§ 1 导数的概念
§ 2 求导法则
§ 3 参变量函数的导数
§ 4 高阶导数
§ 5 微分
§ 1 导数的概念
一 问题的提出
1.直线运动的速度问题
,
)(
0 时刻的瞬时速度求
数为设动点于时刻的位置函
t
tfs ?
0t
如图,
,0 tt 的时刻取一邻近于,?运动时间
t
sv
?
??平均速度
0
0
0
0 )()(
tt
tftf
tt
ss
?
??
?
??
,0时当 tt ? 取极限得 t? t
0
0 )()(l i m
0 tt
tftfV
tt ?
??
?
瞬时速度
2.切线问题 切线：割线的极限
播放
M
N
T
割线 MN
绕点 M旋
转而趋向
极限位置
MT,直线
MT就称
为曲线 C
在点 M处
的切线,
? ?
T
0x xo x
y )( xfy ?
C
N
M
).,(),,( 00 yxNyxM设
的斜率为割线 MN
0
0t a n
xx
yy
?
???
,)()(
0
0
xx
xfxf
?
??
,,0xxMN C ???? ?? 沿曲线
的斜率为切线 MT
.)()(limt a n
0
0
0 xx
xfxfk
xx ?
???
?
?
二 导数的定义
,,)(
,)(
,0
);()(
,)
(,
)(
0
0
0
00
0
0
0
xx
yxxfy
xxfy
xx
yxfxxfy
yxx
xxx
xxfy
?
??
?
???
??????
??
?
?
记为处的导数在点数
并称这个极限为函处可导在点
则称函数时的极限存在之比当
与如果得增量
取相应地函数时仍在该邻域内
点处取得增量在当自变量有定义
的某个邻域内在点设函数
1.定义
.)()(lim)( 00
00 h
xfhxfxf
h
????
?
导数定义其它常见形式：
.)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx ?
???
?
x
xfxxf
x
yy
xxxx ?
????
?
???
?????
)()(limlim 00
000
)(,0
0
xf
dx
dy
xx ??
即
.
,0
慢程度
而变化的快因变量随自变量的变化反映了
它处的变化率点导数是因变量在点 x
.)(,
)(
内可导在开区间就称函数处都可导
内的每点在开区间如果函数
Ixf
Ixfy ?1）
注 1
2 导函数
.
)(
),(,
.)(.
)(,
dx
xdf
dx
dy
xfy
xf
xfIx
或记作
的导函数这个函数叫做原来函数导数值
的一个确定的都对应着对于任一
??
?
x
xfxxfy
x ?
?????
??
)()(lim
0
即
很明显
.)()( 00 xxxfxf ????
2）
如果 )( xf 在开区间 ? ?ba,内可导，且 )( af ?? 及
)( bf ?? 都存在，就说 )( xf 在闭区间 ? ?ba,上可导,
3）
右导数,
3 单侧导数
左导数,;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx ?
????
?
???
??????;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx ?
????
?
???
??????
判断函数在某一点可导的充分必要条件：
)()()( 0'0'0 xfxfxxf ?? ??点可导在函数
例,0)( 处的可导性在讨论函数 ?? xxxf
解 xy?
x
y
o
,)0()0( hhh fhf ????
h
h
h
fhf
hh ?? ??
???
00
lim)0()0(lim,1?
h
h
h
fhf
hh
????
?? ?? 00 li m
)0()0(li m,1??
),0()0( ?? ??? ff即,0)( 点不可导在函数 ??? xxfy
三 由定义求导数举例
步骤, );()()1( xfxxfy ?????求增量;)()()2( x xfxxfxy ? ??????算比值
.lim)3( 0 xyy x ???? ??求极限
例 1,)()( 的导数为常数求函数 CCxf ?
解 h xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
????
?h
CC
h
?
? 0l i m
.0?
常数的导数是零。即,0)( ??C
例 2,)( 的导数为正整数求函数 nxy n?
解 h xhxx
nn
h
n ????
?
)(lim)(
0
]!2 )1([l i m 1210 ???? ????? nnnh hhxnnnx ?1?? nnx
.)( 1??? nn nxx即
更一般地 )(.)( 1 为常数?? ?? ??? xx
)()( 2
1
??? xx
例如,121
2
1 ?? x,
2
1
x?
)()1( 1 ??? ?xx
11)1( ???? x,1
2x??
例 3
)( s i n,s i n)( ?? xxxf 求若函数
解
h
xhxxxf
h
s i n)s i n (lim)( s i n)(
0
??????
?
2
2
s i n
)
2
co s (l i m
0 h
h
h
x
h
???
?,cos x?
xx c o s)( s i n ??故
xx s i n)( co s ??同样地，
例 4,)1,0()( 的导数求函数 ??? aaaxf x
解 h aaa xhx
h
x ???
?
? 0
lim)(
h
aa h
h
x 1lim
0
??
?
.ln aa x?
xx ee ??)( 特别地，
.ln aa x?)( ?
xa
例 5,)1,0(l o g 的导数求函数 ??? aaxy a
解 h xhxy aah lo g)(lo glim 0 ???? ?
.l o g1)( l o g exx aa ??即
x
x
h
x
h
a
h
1)1(l o g
l i m
0
?
?
?
?
h
x
ah x
h
x )1(l o gl i m
1
0
??
?
.l o g1 ex a?
xx
1)( l n ??特别地，
四 导数的意义
o x
y )(xfy ?
?
T
0x
M
1 几何意义
)(,t a n)(
,
))(,(
)()(
0
00
0
为倾角
即切线的斜率
处的在点
表示曲线
????
??
xf
xfxM
xfyxf
切线方程为
法线方程为
).)(( 000 xxxfyy ????
).()(1 0
0
0 xxxfyy ?????
四、导数几何意义的应用
1、根据导数的几何意义，可以得到曲线 在定点
处的 切线方程为,
)( xfy ?
),( 000 yxM
))(( 000 xxxfyy ????
2,如果, 则法线的斜率为, 从而点
处 法线方程为,
0)( 0 ?? xf )(1
0xf ?
?
)()(1 0
0
0 xxxfyy ?????
0M
例 6 求曲线 在点（ 4,2）处的切线方程和法线方程。xy?
解,（ 1）函数 在 x=2处的导数：xy ?
?? ?4xy
（ 2） 所求切线的斜率
4
1?
切k
)4(412 ??? xy 044 ??? yx即
（ 4）法线的斜率,故所求的法线方程为：
41 ????
切
法 kk
)4(42 ???? xy 0184 ??? yx即
（ 3） 由直线的点斜式方程可得曲线的切线方程为：
4
1
2
1
4 ??xx
例 7 曲线 上哪些点处的切线与直线 平行？23xy ? 13 ?? xy
解：由导数的几何意义可知，曲线 在点 处的
切线的斜率为：
2
3
xy ? ),( 00 yxM
???? ? )( 2300 xy xx
而直线 的斜率为13 ?? xy 3?k
323 0 ?x
解此方程，得 40 ?x
将 代入曲线方程,得 。40 ?x 23xy? 8
0 ?y
根据两直线平行的条件有
所以, 曲线 在点 处的切线与直线 平行 。23xy ? )8,4(M 13 ?? xy
02
1
0 2
3
2
3 xx ?
?练习
求曲线 在点 （ 1,1） 处的切线方程和法线方程3xy ?
解,??
?1xy
3?切k
所以，切线方程为：
)1(31 ??? xy
法线方程为：
)1(311 ???? xy
即 023 ??? yx
即 043 ??? yx
33 12 ??xx
即切线的斜率为：
例 8
.,
)4,2(2
方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率
处的切线的在点求曲线 xy ?
解 根据导数的几何意义,得切线斜率为
2??? xyk
所求切线方程为
法线方程为
),2(44 ??? xy
),4(414 ???? xy
.044 ??? yx即
.0174 ??? yx即
xxy 2)( 2 ???? 42 ??? ?xyk
2 简单的物理意义
1）变速直线运动中 路程对时间的导数为物
体的瞬时速度,,lim)(
0 dt
ds
t
stv
t
????
??
2）交流电路中 电量对时间的导数为电流强
度,,lim)(
0 dt
dq
t
qti
t
????
??
3）非均匀物体中 质量对长度 (面积,体积 )的
导数为物体的线 (面,体 )密度,
.l i m)(
0 dP
dm
P
mP
P
??
? ?
?
?
?
五 可导与连续的关系
结论,可导的函数一定是连续的。
证,)( 0 可导在点设函数 xxf
)(l i m 00 xfxyx ?????? ?????? )( 0xfxy
xxxfy ?????? ?)( 0
])([limlim 000 xxxfy xx ??????? ???? 0?
.)( 0 连续在点函数 xxf?
)0(0 ??? x?
比如
处连续但不可导在函数 0)( ?? xxxf
解 xy?
x
y
o
,)0()0( hhh fhf ????
h
h
h
fhf
hh ?? ??
???
00
lim)0()0(lim,1?
h
h
h
fhf
hh
????
?? ?? 00 li m
)0()0(li m,1??
),0()0( ?? ??? ff即,0)( 点不可导在函数 ??? xxfy
注意, 反之不成立,即连续不一定可导。
六 小结与思考判断题
1,导数的概念与实质, 增量比的极限 ;
2, axf ?? )( 0 ? ??? )( 0xf ;)( 0 axf ???
3,导数的几何意义与物理意义,
5,函数可导一定连续，但连续不一定可导 ;
4,由定义求导数,
思考判断题
1、初等函数在其定义区间内必可导
2、初等函数的导数仍是初等函数
一定存在。
处有切线，则在（曲线、
)(
))(,)( 3
0
00
xf
xfxxfy
?
?
六、练习
1,利用幂函数的求导公式, 求下列函数的导数
8.018.1 8.18.1)1( xxy ??? ?解,413 33)2( ??? ????? xxy
2
3
1
2
1
2
1
2
1 2
1
2
1
)()
1
()3(
????
????????? xxx
x
y
4
91
4
13
4
13
4
13
4
1
3
4
13
4
13)()()()4( xxxxxxy ?????????? ??
81)1( ?? xy
3)2( ?? xy
xy
1)3( ? 43)4( xxy ??
2、熟记以下导数公式：
（ 1） （ C)‘=0
（ 2）
1)( ??? ?? ? xx
( 3) xx c o s)( s i n ??
（ 4） xx s i n)( c o s ???
axxa ln
1)(l o g ??
xx
1)(ln ??（ 5）
八, 作业 P94,1,3,4,5,6,7.
