第二章 数列极限
§ 1 数列极限概念
§ 2 收敛数列的性质
§ 3 数列极限存在的条件
第二章 数列极限
§ 1 数列极限概念
“割之弥细，所
失弥少，割之又
割，以至于不可
割，则与圆周合
体而无所失矣”
1、割圆术：
——刘徽
播放
?概念的引入
R
正六边形的面积 1A
正十二边形的面积 2A
????
正 形的面积 126 ?? n nA
??,,,,,321 nAAAA S
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 ?X第一天截下的杖长为;2 121 22 ??X为第二天截下的杖长总和
????;2 12 121 2 nnXn ???? ?天截下的杖长总和为第
nnX 2
11 ?? 1
?数列的概念
如果按照某一法则,对每一 n?N?,对应着一个确定的
实数 xn,则得到一个序列
x1,x2,x3,???,xn,???,
这一序列叫做数列,记为 {xn},其中第 n项 xn叫做数列的一
般项,
数列举例,
2,4,8,???,2n,???;
{ n21 } ? 21,41,81,? ? ?,n21,? ? ? ;
1,?1,1,???,(?1)n?1,???.
2
1,
3
2,
4
3,? ? ?,
1?n
n ?????;
注意,数列对应着数轴上一个点列,可看作一动
点在数轴上依次取,,,,,21 ?? nxxx
1x 2x3x 4x nx;,)1(,,1,1,1 1 ?? ??? n})1{( 1?? n;,)1(,,34,21,2
1
?? nn
n ??? })1({
1
n
n n ???
???,333,,33,3 ????
x1 x5x4 x3 x2xn
数列 {xn}可以看作数轴上的一个动点,它依次取数轴
上的点 x1,x2,x3,???,xn,???.
?数列的几何意义
?数列
如果按照某一法则,对每一 n?N?,对应着一个确定的
实数 xn,则得到一个序列
x1,x2,x3,???,xn,???,
这一序列叫做数列,记为 {xn},其中第 n项 xn叫做数列的一
般项,
数列 {xn}可以看作自变量为正整数 n的函数 ?
xn?f(n),n?N?.
?数列与函数
?数列
如果按照某一法则,对每一 n?N?,对应着一个确定的
实数 xn,则得到一个序列
x1,x2,x3,???,xn,???,
这一序列叫做数列,记为 {xn},其中第 n项 xn叫做数列的一
般项,
.})1(1{
1
时的变化趋势当观察数列 ????
?
nn
n
?数列的极限
播放
问题, 当 无限增大时,是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
nxn
.1)1(1,
1
无限接近于无限增大时当 nxn
n
n
??
??
通过上面演示实验的观察,
例如
当 n无限增大时,如果数列 {xn}的一般项 xn无限接近
于常数 a,则常数 a称为数列 {xn}的极限,或称数列 {xn}收
敛 a,记为
ax nn ???lim,
?数列极限的通俗定义
11lim ???? nnn,0
2
1lim ?
?? nn,1
)1(lim 1 ??? ?
?? n
n n
n,?
11lim ???? nnn,021lim ?
?? nn,1
)1(lim 1??? ?
?? n
n
n,?
问题,,无限接近”意味着什么?如何用数学语言
刻划它,
当 n无限增大时,xn无限接近于 a,
?当 n无限增大时,|xn?a|无限接近于 0,
?当 n无限增大时,|xn?a|可以任意小,?要多小就能有多小,
?当 n增大到一定程度以后,|xn?a|能小于事先给定的任意
小的正数,
?分析
因此,?如果 n 增大到一定程度以后,|xn?a|能小于事先
给定的任意小的正数,?则当 n无限增大时,xn无限接近于常
数 a.
当 n无限增大时,如果数列 {xn}的一般项 xn无限接近
于常数 a,则数列 {xn}收敛 a.
,1001给定,1 0 011 ?n由,1 0 0时只要 ?n,10011 ??nx有
,10001给定,1 0 0 0时只要 ?n
,1000011 ??nx有,1 0 0 0 01给定,1 0 0 0 0时只要 ?n
,1 0 0 011 ??nx有
,0??给定,])1[( 时只要 ??? Nn,1 成立有 ???nx
?? 1nx? nnn 11)1( 1 ?? ?
