§ 1 函数极限概念
§ 2 函数极限的性质
§ 3 函数极限存在的条件
§ 4 两个重要极限
§ 5 无穷小量与无穷大量
第三章 函数极限
第三章 函数极限
§ 1 函数极限概念
.s i n 时的变化趋势当观察函数 ??xx x
播放
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
问题, 函数 )( xfy ? 在 ??x 的 过程中,对应
函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,;)()( 任意小表示 AxfAxf ????
.的过程表示 ??? xXx
.0s i n)(,无限接近于无限增大时当 x xxfx ?
通过上面演示实验的观察,
问题, 如何用数学语言刻划函数“无限接近”,
定义 1 如果对于任意给定的正数 ? ( 不论它多么小 ),
总存在着正数 X,使得对于适合不等式 Xx ? 的一切
x,所对应的函数值 )( xf 都满足不等式 ??? Axf )(,
那末常数 A 就叫函数 )( xf 当 ??x 时的极限,记作
)()()(l i m ????
??
xAxfAxf
x
当或
定义"" X??
.)(,,0,0 ????????? AxfXxX 恒有时使当
???? Axfx )(l i m
1、定义：
:.1 0 情形???x
.)(,,0,0 ?? ??????? AxfXxX 恒有时使当
:.2 0 情形???x Axfx ???? )(l i m
.)(,,0,0 ?? ???????? AxfXxX 恒有时使当
Axfx ???? )(l i m
2、另两种情形,
???? Axfx )(l i m:定理,)(l i m)(l i AxfAxf xx ?? ?????? 且
x
xy sin?
3、几何解释,
??
?
X? X
.2,
)(,
的带形区域内宽为为中心线直线
图形完全落在以函数时或当
??
????
Ay
xfyXxXx
A
xxy sin?例 1,0sinlim ??? x xx证明
证 x xx x s i n0s i n ??? x
1?
X
1?,??
,0???,1??X取 时恒有则当 Xx ?
,0s i n ???x x,0sinlim ?
?? x
x
x
故
.
)(,)(lim:
的图形的水平渐近线
是函数则直线如果定义 xfycycxf
x
???
??
二、自变量趋向有限值时函数的极限
问题, 函数 )( xfy ? 在 0xx ? 的 过程中,对应
函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,;)()( 任意小表示 AxfAxf ????
.0 00 的过程表示 xxxx ???? ?
x0x??0x ??0x
??
,0 邻域的去心点 ?x,0 程度接近体现 xx?
定义 2 如果对于任意给定的正数 ? ( 不论它多
么小 ),总存在正数 ?,使得对于适合不等式
????
0
0 xx 的一切 x,对应的函数值 )( xf 都
满足不等式 ??? Axf )(,那末常数
A
就叫函数
)( xf 当 0xx ? 时的极限,记作
)()()(l i m
0
0
xxAxfAxf
xx
???
?
当或
定义"" ???
.)(
,0,0,0 0
???
??????????
Axf
xx
恒有
时使当
1、定义：
2、几何解释,
)( xfy ?
??A
??A
A
??0x ??0x0x
??
x
y
o,2
,
)(,
0
的带形区域内宽为
为中心线线
图形完全落在以直
函数域时
邻的去心在当
?
?
?
?
Ay
xfy
xx
注意,;)(.1 0 是否有定义无关在点函数极限与 xxf
..2 有关与任意给定的正数 ??
.,,越小越好后找到一个显然 ??
例 2 ).(,lim
0
为常数证明 CCCxx ??
证
Axf ?)( CC ??,成立??
,0??任给
0?,l i m
0
CCxx ?? ?
,0??任取,0 0 时当 ???? xx
例 3,l i m 0
0
xxxx ??证明
证,)( 0xxAxf ????,0??任给,???取
,0 0 时当 ?????? xx
0)( xxAxf ???,成立??,lim 0
0
xxxx ?? ?
例 3,211l i m
2
1
???
? x
x
x
证明
证
211)(
2
????? xxAxf?,0??任给
,???只要取
,0 0 时当 ???? xx
函数在点 x=1处没有定义,
1?? x
,)( ??? Axf要使
,211
2
?????xx就有
.211lim
2
1
????
? x
x
x
例 4
.lim 0
0
xxxx ?? ?
证 0)( xxAxf ????
,0??任给
},,m i n { 00 ??? xx取
,0 0 时当 ???? xx
0
0
xx
xx
?
??
,)( ??? Axf要使
,0 ??? xx就有
,0xx??
.00 且不取负值只要 ??? xxx
.lim,0,00
0
xxx xx ?? ?时当证明
3.单侧极限,
例如,
.1)(lim
0,1
0,1
)(
0
2
?
?
?
?
??
??
?
?
xf
xx
xx
xf
x
证明
设
两种情况分别讨论和分 00 ?? xx
,0xx 从左侧无限趋近 ;00 ?? xx记作
,0xx 从右侧无限趋近 ;00 ?? xx记作
y
o x
1
xy ?? 1
12 ?? xy
左极限
.)(
,,0,0 00
???
??????????
Axf
xxx
恒有
时使当
右极限
.)(
,,0,0 00
???
??????????
Axf
xxx
恒有
时使当
}0{}0{
}0{:
00
0
??????????
????
xxxxxx
xxx
?
注意
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
???
??
??
或记作
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
???
??
??
或记作
.)0()0()(lim,00
0
AxfxfAxfxx ???????定理
.lim
0
不存在验证 xx
x ? y
x
1
1?
o x
x
x
x
xx
??
???? 00
limlim
左右极限存在但不相等,.)(lim 0 不存在xfx ??
例 5
证
1)1(lim 0 ???? ??x
x
x
x
x
xx 00
l i ml i m
???
? 11lim
0 ?? ??x
四、小结
函数极限的统一定义;)(lim Anfn ???;)(lim Axfx ??? ;)(l i m Axfx ???? ;)(l i m Axfx ????;)(l i m
0
Axfxx ?? ;)(lim
0
Axfxx ???,)(lim
0
Axfxx ???
.)(
,,,0)(lim
?
?
??
?????
Axf
Axf
恒有
从此时刻以后时刻
(见下表 )
过 程
时 刻
从此时刻以后
??n ??x ???x ???x
N
Nn ? Nx ? Nx ? Nx ??
)(xf ??? Axf )(
0xx ?
?
???? 00 xx
?? 0xx ?? 0xx
???? 00 xx 00 ????? xx
过 程
时 刻
从此时刻以后
)(xf ??? Axf )(
思考题
试问函数
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
0,5
0,10
0,
1
s i n
)(
2
xx
x
x
x
x
xf 在 0?x 处
的左、右极限是否存在？当 0?x 时,)( xf 的
极限是否存在？
思考题解答
??? )(lim 0 xfx,5)5(lim 20 ???? xx 左极限存在,
??? )(lim 0 xfx,01s i nlim 0 ??? xxx 右极限存在,
??? )(l i m0 xfx? )(lim0 xfx ?? )(l i m0 xfx ?? 不存在,
.01.01
_ _ _ _ _ _1
3
1
2 2
2
???
?
?
?
???
yzx
z
x
x
yx
，必有时，只要
取，问当时，、当
.001.0420
___421 2
?????
???
yx
xyx
，必有只要
时，取，问当时，、当
?
?
证明：二、用函数极限的定义
一、填空题,
0
s i n
lim2
2
12
41
lim1
2
2
1
?
?
?
?
???
??
x
x
x
x
x
x
、
、
练 习 题
.
)(,0
极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右
时极限存在的充分当函数三、试证 xxxf ?
0)(
存在
时的极限是否在四、讨论：函数 ?? x
x
x
x?
(1),自变量趋于有限值时函数的极限 ;
作业
3.小结
(2),自变量趋于无穷大时函数的极限 ;
(3),函数极限的几何意义 ;
(4),单侧极限的概念 ;
(5),应用函数极限的定义验证函数极限的方法 ;
P47,1,3,4,5,6,7.
第三章 函数极限
§ 2 函数极限的性质
如果 f(x)?A(x?x0)? 那么 f(x)在 x0的某一去心邻域内
有界 ?
证明 有使得则取设 );(,0,1,)(lim 0
0
??? xUxAxf
xx
o??????
?
.1)(1)( ????? AxfAxf
.);()( 0 内有界在即 ?xUxf o
函数极限的性质
1.局部有界性
如果当 x?x0时 f(x)的极限存 ? 那么这极限是唯一的 ?