§ 2 求导法则
一 和、差、积、商的求导法则
定理 2
并且处也可导们的和在点
则它处可导在点如果函数
,
,)(),(
x
xxvxu
);()(])()([ xvxuxvxu ??????
并且处也可导们的差在点
则它处可导在点如果函数
,
,)(),(
x
xxvxu
);()(])()([ xvxuxvxu ??????
定理 1
证 (1)
)()()( xvxuxf ??设
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
????
?
h
xvxuhxvhxu
h
)]()([)]()([lim
0
??????
?
(2)略,
h
xvhxvxuhxu
h
)]()([)]()([lim
0
??????
?
)()( xvxu ????
推论
)()()(])()()([)1( 2121 xfxfxfxfxfxf mm ????????? ??
例 1,ln23 的导数求 xxxy ???
解
xxxy
123 2 ????
定理 3
并且处也可导们的积在点
则它处可导在点如果函数
,
,)(),(
x
xxvxu
);()()()(])()([ xvxuxvxuxvxu ??????
推论
);(])([)2( xfCxCf ???
wuvwvuvwuu v w ???????][)3(
注意, );()(])()([ xvxuxvxu ??????
例 2,ln2s i n 的导数求 xxy ??
解 xxxy lnco ss in2 ????
xxxy lnc o sc o s2 ???? xxx ln)s i n(s i n2 ????
xxx
1co ss i n2 ???,2s i n1ln2co s2 x
xxx ??
并且处也可导在点分母不为零们的商
则它处可导在点如果函数
,)(
,)(),(
x
xxvxu
).0)(()( )()()()(])( )([ 2 ?????? xvxv xvxuxvxuxv xu
定理 4
证 ),0)((,)( )()( ?? xvxv xuxf设
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
????
?
hxvhxv
hxvxuxvhxu
h )()(
)()()()(lim
0 ?
????
?
h
xv
xu
hxv
hxu
h
)(
)(
)(
)(
li m
0
?
?
?
?
?
hxvhxv
xvhxvxuxvxuhxu
h )()(
)]()()[()()]()([lim
0 ?
??????
?
)()(
)()()()()()(
lim
0 xvhxv
h
xvhxvxuxv
h
xuhxu
h ?
???????
?
?
2)]([
)()()()(
xv
xvxuxvxu ????
.)( 处可导在 xxf? 注意,,)( )(])( )([ xv xuxv xu ????
例 3,t a n 的导数求 xy ?
解 )co ss i n()( t a n ????? xxxy
x
xxxx
2c o s
)( c o ss i nc o s)( s in ????
x
xx
2
22
c o s
s inc o s ?? x
x
2
2 s ecco s
1 ??
同理可得
xxy 2s e c)( t a n ????
xxy 2cs c)( co t ?????
例 4,s e c 的导数求 xy ?
解 )co s1()( s ec ????? xxy
x
x
2co s
)( co s ???,t a ns e c xx?
x
x
2co s
s in?
同理可得
例 5 ).(,
0,
0,s i n)( xf
xx
xxxf ?
?
?
?
?
?? 求设
分段函数 求导时,分界点导数用左右导数求,
xxxy c o tc s c)( c s c ?????
解
,1)( ?? xf
,0时当 ?x
,0时当 ?x
xxf c o s)( ??
,0时当 ?x
10)0s i n (lim)0(
0
?????
??? h
hf
h
10l i m)0(
0
????
??? h
hf
h
.1)0( ??? f
.0,1 0,c o s)(
?
?
?
?
????
x
xxxf
二 反函数的导数
.
)(
1
)(
,
)(,0)(
)(
x
xf
I
xfyy
Iyx
x
y
? ?
??
??? ?
??
且有内也可导
在对应区间那末它的反函数且
内单调、可导在某区间如果函数
证,xIx ?任取 x?以增量给
的单调性可知由 )( xfy ?,0??y
),0( xIxxx ?????
法则
于是有
,1
y
xx
y
?
?
?
?
?
,)( 连续因为 xf
0,0 ?? yx ?? 必有时所以当
)0)(( ?? y?
x
yxf
x ?
?
? 0
lim)(
?
??故 y
xy
?
?? ??
1lim
0
)(
1
y???
.)(1)( yxf ? ???即
即是 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,
例 1
.a rcs i ns i n 的导数为直接函数，求设函数 xyyx ??
解
,)2,2(s i n 内单调、可导在 ????? yIyx
,0c o s)( s in ??? yy且 内有在所以 )1,1( ??
xI
)( s in
1)( a r c s in
??? yx ycos
1?
y2s i n1
1
??
同理可得
21
1
x?
?
21
1)( a r c c o s
x
x
?
???
例 2
.a rct a nt a n 的导数为直接函数，求设函数 xyyx ??
解
,)2,2(t a n 内单调、可导在 ????? yIyx
,0s e c)( t a n 2 ??? yy且 内有在所以 ),( ?????xI
)( t a n
1)( a r c t a n
??? yx y2s e c
1?
y2t a n1
1
??
同理可得
21
1
x??
21
1)c o t(
xxa r c ????
例 3
,0ln)( ??? aaa yy且,),0( 内有在故 ???
xI
)(
1)( l o g
??? ya ax aa y ln
1?,
ln
1
ax?
解,),( 内单调、可导在 ??????
yy Iax
特别地,1)( ln xx ??
.l o g 的导数为直接函数，求设函数 xay yax ??
三 复合函数的求导法则
链式法则 （ Chain Rules)：
).()(
,
)]([,)(
)(,)(
00
0
00
0
0
xuf
dx
dy
x
xfyxu
ufyxxu
xx
? ????
????
???
?
且其导数为可导
在点则复合函数可导在点
而可导在点如果函数
证明,)( 0 可导在点由 uufy ?
)(lim 00 ufuyu ??? ???所以
)0lim()( 00 ?????? ?? ?? uufuy故
uuufy ?????? ?)( 0则
x
y
x ?
?
? 0
l i m
?
故 ])([li m 00 x
u
x
uuf
x ?
??
?
???
?? ?
x
u
x
uuf
xxx ?
???
?
???
?????? 0000 l iml iml im)(
).()( 00 xuf ? ???
注 1：链式求导法则，即 因变量对自变量求导,
等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自
变量求导,
注 2
),(),(),( xvvuufy ?? ???设
.
) ] }([{
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
xfy
???
? 的导数为则复合函数 ??
例 4,t a nln 的导数求函数 xy ?
解,t a n,ln xuuy ???
dx
du
du
dy
dx
dy ???
xu 2s e c1 ?? xx c o ss i n
1?
例 5
.)c o s (ln 的导数求函数 xey ?
解
xevvuuy ???,co s,ln?
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy ????
)t a n ()s i n(1 xxx eeevu ??????
注：熟练以后，可以不写出中间变量，此例可以
这样写：
])[ c o s ()c o s (1])c o s ([ l n ???? xxx eeedxdy
)t a n (])[()c o s ( )s i n ( xxxx
x
eeee e ?????
例 6
.)2(2 1ln 3
2
的导数求函数 ???? xxxy
练习：
.
1s i n
的导数求函数 xey ?
解 )1( s in
1s i n
??? xey x )1(1co s
1s i n
???? xxe x
.1co s1
1s in
2 xex
x ???
例 7 求 的导数。 )
42t a n (ln
??? xy
解,设
42,t a n,ln
????? xvvuuy
由 得 )()()( xvufy ?? ???????
)42()( t a n)( l n ???????? ?xvuy
2
1
)
42
(c o s
1
)
42
t a n (
1
2
?
?
?
?
? ?? xx
.s e c
)
2
s i n (
1
)
42
c o s ()
42
s i n (2
1 x
xxx
?
?
?
??
? ???
2
1
c o s
11
2 ??? vu
熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，
由外及里、逐层求导。
例 8 求 的导数5)23( ?? xy
解,y'= [(3x+2)5]' =5(3x+2)4(3x+2)'
=5(3x+2)4(3+0)=15(3x+2)4
例 9 求 的导数xy
2c o s?
解,y'=[(cosx)2]' =2cosx (cosx) '
=2cosx (-sinx) x2s in??
例 10 求 的导数32s in xy ?
解,y'={[sin(x3)]2}'=2sin(x3) [sin(x3)]'
=2sin(x3) cos(x3) (x3)'
=2sin(x3) cos(x3) 3x2
=6x2sin(x3) cos(x3)
例 11 求 的导数xy 4s inln?
解,y'={ln[sin(4x)]}'
= [sin(4x)] '
x4sin
1 = cos(4x)(4x) '
x4sin
1
x4sin
4= cos(4x) x4c o t4?
例 12 求 的导数
2c o t
xy ?
解：
)2( c o t)2( c o t21)2c o t( 2
1
?????? ? xxxy
)
2
(
2
s in
1
2
c o t
1
2
1
2
????? x
xx
2
c o t
1
2
s in
1
4
1
2 xx
????
2
si n4
2
t a n
2 x
x
??
练习 求下列函数的导数
1,xey 3?
解,xxx exeey 333 3)3()( ??????
2,)co s ( 3xy ?
解,)(s i n)( co s 333 ?????? xxxy 32 s i n3 xx??
xey
1si n
?
)1( s in
1s i n
??? xey x )1(1c o s
1s i n
?? xxe x
xxe
x 1c o s)1(
2
1s i n
??
xex
x 1c o s1
1s i n
2??
3.
解：
4,3 2ln1 xy ??
)ln1()ln1(31 213
1
2 ????? ? xxy解,
])( l n1[)ln1(31 23
2
2 ????? ? xx
])( lnln20[)ln1(31 3
2
2 ???? ? xxx
xxx ln12)ln1(31 3
2
2 ???
xxx ln)ln1(32 3
2
2 ???
例 13 求下列函数的导数
综合运用求导法则求导
xexy 22s i n).1( ??
)2( s i n 2 ???? xexy解,)()2( s i n 2 ???? xex
)2()2(2c o s 2 ???? xexx x
xex 222c o s2 ??
33 )( l nln).2( xxy ??
])[ ( l n)( l n 33 ????? xxy解,)( l n)( l n3)(1 23
3 ???? xxxx
xxxx
1)( l n331 22
3 ?? ])( l n1[
3)( l n33 22 x
xxxx ????
例 14 求下列函数的导数
32 1)45( xxy ???
解,??y ???? 312 )1()45( xx ])1)[(45( 312 ??? xx
)1()1(31)45()1(10 3
2
23
1
?????? ?xxxx
.
)1(
1)45(
3
1110
3 2
23
x
xxx
?
????
（ 1）
42 )s i n( xxy ??
