第二十一章 重积分
二重积分的概念
直角坐标系下重积分的计算
格林 (Green)公式
重积分的变量变换
三重积分
重积分的应用
一、二重积分的概念
第二十章 重积分
柱体体积 =底面积 × 高
特点,平顶,
柱体体积 =？
特点,曲顶,
),( yxfz ?
D
１．曲顶柱体的体积
一、问题的提出
播放
求曲顶柱体的体积采用, 分割、求和
、取极限,的方法，如下动画演示．
步骤如下：
用若干个小平
顶柱体体积之
和近似表示曲
顶柱体的体积,x
z
yo
D
),( yxfz ?
i??
? ),( ii ??
先分割曲顶柱体的底，
并取典型小区域，
.),(lim
10
ii
n
i
ifV ???? ?? ?
??
曲顶柱体的体积
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域
D,在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定
),( yx? 在 D 上连续，平面薄片的质量为多少？
２．求平面薄片的质量
i??
? ),( ii ??
将薄片分割成若干小块，
取典型小块，将其近似
看作均匀薄片，
所有小块质量之和
近似等于薄片总质量,),(lim
10
ii
n
i
iM ????? ?? ?
??
x
y
o
定义 设 ),( yxf 是有界闭区域 D 上的有界函
数，将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域
1
??,
?,
2
??,
n
??,其中
i
?? 表示第 i 个小闭区域，
也表示它的面积，在每个
i
?? 上任取 一点
),(
ii
??,
作乘积
),(
ii
f ??
i
??
,),,2,1( ni ??,
并作和
ii
n
i
i
f ??? ??
?
),(
1
，
二、二重积分的概念
积
分
区
域
如果当各小闭区域的直径中的最大值 ? 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
),( yxf 在闭区域 D 上的 二重积分,
记为 ??
D
dyxf ?),(,
即 ??
D
dyxf ?),(
ii
n
i
i
f ???
?
?? ?
?
?
),(l i m
1
0
.
积
分
和
被
积
函
数
积
分
变
量
被
积
表
达
式
面
积
元
素
(1 ) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是
任意的,
(2) 当 ),( yxf 在闭区域上连续时，定义中和式
的极限必存在，即二重积分必存在,
对二重积分定义的说明
二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的
负值．
在直角坐标系下用平
行于坐标轴的直线网来划
分区域 D，
???? ??
DD
dx dyyxfdyxf ),(),(
dxdyd ??
故二重积分可写为
x
y
o
D
则面积元素为
性质１ 当 为常数时,k
.),(),( ???? ?
DD
dyxfkdyxkf ??
性质２ ?? ?
D
dyxgyxf ?)],(),([
.),(),( ???? ??
DD
dyxgdyxf ??
（二重积分与定积分有类似的性质）
三、二重积分的性质
性质３ 对区域具有可加性
.),(),(),(
21
?????? ??
DDD
dyxfdyxfdyxf ???
性质４ ?若 为 D的面积,.1?? ?????
D D
dd ???
性质５ 若在 D上 ),,(),( yxgyxf ?
.),(),( ???? ?
DD
dyxgdyxf ??
特殊地,),(),( ???? ?
DD
dyxfdyxf ??
)( 21 DDD ??
则有
设 M, m 分别是 ),( yxf 在闭区域 D 上的
最大值和最小值,? 为 D 的面积，则
性质６
设函数 ),( yxf 在闭区域 D 上连续,? 为 D
的面积，则在 D 上至少存在一点 ),( ?? 使得
性质７
（二重积分中值定理）
?? ?????
D
Mdyxfm ),(
???????? ),(),( fdyxf
D
（二重积分估值不等式）
例 1 不作计算，估计 ?deI
D
yx
??
?
?
)(
22
的值，
其中 D 是椭圆闭区域,1
2
2
2
2
??
b
y
a
x
)0( ab ??,
在 D 上 2220 ayx ????,
,1 2220 ayx eee ???? ?
由性质 6 知,222 )( a
D
yx ede ??? ?? ? ???
解
?? ?? ? ?de
D
yx )( 22?ab,2aeab?
区域 D 的面积 ??,?ab
例 2 估计 ??
???
?
D xyyx
d
I
16222
?
的值，
其中 D, 20,10 ???? yx,
区域面积 2??,,16)(
1),(
2 ??? yxyxf?
在 D 上 ),( yxf 的最大值 )0(41 ??? yxM
),( yxf 的最小值 5
1
43
1
22 ???m )2,1( ?? yx
故 4252 ?? I,5.04.0 ??? I
解
例 3 判断 ??
???
?
1
22 )l n (
yxr
d x d yyx 的符号,
当 1??? yxr 时,,1)(0 222 ????? yxyx
故 0)l n ( 22 ?? yx ;
又当 1?? yx 时,,0)l n ( 22 ?? yx
于是 0)l n (
1
22 ????
??? yxr
dxdyyx,
解
例 4 比较积分 ?? ?
D
dyx ?)l n ( 与 ?? ?
D
dyx ?2)][ l n (
的大小,其中 D 是三角形闭区域,三顶点各为 ( 1,0 ),
( 1,1 ),( 2,0 ),
解 三角形斜边方程 2?? yx
在 D 内有 eyx ???? 21,
故 1)l n( ?? yx,
于是 ? ? 2)l n ()l n ( yxyx ???,
因此 ????
D
dyx ?)l n ( ?? ?
D
dyx ?2)][ l n (,
o x
y
1
21
D
二重积分的定义
二重积分的性质
二重积分的几何意义 （曲顶柱体的体积）
（和式的极限）
四、小结
作业, P217,1,2,3,4,5.
思考题
将二重积分定义与定积分定义进行比较，
找出它们的相同之处与不同之处,
定积分与二重积分都表示某个和式的极限
值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不
同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为
定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分
区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域
上的二元函数．
思考题解答
一,填空题,
1, 当函数 ),( yxf 在闭区域 D 上 _________ ____ _ 时,
则其在 D 上的二重积分必定存在,
2, 二 重 积 分
??
D
dyxf ?),( 的 几 何 意 义 是
______ _____ _____ ____ _____ _____ ____ _.
3, 若
),( yxf
在 有 界 闭 区 域
D
上 可 积,且
21
DDD ??
,当
0),( ?yxf
时,
则
??
1
),(
D
dyxf ? _____ ____ _
??
2
),(
D
dyxf ? ;
当
0),( ?yxf
时,
则
??
1
),(
D
dyxf ? _____ ____ _
??
2
),(
D
dyxf ?,
练 习 题
4, ?? ?
D
dyx ?)s i n ( 22 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _?,其中 ? 是圆域
222 4?? yx 的面积,??? 16,
二,利用二重积分定义证明,
???? ?
DD
dyxfkdyxkf ?? ),(),(,( 其中 k 为常数 )
三,比较下列积分的大小,
1, ?? ?? ??
D D
dyxdyx ??
322
)()( 与,其中 D 是由圆
2)1()2(
22
???? yx 所围成,
2, ???? ?? ?? dyxdyx
D
2
)][ l n ()l n ( 与,其中 D 是矩形
闭区域, 10,53 ???? yx,
四、估计积分 ?? ???
D
dyxI ?)94( 22 的值,其中 D 是圆
形区域, 422 ?? yx,
一,1,连续；
2,以 ),( yxfz ? 为曲顶,以 D 为底的曲顶柱体体积
的代数和；
3, >,< ； 4,
?
.
三,1, ???? ???
DD
dyxdyx ??
32
)()( ；
2,
????
??? ?? dyxdyx
D
2
)][l n ()l n (,
四,??????? ?? 100)94(36
22
dyx,
练习题答案
二、直角坐标系下重积分的计算
第二十章 重积分
如果积分区域为：,bxa ?? ).()( 21 xyx ?? ??
其中函数, 在区间 上连续,)(1 x? )(2 x? ],[ ba
［ X－型］
)(2 xy ??
a b
D
)(1 xy ??
D
ba
)(2 xy ??
)(1 xy ??
为曲顶柱体的体积．
为底，以曲面的值等于以
),(
),(
yxf
zDdyxf
D
??? ??
应用计算“平行截
面面积为已知的立
体求体积”的方法,
a 0x b
z
y
x
)( 0xA
),( yxfz ?
)(1 xy ??
)(2 xy ??
.),(),( )(
)(
2
1
?? ? ??
D
b
a
x
x
dyyxfdxdyxf ?
?
?得
.),(),( )(
)(
2
1
?? ? ??
D
d
c
y
y
dxyxfdydyxf ?
?
?
如果积分区域为：,dyc ?? ).()( 21 yxy ?? ??
［ Y－型］
)(2 yx ??)(1 yx ?? Dc
d
c
d
)(2 yx ??
)(1 yx ?? D
X型区域的特点, 穿过区域且平行于 y轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点,
Y型区域的特点, 穿过区域且平行于 x轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点,
若区域如图，
3D
2D
1D
在分割后的三个区域上分别
使用积分公式
.
321
???????? ???
DDDD
则必须分割,
xy ?? 1
例 1 改变积分 ??
? x
dyyxfdx
1
0
1
0
),( 的次序,
原式 ??
?
?
y
dxyxfdy
1
0
1
0
),(,
解 积分区域如图
xy ??2
22 xxy ??
例 2 改变积分
????
??
?
xxx
dyyxfdxdyyxfdx
2
0
2
1
2
0
1
0
),(),(
2
的次序,
原式 ? ? ? ??? 10 2 11 2 ),(y y dxyxfdy,
解 积分区域如图
例 3 改变积分 )0(),(
2
0
2
2 2
?? ?
?
adyyxfdx
a ax
xax
的次序,
axy 2?解
= ? ? ??a yaa
a
y
dxyxfdy
0
2
22
2 ),(原式
? ? ??? a a yaa dxyxfdy0 2 22 ),(,),(2 22 2? ?? aa aay dxyxfdy
22 xaxy ?? 22 yaax ????
a2a
a2
a
例 4 求 ?? ?
D
dxdyyx )( 2,其中 D 是由抛物线
2xy ? 和 2yx ? 所围平面闭区域,
解 两曲线的交点
),1,1(,)0,0(2
2
?
?
?
?
?
?
yx
xy
?? ?
D
d x d yyx )( 2 ? ? ?? 10 22 )(xx dyyxdx
dxxxxxx )](21)([ 4210 2 ???? ?,14033?
2xy?
2yx?
例 5 求 ?? ?
D
y d x d yex 22,其中 D 是以 ),1,1(),0,0(
)1,0( 为顶点的三角形,
? ? dye y 2? 无法用初等函数表示解
? 积分时必须考虑次序
?? ?
D
y dxdyex 22 ?? ?? y y dxexdy
0
21
0
2
dyye y? ?? ?1
0
3
3
2 21
0
2
6
2 dyye y? ?? ? ).21(
6
1
e??
例 6 计算积分 ???
y
x
y
dxedyI
2
1
2
1
4
1 ??
?
y
y
x
y
dxedy
1
2
1
.
解 ? dxe x
y
? 不能用初等函数表示
? 先改变积分次序,
原式 ????
x
x
x
y
dyedxI
2
2
1
1
? ?? 1
2
1 )( dxeex
x,
2
1
8
3 ee ??
2xy?
xy?
例 7 求由下列曲面所围成的立体体积，
yxz ??, xyz ?, 1?? yx, 0?x, 0?y,
解 曲面围成的立体如图,
,10 ??? yx?,xyyx ???
所求体积 ?? ???
D
dxyyxV ?)(
? ? ? ??? 10 10 )(x dyxyyxdx
? ???? 10 3 ])1(21)1([ dxxxx,247?
所围立体在 x o y 面上的投影是
二重积分在直角坐标下的计算公式
（在积分中要正确选择 积分次序 ）
二、小结
.),(),( )(
)(
2
1
?? ? ??
D
b
a
x
x
dyyxfdxdyxf ?
?
?
.),(),( )(
)(
2
1
?? ? ??
D
d
c
y
y
dxyxfdydyxf ?
?
?［ Y－型］
［ X－型］
作业, P222,1,2,3,4.
设 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，并设 Adxxf ??
1
0
)(,
求 ??
11
0
)()(
x
dyyfxfdx,
思考题
? 1 )(x dyyf? 不能直接积出,? 改变积分次序,
令 ???
11
0
)()(
x
dyyfxfdxI,
思考题解答
则原式 ???
y
dxyfxfdy
0
1
0
)()(,
,)()( 010 ??? x dyyfdxxf
故 ???
11
0
)()(2
x
dyyfdxxfI ??? x dyyfdxxf
0
1
0 )()(
])()[()( 1010 dyyfdxxf xx ??? ??
.)()( 21010 Adyyfdxxf ?? ??
一,填空题,
1,
??
???
D
dyyxx ?)3(
323
_____ ____ _____ __,其中
,10,10,???? yxD
2, ??
??
D
dyxx ?)c o s ( _____ ____ _____ _,其中 D 是顶
点分别为
)0,0(
，
)0,( ?
，
),( ??
的三角形闭区域,
3,将二重积分
??
D
dyxf ?),(,其中
D
是由
x
轴及半圆周
)0(
222
??? yryx
所围成的闭区域,化为先对 y
后对 x 的二次积分,应为 _____ _____ ____ _____ __.
练 习 题
4,将二重积分 ??
D
dyxf ?),(,其中 D 是由直线
2,?? xxy 及双曲线 )0(
1
?? x
x
y 所围成的闭区
域,化为先对 x 后对 y 的二次积分,应为
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
5,将二次积分 ??
?
?
2
2
2
2
1
),(
xx
x
dyyxfdx 改换积分次序,
应为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
6,将二次积分 ??
?
x
x dyyxfdx
s i n
2
s i n0
),(
?
改换积分次序,
应为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
7,将二次积分 ??
??
2
ln
1
),(
2 ye
dxyxfdy
??
?
?
?
2
)1(
21
1 2
),(
y
dxyxfdy 改换积分次序,
应为 ______ _ _____ _____ ____ _____,
二、画出积分区域,并计算下列二重积分,
1, ??
?
D
yx
de ?,其中 D 是由 1?? yx 所确定的闭区域,
2, ?? ??
D
dxyx ?)(
22
其中 D 是由直线
xyxyy 2,2 ??? 及 所围成的闭区域,
3, ????
??
?
??
?
x
D
dy
yxx
y
dxdyxf
0
2
0
))(
2
(
c o s
),( 。
4,,2?? ?
D
dxdyxy 其中 D, 20,11 ????? yx,
三、设平面薄片所占的闭区域 D 由直线,2?? yx xy ?
和 x 轴所围成,它的面密度
22
),( yxyx ???,求该
薄片的质量,
四,求由曲面
22
2 yxz ?? 及
22
26 yxz ???,所围成的
立体的体积,
一,1, 1 ； 2,
2
3 ?
? ；
3,
??
?
?
22
0
),(
xrr
r
dyyxfdx ；
4,
????
?
22
1
2
1
1
2
1
),(),(
y
y
dxyxfdydxyxfdy ；
5, ??
??
?
2
11
2
1
0
),(
y
y
dxyxfdy ；
6, ????
?
??
?
y
yy
dxyxfdydxyxfdy
ar c s i n
ar c s i n
1
0ar c s i n2
0
1
),(),(
??；
7, ??
?
?
2
1
12
0
),(
x
e
x
dyyxfdx,
练习题答案
二,1,
1?
? ee ； 2,
6
13； 3,? ； 4,
23
5 ?
?,
三、
3
4
.
四,?6,
三、格林 (Green)公式
第二十章 重积分
一、区域连通性的分类
设 D为平面区域,如果 D内任一闭曲线所
围成的部分都属于 D,则称 D为平面单连通区
域,否则称为复连通区域,
复连通区域单连通区域
D
D
设空间区域 G,如果 G内任一闭曲面所围成
的区域全属于 G,则称 G是空间二维单连通域 ;
如果 G内任一闭曲线总可以张一片完全属于
G的曲面,则称 G为空间一维单连通区域,
G
G
G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围
成,函数 ),(),( yxQyxP 及 在 D 上具有一阶连
续偏导数,则有
???
??
?
?
?
?
?
L
D
Q dyP dxdxdy
y
P
x
Q
)( ( 1 )
其中
L
是
D
的取正向的边界曲线,
公式 (1) 叫做 格林公式,
二、格林公式
定理 1
连成与由 21 LLL 组成与由 21 LLL
边界曲线 L的正向, 当观察者沿边界行走时,区
域 D总在他的左边,
2L
D
1L
2L
1L
D
}),()(),{( 21 bxaxyxyxD ????? ??
证明 (1)
若区域 D 既是 ?X 型
又是 ?Y 型,即平行于
坐标轴的直线和 L 至
多交于两点,
}),()(),{( 21 dycyxyyxD ????? ??
y
xo a b
D
c
d
)(1 xy ??
)(2 xy ??
A
B
C
E
)(2 yx ??
)(1 yx ??
dxxQdyd x d yxQ yydc
D
???? ????? )( )(21??
?? ?? dcdc dyyyQdyyyQ )),(()),(( 12 ??
?? ?? CA ECB E dyyxQdyyxQ ),(),(
?? ?? E ACC BE dyyxQdyyxQ ),(),(
?? L dyyxQ ),(
同理可证 ??? ??
??
LD dxyxPdxdyy
P ),(
y
xo
d
)(2 yx ??
D
c C
E
)(1 yx ??
若区域 D 由按段光
滑的闭曲线围成, 如图,
证明 (2)
L1L
2L3L
D
1D
2D3D
两式相加得 ??? ???
??
?
?
LD Qd yP d xd x d yy
P
x
Q )(
将 D 分成三个既是 ?X 型又是
?Y 型的区域 1D,2D,3D,
????
?? ?
??
?
??
?
??
?
?
321
)()(
DDDD
d x d yyPxQd x d yyPxQ
?????? ?????????????????
321
)()()(
DDD
d x d yyPxQd x d yyPxQd x d yyPxQ
??? ?????? 321 LLL Q d yP d xQ d yP d xQ d yP d x
? ?? L Q d yP d x
1D
2D3D
L1L
2L3L
),( 32,1 来说为正方向对 DLLL
G
D
3L
2L
F
C
E
1LA
B
证明 (3)
若区域不止由一条闭曲
线所围成, 添加直线段 AB,CE,
则 D 的边界曲线由 AB,
2
L,B A,
A F C,C E,3L,EC 及 C G A 构成,
由 (2)知 ?? ?
??
?
?
D
d x d yyPxQ )(
????? ????? CEAFCBALAB 2{ ??? ????? C G AECL QdyPdx )(}3
? ?? L Q d yP d x
? ? ? ???? 2 3 1 ))(( L L L Q d yP d x
),( 32,1 来说为正方向对 DLLL
便于记忆形式,
??? ???
?
?
?
L
D
Q dyP dxdxdy
QP
yx,格林公式的实质, 沟通了沿闭曲线的积分与
二重积分之间的联系,
x
y
o L
例 1 计算 ?
AB
xdy,其中曲
线 AB 是半径为 r 的圆在
第一象限部分,
解 引入辅助曲线 L,
1,简化曲线积分
三、简单应用
A
B
D
BOABOAL ???
应用格林公式,xQP ??,0 有
??? ?? L
D
xdydxdy
,??? ??? BOABOA x d yx d yx d y
,0,0 ?? ?? BOOA x d yx d y由于
.41 2rd x d yx d y
D
AB
?????? ???
例 2 计算 ??
?
D
y
dxdye
2
,其中 D 是
以 )1,0(),1,1(),0,0( BAO 为顶点
的三角形闭区域,
解 令 2,0 yxeQP ???,
2,简化二重积分
x
y
o
AB
1
1 D
则
2y
e
y
P
x
Q ??
?
??
?
?,
应用格林公式,有
???
??
?? ?
BOABOA
y
D
y dyxedxdye 22
?? ?? ?? 10 22 dxxedyxe xOA y
).1(21 1??? e
例 3 计算 ?
?
?
L yx
y dxxdy
22
,其中 L 为一条无重点,
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方
向为逆时针方向,
则当 022 ?? yx 时,有
y
P
yx
xy
x
Q
?
?
?
?
?
?
?
?
222
22
)(
.
记 L 所围成的闭区域为 D,解
令 2222,
yx
xQ
yx
yP
?
?
?
??,
L
( 1 ) 当 D?)0,0( 时,
( 2 ) 当 D?)0,0( 时,
1D
r
l
x
y
o
L
D
由格林公式知 ? ???L yx y d xxdy 022
作位于 D 内圆周 222,ryxl ??,
记 1D 由 L 和 l 所围成,
应用格林公式,得
y
xo
?? ????? lL yx y d xxdyyx y d xxdy 2222 x
y
o r
1Dl
L 02222 ?????? ??
lL yx
y d xxdy
yx
y d xxdy
( 其中 l 的方向
取逆时针方向 ).2??
(注意格林公式的条件 )
??? dr rr 2
2222 s inc o s ?? ?? 2
0
格林公式, ??? ??????? L
D
Q d yP d xd x d yyPxQ )(
取,,xQyP ??? 得??? ?? L
D
y d xx d yd x d y2
闭区域 D 的面积 ? ??
L
y d xx d yA 21,
取,,0 xQP ?? 得 ??
L
xdyA
取,0,??? QyP 得 ? ??
L
y d xA
3,计算平面面积
曲线 A MO 由函数
],0[,axxaxy ??? 表示,
例 4 计算抛物线 )0()( 2 ??? aaxyx 与 x 轴所
围成的面积,
解 ONA 为直线 0?y,
? ??? L yd xxdyA 21
?? ???? A M OONA yd xx d yyd xx d y 2121
)0,(aAN
M
? ?? A M O yd xxdy21
dxxaxdxaxaxa )()12(21 0 ???? ?
.614 20 adxxa a ?? ?
)0,(aAN
M
? ?1L Q d yP d x
则称曲线积分 ? ?L Q d yP d x
四、曲线积分与路径无关的定义
? ?2L Q d yP d x
如果对于区域 G 内任意指定的两点 A,B以及 G 内
从点 A到点 B的任意两条曲线 L1,L2 有
?
否则与路径有关,
G
y
xo
?B
?A1
L
2L
在 G 内 与路径无关,
? ?1L Q d yP d x ? ?? 2L Q d yP d x,0???L Q d yP d x?
)( 21 LLL ???
五、曲线积分与路径无关的条件
设开区域 G 是一个单连通域,函数 ),,( yxP
),( yxQ 在 G 内具有一阶连续偏导数,则曲线积
分 ? ?
L
Qd yPd x 在 G 内与路径无关 （或沿 G 内
任意闭曲线的曲线积分为零）的 充要条件 是
x
Q
y
P
?
?
?
?
?
在
G
内恒成立,
定理 2
证 充分性
在 G 内任取一条闭曲线 C 。
C 所围的闭区域为 D。
G
C D
?dyPxQdyyxQdxyxP
DC
??? ??????? )(),(),(
证 充分性 在 G 内任取一条闭曲线 C 。
C 所围的闭区域为 D。 G
C D
G 是单连通的，因此,.GD ?
于是，在 D 内,x
Q
y
P
?
??
?
?
应用格林公式，有
.0?
即,在 G 内曲线积分 ? ?L dyyxQdxyxP ),(),(
与路径无关。
必要性 用反证法
假设 在 G 内存在使 x
Q
y
P
?
??
?
?
的点 M0，
必要性 用反证法
假设 在 G 内存在使 x
Q
y
P
?
??
?
?
的点 M0，
即,0 0 ??
??
?
? M
x
Q
y
P
不妨设,0 0 ??
??
?