如上例
?数列 极限的精确定义
设 {xn}为一数列,如果存在常数 a,对于任意给定的正
数 ?,总存在正整数 N,使得当 n>N 时,不等式
|xn?a |<?
总成立,则称常数 a是数列 {xn}的极限,或者称数列 {xn}收
敛于 a,记为
如果不存在这样的常数 a,就说数列 {xn}没有极限,
ax nn ???l i m 或 x n ? a ( n ? ? ),
或 说 数列 { x n } 是发散的,习惯上也说 nn x??l i m 不存在,
????0,?N?N?,当 n?N时,有 |xn?a|??,
ax nn ???lim
?极限定义的简记形式
aa?? a??( )
?数列极限的几何意义
ax nn ???lim
????0,?N?N?,当 n?N时,有 |xn?a|??,
?存在 N?N?,当 n<N时,点 xn一般落在邻域 (a??,a??)外 ?
?当 n>N时,点 xn全都落在邻域 (a??,a??)内 ?
? 任意给定 a的 ?邻域 (a??,a??),
分析,
例 1 例 1, 证明 1)1(lim 1 ??? ?
?? n
n n
n
,
证明
| x n ? 1| ? ?????? ? nnn n 1|1)1(| 1,
所以 1)1(lim 1 ??? ??? nn nn,
证明 ? 因为 ? ? ? 0,? ]1[ ??N ? N ?,当 n ? N 时,有 证明 ? 因为 ? ? ? 0,? ]1[ ??N ? N ?,当 n ? N 时,有 证明 ? 因为 ? ? ? 0,? ]1[ ??N ? N ?,当 n ? N 时 有
ax nn ???lim
????0,?N?N?,当 n?N时,有 |xn?a|??,
对于 ? ?? >0,?要使 | x n ? 1| ? ??,只要 ??n1,即 ?1?n,
| x n ? 1| ? nnn
n 1
|1)1(|
1
????
?
,
对于 ? ?? >0,?要使 | x n ? 1| ? ??,只要 ??n1,即 ?1?n,
因为 ? ? ? 0,?? ]11[ ?? ?N ? N ?,当 n ? N 时,有
例 2
例 2, 证明 0)1( )1(lim 2 ????? n nn,
分析,
| x n ? 0 |? ????????? 11)1( 1|0)1( )1(| 22 nnn n,
所以 0)1( )1(lim 2 ????? n nn,
证明
ax nn ???lim
????0,?N?N?,当 n?N时,有 |xn?a|??,
| x n ? 0| |0)1( )1(| 2 ???? n
n
1
1
)1(
1
2 ???? nn,
对于 ? ? ? 0,要使 | x n ? 0| ? ??,只要 ??? 11n,即 11 ?? ?n, 对于 ? ? ? 0,要使 | x n ? 0| ? ??,只要 ??? 11n,即 11 ?? ?n,
因为 ? ? ? 0,? ? ]11[ ?? ?N ? N ?,当 n ? N 时,有 因为 ? ? ? 0,? ? ]11[ ?? ?N ? N ?,当 ? N 时,有
分析,
例 3 设 |q|<1,证明等比数列
1,q,q2,???,qn?1,???
的极限是 0.
对于 ???0,要使
|xn?0|?|qn?1?0|?|q|n?1<?,
只要 n>log|q|? ?1就可以了,
所以 0lim 1 ???? nn q,
|qn?1?0|?|q|n?1<?,
当 n?N时,有因为 ???0,证明 ?N?[ log|q|? ?1]?N?,
ax nn ???lim
????0,?N?N?,当 n?N时,有 |xn?a|??,
例 4,lim),( CxCCx n
nn ?? ??证明为常数设
证
Cxn ? CC ??,成立??
,0??任给
所以,
0?
,n对于一切自然数
.lim Cx nn ???
说明,常数列的极限等于同一常数,
小结, 用定义证数列极限存在时,关键是任意给
定 寻找 N,但不必要求最小的 N.,0??
例 5
.lim
,0lim,0
ax
axx
nn
nnn
?