解, )s i n()s i n(4 232 ????? xxxxy
])( s i n[)s i n(4 232 ????? xxxx
])( s i ns i n21[)s i n(4 32 ???? xxxx
)c o ss i n21()s i n(4 32 xxxx ???
)2s i n1()s i n(4 32 xxx ???
（ 2）
?先化简再运用导数法则求导
例 15 求下列函数的导数
1
1
2 ??? xxy
解, 先将已知函数分母有理化, 得
?
????
???
)1)(1(
1
22
2
xxxx
xxy 12 ?? xx
??y )1(
12
11 2
2
??
?
? x
x 1
1 2 ??? x x
（ 1）
x
xy
c o s1
s in 2
??
解,因为
x
xy
c o s1
s in 2
?? xx
x c o s1
c o s1
c o s1 2 ??
?
??
所以 xy sin??
1
1ln
?
??
x
xy
解,因为 ?
?
??
1
1ln
x
xy )]1l n ()1[ l n (
2
1 ??? xx
所以 ??y
21
1)
1
1
1
1(
2
1
xxx ?????
（ 2）
（ 3）
练习 求下列函数的导数
xey x 3s i n.1 2?
21.2 xx eey ??
)3( s i n3s i n)( 22 ????? xexey xx解：
)3(3co s3s i n)2( 22 ???? xxexxe xx
xexe xx 3c o s33s i n2 22 ??
）（）（解,????? 21 xx eey
)(1 2
1
2 ???? xe
xe
xx ）（
221
2
1
xx xe
xe ?
?? 221 1
2
xx xee
x ?
??
x
xy
2c o s1
2s i n.4
??
xxxxxxy c o ts i nc o ss i n211 c o ss i n2 2 ??????解：
)( c o t ???? xy x2c s c??
1)1(.3 2 ??? xxy
)1)(1(1)1( 22 ????????? xxxxy解：
12 ?? x )1()1(21)1( 22
1
2 ????? ? xxx
12 ?? x xxx 2)1)(1(21 212 ????
1
)1(1
2
2
?
????
x
xxx
1
12
2
2
?
???
x
xx
四、双曲函数与反双曲函数的导数
c h xs h x ??)(
s h xc h x ??)(
xch
t h x 2
1
)( ??
21
1
)(
x
a r th x
?
??
21
1
)(
x
a r s hx
?
??
1
1
)(
2 ?
??
x
a r c hx
)11(11 22 xxxx ????? 21 1 x??
)1l n (s i n h 2xxx ???? ar
2
2
1
)1()s i n h(
xx
xxx
??
??????
ar
只证明其中一个公式
例 16
.)a rc t a n ( 的导数求函数 s h xy ?
解
)(1 1 2 ????? s h xxshy
c h xxsh ??? 21 1
xsh
c h x
21 ??
xxx
xx
xx
C
t a ns e c)( s e c
s e c)( t a n
c o s)( s i n
0)(
2
??
??
??
??
1 常数和基本初等函数的导数公式
xxx
xx
xx
xx
c o tc s c)( c s c
c s c)( c o t
s i n)( c o s
)(
2
1
???
???
???
??
???
?
ax
x
aaa
a
xx
ln
1)( l o g
ln)
??
??
x
x
ee xx
1)(ln
)(
??
??
五 小结
2
2
1
1
)( a r c t a n
1
1
)( a r c s i n
x
x
x
x
?
??
?
??
2
2
1
1
)c o t(
1
1
)( a r c c o s
x
x
x
x
?
???
?
???
arc
2 函数的和、差、积、商的求导法则
设 )(),( xvvxuu ?? 可导，则
（ 1） vuvu ????)(,（ 2） uccu ???)(
（ 3） vuvuuv ?????)(,（ 4） )0()( 2 ?????? vv vuvuvu,
( 是常数 )C? ?
3 复合函数的求导法则
).()()(
)]([)(),(
xufxy
dx
du
du
dy
dx
dy
xfyxuufy
?
??
???????
???
或导数为
的则复合函数而设
利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解
决,
(1)、复合函数求导的关键，在于首先把 复合函数分解成
初等函数或基本初等函数的和、差、积、商,然后运用
复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算。求导
之后应该把引进的中间变量代换成原来的自变量。
(2),熟悉了复合函数的求导法则后，可不写出中间变量，
直接 由外及里、逐层处理复合关系 进行求导。
(3)、有些函数可先化简再求导。
?作业 p102
2,(1) ~ (12) 3,(1) ~ (26)
六 思考判断题
1 幂函数在其定义域内一定可导。
2 任何初等函数的导数都可以按常数和基本
初等函数的求导公式和上述求导法则求出,
3 初等函数的导数仍为初等函数,
.)()(
)()(4
0
00
点可导在则
点不可导，在点可导，在、若
xxgxf
xxgxxf
?
.)()(
)()(5
0
00
点不可导在则
点不可导，在点可导，在、若
xxgxf
xxgxxf
.)()(
)()(6
0
00
点不可导在则
点不可导，在点不可导，在、若
xxgxf
xxgxxf
?
§ 3 参变量函数的导数
由参数方程所确定的函数的导
数
.
,
)(
)(
定的函数称此为由参数方程所确
间的函数关系与确定若参数方程 xy
ty
tx
?
?
?
?
?
?
?
xy 2???
消参数法
消参困难或无法消参的求导可用复合函数
求导方法
1 由参数方程确定的函数的定义
2 由参数方程所确定的函数的求导数的方法
2xy ??
例如
??
???
???
??
ttty
ttx
21
1
4
),()( 1 xttx ??? ?? 具有单调连续的反函数设函数
)]([ 1 xy ??? ??
,0)(,)(),( ??? ttytx ??? 且都可导再设函数
由复合函数及反函数的求导法则得
dx
dt
dt
dy
dx
dy ??
dt
dxdt
dy 1??
)(
)(
t
t
?
?
?
??
,)( )( 中在方程
??
?
??
??
ty
tx
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?故
,)( )( 二阶可导同样得到函数
?
?
?
?
?
ty
tx
?
?
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd ?
dx
dt
t
t
dt
d )
)(
)((
? ?
? ??
)(
1
)(
)()()()(
2 tt
tttt
??
????
???
????????
)(
)()()()(
32
2
t
tttt
dx
yd
?
????
?
????????故
例 1
解,先求运动的方向
。的运动方向和速度大小抛射体在时刻求
设抛射体的运动方程为
t
gttvy
tvx
?
?
?
?
?
??
?
,
2
1
,
2
2
1
x
y
o
v
xv
yv
0v
.
,
可由切线的斜率来反映
轨道的切线方向
时刻的运动方向，即在 t
)(
)21(
t a n
1
2
2
?
??
?? tv
gttv
dx
dy?
1
2
v
gtv ??
水平分速度为 1vdtdxv x ??
gtvdtdyv y ??? 2
时刻抛射体的速度为故在 t
22 yx vvv ??
2221 )( gtvv ???
，则设切线的倾角为 ?
再求速度的大小
铅直分速度为
例 2
解
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?
ta
tb
c o s
s i n
?? a
b
dx
dy
t
???
? 4?
.方程 处的切线在求椭圆
4s i n
c o s ??
?
?
?
?
? t
tby
tax
.2 2,2 2,4 byaxt ??? 时当 ?
所求切线方程为
)2 2(2 2 axabby ????
abbxay 2??即
例 3
解
.a r c t a n)1ln(
2
表示的函数的二阶导数求由方程
??
?
??
??
tty
tx
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?
t
t
t
t
2
1
1
2
1
1
1
2
2
?
?
?
?
?
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd ?
t
t
t
t 4
1
1
2
2
1
2
2
?
?
?
?
相关变化率问题
.
,
,
,)()(
变化率称为相关变化率
这样两个相互依赖的之间也存在一定关系
与从而它们的变化率之间存在某种关系
与而变量都是可导函数及设
定义：相关变化率
dt
dy
dt
dx
y
xtyytxx ??
相关变化率解决的问题,
已知其中一个变化率时求出另一个变化率
例 4
解
,5 0 0./1 4 0,
5 0 0
率是多少观察员视线的仰角增加
米时当气球高度为秒米其速率为上升
米处离地面铅直一汽球从离开观察员
则的仰角为
观察员视线其高度为秒后设气球上升
,
,,
?
ht
5 0 0ta n
h??
求导得上式两边对 t dtdhdtd ??? 5 0 01s ec 2 ??
,/140 秒米?dtdh? 2s e c,5 00 2 ?? ?米时当 h
)/(14.0 分弧度?? dtd ?
?
米500
米500
例 5
解
大速率。厘米时，气体体积的增求在半径为
秒的速度增大，厘米已知一气球半径以
10
/10 3
3
3
4 rVVr ??，则，体积为设气球的半径为
dt
drr
dt
dv 24 ??于是有
240,10 r
dt
dVscm
dt
dr ??? 则已知
scmdtdVcmr 32 4 0 0 0104010 ?? ???? 时，当
小结与思考判断题
隐函数求导方法, 直接对方程两边求导 ;
对数求导法, 对方程两边取对数,按隐函数的求
导法则求导 ;
参数方程求导, 实质上是利用复合函数求导法则 ;
相关变化率, 通过函数关系确定两个相互依赖的
变化率 ; 由其中一个变化率时求出另一个变化率
思考题
1,
2
,
,2
2
2
2
?????
?
?
?
?
?
t
dx
yd
t
t
t
dx
dy
ty
tx
设
下面的计算是否正确
§ 4 高阶导数
一 问题的提出 (Introduction)
变速直线运动的加速度 问题
),( tss ?设
dt
dststv ??? )()(则速度为
的变化率对时间是速度而加速度 tva
).(])([)()( tststvta ????????故
即加速度是位移对时间的导数的导数。
二 高阶导数的定义
.)())((
,)( )(
处的二阶导数在点为函数则称
处可导在点的导数如果函数
xxfxf
xxfxf
??
?
记作
2
2
2
2 )(
),(,dx xfddx ydxfy 或????
)()( 2
2
dx
dy
dx
d
dx
ydyy ?????? 或即
类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,
记作
3
3
3
3 )(
),(,dx xfddx ydxfy 或??????
记作阶导数的函数
阶导数的导数称为的函数一般地
,)(
1)(,
nxf
nxf ?
.)(,),( )()( n
n
n
n
nn
dx
xfd
dx
ydyxf 或
三阶导数的导数称为四阶导数,
二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数,
.)(;)(
称为一阶导数
称为零阶导数
xf
xf
?
高阶导数的定义
三 高阶导数的求法
例 1
.,,a r c t a n yyxy ?????? 求设
解
21
1
xy ??? )1
1(
2 ????? xy 22 )1(
2
x
x
?