证明,xxfBA 时的极限当都是设 0,?
,)(0,0,0 101 ???? ????????? Axfxx 时有当则
,)(0,0 202 ??? ??????? Bxfxx 时有当
故有同时成立时则当取,xx )2(),1(0),,min( 021 ???? ????
.2)()())(())(( ??????????? BxfAxfBxfAxfBA
..即其极限唯一的任意性得由 BA ??
2.唯一性
如果 f(x)?A(x?x0)? 而且 A?0(或 A?0)? 那么对任何正
数 r<A (或 r <-A),在 x0的某一去心邻域内 ? 有 f(x)? r>0 (或
f(x)? -r < 0)?
证明 );(,0,),1,0(,0 0 ??? xUxrArA ????????? 使得则取设
.)( rAxf ??? ?有
.0的情形类似可证对于 ?r
?推论
如果在 x0的某一去心邻域内 f(x)?0(或 f(x)?0)? 而且
f(x)?A(x?x0)? 那么 A?0(或 A?0)?
3.局部保号性
证明
).(lim)(lim
),()();()(),(
00
'
00
xgxf
xgxfxUxgxfxx
xxxx ??
?
??
则
内有极限都存在且在时如果 ?o
,)(lim,)(lim
00
BxgAxf
xxxx
??
??设
)1(),(0,0,0 101 xfAxx ????????? ???? 时有当则
)2(.)(0,0 202 ??? ??????? Bxgxx 时有当
于是有同时成立
与不等式时则当令
，
xgxfxx )2(),1()()(,0},,,min{ 021' ????? ?????
,)()( ?? ????? BxgxfA
.,2 BABA ??? 的任意性知由从而 ??
4.保不等式性
如果函数 f(x),g(x)及 h(x)满足下列条件 ?
(1) g(x)?f(x)?h(x)?
(2)lim g(x)?A? lim h(x)?A?
那么 lim f(x)存在 ? 且 lim f(x)?A?
证明 ),(0,0,0 101 xgAxx,????????? ???? 时有当按假设
.)(0,0 202 ??? ??????? Axhxx 时有当
故有同时成立
时上两不等式与则当令
,
)()()(0},,min{ 021 xhxfxgxx ?????? ????
,)()()( ?? ?????? AxhxfxgA
.)(lim)(
0
Axf，Axf
xx
???
?即由此得
?
5.迫敛性
(2)lim f(x)?g(x)?lim f(x)?lim g(x)?A?B?
?推论 1 如果 lim f(x)存在 ? 而 c为常数 ? 则
lim[c?f(x)]?c?limf(x)?
?推论 2 如果 limf(x)存在 ? 而 n是正整数 ? 则
lim[f(x)]n?[limf(x)]n ?
如果 lim f(x)?A? lim g(x)?B? 那么
6.极限的四则运算法则
( 3 ) BAxg xfxg xf ?? )(lim )(lim)( )(lim ( B ? 0 ) ?
(1)lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?B?
7函数极限与数列极限的关系
如果当 x?x0时 f(x)的极限存在 ? {xn}为 f(x)的定义域内
任一收敛于 x0的数列 ? 且满足 xn ?x0(n?N?)? 那么相应的函
数值数列 {f(xn)}必收敛 ? 且
)(lim)(lim
0
xfxf xxnn ??? ? ?
8.子列收敛性 (函数极限与数列极限的关系 )
? ?
.
)(),(,),(),(,)(
.),(
),,(
21
000
时的子列当
为函数即
则称数列时使得有数列
中或可以是设在过程
ax
xfxfxfxfxf
axnax
xxxaax
nn
nn
?
????
?
??
??定义
.)(lim,
)()(,)(lim
Axf
axxfxfAxf
nn
nax
?
??
??
?
则有时的一个子列
当是数列若
定理
证
.)(
,0,0,0 0
???
???????????
Axf
xx 恒有时使当
Axfxx ?? )(l i m
0
?
.0
,,0,0
0 ????
??????
xx
NnN
n
恒有时使当对上述
,)( ??? Axf n从而有,)(l i m Axf nn ???故
,lim 00 xxxx nnn ???? 且又 ?
例如,x
xy sin?
1sinlim
0
?
? x
x
x
,11s i nlim ?
?? n
n
n
,11s i nlim ?
?? n
n
n
11s i n1lim 2
2
???
?? n
n
n
n
n
函数极限与数列极限的关系
函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极
限都存在,且相等,
xy 1sin?
例 7,1s i nl i m
0
不存在证明 x
x ?
证 ? ?,1 ?????? ?? nx n取
,0lim ??? nn x ;0?nx且
? ?,
2
14
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
x n取
,0lim ???? nn x ;0??nx且
?nx
nnn
s i nl i m1s i nl i m
????
?而
,1?
?2 14s i nlim1s i nlim ???
????
n
x nnn而
1lim??? n
二者不相等,.1s i nl i m 0 不存在故 xx ?
,0?
?求极限举例
?讨论
?提示
例 1 ? 求 )12(lim
1
?
?
x
x
?
例 1
解
若 nnnn axaxaxaxP ???????? ?? 1110 )( ? 则?)(l i m
0
?? xPxx
)()(lim 0
0
xPxPxx ?? ?
>>>
解 ?
)35(lim
)1(lim
35
1lim
2
2
3
2
2
3
2 ??
?
?
??
?
?
?
? xx
x
xx
x
x
x
x
3
7
3102
12
2
3 ??
??
?? ?
例 2 ? 求 35 1lim 2 3 2 ?? ?? xx xx ?
例 2
解 解 ?
)35(lim
)1(lim
35
1lim
2
2
3
2
2
3
2 ??
?
?
??
?
?
?
? xx
x
xx
x
x
x
x
3
7
102
12
2
3 ??
??
?? ?
11121lim21lim2lim)12(lim 1 1 1 1 ????????? ???? xxx xxxx ? 11121lim21lim2lim12(lim 1 1 1 1 ????????? ???? xxx xxxx ? 11121lim21lim2i(li 1 1 1 1 ??????? ??? xx xxx ? 1111lim21lim2lim)12(lim 1 1 1 1 ???????? ???? xx xxxx ?
解
例 3
例 3 ? 求 93lim 2 3 ??? xxx ?
解 ? 31lim)3)(3( 3lim93lim 3 32 3 ???? ???? ??? xxx xxx xxx
6
1
)3(lim
1lim
3
3 ?
??
?
?
x
x
x ?
解 ? 31lim)3)(3( 3lim93lim 3 32 3 ???? ???? ??? xxx xxx xxx 解 ? 31lim))(3( 33lim 3 32 3 ???? ??? ?? xxx xxxx
6
1
)(lim
1lim
3
3 ?
??
?
?
x
x
x ?
解
例 4
例 4 ? 求 45 32lim 2 1 ?? ?? xx xx ?
解 ? 0312 415132 45lim 22 1 ??? ????? ??? x xxx ?
45
32lim
2 1 ??
?
? xx
x
x ? ? ?
根据无穷大与无穷小的关系得
解 ? 0312 415132 45lim 22 1 ??? ????? ??? x xxx ?
因为
有理函数的极限?)( )(l i m
0
?
? xQ
xP
xx
?讨论
?提示
当 Q(x0)?P(x0)?0时 ? 约去分子分母的公因式 (x?x0) ?
当 0)( 0 ?xQ 时 ? )( )()( )(lim
0
0
0 xQ
xP
xQ
xP
xx
?
?
?
当 0)( 0 ?xQ 且 0)( 0 ?xP 时 ? ??
? )(
)(lim
0 xQ
xP
xx
?
先用 x3去除分子及分母 ? 然后取极限 ?
解 先用 x3去除分子及分母 ? 然后取极限 ?
例 5
例 5 ? 求 357 243l im 23 23 ?? ???? xx xxx ?
解,
7
3
357
243
lim
357
243lim
3
3
23
23
?
??
??
?
??
??
????
xx
xx
xx
xx
xx
?
7
3
357
243
lim
357
243lim
3
3
23
23
?
??
??
?
??
?
????
xx
xx
x
xx
xx
?
7
3
37
23
lim
357
243lim
3
3
23
23
?
??
??
??
??
????
xx
x
xx
xx
xx
?
例 6
例 6 ? 求 52 123lim 232 ?? ???? xx xxx ?