???
??
??
求证
且设
证,0??任给
.lim ax nn ???故
,l i m ax nn ????
,1?????? axNnN n时恒有使得当
ax
axax
n
n
n ?
???从而有
a
ax n ??
a
1?? ??
例 6.证明 0c o s1l im ?
??
?nn
n
证,?? >0 ) |0c o s1| ?? ??n
n
.1|0c o s1||0| nnnx n ???? ?因 ??? |0| nx要使
,1 ??n只须
则当 n>N时,有
.|0c o s1||0| ?? ???? nnx n
(要证 ?N,当 n>N时,有
],1[.1 ?? ?? Nn 取即
.0c o s1l i m ?
??
?nn
n
故
若 ?? >0,?正整数 N,使得当 n>N 时,
都有 |xn?a|<?,,lima xn n? ? ? 则记
例 7.
..1lim
22
为常数其中证明 a
n
an
n
??
???
证,,1,22 ??? a
n
anx
n
?? >0,由于
n
nan
n
anax
n
??????? 2222 1||
)( 22
2
nann
a
??
?,
2
n
a?
要使 | xn ? a | <?,
,
2
??na只须,
2
即可即 ?an ?
,
2
?
?
?
?
?
??
?
aN取正整数 则当 n > N 时,有
???? 1
22
n
an
.1li m
22
??
??? n
an
n
故
例 8.
.0.1lim 为常数其中证明 ????? aann
证, (1) 设 a = 1,结论显然成立,
(2) 设 a > 1,),0(1 ???
nnn a ??令
从而
nnnnnnnnnn CCCa ???? ?????????? 2211)1(
> 1+ n?n
.1nan ???得
?? >0,
,11 naa nn ???? ?
,1 ???n a要使,1 ???
n
a只须,1 即可即
?
?? an
.1,,1 ?? ????
?
?
??
? ?? n aNnaN 有时则当取
).1(1lim ????? aann 其中故
(3) 设 0 < a < 1,
.11lim)2(,11 ??
???
n
n aa
知由则
即 ?? >0,?N,当 n>N时,有
.11 ???n
a
.1 ???
n
n
a
a即
nn aa ??? 1或
??, (因 0 < a < 1)
综合得
).0(.1l im ????? aann
).10(.1lim ?????? aann
? 小结
(1),数列极限的定义 ;
(2),数列极限的几何意义 ;
(3),应用数列极限的定义证明数列极限的方法,
? 作业 P27,1,2,3,5.
第二章 数列极限
§ 2 收敛数列的性质
收敛数列的性质
?定理 1(极限的唯一性 )
如果数列 {xn}收敛,那么它的极限唯一,
证明 ? 假设同时有 ax nn ???lim 及 bx nn ???l i m,? 且 a < b,
按极限的定义,对于 2 ab ??? >0,存在充分大的 正整数 N,
使当 n>N时,同时有
| x n ? a |< 2 ab ??? ?及 | x n ? b |< 2 ab ???,
因此同时有
2
abx
n
?? 及
2
abx
n
??,
这是不可能的, 所以只能有 a?b.
证明
注 ?
如果 ?M?0,使对 ?n?N?,有 |xn|?M,则称数列 {xn}是有
界的 ;?如果这样的正数 M不存在,?就说数列 {xn}是无界的,
收敛数列的性质
?定理 1(极限的唯一性 )
如果数列 {xn}收敛,那么它的极限唯一,
?定理 2(收敛数列的有界性 )
如果数列 {xn}收敛,那么数列 {xn}一定有界,
1.如果数列 {xn}收敛,那么数列 {xn}一定有界, 发散
的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛?
2.数列 1,?1,1,?1,???,(?1)N?1,??? 的有界性与收敛
如何？
?讨论
收敛数列的性质
?定理 1(极限的唯一性 )
如果数列 {xn}收敛,那么它的极限唯一,
?定理 2(收敛数列的有界性 )
如果数列 {xn}收敛,那么数列 {xn}一定有界,
收敛数列的性质
?定理 1(极限的唯一性 )
如果数列 {xn}收敛,那么它的极限唯一,
?定理 2(收敛数列的有界性 )
如果数列 {xn}收敛,那么数列 {xn}一定有界,
?定理 3(收敛数列的保号性 )
如果数列 {xn}收敛于 a,且 a?0(或 a?0),那么存在正整
数 N,当 n?N时,有 xn?0(或 xn?0).