??
))1( 2( 22 ??????? x xy 32
2
)1(
)13(2
x
x
?
??
1 直接法 求高阶导数就是多次接连地求导数,
例 2
ybaxy ???? 求设,
0,????? yay
例 3, 阶导数公式求幂函数的 n
解 1????? xy
)( 1 ????? ??xy 2)1( ????? x
??
3)2)(1( ???????? x))1(( 2 ??????? ??xy
)1()1()1()( ???????? ?? nxny nn ?
则若,n??
)()( )( nnn xy ?,!n? )!()1( ??? ny,0?
)( Rxy ?? ??设
例 4,),1l n ( )( nyxy 求设 ??
解 xy ??? 1 1 2)1( 1 xy ?????
3)1(
!2
xy ????? 4
)4(
)1(
!3
xy ???
??
)1!0,1()1( )!1()1( 1)( ?????? ? nxny nnn
2 数学归纳法证明高阶导数
例 5,,s i n )( nyxy 求设 ?
解 xy c o s?? )2s i n ( ??? x
)2co s ( ????? xy )22s i n ( ????? x )22s i n ( ???? x
)22co s ( ??????? xy )
23s i n (
???? x
??
)2s i n ()( ???? nxy n
)2co s ()( co s )( ???? nxx n同理可得
3 高阶导数的运算法则
则阶导数具有和设函数,nvu
)()()()()1( nnn vuvu ???
)()()()2( nn CuCu ?
)()(
0
)()()(
)2()1()()(
!
)1()1(
!2
)1(
)()3(
kkn
n
k
k
n
nkkn
nnnn
vuC
uvvu
k
knnn
vu
nn
vnuvuvu
?
?
?
??
??
??
???
?
??
?
?????
?
?
公式（ 3）称为
莱布尼兹公式
例 6,,)20(22 yexy x 求设 ?
解 则由莱布尼兹公式知设,,22 xveu x ??
0)()(
!2
)120(20
)()(20)(
2)18(2
2)19(22)20(2)20(
????
?
?
?????
xe
xexey
x
xx
22
!2
1920
22202
218
2192220
?
?
?
?????
x
xx
e
xexe
)9520(2 2220 ??? xxe x
3 间接法
几个初等函数的高阶导数
nn xnx ??? ??????? )1()1()()4( )( ?
n
nn
x
nx )!1()1()( l n)5( 1)( ??? ?
)2s in ()( s in)2( )( ???? nkxkkx nn
)2co s ()( co s)3( )( ???? nkxkkx nn
)0(ln)()1( )( ??? aaaa nxnx xnx ee ?)()(
利用已知的高阶导数公式,通过四则
1
)( !)1()1(
??? n
nn
x
n
x
运算,变量代换等方法,求出 n阶导数,
例 7
.,11 )50(2 yxy 求设 ??
解 )1111(21112 ?????? xxxy?
])1( !50)1( !50[21 5151)50( ??????? xxy
四 小结与思考判断题
高阶导数的定义 ;
高阶导数的运算法则 ;
n阶导数的求法 ;
几个初等函数的高阶导数,
思考判断题
32
2
)(,
1
y
y
dy
xd
ydy
dx
?
????
?? 则设
§ 5 微分
一 问题的提出
20xA?
0x
0x
,00 xxx ??变到如果边长由
则正方形面积改变量为
2020 )( xxxA ??? ??
.)(2 20 xxx ?????
)(? )(?;,的主要部分为的线性函数 Ax ??,,很小时可忽略当的高阶无穷小 xx ??:)(?
:)(?
x?
x?
2)( x?
xx ?0
xx ?0
1 面积问题 设有一边长为 的正方形
0x
2 自由落体问题
2
0
2
0 2
1)(
2
1 gtttgs ??? ??
2
0 )(
2
1 tgtgt ?? ????
,很小时当 t? ),( )(2
1 2 tottg ??? 的高阶无穷小是
2
2
1 gts ?动方程为当质点自由下落时，运
时刻经过的路程为时刻到质点从 ttt ??00
tgts ?? 0 ?所以
二 微分的定义
1 定义
.),(
,)(
,)(
),(
)()()(
,
,)(
00
0
0
0
00
00
xAdyxdfdy
xxxfy
xAxxfy
xA
xoxAxfxxfy
xxx
xfy
xxxx
???
??
???
?
??????????
??
?
??
即或记作
的微分相应于自变量增量在点
为函数并且称可微在点
则称函数无关的常数是与其中成立
如果在这区间内及
在某区间内有定义设函数
.的线性主部叫做函数增量微分 ydy ?
恩格斯在, 自然辩证法, 中，对微分作了一个形
象的解释：
硫磺在一定温度下被蒸发为硫磺气，取一块正方
形硫磺薄板,放入容器，立刻降低容器内的温度，
则硫磺气凝固为硫磺，一部分附着于薄板，设薄板
的一对相邻的两边和两面均被某种不能附着硫磺的
物质遮盖，再设另一对相邻两边的那一层硫磺分子，
而误差就是附着在角点的一个硫磺分子。因为两条
直线上的分子很多，误差的这一个分子和它们相比，
是微不足道的。
)(xfy ?
0x
M
N
T
dy y?
)( xo?
） x
y
o ?
x?
2 几何意义 (如图 )
.
,
对应的增量
就是切线纵坐标
坐标增量时
是曲线的纵当
dy
y?
xx ??0
P
.
,,
MNMP
Mx
可近似代替曲线段切线段
的附近在点很小时当 ?
注 1：;)(,0 有关和但与无关的常数是与 xxfxA ?;的线性函数是自变量的改变量 xdy ?
注 2：
dyyx ???,很小时当
注 3：
xdxdyxy ???? 时，当
三 可微与可导关系
).(,)(
)(
00
0
xfAxxf
xxf
??且处可导在点数
可微的充要条件是函在点函数
定理
证 (1) 必要性,)( 0 可微在点 xxf?
),( xoxAy ???????,)( xxoAxy ???????
x
xoA
x
y
xx ?
???
?
?
????
)(limlim
00则,A?
).(,)( 00 xfAxxf ??且可导在点即函数
(2) 充分性
),()( 0 xxxfy ?????????从而
,)( 0 ?????? xfxy即
,)( 0 可导在点函数 xxf?
),(l im 00 xfxyx ????? ??
),0(0 ???? x?
),()( 0 xoxxf ??????
.)(,)( 00 Axfxxf ??且可微在点函数?
).(,0xfA ???? 可微可导
.)(),(,
,)(
dxxfdyxdfdy
xxfy
??
?
即或记作微分
称为函数的的微分在任意点函数
注 1：
,)( dxxfdy ??? ).( xf
dx
dy ???
".".
2
微商导数也叫该函数的导数
之商等于与自变量的微分：函数的微分注 dxdy
函数的变化率问题
函数的增量问题微分
导数
注 3：导数与微分的区别
例 1
解
.02.0,23 时的微分当求函数 ???? xxxy
xxdy ??? )( 3?,3 2 x??
02.0
2
2
02.0
2 3
??
?
??
? ???
x
x
x
x xxdy,24.0?
.3,13 时的微分和当求函数 ??? xxxy
例 2
解 xxdy ??? )( 3?,3 2 x??
xxxdy xx ?? 33 121 ??? ??
xxxdy xx ?? 273 323 ??? ??
四 基本初等函数的微分公式与法则
dxxfdy )(??
先 计算函数的导数,再 乘以自变量的微分,
1 基本初等函数的微分公式
x d xxxdx d xxxd
x d xxdx d xxd
x d xxdx d xxd
dxxxdCd
co tcs c)( cs ct a ns ec)( s ec
cs c)( co ts ec)( t a n
s i n)( co sco s)( s i n
)(0)(
22
1
???
???
???
???
???
dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
ax
xd
dxeedadxaad
a
xxxx
22
22
1
1
)co t(
1
1
)( a rct a n
1
1
)( a rcc o s
1
1
)( a rcs i n
1
)( l n
ln
1
)( l o g
)(ln)(
?
??
?
?
?
??
?
?
??
??
2 函数和、差、积、商的微分法则
2)()(
)()(
v
u d vvd u
v
u
du d vvd uuvd
C d uCuddvduvud
?
???
????
arc
3 复合函数的微分法则;)(,)1( dxxfdyx ??是自变量时若
则微函数
的可即另一变量是中间变量时若
),(
,)2(
tx
tx
??
),()( xfxfy ?? 有导数设函数
dttxfdy )()( ? ???
,)( dxdtt ?? ??,)( dxxfdy ???
结论, 的微分形式总是
函数是自变量还是中间变量无论
)(
,
xfy
x
?
微分形式的不变性
dxxfdy )(??
解 2
例 3
解 1
.),12s i n ( dyxy 求设 ??
.12,s i n ??? xuuy?
u d udy co s?? )12()12co s ( ??? xdx
dxx 2)12co s ( ???,)12co s (2 dxx ??
)12c o s (2])12[ s i n ( ??????? xxdxdyy
.)12c o s (2 dxxdy ??
微分形式的不变性
例 4
解 1
.),ln( 2 dyexy x 求设 ??
,21 2
2
x
x
ex
xey
?
????,21
2
2
dx
ex
xedy
x
x
?
???
解 2
)1(
1
1)1l n ( 2
2
2 xx ed
e
eddy
x
?
?
???
)(
1
1 22
2 xde
e
x
x?
? xdxe
e
x
x
2
1
1 2
2
?
?
dx
e
xe
x
x
2
2
1
2
?
?
例 5
解 1
解 2
.,c o s31 dyxey x 求设 ??
)( c o s)(c o s 3131 xdeedxdy xx ???? ??
.s i n)( c o s,3)( 3131 xxee xx ?????? ???
dxxedxexdy xx )s i n()3(c o s 3131 ??????? ??
.)s i nc o s3(31 dxxxe x ??? ?
)s i nco s3(31 xxey x ???? ?
.)s i nc o s3(31 dxxxedy x ??? ?
例 6
解
在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使
等式成立,
.;c o s)()2( ) ()1( t d tdxdxd ???
,c o s)( s i n)2( t d ttd ??? ??
)( s i n1co s tdt d t ?????
.co s)s i n1( t d tCtd ??????
);s i n1( td ???
xx ??)2(
2
? )
2
(
2
xdxxd ??
五 小结与思考判断题
求导数与微分的方法,叫做微分法,
导数与微分的联系,,可微可导 ?
dxxfdy )(??