? M
x
Q
y
P, ),(
x
Q
y
Pyxf
?
??
?
??设
由于 P,Q具有一阶连续偏导数,,),( 连续有 yxf
因此在 G 内必有 点 M0 的一个小邻域 D′,在 D′内
.0),( ?yxf
.GD ??因为,应用格林公式，有
?dyPxQQ d yP d x
DC
???
? ?
??
?
??? )(
G
0M?D?
C
?dyxf
D
???? ),(,),( ??? ?f中值定理二重积分
,0),(,),( ??? ???? fD,0 ?? ?? 的面积，是 D
于是,.0???C Q d yP d x
因此在 G 内必有 点 M0 的一个小邻域 D′,在 D′内
.0),( ?yxf
.GD ??因为,应用格林公式，有
?dyPxQQ d yP d x
DC
???
? ?
??
?
??? )(G0M?D?
C
矛盾。
因此,在 G 内恒有,x
Q
y
P
?
??
?
?
(1) 开区域 G 是一个单连通域,
(2) 函数 ),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连续偏导数,
两条件缺一不可
有关定理的 说明,
设开区域 G 是一个单连通域,函数 ),,( yxP
),( yxQ 在 G 内具有一阶连续偏导数,则曲线积
分 ? ?
L
Qd yPd x 在 G 内与路径无关 （或沿 G 内
任意闭曲线的曲线积分为零）的 充要条件 是
x
Q
y
P
?
?
?
?
?
在 G 内恒成立,
定理 2
,xQyP ?????若
? ?? ),( ),( 11 00 yxB yxA Q d yP d x
dyyxQdxyxP yyxx ),(),( 1
0
1
0 10 ??
??
),( 01 yxC?
),( 11 yxB?
),( 00 yxA?
dxyxPdyyxQ xxyy ),(),( 1
0
1
0 10 ??
??或
x
y
o
L? ?
L Q d yP d x 则
CBAC ?
? ),( 10 yxD
DBAD ?
与路径无关
例 5 验证 ? ???
L
yy
dyyxedxxe )2()(, 与路径无关,
并求之。其中 L 为过三点 )0,0(o, )1,0(A, )2,1(B
的圆周，由 )0,0(o 到 )2,1(B 的曲线弧,
解
因此，积分与路径无关。
.2),(,),( yxeyxQxeyxP yy ????设
则 P,Q 在全平面上有
连续的一阶偏导数，且
,yeyP ???,yexQ ???
,xQyP ?????即 o x
y
1
1
2
全平面是单连通域。
o x
y
1
1
2
取一简单路径,L1 + L2.
1L
2L
.10:,0,1 ?? xyL,20:,1,2 ?? yxL
? ???L yy dyyxedxxe )2()(
?? ???????? 21 )2()()2()( L yyL yy dyyxedxxedyyxedxxe
?? ????? 2010 0 )21()( dyyedxxe y.272 ?? e
因此，积分与路径无关。
,yeyP ???,yexQ ???
,xQyP ?????即 全平面是单连通域。
例 6 计算 ? ???
L
dyyxdxxyx )()2( 422, 其中
L 为由点 )0,0(o 到点 )1,1(B 的曲线弧
2
sin xy ??,
解
因此，积分与路径无关。
,xQyP ?????即
o x
y
1
1
.),(,2),( 422 yxyxQxyxyxP ????设
则 P,Q 在全平面上有连续的
一阶偏导数，且
,2 xyP ???,2 xxQ ???
全平面是单连通域。
o x
y
1
1
? ? ????? 10 10 422 )1()02( dyydxxx,1523?
因此，积分与路径无关。
,xQyP ?????即
,2 xyP ???,2 xxQ ???
全平面是单连通域。
取一简单路径,L1 + L2.
.10:,0,1 ?? xyL,10:,1,2 ?? yxL
1L
2L
? ???L dyyxdxxyx )()2( 422
?? ???????? 21 )()2()()2( 422422 LL dyyxdxxyxdyyxdxxyx
六、二元函数的全微分求积
设开区域 G 是一个单连通域,函数 ),,( yxP
),( yxQ 在 G 内具有一阶连续偏导数,则
dyyxQdxyxP ),(),( ? 在 G 内为某一函数
),( yxu 的全微分的 充要条件 是等式
x
Q
y
P
?
?
?
?
?
在 G 内恒成立,
定理 3
证略
x
y
o
),( yxB?
),( 00 yxA?
G
dyyxQdxyxPyxu yyxx ),(),(),(
00 0 ??
??
dxyxPdyyxQyxu xxyy ),(),(),(
00 0 ??
??或
CBAC ?
DBAD ?
设开区域 G 是一个单连通域,函数 ),,( yxP ),( yxQ
在 G 内具有一阶连续偏导数,则 Q d yPd x ? 在 G 内为
某一函数 ),( yxu 的全微分的 充要条件 是等式
x
Q
y
P
?
?
?
?
?
在 G 内恒成立,
),( 0yxC?
? ),( 0 yxD
解
,2)( 2 xyxyyyP ??????,2)( 2 xyyxxxQ ??????
,),( 2xyyxP ?,),( 2 yxyxQ ?
例 7 验证：在 xoy 面内,y d yxdxxy 22 ?是某个函数
u (x,y) 的全微分，并求出一个这样的函数。
这里 且
在整个 xoy 面内恒成立。x
Q
y
P
?
??
?
?
即，
因此，在 xoy 面内,y d yxdxxy 22 ?是某个函数
u (x,y) 的全微分。
dyyxdxxyxu yx 0),( 0 20 2 ?? ???
.0,0 00 ?? yx取
.2
22 yx
?
1.连通区域的概念 ;
2.二重积分与曲线积分的关系
3,格林公式的应用,
—— 格林公式 ; ??? ???
??
?
?
LD Qd yP d xd x d yy
P
x
Q )(
七、小结
与 路 径 无 关 的 四 个 等 价 命 题
条
件
在单连通开区域 D 上 ),(),,( yxQyxP 具有连
? ?L Q d yP d xD 与路径无关内在)1(
? ???C DCQ d yP d x 闭曲线,0)2(
Q d yP d xduyxUD ?? ),()3( 使内存在在
x
Q
y
PD
?
??
?
?,)4( 内在
等
价
命
题
续的一阶偏导数,则以下四个命题成立,
作业,P231,1,2,3,4,5,6,7,
若区域 如图为
复连通域，试描述格
林公式中曲线积分中 L
的方向。
??? ???????? ?????
LD
Q d yP d xdxdyyPxQ
o x
y
A B
CD
E F
G? ?
思考题
思考题解答
o x
y
A B
CD
E F
G?由两部分组成L
外 边界：
内 边界：
B C D A B
EG FE
四、重积分的变量变换
第二十章 重积分
.?? d r drd ??
??
D
d x d yyxf ),(
一、利用极坐标系计算二重积分
面积元素
,?d r drd x d y ??或
i???
i??
ii ??? ???ii rrr ???
Ao
D
irr?
.)s i n,c o s(???
D
r d r drrf ???
,)s i n,c o s()( )(21??? ?? ???? ??? drrrrfd
???
D
r d r drrf ??? )s i n,c o s(
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
,??? ??
).()( 21 ???? ?? r A
D
o ??
)(2 ???r)(1 ???r
??
D
d x d yyxf ),(
D：
区域特征如图
,??? ??
).()( 21 ???? ?? r??
)(2 ???r)(1 ???r
Ao
DD
,)s i n,c o s()( )(21??? ?? ???? ??? drrrrfd
???
D
r d r drrf ??? )s i n,c o s(
??
D
d x d yyxf ),(
D：
,)s i n,cos()(0??? ???? ??? drrrrfd
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
,??? ??
).(0 ???? r
)(???r
? Ao
D
?
D：
??
D
d x d yyxf ),(
???
D
r d r drrf ??? )s i n,c o s(
,)s i n,cos()(020 ??? ??? ??? drrrrfd
极坐标系下区域的面积,???
D
r d r d ??
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图
).(0 ???? r,20 ?? ?? D A
)(???r
o??
D
d x d yyxf ),(
???
D
r d r drrf ??? )s i n,c o s(
例 1 将 ??
D
),( ?dyxf 化为在极坐标系下的二次积分。
（ 1）
x
y
o 2
2 422 ?? yx
x
y
o 4
xyx 422 ??
（ 4）
D （ 2）
x
y
o 2
2
2?
422 ?? yx
D
x
y
o 2
2
2?
2?
422 ?? yx（ 3）
D D
（ 1）
x
y
o 2
2 422 ?? yx解
D
在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
.20 ?? r,20 ?? ??
Ao 2
2?r??D ),( ?dyxf
???
D
d r drrrf ??? )s i n,c o s(
,)s i n,cos(2020 ??? drrrrfd ????
（ 2） 在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
.20 ?? r,0 ?? ?? x
y
o 2
2
2?
422 ?? yx
D
（ 2） 在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
.20 ?? r,0 ?? ??
??
D
),( ?dyxf ???
D
d r drrrf ??? )s i n,c o s(
,)s i n,c o s(200 ??? drrrrfd ????
Ao 2
2?r
（ 3） 在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
.20 ?? r,20 ?? ??
x
y
o 2
2
2?
2?
422 ?? yx
D
??
D
),( ?dyxf
,)s i n,cos(2020 ??? drrrrfd ????
Ao 2
2?r（ 3） 在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
.20 ?? r,20 ?? ??
D
???
D
d r drrrf ??? )s i n,c o s(
（ 4） 在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
.c o s40 ??? r,22 ??? ??? x
y
o 4
xyx 422 ??
D
Ao 2
?c o s4?r
（ 4） 在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
.c o s40 ??? r,22 ??? ???
??
D
),( ?dyxf ???
D
d r drrrf ??? )s i n,c o s(
,)s i n,c o s(c o s402 2 ???? ?? ? ??? drrrrfd
2??
2?
例 2 写出积分 ??
D
d x d yyxf ),( 的极坐标二次积分形式,
其中,11|),{(
2xyxyxD ????? }10 ?? x,
1??yx
122 ?? yx解 在极坐标系下
?
?
?
?
?
?
?
s in
c o s
ry
rx
所以圆方程为 1?r,
直线方程为 ?? c o ss i n 1??r,
??
D
d x d yyxf ),(
.)s i n,c o s(20 1
c o ss i n
1? ?
?
? ?
??
??? r d rrrfd
???
D
r d r drrf ??? )s i n,cos(
例 3 计算 d x d ye
D
yx?? ?? 22,其中 D 是由中心在原点,
半径为 a 的圆周所围成的闭区域,
解 在极坐标系下
D, ar ??0, ?? 20 ??,
d x d ye
D
yx?? ?? 22
?? ?? a r r d red 020 2? ?
).1( 2ae ??? ?
Ao a
ar?
?
?
?
?
?
?
?
s in
c o s
ry
rx
?d r dre
D
r?? ?? 2
?? ??? ?a r rded 0 220 )(21 2? ?? ?
? ??? ? ?20 0
2
2
1 dar
例 4 计算 d x d yyx
D
)(
22
?? ? 。
其 中 D 为 由圆 yyx 2
22
??, yyx 4
22
?? 及直
线 03 ?? yx, 03 ?? xy 所围 的 闭区域,
解
32 ?? ??
?s in4?? r
?si n2?? r
d x d yyx
D
)( 22?? ?
yyx 422 ??
yyx 222 ??
03 ?? xy
??
?
?
?
?
?
s in
c o s
ry
rx
?r d rr
D
?? ?? 2
6?
3?
61 ?? ?? 03 ?? yx ?sin4?r
sin2 ??r
d x d yyx
D
)( 22?? ?
? ? ?? 36 s i n4 s i n2 2 ?? ??? r d rrd
).834(15 ?? ?
?r d rr
D
?? ?? 2
? ??????? 36
s in4
s in2
4
4
?
?
?
?
?dr
?? 36 4 s i n60 ?? ?? d
? ?????? ?? 36
2
2 2c o s1 15 ?? ?? d
6?
3?
?sin4?r
sin2 ??r
例 5 求广义积分 ? ? ?0 2 dxe x,
解 }|),{( 2221 RyxyxD ???
}2|),{( 2222 RyxyxD ???
}0,0{ ?? yx
}0,0|),{( RyRxyxS ?????
显然有 21 DSD ??
,022 ??? yxe?
? ?? ??
1
22
D
yx d x d ye?? ???
S
yx d x d ye 22,
2
22?? ???
D
yx d x d ye
1D
2DS
S
2D
R R2
又 ?? ???
S
yx d x d yeI 22?
?? ??? R yR x dyedxe 00 22 ;)( 20 2? ?? R x dxe
?1I ?? ??
1
22
D
yx d x d ye
?? ?? ?? R r r d red 00 22 );1(4 2Re ????
同理 ?2I ?? ??
2
22
D
yx d x d ye);1(
4
22 Re ????
当 ??R 时,,41 ??I,42 ??I
故当 ??R 时,,4??I 即 ??
? ? 2
0
)( 2 dxe x 4?,
所求广义积分 ??
? ?
0
2 dxe x
2
?,
,21 III ???
);1(4)()1(4 222 220 RR xR edxee ??? ??????? ?
例 6 计算 d x d yyx
D
)(
22
?? ?，其 D 为由圆
yyx 222 ??, yyx 422 ?? 及直线 yx 3? 0?,
03 ?? xy 所围成的平面闭区域,
解 32 ?? ??
61
?? ??
?s i n4?? r
?s i n2?? r
d x d yyx
D
)( 22?? ? ? ??? ?? ??? 3
6
s i n4
s i n2
2 r d rrd ).3
2(15 ?
??
yyx 422 ??
yyx 222 ??
03 ?? yx
03 ?? xy
例 7 计算二重积分 ??
?
??
D
dxdy
yx
yx
22
22
)s i n (
,
其中积分区域为 }41|),{( 22 ???? yxyxD,
解 由对称性，可只考虑第一象限部分,
注意,被积函数也要有对称性,
?? ? ??
D
dxdy
yx
yx
22
22 )s i n ( 4? ??
?
??
1
22
22 )s i n (
D
d x d y
yx
yx
?? ??? ? 210 s i n4 2 r d rr rd,4??
14 DD ?
1D
例 8 求曲线 )(2)( 222222 yxayx ???
和 222 ayx ?? 所围成的图形的面积,
解 根据对称性有 14 DD ?
在极坐标系下
)(2)( 222222 yxayx ???,2c o s2 ?ar ??
,222 arayx ????
1D
由
?
?
?
?
?
ar
ar ?2c o s2
,得交点 )
6,(
?? aA,
所求面积 ???
D
d x d y????
1
4
D
d x d y
?? ?? ?? 2c o s20 64 aa r d rd
).33(2 ??? a
二重积分在极坐标下的计算公式
二、小结
???? ?
DD
r d r drrfdyxf ???? )s i n,c o s(),(
.)s i n,c o s()( )(2
1??
? ?? ???? ??? r d rrrfd
.)s i n,c o s()(0??? ???? ??? r d rrrfd
.)s i n,c o s()(020 ??? ??? ??? r d rrrfd
?
?
?
?
?
（在积分中注意使用 对称性 ）
作业, P242,1,2,3,4,5,6.
交换积分次序,
).0(),(
c o s
0
2
2
???? ??
?
?
?
?
adrrfdI
a
思考题
,
co s0
22:
??
?
?
?
???
??????
ar
D
o x
y
思考题解答
?cosar ?D
a
a
ra rcco s???
a
ra rcco s??
.),(a r c c o s
a r c c o s0 ?? ?
? a
r
a
r
a drfdrI ??
一,填空题,
1, 将
??
D
d x d yyxf ),(,D 为 xyx 2
22
??,表示为极坐
标形式的二次积分,为 ___ __ __ ___ __ ___ _ _ _ _ __,
2, 将 ??
D
d x d yyxf ),(,
D
为 xy ??? 10,10 ?? x,表
示为极坐标形式的二次积分为 ___ __ ___ _ _ _ _ __,
3, 将 ?? ?
x
x
dyyxfdx
3
22
2
0
)( 化为极坐标形式的二
次积分为 _____ __ __ ___ __ ___ __ __ _.
4, 将
??
2
0
1
0
),(
x
dyyxfdx 化为极坐标形式的二次积分
为 _____ ___ __ __ ___ __ ___ __,
练 习 题
5, 将
??
?
?
x
x
dyyxdx
2
2
1
)(
22
1
0
化为极坐标形式的二次积
分为 ___ ___ ___ _ ___ __,其值为 ___ __ ___ __ ___ _ _.
二,计算下列二重积分,
1,
??
??
D
dyx ?)1l n (
22
,其中
D
是由圆周 1
22
?? yx
及坐标轴所围成的在第一象限内的区域,
2,
??
?
D
dyx ?)(
22
其中
D
是由直线 xy ?,
)0(3,,????? aayayaxy
所围成的区域,
3,
??
??
D
dyxR ?
222
,其中
D
是由圆周
Rxyx ??
22
所围成的区域,
4, ?? ??
D
dyx ?2
22
,其中
D
:
3
22
?? yx
.
三、试将对极坐标的二次积分
??
?
?
?
?
????
c o s2
0
4
4
)s i n,c o s(
a
r d rrrfdI 交换积分次序,
四、设平面薄片所占的闭区域 D 是由螺线 ?2?r 上一段
弧 (
2
0
?
??? ) 与直线
2
?
?? 所围成,它的面密度为
22
),( yxyx ???,求这薄片的质量,
五,计算以
x o y
面上的圆周 axyx ??
22
围成的闭区域为
底，而以曲面
22
yxz ?? 为顶的曲顶柱体的体积,
一,1, r d rrrfd
??
?
?
?
?
???
c o s2
0
2
2
)s i n,co s( ；
2,
??
?
???
?
???
1
)s i n(c o s
0
2
0
)s i n,co s( r d rrrfd ；
3,
??
?
?
?
?
s e c2
0
3
4
)( r d rrfd ；
4,
??
?
??
?
???
s e c
ta ns e c
4
0
)s i n,co s( r d rrrfd ；
5,
??
?
??
?
2
c o s
s i n
0
4
0
1
r d r
r
d,12 ?,
二,1, )12ln2(
4
?
?； 2,
4
14 a；
练习题答案
3, )
3
4
(
3
3
??
R； 4, ?
2
5
.
三、
??
?
?
?
????
4
4
2
0
)s i n,co s( drrfr d rI
a
??
?
????
a
r
a
r
a
a
drrfr d r
2
a r c c o s
2
a r c c o s
2
2
)s i n,c o s(,
四、
40
5
?
.
五、
4
32
3
a
?
.
五、三重积分
第二十章 重积分
?? ?d)( Xf
当 ?? R3,有 X=(x,y,z)??,d? = dv
则 ???
?
vzyxf d),,( 三重积分
1,直角坐标系下三重积分的计算
直角坐标系下，记体积元素
dv=dxdydz
dz
dy dx y
x
z
?
0 则 ??????
??
? zyxzyxfvzyxf ddd),,(d),,(
? ?§ 9-3,三重积分
???
?
zyxzyxf ddd),,(
yxzzyxf
D
yxz
yxz
dd]d),,([ ),(
),(
2
1?? ?
?
zzyxfyx yxz yxzxy xyba d),,(dd ),( ),()( )( 2
1
2
1 ???
?
x
y
z
0
z=z2(x,y)
z=z1(x,y)
D
(1) 化成一个定积分和一个二重积分
zzyxfyx yxz yxz
D
d),,(dd ),( ),(2
1???
?
设 D 为 ?在 xy 平面上投影区域,
思考 问 题
y=y1(x) ba
y=y2(x)
z
x
y
x+y+z=1
0
例 1.计算,ddd???
?
zyxx 其中 ?是由平面 x+y+z=1
与三个坐标面 所围闭区域,
解,D,0≤ y ≤1–x,0 ≤ x ≤ 1
???
?
zyxx ddd
??? ???? yxx zxyx 101010 ddd
24
1?
1
1
D
x+y=1
x
y
??? ??? yx
D
zxyx 10 ddd
例 2.计算,ddd)co s (???
?
? zyxzxy 其中 ? 是由抛物
柱面 xy ? 及平面 y=0,z=0,所围闭区域2??? yx
,ddd)co s (???
?
? zyxzxy
??? ? ?? x
D
zzxyyx 20 d)c o s (dd
?
解, D,0≤ y ≤,0 ≤ x ≤x 2?
??? ? ?? xx zzxyyx 20020 d)c o s (dd ??
2
1
16
2
?? ?
y
xz ?? 2?
x
z
?
0
xy?
D
0 2?
y
x
y=y1(x,z)
z
0
?
y=y2(x,z)D
xz
y
???
?
zyxzyxf ddd),,(
???? ),( ),(21 d),,(dd zxy zxy
D
yzyxfzx
xz
x
x=x2(y,z)
z
0
?
x=x1(y,z)
Dyz
y
x
???
?
zyxzyxf ddd),,(
???? ),( ),(21 d),,(dd zyx zyx
D
xzyxfzy
yz
例 3.将 ???
?
zyxzyxf ddd),,( 化为三次定积分，其中
?是由 z= x2+y2 和 z=1所围的闭区域,
解,先对 z 积分，将
?向 xy 平面投影,
z= x2+y2 x2+y2=1
? D,x2+y2≤1
z=1
?
z=1
x
y
z
0 1
Dxy
z=1
z= x2+y2
???
?
? zyxzyxf ddd),,(
??? ?? ???? 11 11 1 222 2 d),,(dd yxx x zzyxfyx
x
y
z
0 1
Dxy
z=1
z= x2+y2
解 2,先对 y 积分，
将 ? 向 xz 平面投影：
z= x2+y2
? Dxy,x2 ≤z ≤ 1,
z=1
? 1 ≤x≤1
z= x2+y2 ? 2xzy ???
?????? ? ???
?
?
2
22 d),,(ddddd),,(
11
1
xz
xzx yzyxfzxzyxzyxf
x
y
z
0
Dxz
1
?12xzy ???
2xzy ??
思考 问 题 先对 x 积分，怎样做？
(2) 化为一个二重积分和一个定积分
???
?
zyxzyxf ddd),,(
zyxzyxf
zD
z
z d]dd),,([ )(
2
1 ???
?
????
)(
dd),,(d2
1 zD
z
z yxzyxfz
?,(x,y)?D(z),z1≤z≤z2
0
x
z
y
z2
z
z2
?
D(z)
例 4.计算,dd???
?
yxz 其中 ? 是由 z=x2+y2 和 z=1
所围成的闭区域,
x
y
z
0 1
D(z)
1
解, D(z),x2+y2≤z
z?[0,1]
??? ?
?
? 10 dddd zzzyxz ??
)(
d
zD
yx
? ?? 10 d zzz ?
1
0
3
3 ??
?
??
?? z?
3
??
zz ?? ?2)(
例 5.计算
解,D(x),0≤ y ≤1–x,0≤ z ≤ 1?x?y
z
x
y0
1
1
1
x, 0 ≤ x ≤ 1
???? ?
?
1
0 dddd xxzyxx
? ??? 10 2 )d(121 xxx
24
1?
??
)(
dd
xD
zy
2)1(
2
1 ?
,ddd???
?
zyxx 其中 ? 是由平面 x+y+z=1
与三个坐标面 所围闭区域,
D(x)
z=1?x?y
x
y
0
1?x
1?x
2,三重积分的换元公式
设变换 T,x=x(u,v,w)
y=y(u,v,w)
z=z(u,v,w)
将 uvw 空间中的有界闭域 ? * 变成 xyz 空间中
的有界闭域 ?,且满足
(1) x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)?C1(?*)
(2) ?(u,v,w)??* 有
??? ),,( ),,( wvu zyx
u
x
?