?推论
如果数列 {xn}从某项起有 xn?0(或 xn?0),且数列 {xn}收
敛于 a,那么 a?0(或 a?0).
?数列极限的四则运算法则
?定理 5 如果 j(x)?y(x),而 limj(x)?a,limy(x)?b,那么 a?b.
?不等式
( 1 ) BAyx nnn ????? )(lim ;
( 2 ) BAyx nnn ????? )(lim ;
( 3 ) 当 0?ny ( n ? 1,2,? ? ?) 且 B ? 0 时,BAyx
n
n
n
?
??
l i m,
?定理 4 设有数列 {xn}和 {yn},如果
Ax n
n
?
??
lim,By n
n
?
??
l i m,
那么
注,
在数列 {xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原
数列中的先后次序,这样得到的一个数列称为原数列 {xn}
的子数列,
?定理 5(收敛数列与其子数列间的关系 )
如果数列 {xn}收敛于 a,那么它的任一子数列也收敛,
且极限也是 a.
例如,数列 {xn}? 1,?1,1,?1,? ? ?,(?1)n?1? ? ?的一个子
数列为 {x2n}??1,?1,?1,???,(?1)2n?1? ??.
>>>
1.数列的子数列如果发散,???原数列是否发散 ???
2.数列的两个子数列收敛,??但其极限不同,???原数列
的收敛性如何 ???
3.发散的数列的子数列都发散吗？
4.如何判断数列 1,?1,1,?1,???,(?1)N?1,???是发散
的？
?定理 5(收敛数列与其子数列间的关系 )
如果数列 {xn}收敛于 a,那么它的任一子数列也收敛,
且极限也是 a.
?讨论
? 小结
(1),唯一性 ;
(2),有界性 ;
(3),保号性 ;
? 作业 P33,1,2,3,4,6.
(4),四则运算法则 ;
(5),不等式性 ;
(6),收敛数列与其子列的关系,
第二章 数列极限
§ 3 数列极限存在的条件
数列极限存在的条件
注,
如果 xn?xn?1,n?N?,就称数列 {xn}是单调增加的,
如果 xn?xn?1,n?N?,就称数列 {xn}是单调减少的,
单调增加和单调减少数列统称为单调数列,
?定理 1(单调有界定理 )
单调有界数列必有极限,
提问,
收敛的数列是否一定有界？
有界的数列是否一定收敛？
M
?定理 1(单调有界定理 )
单调有界数列必有极限,
?定理 1的几何解释
x1 x5x4x3x2 xn
A
以单调增加数列为例,数列 的点只可能向右一个方向移
动,或者无限向右移动,或者无限趋近于某一定点 A,而对有界
数列只可能后者情况发生,
数列极限存在的条件
数列极限存在的条件
?定理 1(单调有界定理 )
单调有界数列必有极限,
{ },为有上界的递增数列不妨设 na
{ } { }.s u p,,nn aaa ?记有上界数列由确界原理 { },的极限就是下证 naa
{ },,,,0 NnN aaaa,?????? ?? 使得按上确界定义事实上
证明
{ },,nNn aaaNna ???? ?时有当的递增性又由
{ },,,????? aaaaaa nnn 都有故的一个上界是而
.?? ????? aaaNn n时有所以当,l im aa n
n ???即
.数列必有极限同理可证有下界的递减
数列极限存在的条件
?定理 2(柯西收敛准则 )
?定理 2的几何解释
柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,
以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任
意小正数,或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是挤在一
起,
{ },,,0,0,?? ??????? mnn aaNmnNa 时有当收敛的充要条件是数列
x1 x2 x3x4x5
? 小结
(1),单调有界定理 ;
(2),单调有界定理的几何意义 ;
(3),柯西收敛准则 ;
? 作业 P39,1,3,5,7,8.