微分的基本公式,
函数的和、差、积、商的微分法则,
§ 2 求导法则
§ 3 参变量函数的导数
§ 4 高阶导数
§ 5 微分
§ 1 导数的概念
一 问题的提出
1.直线运动的速度问题
,
)(
0 时刻的瞬时速度求
数为设动点于时刻的位置函
t
tfs ?
0t
如图,
,0 tt 的时刻取一邻近于,?运动时间
t
sv
?
??平均速度
0
0
0
0 )()(
tt
tftf
tt
ss
?
??
?
??
,0时当 tt ? 取极限得 t? t
0
0 )()(l i m
0 tt
tftfV
tt ?
??
?
瞬时速度
2.切线问题 切线：割线的极限
播放
M
N
T
割线 MN
绕点 M旋
转而趋向
极限位置
MT,直线
MT就称
为曲线 C
在点 M处
的切线,
? ?
T
0x xo x
y )( xfy ?
C
N
M
).,(),,( 00 yxNyxM设
的斜率为割线 MN
0
0t a n
xx
yy
?
???
,)()(
0
0
xx
xfxf
?
??
,,0xxMN C ???? ?? 沿曲线
的斜率为切线 MT
.)()(limt a n
0
0
0 xx
xfxfk
xx ?
???
?
?
二 导数的定义
,,)(
,)(
,0
);()(
,)
(,
)(
0
0
0
00
0
0
0
xx
yxxfy
xxfy
xx
yxfxxfy
yxx
xxx
xxfy
?
??
?
???
??????
??
?
?
记为处的导数在点数
并称这个极限为函处可导在点
则称函数时的极限存在之比当
与如果得增量
取相应地函数时仍在该邻域内
点处取得增量在当自变量有定义
的某个邻域内在点设函数
1.定义
.)()(lim)( 00
00 h
xfhxfxf
h
????
?
导数定义其它常见形式：
.)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx ?
???
?
x
xfxxf
x
yy
xxxx ?
????
?
???
?????
)()(limlim 00
000
)(,0
0
xf
dx
dy
xx ??
即
.
,0
慢程度
而变化的快因变量随自变量的变化反映了
它处的变化率点导数是因变量在点 x
.)(,
)(
内可导在开区间就称函数处都可导
内的每点在开区间如果函数
Ixf
Ixfy ?1）
注 1
2 导函数
.
)(
),(,
.)(.
)(,
dx
xdf
dx
dy
xfy
xf
xfIx
或记作
的导函数这个函数叫做原来函数导数值
的一个确定的都对应着对于任一
??
?
x
xfxxfy
x ?
?????
??
)()(lim
0
即
很明显
.)()( 00 xxxfxf ????
2）
如果 )( xf 在开区间 ? ?ba,内可导，且 )( af ?? 及
)( bf ?? 都存在，就说 )( xf 在闭区间 ? ?ba,上可导,
3）
右导数,
3 单侧导数
左导数,;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx ?
????
?
???
??????;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx ?
????
?
???
??????
判断函数在某一点可导的充分必要条件：
)()()( 0'0'0 xfxfxxf ?? ??点可导在函数
例,0)( 处的可导性在讨论函数 ?? xxxf
解 xy?
x
y
o
,)0()0( hhh fhf ????
h
h
h
fhf
hh ?? ??
???
00
lim)0()0(lim,1?
h
h
h
fhf
hh
????
?? ?? 00 li m
)0()0(li m,1??
),0()0( ?? ??? ff即,0)( 点不可导在函数 ??? xxfy
三 由定义求导数举例
步骤, );()()1( xfxxfy ?????求增量;)()()2( x xfxxfxy ? ??????算比值
.lim)3( 0 xyy x ???? ??求极限
例 1,)()( 的导数为常数求函数 CCxf ?
解 h xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
????
?h
CC
h
?
? 0l i m
.0?
常数的导数是零。即,0)( ??C
例 2,)( 的导数为正整数求函数 nxy n?
解 h xhxx
nn
h
n ????
?
)(lim)(
0
]!2 )1([l i m 1210 ???? ????? nnnh hhxnnnx ?1?? nnx
.)( 1??? nn nxx即
更一般地 )(.)( 1 为常数?? ?? ??? xx
)()( 2
1
??? xx
例如,121
2
1 ?? x,
2
1
x?
)()1( 1 ??? ?xx
11)1( ???? x,1
2x??
例 3
)( s i n,s i n)( ?? xxxf 求若函数
解
h
xhxxxf
h
s i n)s i n (lim)( s i n)(
0
??????
?
2
2
s i n
)
2
co s (l i m
0 h
h
h
x
h
???
?,cos x?
xx c o s)( s i n ??故
xx s i n)( co s ??同样地，
例 4,)1,0()( 的导数求函数 ??? aaaxf x
解 h aaa xhx
h
x ???
?
? 0
lim)(
h
aa h
h
x 1lim
0
??
?
.ln aa x?
xx ee ??)( 特别地，
.ln aa x?)( ?
xa
例 5,)1,0(l o g 的导数求函数 ??? aaxy a
解 h xhxy aah lo g)(lo glim 0 ???? ?
.l o g1)( l o g exx aa ??即
x
x
h
x
h
a
h
1)1(l o g
l i m
0
?
?
?
?
h
x
ah x
h
x )1(l o gl i m
1
0
??
?
.l o g1 ex a?
xx
1)( l n ??特别地，
四 导数的意义
o x
y )(xfy ?
?
T
0x
M
1 几何意义
)(,t a n)(
,
))(,(
)()(
0
00
0
为倾角
即切线的斜率
处的在点
表示曲线
????
??
xf
xfxM
xfyxf
切线方程为
法线方程为
).)(( 000 xxxfyy ????
).()(1 0
0
0 xxxfyy ?????
四、导数几何意义的应用
1、根据导数的几何意义，可以得到曲线 在定点
处的 切线方程为,
)( xfy ?
),( 000 yxM
))(( 000 xxxfyy ????
2,如果, 则法线的斜率为, 从而点
处 法线方程为,
0)( 0 ?? xf )(1
0xf ?
?
)()(1 0
0
0 xxxfyy ?????
0M
例 6 求曲线 在点（ 4,2）处的切线方程和法线方程。xy?
解,（ 1）函数 在 x=2处的导数：xy ?
?? ?4xy
（ 2） 所求切线的斜率
4
1?
切k
)4(412 ??? xy 044 ??? yx即
（ 4）法线的斜率,故所求的法线方程为：
41 ????
切
法 kk
)4(42 ???? xy 0184 ??? yx即
（ 3） 由直线的点斜式方程可得曲线的切线方程为：
4
1
2
1
4 ??xx
例 7 曲线 上哪些点处的切线与直线 平行？23xy ? 13 ?? xy
解：由导数的几何意义可知，曲线 在点 处的
切线的斜率为：
2
3
xy ? ),( 00 yxM
???? ? )( 2300 xy xx
而直线 的斜率为13 ?? xy 3?k
323 0 ?x
解此方程，得 40 ?x
将 代入曲线方程,得 。40 ?x 23xy? 8
0 ?y
根据两直线平行的条件有
所以, 曲线 在点 处的切线与直线 平行 。23xy ? )8,4(M 13 ?? xy
02
1
0 2
3
2
3 xx ?
?练习
求曲线 在点 （ 1,1） 处的切线方程和法线方程3xy ?
解,??
?1xy
3?切k
所以，切线方程为：
)1(31 ??? xy
法线方程为：
)1(311 ???? xy
即 023 ??? yx
即 043 ??? yx
33 12 ??xx
即切线的斜率为：
例 8
.,
)4,2(2
方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率
处的切线的在点求曲线 xy ?
解 根据导数的几何意义,得切线斜率为
2??? xyk
所求切线方程为
法线方程为
),2(44 ??? xy
),4(414 ???? xy
.044 ??? yx即
.0174 ??? yx即
xxy 2)( 2 ???? 42 ??? ?xyk
2 简单的物理意义
1）变速直线运动中 路程对时间的导数为物
体的瞬时速度,,lim)(
0 dt
ds
t
stv
t
????
??
2）交流电路中 电量对时间的导数为电流强
度,,lim)(
0 dt
dq
t
qti
t
????
??
3）非均匀物体中 质量对长度 (面积,体积 )的
导数为物体的线 (面,体 )密度,
.l i m)(
0 dP
dm
P
mP
P
??
? ?
?
?
?
五 可导与连续的关系
结论,可导的函数一定是连续的。
证,)( 0 可导在点设函数 xxf
)(l i m 00 xfxyx ?????? ?????? )( 0xfxy
xxxfy ?????? ?)( 0
])([limlim 000 xxxfy xx ??????? ???? 0?
.)( 0 连续在点函数 xxf?
)0(0 ??? x?
比如
处连续但不可导在函数 0)( ?? xxxf
解 xy?
x
y
o
,)0()0( hhh fhf ????
h
h
h
fhf
hh ?? ??
???
00
lim)0()0(lim,1?
h
h
h
fhf
hh
????
?? ?? 00 li m
)0()0(li m,1??
),0()0( ?? ??? ff即,0)( 点不可导在函数 ??? xxfy
注意, 反之不成立,即连续不一定可导。
六 小结与思考判断题
1,导数的概念与实质, 增量比的极限 ;
2, axf ?? )( 0 ? ??? )( 0xf ;)( 0 axf ???
3,导数的几何意义与物理意义,
5,函数可导一定连续，但连续不一定可导 ;
4,由定义求导数,
思考判断题
1、初等函数在其定义区间内必可导
2、初等函数的导数仍是初等函数
一定存在。
处有切线，则在（曲线、
)(
))(,)( 3
0
00
xf
xfxxfy
?
?
六、练习
1,利用幂函数的求导公式, 求下列函数的导数
8.018.1 8.18.1)1( xxy ??? ?解,413 33)2( ??? ????? xxy
2
3
1
2
1
2
1
2
1 2
1
2
1
)()
1
()3(
????
????????? xxx
x
y
4
91
4
13
4
13
4
13
4
1
3
4
13
4
13)()()()4( xxxxxxy ?????????? ??
81)1( ?? xy
3)2( ?? xy
xy
1)3( ? 43)4( xxy ??
2、熟记以下导数公式：
（ 1） （ C)‘=0
（ 2）
1)( ??? ?? ? xx
( 3) xx c o s)( s i n ??
（ 4） xx s i n)( c o s ???
axxa ln
1)(l o g ??
xx
1)(ln ??（ 5）
八, 作业 P94,1,3,4,5,6,7.