?
u
y
?
?
u
z
?
?
v
x
?
?
v
y
?
?
v
z
?
?
w
x
?
?
w
y
?
?
w
z
?
?
?0
(3) T, ? *?? 是一一对应
若 f (x,y,z)?C(? ),则
???
?
zyxzyxf ddd),,(
???
? ?
??
*
ddd),,( ),,()),,(),,,(),,,(( wvuwvu zyxwvuzwvuywvuxf
3,利用柱面坐标计算三重积分
M ? (r,?,z)
x=rcos?
y=rsin?
z = z
(0≤r<+?,0≤?≤2?,??<z<+?)
r?
z
M?
0
x
z
y
y
x
柱面坐标的三组坐标面分别为
r=常数
?=常数
z=常数
x
y
z
o
??? ),,( ),,( zr zyx ?
r
x
?
?
r
y
?
?
r
z
?
?
??
?x
??
?y
??
?z
z
x
?
?
z
y
?
?
z
z
?
?
= r
100
0co ss i n
0s i nco s
??
??
r
r?
?
故 dxdydz=rdrd?dz
zrrzrrfzyxzyxf ddd),s i n,co s(ddd),,(
*
?????????
??
?
例 1.计算,ddd22?? ?
?
? zyxyxz 其中 ? 由 22 yxz ??
与 z=1 所围闭区域,
解,
? D,x2+y2≤1
22 yxz ??
z =1
22 yxz ?? ? z =r
122 ?? yx
z =0?
x
y
z
0 D
z=r
z=1
zrzrzyxyxz dddddd
*
222 ???????
??
??
???? 110 220 ddd r zzrr? ?
rrr d2 )1(2 1
0
2
2? ?? ? ?
15
2?
???? 12 ddd r
D
zzrr ?
x
y
z
0
z=r
z=1
1D
例 2.计算,ddd???
?
zyxz ? ={(x,y,z) | x2+y2+z2≤1,z≥0},
解,D,x2+y2≤1
221 yxz ??? ? 21 rz ??
zrzrzyxz dddddd
*
???????
??
?
??? ?? 2101020 ddd r zzrr? ?
rrr d2 )1(2 1
0
2
? ?? ? 4??思考 问 题
??? ??
21
0
dd r
D
zzr d r ?x
y
z
0 1
21 rz ??
例 3.再解例 1,ddd22?? ?
?
? zyxyxz 其中 ?是 由
22 yxz ?? 与 z=1 所围闭区域,
解, 用 ?= ? 截 ? 得 D(?)
而 0≤ ? ≤2? 故
原积分 =???
? *
2 ddd zrzr ?
????
)(
22
0
ddd
?
? ?
D
zrzrx
y
z
?
???? 110 220 d r z d zrrd? ?
x
z
?
????
)(
22
0 ddd ?
? ??
D
rzr
y ?15
2?
z
1
r0
1
例 4.再解例 2,ddd???
?
zyxz
其中 ? ={(x,y,z) | x2+y2+z2≤1,z≥0},
解, 用 ?= ? 截 ? 得 D(?)
而 0≤ ? ≤2? 故
原积分 =???
? *
ddd zrzr ?
????
)(
2
0
ddd
?
? ?
D
zrzr
x
y
z
0
?
??? ?? 2101020 ddd r zzrr? ?
.4??x
y
z
0?
21 rz ??
0 1
1
r
z
????
)(
2
0 ddd ?
? ??
D
rzr
4,利用球面坐标计算三重积分
M ? (r,?,?)
x=OPcos ?
z= r cos?
(0≤r<+?,0≤?≤?,0≤?≤2?)
y= OPsin ?
? M
0
z
x
y
?
?
r
P
x
y
z
= r sin? cos?
= rsin? sin?
球面坐标的三组坐标面：
r =常数
? =常数
? =常数
dxdydz= r2sin? drd?d?
??? s i n),,( ),,( 2rr zyx ???
???????? ddds i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n(
ddd),,(
*
2
???
???
?
?
?
?
rrrrrf
zyxzyxf
z
x
y
例 5.计算,ddd???
?
zyxz
其中 ? ={(x,y,z) | x2+y2+z2≤1,z≥0},
解, x2+y2+z2=1 ? r=1
而 0≤ ? ≤2? 故
用 ? = ? 截 ? 得 D(?)
原积分
???
?
??
*
2 ddds i nc o s ???? rrr
????
)(
32
0 dds i nc o sd ?
? ????
D
rr
x
y
z
0
?
x
y
z
0?
z
????
)(
32
0
dds inc o sd
?
? ????
D
rr
???? 10 32020 dds i nc o sd rr?? ????
1
0
42
0
2
42
s i n2
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?? r
?
??
4
??
0 1
1
?? r=1
例 6.
,ddd)( 222???
?
?? zyxzyx
22 yxzΩ ??是由其中
和 x2+y2+z2=a2 所围成闭区域,
解, x2+y2+z2=a2? r=a
22 yxz ??
.4?? ??
原积分
???
?
???
*
22 ddds i n ??? rrr
????
)(
42
0
dds i nd
?
? ???
D
rr
z
y
x
a?
z
y
x
a?
????
)(
42
0
dds i nd
?
? ???
D
rr
???? a rr0 44020 dds i nd ?? ???
)22(51 5 ?? a?
r=a
4?
z
例 7.计算
,dd)d,,(???
?
zyxzyxf
次积分，其中 ? 为 x2+y2+(z?1)2≤1,
解,x2+y2+(z?1)2≤1 ? r=2cos?
???? ?
??
???? c o s202020,c o ss i n(dd rf
x
y
z
0
表为球坐标系中的三
???
?
zyxzyxf ddd),,(
思考 问 题
1.若 ?,x2+(y -1) 2+z2≤1？
z
y
?
2,？
rrrr ds i n)co s,s i ns i n 2 ????
设 ),,( zyxf 是空间有界闭区域 ? 上的有界函数，将闭
区域 ? 任意分成 n 个小闭区域
1
v?,
2
v?,,?
n
v?,其
中
i
v? 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积,在每个
i
v? 上任取一点 ),,(
iii
??? 作乘积
iiii
vf ??),,( ???,
),,2,1( ni ??,并作和,如果当各小闭区域的直径中的
最大值 ? 趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限
为函数 ),,( zyxf 在闭区域 ? 上的三重积分，记 为
???
?
dvzyxf ),,(,即
一、三重积分的定义
.),,(lim),,(
10
i
n
i
iii vfdvzyxf ?? ????
???
???
?
.叫做体积元素其中 dv
,?来划分
用平行于坐标面的平面在直角坐标系中，如果
.lkji zyxv ?????则
三重积记为
???
?
d x d y d zzyxf ),,( iii
n
i
i vf ?? ?
??
),,(lim
10
???
?
,
.积元素叫做直角坐标系中的体其中 d x d y d z
三重积分的性质与二重积分的类似。
特别地,被积函数 1),,( ?zyxf 时,
的体积?????
?
dv,
直角坐标系中将三重积分化为三次积
分．
二、三重积分的计算
)(1 xyy ? )(2 xyy ?
如图，
,D
x o y
面上的投影为闭区域
在闭区域 ?
),,(:
),,(:
22
11
yxzzS
yxzzS
?
?
,),( 作直线过点 Dyx ?
穿出．穿入，从从 21 zz x
y
z
o
?
D ),( yxab
),(1 yxzz ?
),(2 yxzz ?
2S
1S1z
2z
的函数，则只看作看作定值，将先将 zzyxfyx ),,(,
?? ),( ),(21 ),,(),( yxz yxz dzzyxfyxF
上的二重积分在闭区间计算 DyxF ),(
.),,(),( ),( ),(2
1?? ??? ??
?
??
??
D
yxz
yxzD ddzzyxfdyxF ??
,),()(,21 bxaxyyxyD ????得
是 x,y 的函数。
????
?
dvzyxf ),,(,),,()( )( ),( ),(2
1
2
1? ? ?
b
a
xy
xy
yxz
yxz dzzyxfdydx
????
?
dvzyxf ),,(,),,()( )( ),( ),(2
1
2
1? ? ?
b
a
xy
xy
yxz
yxz dzzyxfdydx
注意
相交不多于两点情形．的边界曲面区域
内部的直线与闭轴且穿过闭区域平行于
S
z
?
?
)1(
．分若干个小区域来讨论
相交多于两点时，把的边界曲面闭区域
内部的直线与轴且穿过闭区域若平行于
?
?
?
)2
S
z
三重积分化为三次积分的过程：
。面上投影，得到向 Dx o y )1( ?
x
y
z
o
?
D
)2( 轴投影，得到向 xD
a
b
??
?
??
??
).()(
,:
21 xyyxy
bxaD
,),( )3( 作直线过点 Dyx ?
得到 ).,(),( 21 yxzzyxz ??
1z
2z
),( yx
?
?
?
?
?
??
??
??
?
).,(),(
),()(
,
:
21
21
yxzzyxz
xyyxy
bxa
事实上，
????
?
dvzyxf ),,(,),,()( )( ),( ),(2
1
2
1? ? ?
b
a
xy
xy
yxz
yxz dzzyxfdydx
。面上投影，得到向 Dx o y )1( ?
)2( 轴投影，得到向 yD
??
?
??
??
,
),()(,11
dyc
yxxyxD
,),( )3( 作直线过点 Dyx ?
得到 ).,(),( 21 yxzzyxz ??
事实上,?
?
?
?
?
??
??
??
?
).,(),(
,
),()(
:
21
11
yxzzyxz
dyc
yxxyx
x
y
z
o
?
D
c d1z
2z
),( yx
????
?
dvzyxf ),,(,),,()( )( ),( ),(2
1
2
1? ? ?
d
c
yx
yx
yxz
yxz dzzyxfdxdy
。面上投影，得到向 yzDy o z )1( ?
)2( 轴投影，得到向 yD yz
??
?
??
??
,
),()(,11
bya
yzzyzD
,),( )3( 作直线过点 yzDzy ?
得到 ).,(),( 21 zyxxzyx ??
事实上,?
?
?
?
?
??
??
??
?
).()(
,
),,(),(
:
21
11
yzzyz
bya
zyxxzyx D),( zya
b
x
y
zo
?
1x
2x
????
?
dvzyxf ),,(,),,()( )( ),( ),(2
1
2
1? ? ?
b
a
yz
yz
zyx
zyx dxzyxfdzdy
例 1 计算三重积分 ???
?
x d x d y d z,其中 ? 为三个坐标
面及平面 12 ??? zyx 所围成的闭区域,
21
1
x
o
z
y
1
。面上投影，得到向 Dxoy ?
??
?
?
?
???
??
.210
,10
,x
y
x
D
,
),(
的直线
轴作平行与过点 zDyx ?
得到
.210 yxz ????
解
D
于是,????
?
d x d y d zx ? ? ?? ??10 0 21021 x yx x d zdydx
? ?? ? ? ??? 10 0 21 0 21 x dyxzdx yx
? ? ? ??? 10 0 221 )2(x dyxyxxdx? ?
? ???? 10 022 21)( dxxyyxx x? ??? 10 32 )2(41 dxxxx 1
0
432
4
1
3
2
24
1
??
?
??
? ??? xxx
.481?
于是,????
?
d x d y d zx ? ? ?? ??10 0 21021 x yx x d zdydx
,
),(
的直线
轴作平行与过点 zDyx ?
得到
.210 yxz ????
例 2 化三重积分 ???
?
? d x d y d zzyxfI ),,( 为三次积分,
其中积分区域 ? 为由曲面
22
2 yxz ?? 及
2
2 xz ?? 所围成的闭区域,
解
由
?
?
?
??
??
2
22
2
2
xz
yxz,
得交线投影区域,122 ?? yx
故 ?,
?
?
?
?
?
????
?????
???
222
22
22
11
11
xzyx
xyx
x
,
.),,( 1 1 2 21 1 2 222 2? ??? ? ?? ??? x yxx x dzzyxfdydxI因此，
故 ?,
?
?
?
?
?
????
?????
???
222
22
22
11
11
xzyx
xyx
x
,
o
x
y
z
1
2
例 3 计算三重积分 ???
?
d x d y d zz 。
其中 ?,平面,0,,2,1 ???? zxyxx 及
yz ?2 所围成的闭区域,
。面上投影，得到向 Dxoy ?
??
?
??
??
.0
,21:
xy
xD
,),( 轴的直线作平行与过点 zDyx ?得到
.20 yz ??
解
D
??
?
?
?
??
??
??
?
.20
0
,21
,
yz
xy
x
，即
于是,????
?
d x d y d zz ? ? ?21 0 20x y z d zdydx
o
x
y
z
1
2
。面上投影，得到向 Dxoy ?
??
?
??
??
.0
,21:
xy
xD
,),( 轴的直线作平行与过点 zDyx ?得到
.20 yz ??
解
D
??
?
?
?
??
??
??
?
.20
0
,21
,
yz
xy
x
，即
? ?? 21 0 281 x dyydx ?? 21 3241 dxx.325?
截面法的一般步骤,
(1) 把积分区域 ? 向某轴（例如 z 轴）投影，得投影
区间 ],[ 21 cc ；
(2) 对 ],[ 21 ccz ? 用过 z 轴且平行 xoy 平面的平面去截
?,得截面 zD ;
( 3 ) 计算二重积分 ??
z
D
dxdyzyxf ),,(
其结果为 z 的函数 )( zF ；
(4) 最后计算单积分 ?
2
1
)(
c
c
dzzF 即得三重积分值,
z zD
例 4 计算三重积分 d x d y d zz???
?
2
，其中 ? 是由椭球
面 1
2
2
2
2
2
2
???
c
z
b
y
a
x
所成的空间闭区域,
:?,|),,{( czczyx ??? }1 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x ???
原式,2 ?????
zD
c
c dxdydzz
解
x
y
z
o
zD
|),{( yxD z ? }1 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x ???
)1()1( 2
22
2
22
c
zb
c
zadxdy
zD
?????? ?
),1( 22czab ?? ?
?? ?? c c dzzczab 222 )1(?,154 3abc??
|),{( yxD z ? }1 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x ???
原式
因此，
例 5 计算三重积分 d x d y d zxy???
?
?
2
1,其中 ? 由曲
面
22
1 zxy ????, 122 ?? zx, 1?y 所围成,
将 ? 投影到 zox 平面得
:xzD 122 ?? zx,
先对 y 积分,再求 xzD 上二重积分,
解 如图,
x
y
zo
1
1
1
??? ?????
1
1
2 221
zxD dydxdzxy
xz
原式
dzzxxdx x x 21 221 1 1 1 22 2 ??? ? ?? ? ??
?
?
?
?
?
?????
?????
???
?
.11
,11
,11
:
22
22
yyx
xzx
x
dxzzxx
x
x
)3(1 1 1
1
1
322
2
2
??
?
??
??
?
??
? ???
?? ??? 1 1 42 )21(31 dxxx
.4528?
??? ?????
1
1
2 221
zxD dydxdzxy
xz
原式
dzzxxdx x x 21 221 1 1 1 22 2 ??? ? ?? ? ??
?
?
?
?
?
?????
?????
???
?
.11
,11
,11
:
22
22
yyx
xzx
x
定
理
二、换元法定理
设变换 T, x = x(u,v,w),y = y(u,v,w),
z = z(u,v,w)将 uvw 空间中的有界闭区
域 ?uvw 变成 xyz 空 间中的有界闭区域
?xyz,且满足
1) x=x(u,v,w),y= y(u,v,w),z=z(u,v,w)?C1(?uvw)
例 5,计算
???
?
?,2 d xd yd zxI
其中 ?是由曲面
xzxzbaybyzayz ?? ???????,),0,0(,22
)0(),0( ???? hhz?? 所围成的区域,
解, 作变换
,,,,2 zw
x
zv
y
zuT ???
},0,,|),,{( hwvbuawvu ???????? ? ??
：变成则 Ω?
2)
w
z
v
z
u
z
w
y
v
y
u
y
w
x
v
x
u
x
wvu
zyx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),,(
),,(
? 0,(u,v,w)??uvw
若 f (u,v,w)?R(?),则有 ???
? x y z
zyxzyxf ddd),,(
???
? ?
??
x y z
wvu
wvu
zyxwvuzwvuywvuxf ddd
),,(
),,()),,(),,,(),,,((
而
由公式 (5),
1
),,(
),,(
),,(
),,( ?
???
?
???
?
?
??
?
?
zyx
wvu
wvu
zyx
???
?
? d xd yd zxI 2
dwwdvvduu hb
a ???
???
0
2
7
42
3
2
1 ?
?
.1111
27
2 29
33 hba ???
?
???
? ??
?
??
?
? ??
??
2
32
2 z
yx??,
2
1 2
3
2 ??
??
?
???
u
w
v
d u d v d w
u
w
vv
w 2
3
22
2
2
1
?
?
??
?
??? ???
??
三、柱面坐标下的三重积分的计算
M直角坐标 (x,y,z) 与柱面坐标 (r,?,z)形成一一
对应 (原点除外 )
其关系是
x = r cos ?
y = r sin ?
z = z
.,20,0 ???????????? zr ??其中
x
y
z
M(x,y,z)
(x,y,0)
(r,?,z)
o
?
柱面坐标系中 z 族坐标面分别是
r =常数,
以 z 为中心轴的园柱面
? =常数,
过 z 轴的半平面
z =常数,
垂直于 z 轴的平面, x
y
z
(x,y,0)
o
从而
z
z
z
y
z
x
zyx
r
z
r
y
r
x
zr
zyx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???? ),,(
),,(
100
0co ss i n
0s i nco s
??
??
rr??
??
??
c o ss i n
s i nc o s
rr?? = r
???
? x y z
zyxzyxf ddd),,(
???
?
?
zr
zrrzrrf
?
??? ddd),si n,c o s(
所以,
一般,?r? z 表为,
r1(? )??? r2(? ),
z1(r,? )??? z2 (r,? )).
?????,
例 6.
}.0,1|),,{(
,
222 ??????
? ???
?
zzyxzyx
z d x d y d zI
其中
计算
解, ? 为上半球体,它在 xy平面上的投影为区域 D,
}1|),{( 22 ??? yxyxD
运用柱面坐标计算,令
,c o s?rx ?,s in ?ry ? z = z.
则 ? 变成 ?*
}10,10,20|),,{(* 2rzrzr ????????? ???
从而
???
?
? z d x d yd zI ???
?
? dzz r d r d ? ???
?? 21
0
1
0
2
0
r z d zr d rd? ?
? ?? 10 2 )1(212 drrr? 4??
.22
,
22 所围成的区域与平面
是旋转抛物面其中计算
???
?? ???
?
zzyx
z d x d y d zI
例 7.
解, ? 在 xy平面上的投影为区域为 D,
}4|),{( 22 ??? yxyxD
而被积函数也包含了 x2 + y2项,故可运用
柱面坐标计算,令
,c o s?rx ?,s in ?ry ? z = z.
则 ? 变成 ?*
}2
2
,20,20|),,{(*
2
???????? zrrzr ???
于是
???
?
?? d xd y d zyxI )( 22 ???
?
?? dzr d r dr ?2
???? 2
2
2
0
32
0
2r dzdrrd
? ?
?316?
? ???????? ?? 20
2
3
2
22 drrr?
例 9.设锥面 22 yxz ?? 被圆柱面 x2+y2=2x所截,
求锥面下方,xy 平面上方,圆柱内的区域 ?
的体积 V
解, 运用柱面坐标,令
x = rcos?
y = rsin?
z = z
则 锥面方程为 z = r
圆柱面方程为, r = 2cos? x
z
0
y
由对称性,只需计算第一卦限中的体积 V1,
则 V=2V1.
?在 xy 平面上的投影为 D:
D={(x,y)|x2+y2≤2x}.
由图可知,在柱坐标系下 ?1(?在第一卦限中
的部分 )变成 ?1*:
},0,c o s20,20|),,{(*1 rzrzr ???????? ????
于是
???
?
?
1
2 dzr d r d ?
???? r dzr d rd 0c o s20202 ?
?
?
.932?
12VV ?
??
?
d?? 2
0
3)c o s2(
3
2
??? ?
?
? c o s20 2202 drrd
例 11,
.)0(2
4 222222
体体积所围成的公共部分的立
与围柱面求球面
??
????
aax
yxazyx
解, 由对称性,所求体积
?? ???
D
d x d yyxaV 22244
y
z
x
o
D
?co s2 ar ?
x
y
o a 2a
?
D
运用极坐标系,则 D 变成 D*,
}c o s20,20|),{(* ???? arrD ?????
式中
}20,20|),{( 2xaxyaxyxD ??????
?? ?
D
r d r dra ?2244
?? ?? ?
?
? c o s20 2220 44 a r d rrad
?V
故
.322332 3a?
?
??
?
? ?? ?? ?? 2
0
33 )s in1(
3
32 ? ?? dca
?? ???????? ?? ?
?
? c o s2
0
222
1
222
0
)4()4(214 a r d rradrad
?
??
dra
a c o s2
0
2
0
2
3
22 )4(
3
22 ? ????
? ?? 20 333 )s in88(34
?
? ?daa
四, 球面坐标系下的三重积分
点 M的直角坐标 (x,y,z) 与球面坐标系
(r,?,? )也形成一一对应 (原点除外 )
z
x
y
M(x,y)
M'(x,y,0)
(r,?,z)
o
?
?
x
y
x
y
z
o
? =常数 r =常数
? =常数
其关系是
x = r sin? cos ?
y = r sin? sin ?
z = r cos ?
.20,0,0 ???? ???????? r其中
对应坐标面为
r = 常数,以 o 为中心的球面
? = 常数,过 z 轴的半平面
? = 常数,以原点为顶点,z 为轴的圆锥面,
???
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zyx
zyx
r
z
r
y
r
x
r
zyx
),,(
),,(
由
0c o ss i ns i ns i n
s i ns i nc o sc o sc o s
c o ss i ns i nc o ss i n
????
?????
?????
rr
rrr
?
??
???
???
??
???
???
??
s i nc o sc o s
c o sc o ss i n
c o ss i n
s i ns i nc o s
c o ss i ns i n
s i ns i n
rr
r
rr
r
?
?
?
??
???? 2222 c o ss i ns i ns i n rr ?? ?s in2r?
所以 ???
? x y z
zyxzyxf ddd),,(
???
?
?
??
????????
r
rrrrrf ddds i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n( 2
一般化为先对 r,次对 ?,
再对 ?的累次积分,
注意 x2 + y2 + z2 = r2
例 8,计算
???
?
???,)( 222 d xd yd zzyxI
其中,?是由锥面
22 yxz ??
与球面 2222 azyx ???
所围成的区域,
解, 积分区域 ?如图所示,
,c o s,s i ns i n,c o ss i n ????? rzryrx ??? 则锥面
方程变为;4?? ? 球面方程变为 r = a,区域 ?变为 ?
＊
y
x
z
O
运用球面坐标计算,令
},0,40,20|),,{( arr ???????? ? ??????
故
(该题也可选择柱面坐标计算，请读者自行完成,)
???
?
??? d xd yd zzyxI )( 222
??? dd r drr s i n22 ?? ???
??
???? a drrdd 0 44020 s i n ???
??
).22(51 5 ?? a????
?
da ?? 4
0
5 s in
5
2
例 9,计算
???
?
??,)( 22 d xd yd zyxI
其中,?为两个半球面
)0(,222222 bayxazyxbz ????????