(4),柯西收敛准则的几何解释,
§ 1 数列极限概念
§ 2 收敛数列的性质
§ 3 数列极限存在的条件
第二章 数列极限
§ 1 数列极限概念
“割之弥细，所
失弥少，割之又
割，以至于不可
割，则与圆周合
体而无所失矣”
1、割圆术：
——刘徽
播放
?概念的引入
R
正六边形的面积 1A
正十二边形的面积 2A
????
正 形的面积 126 ?? n nA
??,,,,,321 nAAAA S
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 ?X第一天截下的杖长为;2 121 22 ??X为第二天截下的杖长总和
????;2 12 121 2 nnXn ???? ?天截下的杖长总和为第
nnX 2
11 ?? 1
?数列的概念
如果按照某一法则,对每一 n?N?,对应着一个确定的
实数 xn,则得到一个序列
x1,x2,x3,???,xn,???,
这一序列叫做数列,记为 {xn},其中第 n项 xn叫做数列的一
般项,
数列举例,
2,4,8,???,2n,???;
{ n21 } ? 21,41,81,? ? ?,n21,? ? ? ;
1,?1,1,???,(?1)n?1,???.
2
1,
3
2,
4
3,? ? ?,
1?n
n ?????;
注意,数列对应着数轴上一个点列,可看作一动
点在数轴上依次取,,,,,21 ?? nxxx
1x 2x3x 4x nx;,)1(,,1,1,1 1 ?? ??? n})1{( 1?? n;,)1(,,34,21,2
1
?? nn
n ??? })1({
1
n
n n ???
???,333,,33,3 ????
x1 x5x4 x3 x2xn
数列 {xn}可以看作数轴上的一个动点,它依次取数轴
上的点 x1,x2,x3,???,xn,???.
?数列的几何意义
?数列
如果按照某一法则,对每一 n?N?,对应着一个确定的
实数 xn,则得到一个序列
x1,x2,x3,???,xn,???,
这一序列叫做数列,记为 {xn},其中第 n项 xn叫做数列的一
般项,
数列 {xn}可以看作自变量为正整数 n的函数 ?
xn?f(n),n?N?.
?数列与函数
?数列
如果按照某一法则,对每一 n?N?,对应着一个确定的
实数 xn,则得到一个序列
x1,x2,x3,???,xn,???,
这一序列叫做数列,记为 {xn},其中第 n项 xn叫做数列的一
般项,
.})1(1{
1
时的变化趋势当观察数列 ????
?
nn
n
?数列的极限
播放
问题, 当 无限增大时,是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
nxn
.1)1(1,
1
无限接近于无限增大时当 nxn
n
n
??
??
通过上面演示实验的观察,
例如
当 n无限增大时,如果数列 {xn}的一般项 xn无限接近
于常数 a,则常数 a称为数列 {xn}的极限,或称数列 {xn}收
敛 a,记为
ax nn ???lim,
?数列极限的通俗定义
11lim ???? nnn,0
2
1lim ?
?? nn,1
)1(lim 1 ??? ?
?? n
n n
n,?
11lim ???? nnn,021lim ?
?? nn,1
)1(lim 1??? ?
?? n
n
n,?
问题,,无限接近”意味着什么?如何用数学语言
刻划它,
当 n无限增大时,xn无限接近于 a,
?当 n无限增大时,|xn?a|无限接近于 0,
?当 n无限增大时,|xn?a|可以任意小,?要多小就能有多小,
?当 n增大到一定程度以后,|xn?a|能小于事先给定的任意
小的正数,
?分析
因此,?如果 n 增大到一定程度以后,|xn?a|能小于事先
给定的任意小的正数,?则当 n无限增大时,xn无限接近于常
数 a.
当 n无限增大时,如果数列 {xn}的一般项 xn无限接近
于常数 a,则数列 {xn}收敛 a.
,1001给定,1 0 011 ?n由,1 0 0时只要 ?n,10011 ??nx有
,10001给定,1 0 0 0时只要 ?n
,1000011 ??nx有,1 0 0 0 01给定,1 0 0 0 0时只要 ?n
,1 0 0 011 ??nx有
,0??给定,])1[( 时只要 ??? Nn,1 成立有 ???nx
?? 1nx? nnn 11)1( 1 ?? ?