0
2
0
512
123
lim
52
123lim
3
32
23
2
??
??
??
?
??
??
????
xx
xxx
xx
xx
xx
? 0
2
0
512
123
lim
52
123lim
3
32
23
2
??
??
??
?
??
?
????
xx
xxx
xx
xx
xx
? 0
2
0
512
123
lim
52
123lim
3
32
23
2
??
??
??
?
?
??
???
xx
xxx
xx
xx
xx
?
?讨论
?提示
例 7 ? 求 123 52lim 2 23 ?? ???? xx xxx ?
例 7
解
解 ? 因为 052 123lim 232 ??? ???? xx xxx ? 所以
???? ???? 123 52lim 2 23 xx xxx ?
所以
有理函数的极限? l i m 1
10
110
??????? ?????? ?
?
?? mmm
nnn
x bxbxb
axaxa
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??????
??????
?
?
??
mn
mn
b
a
mn
bxbxb
axaxa
m
mm
n
nn
x
0
l i m
0
0
1
10
1
10 ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??????
??????
?
?
??
mn
mn
b
a
mn
bxbxb
axaxa
m
mm
n
nn
x
0
lim
0
0
1
10
1
10 ?
解 当 x??时 ? 分子及分母的极限都不存在 ? 故关于
商的极限的运算法则不能应用 ?
例 8
例 8 ? 求 x xx s inlim ?? ?
所以 0s inlim ??? x xx ?
因为 xxx x s i n1s i n ?? ? 是
是无穷小与有界函数的乘积 ?
(1),唯一性 ;
作业
小结
(2),局部有界性 ;
(3),局部保号性 ;
(4),保不等式性 ;
(5),迫敛性 ;
P47,1,2,3,5,6,7,8,9,
(6),四则运算法则 ;
(7),函数极限与数列极限的关系 ;
(8),复合函数的四则运算法则,
第三章 函数极限
§ 3 函数极限存在的条件
一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列
nn
yx,及
n
z 满足下列条件,
,lim,lim)2(
)3,2,1()1(
azay
nzxy
n
n
n
n
nnn
??
???
????
?
那末数列
n
x 的极限存在,且 ax
n
n
?
??
lim,
证,,azay nn ???
使得,0,0,0 21 ????? NN?
,1 ???? ayNn n时恒有当
},,m a x { 21 NNN ?取
恒有时当,Nn ?
,?????? aya n即
,2 ???? azNn n时恒有当
,?????? aza n
上两式同时成立,
,?? ?????? azxya nnn
,成立即 ??? ax n,l i m ax nn ?? ??
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′ 如果当 )(
0
0
xUx
?
? ( 或 Mx ? ) 时,有
,)(lim,)(lim)2(
),()()()1(
)()(
00
AxhAxg
xhxfxg
x
xx
x
xx
??
??
??
?
??
?
那末 )(li m
)(
0
xf
x
xx
??
?
存在,且等于 A,
注意,
.
,
的极限是容易求的与并且
与键是构造出利用夹逼准则求极限关
nn
nn
zy
zy准则 ?和 准则 ?'称为 夹逼准则,
例 1 ).12111(l i m 222 nnnn
n ?
?????
??
?求
解,1111 2222 ???????? n nnnnnn n ??
n
nn
n
nn 1
1
1limlim
2
?
?
? ????
又
,1?
2
2 1
1
1lim
1
lim
n
n
n
nn
?
?
? ????,1? 由夹逼定理得
.1)12111(l i m 222 ???????
?? nnnnn
?
x1x 2x 3x 1?nxnx
2.单调有界准则
满足条件如果数列 nx
,121 ?? ???? ?nn xxxx 单调增加
,121 ?? ???? ?nn xxxx 单调减少
单调数列
准则 Ⅱ 单调有界数列必有极限,
几何解释,
A M
例 2
.)
(333
的极限存在式
重根证明数列 nx n ???? ?
证,1 nn xx ??显然 ? ? ;是单调递增的x?
,331 ??x?又,3?kx假定 kk xx ??? 31 33 ??,3?
? ? ;是有界的nx?,l i m 存在nn x???
,31 nn xx ????,32 1 nn xx ??? ),3(limlim 2 1 nnnn xx ?? ?????
,32 AA ?? 2 131,2 131 ???? AA解得 (舍去 )
.2 131lim ??? ?? nn x
第三章 函数极限
§ 4 两个重要极限
A
C
二、两个重要极限
(1) 1
s i nl i m
0
?
? x
x
x
)20(,,????? xxAO BO 圆心角设单位圆
,t a n,,s i n ACxABxBDx ??? 弧于是有
xo
B
D
.A C O?，得作单位圆的切线
,xOA B 的圆心角为扇形,BDOA B 的高为?
,ta ns i n xxx ???,1s i nco s ?? x xx即
.02 也成立上式对于 ???? x,20 时当 ??? x
xx co s11co s0 ???? 2s in2 2 x? 2)2(2 x?,2
2x
?
,02lim
2
0
?
?
x
x
?,0)c o s1(lim 0 ??? ? xx
,1c o sl i m0 ?? ? xx,11l i m0 ??x?又,1
s i nlim
0 ?? ? x
x
x
注,
这是因为 ? 令 u?a(x)? 则 u?0? 于是
在极限 )( )(s i nl i m x xa a 中 ? 只 要 a ( x ) 是无穷小 ? 就 有
1)( )(s inlim ?x xa a ?
)(
)(s i nl i m
x
x
a
a 1s i nl i m
0
??
? u
u
u
?
?第一个重要极限
1s inlim
0
?
? x
x
x
?
20
c o s1lim
x
x
x
?
?
?
2
2
02
2
0
)
2
(
2
s in
lim
2
12s in2
lim
x
x
x
x
xx ??
?
1s i nl i m
0
?
? x
x
x ? 1)(
)(s i nlim ?
x
x
a
a ( a ( x ) ? 0 ) ?
例 1
例 1 ? 求 x xx ta nlim 0? ?
解 ? x xx ta nlim0? xx xx c o s1s inlim 0 ?? ? 1c o s1lims inlim 00 ??? ?? xx x xx ?
解
解 ? x xx t a nlim 0? xx xx c o s1s inlim 0 ?? ? 1c o s1lims inlim 00 ??? ?? xx x xx ? 解 ? x xx t a nlim 0? xx xx c o s1s inlim 0 ?? 1c o s1lims inlim 00 ??? ?? xx x xx ? 解 ? xxtanlim0 xxx cos1sinlim0 ?? 1cos1limsinlim 00 ??? ?? xxx xx ?
解
例 2
例 2 ? 求 20 c o s1lim x xx ?? ?
2
1
1
2
1
2
2
s in
lim
2
1
2
2
0
?????
?
?
??
?
?
?
? x
x
x
?
2
1
1
2
1
2
2
s in
lim
2
1
2
2
0
?????
?
?
??
?
?
?
? x
x
x
?
20
c o s1lim
x
x
x
?
?
?
2
2
02
2
0
)
2
(
2
s in
lim
2
12s in2
lim
x
x
x
x
xx ?
?
20
c o s1lim
x
x
x
?
?
?
2
2
2
2
0
)
2
(
2
s in
lim
2
12s in2
lim
x
x
x
x
xx ??
?
例 3
x
x
x
5s inlim
0?求
x
x
x
5s i nlim
0?解,x
x
x 5
5s i n5lim
0?? x
x
x 5
5s i nlim5
0??
0,0,5 ??? txtx 有时当令
5s i nlim5,0 ?? ? t tt原式所以
注：在上例中，应用公式（ 14—1）时，我们使用了代
换,在运算熟练后可不必代换，直接计算：xt 5?
x
x
x
5sinlim
0? 55
5s i nl i m5
0 ?? ? x
x
x
例 4, 求极限,
x
x
x
x
xx
t anl i m2
2s i n
3s i nl i m1
00 ??,、
x
x
x 2s i n
3s i nl i m1
0?、解：
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2s in
3
3
3s in
li m
0
?
?
?
?
x
x
x
x
x
x
2
2s i n
lim2
3
3s i n
lim3
0
0
?
?
?
?
?
2
3
12
13 ?
?
??
x
x
x
x
x
xx
c o s
s i n
l imt a nl im2
00 ??
?,xx x
x co s
s inlim
0??
xx
x
xx c o s
1l i ms i nl i m
00 ?? ??
111 ???