§ 2 求导法则
一 和、差、积、商的求导法则
定理 2
并且处也可导们的和在点
则它处可导在点如果函数
,
,)(),(
x
xxvxu
);()(])()([ xvxuxvxu ??????
并且处也可导们的差在点
则它处可导在点如果函数
,
,)(),(
x
xxvxu
);()(])()([ xvxuxvxu ??????
定理 1
证 (1)
)()()( xvxuxf ??设
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
????
?
h
xvxuhxvhxu
h
)]()([)]()([lim
0
??????
?
(2)略,
h
xvhxvxuhxu
h
)]()([)]()([lim
0
??????
?
)()( xvxu ????
推论
)()()(])()()([)1( 2121 xfxfxfxfxfxf mm ????????? ??
例 1,ln23 的导数求 xxxy ???
解
xxxy
123 2 ????
定理 3
并且处也可导们的积在点
则它处可导在点如果函数
,
,)(),(
x
xxvxu
);()()()(])()([ xvxuxvxuxvxu ??????
推论
);(])([)2( xfCxCf ???
wuvwvuvwuu v w ???????][)3(
注意, );()(])()([ xvxuxvxu ??????
例 2,ln2s i n 的导数求 xxy ??
解 xxxy lnco ss in2 ????
xxxy lnc o sc o s2 ???? xxx ln)s i n(s i n2 ????
xxx
1co ss i n2 ???,2s i n1ln2co s2 x
xxx ??
并且处也可导在点分母不为零们的商
则它处可导在点如果函数
,)(
,)(),(
x
xxvxu
).0)(()( )()()()(])( )([ 2 ?????? xvxv xvxuxvxuxv xu
定理 4
证 ),0)((,)( )()( ?? xvxv xuxf设
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
????
?
hxvhxv
hxvxuxvhxu
h )()(
)()()()(lim
0 ?
????
?
h
xv
xu
hxv
hxu
h
)(
)(
)(
)(
li m
0
?
?
?
?
?
hxvhxv
xvhxvxuxvxuhxu
h )()(
)]()()[()()]()([lim
0 ?
??????
?
)()(
)()()()()()(
lim
0 xvhxv
h
xvhxvxuxv
h
xuhxu
h ?
???????
?
?
2)]([
)()()()(
xv
xvxuxvxu ????
.)( 处可导在 xxf? 注意,,)( )(])( )([ xv xuxv xu ????
例 3,t a n 的导数求 xy ?
解 )co ss i n()( t a n ????? xxxy
x
xxxx
2c o s
)( c o ss i nc o s)( s in ????
x
xx
2
22
c o s
s inc o s ?? x
x
2
2 s ecco s
1 ??
同理可得
xxy 2s e c)( t a n ????
xxy 2cs c)( co t ?????
例 4,s e c 的导数求 xy ?
解 )co s1()( s ec ????? xxy
x
x
2co s
)( co s ???,t a ns e c xx?
x
x
2co s
s in?
同理可得
例 5 ).(,
0,
0,s i n)( xf
xx
xxxf ?
?
?
?
?
?? 求设
分段函数 求导时,分界点导数用左右导数求,
xxxy c o tc s c)( c s c ?????
解
,1)( ?? xf
,0时当 ?x
,0时当 ?x
xxf c o s)( ??
,0时当 ?x
10)0s i n (lim)0(
0
?????
??? h
hf
h
10l i m)0(
0
????
??? h
hf
h
.1)0( ??? f
.0,1 0,c o s)(
?
?
?
?
????
x
xxxf
二 反函数的导数
.
)(
1
)(
,
)(,0)(
)(
x
xf
I
xfyy
Iyx
x
y
? ?
??
??? ?
??
且有内也可导
在对应区间那末它的反函数且
内单调、可导在某区间如果函数
证,xIx ?任取 x?以增量给
的单调性可知由 )( xfy ?,0??y
),0( xIxxx ?????
法则
于是有
,1
y
xx
y
?
?
?
?
?
,)( 连续因为 xf
0,0 ?? yx ?? 必有时所以当
)0)(( ?? y?
x
yxf
x ?
?
? 0
lim)(
?
??故 y
xy
?
?? ??
1lim
0
)(
1
y???
.)(1)( yxf ? ???即
即是 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,
例 1
.a rcs i ns i n 的导数为直接函数，求设函数 xyyx ??
解
,)2,2(s i n 内单调、可导在 ????? yIyx
,0c o s)( s in ??? yy且 内有在所以 )1,1( ??
xI
)( s in
1)( a r c s in
??? yx ycos
1?
y2s i n1
1
??
同理可得
21
1
x?
?
21
1)( a r c c o s
x
x
?
???
例 2
.a rct a nt a n 的导数为直接函数，求设函数 xyyx ??
解
,)2,2(t a n 内单调、可导在 ????? yIyx
,0s e c)( t a n 2 ??? yy且 内有在所以 ),( ?????xI
)( t a n
1)( a r c t a n
??? yx y2s e c
1?
y2t a n1
1
??
同理可得
21
1
x??
21
1)c o t(
xxa r c ????
例 3
,0ln)( ??? aaa yy且,),0( 内有在故 ???
xI
)(
1)( l o g
??? ya ax aa y ln
1?,
ln
1
ax?
解,),( 内单调、可导在 ??????
yy Iax
特别地,1)( ln xx ??
.l o g 的导数为直接函数，求设函数 xay yax ??
三 复合函数的求导法则
链式法则 （ Chain Rules)：
).()(
,
)]([,)(
)(,)(
00
0
00
0
0
xuf
dx
dy
x
xfyxu
ufyxxu
xx
? ????
????
???
?
且其导数为可导
在点则复合函数可导在点
而可导在点如果函数
证明,)( 0 可导在点由 uufy ?
)(lim 00 ufuyu ??? ???所以
)0lim()( 00 ?????? ?? ?? uufuy故
uuufy ?????? ?)( 0则
x
y
x ?
?
? 0
l i m
?
故 ])([li m 00 x
u
x
uuf
x ?
??
?
???
?? ?
x
u
x
uuf
xxx ?
???
?
???
?????? 0000 l iml iml im)(
).()( 00 xuf ? ???
注 1：链式求导法则，即 因变量对自变量求导,
等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自
变量求导,
注 2
),(),(),( xvvuufy ?? ???设
.
) ] }([{
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
xfy
???
? 的导数为则复合函数 ??
例 4,t a nln 的导数求函数 xy ?
解,t a n,ln xuuy ???
dx
du
du
dy
dx
dy ???
xu 2s e c1 ?? xx c o ss i n
1?
例 5
.)c o s (ln 的导数求函数 xey ?
解
xevvuuy ???,co s,ln?
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy ????
)t a n ()s i n(1 xxx eeevu ??????
注：熟练以后，可以不写出中间变量，此例可以
这样写：
])[ c o s ()c o s (1])c o s ([ l n ???? xxx eeedxdy
)t a n (])[()c o s ( )s i n ( xxxx
x
eeee e ?????
例 6
.)2(2 1ln 3
2
的导数求函数 ???? xxxy
练习：
.
1s i n
的导数求函数 xey ?
解 )1( s in
1s i n
??? xey x )1(1co s
1s i n
???? xxe x
.1co s1
1s in
2 xex
x ???
例 7 求 的导数。 )
42t a n (ln
??? xy
解,设
42,t a n,ln
????? xvvuuy
由 得 )()()( xvufy ?? ???????
)42()( t a n)( l n ???????? ?xvuy
2
1
)
42
(c o s
1
)
42
t a n (
1
2
?
?
?
?
? ?? xx
.s e c
)
2
s i n (
1
)
42
c o s ()
42
s i n (2
1 x
xxx
?
?
?
??
? ???
2
1
c o s
11
2 ??? vu
熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，
由外及里、逐层求导。
例 8 求 的导数5)23( ?? xy
解,y'= [(3x+2)5]' =5(3x+2)4(3x+2)'
=5(3x+2)4(3+0)=15(3x+2)4
例 9 求 的导数xy
2c o s?
解,y'=[(cosx)2]' =2cosx (cosx) '
=2cosx (-sinx) x2s in??
例 10 求 的导数32s in xy ?
解,y'={[sin(x3)]2}'=2sin(x3) [sin(x3)]'
=2sin(x3) cos(x3) (x3)'
=2sin(x3) cos(x3) 3x2
=6x2sin(x3) cos(x3)
例 11 求 的导数xy 4s inln?
解,y'={ln[sin(4x)]}'
= [sin(4x)] '
x4sin
1 = cos(4x)(4x) '
x4sin
1
x4sin
4= cos(4x) x4c o t4?
例 12 求 的导数
2c o t
xy ?
解：
)2( c o t)2( c o t21)2c o t( 2
1
?????? ? xxxy
)
2
(
2
s in
1
2
c o t
1
2
1
2
????? x
xx
2
c o t
1
2
s in
1
4
1
2 xx
????
2
si n4
2
t a n
2 x
x
??
练习 求下列函数的导数
1,xey 3?
解,xxx exeey 333 3)3()( ??????
2,)co s ( 3xy ?
解,)(s i n)( co s 333 ?????? xxxy 32 s i n3 xx??
xey
1si n
?
)1( s in
1s i n
??? xey x )1(1c o s
1s i n
?? xxe x
xxe
x 1c o s)1(
2
1s i n
??
xex
x 1c o s1
1s i n
2??
3.
解：
4,3 2ln1 xy ??
)ln1()ln1(31 213
1
2 ????? ? xxy解,
])( l n1[)ln1(31 23
2
2 ????? ? xx
])( lnln20[)ln1(31 3
2
2 ???? ? xxx
xxx ln12)ln1(31 3
2
2 ???
xxx ln)ln1(32 3
2
2 ???
例 13 求下列函数的导数
综合运用求导法则求导
xexy 22s i n).1( ??
)2( s i n 2 ???? xexy解,)()2( s i n 2 ???? xex
)2()2(2c o s 2 ???? xexx x
xex 222c o s2 ??
33 )( l nln).2( xxy ??
])[ ( l n)( l n 33 ????? xxy解,)( l n)( l n3)(1 23
3 ???? xxxx
xxxx
1)( l n331 22
3 ?? ])( l n1[
3)( l n33 22 x
xxxx ????
例 14 求下列函数的导数
32 1)45( xxy ???
解,??y ???? 312 )1()45( xx ])1)[(45( 312 ??? xx
)1()1(31)45()1(10 3
2
23
1
?????? ?xxxx
.
)1(
1)45(
3
1110
3 2
23
x
xxx
?
????
（ 1）
42 )s i n( xxy ??