及平面 z = 0所围成的区域,
解, 令,c o s,s i ns i n,c o ss i n ????? rzryrx ???
则区域 ?变成 ?＊,
},,20,20|),,{( brar ???????? ? ??????
故
???
?
?? d xd y d zyxI )( 22
???
??
?? ???? dd r drr s i ns i n 222
? ? ?? ?
?
???2
0
2
0
43s i n b
a
drrdd
)(154 55 ab ?? ?
? ???? 20 255 c o s)c o s1()(52
?
??? dab
2
0
355 c o sc o s
3
1)(
5
2
?
??? ?
?
?
??
? ??? ab
例 10,计算曲面 )0()( 32222 ???? azazyx
所围成的立体体积 V.
解, 该曲面关于 yz平面和 xz平面对称, 且位于 xy
平面上方, 故只需计算在第一卦限中 ?1的
体积 V1,则
???
?
??
1
.44 1 d x d y d zVV
运用球系：,c o s,s i ns i n,c o ss i n ????? rzryrx ???
则曲面方程为
?c o s33 ar ?
而在第一卦限中，
,20,20 ???? ????
所以曲面方程可表示为
.c o s3 ?ar ?
:11 ??? 变成这时
},c o s0,20,20|),,{( 31 ??????? arr ???????? ?
故
14VV ?
? ? ?? 20 20 c o s0 23s i n4
? ? ?
??? a drrdd
?? 203 c o ss in64
?
???? da
???
?
?
1
s i n4 2 ??? dd r dr
3
3
1 a??
补充例,
???
???
?
?
?
???
????
vxI
vzyxI
Rzyx
d )2(
d)( )1(
:
2
2
2
1
2222
计算
设
解, (1) ???
?
?????? vyzxzxyzyxI d)222( 2221
???
?
??? vzyx d)( 222
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ??????
??
???
?
0ddd
222
222
yxR
yxR
D
xy zyzvyz
xy
?其中
???
?
??
??
???
r
rrr ddds i n22
???? R rr0 4020 dds i nd ?? ??? 554 R??
???
?
?? vzyx )d( )2( 222
???
?
? vx d3 2
12 3
1 II ?故 5
15
4 R??
,0 ???? r
,20 ?? ??
.?????? z
三、利用柱面坐标计算三重积分
的柱面坐标．就叫点
，则这样的三个数的极坐标为的投影
面上在为空间内一点，并设点设
M
zrrP
xoyMzyxM
,,,
),,(
??
规定：
x
y
z
o
),,( zyxM
),( ?rP?
r
?
?
简单地说，柱面坐标就是
xoy 面上的极坐标 + z 坐标
?
?
?
?
?
?
?
?
,
,s in
,c o s
zz
ry
rx
?
?
柱面坐标与直角坐标的
关系为
为常数r
为常数z
为常数?
如图，三坐标面分别为
圆柱面；
半平面；
平 面,r?
x
y
z
o
z
? ),,( zyxM
),( ?rP??
r
x
y
z
o
???
?
d x d y d zzyxf ),,(
.),s i n,c o s( ???
?
? dzddrrzrrf ???
如图，柱面坐标系中的
体积元素为
,dzddrrdv ??
于是，
?d
r
x
y
z
o
dzdr
?rd
再根据 ?中 z,r,? 的关系，化为三次积分。
一般，先对 z 积分，再对 r,最后对 ? 积分。
例 6 利用柱面坐标计算三重积分,???? d x d y d zz 其中 ?
所围成的闭区域。与平面是由曲面 4 22 ??? zyxz
解 (1) 画 ?图
(2) 确定 z,r,? 的上下限
将 ? 向 xoy 面投影，得
4, 22 ?? yxD
或,20
,20,
?
?
?
??
??
r
D ??
过 (r,? )∈ D 做平行于 z 轴
的直线，得
x
y
z
o
4
Ao 2
2?r
? ),(r
x
y
z
o
4
? ),( ?r
42 ?? zr
??
?
?
?
?
?
?
.
,s in
,c o s
zz
ry
rx
?
?
即
过 (r,? )∈ D 做平行于 z 轴
的直线，得
4
,20
,20
,
2?
?
?
?
?
??
??
??
?
zr
r
??
于是，
????
?
d x d y d zz, ???
?
dzddrrz ?
???? 42020 2 r dzzrdrd? ?
Ao 2
2?r
,dzddrrdv ??
????
?
d x d y d zz ???
?
dzddrrz ?
???? 42020 2 r dzzrdrd? ?
?? ?????? ?? 20
42
2
0 22 dr
zrd
r
? ?
?? ?? 20 520 )( 1 6 21 drrrd? ?
? ?????? ?? ? ?20
2
0
62
6
18
2
1 drr
2
0
62
6
182
2
1
?????? ???? rr?.364 ??
例 6 求 ???
?
? zd xd ydzI,其中 ? 是球面 4222 ??? zyx
与抛物面 zyx 322 ?? 所围的立体,
解 ??
?
??
???
zyx
zyx
3
4
22
222
求交线：
x y
z
o
将 ? 向 xoy 面投影，得
,3, 22 ?? yxD
??
?
?
???
.1
,322
z
yx
o A
3?r
或,30
,20,
??
?
??
??
rD
??
??????
??
??? dzd r drzd x d y d zzI ?
.413 ??
x y
z
o
?? ? ? ?? 232 420 30 rr z d zrdrd? ?
.43 22 rzr ???
即
过 (r,? )∈ D 做平行于 z 轴
的直线，得
.43
,30
,20
,
22?
?
?
?
?
???
??
??
?
rzr
r
??? ),( ?r
??
?
?
?
?
?
?
.
,s in
,c o s
zz
ry
rx
?
?
,dzddrrdv ??
或,30
,20,
??
?
??
??
rD
??
例 7 计算三重积分,)(
22???
?
? dvyx 其中 ? 是由曲
所围成。与平面面 )0( 22 ???? HHzyxz
解 将 ? 向 xoy 面投影，得
222, HyxD ??
或,0
,20,
??
?
??
??
HrD
??
x
y
z
o
H
x
y
o H
H
H?
H?.Hzr ??
过 (r,? )∈ D 做平行于 z 轴
的直线，得
? ),( ?r
,0
,20
,
??
?
?
?
??
??
??
?
Hzr
Hr
??
即
或,0
,20,
??
?
??
??
HrD
??
.Hzr ??
过 (r,? )∈ D 做平行于 z 轴
的直线，得
x
y
o H
H
H?
H?
H
x
y
z
o? ),( ?r
?????
?
dvyx )( 22,
2???
?
? dzddrrr ?
???? HrH dzrdrd 3020 ? ???
?
?
?
?
?
?
.
,s in
,c o s
zz
ry
rx
?
?
,dzddrrdv ??
? ???? H Hr drzrd 0 320 ? ?
? ?? H drrHr0 43 )(2 ?
.10 5H??
,0
,20
,
??
?
?
?
??
??
??
?
Hzr
Hr
??
即
?????
?
dvyx )( 22,
2???
?
? dzddrrr ?
???? HrH dzrdrd 3020 ? ???
?
?
?
?
?
?
.
,s in
,c o s
zz
ry
rx
?
?
,dzddrrdv ??
四、利用球面坐标计算三重积分
的球面坐标．就叫做点，，样的三个数
面上的投影，这在为点的角，这里
向线段轴按逆时针方向转到有轴来看自为从正
轴正向所夹的角，与为有向线段的距离，
间与点为原点来确定，其中，，序的数
可用三个有次为空间内一点，则点设
Mr
xoyMPOP
xz
zOM
MOrr
MzyxM
??
??
??
),,(
,0 ???? r
.20 ?? ??
,0 ?? ??
规定：
x
y
z
o
),,( zyxM
P?
r ?
?
?
为常数r
为常数?
为常数?
如图，三坐标面分别为
圆锥面；
球 面；
半平
面．
??
?
?
?
?
?
?
.c o s
,s i ns i n
,c o ss i n
?
??
??
rz
ry
rx
球面坐标与直角坐标的关系为
Px y
z
o
),,( zyxM
?
r
?
??
z
yxA
x
y
z
o
r?
?
???
?
d x d y d zzyxf ),,(
???
?
?,s i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n( 2 ???????? dddrrrrrf
球面坐标系中的体积元素为
,s i n 2 ??? dddrrdv ?
如图，
?d
r
x
y
z
o
dr
??dsinr?rd
?d?
?
?d ?sinr
再根据再 ?中 r,?,? 的关系，化为三次积分。
一般，先对 r 积分，再对 ?，最后对 ? 积分。
例 8 用球面坐标计算,
2???
?
dvz 其中
.1, 222 ???? zyx
解 画 ? 图。
确定 r,?,?的上下限。
(1) 将 ?向 xoy 面投影，得
,20 ?? ??
(2) 任取一 ],2,0[ ?? ? 过 z 轴作半平面，得
.0 ?? ??
(3) 在半平面上，任取一 ],,0[ ?? ? 过原点作
射线，得,10 ?? r
x
y
z
o
x
y
z
o
(3) 在半平面上，任取一 ],,0[ ?? ? 过原点作
射线，得,10 ?? r
即 ?
?
?
?
?
??
??
??
?
.10
,0
,20
,
r
??
??
????
?
dvz 2
??
?
?
?
?
?
?
.c o s
,s i ns i n
,c o ss i n
?
??
??
rz
ry
rx
???
?
? ???? dddrrr 2 22 s i nc o s
???? 10 24020 s i n cos drrdd ???? ??
?? ???????? ?? ???? 0
1
0
522
0 5s i n cos d
rd
??? dd r drdv s i n2?
??? ?? ???? 0 220 s i n c o s51 dd
???? ?? ??? 0 220 )( c o s c o s51 dd
? ?
?
?
?
?
??? ? ? ??2
0
0
3
3
cos
5
1 d
?? ? ?20152 d
.154??
????
?
dvz 2
??
?
?
?
?
?
?
.c o s
,s i ns i n
,c o ss i n
?
??
??
rz
ry
rx
???
?
? ???? dddrrr 2 22 s i nc o s
???? 10 24020 s i n cos drrdd ???? ??
?? ???????? ?? ???? 0
1
0
522
0 5s i n cos d
rd
??? dd r drdv s i n2?
例 9 计算, )(
222???
?
?? dvzyx其中 ? 由曲面
22 yxz ?? 和 2222 Rzyx ??? 围成。 )0( ?R
将 ? 向 xoy 面投影，得
,20 ?? ??
任取一 ],2,0[ ?? ? 过 z
.40 ?? ??
在半平面上，任取一 ],4,0[ ?? ?
过原点作射线，得,0 Rr ??
解
轴作半平面，得
x
y
z
o
R
即 ?
?
?
?
?
??
??
??
?
.0
,
4
0
,20
,
Rr
??
??
???
?
?? ??? dddrrr 2 2 s i n
???? R drrdd 0 44020 s i n ??? ??
x
y
z
o
R
???
?
?? dvzyx )( 222
??
?
?
?
?
?
?
.c o s
,s i ns i n
,c o ss i n
?
??
??
rz
ry
rx
).22(51 5 ?? R?
在半平面上，任取一 ],4,0[ ?? ?
过原点作射线，得,0 Rr ??
??? dd r drdv s i n2?
例 1 0 求曲面 2222 2 azyx ??? 与 22 yxz ??
所围成的立体体积,
解 ? 由锥面和球面围成,
x
y
z
o
R
???
?
? dvV
由三重积分的性质，有
?
?
?
??
?
?
??
??
??
?
.20
,
4
0
,20
,
ar
?
?
??
解 ? 由锥面和球面围成,
???
?
? dvV
由三重积分的性质，有
?
?
?
?
?
??
??
??
?
.20
,
4
0
,20
,
ar
??
??
x
y
z
o
R
???? a drrdd 20 2020 s i n4 ??? ??
??????
??
?? ??? dd r drdvV s i n2
.)12(34 3a?? ?
??
?
?
?
?
?
?
.c o s
,s i ns i n
,c o ss i n
?
??
??
rz
ry
rx
??? dd r drdv s i n2?
三重积分的定义和计算
在直角坐标系下的体积元素
d x d y d zdv ?
（计算时将三重积分化为三次积分）
三、小结
柱面坐标的体积元素
dzrd rdd x d y d z ??
球面坐标的体积元素
??? dd r drd x d y d z s i n2?
柱面坐标
球面坐标
作业,P251,1,2,3,4,5.
??
?
?
?
?
?
?
.c o s
,s i ns i n
,c o ss i n
?
??
??
rz
ry
rx
??
?
?
?
?
?
?
.
,s in
,c o s
zz
ry
rx
?
?
六、重积分的应用
第二十章 重积分
一、区域连通性的分类
设 D为平面区域,如果 D内任一闭曲线所
围成的部分都属于 D,则称 D为平面单连通区
域,否则称为复连通区域,
复连通区域单连通区域
D
D
一、立体的体积
二重积分的 几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
x
z
yo
D
),( yxfz ?
.),(???
D
dyxfV ?
例 1 计算由曲面 2241 yxz ??? 及 xoy 面所围的立体
体积。
x
y
z
o 1
1
21 x y
z
o 1
1
21
解 设立体在
第一卦限上
的体积为 V1。
由立体的对称性，所求立
体体积 V = 4V1 。 1
21 x
y
o
241 xy ??
D立体在第一卦限部分可以看
成是一个曲顶柱体，它的曲
顶为,41 22 yxz ???
?
?
?
???
??
.410
,210
,2
xy
x
D
1
21 x
y
o
241 xy ??
D
立体在第一卦限部分可以看
成是一个曲顶柱体，它的曲
顶为,41 22 yxz ???
它的底为
于是,?dyxV
D
)41( 221 ?? ???
dyyxdx x?? ? ??? 2410 22210 )41(
?
?
?
?
?
?
?
?
??? 210
41
0
3
2
2
3)41( dx
yyx
x
?
?
?
?
?
?
?
?
??? 210
41
0
3
2
2
3)41( dx
yyx
x
? ?? 210 232 )41(32 dxx
tx s in21 ?令x
t 0 210 2? ?? 20 4 c o s2132 ? dtt
)22143(31 ????? 16??
所求立体的体积
14VV ?,4??
例 2 求两个圆柱面 222 Ryx ?? 222 Rzx ??及 所围
的立体在第一卦限部分的体积。
x y
z
o R
R
R
x y
z
o R
R
R
R x
y
o
22 xRy ??R
D
解 所求立体
可以看成
是一个曲
顶柱体，
它的曲顶为
,22 xRz ??
?
?
?
???
??
.0
,0
,22
xRy
Rx
D它的底为
R x
y
o
22 xRy ??R
D
,22 xRz ??
?
?
?
???
??
.0
,0
,22
xRy
Rx
D它的底为
它的曲顶为
于是，立体体积为
?dxRV
D
?? ?? 22 dyxRdx xRR ?? ? ?? 220 220
? ?? ???? R xR dxyxR0 022 22 ? ?? R dxxR0 22 )( R
xxR
0
32
3 ??
?
??
? ??
.32 3R?
例 3 求球体 2222 4 azyx ??? 被圆柱面 axyx 222 ??
)0( ?a所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。
解 显然，所求立体应在第一、
第四、第五、第八卦限。
而且，四个卦限部分的体积
是对称相等的。
因此，若设第一卦限部分的体
积为 V1,则所求立体的体积为
.4 1VV ?
x
y
z
o a2
a2
a2
V1 可以看成是一个曲顶柱体，
它的曲顶为
x
y
z
o a2
a2
a2
.4 222 yxaz ???
22 xaxy ??它的底 D 由半圆周
及 x 轴围成。
a2 x
y
o
?c o s2 ar ?
D
用极坐标系表示
:D,20 ?? ??
.c o s20 ?ar ??
于是，
?dyxaV
D
?? ??? 4 2221
?d r drra
D
?? ??? 4 22
a2 x
y
o
?c o s2 ar ?
D
?dyxaV
D
?? ??? 4 2221
?d r drra
D
?? ??? 4 22
drrrad a 4c o s20 2220 ?? ??? ?? ?
)4( 421 22c o s20 2220 radrad a ???? ?? ?? ?
? ?? 20 33 )s i n1(38 ? ?? da )322(38 3 ?? ?a
所求立体体积
14VV ? )322(332 3 ?? ?a
二、曲面的面积
１．设曲面的方程为,),( yxfz ?
,Dx o y 面上的投影区域为在
,Dd ??设小区域
,),( ?dyx ?点
.
)),(,,(
的切平面
上过为 yxfyxMS?
.dsdAdAdss
zd
??,则有为；截切平面为截曲面
轴的小柱面，于边界为准线，母线平行以 ?
如图，
?d ),( yx
M dA
x
y
z s
?o
?
,面上的投影在为因为 x o ydAd ?
,c o s ?? ?? dAd所以,
1
1c o s
22
yx ff ??
??
?dffdA yx 221 ????
,1 22?? ???
D
yx dffA ?
--- 曲面 S 的 面积元素
曲面面积公式为,d x d yy
z
x
zA
xyD
?? ??????? 22 )()(1
３．设曲面的方程为,),( xzhy ?
曲面面积公式为：
.1
22
d z d xxyzyA
zxD
?? ?????? ????????? ????
２．设曲面的方程为,),( zygx ?
曲面面积公式为：;1
22
dydzzxyxA
yzD
?? ?????? ????????? ????
同理可得
例 4 求球面 2222 azyx ??? 含在圆柱体
axyx ?? 22 内部的那部分面积,
14 AA ?,
曲面方程 222 yxaz ???,22
1 ?????? ????????? ??? yzxz
解
x
y
z
o a
a
a
设第一卦限部分的面积为 A1,
则由对称性，所求的面积为
,222
yxa
a
??
?
?? ???
xyD
d x d y
yxa
a
222
?? ??? ?? ? c o s0 2220 1a r d rrada,42 22 aa ?? ?
d x d yyzxzA
xyD
1
22
1 ?? ??
??
?
?
?
???
?
??
?
?
?
???
xyD, axyx ?? 22 )0,( ?yx
a x
y
o
?cosar ?
D
极坐标系下表示：
,20 ?? ??,cos0 ?ar ??
?? ???
D
d r dr
ra
? 22
例 5 求两个圆柱面 222 Ryx ?? 222 Rzx ??及 所围
的立体的表面在第一卦限部分的面积 A。
解 所求表面分成 Ⅰ 和 Ⅱ,如图。
x y
z
o R
R
R
Ⅰ
Ⅱ
第一块（ Ⅰ ）在圆柱面
上,222 Rzx ??
第一块（ Ⅱ ）在圆柱面
,222 上Ryx ??
由对称性，这两块曲面的面积相等，即 AⅠ =AⅡ 。
因此,A = 2 AⅠ 。
,22 xRz ??在 AⅠ 上，曲面方程为
22
1 ?????? ????????? ??? yzxz,22
xR
R
?
?
xyD, 222 Ryx ?? )0,0( ?? yx
?? ??
xyD
dxdy
xR
R
22
d x d yyzxz
xyD
1
22
?? ?????? ????????? ????A
Ⅰ
,22 ??
?
?
xR
RRx 时，当 R x
y
o
22 xRy ??R
xyD
,22 xRz ??在 AⅠ 上，曲面方程为
因此,A = 2 AⅠ 。
R x
y
o
22 xRy ??R
xyD??
?
?
xyD
dxdy
xR
R
22
d x d yyzxz
xyD
1
22
?? ?????? ????????? ????A
Ⅰ
,22 ??
?
?
xR
RRx 时，当
取 1D, 222 Ryx ?? ),0,0( ?? yx
1Rx ? 围成。 0,0 ),0( 1 ???? xyRR
R
y
o
22 xRy ??R
1D
1R
AⅠ ?? ?? ?
11
22lim DRR d x d yxR
R
??
?
??
?
?
? ?? ?
?
22
1
1 0 220
lim xRR
RR
dy
xR
Rdx
AⅠ ?? ?? ?
11
22lim DRR d x d yxR
R
??
?
??
?
?
? ?? ?
?
22
1
1 0 220
lim xRR
RR
dy
xR
Rdx
??? 1
1 0
l i m RRR R d x
.2R?
于是所求面积,A = 2 AⅠ
.2 2R?
),( yx
设 x o y 平面上有 n 个质点，它们分别位于 ),(
11
yx,
),(
22
yx,,? ),(
nn
yx 处，质量分别 为
n
mmm,,,
21
?,
则该质点系的 重心 的坐标为
?
?
?
?
??
n
i
i
n
i
ii
y
m
xm
M
M
x
1
1
,
?
?
?
?
??
n
i
i
n
i
ii
x
m
ym
M
M
y
1
1
,
三、平面薄片的重心
当薄片是均匀的，重心称为形心,
,1 ???
D
xdAx ?,1 ???
D
ydAy ? ???
D
dA ?其中
,
),(
),(
??
??
?
D
D
dyx
dyxx
x
??
??
.
),(
),(
??
??
?
D
D
dyx
dyxy
y
??
??
由元素法
设有一平面薄片，占有 x o y 面上的闭区域 D,在点
),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在 D 上连
续，平面薄片的重心
闭区域 D 的面积
例 6 设平面薄板由
?
?
?
??
??
)c o s1(
)s i n(
tay
ttax
,)20( ??? t 与 x
轴围成，它的面密度 1??,求重心坐标,
解 先求区域 D 的面积 A,
?20 ?? t, ax ?20 ???
?? a dxxyA ?20 )(
? ??? ?20 )]s i n([)c o s1( ttadta
? ?? ?20 22 )c o s1( dtta,3 2a??
D
a?2a?
)(xy
所以重心在 ax ?? 上,即 ax ??,
???
D
y d x d yAy 1 ??? )(
0
2
0
1 xya y d ydxA ?
?? a dxxya ?? 20 22 )]([6 1 ? ?? ?? 20 3]c o s1[6 dtta,65??
所求重心坐标为 )65,( ?? a,
由于区域关于直线 ax ?? 对称,
薄片对 z 轴上单位质点的引力
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D,在点
),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在 D 上连
续，计算该平面薄片对位于 z 轴上的点 ),0,0(0 aM
处的单位质点的引力,)0( ?a
},,,{ zyx FFFF ?,
)(
),(
2
3222 ?
? d
ayx
xyxGF
D
x ??
??
?,
)(
),(
2
3222 ?
? d
ayx
yyxGF
D
y ??
??
?
.
)(
),(
2
3222 ?
? d
ayx
yxaGF
D
z ??
??
??
G 为引力常数
四、平面薄片对质点的引力
例 7 求面密度为常量、半径为 R 的均匀圆形薄片,
222 Ryx ??, 0?z 对位于 z 轴上的点 ),0,0(
0 aM
处的单位质点的引力,)0( ?a
解 由积分区域的对称性知,0?? yx FF
?? d
ayx
yxaGF
D
z ??
??
??
2
3
)(
),(
222
?? d
ayx
aG
D
??
??
??
2
3
)(
1
222o y
z
x
F
drr
ar
daG R??
?
?? 0
22
2
0 23)(
1? ??
.112 22 ??
?
?
???
? ?
?
? a
aR
Ga ??
所求引力为
.112,0,0 22
?
?
?
?
?
?
???
?
???
? ?
? aaR
Ga ??
?? d
ayx
aG
D
??
??
??
2
3
)(
1
222
drr
ar
daG R??
?
?? 0
22
2
0 23)(
1? ??