如上例
?数列 极限的精确定义
设 {xn}为一数列,如果存在常数 a,对于任意给定的正
数 ?,总存在正整数 N,使得当 n>N 时,不等式
|xn?a |<?
总成立,则称常数 a是数列 {xn}的极限,或者称数列 {xn}收
敛于 a,记为
如果不存在这样的常数 a,就说数列 {xn}没有极限,
ax nn ???l i m 或 x n ? a ( n ? ? ),
或 说 数列 { x n } 是发散的,习惯上也说 nn x??l i m 不存在,
????0,?N?N?,当 n?N时,有 |xn?a|??,
ax nn ???lim
?极限定义的简记形式
aa?? a??( )
?数列极限的几何意义
ax nn ???lim
????0,?N?N?,当 n?N时,有 |xn?a|??,
?存在 N?N?,当 n<N时,点 xn一般落在邻域 (a??,a??)外 ?
?当 n>N时,点 xn全都落在邻域 (a??,a??)内 ?
? 任意给定 a的 ?邻域 (a??,a??),
分析,
例 1 例 1, 证明 1)1(lim 1 ??? ?
?? n
n n
n
,
证明
| x n ? 1| ? ?????? ? nnn n 1|1)1(| 1,
所以 1)1(lim 1 ??? ??? nn nn,
证明 ? 因为 ? ? ? 0,? ]1[ ??N ? N ?,当 n ? N 时,有 证明 ? 因为 ? ? ? 0,? ]1[ ??N ? N ?,当 n ? N 时,有 证明 ? 因为 ? ? ? 0,? ]1[ ??N ? N ?,当 n ? N 时 有
ax nn ???lim
????0,?N?N?,当 n?N时,有 |xn?a|??,
对于 ? ?? >0,?要使 | x n ? 1| ? ??,只要 ??n1,即 ?1?n,
| x n ? 1| ? nnn
n 1
|1)1(|
1
????
?
,
对于 ? ?? >0,?要使 | x n ? 1| ? ??,只要 ??n1,即 ?1?n,
因为 ? ? ? 0,?? ]11[ ?? ?N ? N ?,当 n ? N 时,有
例 2
例 2, 证明 0)1( )1(lim 2 ????? n nn,
分析,
| x n ? 0 |? ????????? 11)1( 1|0)1( )1(| 22 nnn n,
所以 0)1( )1(lim 2 ????? n nn,
证明
ax nn ???lim
????0,?N?N?,当 n?N时,有 |xn?a|??,
| x n ? 0| |0)1( )1(| 2 ???? n
n
1
1
)1(
1
2 ???? nn,
对于 ? ? ? 0,要使 | x n ? 0| ? ??,只要 ??? 11n,即 11 ?? ?n, 对于 ? ? ? 0,要使 | x n ? 0| ? ??,只要 ??? 11n,即 11 ?? ?n,
因为 ? ? ? 0,? ? ]11[ ?? ?N ? N ?,当 n ? N 时,有 因为 ? ? ? 0,? ? ]11[ ?? ?N ? N ?,当 ? N 时,有
分析,
例 3 设 |q|<1,证明等比数列
1,q,q2,???,qn?1,???
的极限是 0.
对于 ???0,要使
|xn?0|?|qn?1?0|?|q|n?1<?,
只要 n>log|q|? ?1就可以了,
所以 0lim 1 ???? nn q,
|qn?1?0|?|q|n?1<?,
当 n?N时,有因为 ???0,证明 ?N?[ log|q|? ?1]?N?,
ax nn ???lim
????0,?N?N?,当 n?N时,有 |xn?a|??,
例 4,lim),( CxCCx n
nn ?? ??证明为常数设
证
Cxn ? CC ??,成立??
,0??任给
所以,
0?
,n对于一切自然数
.lim Cx nn ???
说明,常数列的极限等于同一常数,
小结, 用定义证数列极限存在时,关键是任意给
定 寻找 N,但不必要求最小的 N.,0??
例 5
.lim
,0lim,0
ax
axx
nn
nnn
?
