§ 1 Fourier 级数
§ 2 以 2l为周期的函数的展开式
第十五章 傅里叶 (Foueier)级数
第十五章 傅里叶 (Foueier)级数
§ 1 Fourier级数
一 问题的提出
非正弦周期函数,矩形波
o t
u
???
1
1?
??
?
??
?????
?
?
t
ttu
0,1
0,1)(
当
当
不同频率正弦波逐个叠加
?,7s i n714,5s i n514,3s i n314,s i n4 tttt ??? ????
tu s i n4
?
?
)3s i n31( s i n4 ttu ?? ?
)5s i n513s i n31( s i n4 tttu ??? ?
)7s i n715s i n513s i n31( s i n4 ttttu ???? ?
)9s i n917s i n715s i n513s i n31( s i n4 tttttu ????? ?
)7s i n715s i n513s i n31( s i n4)( ?????? tttttu ?
)0,( ?????? tt
由以上可以看到,一个比较复杂的周期运动可
以看作是许多不同频率的简谐振动的叠加
二 三角级数 三角函数系的正交性
? ????? ?
? 10
)s i n ()(
n nn
tnAAtf
1.三角级数
引例中的简谐振动函数
? ??????? ?
? 10
)s i nc o sc o ss i n(
n nnnn
tnAtnAA
（ 1）
? ?? ?
? 1
0 )s i nco s(
2 n nn nxbnxa
a
即,由三角函数组成的函项级数成为三角级数
,xt ??
,co s nnn Ab ??,s i n nnn Aa ??,
2 0
0 Aa ?记
则 (1)式右端的级数可改写为
(2)
得到行如 (2)式的级数称为三角级数
2 三角函数系的正交性
??,s i n,c o s,2s i n,2c o s,s i n,c o s,1 nxnxxxxx
.],[
:)2(
上的积分等于零任意两个不同函数在
正交
???
,0c o s ?? ??? n x d x,0s in ?? ??? n x d x
(1) 三角函数系
即
i)
,
,
,0s ins in
?
?
?
??
??? ?
?? nm
nmnx d xmx
,,,0c o sc o s
??
?
??
??? ?
?? nm
nmnx d xmx
.0c o ss in ?? ??? n x d xmx ),2,1,( ??nm其中ii)
iii)
),2,1,( ??nm其中
三 函数展开成傅里叶级数
问题 1.若能展开,是什么?ii ba,
2.展开的条件是什么?
1.傅里叶系数
? ??? ?
? 1
0 )s i nco s(
2)( k kk kxbkxa
axf若有
.)1( 0a求
dxkxbkxadxadxxf
k kk
])s i nco s([2)(
1
0 ? ? ????? ?
??
?
?
?
??
?
??
,220 ??? a
??? ? ?? dxxfa )(10
k x d xbdxkxadxa
k
k
k
k s i nc o s2
11
0 ? ?? ??
?
?
??
?
??
??? ? ?? ?? ?
.)2( na求
??? ? ??? ?? nx d xanx d xxf co s2co s)( 0
]c o ss i nc o sc o s[
1
?? ??? ? ??? ??
?
?
n x d xkxbn x d xkxa k
n k
可得
?? ??? n x d xa n 2c o s,?? na
? ????? nx d xxfa n c o s)(1 ),3,2,1( ??n
.)3( nb求
??? ? ?? n xd xxfb n s i n)(1 ),3,2,1( ??n
?? ?????? ? n x d xan x d xxf s i n2s i n)( 0
]s ins ins inc o s[
1
??? ? ??? ??
?
?
?? n x d xkxbn x d xkxa k
n
k,?? nb
可得
可得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
),2,1(,s i n)(
1
),2,1,0(,c o s)(
1
?
?
nn x d xxfb
nn x d xxfa
n
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
0
2
0
),2,1(,s i n)(
1
),2,1,0(,c o s)(
1
?
?
nn x d xxfb
nn x d xxfa
n
n
或
从而得到傅里叶系数
把以上得到的系数代入三角级数
? ??
?
? 1
0 )s i nc o s(
2 n nn nxbnxa
a
问题,
? ??
?
? 1
0 )s i nc o s(
2?)( n nn nxbnxa
axf 条件
该级数称为傅里叶级数
3,三角级数的收敛性定理,
)(2
1
0
n
n
n ba
a ?? ??
?
若级数 收敛,则级数
)s inc o s(2
1
0 nxbnxaa
n
n
n?
?
?
??
在整个数轴上绝对收敛且一致收敛,
,s i nc o s,nnnn banxbnxaRx ????? 由于
由 M判别法即得定理结论,
证
2.定理 (收敛定理,狄利克雷 (Dirichlet)充分条件 )
设 )( xf 是以 ?2 为周期的周期函数, 如果它满足,
(1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,
(2) 在 一个周期 内 至多只有有限个极值点,
则 )( xf 的傅里叶级数收敛,并且
当 x 是 )( xf 的连续点时,级数收敛于 )( xf ;
当 x 是 )( xf 的间断点时,级数 收敛于
2
)0()0( ??? xfxf;
说明 (2) 若函数 在 上逐段光滑,则有性质,)(xf ],[ ba
.],[1 上可积在 bafo
).0(
)0()(
lim
),0(
)0()(
lim
:),0(],[2
'
0
'
0
??
?
???
??
???
?
?
?
?
?
xf
t
xftxf
xf
t
xftxf
xfba
t
t
o
且有上每一点都存在在
在点上的上那些至多有限个不存在在补充定义 ],[3 ' bafo
.],[).( '' 上可积在仍记为值后 baff
(3) 从几何图形上讲,在 上逐段光滑,是由有限
个光滑弧段所组成,它至多有有限个第一类间断点与角点,
],[ ba
x
y
o
?
?
?
?
?
?
?
?
a b
(4) 收敛定理指出,
的 Fourier 级数在点
X 处收敛于这点上
的左,右极限的算术平均
值
而当 在点 x连续时,则有
)(xf
)(xf
)(xf
2
0)-f ( x0)f ( x ??
).(
2
0)-f ( x0)f ( x xf???
(5) 根据收敛定理的假设,是以 为周期的函数,所以
系数公式中的积分区间 可以改为长度为 的任何
区间,即,
)(xf ?2
],[ ??? ?2
? ? ?? ?? 2,,2,1,0,c o s)(1 ccn nn x d xxfa ?
,,2,1,s i n)(1 2? ? ?? ?? c
cn
nn x d xxfb ?
其中 C为任意实数,
(6) 在具体讨论函数的 Fourier 级数展开式时,常只给出函数
在 (或 ) 上的解析式,但应理解为它是定
义在整个数轴上以 为周期的函数,即在 以外部
],( ???)(xf ),[ ???