几何应用：立体的体积、曲面的面积
物理应用：重心、对质点的引力
（注意审题，熟悉相关物理知识）
五、小结
作业,P259,1,2,3,4,6,
二重积分的概念
直角坐标系下重积分的计算
格林 (Green)公式
重积分的变量变换
三重积分
重积分的应用
一、二重积分的概念
第二十章 重积分
柱体体积 =底面积 × 高
特点,平顶,
柱体体积 =？
特点,曲顶,
),( yxfz ?
D
１．曲顶柱体的体积
一、问题的提出
播放
求曲顶柱体的体积采用, 分割、求和
、取极限,的方法，如下动画演示．
步骤如下：
用若干个小平
顶柱体体积之
和近似表示曲
顶柱体的体积,x
z
yo
D
),( yxfz ?
i??
? ),( ii ??
先分割曲顶柱体的底，
并取典型小区域，
.),(lim
10
ii
n
i
ifV ???? ?? ?
??
曲顶柱体的体积
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域
D,在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定
),( yx? 在 D 上连续，平面薄片的质量为多少？
２．求平面薄片的质量
i??
? ),( ii ??
将薄片分割成若干小块，
取典型小块，将其近似
看作均匀薄片，
所有小块质量之和
近似等于薄片总质量,),(lim
10
ii
n
i
iM ????? ?? ?
??
x
y
o
定义 设 ),( yxf 是有界闭区域 D 上的有界函
数，将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域
1
??,
?,
2
??,
n
??,其中
i
?? 表示第 i 个小闭区域，
也表示它的面积，在每个
i
?? 上任取 一点
),(
ii
??,
作乘积
),(
ii
f ??
i
??
,),,2,1( ni ??,
并作和
ii
n
i
i
f ??? ??
?
),(
1
，
二、二重积分的概念
积
分
区
域
如果当各小闭区域的直径中的最大值 ? 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
),( yxf 在闭区域 D 上的 二重积分,
记为 ??
D
dyxf ?),(,
即 ??
D
dyxf ?),(
ii
n
i
i
f ???
?
?? ?
?
?
),(l i m
1
0
.
积
分
和
被
积
函
数
积
分
变
量
被
积
表
达
式
面
积
元
素
(1 ) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是
任意的,
(2) 当 ),( yxf 在闭区域上连续时，定义中和式
的极限必存在，即二重积分必存在,
对二重积分定义的说明
二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的
负值．
在直角坐标系下用平
行于坐标轴的直线网来划
分区域 D，
???? ??
DD
dx dyyxfdyxf ),(),(
dxdyd ??
故二重积分可写为
x
y
o
D
则面积元素为
性质１ 当 为常数时,k
.),(),( ???? ?
DD
dyxfkdyxkf ??
性质２ ?? ?
D
dyxgyxf ?)],(),([
.),(),( ???? ??
DD
dyxgdyxf ??
（二重积分与定积分有类似的性质）
三、二重积分的性质
性质３ 对区域具有可加性
.),(),(),(
21
?????? ??
DDD
dyxfdyxfdyxf ???
性质４ ?若 为 D的面积,.1?? ?????
D D
dd ???
性质５ 若在 D上 ),,(),( yxgyxf ?
.),(),( ???? ?
DD
dyxgdyxf ??
特殊地,),(),( ???? ?
DD
dyxfdyxf ??
)( 21 DDD ??
则有
设 M, m 分别是 ),( yxf 在闭区域 D 上的
最大值和最小值,? 为 D 的面积，则
性质６
设函数 ),( yxf 在闭区域 D 上连续,? 为 D
的面积，则在 D 上至少存在一点 ),( ?? 使得
性质７
（二重积分中值定理）
?? ?????
D
Mdyxfm ),(
???????? ),(),( fdyxf
D
（二重积分估值不等式）
例 1 不作计算，估计 ?deI
D
yx
??
?
?
)(
22
的值，
其中 D 是椭圆闭区域,1
2
2
2
2
??
b
y
a
x
)0( ab ??,
在 D 上 2220 ayx ????,
,1 2220 ayx eee ???? ?
由性质 6 知,222 )( a
D
yx ede ??? ?? ? ???
解
?? ?? ? ?de
D
yx )( 22?ab,2aeab?
区域 D 的面积 ??,?ab
例 2 估计 ??
???
?
D xyyx
d
I
16222
?
的值，
其中 D, 20,10 ???? yx,
区域面积 2??,,16)(
1),(
2 ??? yxyxf?
在 D 上 ),( yxf 的最大值 )0(41 ??? yxM
),( yxf 的最小值 5
1
43
1
22 ???m )2,1( ?? yx
故 4252 ?? I,5.04.0 ??? I
解
例 3 判断 ??
???
?
1
22 )l n (
yxr
d x d yyx 的符号,
当 1??? yxr 时,,1)(0 222 ????? yxyx
故 0)l n ( 22 ?? yx ;
又当 1?? yx 时,,0)l n ( 22 ?? yx
于是 0)l n (
1
22 ????
??? yxr
dxdyyx,
解
例 4 比较积分 ?? ?
D
dyx ?)l n ( 与 ?? ?
D
dyx ?2)][ l n (
的大小,其中 D 是三角形闭区域,三顶点各为 ( 1,0 ),
( 1,1 ),( 2,0 ),
解 三角形斜边方程 2?? yx
在 D 内有 eyx ???? 21,
故 1)l n( ?? yx,
于是 ? ? 2)l n ()l n ( yxyx ???,
因此 ????
D
dyx ?)l n ( ?? ?
D
dyx ?2)][ l n (,
o x
y
1
21
D
二重积分的定义
二重积分的性质
二重积分的几何意义 （曲顶柱体的体积）
（和式的极限）
四、小结
作业, P217,1,2,3,4,5.
思考题
将二重积分定义与定积分定义进行比较，
找出它们的相同之处与不同之处,
定积分与二重积分都表示某个和式的极限
值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不
同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为
定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分
区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域
上的二元函数．
思考题解答
一,填空题,
1, 当函数 ),( yxf 在闭区域 D 上 _________ ____ _ 时,
则其在 D 上的二重积分必定存在,
2, 二 重 积 分
??
D
dyxf ?),( 的 几 何 意 义 是
______ _____ _____ ____ _____ _____ ____ _.
3, 若
),( yxf
在 有 界 闭 区 域
D
上 可 积,且
21
DDD ??
,当
0),( ?yxf
时,
则
??
1
),(
D
dyxf ? _____ ____ _
??
2
),(
D
dyxf ? ;
当
0),( ?yxf
时,
则
??
1
),(
D
dyxf ? _____ ____ _
??
2
),(
D
dyxf ?,
练 习 题
4, ?? ?
D
dyx ?)s i n ( 22 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _?,其中 ? 是圆域
222 4?? yx 的面积,??? 16,
二,利用二重积分定义证明,
???? ?
DD
dyxfkdyxkf ?? ),(),(,( 其中 k 为常数 )
三,比较下列积分的大小,
1, ?? ?? ??
D D
dyxdyx ??
322
)()( 与,其中 D 是由圆
2)1()2(
22
???? yx 所围成,
2, ???? ?? ?? dyxdyx
D
2
)][ l n ()l n ( 与,其中 D 是矩形
闭区域, 10,53 ???? yx,
四、估计积分 ?? ???
D
dyxI ?)94( 22 的值,其中 D 是圆
形区域, 422 ?? yx,
一,1,连续；
2,以 ),( yxfz ? 为曲顶,以 D 为底的曲顶柱体体积
的代数和；
3, >,< ； 4,
?
.
三,1, ???? ???
DD
dyxdyx ??
32
)()( ；
2,
????
??? ?? dyxdyx
D
2
)][l n ()l n (,
四,??????? ?? 100)94(36
22
dyx,
练习题答案
二、直角坐标系下重积分的计算
第二十章 重积分
如果积分区域为：,bxa ?? ).()( 21 xyx ?? ??
其中函数, 在区间 上连续,)(1 x? )(2 x? ],[ ba
［ X－型］
)(2 xy ??
a b
D
)(1 xy ??
D
ba
)(2 xy ??
)(1 xy ??
为曲顶柱体的体积．
为底，以曲面的值等于以
),(
),(
yxf
zDdyxf
D
??? ??
应用计算“平行截
面面积为已知的立
体求体积”的方法,
a 0x b
z
y
x
)( 0xA
),( yxfz ?
)(1 xy ??
)(2 xy ??
.),(),( )(
)(
2
1
?? ? ??
D
b
a
x
x
dyyxfdxdyxf ?
?
?得
.),(),( )(
)(
2
1
?? ? ??
D
d
c
y
y
dxyxfdydyxf ?
?
?
如果积分区域为：,dyc ?? ).()( 21 yxy ?? ??
［ Y－型］
)(2 yx ??)(1 yx ?? Dc
d
c
d
)(2 yx ??
)(1 yx ?? D
X型区域的特点, 穿过区域且平行于 y轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点,
Y型区域的特点, 穿过区域且平行于 x轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点,
若区域如图，
3D
2D
1D
在分割后的三个区域上分别
使用积分公式
.
321
???????? ???
DDDD
则必须分割,
xy ?? 1
例 1 改变积分 ??
? x
dyyxfdx
1
0
1
0
),( 的次序,
原式 ??
?
?
y
dxyxfdy
1
0
1
0
),(,
解 积分区域如图
xy ??2
22 xxy ??
例 2 改变积分
????
??
?
xxx
dyyxfdxdyyxfdx
2
0
2
1
2
0
1
0
),(),(
2
的次序,
原式 ? ? ? ??? 10 2 11 2 ),(y y dxyxfdy,
解 积分区域如图
例 3 改变积分 )0(),(
2
0
2
2 2
?? ?
?
adyyxfdx
a ax
xax
的次序,
axy 2?解
= ? ? ??a yaa
a
y
dxyxfdy
0
2
22
2 ),(原式
? ? ??? a a yaa dxyxfdy0 2 22 ),(,),(2 22 2? ?? aa aay dxyxfdy
22 xaxy ?? 22 yaax ????
a2a
a2
a
例 4 求 ?? ?
D
dxdyyx )( 2,其中 D 是由抛物线
2xy ? 和 2yx ? 所围平面闭区域,
解 两曲线的交点
),1,1(,)0,0(2
2
?
?
?
?
?
?
yx
xy
?? ?
D
d x d yyx )( 2 ? ? ?? 10 22 )(xx dyyxdx
dxxxxxx )](21)([ 4210 2 ???? ?,14033?
2xy?
2yx?
例 5 求 ?? ?
D
y d x d yex 22,其中 D 是以 ),1,1(),0,0(
)1,0( 为顶点的三角形,
? ? dye y 2? 无法用初等函数表示解
? 积分时必须考虑次序
?? ?
D
y dxdyex 22 ?? ?? y y dxexdy
0
21
0
2
dyye y? ?? ?1
0
3
3
2 21
0
2
6
2 dyye y? ?? ? ).21(
6
1
e??
例 6 计算积分 ???
y
x
y
dxedyI
2
1
2
1
4
1 ??
?
y
y
x
y
dxedy
1
2
1
.
解 ? dxe x
y
? 不能用初等函数表示
? 先改变积分次序,
原式 ????
x
x
x
y
dyedxI
2
2
1
1
? ?? 1
2
1 )( dxeex
x,
2
1
8
3 ee ??
2xy?
xy?
例 7 求由下列曲面所围成的立体体积，
yxz ??, xyz ?, 1?? yx, 0?x, 0?y,
解 曲面围成的立体如图,
,10 ??? yx?,xyyx ???
所求体积 ?? ???
D
dxyyxV ?)(
? ? ? ??? 10 10 )(x dyxyyxdx
? ???? 10 3 ])1(21)1([ dxxxx,247?
所围立体在 x o y 面上的投影是
二重积分在直角坐标下的计算公式
（在积分中要正确选择 积分次序 ）
二、小结
.),(),( )(
)(
2
1
?? ? ??
D
b
a
x
x
dyyxfdxdyxf ?
?
?
.),(),( )(
)(
2
1
?? ? ??
D
d
c
y
y
dxyxfdydyxf ?
?
?［ Y－型］
［ X－型］
作业, P222,1,2,3,4.
设 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，并设 Adxxf ??
1
0
)(,
求 ??
11
0
)()(
x
dyyfxfdx,
思考题
? 1 )(x dyyf? 不能直接积出,? 改变积分次序,
令 ???
11
0
)()(
x
dyyfxfdxI,
思考题解答
则原式 ???
y
dxyfxfdy
0
1
0
)()(,
,)()( 010 ??? x dyyfdxxf
故 ???
11
0
)()(2
x
dyyfdxxfI ??? x dyyfdxxf
0
1
0 )()(
])()[()( 1010 dyyfdxxf xx ??? ??
.)()( 21010 Adyyfdxxf ?? ??
一,填空题,
1,
??
???
D
dyyxx ?)3(
323
_____ ____ _____ __,其中
,10,10,???? yxD
2, ??
??
D
dyxx ?)c o s ( _____ ____ _____ _,其中 D 是顶
点分别为
)0,0(
，
)0,( ?
，
),( ??
的三角形闭区域,
3,将二重积分
??
D
dyxf ?),(,其中
D
是由
x
轴及半圆周
)0(
222
??? yryx
所围成的闭区域,化为先对 y
后对 x 的二次积分,应为 _____ _____ ____ _____ __.
练 习 题
4,将二重积分 ??
D
dyxf ?),(,其中 D 是由直线
2,?? xxy 及双曲线 )0(
1
?? x
x
y 所围成的闭区
域,化为先对 x 后对 y 的二次积分,应为
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
5,将二次积分 ??
?
?
2
2
2
2
1
),(
xx
x
dyyxfdx 改换积分次序,
应为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
6,将二次积分 ??
?
x
x dyyxfdx
s i n
2
s i n0
),(
?
改换积分次序,
应为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
7,将二次积分 ??
??
2
ln
1
),(
2 ye
dxyxfdy
??
?
?
?
2
)1(
21
1 2
),(
y
dxyxfdy 改换积分次序,
应为 ______ _ _____ _____ ____ _____,
二、画出积分区域,并计算下列二重积分,
1, ??
?
D
yx
de ?,其中 D 是由 1?? yx 所确定的闭区域,
2, ?? ??
D
dxyx ?)(
22
其中 D 是由直线
xyxyy 2,2 ??? 及 所围成的闭区域,
3, ????
??
?
??
?
x
D
dy
yxx
y
dxdyxf
0
2
0
))(
2
(
c o s
),( 。
4,,2?? ?
D
dxdyxy 其中 D, 20,11 ????? yx,
三、设平面薄片所占的闭区域 D 由直线,2?? yx xy ?
和 x 轴所围成,它的面密度
22
),( yxyx ???,求该
薄片的质量,
四,求由曲面
22
2 yxz ?? 及
22
26 yxz ???,所围成的
立体的体积,
一,1, 1 ； 2,
2
3 ?
? ；
3,
??
?
?
22
0
),(
xrr
r
dyyxfdx ；
4,
????
?
22
1
2
1
1
2
1
),(),(
y
y
dxyxfdydxyxfdy ；
5, ??
??
?
2
11
2
1
0
),(
y
y
dxyxfdy ；
6, ????
?
??
?
y
yy
dxyxfdydxyxfdy
ar c s i n
ar c s i n
1
0ar c s i n2
0
1
),(),(
??；
7, ??
?
?
2
1
12
0
),(
x
e
x
dyyxfdx,
练习题答案
二,1,
1?
? ee ； 2,
6
13； 3,? ； 4,
23
5 ?
?,
三、
3
4
.
四,?6,
三、格林 (Green)公式
第二十章 重积分
一、区域连通性的分类
设 D为平面区域,如果 D内任一闭曲线所
围成的部分都属于 D,则称 D为平面单连通区
域,否则称为复连通区域,
复连通区域单连通区域
D
D
设空间区域 G,如果 G内任一闭曲面所围成
的区域全属于 G,则称 G是空间二维单连通域 ;
如果 G内任一闭曲线总可以张一片完全属于
G的曲面,则称 G为空间一维单连通区域,
G
G
G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围
成,函数 ),(),( yxQyxP 及 在 D 上具有一阶连
续偏导数,则有
???
??
?
?
?
?
?
L
D
Q dyP dxdxdy
y
P
x
Q
)( ( 1 )
其中
L
是
D
的取正向的边界曲线,
公式 (1) 叫做 格林公式,
二、格林公式
定理 1
连成与由 21 LLL 组成与由 21 LLL
边界曲线 L的正向, 当观察者沿边界行走时,区
域 D总在他的左边,
2L
D
1L
2L
1L
D
}),()(),{( 21 bxaxyxyxD ????? ??
证明 (1)
若区域 D 既是 ?X 型
又是 ?Y 型,即平行于
坐标轴的直线和 L 至
多交于两点,
}),()(),{( 21 dycyxyyxD ????? ??
y
xo a b
D
c
d
)(1 xy ??
)(2 xy ??
A
B
C
E
)(2 yx ??
)(1 yx ??
dxxQdyd x d yxQ yydc
D
???? ????? )( )(21??
?? ?? dcdc dyyyQdyyyQ )),(()),(( 12 ??
?? ?? CA ECB E dyyxQdyyxQ ),(),(
?? ?? E ACC BE dyyxQdyyxQ ),(),(
?? L dyyxQ ),(
同理可证 ??? ??
??
LD dxyxPdxdyy
P ),(
y
xo
d
)(2 yx ??
D
c C
E
)(1 yx ??
若区域 D 由按段光
滑的闭曲线围成, 如图,
证明 (2)
L1L
2L3L
D
1D
2D3D
两式相加得 ??? ???
??
?
?
LD Qd yP d xd x d yy
P
x
Q )(
将 D 分成三个既是 ?X 型又是
?Y 型的区域 1D,2D,3D,
????
?? ?
??
?
??
?
??
?
?
321
)()(
DDDD
d x d yyPxQd x d yyPxQ
?????? ?????????????????
321
)()()(
DDD
d x d yyPxQd x d yyPxQd x d yyPxQ
??? ?????? 321 LLL Q d yP d xQ d yP d xQ d yP d x
? ?? L Q d yP d x
1D
2D3D
L1L
2L3L
),( 32,1 来说为正方向对 DLLL
G
D
3L
2L
F
C
E
1LA
B
证明 (3)
若区域不止由一条闭曲
线所围成, 添加直线段 AB,CE,
则 D 的边界曲线由 AB,
2
L,B A,
A F C,C E,3L,EC 及 C G A 构成,
由 (2)知 ?? ?
??
?
?
D
d x d yyPxQ )(
????? ????? CEAFCBALAB 2{ ??? ????? C G AECL QdyPdx )(}3
? ?? L Q d yP d x
? ? ? ???? 2 3 1 ))(( L L L Q d yP d x
),( 32,1 来说为正方向对 DLLL
便于记忆形式,
??? ???
?
?
?
L
D
Q dyP dxdxdy
QP
yx,格林公式的实质, 沟通了沿闭曲线的积分与
二重积分之间的联系,
x
y
o L
例 1 计算 ?
AB
xdy,其中曲
线 AB 是半径为 r 的圆在
第一象限部分,
解 引入辅助曲线 L,
1,简化曲线积分
三、简单应用
A
B
D
BOABOAL ???
应用格林公式,xQP ??,0 有
??? ?? L
D
xdydxdy
,??? ??? BOABOA x d yx d yx d y
,0,0 ?? ?? BOOA x d yx d y由于
.41 2rd x d yx d y
D
AB
?????? ???
例 2 计算 ??
?
D
y
dxdye
2
,其中 D 是
以 )1,0(),1,1(),0,0( BAO 为顶点
的三角形闭区域,
解 令 2,0 yxeQP ???,
2,简化二重积分
x
y
o
AB
1
1 D
则
2y
e
y
P
x
Q ??
?
??
?
?,
应用格林公式,有
???
??
?? ?
BOABOA
y
D
y dyxedxdye 22
?? ?? ?? 10 22 dxxedyxe xOA y
).1(21 1??? e
例 3 计算 ?
?
?
L yx
y dxxdy
22
,其中 L 为一条无重点,
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方
向为逆时针方向,
则当 022 ?? yx 时,有
y
P
yx
xy
x
Q
?
?
?
?
?
?
?
?
222
22
)(
.
记 L 所围成的闭区域为 D,解
令 2222,
yx
xQ
yx
yP
?
?
?
??,
L
( 1 ) 当 D?)0,0( 时,
( 2 ) 当 D?)0,0( 时,
1D
r
l
x
y
o
L
D
由格林公式知 ? ???L yx y d xxdy 022
作位于 D 内圆周 222,ryxl ??,
记 1D 由 L 和 l 所围成,
应用格林公式,得
y
xo
?? ????? lL yx y d xxdyyx y d xxdy 2222 x
y
o r
1Dl
L 02222 ?????? ??
lL yx
y d xxdy
yx
y d xxdy
( 其中 l 的方向
取逆时针方向 ).2??
(注意格林公式的条件 )
??? dr rr 2
2222 s inc o s ?? ?? 2
0
格林公式, ??? ??????? L
D
Q d yP d xd x d yyPxQ )(
取,,xQyP ??? 得??? ?? L
D
y d xx d yd x d y2
闭区域 D 的面积 ? ??
L
y d xx d yA 21,
取,,0 xQP ?? 得 ??
L
xdyA
取,0,??? QyP 得 ? ??
L
y d xA
3,计算平面面积
曲线 A MO 由函数
],0[,axxaxy ??? 表示,
例 4 计算抛物线 )0()( 2 ??? aaxyx 与 x 轴所
围成的面积,
解 ONA 为直线 0?y,
? ??? L yd xxdyA 21
?? ???? A M OONA yd xx d yyd xx d y 2121
)0,(aAN
M
? ?? A M O yd xxdy21
dxxaxdxaxaxa )()12(21 0 ???? ?
.614 20 adxxa a ?? ?
)0,(aAN
M
? ?1L Q d yP d x
则称曲线积分 ? ?L Q d yP d x
四、曲线积分与路径无关的定义
? ?2L Q d yP d x
如果对于区域 G 内任意指定的两点 A,B以及 G 内
从点 A到点 B的任意两条曲线 L1,L2 有
?
否则与路径有关,
G
y
xo
?B
?A1
L
2L
在 G 内 与路径无关,
? ?1L Q d yP d x ? ?? 2L Q d yP d x,0???L Q d yP d x?
)( 21 LLL ???
五、曲线积分与路径无关的条件
设开区域 G 是一个单连通域,函数 ),,( yxP
),( yxQ 在 G 内具有一阶连续偏导数,则曲线积
分 ? ?
L
Qd yPd x 在 G 内与路径无关 （或沿 G 内
任意闭曲线的曲线积分为零）的 充要条件 是
x
Q
y
P
?
?
?
?
?
在
G
内恒成立,
定理 2
证 充分性
在 G 内任取一条闭曲线 C 。
C 所围的闭区域为 D。
G
C D
?dyPxQdyyxQdxyxP
DC
??? ??????? )(),(),(
证 充分性 在 G 内任取一条闭曲线 C 。
C 所围的闭区域为 D。 G
C D
G 是单连通的，因此,.GD ?
于是，在 D 内,x
Q
y
P
?
??
?
?
应用格林公式，有
.0?
即,在 G 内曲线积分 ? ?L dyyxQdxyxP ),(),(
与路径无关。
必要性 用反证法
假设 在 G 内存在使 x
Q
y
P
?
??
?
?
的点 M0，
必要性 用反证法
假设 在 G 内存在使 x
Q
y
P
?
??
?
?
的点 M0，
即,0 0 ??
??
?
? M
x
Q
y
P
不妨设,0 0 ??
??
?