例 5,求极限,
xxx
3sinlim
??
xxx
3s i nl i m:
??解
x
x
x 3
3
s i n
l i m3
??
?
)
3
3
3
s in
(lim
x
x
xx
x
???
??
3
13
?
??
练习 1.求下列极限,
x
x
x
x
A
x
x
3
5s i n
l i m2
3s i n
l i m1][
0
0
?
?
、
、
33 3s in3li m3s inli m1
00
??
?? x
x
x
x
xx
、
3
5)
3
5)(
5
5s in(lim
3
5s inlim2
00
??
?? x
x
x
x
xx
、
二,关于极限 x
x x )
11(lim ?
??
设有函数
,时???x，根据下表观察
x
xxf ??
??
?
? ?? 11)(
的变化趋势。)(xf
???
? ? xxxf ?????? ?? 11
x
2.718152.716922.704812.59374
10000100010010
…,.2.718282.71827
…1000000100000
???
? ? xxxf ?????? ?? 11
x
2.718152.716922.704812.59374
-10000-1000-100-10
…,.2.718282.71827
…-1000000-100000
???x 时,x
x )
11( ? 均趋于一个确定的数 2.71828…
用 e表示该数,e是无理数。
e=2.718281828…
)214()11(l im ????? ex xx得到公式
注意：
2.底数中的无穷小量（可以是字母 或是
代数式）和指数互为倒数。
tx或
1.公式中底数的极限是 1，指数的极限是无穷大,
函数极限为 型"1" ?
ex xx ???
1
0 )1(lim.3 公式的等价形式为
ex x
x
??
??
)11(l i m
定义 en
n
n
??
??
)11(lim
n
n nx )
11( ??设
???????? 21!2 )1(1!11 nnnnn
).11()21)(11(!1)11(!2111 nnnnnn ?????????? ??
nnn
nnnn 1
!
)1()1( ????? ?
?第二个重要极限
).
1
1()
2
2
1)(
1
1
1(
)!1(
1
)
1
1
1()
2
2
1)(
1
1
1(
!
1
)
1
1
1(
!2
1
11
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
????
?
n
n
nnn
n
n
nnn
n
x
n
?
?
?
,1 nn xx ??显然 ? ? ;是单调递增的n?
!
1
!2
111
nx n ????? ? 12
1
2
111
?????? n?
12
13
??? n,3? ? ? ;是有界的nx?
.l i m 存在nn x??? en
n
n ???? )
11(l i m记为 )71828.2( ??e
类似地,
,1 时当 ?x,1][][ ??? xxx有
,)][ 11()11()1][ 11( 1][][ ??????? xxx xxx
)][ 11(lim)][ 11(lim)][ 11(lim ][1][ xxx
x
x
x
x
x
?????
??????
?
???
而,e?
11][
][
)
1][
1
1(l i m)
1][
1
1(l i m
)
1][
1
1(l i m
?
???
?
???
???
?
??
?
??
?
?
xx
x
x
x
x
x
x
,e?
.)11(l i m ex xx ??? ???
,xt ??令
t
t
x
x tx
?
?????? ???? )
11(l i m)11(l i m t
t t )1
11(l i m
??? ???
)111()111(lim 1 ????? ???? tt tt,e?
ex x
x
???
??
)11(lim
,1xt ?令
t
t
x
x t
x )11(lim)1(lim
1
0
???
???,e?
ex x
x
??
?
1
0
)1(lim
例 6,求极限
x
x x
)31(l im)1( ?
??
xx
x
1
)31(l i m)2(
0
?
?
x
x x
)31(lim)1( ?
??
33 ])31[(lim
x
x x
??
??
3e?
xx
x
1
)31(l i m)2(
0
?
?
)3(31
)]3(1[lim
0
???
???
?
xx
x
3})]3(1{[lim 3
1
?
??
???? xx
x
3?? e
解：
例 7
34)
2
11(li m ?
??
? x
x x
求
34)
2
11(l i m ?
??
? x
x x
34 )
2
11()
2
11(lim
xx
x
x
???
??
322 )
2
11(l i m])
2
11[(l i m
xx x
x
x
???
????
2
2 1
e
e
?
??
解：
例 8
x
x x
x 2)
1
2(l i m
?
?
??
求
2e?
x
x x
x 2)
1
2(lim
?
?
??
x
x x
2)
1
11(lim
??? ??
2)1(2)
1
11(li m ??
?? ?
?? x
x x
解：
2)1(2 )
1
11()
1
11(lim ??
?? ?
????? xx x
x
221 )
1
11(l im])
1
11[(l im ?
??
?
?? ?
????? xx
x
x
x
例 9,)11(l i m x
x x
?
??
求
解 xx
x
???
?
?
?
)11(
1lim
1])11[(l i m ??
?? ???
x
x x原式
.1e?
例 10,)23(l i m 2 x
x x
x
?
?
??
求
解 422 )211(])211[(lim ??
?? ????? xx
x
x原式,
2e?
练习 2.求下列极限,
x
x
x
x
x
xA
)
2
1(l i m2
)31(l i m1][
1
0
?
?
??
?
、
、
333
1
0
1
0
])31[(lim)31(lim exx x
x
x
x
????
??
222 })]21{ [ (lim)21(lim ??
?
????
???? exx
x
x
x
x
练习
2
2
0
0
0
1
s i nlim4][
2t a n
lim3
3s i n
7s i n
lim2][
2
1
s i n
lim1][
x
xC
x
x
x
x
B
x
x
A
x
x
x
x
??
?
?
?
、
、
、
、
3
7)
3
7)(
3s in
3)(
7
7s in(lim
3s in
7s inlim.2
00
??
?? x
x
x
x
x
x
xx
2)
2c o s
2)(
2
2s in(lim2t a nlim.3
00
??
?? xx
x
x
x
xx
1
1
1
s i n
lim
1
s i nlim.4
2
2
2
2
??
????
x
x
x
x
xx
2
1
)
2
1
2
1
2
1
s i n
(lim2
1
s i n
lim.1
00
???
??
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
C
x
B
xA
?
??
?
??
?
?
?
?
)
2
12
(l i m.7][
)
3
1
1(l i m.6][
)c o s1(l i m.5][
14
c o s
1
2
?
2
1
2
1
2 ])
2
1
1[(lim
)
2
12
(lim.7
??
??
?
??
???
?
e
x
x
x
x
x
x
x
13
4
314 )
3
1
1(])
3
1
1[(lim)
3
1
1(lim.6
xxx
x
x
x
x
????
??
?
??
3
4
3
4
1 ee ???
ex x
x
??
?
c o s
1
2
)c o s1(l i m.5
?
小结：
1s i nlim.1 0 ?? x xx对公式
0
0
（ 1）分子、分母含有三角函数且在自变量指定的变化趋
势下是,” 型。
（ 2）公式中的,”可以是趋向于零的代数式。x
（ 3）注意三角函数有关公式的应用。
ex xx ???? )11(l i m.2 对公式
（ 1）函数在自变量指定的变化趋势下是,” 型。?1
（ 2）应用公式解题时，注意将底数写成 1与一个无穷小量
的代数和的形式，该无穷小量与指数互为倒数。
（ 3）注意求极限过程中运用指数的运算法则。
作业,
P58,1 (1)~(10),2 (1)~(6),3,4 (1)~ (2),
三、小结
1.两个准则
2.两个重要极限
夹逼准则 ; 单调有界准则,;1s i nl i m1 0 ?a a
某过程,)1(l i m2
1
0 e?a? a
某过程
,为某过程中的无穷小设 a
思考题
求极限 ? ? xxx
x
1
93lim ?
???
思考题解答
? ? xxx
x
1
93lim ?
???
? ? xxxx
x
1
1
1
3
19l i m
?
?
??
?
? ??
???
x
xx
xx ?
??? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??? 3
1
3
3
1
1lim9
99 0 ??? e
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _3c o tl i m4 0 ??? xxx、
一、填空题,
._ _ _ _ _ _ _ _ _s i nl i m1 0 ?? x xx ?、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _3s i n 2s i nl i m2 0 ?? xxx、
.__________2s i nl i m5 ??? x xx、
._ _ _ _ _ _ _ _ _)1(l i m6
1
0 ???
x
x x、
练 习 题
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _co tli m3 0 ?? x xx,arc
x
x
x 2t a n
4
)( t a nlim2 ?
?