?2 ],( ???
分按函数在 上的对应关系作周期延拓,使],( ???
?
?
?
???????
????
.,2,1],)12(,)12((),2(
],,(),()(
?kkkxkxf
xxfxf
???
??
y
xo?? ? ?3 ?5?3??5?
函数周期延拓后的图象
:例
求 的 Fourier级数,
?
?
?
???
???
.0,0
,0,)(
x
xxxf
?
?设
)(xf
解 函数 及周期延拓后的函数如下图,)(xf
?? xo
y
?
?
?
?
??2? ?3?2
?
?
?4? ?5?3? ?4
?
?
?
?
显然 按段光滑,由收敛定理,它可展开成 Fourier级数,)(xf
由于,
2
1)(1
00
?
??
??
? ??? ??? x d xdxxfa
??? ?? ??? ?? 0 c o s1c o s)(1 n x d xxn x d xxfa n
?
?
?
?
?
?
???
.,0
,,
2
)1( c o s
1 2
2
为偶数时当
为奇数时当
n
n
nnx
n
?
?
.)1(s i n1s i n)(1
1
0 n
n x d xxn x d xxfb
n
n
?
?
???? ?? ??
? ??
所以在开区间 上],[ ???
?)3s i n313c o s92(2s i n21)s i nc o s2(4f ( x ) xxxxx ?????? ??
当 时,上右式收敛于???x
.22 02 0)f ( -0)-f( ???? ?????
从而,在 上,的 Fourier级数的图象如下,],[ ??? )(xf
xo
y
?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
?3?2 ?5?4?3? ?2??4?
?
2?
注意和 延拓后的图象的比较)(xf
注 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成
幂级数的条件低的多,
解
例 1 以 ?2 为周期的矩形脉冲的波形
?
?
?
??????
???
?
tE
tE
tu
m
m
,
0,
)(
将其展开为傅立叶级数,
o t
u
???
mE
mE?
所给函数满足狄利克雷充分条件,
.),2,1,0( 处不连续在点 ?????? kkx
2
mm EE ??收敛于
2
)( mm EE ???,0?
).(,xfkx 收敛于时当 ?? 和函数图象为
o t
u
???
mE
mE?
? ????? nt d ttua n c o s)(1
?
?
?
??
?
?
?
?
?
0
0
c o s
1
c o s)(
1
n td tE
n td tE
m
m
),2,1,0(0 ??? n
? ????? nt d ttub n s i n)(1
?? ??? ????? 00 s i n1s i n)(1 nt d tEnt d tE mm
)co s1(2 ???? nnE m ])1(1[2 nmnE ????
??
?
?
?
??
???
???
?
?
,2,1,2,0
,2,1,12,
)12(
4
kkn
kkn
k
E m
??
?
????
1
)12s i n ()12( 4)(
n
m tn
n
Etu
),2,,0;( ???????????? tt
所求函数的傅氏展开式为
注 (一 )对于非周期函数,如果函数 只在
区间 上有定义,并且满足狄立克
雷充分条件,也可展开成傅立叶级数,
)(xf
],[ ???
作法,
),()()()2( ??? ???? xxfxFT作周期延拓
)]0()0([21 ?????? ff端点处收敛于
例 2 将函数
?
?
?
???
?????
?
xx
xx
xf
0,
0,
)( 展开为傅立叶
级数,
解 所给函数满足狄利克雷充分条件,
拓广的周期函数的傅
氏级数展开式在
收敛于,)(xf
],[ ???
x
y
o ??? ?2??2
?
? ????? nx d xxfa n c o s)(1
?? ??? ????? 00 c o s)(1c o s)(1 nx d xxfnx d xxf
)1( c o s22 ??? nxn ]1)1[(22 ???? nn
? ????? dxxfa )(10
?? ??? ????? 00 )(1)(1 dxxfdxxf,??
??
?
?
?
??
???
??
?
?
?
?
,2,1,2,0
,2,1,12,
)12(
4
2
kkn
kkn
k
? ????? nx d xxfb n s i n)(1
?? ??? ????? 00 s i n)(1s i n)(1 nx d xxfnx d xxf,0?
??
?
??????
1
2 )12c o s ()12(
14
2)( n xnnxf )( ????? x
所求函数的傅立叶级数展开式为 ),2,1( ??n
推广,利用傅立叶级数展开式求出几个特殊
级数的和,)12c o s (
)12(
14
2)( 1 2?
?
?
??????
n
xnnxf?
????? 22
2
5
1
3
11
8
?
,4131211 222 ???????设
),8(51311
2
221
?? ????? ?
,0)0(,0 ?? fx 时当
,614121 2222 ??????,4131211 2223 ???????
,
44
21
2
???? ????
,
243
2
1
2
??? ???
6
2
21
???? ???
122
2
13
???? ???
四 正弦级数和余弦级数
(Sine series and cosine series)(1) 当 )( xf 为奇函数时，它的傅里叶系数为
),2,1(s i n)(
2
),2,1,0(0
0
?
?
?
?
?
??
?
?
nn xdxxfb
na
n
n
一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦
项,又含有余弦项,但是,也有一些函数的傅里叶级
数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项,
1.定理 设 是周期为 的函数,且可积,则)(xf ?2
(2) 当 )( xf 为 偶函数 时,它的傅里叶系数为
),2,1(0
),2,1,0(c os)(
2
0
?
?
??
?
?
? ?
?
nb
nn xd xxfa
n
n
证明,)()1( 是奇函数设 xf
??? ? ?? nx d xxfa n co s)(1
0? ),3,2,1,0( ??n
??? ?0 s i n)(2 nx d xxf
),3,2,1( ??n
同理可证 (2)
2.定义
(1) 如果 )( xf 为奇函数,其傅立叶级数
nxb
n
n s in
1
?
?
?
称为正弦级数 (2) 如果 )( xf 为偶函数,其 傅 立 叶 级 数
nxa
a
n
n c os2
1
0 ??
?
?
称为余弦级数,
??? ? ?? nx d xxfb n s i n)(1
定理证毕,
例 1 设 )( xf 是周期为 ?2 的周期函数,它在
),[ ??? 上的表达式为 xxf ?)(,将 )( xf 展开成
傅立叶 级数,
解 所给函数满足狄利克雷充分条件,
,),2,1,0()12( 处不连续在点 ??????? kkx
2
)0()0( ?????? ff收敛于
2
)( ?????,0?
),())12(( xfkxx 处收敛于在连续点 ???
??
?
??? ?2??2??3 ?3 x
y
0
,2)()12( 为周期的奇函数是以时 ???? xfkx?