? M
x
Q
y
P, ),(
x
Q
y
Pyxf
?
??
?
??设
由于 P,Q具有一阶连续偏导数,,),( 连续有 yxf
因此在 G 内必有 点 M0 的一个小邻域 D′,在 D′内
.0),( ?yxf
.GD ??因为,应用格林公式，有
?dyPxQQ d yP d x
DC
???
? ?
??
?
??? )(
G
0M?D?
C
?dyxf
D
???? ),(,),( ??? ?f中值定理二重积分
,0),(,),( ??? ???? fD,0 ?? ?? 的面积，是 D
于是,.0???C Q d yP d x
因此在 G 内必有 点 M0 的一个小邻域 D′,在 D′内
.0),( ?yxf
.GD ??因为,应用格林公式，有
?dyPxQQ d yP d x
DC
???
? ?
??
?
??? )(G0M?D?
C
矛盾。
因此,在 G 内恒有,x
Q
y
P
?
??
?
?
(1) 开区域 G 是一个单连通域,
(2) 函数 ),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连续偏导数,
两条件缺一不可
有关定理的 说明,
设开区域 G 是一个单连通域,函数 ),,( yxP
),( yxQ 在 G 内具有一阶连续偏导数,则曲线积
分 ? ?
L
Qd yPd x 在 G 内与路径无关 （或沿 G 内
任意闭曲线的曲线积分为零）的 充要条件 是
x
Q
y
P
?
?
?
?
?
在 G 内恒成立,
定理 2
,xQyP ?????若
? ?? ),( ),( 11 00 yxB yxA Q d yP d x
dyyxQdxyxP yyxx ),(),( 1
0
1
0 10 ??
??
),( 01 yxC?
),( 11 yxB?
),( 00 yxA?
dxyxPdyyxQ xxyy ),(),( 1
0
1
0 10 ??
??或
x
y
o
L? ?
L Q d yP d x 则
CBAC ?
? ),( 10 yxD
DBAD ?
与路径无关
例 5 验证 ? ???
L
yy
dyyxedxxe )2()(, 与路径无关,
并求之。其中 L 为过三点 )0,0(o, )1,0(A, )2,1(B
的圆周，由 )0,0(o 到 )2,1(B 的曲线弧,
解
因此，积分与路径无关。
.2),(,),( yxeyxQxeyxP yy ????设
则 P,Q 在全平面上有
连续的一阶偏导数，且
,yeyP ???,yexQ ???
,xQyP ?????即 o x
y
1
1
2
全平面是单连通域。
o x
y
1
1
2
取一简单路径,L1 + L2.
1L
2L
.10:,0,1 ?? xyL,20:,1,2 ?? yxL
? ???L yy dyyxedxxe )2()(
?? ???????? 21 )2()()2()( L yyL yy dyyxedxxedyyxedxxe
?? ????? 2010 0 )21()( dyyedxxe y.272 ?? e
因此，积分与路径无关。
,yeyP ???,yexQ ???
,xQyP ?????即 全平面是单连通域。
例 6 计算 ? ???
L
dyyxdxxyx )()2( 422, 其中
L 为由点 )0,0(o 到点 )1,1(B 的曲线弧
2
sin xy ??,
解
因此，积分与路径无关。
,xQyP ?????即
o x
y
1
1
.),(,2),( 422 yxyxQxyxyxP ????设
则 P,Q 在全平面上有连续的
一阶偏导数，且
,2 xyP ???,2 xxQ ???
全平面是单连通域。
o x
y
1
1
? ? ????? 10 10 422 )1()02( dyydxxx,1523?
因此，积分与路径无关。
,xQyP ?????即
,2 xyP ???,2 xxQ ???
全平面是单连通域。
取一简单路径,L1 + L2.
.10:,0,1 ?? xyL,10:,1,2 ?? yxL
1L
2L
? ???L dyyxdxxyx )()2( 422
?? ???????? 21 )()2()()2( 422422 LL dyyxdxxyxdyyxdxxyx
六、二元函数的全微分求积
设开区域 G 是一个单连通域,函数 ),,( yxP
),( yxQ 在 G 内具有一阶连续偏导数,则
dyyxQdxyxP ),(),( ? 在 G 内为某一函数
),( yxu 的全微分的 充要条件 是等式
x
Q
y
P
?
?
?
?
?
在 G 内恒成立,
定理 3
证略
x
y
o
),( yxB?
),( 00 yxA?
G
dyyxQdxyxPyxu yyxx ),(),(),(
00 0 ??
??
dxyxPdyyxQyxu xxyy ),(),(),(
00 0 ??
??或
CBAC ?
DBAD ?
设开区域 G 是一个单连通域,函数 ),,( yxP ),( yxQ
在 G 内具有一阶连续偏导数,则 Q d yPd x ? 在 G 内为
某一函数 ),( yxu 的全微分的 充要条件 是等式
x
Q
y
P
?
?
?
?
?
在 G 内恒成立,
),( 0yxC?
? ),( 0 yxD
解
,2)( 2 xyxyyyP ??????,2)( 2 xyyxxxQ ??????
,),( 2xyyxP ?,),( 2 yxyxQ ?
例 7 验证：在 xoy 面内,y d yxdxxy 22 ?是某个函数
u (x,y) 的全微分，并求出一个这样的函数。
这里 且
在整个 xoy 面内恒成立。x
Q
y
P
?
??
?
?
即，
因此，在 xoy 面内,y d yxdxxy 22 ?是某个函数
u (x,y) 的全微分。
dyyxdxxyxu yx 0),( 0 20 2 ?? ???
.0,0 00 ?? yx取
.2
22 yx
?
1.连通区域的概念 ;
2.二重积分与曲线积分的关系
3,格林公式的应用,
—— 格林公式 ; ??? ???
??
?
?
LD Qd yP d xd x d yy
P
x
Q )(
七、小结
与 路 径 无 关 的 四 个 等 价 命 题
条
件
在单连通开区域 D 上 ),(),,( yxQyxP 具有连
? ?L Q d yP d xD 与路径无关内在)1(
? ???C DCQ d yP d x 闭曲线,0)2(
Q d yP d xduyxUD ?? ),()3( 使内存在在
x
Q
y
PD
?
??
?
?,)4( 内在
等
价
命
题
续的一阶偏导数,则以下四个命题成立,
作业,P231,1,2,3,4,5,6,7,
若区域 如图为
复连通域，试描述格
林公式中曲线积分中 L
的方向。
??? ???????? ?????
LD
Q d yP d xdxdyyPxQ
o x
y
A B
CD
E F
G? ?
思考题
思考题解答
o x
y
A B
CD
E F
G?由两部分组成L
外 边界：
内 边界：
B C D A B
EG FE
四、重积分的变量变换
第二十章 重积分
.?? d r drd ??
??
D
d x d yyxf ),(
一、利用极坐标系计算二重积分
面积元素
,?d r drd x d y ??或
i???
i??
ii ??? ???ii rrr ???
Ao
D
irr?
.)s i n,c o s(???
D
r d r drrf ???
,)s i n,c o s()( )(21??? ?? ???? ??? drrrrfd
???
D
r d r drrf ??? )s i n,c o s(
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
,??? ??
).()( 21 ???? ?? r A
D
o ??
)(2 ???r)(1 ???r
??
D
d x d yyxf ),(
D：
区域特征如图
,??? ??
).()( 21 ???? ?? r??
)(2 ???r)(1 ???r
Ao
DD
,)s i n,c o s()( )(21??? ?? ???? ??? drrrrfd
???
D
r d r drrf ??? )s i n,c o s(
??
D
d x d yyxf ),(
D：
,)s i n,cos()(0??? ???? ??? drrrrfd
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
,??? ??
).(0 ???? r
)(???r
? Ao
D
?
D：
??
D
d x d yyxf ),(
???
D
r d r drrf ??? )s i n,c o s(
,)s i n,cos()(020 ??? ??? ??? drrrrfd
极坐标系下区域的面积,???
D
r d r d ??
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图
).(0 ???? r,20 ?? ?? D A
)(???r
o??
D
d x d yyxf ),(
???
D
r d r drrf ??? )s i n,c o s(
例 1 将 ??
D
),( ?dyxf 化为在极坐标系下的二次积分。
（ 1）
x
y
o 2
2 422 ?? yx
x
y
o 4
xyx 422 ??
（ 4）
D （ 2）
x
y
o 2
2
2?
422 ?? yx
D
x
y
o 2
2
2?
2?
422 ?? yx（ 3）
D D
（ 1）
x
y
o 2
2 422 ?? yx解
D
在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
.20 ?? r,20 ?? ??
Ao 2
2?r??D ),( ?dyxf
???
D
d r drrrf ??? )s i n,c o s(
,)s i n,cos(2020 ??? drrrrfd ????
（ 2） 在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
.20 ?? r,0 ?? ?? x
y
o 2
2
2?
422 ?? yx
D
（ 2） 在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
.20 ?? r,0 ?? ??
??
D
),( ?dyxf ???
D
d r drrrf ??? )s i n,c o s(
,)s i n,c o s(200 ??? drrrrfd ????
Ao 2
2?r
（ 3） 在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
.20 ?? r,20 ?? ??
x
y
o 2
2
2?
2?
422 ?? yx
D
??
D
),( ?dyxf
,)s i n,cos(2020 ??? drrrrfd ????
Ao 2
2?r（ 3） 在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
.20 ?? r,20 ?? ??
D
???
D
d r drrrf ??? )s i n,c o s(
（ 4） 在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
.c o s40 ??? r,22 ??? ??? x
y
o 4
xyx 422 ??
D
Ao 2
?c o s4?r
（ 4） 在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
.c o s40 ??? r,22 ??? ???
??
D
),( ?dyxf ???
D
d r drrrf ??? )s i n,c o s(
,)s i n,c o s(c o s402 2 ???? ?? ? ??? drrrrfd
2??
2?
例 2 写出积分 ??
D
d x d yyxf ),( 的极坐标二次积分形式,
其中,11|),{(
2xyxyxD ????? }10 ?? x,
1??yx
122 ?? yx解 在极坐标系下
?
?
?
?
?
?
?
s in
c o s
ry
rx
所以圆方程为 1?r,
直线方程为 ?? c o ss i n 1??r,
??
D
d x d yyxf ),(
.)s i n,c o s(20 1
c o ss i n
1? ?
?
? ?
??
??? r d rrrfd
???
D
r d r drrf ??? )s i n,cos(
例 3 计算 d x d ye
D
yx?? ?? 22,其中 D 是由中心在原点,
半径为 a 的圆周所围成的闭区域,
解 在极坐标系下
D, ar ??0, ?? 20 ??,
d x d ye
D
yx?? ?? 22
?? ?? a r r d red 020 2? ?
).1( 2ae ??? ?
Ao a
ar?
?
?
?
?
?
?
?
s in
c o s
ry
rx
?d r dre
D
r?? ?? 2
?? ??? ?a r rded 0 220 )(21 2? ?? ?
? ??? ? ?20 0
2
2
1 dar
例 4 计算 d x d yyx
D
)(
22
?? ? 。
其 中 D 为 由圆 yyx 2
22
??, yyx 4
22
?? 及直
线 03 ?? yx, 03 ?? xy 所围 的 闭区域,
解
32 ?? ??
?s in4?? r
?si n2?? r
d x d yyx
D
)( 22?? ?
yyx 422 ??
yyx 222 ??
03 ?? xy
??
?
?
?
?
?
s in
c o s
ry
rx
?r d rr
D
?? ?? 2
6?
3?
61 ?? ?? 03 ?? yx ?sin4?r
sin2 ??r
d x d yyx
D
)( 22?? ?
? ? ?? 36 s i n4 s i n2 2 ?? ??? r d rrd
).834(15 ?? ?
?r d rr
D
?? ?? 2
? ??????? 36
s in4
s in2
4
4
?
?
?
?
?dr
?? 36 4 s i n60 ?? ?? d
? ?????? ?? 36
2
2 2c o s1 15 ?? ?? d
6?
3?
?sin4?r
sin2 ??r
例 5 求广义积分 ? ? ?0 2 dxe x,
解 }|),{( 2221 RyxyxD ???
}2|),{( 2222 RyxyxD ???
}0,0{ ?? yx
}0,0|),{( RyRxyxS ?????
显然有 21 DSD ??
,022 ??? yxe?
? ?? ??
1
22
D
yx d x d ye?? ???
S
yx d x d ye 22,
2
22?? ???
D
yx d x d ye
1D
2DS
S
2D
R R2
又 ?? ???
S
yx d x d yeI 22?
?? ??? R yR x dyedxe 00 22 ;)( 20 2? ?? R x dxe
?1I ?? ??
1
22
D
yx d x d ye
?? ?? ?? R r r d red 00 22 );1(4 2Re ????
同理 ?2I ?? ??
2
22
D
yx d x d ye);1(
4
22 Re ????
当 ??R 时,,41 ??I,42 ??I
故当 ??R 时,,4??I 即 ??
? ? 2
0
)( 2 dxe x 4?,
所求广义积分 ??
? ?
0
2 dxe x
2
?,
,21 III ???
);1(4)()1(4 222 220 RR xR edxee ??? ??????? ?
例 6 计算 d x d yyx
D
)(
22
?? ?，其 D 为由圆
yyx 222 ??, yyx 422 ?? 及直线 yx 3? 0?,
03 ?? xy 所围成的平面闭区域,
解 32 ?? ??
61
?? ??
?s i n4?? r
?s i n2?? r
d x d yyx
D
)( 22?? ? ? ??? ?? ??? 3
6
s i n4
s i n2
2 r d rrd ).3
2(15 ?
??
yyx 422 ??
yyx 222 ??
03 ?? yx
03 ?? xy
例 7 计算二重积分 ??
?
??
D
dxdy
yx
yx
22
22
)s i n (
,
其中积分区域为 }41|),{( 22 ???? yxyxD,
解 由对称性，可只考虑第一象限部分,
注意,被积函数也要有对称性,
?? ? ??
D
dxdy
yx
yx
22
22 )s i n ( 4? ??
?
??
1
22
22 )s i n (
D
d x d y
yx
yx
?? ??? ? 210 s i n4 2 r d rr rd,4??
14 DD ?
1D
例 8 求曲线 )(2)( 222222 yxayx ???
和 222 ayx ?? 所围成的图形的面积,
解 根据对称性有 14 DD ?
在极坐标系下
)(2)( 222222 yxayx ???,2c o s2 ?ar ??
,222 arayx ????
1D
由
?
?
?
?
?
ar
ar ?2c o s2
,得交点 )
6,(
?? aA,
所求面积 ???
D
d x d y????
1
4
D
d x d y
?? ?? ?? 2c o s20 64 aa r d rd
).33(2 ??? a
二重积分在极坐标下的计算公式
二、小结
???? ?
DD
r d r drrfdyxf ???? )s i n,c o s(),(
.)s i n,c o s()( )(2
1??
? ?? ???? ??? r d rrrfd
.)s i n,c o s()(0??? ???? ??? r d rrrfd
.)s i n,c o s()(020 ??? ??? ??? r d rrrfd
?
?
?
?
?
（在积分中注意使用 对称性 ）
作业, P242,1,2,3,4,5,6.
交换积分次序,
).0(),(
c o s
0
2
2
???? ??
?
?
?
?
adrrfdI
a
思考题
,
co s0
22:
??
?
?
?
???
??????
ar
D
o x
y
思考题解答
?cosar ?D
a
a
ra rcco s???
a
ra rcco s??
.),(a r c c o s
a r c c o s0 ?? ?
? a
r
a
r
a drfdrI ??
一,填空题,
1, 将
??
D
d x d yyxf ),(,D 为 xyx 2
22
??,表示为极坐
标形式的二次积分,为 ___ __ __ ___ __ ___ _ _ _ _ __,
2, 将 ??
D
d x d yyxf ),(,
D
为 xy ??? 10,10 ?? x,表
示为极坐标形式的二次积分为 ___ __ ___ _ _ _ _ __,
3, 将 ?? ?
x
x
dyyxfdx
3
22
2
0
)( 化为极坐标形式的二
次积分为 _____ __ __ ___ __ ___ __ __ _.
4, 将
??
2
0
1
0
),(
x
dyyxfdx 化为极坐标形式的二次积分
为 _____ ___ __ __ ___ __ ___ __,
练 习 题
5, 将
??
?
?
x
x
dyyxdx
2
2
1
)(
22
1
0
化为极坐标形式的二次积
分为 ___ ___ ___ _ ___ __,其值为 ___ __ ___ __ ___ _ _.
二,计算下列二重积分,
1,
??
??
D
dyx ?)1l n (
22
,其中
D
是由圆周 1
22
?? yx
及坐标轴所围成的在第一象限内的区域,
2,
??
?
D
dyx ?)(
22
其中
D
是由直线 xy ?,
)0(3,,????? aayayaxy
所围成的区域,
3,
??
??
D
dyxR ?
222
,其中
D
是由圆周
Rxyx ??
22
所围成的区域,
4, ?? ??
D
dyx ?2
22
,其中
D
:
3
22
?? yx
.
三、试将对极坐标的二次积分
??
?
?
?
?
????
c o s2
0
4
4
)s i n,c o s(
a
r d rrrfdI 交换积分次序,
四、设平面薄片所占的闭区域 D 是由螺线 ?2?r 上一段
弧 (
2
0
?
??? ) 与直线
2
?
?? 所围成,它的面密度为
22
),( yxyx ???,求这薄片的质量,
五,计算以
x o y
面上的圆周 axyx ??
22
围成的闭区域为
底，而以曲面
22
yxz ?? 为顶的曲顶柱体的体积,
一,1, r d rrrfd
??
?
?
?
?
???
c o s2
0
2
2
)s i n,co s( ；
2,
??
?
???
?
???
1
)s i n(c o s
0
2
0
)s i n,co s( r d rrrfd ；
3,
??
?
?
?
?
s e c2
0
3
4
)( r d rrfd ；
4,
??
?
??
?
???
s e c
ta ns e c
4
0
)s i n,co s( r d rrrfd ；
5,
??
?
??
?
2
c o s
s i n
0
4
0
1
r d r
r
d,12 ?,
二,1, )12ln2(
4
?
?； 2,
4
14 a；
练习题答案
3, )
3
4
(
3
3
??
R； 4, ?
2
5
.
三、
??
?
?
?
????
4
4
2
0
)s i n,co s( drrfr d rI
a
??
?
????
a
r
a
r
a
a
drrfr d r
2
a r c c o s
2
a r c c o s
2
2
)s i n,c o s(,
四、
40
5
?
.
五、
4
32
3
a
?
.
五、三重积分
第二十章 重积分
?? ?d)( Xf
当 ?? R3,有 X=(x,y,z)??,d? = dv
则 ???
?
vzyxf d),,( 三重积分
1,直角坐标系下三重积分的计算
直角坐标系下，记体积元素
dv=dxdydz
dz
dy dx y
x
z
?
0 则 ??????
??
? zyxzyxfvzyxf ddd),,(d),,(
? ?§ 9-3,三重积分
???
?
zyxzyxf ddd),,(
yxzzyxf
D
yxz
yxz
dd]d),,([ ),(
),(
2
1?? ?
?
zzyxfyx yxz yxzxy xyba d),,(dd ),( ),()( )( 2
1
2
1 ???
?
x
y
z
0
z=z2(x,y)
z=z1(x,y)
D
(1) 化成一个定积分和一个二重积分
zzyxfyx yxz yxz
D
d),,(dd ),( ),(2
1???
?
设 D 为 ?在 xy 平面上投影区域,
思考 问 题
y=y1(x) ba
y=y2(x)
z
x
y
x+y+z=1
0
例 1.计算,ddd???
?
zyxx 其中 ?是由平面 x+y+z=1
与三个坐标面 所围闭区域,
解,D,0≤ y ≤1–x,0 ≤ x ≤ 1
???
?
zyxx ddd
??? ???? yxx zxyx 101010 ddd
24
1?
1
1
D
x+y=1
x
y
??? ??? yx
D
zxyx 10 ddd
例 2.计算,ddd)co s (???
?
? zyxzxy 其中 ? 是由抛物
柱面 xy ? 及平面 y=0,z=0,所围闭区域2??? yx
,ddd)co s (???
?
? zyxzxy
??? ? ?? x
D
zzxyyx 20 d)c o s (dd
?
解, D,0≤ y ≤,0 ≤ x ≤x 2?
??? ? ?? xx zzxyyx 20020 d)c o s (dd ??
2
1
16
2
?? ?
y
xz ?? 2?
x
z
?
0
xy?
D
0 2?
y
x
y=y1(x,z)
z
0
?
y=y2(x,z)D
xz
y
???
?
zyxzyxf ddd),,(
???? ),( ),(21 d),,(dd zxy zxy
D
yzyxfzx
xz
x
x=x2(y,z)
z
0
?
x=x1(y,z)
Dyz
y
x
???
?
zyxzyxf ddd),,(
???? ),( ),(21 d),,(dd zyx zyx
D
xzyxfzy
yz
例 3.将 ???
?
zyxzyxf ddd),,( 化为三次定积分，其中
?是由 z= x2+y2 和 z=1所围的闭区域,
解,先对 z 积分，将
?向 xy 平面投影,
z= x2+y2 x2+y2=1
? D,x2+y2≤1
z=1
?
z=1
x
y
z
0 1
Dxy
z=1
z= x2+y2
???
?
? zyxzyxf ddd),,(
??? ?? ???? 11 11 1 222 2 d),,(dd yxx x zzyxfyx
x
y
z
0 1
Dxy
z=1
z= x2+y2
解 2,先对 y 积分，
将 ? 向 xz 平面投影：
z= x2+y2
? Dxy,x2 ≤z ≤ 1,
z=1
? 1 ≤x≤1
z= x2+y2 ? 2xzy ???
?????? ? ???
?
?
2
22 d),,(ddddd),,(
11
1
xz
xzx yzyxfzxzyxzyxf
x
y
z
0
Dxz
1
?12xzy ???
2xzy ??
思考 问 题 先对 x 积分，怎样做？
(2) 化为一个二重积分和一个定积分
???
?
zyxzyxf ddd),,(
zyxzyxf
zD
z
z d]dd),,([ )(
2
1 ???
?
????
)(
dd),,(d2
1 zD
z
z yxzyxfz
?,(x,y)?D(z),z1≤z≤z2
0
x
z
y
z2
z
z2
?
D(z)
例 4.计算,dd???
?
yxz 其中 ? 是由 z=x2+y2 和 z=1
所围成的闭区域,
x
y
z
0 1
D(z)
1
解, D(z),x2+y2≤z
z?[0,1]
??? ?
?
? 10 dddd zzzyxz ??
)(
d
zD
yx
? ?? 10 d zzz ?
1
0
3
3 ??
?
??
?? z?
3
??
zz ?? ?2)(
例 5.计算
解,D(x),0≤ y ≤1–x,0≤ z ≤ 1?x?y
z
x
y0
1
1
1
x, 0 ≤ x ≤ 1
???? ?
?
1
0 dddd xxzyxx
? ??? 10 2 )d(121 xxx
24
1?
??
)(
dd
xD
zy
2)1(
2
1 ?
,ddd???
?
zyxx 其中 ? 是由平面 x+y+z=1
与三个坐标面 所围闭区域,
D(x)
z=1?x?y
x
y
0
1?x
1?x
2,三重积分的换元公式
设变换 T,x=x(u,v,w)
y=y(u,v,w)
z=z(u,v,w)
将 uvw 空间中的有界闭域 ? * 变成 xyz 空间中
的有界闭域 ?,且满足
(1) x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)?C1(?*)
(2) ?(u,v,w)??* 有
??? ),,( ),,( wvu zyx
u
x
?