、
._________)1(l i m7 2 ???? xx x x、
._________)11(l i m8 ???? xx x、
xx
x
x s in
2c o s1lim1
0
?
?、
x
x ax
ax )(lim3
?
?
??、
二、求下列各极限,
n
n n
n )
1
1(lim4 2
?
?
??、
5, n
nn
n
1
)321(l i m ??
??
三,利用极限存在准则证明数列
,.,,,,,222,22,2 ??? 的极限存在，并求
出该极限,
一,1, ? ； 2,
3
2； 3, 1 ； 4,
3
1；
5, 0 ； 6, e ； 7,
2
e ； 8,
e
1；
二,1, 2 ； 2,
e
1； 3,
a
e
2； 4,
1?
e ；
5, 3.
三,2l i m ?
??
n
x
x,
练习题答案
第三章 函数极限
§ 5 无穷小量与无穷大量
则称 f (x)是该极限过程中
的一个无穷小量 (省去 x?xo,x??的极
限符号,lim” 表示任一极限过程 ).
定义 1.若 lim f (x)=0,
一、无穷小
一、无穷小
1、定义,
定义 1 如果对于任意给定的正数 ? ( 不论它多么小 ),
总存在正数 ? ( 或正数 X ),使得对于适合不等式
????
0
0 xx ( 或 ?x X ) 的一切 x,对应的函数值
)( xf 都满足不等式 ??)( xf,
那末 称函数 )( xf 当
0
xx ? ( 或 ??x ) 时为无穷小,
记作 ).0)(l i m(0)(l i m
0
??
???
xfxf
xxx
或
极限为零的变量称为 无穷小,
例如,
,0s i nl i m0 ?? xx?,0s i n 时的无穷小是当函数 ?? xx
,01lim ?
?? xx
?,1 时的无穷小是当函数 ??? x
x
,0)1(lim ??
?? n
n
n
?,})1({ 时的无穷小是当数列 ???? n
n
n
注意 （ 1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆 ;
注 2,无穷小量与极限过程分不开,不能脱离极
限过程谈无穷小量,
2.1s inli m
2
?
?
??
?
xx
x
因此，它不是
.时的无穷小量
小量,但
如 sinx是 x?0时的无穷
注 3,由于 limC = C(常数 ),
注 4,0是任何极限过程的无穷小量,
所以,除 0外的
任何常数不是无穷小量,
2、无穷小与函数极限的关系,
证 必要性,)(lim
0
Axfxx ??设,)()( Axfx ??a令
,0)(l i m
0
?a? xxx则有 ).()( xAxf a???
充分性 ),()( xAxf a??设
,)( 0 时的无穷小是当其中 xxx ?a
))((l i m)(l i m
00
xAxf xxxx a?? ??则 )(l i m
0
xA xx a?? ?.A?
定理 1 ),()()(lim
0
xAxfAxf
xx
a????
?
其中 )( xa 是当 0xx ? 时的无穷小,
意义 （ 1）将一般极限问题转化为特殊极限问题
(无穷小 );
).(,)(
)(2 0
xAxf
xxf
a误差为式
附近的近似表达在）给出了函数（
?
3、无穷小的运算性质,
定理 2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是
无穷小,
证,时的两个无穷小是当及设 ???a x
使得,0,0,0 21 ?????? NN;21 ??a? 时恒有当 Nx ;22 ???? 时恒有当 Nx
},,m a x { 21 NNN ?取 恒有时当,Nx ?
??a???a 22 ????,??
)(0 ?????a? x
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小,
是无穷小，时例如 nn 1,,??
.11 不是无穷小之和为个但 nn
定理 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小,
证 内有界，在设函数 ),( 100 ?xUu
.
0,0,0 101
Mu
xxM
?
????????
恒有
时使得当则
,0 时的无穷小是当又设 xx ?a
.
0,0,0 202
M
xx
?
?a
???????????
恒有
时使得当
推论 1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘
积是无穷小,
推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小,
推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小,
},,m i n { 21 ????取 恒有时则当,0 0 ???? xx
a??a? uu MM ???,??
.,0 为无穷小时当 a??? uxx
xxxxx
1a rc ta n,1s i n,0,2时当例如 ?都是无穷小
二、无穷大
定义 2 设 函数 )( xf 在
0
x 某 一 去 心 邻域 内 有 定 义 （ 或 x 大
于 某 一 正数 时 有 定义 ）, 如果对于任意给定的正数 M ( 不
论它多么大 ),总存在正数 ? ( 或正数 X ),使得对于适合不
等式 ????
0
0 xx ( 或 ?x X ) 的一切 x,对应的函数值
)( xf 总 满足不等式 Mxf ?)(,
则称函数 )( xf 当
0
xx ? ( 或 ??x ) 时为无穷大,记作
).)(lim()(lim
0
????
???
xfxf
xxx
或
绝对值无限增大的变量称为 无穷大,
二、无穷大量
定义 2,若 ?? >0(无论多么大 ),
??
??
?
)(lim
)( 0
xf
x
xx
记作：
?? >0(或 ?X>0),
当 0<|x–xo|<?(或 |x|>X)时，有 |f (x)|>M,
则称 f (x)是 x? x0(或 x? ?)时的无穷大量,
若以,f (x)>M,代替定义中的, |f
(x)|>M,,就得到正无穷大量的定义,
???
??
?
)(lim
)( 0
xf
x
xx
???
??
?
)(lim
)( 0
xf
x
xx
若以, f (x)< – M,
代替定义中的, |f (x)|>M,,就得到负无穷大量
的定义, 分别记作：
?? >0,?? >0(或 ?X>0),当 0<|x–xo|<? (或 |x|>X)时，
有 |f (x)|>M,.)(lim
)( 0
??
???
xf
x xx
则记
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
))(l i m()(l i m
)()( 00
??????
??
?
??
?
xfxf
x
xx
x
xx
或
注意 （ 1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆 ;
（ 3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无
界变量未必是无穷大,
.)(lim2
0
认为极限存在）切勿将（ ??? xfxx
xxy 1sin1?
.,
1
s i n
1
,0,
但不是无穷大是一个无界变量
时当例如
xx
yx ??
),3,2,1,0(
22
1)1( ??
???? kkx k取
,22)( ???? kxy k,)(,Mxyk k ?充分大时当
),3,2,1,0(2 1)2( ??????? kkx k取
,,??? ?kxk 充分大时当
?????? kkxy k 2s i n2)(但,0 M?? 不是无穷大．
无界，
.11l i m
1
???
? xx
证明例
证,0?? M,11 Mx ??要使
,11 Mx ??只要,1M??取
,110 时当 Mx ?????,11 Mx ??就有,11lim 1 ???? ? xx
.
)(,)(l i m,0
0
的图形的铅直渐近线
是函数则直线如果定义 xfyxxxf
xx
????
?
1
1
?? xy
例 2,试从函数图形判断下列极限,
,tgl i m,tgl i m,tgl i m )1(
222
xxx
xxx
??
??? ??
?
,lim,lim )2( xxxx ee ??????
,lnlim,lnlim )3( 0 xx xx ?????
解, (1)
2
?? ?23
2
? ? x
y
0
x
y
y = tgx
x
y
从图上可看出
.tgl i m,tgl i m,tgl i m
222
???????? ??
???
xxx
xxx ??
?
,lim ????? xx e从图上看出
(2)
x
o
y
xx
y
y
l i m?,l i m( ?? ?????? xxxx aa一般
).1,10 讨论分 ??? aa
xey ?
,0li m ???? xx e
x?+?x?–?
,lnli m )3( ?????? xx
).1,10 讨论分 ??? aa
l o gl i m?,l o gl i m( 0 ?? ????? xx axax一般
.lnlim 0 ????? xx
注 1,若在定义 2中，将,f (x)” 换成,xn”,
注 2,若 lim f (x)=?,
将,X” 换成,N”,将,x??” 换成
就得到数列 xn为无穷大量定义,,n??”,
则表示在该极限过程
中 f (x)的极限不存在,
?? >0,?X>0,当 |x|>X 时,有 |f (x)|>M,
.)(li m ???? xfx则记
注 3,不能脱离极限过程谈无穷大量,
注 4,无穷大量一定是无界量,
任何常量都不是无穷大量,
但无界量不一定是无穷大量,
),()c o s)((si n)( ?????? 在或 xxxfxxxf例3,
.s i nl i m,s i nl i m 不存在内是无界函数，但 xxxx xx ?????? ??