和
函
数
图
象
),2,1,0(,0 ???? na n
??? ?0 s i n)(2 nx d xxfb n ??? ?0 s i n2 nx d xx
???
?? 02 ]
s i nco s[2
n
nx
n
nxx
??? nn co s2,)1(2 1??? nn ),2,1( ??n
)3s i n312s i n21( s i n2)( ????? xxxxf
.s i n)1(2
1
1
?
?
?
??
?
n
n
nxn
),3,;( ???????????? xx
例 2 将周期函数 tEtu s in)( ? 展开成傅氏级数,
其中 E 是正常数,
解 所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个
数轴上连续,
,)( 为偶函数tu?
,0?? nb
?? ?? 00 )(2 dttua
t
)(tu
0 ? ?2????2
E
??? ?0 s i n2 td tE,4?E?
),2,1( ??n
??? ?0 co s)(2 nt d ttua n ??? ?0 co ss i n2 nt d ttE
? ???? ?? 0 ])1s i n()1[s i n( dttntnE
??
?
?
?
??
?
??
?
?
12,0
2,
]1)2[(
4
2
kn
kn
k
E
当
当
),2,1( ??k
?
? 01
)1c o s (
1
)1c o s (
??
?
??
?
?
??
?
???
n
tn
n
tnE
)1( ?n
??? ?01 co s)(2 tdttua ??? ?0 co ss i n2 t d ttE,0?
)6c o s3514c o s15 12c o s3121(4)( ?????? tttEtu ?
)( ?????? x
].14 2co s21[2
1
2?
?
? ?
??
n n
nxE
?
非周期函数的周期性开拓
).(
2,],0[)(
xF
xf
函数
为周期的延拓成以上定义在设 ??
,0)( 0)()(
??
?
????
????
xxg
xxfxF令 ),()2( xFxF ?? ?且
则有如下两种情况
.
?
?
?
偶延拓
奇延拓
注 (二 )
1.奇延拓 )()( xfxg ???
??
?
?
?
??????
?
???
?
0)(
00
0)(
)(
xxf
x
xxf
xF则
x
y
0 ???
的傅立叶正弦级数)( xf
?? ?
? 1
s i n)(
n n
nxbxf )0( ??? x
2.偶延拓 )()( xfxg ??
??
?
?????
????
0)(
0)()(
xxf
xxfxF则
的傅立叶余弦级数)( xf
??? ?
? 1
0 co s
2)( n n nxa
axf )0( ??? x
x
y
0 ???
例 3 将函数 )0(1)( ????? xxxf 分别展开成
正弦级数和余弦级数,
解 (1)求正弦级数,,)( 进行奇延拓对 xf
??? ?0 s i n)(2 nx d xxfb n
? ??? ?0 s i n)1(2 nx d xx
)co sco s1(2 ??????? nnn
]3s i n)2(312s i n2s i n)2[(21 ???????????? xxxx
)0( ??? x
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
?
?
,6,4,2
2
,5,3,1
22
n
n
n
n
当
当
(2)求余弦级数,)( 进行偶延拓对 xf
? ? ??? 00 )1(2 dxxa,2???
? ??? ?0 co s)1(2 nx d xxa n
)1(co s22 ???? nn ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,5,3,1
4
,6,4,20
2 nn
n
当
当
]5co s5 13co s3 1(c o s4121 22 ?????????? xxxx
)0( ??? x
三、小结
1,三角级数的定义 ;
2,正交函数系的特征 ;
3,三角级数的收敛定理 ;
5,收敛定理 ;
4,以 为周期的函数的 Fourier级数定义 ;?2
6,求函数 的 Fourier级数的方法,)(xf
:作业 P70,1,2,3,4,7.
思考判断题
( 1 ) 若函数 )()( xx ?? ??,问,)( x? 与 )( x?
的傅里叶系数 na, nb 与 n?, n? ),2,1,0( ??n
之间有何关系？
.
],[)()(,,
,],[)()2(
定义的函数
上成为才能使
应如何选择上定义的函数是在设
????? BAtftFBA
baxf
第十五章 傅里叶 (Foueier)级数
§ 2 以 2l为周期的函数的展开式
一 周期为 的周期函数的傅立叶级数
,2 lT ??,2 lT ??????
定理
式为则它的傅里叶级数展开定理的条件
满足收敛的周期函数设周期为
,
)(2 xfl
代入傅立叶级数中
)s i nc o s(
2 1
0 xnbxnaa
n
n
n ???
?
?
??
),s i nc o s(2)(
1
0
l
xnb
l
xnaaxf
n
n
n
????
?
???
l2
为其中系数 nn ba,
,)()1( 为奇函数时当 xf
则有
,s i n)(2
0
dxl xnxflb ln ?? ?其中
),2,1,0(,c o s)(1 ??? ?
?
ndxl xnxfla l
ln
?
),2,1(,s i n)(1 ??? ?
?
ndxl xnxflb l
ln
?
,s i n)(
1
?
?
?
?
n
n l
xnbxf ?
),2,1( ??n
,)()2( 为偶函数时当 xf 则有
dxl xnxfla ln ??
0
c o s)(2 ?其中
证明,lxz ??令 lxl ???,?????? z
),()()( zFlzfxf ???设,2)( 为周期以 ?zF
),s i nc o s(2)(
1
0 nzbnzaazF
n
n
n ??? ?
?
?
,c o s2)(
1
0 ?
?
?
??
n
n l
xnaaxf ?
),2,1,0( ??n
)s i nc o s(2)(
1
0 x
l
nbx
l
naaxf
n
n
n
????? ??
?
.s i n)(
1
,c o s)(
1
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
n z d zzFb
n z d zzFa
n
n其中
.s i n)(
1
,c o s)(
1
?
?
?
?
?
?
?
?
l
l
n
l
l
n
x d x
l
n
xf
l
b
x d x
l
n
xf
l
a其中
)()( xfzFlxz ?? ??
定理得证,
k
2? x
y
20 44?
例 1 设 )( xf 是周期为 4 的周期函数,它在 )2,2[ ?
上的表达式为
?
?
?
??
???
?
20
020
)(
xk
x
xf,将其展
成傅氏级数,
解,,2 满足狄氏充分条件?l?
?? ?? ? 200 20 21021 k d xdxa,k?
? ??20 2co s21 x d xnk,0?
? ??? 20 2s i n21 x d xnkb n )co s1( ???? nnk
,
,6,4,20
,5,3,1
2
??
?
?
?
?
?
??
?
?
n
n
n
k
当
当
)25s i n5123s i n312( s i n22)( ??????????? xxxkkxf
),4,2,0;( ?????????? xx
?na ),2,1( ??n
例 2 将函数 ? ?10510)( ???? xxxf 展开成
傅氏级数,
解,10?? xz作变量代换
105 ?? x,55 ???? z
)10()( ?? zfxf ),( zFz ???