?
u
y
?
?
u
z
?
?
v
x
?
?
v
y
?
?
v
z
?
?
w
x
?
?
w
y
?
?
w
z
?
?
?0
(3) T, ? *?? 是一一对应
若 f (x,y,z)?C(? ),则
???
?
zyxzyxf ddd),,(
???
? ?
??
*
ddd),,( ),,()),,(),,,(),,,(( wvuwvu zyxwvuzwvuywvuxf
3,利用柱面坐标计算三重积分
M ? (r,?,z)
x=rcos?
y=rsin?
z = z
(0≤r<+?,0≤?≤2?,??<z<+?)
r?
z
M?
0
x
z
y
y
x
柱面坐标的三组坐标面分别为
r=常数
?=常数
z=常数
x
y
z
o
??? ),,( ),,( zr zyx ?
r
x
?
?
r
y
?
?
r
z
?
?
??
?x
??
?y
??
?z
z
x
?
?
z
y
?
?
z
z
?
?
= r
100
0co ss i n
0s i nco s
??
??
r
r?
?
故 dxdydz=rdrd?dz
zrrzrrfzyxzyxf ddd),s i n,co s(ddd),,(
*
?????????
??
?
例 1.计算,ddd22?? ?
?
? zyxyxz 其中 ? 由 22 yxz ??
与 z=1 所围闭区域,
解,
? D,x2+y2≤1
22 yxz ??
z =1
22 yxz ?? ? z =r
122 ?? yx
z =0?
x
y
z
0 D
z=r
z=1
zrzrzyxyxz dddddd
*
222 ???????
??
??
???? 110 220 ddd r zzrr? ?
rrr d2 )1(2 1
0
2
2? ?? ? ?
15
2?
???? 12 ddd r
D
zzrr ?
x
y
z
0
z=r
z=1
1D
例 2.计算,ddd???
?
zyxz ? ={(x,y,z) | x2+y2+z2≤1,z≥0},
解,D,x2+y2≤1
221 yxz ??? ? 21 rz ??
zrzrzyxz dddddd
*
???????
??
?
??? ?? 2101020 ddd r zzrr? ?
rrr d2 )1(2 1
0
2
? ?? ? 4??思考 问 题
??? ??
21
0
dd r
D
zzr d r ?x
y
z
0 1
21 rz ??
例 3.再解例 1,ddd22?? ?
?
? zyxyxz 其中 ?是 由
22 yxz ?? 与 z=1 所围闭区域,
解, 用 ?= ? 截 ? 得 D(?)
而 0≤ ? ≤2? 故
原积分 =???
? *
2 ddd zrzr ?
????
)(
22
0
ddd
?
? ?
D
zrzrx
y
z
?
???? 110 220 d r z d zrrd? ?
x
z
?
????
)(
22
0 ddd ?
? ??
D
rzr
y ?15
2?
z
1
r0
1
例 4.再解例 2,ddd???
?
zyxz
其中 ? ={(x,y,z) | x2+y2+z2≤1,z≥0},
解, 用 ?= ? 截 ? 得 D(?)
而 0≤ ? ≤2? 故
原积分 =???
? *
ddd zrzr ?
????
)(
2
0
ddd
?
? ?
D
zrzr
x
y
z
0
?
??? ?? 2101020 ddd r zzrr? ?
.4??x
y
z
0?
21 rz ??
0 1
1
r
z
????
)(
2
0 ddd ?
? ??
D
rzr
4,利用球面坐标计算三重积分
M ? (r,?,?)
x=OPcos ?
z= r cos?
(0≤r<+?,0≤?≤?,0≤?≤2?)
y= OPsin ?
? M
0
z
x
y
?
?
r
P
x
y
z
= r sin? cos?
= rsin? sin?
球面坐标的三组坐标面：
r =常数
? =常数
? =常数
dxdydz= r2sin? drd?d?
??? s i n),,( ),,( 2rr zyx ???
???????? ddds i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n(
ddd),,(
*
2
???
???
?
?
?
?
rrrrrf
zyxzyxf
z
x
y
例 5.计算,ddd???
?
zyxz
其中 ? ={(x,y,z) | x2+y2+z2≤1,z≥0},
解, x2+y2+z2=1 ? r=1
而 0≤ ? ≤2? 故
用 ? = ? 截 ? 得 D(?)
原积分
???
?
??
*
2 ddds i nc o s ???? rrr
????
)(
32
0 dds i nc o sd ?
? ????
D
rr
x
y
z
0
?
x
y
z
0?
z
????
)(
32
0
dds inc o sd
?
? ????
D
rr
???? 10 32020 dds i nc o sd rr?? ????
1
0
42
0
2
42
s i n2
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?? r
?
??
4
??
0 1
1
?? r=1
例 6.
,ddd)( 222???
?
?? zyxzyx
22 yxzΩ ??是由其中
和 x2+y2+z2=a2 所围成闭区域,
解, x2+y2+z2=a2? r=a
22 yxz ??
.4?? ??
原积分
???
?
???
*
22 ddds i n ??? rrr
????
)(
42
0
dds i nd
?
? ???
D
rr
z
y
x
a?
z
y
x
a?
????
)(
42
0
dds i nd
?
? ???
D
rr
???? a rr0 44020 dds i nd ?? ???
)22(51 5 ?? a?
r=a
4?
z
例 7.计算
,dd)d,,(???
?
zyxzyxf
次积分，其中 ? 为 x2+y2+(z?1)2≤1,
解,x2+y2+(z?1)2≤1 ? r=2cos?
???? ?
??
???? c o s202020,c o ss i n(dd rf
x
y
z
0
表为球坐标系中的三
???
?
zyxzyxf ddd),,(
思考 问 题
1.若 ?,x2+(y -1) 2+z2≤1？
z
y
?
2,？
rrrr ds i n)co s,s i ns i n 2 ????
设 ),,( zyxf 是空间有界闭区域 ? 上的有界函数，将闭
区域 ? 任意分成 n 个小闭区域
1
v?,
2
v?,,?
n
v?,其
中
i
v? 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积,在每个
i
v? 上任取一点 ),,(
iii
??? 作乘积
iiii
vf ??),,( ???,
),,2,1( ni ??,并作和,如果当各小闭区域的直径中的
最大值 ? 趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限
为函数 ),,( zyxf 在闭区域 ? 上的三重积分，记 为
???
?
dvzyxf ),,(,即
一、三重积分的定义
.),,(lim),,(
10
i
n
i
iii vfdvzyxf ?? ????
???
???
?
.叫做体积元素其中 dv
,?来划分
用平行于坐标面的平面在直角坐标系中，如果
.lkji zyxv ?????则
三重积记为
???
?
d x d y d zzyxf ),,( iii
n
i
i vf ?? ?
??
),,(lim
10
???
?
,
.积元素叫做直角坐标系中的体其中 d x d y d z
三重积分的性质与二重积分的类似。
特别地,被积函数 1),,( ?zyxf 时,
的体积?????
?
dv,
直角坐标系中将三重积分化为三次积
分．
二、三重积分的计算
)(1 xyy ? )(2 xyy ?
如图，
,D
x o y
面上的投影为闭区域
在闭区域 ?
),,(:
),,(:
22
11
yxzzS
yxzzS
?
?
,),( 作直线过点 Dyx ?
穿出．穿入，从从 21 zz x
y
z
o
?
D ),( yxab
),(1 yxzz ?
),(2 yxzz ?
2S
1S1z
2z
的函数，则只看作看作定值，将先将 zzyxfyx ),,(,
?? ),( ),(21 ),,(),( yxz yxz dzzyxfyxF
上的二重积分在闭区间计算 DyxF ),(
.),,(),( ),( ),(2
1?? ??? ??
?
??
??
D
yxz
yxzD ddzzyxfdyxF ??
,),()(,21 bxaxyyxyD ????得
是 x,y 的函数。
????
?
dvzyxf ),,(,),,()( )( ),( ),(2
1
2
1? ? ?
b
a
xy
xy
yxz
yxz dzzyxfdydx
????
?
dvzyxf ),,(,),,()( )( ),( ),(2
1
2
1? ? ?
b
a
xy
xy
yxz
yxz dzzyxfdydx
注意
相交不多于两点情形．的边界曲面区域
内部的直线与闭轴且穿过闭区域平行于
S
z
?
?
)1(
．分若干个小区域来讨论
相交多于两点时，把的边界曲面闭区域
内部的直线与轴且穿过闭区域若平行于
?
?
?
)2
S
z
三重积分化为三次积分的过程：
。面上投影，得到向 Dx o y )1( ?
x
y
z
o
?
D
)2( 轴投影，得到向 xD
a
b
??
?
??
??
).()(
,:
21 xyyxy
bxaD
,),( )3( 作直线过点 Dyx ?
得到 ).,(),( 21 yxzzyxz ??
1z
2z
),( yx
?
?
?
?
?
??
??
??
?
).,(),(
),()(
,
:
21
21
yxzzyxz
xyyxy
bxa
事实上，
????
?
dvzyxf ),,(,),,()( )( ),( ),(2
1
2
1? ? ?
b
a
xy
xy
yxz
yxz dzzyxfdydx
。面上投影，得到向 Dx o y )1( ?
)2( 轴投影，得到向 yD
??
?
??
??
,
),()(,11
dyc
yxxyxD
,),( )3( 作直线过点 Dyx ?
得到 ).,(),( 21 yxzzyxz ??
事实上,?
?
?
?
?
??
??
??
?
).,(),(
,
),()(
:
21
11
yxzzyxz
dyc
yxxyx
x
y
z
o
?
D
c d1z
2z
),( yx
????
?
dvzyxf ),,(,),,()( )( ),( ),(2
1
2
1? ? ?
d
c
yx
yx
yxz
yxz dzzyxfdxdy
。面上投影，得到向 yzDy o z )1( ?
)2( 轴投影，得到向 yD yz
??
?
??
??
,
),()(,11
bya
yzzyzD
,),( )3( 作直线过点 yzDzy ?
得到 ).,(),( 21 zyxxzyx ??
事实上,?
?
?
?
?
??
??
??
?
).()(
,
),,(),(
:
21
11
yzzyz
bya
zyxxzyx D),( zya
b
x
y
zo
?
1x
2x
????
?
dvzyxf ),,(,),,()( )( ),( ),(2
1
2
1? ? ?
b
a
yz
yz
zyx
zyx dxzyxfdzdy
例 1 计算三重积分 ???
?
x d x d y d z,其中 ? 为三个坐标
面及平面 12 ??? zyx 所围成的闭区域,
21
1
x
o
z
y
1
。面上投影，得到向 Dxoy ?
??
?
?
?
???
??
.210
,10
,x
y
x
D
,
),(
的直线
轴作平行与过点 zDyx ?
得到
.210 yxz ????
解
D
于是,????
?
d x d y d zx ? ? ?? ??10 0 21021 x yx x d zdydx
? ?? ? ? ??? 10 0 21 0 21 x dyxzdx yx
? ? ? ??? 10 0 221 )2(x dyxyxxdx? ?
? ???? 10 022 21)( dxxyyxx x? ??? 10 32 )2(41 dxxxx 1
0
432
4
1
3
2
24
1
??
?
??
? ??? xxx
.481?
于是,????
?
d x d y d zx ? ? ?? ??10 0 21021 x yx x d zdydx
,
),(
的直线
轴作平行与过点 zDyx ?
得到
.210 yxz ????
例 2 化三重积分 ???
?
? d x d y d zzyxfI ),,( 为三次积分,
其中积分区域 ? 为由曲面
22
2 yxz ?? 及
2
2 xz ?? 所围成的闭区域,
解
由
?
?
?
??
??
2
22
2
2
xz
yxz,
得交线投影区域,122 ?? yx
故 ?,
?
?
?
?
?
????
?????
???
222
22
22
11
11
xzyx
xyx
x
,
.),,( 1 1 2 21 1 2 222 2? ??? ? ?? ??? x yxx x dzzyxfdydxI因此，
故 ?,
?
?
?
?
?
????
?????
???
222
22
22
11
11
xzyx
xyx
x
,
o
x
y
z
1
2
例 3 计算三重积分 ???
?
d x d y d zz 。
其中 ?,平面,0,,2,1 ???? zxyxx 及
yz ?2 所围成的闭区域,
。面上投影，得到向 Dxoy ?
??
?
??
??
.0
,21:
xy
xD
,),( 轴的直线作平行与过点 zDyx ?得到
.20 yz ??
解
D
??
?
?
?
??
??
??
?
.20
0
,21
,
yz
xy
x
，即
于是,????
?
d x d y d zz ? ? ?21 0 20x y z d zdydx
o
x
y
z
1
2
。面上投影，得到向 Dxoy ?
??
?
??
??
.0
,21:
xy
xD
,),( 轴的直线作平行与过点 zDyx ?得到
.20 yz ??
解
D
??
?
?
?
??
??
??
?
.20
0
,21
,
yz
xy
x
，即
? ?? 21 0 281 x dyydx ?? 21 3241 dxx.325?
截面法的一般步骤,
(1) 把积分区域 ? 向某轴（例如 z 轴）投影，得投影
区间 ],[ 21 cc ；
(2) 对 ],[ 21 ccz ? 用过 z 轴且平行 xoy 平面的平面去截
?,得截面 zD ;
( 3 ) 计算二重积分 ??
z
D
dxdyzyxf ),,(
其结果为 z 的函数 )( zF ；
(4) 最后计算单积分 ?
2
1
)(
c
c
dzzF 即得三重积分值,
z zD
例 4 计算三重积分 d x d y d zz???
?
2
，其中 ? 是由椭球
面 1
2
2
2
2
2
2
???
c
z
b
y
a
x
所成的空间闭区域,
:?,|),,{( czczyx ??? }1 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x ???
原式,2 ?????
zD
c
c dxdydzz
解
x
y
z
o
zD
|),{( yxD z ? }1 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x ???
)1()1( 2
22
2
22
c
zb
c
zadxdy
zD
?????? ?
),1( 22czab ?? ?
?? ?? c c dzzczab 222 )1(?,154 3abc??
|),{( yxD z ? }1 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x ???
原式
因此，
例 5 计算三重积分 d x d y d zxy???
?
?
2
1,其中 ? 由曲
面
22
1 zxy ????, 122 ?? zx, 1?y 所围成,
将 ? 投影到 zox 平面得
:xzD 122 ?? zx,
先对 y 积分,再求 xzD 上二重积分,
解 如图,
x
y
zo
1
1
1
??? ?????
1
1
2 221
zxD dydxdzxy
xz
原式
dzzxxdx x x 21 221 1 1 1 22 2 ??? ? ?? ? ??
?
?
?
?
?
?????
?????
???
?
.11
,11
,11
:
22
22
yyx
xzx
x
dxzzxx
x
x
)3(1 1 1
1
1
322
2
2
??
?
??
??
?
??
? ???
?? ??? 1 1 42 )21(31 dxxx
.4528?
??? ?????
1
1
2 221
zxD dydxdzxy
xz
原式
dzzxxdx x x 21 221 1 1 1 22 2 ??? ? ?? ? ??
?
?
?
?
?
?????
?????
???
?
.11
,11
,11
:
22
22
yyx
xzx
x
定
理
二、换元法定理
设变换 T, x = x(u,v,w),y = y(u,v,w),
z = z(u,v,w)将 uvw 空间中的有界闭区
域 ?uvw 变成 xyz 空 间中的有界闭区域
?xyz,且满足
1) x=x(u,v,w),y= y(u,v,w),z=z(u,v,w)?C1(?uvw)
例 5,计算
???
?
?,2 d xd yd zxI
其中 ?是由曲面
xzxzbaybyzayz ?? ???????,),0,0(,22
)0(),0( ???? hhz?? 所围成的区域,
解, 作变换
,,,,2 zw
x
zv
y
zuT ???
},0,,|),,{( hwvbuawvu ???????? ? ??
：变成则 Ω?
2)
w
z
v
z
u
z
w
y
v
y
u
y
w
x
v
x
u
x
wvu
zyx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),,(
),,(
? 0,(u,v,w)??uvw
若 f (u,v,w)?R(?),则有 ???
? x y z
zyxzyxf ddd),,(
???
? ?
??
x y z
wvu
wvu
zyxwvuzwvuywvuxf ddd
),,(
),,()),,(),,,(),,,((
而
由公式 (5),
1
),,(
),,(
),,(
),,( ?
???
?
???
?
?
??
?
?
zyx
wvu
wvu
zyx
???
?
? d xd yd zxI 2
dwwdvvduu hb
a ???
???
0
2
7
42
3
2
1 ?
?
.1111
27
2 29
33 hba ???
?
???
? ??
?
??
?
? ??
??
2
32
2 z
yx??,
2
1 2
3
2 ??
??
?
???
u
w
v
d u d v d w
u
w
vv
w 2
3
22
2
2
1
?
?
??
?
??? ???
??
三、柱面坐标下的三重积分的计算
M直角坐标 (x,y,z) 与柱面坐标 (r,?,z)形成一一
对应 (原点除外 )
其关系是
x = r cos ?
y = r sin ?
z = z
.,20,0 ???????????? zr ??其中
x
y
z
M(x,y,z)
(x,y,0)
(r,?,z)
o
?
柱面坐标系中 z 族坐标面分别是
r =常数,
以 z 为中心轴的园柱面
? =常数,
过 z 轴的半平面
z =常数,
垂直于 z 轴的平面, x
y
z
(x,y,0)
o
从而
z
z
z
y
z
x
zyx
r
z
r
y
r
x
zr
zyx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???? ),,(
),,(
100
0co ss i n
0s i nco s
??
??
rr??
??
??
c o ss i n
s i nc o s
rr?? = r
???
? x y z
zyxzyxf ddd),,(
???
?
?
zr
zrrzrrf
?
??? ddd),si n,c o s(
所以,
一般,?r? z 表为,
r1(? )??? r2(? ),
z1(r,? )??? z2 (r,? )).
?????,
例 6.
}.0,1|),,{(
,
222 ??????
? ???
?
zzyxzyx
z d x d y d zI
其中
计算
解, ? 为上半球体,它在 xy平面上的投影为区域 D,
}1|),{( 22 ??? yxyxD
运用柱面坐标计算,令
,c o s?rx ?,s in ?ry ? z = z.
则 ? 变成 ?*
}10,10,20|),,{(* 2rzrzr ????????? ???
从而
???
?
? z d x d yd zI ???
?
? dzz r d r d ? ???
?? 21
0
1
0
2
0
r z d zr d rd? ?
? ?? 10 2 )1(212 drrr? 4??
.22
,
22 所围成的区域与平面
是旋转抛物面其中计算
???
?? ???
?
zzyx
z d x d y d zI
例 7.
解, ? 在 xy平面上的投影为区域为 D,
}4|),{( 22 ??? yxyxD
而被积函数也包含了 x2 + y2项,故可运用
柱面坐标计算,令
,c o s?rx ?,s in ?ry ? z = z.
则 ? 变成 ?*
}2
2
,20,20|),,{(*
2
???????? zrrzr ???
于是
???
?
?? d xd y d zyxI )( 22 ???
?
?? dzr d r dr ?2
???? 2
2
2
0
32
0
2r dzdrrd
? ?
?316?
? ???????? ?? 20
2
3
2
22 drrr?
例 9.设锥面 22 yxz ?? 被圆柱面 x2+y2=2x所截,
求锥面下方,xy 平面上方,圆柱内的区域 ?
的体积 V
解, 运用柱面坐标,令
x = rcos?
y = rsin?
z = z
则 锥面方程为 z = r
圆柱面方程为, r = 2cos? x
z
0
y
由对称性,只需计算第一卦限中的体积 V1,
则 V=2V1.
?在 xy 平面上的投影为 D:
D={(x,y)|x2+y2≤2x}.
由图可知,在柱坐标系下 ?1(?在第一卦限中
的部分 )变成 ?1*:
},0,c o s20,20|),,{(*1 rzrzr ???????? ????
于是
???
?
?
1
2 dzr d r d ?
???? r dzr d rd 0c o s20202 ?
?
?
.932?
12VV ?
??
?
d?? 2
0
3)c o s2(
3
2
??? ?
?
? c o s20 2202 drrd
例 11,
.)0(2
4 222222
体体积所围成的公共部分的立
与围柱面求球面
??
????
aax
yxazyx
解, 由对称性,所求体积
?? ???
D
d x d yyxaV 22244
y
z
x
o
D
?co s2 ar ?
x
y
o a 2a
?
D
运用极坐标系,则 D 变成 D*,
}c o s20,20|),{(* ???? arrD ?????
式中
}20,20|),{( 2xaxyaxyxD ??????
?? ?
D
r d r dra ?2244
?? ?? ?
?
? c o s20 2220 44 a r d rrad
?V
故
.322332 3a?
?
??
?
? ?? ?? ?? 2
0
33 )s in1(
3
32 ? ?? dca
?? ???????? ?? ?
?
? c o s2
0
222
1
222
0
)4()4(214 a r d rradrad
?
??
dra
a c o s2
0
2
0
2
3
22 )4(
3
22 ? ????
? ?? 20 333 )s in88(34
?
? ?daa
四, 球面坐标系下的三重积分
点 M的直角坐标 (x,y,z) 与球面坐标系
(r,?,? )也形成一一对应 (原点除外 )
z
x
y
M(x,y)
M'(x,y,0)
(r,?,z)
o
?
?
x
y
x
y
z
o
? =常数 r =常数
? =常数
其关系是
x = r sin? cos ?
y = r sin? sin ?
z = r cos ?
.20,0,0 ???? ???????? r其中
对应坐标面为
r = 常数,以 o 为中心的球面
? = 常数,过 z 轴的半平面
? = 常数,以原点为顶点,z 为轴的圆锥面,
???
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zyx
zyx
r
z
r
y
r
x
r
zyx
),,(
),,(
由
0c o ss i ns i ns i n
s i ns i nc o sc o sc o s
c o ss i ns i nc o ss i n
????
?????
?????
rr
rrr
?
??
???
???
??
???
???
??
s i nc o sc o s
c o sc o ss i n
c o ss i n
s i ns i nc o s
c o ss i ns i n
s i ns i n
rr
r
rr
r
?
?
?
??
???? 2222 c o ss i ns i ns i n rr ?? ?s in2r?
所以 ???
? x y z
zyxzyxf ddd),,(
???
?
?
??
????????
r
rrrrrf ddds i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n( 2
一般化为先对 r,次对 ?,
再对 ?的累次积分,
注意 x2 + y2 + z2 = r2
例 8,计算
???
?
???,)( 222 d xd yd zzyxI
其中,?是由锥面
22 yxz ??
与球面 2222 azyx ???
所围成的区域,
解, 积分区域 ?如图所示,
,c o s,s i ns i n,c o ss i n ????? rzryrx ??? 则锥面
方程变为;4?? ? 球面方程变为 r = a,区域 ?变为 ?
＊
y
x
z
O
运用球面坐标计算,令
},0,40,20|),,{( arr ???????? ? ??????
故
(该题也可选择柱面坐标计算，请读者自行完成,)
???
?
??? d xd yd zzyxI )( 222
??? dd r drr s i n22 ?? ???
??
???? a drrdd 0 44020 s i n ???
??
).22(51 5 ?? a????
?
da ?? 4
0
5 s in
5
2
例 9,计算
???
?
??,)( 22 d xd yd zyxI
其中,?为两个半球面
)0(,222222 bayxazyxbz ????????
