtt ??
? +++ dxxx 3 11 1 dtttt 523 61 ?+? ?
dtt t? +? 16
3
Ctttt ++++-? |1|ln6632 23
.)11l n (6131312 663 Cxxxx +++++++-+?
说明 无理函数去根号时,取根指数的 最小公倍数,
例 12 求积分,1213? +++ dxxx
x
解 先对分母进行有理化
原式 ? +-++++ +-+? dxxxxx xxx )1213)(1213( )1213(
? +-+? dxxx )1213(
)13(1331 ++? ? xdx )12(1221 ++- ? xdx
.)12(31)13(92 2
3
2
3
Cxx ++-+?
例 9 求积分,
21
1
3? ++ dxx
解 令 23 +? xt,3
2 dxdtt ??
dt
t
t?
+
?
1
3 2 dt
t
t?
+
+-?
1
113 2
Cttt +++-? |)1|ln2(3
2
.)12l n (3)2(3)2(23 333 2 Cxxx +++++-+?
? ++ dxx3 21 1
说明 无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数,
例 10 求积分
.1 3?
+
dx
xx
解 令 xt ?6,6 5 dxdtt ??
? + dxxx 31 ? +? dttt
t
)1(
6
23
5
? +? dttt 2
2
1
6
Ctt +-? )a r c t a n(6?
+-? dtt )1
11(6
2
Cxx +-? )a r c t a n(6 66
简单无理式的积分去掉根式,
（注意：关键为了去掉根号）
有理式分解成部分分式之和的积分,
（注意：必须化成真分式）
三角有理式的积分,（万能置换公式）
（注意：万能公式并不万能）
四、小结
五、作业 P198,1 (1)~(6),2 (1)~(6).
六 思考、判断题
1 dx
x
xxx
?
+ 53
2
运用无理根式代换计算
2 dx
xx? + )1(
1
1
11
)1(
1
+-?+ xxxx
被积函数裂项可以直接判断的，不必运用待定系数法
例如
思考题
将分式分解成部分分式之和时应注意什么？
思考题解答
分解后的部分分式必须是最简分式,
一,填空题：
1, ?? ?
?
?
?
?
?
+-
+
+
+
?
+
dx
xx
CBx
x
A
dx
x 111
3
23
，其 ?A ____,
?B ____ __ _ _,?C ___ __ _ __ __ ；
2,
? ? ? ? ? ?
?? ?
?
?
?
?
?
-
+
+
+
+
?
-+
+
dx
x
C
x
B
x
A
dx
xx
x
11111
1
22
2
,
其中
?A
____ _,
?B
__ ___,?C ___ ___ _ ；
3,计算 ?
+
,
s i n2 x
dx
可用万能代换 ?xs i n __ _ __ __ ___ _,
?dx _ _ __ __ ___ __ __ ；
4,计算 ?
++
,
mbax
dx
令 ?t ___,?x __ _,?dx ___ _,
练习题
5,有理函数的原函数都是 __ ___ __ __,
二、求下列不定积分：
1,
? ?? ?? ?
?
+++ 321 xxx
x d x； 2,
? ?? ?
?
++ xxx
dx
22
1；
3,
?
+
dx
x
4
1
1； 4,
?
+ x
dx
2
s i n3；
5, ?
+- 5c o ss i n2 xx
dx； 6, ?
++
-+
dx
x
x
11
11；
7, ?
+
-
x
dx
x
x
1
1； 8, ?
-+
3
42
)1()1( xx
dx
,
三、求下列不定积分 （用以前学过的方法）：
1,
? ?
?
-
dx
x
x
3
1； 2,
?
+
+
dx
xx
x
s i n
c o s1；
3,
?
+
24
1 xx
dx； 4,
?
dx
x
x
3
2
c o s
s i n；
5,
?
+
dx
x
x
28
3
)1(； 6, dx
x
x
?
+ s i n1
s i n；
7,
?
+
dx
xxx
x
)(
3
3； 8,
?
+
dx
e
xe
x
x
2
)1(；
9,
?
++ dxxx
22
)]1[l n ( ； 10,
?
- xdxx a r c s i n1
2；
11, dx
xx
xx
?
+ c o ss i n
c o ss i n； 12, ?
-- ))(( xbax
dx
.
二,1, C
xx
x
+
++
+
3
4
)3)(1(
)2(
ln
2
1；
2, Cx
xx
x
+-
++
a r c ta n
2
1
)1()1(
ln
4
1
22
4；
3, )12a r c ta n (
4
2
12
12
ln
8
2
2
2
++
+-
++
x
xx
xx
C+-+ )12a r c t a n (
4
2；
一,1, 2,1,1 - ； 2, -1,
2
1
,
2
1； 3,
22 1
2
,
1
2
u
du
u
u
++；
4, bax +,
a
bt -2
,dt
a
t2； 5,初等函数,
练习题答案
4, C
x
+
3
ta n2
a r c ta n
32
1；
5, C
x
+
+
5
1
2
ta n3
a r c ta n
5
1；
6, Cxxx +++++- )11l n (414 ；
7,
xx
xx
++-
+--
11
11
ln C
x
x
+
+
-
+
1
1
a r c ta n2,或
Cx
x
x
+-
--
a r c s i n
11
ln
2；
8, C
x
x
+
-
+
-
3
1
1
2
3
.
三,1, C
xx
+
-
-
- 1
1
)1(2
1
2；
2, Cxx ++ )si nl n ( ；
3, C
x
x
x
x
+
+
+
+
-
2
3
32
1
3
)1(；
4, Cxx
x
x
++- )t a nl n ( s e c
2
1
c o s2
s i n
2；
5, Cx
x
x
++
+
4
8
4
a r c ta n
8
1
)1(8；
6, Cx
x
++
+
2
ta n1
2
,或
Cxxx +-+ t a ns e c；
7, C
x
x
+
+
66
)1(
ln ；
8, Ce
e
xe
x
x
x
++-
+
)1l n (
1；
9,
Cxxxx
xxx
+++++-
++
2)1l n (12
)]1[l n
22
22；
10, xx
xx
a r c s i n1
24
)( a r c s i n
2
2
-+ C
x
+-
4
2；
11, C
x
x
xx +
+
+
+-
s i n21
c o s21
ln
22
1
)c o s( s i n
2
1；
12, C
xb
ax
+
-
-
a r c t a n2,