,)55()( 的定义补充函数 ????? zzzF
,5)5( ??F令 )10()( ?TzF 作周期延拓然后将
,收敛定理的条件这拓广的周期函数满足
).()5,5( zF内收敛于且展开式在 ?
x
)(zFy
5? 50 1510
),2,1,0(,0 ??? na n
? ??? 50 2s i n)(52 dzznzb n
,10)1( ??? nn ),2,1( ??n
,5s in)1(10)(
1
?
?
?
??
?? n
n zn
nzF )55( ??? z
?
?
?
???????
1
)]10(5s in [)1(1010
n
n
xnnx
.5s in)1(10
1
?
?
?
??
?? n
n
xnn )155( ?? x
另一种解法,
? ??? 155 5co s)10(51 dxxnxa n
? ??? ?? 155155 5co s515co s2 dxxnxdxxn
,0?
? ?? 1550 )10(51 dxxa,0?
),2,1( ??n
解
?
?
?
??
???? 1 5s i n
)1(1010)(
n
n
xnnxxf故
)155( ?? x
),2,1( ??n,10)1( ?nn??
? ??? 155 5s i n)10(51 dxxnxb n
级数偶函数与奇函数的二 F o u r i e r、
:定义一, 设 是以 为周期的偶函数,或是定义在f l2
上的偶函数,则称],[ ll? ??
?
?
1
0 c o s
2
n
n l
xnaa ?
f为 的余弦级数,其中 ? ?? ln ndx
l
xnxf
la 0,,2,1,0,c o s)(
2 ??
若 是以 为周期的奇函数,或是定义在 上的],[ ll?f l2
的奇函数,则称 ??
? 1
s in
n
n l
xnb ?为 的正弦级数,其中
f
? ?? ln ndxl xnxflb 0,,2,1,s i n)(2 ??
:奇偶延拓二,
若将定义在 (或 )上的函数 展成余弦
级数或正弦级数,先把定义在 (或 )上的函数作
偶式延拓或作奇式延拓至 (或 )
f],0[ ? ],0[ l
],0[ ? ],0[ l
],[ ??? ],[ ll?
y
xo
y
xo
???
偶式延拓
???
奇式延拓
:1例,,s in)( ?? ???? xxxf设函数
f求 的 Fourier级数展开式,
:解 f 是 上的偶函级,其周期延拓后 (如下图 )],[ ???
? ?2 ?3 x
y
o???2??3?
f由于 是按段光滑函数,故可展开成余弦级数,
因为 ? ?? ? ?
? 00,4s in
2 x dxa
? ?? ?? 01,0c o ss in2 x d xxa
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
.,4,2,
1
14
,,5,3,0
c o ss i n
2
2
0 ?
?
n
n
n
n x d xxa n
?
?
?
所以 ??
? ?
??
1
2 2c o s14
412s i n
m
mxmx ??
?
?
?
?????????
1
2,],14
2c o s21[2
m
xm mx?
:2例 把 在 内展成xxf ?)( )2,0(
(i) 正弦级数 ; (ii) 余弦级数,
则
:解 (i) 为了把 展成正弦级数,对 作奇式周期延拓f f
x
y
o ?
?
?
?
?
?
? ? ?? ?
? ?
? 22?
.,2,1,)1(4
2
s i n
2
2b 12
0n
????? ?? n
n
dxxnx n
?
?
所以当 时,由收敛定理 得)2,0(?x
?
?
?
????
1
1
2s i n)1(
4)(
n
n xn
nxxf
?
?
(ii) 为了把 展成余弦级数,对 作偶式周期延拓如下
图, ff
x
y
o 2 66? 2? 4 84?8?
则,2a 2
00
?? ? x d x
?,2,1],1)1[(4
2
c o s
2
2a
22
2
0n
????? ? n
n
dxxnx n
?
?
).,2,1(0,
)12(
8a
2221-2k ????
?? ka
k k?
以 为周期的函数的傅里叶级数为
),s i nco s(2)(
1
0
l
xnb
l
xnaaxf
n
n
n
?? ??? ??
?
),2,1,0(c o s)(1 ??? ?? ndxl xnxfla l ln ?
),3,2,1(s i n)(1 ??? ?? ndxl xnxflb l ln ?
*二 傅立叶级数的复数形式
l2
代入欧拉公式
,2c o s
itit ee
t
??
?,2s i n ieet
itit ??
?
)s i nc o s(2)(
1
0
l
xnb
l
xnaaxf
n
n
n
?? ??? ??
???
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
???
1
0
222 n
l
xni
l
xni
nl
xni
l
xni
n eeibeeaa
????
?
?
?
???
?
?
?
?
?
? ?
????
1
0
222 n
l
xni
nnl
xni
nn eibaeibaa
),3,2,1( ??n
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
????
1
0)(
n
l
xni
n
l
xni
n eCeCCxf
??
,200 aC ?记
,2 nnn ibaC ??,2 nnn ibaC ???
,)( l
xni
n
n eCxf
???
???
?于是有
即为傅里叶系数的复数形式
即得傅立叶级数的复数形式
),2,1,0()(
2
1 ????? ?
?
?
ndxexf
l
C
l
l
l
xni
n
?
例 3 设 )( xf 是周期为 2 的周期函数,它在 )1,1[ ?
上的表达式为
xexf ??)(
,将其展成 复数形式 的
傅立叶级数,
解 ??
?? ?? 1
12
1 dxeec xinx
n
??
?
??? 1
1
)1(
2
1 dxxin ?
]co sco s[1 121 122 ???? nenenin ?????? ?
,1s i n h11)1( 22 ??ninn ????
.1s i n h1 1)1()( 22 xinn
n
eninxf ??? ????? ?
??
???
),2,1,0,12( ?????? kkx
三 小结
2.求傅立叶级数展开式的步骤 ;
(1).画图形验证是否满足狄氏条件 (收敛域,奇偶性 );
(2).求出傅氏系数 ;
1.以 2L为周期的周期函数的傅立叶系数,傅立叶
级数,相应奇函数,偶函数的 F-系数和级数 ;
(3).写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于 ).(xf
3.(1)傅里叶级数的复数形式,)( l
xni
n
n eCxf
???
???
?
),2,1,0()(21 ????? ?? ? ndxexflC l l l
xni
n
?
注, 傅里叶级数的两种形式，本质上是一样
的．复数形式较简洁且只用一个算式计算系数．
(2)傅里叶系数的复数形式
:作业 P77,1,2,3,4,5,6.