解, )s i n()s i n(4 232 ????? xxxxy
])( s i n[)s i n(4 232 ????? xxxx
])( s i ns i n21[)s i n(4 32 ???? xxxx
)c o ss i n21()s i n(4 32 xxxx ???
)2s i n1()s i n(4 32 xxx ???
（ 2）
?先化简再运用导数法则求导
例 15 求下列函数的导数
1
1
2 ??? xxy
解, 先将已知函数分母有理化, 得
?
????
???
)1)(1(
1
22
2
xxxx
xxy 12 ?? xx
??y )1(
12
11 2
2
??
?
? x
x 1
1 2 ??? x x
（ 1）
x
xy
c o s1
s in 2
??
解,因为
x
xy
c o s1
s in 2
?? xx
x c o s1
c o s1
c o s1 2 ??
?
??
所以 xy sin??
1
1ln
?
??
x
xy
解,因为 ?
?
??
1
1ln
x
xy )]1l n ()1[ l n (
2
1 ??? xx
所以 ??y
21
1)
1
1
1
1(
2
1
xxx ?????
（ 2）
（ 3）
练习 求下列函数的导数
xey x 3s i n.1 2?
21.2 xx eey ??
)3( s i n3s i n)( 22 ????? xexey xx解：
)3(3co s3s i n)2( 22 ???? xxexxe xx
xexe xx 3c o s33s i n2 22 ??
）（）（解,????? 21 xx eey
)(1 2
1
2 ???? xe
xe
xx ）（
221
2
1
xx xe
xe ?
?? 221 1
2
xx xee
x ?
??
x
xy
2c o s1
2s i n.4
??
xxxxxxy c o ts i nc o ss i n211 c o ss i n2 2 ??????解：
)( c o t ???? xy x2c s c??
1)1(.3 2 ??? xxy
)1)(1(1)1( 22 ????????? xxxxy解：
12 ?? x )1()1(21)1( 22
1
2 ????? ? xxx
12 ?? x xxx 2)1)(1(21 212 ????
1
)1(1
2
2
?
????
x
xxx
1
12
2
2
?
???
x
xx
四、双曲函数与反双曲函数的导数
c h xs h x ??)(
s h xc h x ??)(
xch
t h x 2
1
)( ??
21
1
)(
x
a r th x
?
??
21
1
)(
x
a r s hx
?
??
1
1
)(
2 ?
??
x
a r c hx
)11(11 22 xxxx ????? 21 1 x??
)1l n (s i n h 2xxx ???? ar
2
2
1
)1()s i n h(
xx
xxx
??
??????
ar
只证明其中一个公式
例 16
.)a rc t a n ( 的导数求函数 s h xy ?
解
)(1 1 2 ????? s h xxshy
c h xxsh ??? 21 1
xsh
c h x
21 ??
xxx
xx
xx
C
t a ns e c)( s e c
s e c)( t a n
c o s)( s i n
0)(
2
??
??
??
??
1 常数和基本初等函数的导数公式
xxx
xx
xx
xx
c o tc s c)( c s c
c s c)( c o t
s i n)( c o s
)(
2
1
???
???
???
??
???
?
ax
x
aaa
a
xx
ln
1)( l o g
ln)
??
??
x
x
ee xx
1)(ln
)(
??
??
五 小结
2
2
1
1
)( a r c t a n
1
1
)( a r c s i n
x
x
x
x
?
??
?
??
2
2
1
1
)c o t(
1
1
)( a r c c o s
x
x
x
x
?
???
?
???
arc
2 函数的和、差、积、商的求导法则
设 )(),( xvvxuu ?? 可导，则
（ 1） vuvu ????)(,（ 2） uccu ???)(
（ 3） vuvuuv ?????)(,（ 4） )0()( 2 ?????? vv vuvuvu,
( 是常数 )C? ?
3 复合函数的求导法则
).()()(
)]([)(),(
xufxy
dx
du
du
dy
dx
dy
xfyxuufy
?
??
???????
???
或导数为
的则复合函数而设
利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解
决,
(1)、复合函数求导的关键，在于首先把 复合函数分解成
初等函数或基本初等函数的和、差、积、商,然后运用
复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算。求导
之后应该把引进的中间变量代换成原来的自变量。
(2),熟悉了复合函数的求导法则后，可不写出中间变量，
直接 由外及里、逐层处理复合关系 进行求导。
(3)、有些函数可先化简再求导。
?作业 p102
2,(1) ~ (12) 3,(1) ~ (26)
六 思考判断题
1 幂函数在其定义域内一定可导。
2 任何初等函数的导数都可以按常数和基本
初等函数的求导公式和上述求导法则求出,
3 初等函数的导数仍为初等函数,
.)()(
)()(4
0
00
点可导在则
点不可导，在点可导，在、若
xxgxf
xxgxxf
?
.)()(
)()(5
0
00
点不可导在则
点不可导，在点可导，在、若
xxgxf
xxgxxf
.)()(
)()(6
0
00
点不可导在则
点不可导，在点不可导，在、若
xxgxf
xxgxxf
?
§ 3 参变量函数的导数
由参数方程所确定的函数的导
数
.
,
)(
)(
定的函数称此为由参数方程所确
间的函数关系与确定若参数方程 xy
ty
tx
?
?
?
?
?
?
?
xy 2???
消参数法
消参困难或无法消参的求导可用复合函数
求导方法
1 由参数方程确定的函数的定义
2 由参数方程所确定的函数的求导数的方法
2xy ??
例如
??
???
???
??
ttty
ttx
21
1
4
),()( 1 xttx ??? ?? 具有单调连续的反函数设函数
)]([ 1 xy ??? ??
,0)(,)(),( ??? ttytx ??? 且都可导再设函数
由复合函数及反函数的求导法则得
dx
dt
dt
dy
dx
dy ??
dt
dxdt
dy 1??
)(
)(
t
t
?
?
?
??
,)( )( 中在方程
??
?
??
??
ty
tx
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?故
,)( )( 二阶可导同样得到函数
?
?
?
?
?
ty
tx
?
?
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd ?
dx
dt
t
t
dt
d )
)(
)((
? ?
? ??
)(
1
)(
)()()()(
2 tt
tttt
??
????
???
????????
)(
)()()()(
32
2
t
tttt
dx
yd
?
????
?
????????故
例 1
解,先求运动的方向
。的运动方向和速度大小抛射体在时刻求
设抛射体的运动方程为
t
gttvy
tvx
?
?
?
?
?
??
?
,
2
1
,
2
2
1
x
y
o
v
xv
yv
0v
.
,
可由切线的斜率来反映
轨道的切线方向
时刻的运动方向，即在 t
)(
)21(
t a n
1
2
2
?
??
?? tv
gttv
dx
dy?
1
2
v
gtv ??
水平分速度为 1vdtdxv x ??
gtvdtdyv y ??? 2
时刻抛射体的速度为故在 t
22 yx vvv ??
2221 )( gtvv ???
，则设切线的倾角为 ?
再求速度的大小
铅直分速度为
例 2
解
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?
ta
tb
c o s
s i n
?? a
b
dx
dy
t
???
? 4?
.方程 处的切线在求椭圆
4s i n
c o s ??
?
?
?
?
? t
tby
tax
.2 2,2 2,4 byaxt ??? 时当 ?
所求切线方程为
)2 2(2 2 axabby ????
abbxay 2??即
例 3
解
.a r c t a n)1ln(
2
表示的函数的二阶导数求由方程
??
?
??
??
tty
tx
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?
t
t
t
t
2
1
1
2
1
1
1
2
2
?
?
?
?
?
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd ?
t
t
t
t 4
1
1
2
2
1
2
2
?
?
?
?
相关变化率问题
.
,
,
,)()(
变化率称为相关变化率
这样两个相互依赖的之间也存在一定关系
与从而它们的变化率之间存在某种关系
与而变量都是可导函数及设
定义：相关变化率
dt
dy
dt
dx
y
xtyytxx ??
相关变化率解决的问题,
已知其中一个变化率时求出另一个变化率
例 4
解
,5 0 0./1 4 0,
5 0 0
率是多少观察员视线的仰角增加
米时当气球高度为秒米其速率为上升
米处离地面铅直一汽球从离开观察员
则的仰角为
观察员视线其高度为秒后设气球上升
,
,,
?
ht
5 0 0ta n
h??
求导得上式两边对 t dtdhdtd ??? 5 0 01s ec 2 ??
,/140 秒米?dtdh? 2s e c,5 00 2 ?? ?米时当 h
)/(14.0 分弧度?? dtd ?
?
米500
米500
例 5
解
大速率。厘米时，气体体积的增求在半径为
秒的速度增大，厘米已知一气球半径以
10
/10 3
3
3
4 rVVr ??，则，体积为设气球的半径为
dt
drr
dt
dv 24 ??于是有
240,10 r
dt
dVscm
dt
dr ??? 则已知
scmdtdVcmr 32 4 0 0 0104010 ?? ???? 时，当
小结与思考判断题
隐函数求导方法, 直接对方程两边求导 ;
对数求导法, 对方程两边取对数,按隐函数的求
导法则求导 ;
参数方程求导, 实质上是利用复合函数求导法则 ;
相关变化率, 通过函数关系确定两个相互依赖的
变化率 ; 由其中一个变化率时求出另一个变化率
思考题
1,
2
,
,2
2
2
2
?????
?
?
?
?
?
t
dx
yd
t
t
t
dx
dy
ty
tx
设
下面的计算是否正确
§ 4 高阶导数
一 问题的提出 (Introduction)
变速直线运动的加速度 问题
),( tss ?设
dt
dststv ??? )()(则速度为
的变化率对时间是速度而加速度 tva
).(])([)()( tststvta ????????故
即加速度是位移对时间的导数的导数。
二 高阶导数的定义
.)())((
,)( )(
处的二阶导数在点为函数则称
处可导在点的导数如果函数
xxfxf
xxfxf
??
?
记作
2
2
2
2 )(
),(,dx xfddx ydxfy 或????
)()( 2
2
dx
dy
dx
d
dx
ydyy ?????? 或即
类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,
记作
3
3
3
3 )(
),(,dx xfddx ydxfy 或??????
记作阶导数的函数
阶导数的导数称为的函数一般地
,)(
1)(,
nxf
nxf ?
.)(,),( )()( n
n
n
n
nn
dx
xfd
dx
ydyxf 或
三阶导数的导数称为四阶导数,
二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数,
.)(;)(
称为一阶导数
称为零阶导数
xf
xf
?
高阶导数的定义
三 高阶导数的求法
例 1
.,,a r c t a n yyxy ?????? 求设
解
21
1
xy ??? )1
1(
2 ????? xy 22 )1(
2
x
x
?