只须内无界函数是要说明,),(s i n ????? xxy解：
说明 ??>0,?x0?(–?,+?),使得 |x0sinx0|>M即可,
为自然数，现在取 kkx,220 ?? ??
，充分大时当则 )(22|s in| 00 kMkxx ??? ??
.s i n 是无界函数故 xxy ?
,,,2 Xxkkx kk ?? 充分大时当又取 ?
|)(| kxf但,0 M不大于?
.s inlim ????? xxx故
,))1(1( nnnx ???例4,
.))1(1(l i m ?????? nnn但
.2 0 2 0 2 0 642 是无界数列，，，，，,?
三、无穷小与无穷大的关系
定理 4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小 ;
恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,
证,)(lim
0
??? xfxx设
,
1
)(
0,0,0 0
?
?
???????????
xf
xx
恒有
时使得当
.)(1 ??xf即
.)(1,0 为无穷小时当 xfxx ??
.0)(,0)(lim,
0
??? xfxfxx 且设反之
,
1
)(
0,0,0 0
M
xf
xxM
?
??????????
恒有
时使得当
.)(1 Mxf ?从而
.)(1,0 为无穷大时当 xfxx ??
,0)( ?xf由于
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小
的讨论,
证明
设 a及 ?是当 x?x0时的两个无穷小 ? 则 ???0?
??1?0? 当 0?|x?x0|??1 时 ? 有 |a|?? ?
??2?0? 当 0?|x?x0|??2 时 ? 有 |?|???
取 ??min{?1? ?2}? 则当 0?|x?x0|??时 ? 有
这说明 a?? 也是当 x?x0时的无穷小 ?
|a??|?|a|?|?|?2? ?
?定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小 ?
仅就两个 x?x0时的无穷小情形证明 ?
举例, 当 x?0时 ? x与 sin x都是无穷小 ? 所以 x?sin x也是当
x?0时的无穷小 ?
四、无穷小的性质
设函数 u在 x0的某一去心邻域 {x|0?|x?x0|??1}内
有界 ?即 ?M?0? 使当 0?|x?x0|??1时 ? 有 |u|?M?
又设 a是当 x?x0时的无穷小 ? 即 ???0? 存在 ?2?0? 使当
0?|x?x0|??2时 ? 有 |a|?? ?
取 ??min{?1? ?2}? 则当 0?|x?x0|?? 时 ? 有
|u?a|?|u|?|a|?M? ?
这说明 u?a 也是当 x?x0时的无穷小 ?
证明
?定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 ?
?定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小 ?
四、无穷小的性质
举例,
当 x ? ? 时 ? x1 是无穷小 ? a r c ta n x 是有界函数 ?
所以 x1 a r c ta n x 也是无穷小 ?
?推论 2 有限个无穷小的乘积也是无穷小 ?
?定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 ?
?定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小 ?
?推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小 ?
四、无穷小的性质
五、无穷小的比较
观察两个无穷小比值的极限
?观察与比较
03lim 20 ?? xxx ? ??? 20 3l i m x xx ? 1s i nl i m 0 ?? x xx ?
两个无穷小比值的极限的各种不同情况 ? 反映了不
同的无穷小趋于零的, 快慢, 程度 ?
在 x?0的过程中 ? x2比 3x趋于零的速度 快些 ? 反过来
3x比 x2趋于零的速度 慢些 ? 而 sin x与 x趋于零的速度 相仿 ?
?无穷小的阶
设 a 及 ? 为 同一个自变量的变化过程中的无穷小 ?
如果 0l i m ?a? ? 就说 ? 是比 a 高阶的无穷小 ? 记为 ? ? o ( a ) ?
如果 ??a?l i m ? 就说 ? 是比 a 低阶的无穷小 ?
如果 0l i m ?? ca? ? 就说 ? 与 a 是同阶无穷小 ?
如果 0lim ?? cka? ? k >0 ? 就说 ? 是关于 a 的 k 阶无穷小 ?
如果 1lim ?a? ? 就说 ? 与 a 是等价无穷小 ? 记为 a ~ ? ?
?阶的比较举例
所以当 x?0时 ? 3x2是比 x高阶的无穷小 ? 即 3x2?o(x)(x?0)?
所以当 x?3时 ? x2?9与 x?3是同阶无穷小 ?
所以当 n ? ? 时 ? n1 是比 21n 低阶的无穷小 ?
因为 ??
??
2
1
1
lim
n
n
n
? 例 2
例 3 ? 因为 639lim 23 ???? xxx ? 例 3
例 1 ? 因为 03lim 20 ?? xxx ?
例 1
所以当 x?0时 ? 1?cos x 是关于 x 的二阶无穷小 ?
所以当 x?0时 ? sin x 与 x是等价无穷小 ? 即 sin x~x(x?0)?
例 4 ? 因为 21c os1l i m 20 ??? x xx ?
例 4
例 5 ? 因为 1s inlim 0 ?? x xx ?
例 5
?阶的比较举例
?定理 1
?与 a是等价无穷小的充分必要条件为
? ?a?o(a)?
?关于等价无穷小的定理
必要性,证明
01lim)1lim (lim ?????? a?a?a a? ?
所以 ? –a?o(a)?
因为设 a~?? 只需证 ? –a?o(a)?
01lim)1lim ( ?????? a?a?a a? ? 01lim)1lim (lim ????? a?a a? ?
充分性, 设 ??a?o(a)? 则
1])(1lim[)(limlim ????? aaaaaa? oo ? 1])(1lim [)(limlim ????? aaaaa? oo ? 1])(1lim [)(limlim ???? aaaaa? oo ? 1])(lim[)(limlim ????? aaaaa? oo ?
因此 a~??
所以当 x?0时 ? 有
sin x?x?o(x)?
tan x?x?o(x)?
1 ? c o s x ? )(21 22 xox ? ?
例 6 ? 因为当 x ? 0 时 s i n x ~ x ? ta n x ~ x ? 1 ? c o s x ~ 221 x ?
例 6
?定理 1
?与 a是等价无穷小的充分必要条件为
? ?a?o(a)?
?关于等价无穷小的定理
?定理 1
?与 a是等价无穷小的充分必要条件为
? ?a?o(a)?
?关于等价无穷小的定理
设 a ~ a ?? ? ~ ? ?? 且 a? ??lim 存在 ? 则 a?a? ??? limlim ?
?定理 2
a
a
a
?
?
?
a
? ??
?
??
??limlim
a
?
a
a
a
?
?
?
?
????
?
??
?? limlimlimlim ?
证明
a
a
a
?
?
?
a
? ??
?
??
?? limlim
a
?
a
a
a
?
?
?
?
????
?
??
?? limlimlimlim ?
求两个无穷小比值的极限时 ? 分子及分母都可用等
价无穷小来代替 ? 因此 ? 如果用来代替的无穷小选取得
适当 ? 则可使计算简化 ?
定理 2的意义,
?定理 1
?与 a是等价无穷小的充分必要条件为
? ?a?o(a)?
?关于等价无穷小的定理
设 a ~ a ?? ? ~ ? ?? 且 a? ??lim 存在 ? 则 a?a? ??? limlim ?
?定理 2
解 当 x?0时 ? tan 2x~2x? sin 5x~5x? 所以
解 当 x?0时 sin x~x? 无穷小 x3?3x与它本身显然是等
价的 ? 所以
若 a ~ a ?? ? ~ ? ?? 且 a? ??lim 存在 ? 则 a?a? ??? limlim ?
例 7
例 ? ? 求 xxx 5s in 2t a nlim 0? ?
x
x
x 5s in
2ta nlim
0? 5
2
5
2lim
0 ?? ? x
x
x ?
例 8
例 ? ? 求 xx xx 3s inlim 30 ?? ?
x
x
x 5s in
2tanlim
0? 5
2
5
2lim
0 ?? x
x
x ? x
x
x 5sin
2tanlim
0? 5
2
5
2lim
0 ?? ? x
x
x ?
3
1
3
1lim
3lim3
s inlim
202030 ?????? ??? xx
x
xx
x
xxx ? 3
1
3
1lim
3lim3
s i
20203 ????? ?? xx
x
x
x
xx ?
inlim
30 ?xx 3
1lim
33
sinlim
202030 ????? ?? xx
x
xx
x
xx ?