§ 2 以 2l为周期的函数的展开式
第十五章 傅里叶 (Foueier)级数
第十五章 傅里叶 (Foueier)级数
§ 1 Fourier级数
一 问题的提出
非正弦周期函数,矩形波
o t
u
???
1
1?
??
?
??
?????
?
?
t
ttu
0,1
0,1)(
当
当
不同频率正弦波逐个叠加
?,7s i n714,5s i n514,3s i n314,s i n4 tttt ??? ????
tu s i n4
?
?
)3s i n31( s i n4 ttu ?? ?
)5s i n513s i n31( s i n4 tttu ??? ?
)7s i n715s i n513s i n31( s i n4 ttttu ???? ?
)9s i n917s i n715s i n513s i n31( s i n4 tttttu ????? ?
)7s i n715s i n513s i n31( s i n4)( ?????? tttttu ?
)0,( ?????? tt
由以上可以看到,一个比较复杂的周期运动可
以看作是许多不同频率的简谐振动的叠加
二 三角级数 三角函数系的正交性
? ????? ?
? 10
)s i n ()(
n nn
tnAAtf
1.三角级数
引例中的简谐振动函数
? ??????? ?
? 10
)s i nc o sc o ss i n(
n nnnn
tnAtnAA
（ 1）
? ?? ?
? 1
0 )s i nco s(
2 n nn nxbnxa
a
即,由三角函数组成的函项级数成为三角级数
,xt ??
,co s nnn Ab ??,s i n nnn Aa ??,
2 0
0 Aa ?记
则 (1)式右端的级数可改写为
(2)
得到行如 (2)式的级数称为三角级数
2 三角函数系的正交性
??,s i n,c o s,2s i n,2c o s,s i n,c o s,1 nxnxxxxx
.],[
:)2(
上的积分等于零任意两个不同函数在
正交
???
,0c o s ?? ??? n x d x,0s in ?? ??? n x d x
(1) 三角函数系
即
i)
,
,
,0s ins in
?
?
?
??
??? ?
?? nm
nmnx d xmx
,,,0c o sc o s
??
?
??
??? ?
?? nm
nmnx d xmx
.0c o ss in ?? ??? n x d xmx ),2,1,( ??nm其中ii)
iii)
),2,1,( ??nm其中
三 函数展开成傅里叶级数
问题 1.若能展开,是什么?ii ba,
2.展开的条件是什么?
1.傅里叶系数
? ??? ?
? 1
0 )s i nco s(
2)( k kk kxbkxa
axf若有
.)1( 0a求
dxkxbkxadxadxxf
k kk
])s i nco s([2)(
1
0 ? ? ????? ?
??
?
?
?
??
?
??
,220 ??? a
??? ? ?? dxxfa )(10
k x d xbdxkxadxa
k
k
k
k s i nc o s2
11
0 ? ?? ??
?
?
??
?
??
??? ? ?? ?? ?
.)2( na求
??? ? ??? ?? nx d xanx d xxf co s2co s)( 0
]c o ss i nc o sc o s[
1
?? ??? ? ??? ??
?
?
n x d xkxbn x d xkxa k
n k
可得
?? ??? n x d xa n 2c o s,?? na
? ????? nx d xxfa n c o s)(1 ),3,2,1( ??n
.)3( nb求
??? ? ?? n xd xxfb n s i n)(1 ),3,2,1( ??n
?? ?????? ? n x d xan x d xxf s i n2s i n)( 0
]s ins ins inc o s[
1
??? ? ??? ??
?
?
?? n x d xkxbn x d xkxa k
n
k,?? nb
可得
可得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
),2,1(,s i n)(
1
),2,1,0(,c o s)(
1
?
?
nn x d xxfb
nn x d xxfa
n
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
0
2
0
),2,1(,s i n)(
1
),2,1,0(,c o s)(
1
?
?
nn x d xxfb
nn x d xxfa
n
n
或
从而得到傅里叶系数
把以上得到的系数代入三角级数
? ??
?
? 1
0 )s i nc o s(
2 n nn nxbnxa
a
问题,
? ??
?
? 1
0 )s i nc o s(
2?)( n nn nxbnxa
axf 条件
该级数称为傅里叶级数
3,三角级数的收敛性定理,
)(2
1
0
n
n
n ba
a ?? ??
?
若级数 收敛,则级数
)s inc o s(2
1
0 nxbnxaa
n
n
n?
?
?
??
在整个数轴上绝对收敛且一致收敛,
,s i nc o s,nnnn banxbnxaRx ????? 由于
由 M判别法即得定理结论,
证
2.定理 (收敛定理,狄利克雷 (Dirichlet)充分条件 )
设 )( xf 是以 ?2 为周期的周期函数, 如果它满足,
(1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,
(2) 在 一个周期 内 至多只有有限个极值点,
则 )( xf 的傅里叶级数收敛,并且
当 x 是 )( xf 的连续点时,级数收敛于 )( xf ;
当 x 是 )( xf 的间断点时,级数 收敛于
2
)0()0( ??? xfxf;
说明 (2) 若函数 在 上逐段光滑,则有性质,)(xf ],[ ba
.],[1 上可积在 bafo
).0(
)0()(
lim
),0(
)0()(
lim
:),0(],[2
'
0
'
0
??
?
???
??
???
?
?
?
?
?
xf
t
xftxf
xf
t
xftxf
xfba
t
t
o
且有上每一点都存在在
在点上的上那些至多有限个不存在在补充定义 ],[3 ' bafo
.],[).( '' 上可积在仍记为值后 baff
(3) 从几何图形上讲,在 上逐段光滑,是由有限
个光滑弧段所组成,它至多有有限个第一类间断点与角点,
],[ ba
x
y
o
?
?
?
?
?
?
?
?
a b
(4) 收敛定理指出,
的 Fourier 级数在点
X 处收敛于这点上
的左,右极限的算术平均
值
而当 在点 x连续时,则有
)(xf
)(xf
)(xf
2
0)-f ( x0)f ( x ??
).(
2
0)-f ( x0)f ( x xf???
(5) 根据收敛定理的假设,是以 为周期的函数,所以
系数公式中的积分区间 可以改为长度为 的任何
区间,即,
)(xf ?2
],[ ??? ?2
? ? ?? ?? 2,,2,1,0,c o s)(1 ccn nn x d xxfa ?
,,2,1,s i n)(1 2? ? ?? ?? c
cn
nn x d xxfb ?
其中 C为任意实数,
(6) 在具体讨论函数的 Fourier 级数展开式时,常只给出函数
在 (或 ) 上的解析式,但应理解为它是定
义在整个数轴上以 为周期的函数,即在 以外部
],( ???)(xf ),[ ???