??
))1( 2( 22 ??????? x xy 32
2
)1(
)13(2
x
x
?
??
1 直接法 求高阶导数就是多次接连地求导数,
例 2
ybaxy ???? 求设,
0,????? yay
例 3, 阶导数公式求幂函数的 n
解 1????? xy
)( 1 ????? ??xy 2)1( ????? x
??
3)2)(1( ???????? x))1(( 2 ??????? ??xy
)1()1()1()( ???????? ?? nxny nn ?
则若,n??
)()( )( nnn xy ?,!n? )!()1( ??? ny,0?
)( Rxy ?? ??设
例 4,),1l n ( )( nyxy 求设 ??
解 xy ??? 1 1 2)1( 1 xy ?????
3)1(
!2
xy ????? 4
)4(
)1(
!3
xy ???
??
)1!0,1()1( )!1()1( 1)( ?????? ? nxny nnn
2 数学归纳法证明高阶导数
例 5,,s i n )( nyxy 求设 ?
解 xy c o s?? )2s i n ( ??? x
)2co s ( ????? xy )22s i n ( ????? x )22s i n ( ???? x
)22co s ( ??????? xy )
23s i n (
???? x
??
)2s i n ()( ???? nxy n
)2co s ()( co s )( ???? nxx n同理可得
3 高阶导数的运算法则
则阶导数具有和设函数,nvu
)()()()()1( nnn vuvu ???
)()()()2( nn CuCu ?
)()(
0
)()()(
)2()1()()(
!
)1()1(
!2
)1(
)()3(
kkn
n
k
k
n
nkkn
nnnn
vuC
uvvu
k
knnn
vu
nn
vnuvuvu
?
?
?
??
??
??
???
?
??
?
?????
?
?
公式（ 3）称为
莱布尼兹公式
例 6,,)20(22 yexy x 求设 ?
解 则由莱布尼兹公式知设,,22 xveu x ??
0)()(
!2
)120(20
)()(20)(
2)18(2
2)19(22)20(2)20(
????
?
?
?????
xe
xexey
x
xx
22
!2
1920
22202
218
2192220
?
?
?
?????
x
xx
e
xexe
)9520(2 2220 ??? xxe x
3 间接法
几个初等函数的高阶导数
nn xnx ??? ??????? )1()1()()4( )( ?
n
nn
x
nx )!1()1()( l n)5( 1)( ??? ?
)2s in ()( s in)2( )( ???? nkxkkx nn
)2co s ()( co s)3( )( ???? nkxkkx nn
)0(ln)()1( )( ??? aaaa nxnx xnx ee ?)()(
利用已知的高阶导数公式,通过四则
1
)( !)1()1(
??? n
nn
x
n
x
运算,变量代换等方法,求出 n阶导数,
例 7
.,11 )50(2 yxy 求设 ??
解 )1111(21112 ?????? xxxy?
])1( !50)1( !50[21 5151)50( ??????? xxy
四 小结与思考判断题
高阶导数的定义 ;
高阶导数的运算法则 ;
n阶导数的求法 ;
几个初等函数的高阶导数,
思考判断题
32
2
)(,
1
y
y
dy
xd
ydy
dx
?
????
?? 则设
§ 5 微分
一 问题的提出
20xA?
0x
0x
,00 xxx ??变到如果边长由
则正方形面积改变量为
2020 )( xxxA ??? ??
.)(2 20 xxx ?????
)(? )(?;,的主要部分为的线性函数 Ax ??,,很小时可忽略当的高阶无穷小 xx ??:)(?
:)(?
x?
x?
2)( x?
xx ?0
xx ?0
1 面积问题 设有一边长为 的正方形
0x
2 自由落体问题
2
0
2
0 2
1)(
2
1 gtttgs ??? ??
2
0 )(
2
1 tgtgt ?? ????
,很小时当 t? ),( )(2
1 2 tottg ??? 的高阶无穷小是
2
2
1 gts ?动方程为当质点自由下落时，运
时刻经过的路程为时刻到质点从 ttt ??00
tgts ?? 0 ?所以
二 微分的定义
1 定义
.),(
,)(
,)(
),(
)()()(
,
,)(
00
0
0
0
00
00
xAdyxdfdy
xxxfy
xAxxfy
xA
xoxAxfxxfy
xxx
xfy
xxxx
???
??
???
?
??????????
??
?
??
即或记作
的微分相应于自变量增量在点
为函数并且称可微在点
则称函数无关的常数是与其中成立
如果在这区间内及
在某区间内有定义设函数
.的线性主部叫做函数增量微分 ydy ?
恩格斯在, 自然辩证法, 中，对微分作了一个形
象的解释：
硫磺在一定温度下被蒸发为硫磺气，取一块正方
形硫磺薄板,放入容器，立刻降低容器内的温度，
则硫磺气凝固为硫磺，一部分附着于薄板，设薄板
的一对相邻的两边和两面均被某种不能附着硫磺的
物质遮盖，再设另一对相邻两边的那一层硫磺分子，
而误差就是附着在角点的一个硫磺分子。因为两条
直线上的分子很多，误差的这一个分子和它们相比，
是微不足道的。
)(xfy ?
0x
M
N
T
dy y?
)( xo?
） x
y
o ?
x?
2 几何意义 (如图 )
.
,
对应的增量
就是切线纵坐标
坐标增量时
是曲线的纵当
dy
y?
xx ??0
P
.
,,
MNMP
Mx
可近似代替曲线段切线段
的附近在点很小时当 ?
注 1：;)(,0 有关和但与无关的常数是与 xxfxA ?;的线性函数是自变量的改变量 xdy ?
注 2：
dyyx ???,很小时当
注 3：
xdxdyxy ???? 时，当
三 可微与可导关系
).(,)(
)(
00
0
xfAxxf
xxf
??且处可导在点数
可微的充要条件是函在点函数
定理
证 (1) 必要性,)( 0 可微在点 xxf?
),( xoxAy ???????,)( xxoAxy ???????
x
xoA
x
y
xx ?
???
?
?
????
)(limlim
00则,A?
).(,)( 00 xfAxxf ??且可导在点即函数
(2) 充分性
),()( 0 xxxfy ?????????从而
,)( 0 ?????? xfxy即
,)( 0 可导在点函数 xxf?
),(l im 00 xfxyx ????? ??
),0(0 ???? x?
),()( 0 xoxxf ??????
.)(,)( 00 Axfxxf ??且可微在点函数?
).(,0xfA ???? 可微可导
.)(),(,
,)(
dxxfdyxdfdy
xxfy
??
?
即或记作微分
称为函数的的微分在任意点函数
注 1：
,)( dxxfdy ??? ).( xf
dx
dy ???
".".
2
微商导数也叫该函数的导数
之商等于与自变量的微分：函数的微分注 dxdy
函数的变化率问题
函数的增量问题微分
导数
注 3：导数与微分的区别
例 1
解
.02.0,23 时的微分当求函数 ???? xxxy
xxdy ??? )( 3?,3 2 x??
02.0
2
2
02.0
2 3
??
?
??
? ???
x
x
x
x xxdy,24.0?
.3,13 时的微分和当求函数 ??? xxxy
例 2
解 xxdy ??? )( 3?,3 2 x??
xxxdy xx ?? 33 121 ??? ??
xxxdy xx ?? 273 323 ??? ??
四 基本初等函数的微分公式与法则
dxxfdy )(??
先 计算函数的导数,再 乘以自变量的微分,
1 基本初等函数的微分公式
x d xxxdx d xxxd
x d xxdx d xxd
x d xxdx d xxd
dxxxdCd
co tcs c)( cs ct a ns ec)( s ec
cs c)( co ts ec)( t a n
s i n)( co sco s)( s i n
)(0)(
22
1
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dx
x
xddx
x
xd
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x
xd
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x
xddx
ax
xd
dxeedadxaad
a
xxxx
22
22
1
1
)co t(
1
1
)( a rct a n
1
1
)( a rcc o s
1
1
)( a rcs i n
1
)( l n
ln
1
)( l o g
)(ln)(
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?
?
?
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?
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2 函数和、差、积、商的微分法则
2)()(
)()(
v
u d vvd u
v
u
du d vvd uuvd
C d uCuddvduvud
?
???
????
arc
3 复合函数的微分法则;)(,)1( dxxfdyx ??是自变量时若
则微函数
的可即另一变量是中间变量时若
),(
,)2(
tx
tx
??
),()( xfxfy ?? 有导数设函数
dttxfdy )()( ? ???
,)( dxdtt ?? ??,)( dxxfdy ???
结论, 的微分形式总是
函数是自变量还是中间变量无论
)(
,
xfy
x
?
微分形式的不变性
dxxfdy )(??
解 2
例 3
解 1
.),12s i n ( dyxy 求设 ??
.12,s i n ??? xuuy?
u d udy co s?? )12()12co s ( ??? xdx
dxx 2)12co s ( ???,)12co s (2 dxx ??
)12c o s (2])12[ s i n ( ??????? xxdxdyy
.)12c o s (2 dxxdy ??
微分形式的不变性
例 4
解 1
.),ln( 2 dyexy x 求设 ??
,21 2
2
x
x
ex
xey
?
????,21
2
2
dx
ex
xedy
x
x
?
???
解 2
)1(
1
1)1l n ( 2
2
2 xx ed
e
eddy
x
?
?
???
)(
1
1 22
2 xde
e
x
x?
? xdxe
e
x
x
2
1
1 2
2
?
?
dx
e
xe
x
x
2
2
1
2
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?
例 5
解 1
解 2
.,c o s31 dyxey x 求设 ??
)( c o s)(c o s 3131 xdeedxdy xx ???? ??
.s i n)( c o s,3)( 3131 xxee xx ?????? ???
dxxedxexdy xx )s i n()3(c o s 3131 ??????? ??
.)s i nc o s3(31 dxxxe x ??? ?
)s i nco s3(31 xxey x ???? ?
.)s i nc o s3(31 dxxxedy x ??? ?
例 6
解
在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使
等式成立,
.;c o s)()2( ) ()1( t d tdxdxd ???
,c o s)( s i n)2( t d ttd ??? ??
)( s i n1co s tdt d t ?????
.co s)s i n1( t d tCtd ??????
);s i n1( td ???
xx ??)2(
2
? )
2
(
2
xdxxd ??
五 小结与思考判断题
求导数与微分的方法,叫做微分法,
导数与微分的联系,,可微可导 ?
dxxfdy )(??
微分的基本公式,
函数的和、差、积、商的微分法则,