六、小结
1、主要内容, 两个定义 ;四个定理 ;三个推论,
2、几点注意,
无穷小与无穷大是相对于过程而言的,
（ 1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混
淆，零是唯一的无穷小的数；
（ 2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；
（ 3） 无界变量未必是无穷大,
思考题
若 0)( ?xf,且 Axf
x
?
???
)(lim,
问：能否保证有 0?A 的结论？试举例说明,
思考题解答
不能保证,
例 xxf 1)( ?,0??x 有 01)( ?? xxf
???? )(l i m xfx,01l im ????? Axx
一、填空题,
1,凡无穷小量皆以 _ _ _ _ _ _ _ _ 为极限,
.)(
,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _2
的水平渐近线
是函数直线条件下、在
xfy
cy
?
?
.)0l i m(
,)(_______)(l i m3
0
0
?
???
?
?
a
a
xx
xx
AxfAxf
其中
、
._ _ _ _ _ _
,)(,4
是无穷小则
是无穷大若、在同一过程中 xf
.10,,
21,0:
4?
???
yx
x
xyx
能使应满足什么条件问是无穷大
函数时当二、根据定义证明
练 习 题
.,0
,]1,0(1s i n1
这个函数不是无穷大时
但当上无界在区间三、证明函数
??
?
x
xx
y
一,1, 0 ； 2, Cxf
x
x
?
???
??
)(l i m ；
3, ? ； 4,
)(
1
xf
.
二、
210
1
0
4
?
?? x,
练习题答案
作业 P66,1,2,3,5,6..
§ 2 函数极限的性质
§ 3 函数极限存在的条件
§ 4 两个重要极限
§ 5 无穷小量与无穷大量
第三章 函数极限
第三章 函数极限
§ 1 函数极限概念
.s i n 时的变化趋势当观察函数 ??xx x
播放
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
问题, 函数 )( xfy ? 在 ??x 的 过程中,对应
函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,;)()( 任意小表示 AxfAxf ????
.的过程表示 ??? xXx
.0s i n)(,无限接近于无限增大时当 x xxfx ?
通过上面演示实验的观察,
问题, 如何用数学语言刻划函数“无限接近”,
定义 1 如果对于任意给定的正数 ? ( 不论它多么小 ),
总存在着正数 X,使得对于适合不等式 Xx ? 的一切
x,所对应的函数值 )( xf 都满足不等式 ??? Axf )(,
那末常数 A 就叫函数 )( xf 当 ??x 时的极限,记作
)()()(l i m ????
??
xAxfAxf
x
当或
定义"" X??
.)(,,0,0 ????????? AxfXxX 恒有时使当
???? Axfx )(l i m
1、定义：
:.1 0 情形???x
.)(,,0,0 ?? ??????? AxfXxX 恒有时使当
:.2 0 情形???x Axfx ???? )(l i m
.)(,,0,0 ?? ???????? AxfXxX 恒有时使当
Axfx ???? )(l i m
2、另两种情形,
???? Axfx )(l i m:定理,)(l i m)(l i AxfAxf xx ?? ?????? 且
x
xy sin?
3、几何解释,
??
?
X? X
.2,
)(,
的带形区域内宽为为中心线直线
图形完全落在以函数时或当
??
????
Ay
xfyXxXx
A
xxy sin?例 1,0sinlim ??? x xx证明
证 x xx x s i n0s i n ??? x
1?
X
1?,??
,0???,1??X取 时恒有则当 Xx ?
,0s i n ???x x,0sinlim ?
?? x
x
x
故
.
)(,)(lim:
的图形的水平渐近线
是函数则直线如果定义 xfycycxf
x
???
??
二、自变量趋向有限值时函数的极限
问题, 函数 )( xfy ? 在 0xx ? 的 过程中,对应
函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,;)()( 任意小表示 AxfAxf ????
.0 00 的过程表示 xxxx ???? ?
x0x??0x ??0x
??
,0 邻域的去心点 ?x,0 程度接近体现 xx?
定义 2 如果对于任意给定的正数 ? ( 不论它多
么小 ),总存在正数 ?,使得对于适合不等式
????
0
0 xx 的一切 x,对应的函数值 )( xf 都
满足不等式 ??? Axf )(,那末常数
A
就叫函数
)( xf 当 0xx ? 时的极限,记作
)()()(l i m
0
0
xxAxfAxf
xx
???
?
当或
定义"" ???
.)(
,0,0,0 0
???
??????????
Axf
xx
恒有
时使当
1、定义：
2、几何解释,
)( xfy ?
??A
??A
A
??0x ??0x0x
??
x
y
o,2
,
)(,
0
的带形区域内宽为
为中心线线
图形完全落在以直
函数域时
邻的去心在当
?
?
?
?
Ay
xfy
xx
注意,;)(.1 0 是否有定义无关在点函数极限与 xxf
..2 有关与任意给定的正数 ??
.,,越小越好后找到一个显然 ??
例 2 ).(,lim
0
为常数证明 CCCxx ??
证
Axf ?)( CC ??,成立??
,0??任给
0?,l i m
0
CCxx ?? ?
,0??任取,0 0 时当 ???? xx
例 3,l i m 0
0
xxxx ??证明
证,)( 0xxAxf ????,0??任给,???取
,0 0 时当 ?????? xx
0)( xxAxf ???,成立??,lim 0
0
xxxx ?? ?
例 3,211l i m
2
1
???
? x
x
x
证明
证
211)(
2
????? xxAxf?,0??任给
,???只要取
,0 0 时当 ???? xx
函数在点 x=1处没有定义,
1?? x
,)( ??? Axf要使
,211
2
?????xx就有
.211lim
2
1
????
? x
x
x
例 4
.lim 0
0
xxxx ?? ?
证 0)( xxAxf ????
,0??任给
},,m i n { 00 ??? xx取
,0 0 时当 ???? xx
0
0
xx
xx
?
??
,)( ??? Axf要使
,0 ??? xx就有
,0xx??
.00 且不取负值只要 ??? xxx
.lim,0,00
0
xxx xx ?? ?时当证明
3.单侧极限,
例如,
.1)(lim
0,1
0,1
)(
0
2
?
?
?
?
??
??
?
?
xf
xx
xx
xf
x
证明
设
两种情况分别讨论和分 00 ?? xx
,0xx 从左侧无限趋近 ;00 ?? xx记作
,0xx 从右侧无限趋近 ;00 ?? xx记作
y
o x
1
xy ?? 1
12 ?? xy
左极限
.)(
,,0,0 00
???
??????????
Axf
xxx
恒有
时使当
右极限
.)(
,,0,0 00
???
??????????
Axf
xxx
恒有
时使当
}0{}0{
}0{:
00
0
??????????
????
xxxxxx
xxx
?
注意
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
???
??
??
或记作
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
???
??
??
或记作
.)0()0()(lim,00
0
AxfxfAxfxx ???????定理
.lim
0
不存在验证 xx
x ? y
x
1
1?
o x
x
x
x
xx
??
???? 00
limlim
左右极限存在但不相等,.)(lim 0 不存在xfx ??
例 5
证
1)1(lim 0 ???? ??x
x
x
x
x
xx 00
l i ml i m
???
? 11lim
0 ?? ??x
四、小结
函数极限的统一定义;)(lim Anfn ???;)(lim Axfx ??? ;)(l i m Axfx ???? ;)(l i m Axfx ????;)(l i m
0
Axfxx ?? ;)(lim
0
Axfxx ???,)(lim
0
Axfxx ???
.)(
,,,0)(lim
?
?
??
?????
Axf
Axf
恒有
从此时刻以后时刻
(见下表 )
过 程
时 刻
从此时刻以后
??n ??x ???x ???x
N
Nn ? Nx ? Nx ? Nx ??
)(xf ??? Axf )(
0xx ?
?
???? 00 xx
?? 0xx ?? 0xx
???? 00 xx 00 ????? xx
过 程
时 刻
从此时刻以后
)(xf ??? Axf )(
思考题
试问函数
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
0,5
0,10
0,
1
s i n
)(
2
xx
x
x
x
x
xf 在 0?x 处
的左、右极限是否存在？当 0?x 时,)( xf 的
极限是否存在？
思考题解答
??? )(lim 0 xfx,5)5(lim 20 ???? xx 左极限存在,
??? )(lim 0 xfx,01s i nlim 0 ??? xxx 右极限存在,
??? )(l i m0 xfx? )(lim0 xfx ?? )(l i m0 xfx ?? 不存在,
.01.01
_ _ _ _ _ _1
3
1
2 2
2
???