?2 ],( ???
分按函数在 上的对应关系作周期延拓,使],( ???
?
?
?
???????
????
.,2,1],)12(,)12((),2(
],,(),()(
?kkkxkxf
xxfxf
???
??
y
xo?? ? ?3 ?5?3??5?
函数周期延拓后的图象
:例
求 的 Fourier级数,
?
?
?
???
???
.0,0
,0,)(
x
xxxf
?
?设
)(xf
解 函数 及周期延拓后的函数如下图,)(xf
?? xo
y
?
?
?
?
??2? ?3?2
?
?
?4? ?5?3? ?4
?
?
?
?
显然 按段光滑,由收敛定理,它可展开成 Fourier级数,)(xf
由于,
2
1)(1
00
?
??
??
? ??? ??? x d xdxxfa
??? ?? ??? ?? 0 c o s1c o s)(1 n x d xxn x d xxfa n
?
?
?
?
?
?
???
.,0
,,
2
)1( c o s
1 2
2
为偶数时当
为奇数时当
n
n
nnx
n
?
?
.)1(s i n1s i n)(1
1
0 n
n x d xxn x d xxfb
n
n
?
?
???? ?? ??
? ??
所以在开区间 上],[ ???
?)3s i n313c o s92(2s i n21)s i nc o s2(4f ( x ) xxxxx ?????? ??
当 时,上右式收敛于???x
.22 02 0)f ( -0)-f( ???? ?????
从而,在 上,的 Fourier级数的图象如下,],[ ??? )(xf
xo
y
?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
?3?2 ?5?4?3? ?2??4?
?
2?
注意和 延拓后的图象的比较)(xf
注 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成
幂级数的条件低的多,
解
例 1 以 ?2 为周期的矩形脉冲的波形
?
?
?
??????
???
?
tE
tE
tu
m
m
,
0,
)(
将其展开为傅立叶级数,
o t
u
???
mE
mE?
所给函数满足狄利克雷充分条件,
.),2,1,0( 处不连续在点 ?????? kkx
2
mm EE ??收敛于
2
)( mm EE ???,0?
).(,xfkx 收敛于时当 ?? 和函数图象为
o t
u
???
mE
mE?
? ????? nt d ttua n c o s)(1
?
?
?
??
?
?
?
?
?
0
0
c o s
1
c o s)(
1
n td tE
n td tE
m
m
),2,1,0(0 ??? n
? ????? nt d ttub n s i n)(1
?? ??? ????? 00 s i n1s i n)(1 nt d tEnt d tE mm
)co s1(2 ???? nnE m ])1(1[2 nmnE ????
??
?
?
?
??
???
???
?
?
,2,1,2,0
,2,1,12,
)12(
4
kkn
kkn
k
E m
??
?
????
1
)12s i n ()12( 4)(
n
m tn
n
Etu
),2,,0;( ???????????? tt
所求函数的傅氏展开式为
注 (一 )对于非周期函数,如果函数 只在
区间 上有定义,并且满足狄立克
雷充分条件,也可展开成傅立叶级数,
)(xf
],[ ???
作法,
),()()()2( ??? ???? xxfxFT作周期延拓
)]0()0([21 ?????? ff端点处收敛于
例 2 将函数
?
?
?
???
?????
?
xx
xx
xf
0,
0,
)( 展开为傅立叶
级数,
解 所给函数满足狄利克雷充分条件,
拓广的周期函数的傅
氏级数展开式在
收敛于,)(xf
],[ ???
x
y
o ??? ?2??2
?
? ????? nx d xxfa n c o s)(1
?? ??? ????? 00 c o s)(1c o s)(1 nx d xxfnx d xxf
)1( c o s22 ??? nxn ]1)1[(22 ???? nn
? ????? dxxfa )(10
?? ??? ????? 00 )(1)(1 dxxfdxxf,??
??
?
?
?
??
???
??
?
?
?
?
,2,1,2,0
,2,1,12,
)12(
4
2
kkn
kkn
k
? ????? nx d xxfb n s i n)(1
?? ??? ????? 00 s i n)(1s i n)(1 nx d xxfnx d xxf,0?
??
?
??????
1
2 )12c o s ()12(
14
2)( n xnnxf )( ????? x
所求函数的傅立叶级数展开式为 ),2,1( ??n
推广,利用傅立叶级数展开式求出几个特殊
级数的和,)12c o s (
)12(
14
2)( 1 2?
?
?
??????
n
xnnxf?
????? 22
2
5
1
3
11
8
?
,4131211 222 ???????设
),8(51311
2
221
?? ????? ?
,0)0(,0 ?? fx 时当
,614121 2222 ??????,4131211 2223 ???????
,
44
21
2
???? ????
,
243
2
1
2
??? ???
6
2
21
???? ???
122
2
13
???? ???
四 正弦级数和余弦级数
(Sine series and cosine series)(1) 当 )( xf 为奇函数时，它的傅里叶系数为
),2,1(s i n)(
2
),2,1,0(0
0
?
?
?
?
?
??
?
?
nn xdxxfb
na
n
n
一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦
项,又含有余弦项,但是,也有一些函数的傅里叶级
数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项,
1.定理 设 是周期为 的函数,且可积,则)(xf ?2
(2) 当 )( xf 为 偶函数 时,它的傅里叶系数为
),2,1(0
),2,1,0(c os)(
2
0
?
?
??
?
?
? ?
?
nb
nn xd xxfa
n
n
证明,)()1( 是奇函数设 xf
??? ? ?? nx d xxfa n co s)(1
0? ),3,2,1,0( ??n
??? ?0 s i n)(2 nx d xxf
),3,2,1( ??n
同理可证 (2)
2.定义
(1) 如果 )( xf 为奇函数,其傅立叶级数
nxb
n
n s in
1
?
?
?
称为正弦级数 (2) 如果 )( xf 为偶函数,其 傅 立 叶 级 数
nxa
a
n
n c os2
1
0 ??
?
?
称为余弦级数,
??? ? ?? nx d xxfb n s i n)(1
定理证毕,
例 1 设 )( xf 是周期为 ?2 的周期函数,它在
),[ ??? 上的表达式为 xxf ?)(,将 )( xf 展开成
傅立叶 级数,
解 所给函数满足狄利克雷充分条件,
,),2,1,0()12( 处不连续在点 ??????? kkx
2
)0()0( ?????? ff收敛于
2
)( ?????,0?
),())12(( xfkxx 处收敛于在连续点 ???
??
?
??? ?2??2??3 ?3 x
y
0
,2)()12( 为周期的奇函数是以时 ???? xfkx?