???
??
??
求证
且设
证,0??任给
.lim ax nn ???故
,l i m ax nn ????
,1?????? axNnN n时恒有使得当
ax
axax
n
n
n ?
???从而有
a
ax n ??
a
1?? ??
例 6.证明 0c o s1l im ?
??
?nn
n
证,?? >0 ) |0c o s1| ?? ??n
n
.1|0c o s1||0| nnnx n ???? ?因 ??? |0| nx要使
,1 ??n只须
则当 n>N时,有
.|0c o s1||0| ?? ???? nnx n
(要证 ?N,当 n>N时,有
],1[.1 ?? ?? Nn 取即
.0c o s1l i m ?
??
?nn
n
故
若 ?? >0,?正整数 N,使得当 n>N 时,
都有 |xn?a|<?,,lima xn n? ? ? 则记
例 7.
..1lim
22
为常数其中证明 a
n
an
n
??
???
证,,1,22 ??? a
n
anx
n
?? >0,由于
n
nan
n
anax
n
??????? 2222 1||
)( 22
2
nann
a
??
?,
2
n
a?
要使 | xn ? a | <?,
,
2
??na只须,
2
即可即 ?an ?
,
2
?
?
?
?
?
??
?
aN取正整数 则当 n > N 时,有
???? 1
22
n
an
.1li m
22
??
??? n
an
n
故
例 8.
.0.1lim 为常数其中证明 ????? aann
证, (1) 设 a = 1,结论显然成立,
(2) 设 a > 1,),0(1 ???
nnn a ??令
从而
nnnnnnnnnn CCCa ???? ?????????? 2211)1(
> 1+ n?n
.1nan ???得
?? >0,
,11 naa nn ???? ?
,1 ???n a要使,1 ???
n
a只须,1 即可即
?
?? an
.1,,1 ?? ????
?
?
??
? ?? n aNnaN 有时则当取
).1(1lim ????? aann 其中故
(3) 设 0 < a < 1,
.11lim)2(,11 ??
???
n
n aa
知由则
即 ?? >0,?N,当 n>N时,有
.11 ???n
a
.1 ???
n
n
a
a即
nn aa ??? 1或
??, (因 0 < a < 1)
综合得
).0(.1l im ????? aann
).10(.1lim ?????? aann
? 小结
(1),数列极限的定义 ;
(2),数列极限的几何意义 ;
(3),应用数列极限的定义证明数列极限的方法,
? 作业 P27,1,2,3,5.
第二章 数列极限
§ 2 收敛数列的性质
收敛数列的性质
?定理 1(极限的唯一性 )
如果数列 {xn}收敛,那么它的极限唯一,
证明 ? 假设同时有 ax nn ???lim 及 bx nn ???l i m,? 且 a < b,
按极限的定义,对于 2 ab ??? >0,存在充分大的 正整数 N,
使当 n>N时,同时有
| x n ? a |< 2 ab ??? ?及 | x n ? b |< 2 ab ???,
因此同时有
2
abx
n
?? 及
2
abx
n
??,
这是不可能的, 所以只能有 a?b.
证明
注 ?
如果 ?M?0,使对 ?n?N?,有 |xn|?M,则称数列 {xn}是有
界的 ;?如果这样的正数 M不存在,?就说数列 {xn}是无界的,
收敛数列的性质
?定理 1(极限的唯一性 )
如果数列 {xn}收敛,那么它的极限唯一,
?定理 2(收敛数列的有界性 )
如果数列 {xn}收敛,那么数列 {xn}一定有界,
1.如果数列 {xn}收敛,那么数列 {xn}一定有界, 发散
的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛?
2.数列 1,?1,1,?1,???,(?1)N?1,??? 的有界性与收敛
如何？
?讨论
收敛数列的性质
?定理 1(极限的唯一性 )
如果数列 {xn}收敛,那么它的极限唯一,
?定理 2(收敛数列的有界性 )
如果数列 {xn}收敛,那么数列 {xn}一定有界,
收敛数列的性质
?定理 1(极限的唯一性 )
如果数列 {xn}收敛,那么它的极限唯一,
?定理 2(收敛数列的有界性 )
如果数列 {xn}收敛,那么数列 {xn}一定有界,
?定理 3(收敛数列的保号性 )
如果数列 {xn}收敛于 a,且 a?0(或 a?0),那么存在正整
数 N,当 n?N时,有 xn?0(或 xn?0).