及平面 z = 0所围成的区域,
解, 令,c o s,s i ns i n,c o ss i n ????? rzryrx ???
则区域 ?变成 ?＊,
},,20,20|),,{( brar ???????? ? ??????
故
???
?
?? d xd y d zyxI )( 22
???
??
?? ???? dd r drr s i ns i n 222
? ? ?? ?
?
???2
0
2
0
43s i n b
a
drrdd
)(154 55 ab ?? ?
? ???? 20 255 c o s)c o s1()(52
?
??? dab
2
0
355 c o sc o s
3
1)(
5
2
?
??? ?
?
?
??
? ??? ab
例 10,计算曲面 )0()( 32222 ???? azazyx
所围成的立体体积 V.
解, 该曲面关于 yz平面和 xz平面对称, 且位于 xy
平面上方, 故只需计算在第一卦限中 ?1的
体积 V1,则
???
?
??
1
.44 1 d x d y d zVV
运用球系：,c o s,s i ns i n,c o ss i n ????? rzryrx ???
则曲面方程为
?c o s33 ar ?
而在第一卦限中，
,20,20 ???? ????
所以曲面方程可表示为
.c o s3 ?ar ?
:11 ??? 变成这时
},c o s0,20,20|),,{( 31 ??????? arr ???????? ?
故
14VV ?
? ? ?? 20 20 c o s0 23s i n4
? ? ?
??? a drrdd
?? 203 c o ss in64
?
???? da
???
?
?
1
s i n4 2 ??? dd r dr
3
3
1 a??
补充例,
???
???
?
?
?
???
????
vxI
vzyxI
Rzyx
d )2(
d)( )1(
:
2
2
2
1
2222
计算
设
解, (1) ???
?
?????? vyzxzxyzyxI d)222( 2221
???
?
??? vzyx d)( 222
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ??????
??
???
?
0ddd
222
222
yxR
yxR
D
xy zyzvyz
xy
?其中
???
?
??
??
???
r
rrr ddds i n22
???? R rr0 4020 dds i nd ?? ??? 554 R??
???
?
?? vzyx )d( )2( 222
???
?
? vx d3 2
12 3
1 II ?故 5
15
4 R??
,0 ???? r
,20 ?? ??
.?????? z
三、利用柱面坐标计算三重积分
的柱面坐标．就叫点
，则这样的三个数的极坐标为的投影
面上在为空间内一点，并设点设
M
zrrP
xoyMzyxM
,,,
),,(
??
规定：
x
y
z
o
),,( zyxM
),( ?rP?
r
?
?
简单地说，柱面坐标就是
xoy 面上的极坐标 + z 坐标
?
?
?
?
?
?
?
?
,
,s in
,c o s
zz
ry
rx
?
?
柱面坐标与直角坐标的
关系为
为常数r
为常数z
为常数?
如图，三坐标面分别为
圆柱面；
半平面；
平 面,r?
x
y
z
o
z
? ),,( zyxM
),( ?rP??
r
x
y
z
o
???
?
d x d y d zzyxf ),,(
.),s i n,c o s( ???
?
? dzddrrzrrf ???
如图，柱面坐标系中的
体积元素为
,dzddrrdv ??
于是，
?d
r
x
y
z
o
dzdr
?rd
再根据 ?中 z,r,? 的关系，化为三次积分。
一般，先对 z 积分，再对 r,最后对 ? 积分。
例 6 利用柱面坐标计算三重积分,???? d x d y d zz 其中 ?
所围成的闭区域。与平面是由曲面 4 22 ??? zyxz
解 (1) 画 ?图
(2) 确定 z,r,? 的上下限
将 ? 向 xoy 面投影，得
4, 22 ?? yxD
或,20
,20,
?
?
?
??
??
r
D ??
过 (r,? )∈ D 做平行于 z 轴
的直线，得
x
y
z
o
4
Ao 2
2?r
? ),(r
x
y
z
o
4
? ),( ?r
42 ?? zr
??
?
?
?
?
?
?
.
,s in
,c o s
zz
ry
rx
?
?
即
过 (r,? )∈ D 做平行于 z 轴
的直线，得
4
,20
,20
,
2?
?
?
?
?
??
??
??
?
zr
r
??
于是，
????
?
d x d y d zz, ???
?
dzddrrz ?
???? 42020 2 r dzzrdrd? ?
Ao 2
2?r
,dzddrrdv ??
????
?
d x d y d zz ???
?
dzddrrz ?
???? 42020 2 r dzzrdrd? ?
?? ?????? ?? 20
42
2
0 22 dr
zrd
r
? ?
?? ?? 20 520 )( 1 6 21 drrrd? ?
? ?????? ?? ? ?20
2
0
62
6
18
2
1 drr
2
0
62
6
182
2
1
?????? ???? rr?.364 ??
例 6 求 ???
?
? zd xd ydzI,其中 ? 是球面 4222 ??? zyx
与抛物面 zyx 322 ?? 所围的立体,
解 ??
?
??
???
zyx
zyx
3
4
22
222
求交线：
x y
z
o
将 ? 向 xoy 面投影，得
,3, 22 ?? yxD
??
?
?
???
.1
,322
z
yx
o A
3?r
或,30
,20,
??
?
??
??
rD
??
??????
??
??? dzd r drzd x d y d zzI ?
.413 ??
x y
z
o
?? ? ? ?? 232 420 30 rr z d zrdrd? ?
.43 22 rzr ???
即
过 (r,? )∈ D 做平行于 z 轴
的直线，得
.43
,30
,20
,
22?
?
?
?
?
???
??
??
?
rzr
r
??? ),( ?r
??
?
?
?
?
?
?
.
,s in
,c o s
zz
ry
rx
?
?
,dzddrrdv ??
或,30
,20,
??
?
??
??
rD
??
例 7 计算三重积分,)(
22???
?
? dvyx 其中 ? 是由曲
所围成。与平面面 )0( 22 ???? HHzyxz
解 将 ? 向 xoy 面投影，得
222, HyxD ??
或,0
,20,
??
?
??
??
HrD
??
x
y
z
o
H
x
y
o H
H
H?
H?.Hzr ??
过 (r,? )∈ D 做平行于 z 轴
的直线，得
? ),( ?r
,0
,20
,
??
?
?
?
??
??
??
?
Hzr
Hr
??
即
或,0
,20,
??
?
??
??
HrD
??
.Hzr ??
过 (r,? )∈ D 做平行于 z 轴
的直线，得
x
y
o H
H
H?
H?
H
x
y
z
o? ),( ?r
?????
?
dvyx )( 22,
2???
?
? dzddrrr ?
???? HrH dzrdrd 3020 ? ???
?
?
?
?
?
?
.
,s in
,c o s
zz
ry
rx
?
?
,dzddrrdv ??
? ???? H Hr drzrd 0 320 ? ?
? ?? H drrHr0 43 )(2 ?
.10 5H??
,0
,20
,
??
?
?
?
??
??
??
?
Hzr
Hr
??
即
?????
?
dvyx )( 22,
2???
?
? dzddrrr ?
???? HrH dzrdrd 3020 ? ???
?
?
?
?
?
?
.
,s in
,c o s
zz
ry
rx
?
?
,dzddrrdv ??
四、利用球面坐标计算三重积分
的球面坐标．就叫做点，，样的三个数
面上的投影，这在为点的角，这里
向线段轴按逆时针方向转到有轴来看自为从正
轴正向所夹的角，与为有向线段的距离，
间与点为原点来确定，其中，，序的数
可用三个有次为空间内一点，则点设
Mr
xoyMPOP
xz
zOM
MOrr
MzyxM
??
??
??
),,(
,0 ???? r
.20 ?? ??
,0 ?? ??
规定：
x
y
z
o
),,( zyxM
P?
r ?
?
?
为常数r
为常数?
为常数?
如图，三坐标面分别为
圆锥面；
球 面；
半平
面．
??
?
?
?
?
?
?
.c o s
,s i ns i n
,c o ss i n
?
??
??
rz
ry
rx
球面坐标与直角坐标的关系为
Px y
z
o
),,( zyxM
?
r
?
??
z
yxA
x
y
z
o
r?
?
???
?
d x d y d zzyxf ),,(
???
?
?,s i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n( 2 ???????? dddrrrrrf
球面坐标系中的体积元素为
,s i n 2 ??? dddrrdv ?
如图，
?d
r
x
y
z
o
dr
??dsinr?rd
?d?
?
?d ?sinr
再根据再 ?中 r,?,? 的关系，化为三次积分。
一般，先对 r 积分，再对 ?，最后对 ? 积分。
例 8 用球面坐标计算,
2???
?
dvz 其中
.1, 222 ???? zyx
解 画 ? 图。
确定 r,?,?的上下限。
(1) 将 ?向 xoy 面投影，得
,20 ?? ??
(2) 任取一 ],2,0[ ?? ? 过 z 轴作半平面，得
.0 ?? ??
(3) 在半平面上，任取一 ],,0[ ?? ? 过原点作
射线，得,10 ?? r
x
y
z
o
x
y
z
o
(3) 在半平面上，任取一 ],,0[ ?? ? 过原点作
射线，得,10 ?? r
即 ?
?
?
?
?
??
??
??
?
.10
,0
,20
,
r
??
??
????
?
dvz 2
??
?
?
?
?
?
?
.c o s
,s i ns i n
,c o ss i n
?
??
??
rz
ry
rx
???
?
? ???? dddrrr 2 22 s i nc o s
???? 10 24020 s i n cos drrdd ???? ??
?? ???????? ?? ???? 0
1
0
522
0 5s i n cos d
rd
??? dd r drdv s i n2?
??? ?? ???? 0 220 s i n c o s51 dd
???? ?? ??? 0 220 )( c o s c o s51 dd
? ?
?
?
?
?
??? ? ? ??2
0
0
3
3
cos
5
1 d
?? ? ?20152 d
.154??
????
?
dvz 2
??
?
?
?
?
?
?
.c o s
,s i ns i n
,c o ss i n
?
??
??
rz
ry
rx
???
?
? ???? dddrrr 2 22 s i nc o s
???? 10 24020 s i n cos drrdd ???? ??
?? ???????? ?? ???? 0
1
0
522
0 5s i n cos d
rd
??? dd r drdv s i n2?
例 9 计算, )(
222???
?
?? dvzyx其中 ? 由曲面
22 yxz ?? 和 2222 Rzyx ??? 围成。 )0( ?R
将 ? 向 xoy 面投影，得
,20 ?? ??
任取一 ],2,0[ ?? ? 过 z
.40 ?? ??
在半平面上，任取一 ],4,0[ ?? ?
过原点作射线，得,0 Rr ??
解
轴作半平面，得
x
y
z
o
R
即 ?
?
?
?
?
??
??
??
?
.0
,
4
0
,20
,
Rr
??
??
???
?
?? ??? dddrrr 2 2 s i n
???? R drrdd 0 44020 s i n ??? ??
x
y
z
o
R
???
?
?? dvzyx )( 222
??
?
?
?
?
?
?
.c o s
,s i ns i n
,c o ss i n
?
??
??
rz
ry
rx
).22(51 5 ?? R?
在半平面上，任取一 ],4,0[ ?? ?
过原点作射线，得,0 Rr ??
??? dd r drdv s i n2?
例 1 0 求曲面 2222 2 azyx ??? 与 22 yxz ??
所围成的立体体积,
解 ? 由锥面和球面围成,
x
y
z
o
R
???
?
? dvV
由三重积分的性质，有
?
?
?
??
?
?
??
??
??
?
.20
,
4
0
,20
,
ar
?
?
??
解 ? 由锥面和球面围成,
???
?
? dvV
由三重积分的性质，有
?
?
?
?
?
??
??
??
?
.20
,
4
0
,20
,
ar
??
??
x
y
z
o
R
???? a drrdd 20 2020 s i n4 ??? ??
??????
??
?? ??? dd r drdvV s i n2
.)12(34 3a?? ?
??
?
?
?
?
?
?
.c o s
,s i ns i n
,c o ss i n
?
??
??
rz
ry
rx
??? dd r drdv s i n2?
三重积分的定义和计算
在直角坐标系下的体积元素
d x d y d zdv ?
（计算时将三重积分化为三次积分）
三、小结
柱面坐标的体积元素
dzrd rdd x d y d z ??
球面坐标的体积元素
??? dd r drd x d y d z s i n2?
柱面坐标
球面坐标
作业,P251,1,2,3,4,5.
??
?
?
?
?
?
?
.c o s
,s i ns i n
,c o ss i n
?
??
??
rz
ry
rx
??
?
?
?
?
?
?
.
,s in
,c o s
zz
ry
rx
?
?
六、重积分的应用
第二十章 重积分
一、区域连通性的分类
设 D为平面区域,如果 D内任一闭曲线所
围成的部分都属于 D,则称 D为平面单连通区
域,否则称为复连通区域,
复连通区域单连通区域
D
D
一、立体的体积
二重积分的 几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
x
z
yo
D
),( yxfz ?
.),(???
D
dyxfV ?
例 1 计算由曲面 2241 yxz ??? 及 xoy 面所围的立体
体积。
x
y
z
o 1
1
21 x y
z
o 1
1
21
解 设立体在
第一卦限上
的体积为 V1。
由立体的对称性，所求立
体体积 V = 4V1 。 1
21 x
y
o
241 xy ??
D立体在第一卦限部分可以看
成是一个曲顶柱体，它的曲
顶为,41 22 yxz ???
?
?
?
???
??
.410
,210
,2
xy
x
D
1
21 x
y
o
241 xy ??
D
立体在第一卦限部分可以看
成是一个曲顶柱体，它的曲
顶为,41 22 yxz ???
它的底为
于是,?dyxV
D
)41( 221 ?? ???
dyyxdx x?? ? ??? 2410 22210 )41(
?
?
?
?
?
?
?
?
??? 210
41
0
3
2
2
3)41( dx
yyx
x
?
?
?
?
?
?
?
?
??? 210
41
0
3
2
2
3)41( dx
yyx
x
? ?? 210 232 )41(32 dxx
tx s in21 ?令x
t 0 210 2? ?? 20 4 c o s2132 ? dtt
)22143(31 ????? 16??
所求立体的体积
14VV ?,4??
例 2 求两个圆柱面 222 Ryx ?? 222 Rzx ??及 所围
的立体在第一卦限部分的体积。
x y
z
o R
R
R
x y
z
o R
R
R
R x
y
o
22 xRy ??R
D
解 所求立体
可以看成
是一个曲
顶柱体，
它的曲顶为
,22 xRz ??
?
?
?
???
??
.0
,0
,22
xRy
Rx
D它的底为
R x
y
o
22 xRy ??R
D
,22 xRz ??
?
?
?
???
??
.0
,0
,22
xRy
Rx
D它的底为
它的曲顶为
于是，立体体积为
?dxRV
D
?? ?? 22 dyxRdx xRR ?? ? ?? 220 220
? ?? ???? R xR dxyxR0 022 22 ? ?? R dxxR0 22 )( R
xxR
0
32
3 ??
?
??
? ??
.32 3R?
例 3 求球体 2222 4 azyx ??? 被圆柱面 axyx 222 ??
)0( ?a所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。
解 显然，所求立体应在第一、
第四、第五、第八卦限。
而且，四个卦限部分的体积
是对称相等的。
因此，若设第一卦限部分的体
积为 V1,则所求立体的体积为
.4 1VV ?
x
y
z
o a2
a2
a2
V1 可以看成是一个曲顶柱体，
它的曲顶为
x
y
z
o a2
a2
a2
.4 222 yxaz ???
22 xaxy ??它的底 D 由半圆周
及 x 轴围成。
a2 x
y
o
?c o s2 ar ?
D
用极坐标系表示
:D,20 ?? ??
.c o s20 ?ar ??
于是，
?dyxaV
D
?? ??? 4 2221
?d r drra
D
?? ??? 4 22
a2 x
y
o
?c o s2 ar ?
D
?dyxaV
D
?? ??? 4 2221
?d r drra
D
?? ??? 4 22
drrrad a 4c o s20 2220 ?? ??? ?? ?
)4( 421 22c o s20 2220 radrad a ???? ?? ?? ?
? ?? 20 33 )s i n1(38 ? ?? da )322(38 3 ?? ?a
所求立体体积
14VV ? )322(332 3 ?? ?a
二、曲面的面积
１．设曲面的方程为,),( yxfz ?
,Dx o y 面上的投影区域为在
,Dd ??设小区域
,),( ?dyx ?点
.
)),(,,(
的切平面
上过为 yxfyxMS?
.dsdAdAdss
zd
??,则有为；截切平面为截曲面
轴的小柱面，于边界为准线，母线平行以 ?
如图，
?d ),( yx
M dA
x
y
z s
?o
?
,面上的投影在为因为 x o ydAd ?
,c o s ?? ?? dAd所以,
1
1c o s
22
yx ff ??
??
?dffdA yx 221 ????
,1 22?? ???
D
yx dffA ?
--- 曲面 S 的 面积元素
曲面面积公式为,d x d yy
z
x
zA
xyD
?? ??????? 22 )()(1
３．设曲面的方程为,),( xzhy ?
曲面面积公式为：
.1
22
d z d xxyzyA
zxD
?? ?????? ????????? ????
２．设曲面的方程为,),( zygx ?
曲面面积公式为：;1
22
dydzzxyxA
yzD
?? ?????? ????????? ????
同理可得
例 4 求球面 2222 azyx ??? 含在圆柱体
axyx ?? 22 内部的那部分面积,
14 AA ?,
曲面方程 222 yxaz ???,22
1 ?????? ????????? ??? yzxz
解
x
y
z
o a
a
a
设第一卦限部分的面积为 A1,
则由对称性，所求的面积为
,222
yxa
a
??
?
?? ???
xyD
d x d y
yxa
a
222
?? ??? ?? ? c o s0 2220 1a r d rrada,42 22 aa ?? ?
d x d yyzxzA
xyD
1
22
1 ?? ??
??
?
?
?
???
?
??
?
?
?
???
xyD, axyx ?? 22 )0,( ?yx
a x
y
o
?cosar ?
D
极坐标系下表示：
,20 ?? ??,cos0 ?ar ??
?? ???
D
d r dr
ra
? 22
例 5 求两个圆柱面 222 Ryx ?? 222 Rzx ??及 所围
的立体的表面在第一卦限部分的面积 A。
解 所求表面分成 Ⅰ 和 Ⅱ,如图。
x y
z
o R
R
R
Ⅰ
Ⅱ
第一块（ Ⅰ ）在圆柱面
上,222 Rzx ??
第一块（ Ⅱ ）在圆柱面
,222 上Ryx ??
由对称性，这两块曲面的面积相等，即 AⅠ =AⅡ 。
因此,A = 2 AⅠ 。
,22 xRz ??在 AⅠ 上，曲面方程为
22
1 ?????? ????????? ??? yzxz,22
xR
R
?
?
xyD, 222 Ryx ?? )0,0( ?? yx
?? ??
xyD
dxdy
xR
R
22
d x d yyzxz
xyD
1
22
?? ?????? ????????? ????A
Ⅰ
,22 ??
?
?
xR
RRx 时，当 R x
y
o
22 xRy ??R
xyD
,22 xRz ??在 AⅠ 上，曲面方程为
因此,A = 2 AⅠ 。
R x
y
o
22 xRy ??R
xyD??
?
?
xyD
dxdy
xR
R
22
d x d yyzxz
xyD
1
22
?? ?????? ????????? ????A
Ⅰ
,22 ??
?
?
xR
RRx 时，当
取 1D, 222 Ryx ?? ),0,0( ?? yx
1Rx ? 围成。 0,0 ),0( 1 ???? xyRR
R
y
o
22 xRy ??R
1D
1R
AⅠ ?? ?? ?
11
22lim DRR d x d yxR
R
??
?
??
?
?
? ?? ?
?
22
1
1 0 220
lim xRR
RR
dy
xR
Rdx
AⅠ ?? ?? ?
11
22lim DRR d x d yxR
R
??
?
??
?
?
? ?? ?
?
22
1
1 0 220
lim xRR
RR
dy
xR
Rdx
??? 1
1 0
l i m RRR R d x
.2R?
于是所求面积,A = 2 AⅠ
.2 2R?
),( yx
设 x o y 平面上有 n 个质点，它们分别位于 ),(
11
yx,
),(
22
yx,,? ),(
nn
yx 处，质量分别 为
n
mmm,,,
21
?,
则该质点系的 重心 的坐标为
?
?
?
?
??
n
i
i
n
i
ii
y
m
xm
M
M
x
1
1
,
?
?
?
?
??
n
i
i
n
i
ii
x
m
ym
M
M
y
1
1
,
三、平面薄片的重心
当薄片是均匀的，重心称为形心,
,1 ???
D
xdAx ?,1 ???
D
ydAy ? ???
D
dA ?其中
,
),(
),(
??
??
?
D
D
dyx
dyxx
x
??
??
.
),(
),(
??
??
?
D
D
dyx
dyxy
y
??
??
由元素法
设有一平面薄片，占有 x o y 面上的闭区域 D,在点
),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在 D 上连
续，平面薄片的重心
闭区域 D 的面积
例 6 设平面薄板由
?
?
?
??
??
)c o s1(
)s i n(
tay
ttax
,)20( ??? t 与 x
轴围成，它的面密度 1??,求重心坐标,
解 先求区域 D 的面积 A,
?20 ?? t, ax ?20 ???
?? a dxxyA ?20 )(
? ??? ?20 )]s i n([)c o s1( ttadta
? ?? ?20 22 )c o s1( dtta,3 2a??
D
a?2a?
)(xy
所以重心在 ax ?? 上,即 ax ??,
???
D
y d x d yAy 1 ??? )(
0
2
0
1 xya y d ydxA ?
?? a dxxya ?? 20 22 )]([6 1 ? ?? ?? 20 3]c o s1[6 dtta,65??
所求重心坐标为 )65,( ?? a,
由于区域关于直线 ax ?? 对称,
薄片对 z 轴上单位质点的引力
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D,在点
),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在 D 上连
续，计算该平面薄片对位于 z 轴上的点 ),0,0(0 aM
处的单位质点的引力,)0( ?a
},,,{ zyx FFFF ?,
)(
),(
2
3222 ?
? d
ayx
xyxGF
D
x ??
??
?,
)(
),(
2
3222 ?
? d
ayx
yyxGF
D
y ??
??
?
.
)(
),(
2
3222 ?
? d
ayx
yxaGF
D
z ??
??
??
G 为引力常数
四、平面薄片对质点的引力
例 7 求面密度为常量、半径为 R 的均匀圆形薄片,
222 Ryx ??, 0?z 对位于 z 轴上的点 ),0,0(
0 aM
处的单位质点的引力,)0( ?a
解 由积分区域的对称性知,0?? yx FF
?? d
ayx
yxaGF
D
z ??
??
??
2
3
)(
),(
222
?? d
ayx
aG
D
??
??
??
2
3
)(
1
222o y
z
x
F
drr
ar
daG R??
?
?? 0
22
2
0 23)(
1? ??
.112 22 ??
?
?
???
? ?
?
? a
aR
Ga ??
所求引力为
.112,0,0 22
?
?
?
?
?
?
???
?
???
? ?
? aaR
Ga ??
?? d
ayx
aG
D
??
??
??
2
3
)(
1
222
drr
ar
daG R??
?
?? 0
22
2
0 23)(
1? ??
几何应用：立体的体积、曲面的面积
物理应用：重心、对质点的引力
（注意审题，熟悉相关物理知识）
五、小结
作业,P259,1,2,3,4,6,