和
函
数
图
象
),2,1,0(,0 ???? na n
??? ?0 s i n)(2 nx d xxfb n ??? ?0 s i n2 nx d xx
???
?? 02 ]
s i nco s[2
n
nx
n
nxx
??? nn co s2,)1(2 1??? nn ),2,1( ??n
)3s i n312s i n21( s i n2)( ????? xxxxf
.s i n)1(2
1
1
?
?
?
??
?
n
n
nxn
),3,;( ???????????? xx
例 2 将周期函数 tEtu s in)( ? 展开成傅氏级数,
其中 E 是正常数,
解 所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个
数轴上连续,
,)( 为偶函数tu?
,0?? nb
?? ?? 00 )(2 dttua
t
)(tu
0 ? ?2????2
E
??? ?0 s i n2 td tE,4?E?
),2,1( ??n
??? ?0 co s)(2 nt d ttua n ??? ?0 co ss i n2 nt d ttE
? ???? ?? 0 ])1s i n()1[s i n( dttntnE
??
?
?
?
??
?
??
?
?
12,0
2,
]1)2[(
4
2
kn
kn
k
E
当
当
),2,1( ??k
?
? 01
)1c o s (
1
)1c o s (
??
?
??
?
?
??
?
???
n
tn
n
tnE
)1( ?n
??? ?01 co s)(2 tdttua ??? ?0 co ss i n2 t d ttE,0?
)6c o s3514c o s15 12c o s3121(4)( ?????? tttEtu ?
)( ?????? x
].14 2co s21[2
1
2?
?
? ?
??
n n
nxE
?
非周期函数的周期性开拓
).(
2,],0[)(
xF
xf
函数
为周期的延拓成以上定义在设 ??
,0)( 0)()(
??
?
????
????
xxg
xxfxF令 ),()2( xFxF ?? ?且
则有如下两种情况
.
?
?
?
偶延拓
奇延拓
注 (二 )
1.奇延拓 )()( xfxg ???
??
?
?
?
??????
?
???
?
0)(
00
0)(
)(
xxf
x
xxf
xF则
x
y
0 ???
的傅立叶正弦级数)( xf
?? ?
? 1
s i n)(
n n
nxbxf )0( ??? x
2.偶延拓 )()( xfxg ??
??
?
?????
????
0)(
0)()(
xxf
xxfxF则
的傅立叶余弦级数)( xf
??? ?
? 1
0 co s
2)( n n nxa
axf )0( ??? x
x
y
0 ???
例 3 将函数 )0(1)( ????? xxxf 分别展开成
正弦级数和余弦级数,
解 (1)求正弦级数,,)( 进行奇延拓对 xf
??? ?0 s i n)(2 nx d xxfb n
? ??? ?0 s i n)1(2 nx d xx
)co sco s1(2 ??????? nnn
]3s i n)2(312s i n2s i n)2[(21 ???????????? xxxx
)0( ??? x
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
?
?
,6,4,2
2
,5,3,1
22
n
n
n
n
当
当
(2)求余弦级数,)( 进行偶延拓对 xf
? ? ??? 00 )1(2 dxxa,2???
? ??? ?0 co s)1(2 nx d xxa n
)1(co s22 ???? nn ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,5,3,1
4
,6,4,20
2 nn
n
当
当
]5co s5 13co s3 1(c o s4121 22 ?????????? xxxx
)0( ??? x
三、小结
1,三角级数的定义 ;
2,正交函数系的特征 ;
3,三角级数的收敛定理 ;
5,收敛定理 ;
4,以 为周期的函数的 Fourier级数定义 ;?2
6,求函数 的 Fourier级数的方法,)(xf
:作业 P70,1,2,3,4,7.
思考判断题
( 1 ) 若函数 )()( xx ?? ??,问,)( x? 与 )( x?
的傅里叶系数 na, nb 与 n?, n? ),2,1,0( ??n
之间有何关系？
.
],[)()(,,
,],[)()2(
定义的函数
上成为才能使
应如何选择上定义的函数是在设
????? BAtftFBA
baxf
第十五章 傅里叶 (Foueier)级数
§ 2 以 2l为周期的函数的展开式
一 周期为 的周期函数的傅立叶级数
,2 lT ??,2 lT ??????
定理
式为则它的傅里叶级数展开定理的条件
满足收敛的周期函数设周期为
,
)(2 xfl
代入傅立叶级数中
)s i nc o s(
2 1
0 xnbxnaa
n
n
n ???
?
?
??
),s i nc o s(2)(
1
0
l
xnb
l
xnaaxf
n
n
n
????
?
???
l2
为其中系数 nn ba,
,)()1( 为奇函数时当 xf
则有
,s i n)(2
0
dxl xnxflb ln ?? ?其中
),2,1,0(,c o s)(1 ??? ?
?
ndxl xnxfla l
ln
?
),2,1(,s i n)(1 ??? ?
?
ndxl xnxflb l
ln
?
,s i n)(
1
?
?
?
?
n
n l
xnbxf ?
),2,1( ??n
,)()2( 为偶函数时当 xf 则有
dxl xnxfla ln ??
0
c o s)(2 ?其中
证明,lxz ??令 lxl ???,?????? z
),()()( zFlzfxf ???设,2)( 为周期以 ?zF
),s i nc o s(2)(
1
0 nzbnzaazF
n
n
n ??? ?
?
?
,c o s2)(
1
0 ?
?
?
??
n
n l
xnaaxf ?
),2,1,0( ??n
)s i nc o s(2)(
1
0 x
l
nbx
l
naaxf
n
n
n
????? ??
?
.s i n)(
1
,c o s)(
1
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
n z d zzFb
n z d zzFa
n
n其中
.s i n)(
1
,c o s)(
1
?
?
?
?
?
?
?
?
l
l
n
l
l
n
x d x
l
n
xf
l
b
x d x
l
n
xf
l
a其中
)()( xfzFlxz ?? ??
定理得证,
k
2? x
y
20 44?
例 1 设 )( xf 是周期为 4 的周期函数,它在 )2,2[ ?
上的表达式为
?
?
?
??
???
?
20
020
)(
xk
x
xf,将其展
成傅氏级数,
解,,2 满足狄氏充分条件?l?
?? ?? ? 200 20 21021 k d xdxa,k?
? ??20 2co s21 x d xnk,0?
? ??? 20 2s i n21 x d xnkb n )co s1( ???? nnk
,
,6,4,20
,5,3,1
2
??
?
?
?
?
?
??
?
?
n
n
n
k
当
当
)25s i n5123s i n312( s i n22)( ??????????? xxxkkxf
),4,2,0;( ?????????? xx
?na ),2,1( ??n
例 2 将函数 ? ?10510)( ???? xxxf 展开成
傅氏级数,
解,10?? xz作变量代换
105 ?? x,55 ???? z
)10()( ?? zfxf ),( zFz ???