?推论
如果数列 {xn}从某项起有 xn?0(或 xn?0),且数列 {xn}收
敛于 a,那么 a?0(或 a?0).
?数列极限的四则运算法则
?定理 5 如果 j(x)?y(x),而 limj(x)?a,limy(x)?b,那么 a?b.
?不等式
( 1 ) BAyx nnn ????? )(lim ;
( 2 ) BAyx nnn ????? )(lim ;
( 3 ) 当 0?ny ( n ? 1,2,? ? ?) 且 B ? 0 时,BAyx
n
n
n
?
??
l i m,
?定理 4 设有数列 {xn}和 {yn},如果
Ax n
n
?
??
lim,By n
n
?
??
l i m,
那么
注,
在数列 {xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原
数列中的先后次序,这样得到的一个数列称为原数列 {xn}
的子数列,
?定理 5(收敛数列与其子数列间的关系 )
如果数列 {xn}收敛于 a,那么它的任一子数列也收敛,
且极限也是 a.
例如,数列 {xn}? 1,?1,1,?1,? ? ?,(?1)n?1? ? ?的一个子
数列为 {x2n}??1,?1,?1,???,(?1)2n?1? ??.
>>>
1.数列的子数列如果发散,???原数列是否发散 ???
2.数列的两个子数列收敛,??但其极限不同,???原数列
的收敛性如何 ???
3.发散的数列的子数列都发散吗？
4.如何判断数列 1,?1,1,?1,???,(?1)N?1,???是发散
的？
?定理 5(收敛数列与其子数列间的关系 )
如果数列 {xn}收敛于 a,那么它的任一子数列也收敛,
且极限也是 a.
?讨论
? 小结
(1),唯一性 ;
(2),有界性 ;
(3),保号性 ;
? 作业 P33,1,2,3,4,6.
(4),四则运算法则 ;
(5),不等式性 ;
(6),收敛数列与其子列的关系,
第二章 数列极限
§ 3 数列极限存在的条件
数列极限存在的条件
注,
如果 xn?xn?1,n?N?,就称数列 {xn}是单调增加的,
如果 xn?xn?1,n?N?,就称数列 {xn}是单调减少的,
单调增加和单调减少数列统称为单调数列,
?定理 1(单调有界定理 )
单调有界数列必有极限,
提问,
收敛的数列是否一定有界？
有界的数列是否一定收敛？
M
?定理 1(单调有界定理 )
单调有界数列必有极限,
?定理 1的几何解释
x1 x5x4x3x2 xn
A
以单调增加数列为例,数列 的点只可能向右一个方向移
动,或者无限向右移动,或者无限趋近于某一定点 A,而对有界
数列只可能后者情况发生,
数列极限存在的条件
数列极限存在的条件
?定理 1(单调有界定理 )
单调有界数列必有极限,
{ },为有上界的递增数列不妨设 na
{ } { }.s u p,,nn aaa ?记有上界数列由确界原理 { },的极限就是下证 naa
{ },,,,0 NnN aaaa,?????? ?? 使得按上确界定义事实上
证明
{ },,nNn aaaNna ???? ?时有当的递增性又由
{ },,,????? aaaaaa nnn 都有故的一个上界是而
.?? ????? aaaNn n时有所以当,l im aa n
n ???即
.数列必有极限同理可证有下界的递减
数列极限存在的条件
?定理 2(柯西收敛准则 )
?定理 2的几何解释
柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,
以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任
意小正数,或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是挤在一
起,
{ },,,0,0,?? ??????? mnn aaNmnNa 时有当收敛的充要条件是数列
x1 x2 x3x4x5
? 小结
(1),单调有界定理 ;
(2),单调有界定理的几何意义 ;
(3),柯西收敛准则 ;
? 作业 P39,1,3,5,7,8.
(4),柯西收敛准则的几何解释,