,)55()( 的定义补充函数 ????? zzzF
,5)5( ??F令 )10()( ?TzF 作周期延拓然后将
,收敛定理的条件这拓广的周期函数满足
).()5,5( zF内收敛于且展开式在 ?
x
)(zFy
5? 50 1510
),2,1,0(,0 ??? na n
? ??? 50 2s i n)(52 dzznzb n
,10)1( ??? nn ),2,1( ??n
,5s in)1(10)(
1
?
?
?
??
?? n
n zn
nzF )55( ??? z
?
?
?
???????
1
)]10(5s in [)1(1010
n
n
xnnx
.5s in)1(10
1
?
?
?
??
?? n
n
xnn )155( ?? x
另一种解法,
? ??? 155 5co s)10(51 dxxnxa n
? ??? ?? 155155 5co s515co s2 dxxnxdxxn
,0?
? ?? 1550 )10(51 dxxa,0?
),2,1( ??n
解
?
?
?
??
???? 1 5s i n
)1(1010)(
n
n
xnnxxf故
)155( ?? x
),2,1( ??n,10)1( ?nn??
? ??? 155 5s i n)10(51 dxxnxb n
级数偶函数与奇函数的二 F o u r i e r、
:定义一, 设 是以 为周期的偶函数,或是定义在f l2
上的偶函数,则称],[ ll? ??
?
?
1
0 c o s
2
n
n l
xnaa ?
f为 的余弦级数,其中 ? ?? ln ndx
l
xnxf
la 0,,2,1,0,c o s)(
2 ??
若 是以 为周期的奇函数,或是定义在 上的],[ ll?f l2
的奇函数,则称 ??
? 1
s in
n
n l
xnb ?为 的正弦级数,其中
f
? ?? ln ndxl xnxflb 0,,2,1,s i n)(2 ??
:奇偶延拓二,
若将定义在 (或 )上的函数 展成余弦
级数或正弦级数,先把定义在 (或 )上的函数作
偶式延拓或作奇式延拓至 (或 )
f],0[ ? ],0[ l
],0[ ? ],0[ l
],[ ??? ],[ ll?
y
xo
y
xo
???
偶式延拓
???
奇式延拓
:1例,,s in)( ?? ???? xxxf设函数
f求 的 Fourier级数展开式,
:解 f 是 上的偶函级,其周期延拓后 (如下图 )],[ ???
? ?2 ?3 x
y
o???2??3?
f由于 是按段光滑函数,故可展开成余弦级数,
因为 ? ?? ? ?
? 00,4s in
2 x dxa
? ?? ?? 01,0c o ss in2 x d xxa
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
.,4,2,
1
14
,,5,3,0
c o ss i n
2
2
0 ?
?
n
n
n
n x d xxa n
?
?
?
所以 ??
? ?
??
1
2 2c o s14
412s i n
m
mxmx ??
?
?
?
?????????
1
2,],14
2c o s21[2
m
xm mx?
:2例 把 在 内展成xxf ?)( )2,0(
(i) 正弦级数 ; (ii) 余弦级数,
则
:解 (i) 为了把 展成正弦级数,对 作奇式周期延拓f f
x
y
o ?
?
?
?
?
?
? ? ?? ?
? ?
? 22?
.,2,1,)1(4
2
s i n
2
2b 12
0n
????? ?? n
n
dxxnx n
?
?
所以当 时,由收敛定理 得)2,0(?x
?
?
?
????
1
1
2s i n)1(
4)(
n
n xn
nxxf
?
?
(ii) 为了把 展成余弦级数,对 作偶式周期延拓如下
图, ff
x
y
o 2 66? 2? 4 84?8?
则,2a 2
00
?? ? x d x
?,2,1],1)1[(4
2
c o s
2
2a
22
2
0n
????? ? n
n
dxxnx n
?
?
).,2,1(0,
)12(
8a
2221-2k ????
?? ka
k k?
以 为周期的函数的傅里叶级数为
),s i nco s(2)(
1
0
l
xnb
l
xnaaxf
n
n
n
?? ??? ??
?
),2,1,0(c o s)(1 ??? ?? ndxl xnxfla l ln ?
),3,2,1(s i n)(1 ??? ?? ndxl xnxflb l ln ?
*二 傅立叶级数的复数形式
l2
代入欧拉公式
,2c o s
itit ee
t
??
?,2s i n ieet
itit ??
?
)s i nc o s(2)(
1
0
l
xnb
l
xnaaxf
n
n
n
?? ??? ??
???
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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????
?
?
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?
?
???
1
0
222 n
l
xni
l
xni
nl
xni
l
xni
n eeibeeaa
????
?
?
?
???
?
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?
?
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? ?
????
1
0
222 n
l
xni
nnl
xni
nn eibaeibaa
),3,2,1( ??n
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
????
1
0)(
n
l
xni
n
l
xni
n eCeCCxf
??
,200 aC ?记
,2 nnn ibaC ??,2 nnn ibaC ???
,)( l
xni
n
n eCxf
???
???
?于是有
即为傅里叶系数的复数形式
即得傅立叶级数的复数形式
),2,1,0()(
2
1 ????? ?
?
?
ndxexf
l
C
l
l
l
xni
n
?
例 3 设 )( xf 是周期为 2 的周期函数,它在 )1,1[ ?
上的表达式为
xexf ??)(
,将其展成 复数形式 的
傅立叶级数,
解 ??
?? ?? 1
12
1 dxeec xinx
n
??
?
??? 1
1
)1(
2
1 dxxin ?
]co sco s[1 121 122 ???? nenenin ?????? ?
,1s i n h11)1( 22 ??ninn ????
.1s i n h1 1)1()( 22 xinn
n
eninxf ??? ????? ?
??
???
),2,1,0,12( ?????? kkx
三 小结
2.求傅立叶级数展开式的步骤 ;
(1).画图形验证是否满足狄氏条件 (收敛域,奇偶性 );
(2).求出傅氏系数 ;
1.以 2L为周期的周期函数的傅立叶系数,傅立叶
级数,相应奇函数,偶函数的 F-系数和级数 ;
(3).写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于 ).(xf
3.(1)傅里叶级数的复数形式,)( l
xni
n
n eCxf
???
???
?
),2,1,0()(21 ????? ?? ? ndxexflC l l l
xni
n
?
注, 傅里叶级数的两种形式，本质上是一样
的．复数形式较简洁且只用一个算式计算系数．
(2)傅里叶系数的复数形式
:作业 P77,1,2,3,4,5,6.