?
?
?
???
yzx
z
x
x
yx
，必有时，只要
取，问当时，、当
.001.0420
___421 2
?????
???
yx
xyx
，必有只要
时，取，问当时，、当
?
?
证明：二、用函数极限的定义
一、填空题,
0
s i n
lim2
2
12
41
lim1
2
2
1
?
?
?
?
???
??
x
x
x
x
x
x
、
、
练 习 题
.
)(,0
极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右
时极限存在的充分当函数三、试证 xxxf ?
0)(
存在
时的极限是否在四、讨论：函数 ?? x
x
x
x?
(1),自变量趋于有限值时函数的极限 ;
作业
3.小结
(2),自变量趋于无穷大时函数的极限 ;
(3),函数极限的几何意义 ;
(4),单侧极限的概念 ;
(5),应用函数极限的定义验证函数极限的方法 ;
P47,1,3,4,5,6,7.
第三章 函数极限
§ 2 函数极限的性质
如果 f(x)?A(x?x0)? 那么 f(x)在 x0的某一去心邻域内
有界 ?
证明 有使得则取设 );(,0,1,)(lim 0
0
??? xUxAxf
xx
o??????
?
.1)(1)( ????? AxfAxf
.);()( 0 内有界在即 ?xUxf o
函数极限的性质
1.局部有界性
如果当 x?x0时 f(x)的极限存 ? 那么这极限是唯一的 ?
证明,xxfBA 时的极限当都是设 0,?
,)(0,0,0 101 ???? ????????? Axfxx 时有当则
,)(0,0 202 ??? ??????? Bxfxx 时有当
故有同时成立时则当取,xx )2(),1(0),,min( 021 ???? ????
.2)()())(())(( ??????????? BxfAxfBxfAxfBA
..即其极限唯一的任意性得由 BA ??
2.唯一性
如果 f(x)?A(x?x0)? 而且 A?0(或 A?0)? 那么对任何正
数 r<A (或 r <-A),在 x0的某一去心邻域内 ? 有 f(x)? r>0 (或
f(x)? -r < 0)?
证明 );(,0,),1,0(,0 0 ??? xUxrArA ????????? 使得则取设
.)( rAxf ??? ?有
.0的情形类似可证对于 ?r
?推论
如果在 x0的某一去心邻域内 f(x)?0(或 f(x)?0)? 而且
f(x)?A(x?x0)? 那么 A?0(或 A?0)?
3.局部保号性
证明
).(lim)(lim
),()();()(),(
00
'
00
xgxf
xgxfxUxgxfxx
xxxx ??
?
??
则
内有极限都存在且在时如果 ?o
,)(lim,)(lim
00
BxgAxf
xxxx
??
??设
)1(),(0,0,0 101 xfAxx ????????? ???? 时有当则
)2(.)(0,0 202 ??? ??????? Bxgxx 时有当
于是有同时成立
与不等式时则当令
，
xgxfxx )2(),1()()(,0},,,min{ 021' ????? ?????
,)()( ?? ????? BxgxfA
.,2 BABA ??? 的任意性知由从而 ??
4.保不等式性
如果函数 f(x),g(x)及 h(x)满足下列条件 ?
(1) g(x)?f(x)?h(x)?
(2)lim g(x)?A? lim h(x)?A?
那么 lim f(x)存在 ? 且 lim f(x)?A?
证明 ),(0,0,0 101 xgAxx,????????? ???? 时有当按假设
.)(0,0 202 ??? ??????? Axhxx 时有当
故有同时成立
时上两不等式与则当令
,
)()()(0},,min{ 021 xhxfxgxx ?????? ????
,)()()( ?? ?????? AxhxfxgA
.)(lim)(
0
Axf，Axf
xx
???
?即由此得
?
5.迫敛性
(2)lim f(x)?g(x)?lim f(x)?lim g(x)?A?B?
?推论 1 如果 lim f(x)存在 ? 而 c为常数 ? 则
lim[c?f(x)]?c?limf(x)?
?推论 2 如果 limf(x)存在 ? 而 n是正整数 ? 则
lim[f(x)]n?[limf(x)]n ?
如果 lim f(x)?A? lim g(x)?B? 那么
6.极限的四则运算法则
( 3 ) BAxg xfxg xf ?? )(lim )(lim)( )(lim ( B ? 0 ) ?
(1)lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?B?
7函数极限与数列极限的关系
如果当 x?x0时 f(x)的极限存在 ? {xn}为 f(x)的定义域内
任一收敛于 x0的数列 ? 且满足 xn ?x0(n?N?)? 那么相应的函
数值数列 {f(xn)}必收敛 ? 且
)(lim)(lim
0
xfxf xxnn ??? ? ?
8.子列收敛性 (函数极限与数列极限的关系 )
? ?
.
)(),(,),(),(,)(
.),(
),,(
21
000
时的子列当
为函数即
则称数列时使得有数列
中或可以是设在过程
ax
xfxfxfxfxf
axnax
xxxaax
nn
nn
?
????
?
??
??定义
.)(lim,
)()(,)(lim
Axf
axxfxfAxf
nn
nax
?
??
??
?
则有时的一个子列
当是数列若
定理
证
.)(
,0,0,0 0
???
???????????
Axf
xx 恒有时使当
Axfxx ?? )(l i m
0
?
.0
,,0,0
0 ????
??????
xx
NnN
n
恒有时使当对上述
,)( ??? Axf n从而有,)(l i m Axf nn ???故
,lim 00 xxxx nnn ???? 且又 ?
例如,x
xy sin?
1sinlim
0
?
? x
x
x
,11s i nlim ?
?? n
n
n
,11s i nlim ?
?? n
n
n
11s i n1lim 2
2
???
?? n
n
n
n
n
函数极限与数列极限的关系
函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极
限都存在,且相等,
xy 1sin?
例 7,1s i nl i m
0
不存在证明 x
x ?
证 ? ?,1 ?????? ?? nx n取
,0lim ??? nn x ;0?nx且
? ?,
2
14
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
x n取
,0lim ???? nn x ;0??nx且
?nx
nnn
s i nl i m1s i nl i m
????
?而
,1?
?2 14s i nlim1s i nlim ???
????
n
x nnn而
1lim??? n
二者不相等,.1s i nl i m 0 不存在故 xx ?
,0?
?求极限举例
?讨论
?提示
例 1 ? 求 )12(lim
1
?
?
x
x
?
例 1
解
若 nnnn axaxaxaxP ???????? ?? 1110 )( ? 则?)(l i m
0
?? xPxx
)()(lim 0
0
xPxPxx ?? ?
>>>
解 ?
)35(lim
)1(lim
35
1lim
2
2
3
2
2
3
2 ??
?
?
??
?
?
?
? xx
x
xx
x
x
x
x
3
7
3102
12
2
3 ??
??
?? ?
例 2 ? 求 35 1lim 2 3 2 ?? ?? xx xx ?
例 2
解 解 ?
)35(lim
)1(lim
35
1lim
2
2
3
2
2
3
2 ??
?
?
??
?
?
?
? xx
x
xx
x
x
x
x
3
7
102
12
2
3 ??
??
?? ?
11121lim21lim2lim)12(lim 1 1 1 1 ????????? ???? xxx xxxx ? 11121lim21lim2lim12(lim 1 1 1 1 ????????? ???? xxx xxxx ? 11121lim21lim2i(li 1 1 1 1 ??????? ??? xx xxx ? 1111lim21lim2lim)12(lim 1 1 1 1 ???????? ???? xx xxxx ?
解
例 3
例 3 ? 求 93lim 2 3 ??? xxx ?
解 ? 31lim)3)(3( 3lim93lim 3 32 3 ???? ???? ??? xxx xxx xxx
6
1
)3(lim
1lim
3
3 ?
??
?
?
x
x
x ?
解 ? 31lim)3)(3( 3lim93lim 3 32 3 ???? ???? ??? xxx xxx xxx 解 ? 31lim))(3( 33lim 3 32 3 ???? ??? ?? xxx xxxx
6
1
)(lim
1lim
3
3 ?
??
?
?
x
x
x ?
解
例 4
例 4 ? 求 45 32lim 2 1 ?? ?? xx xx ?
解 ? 0312 415132 45lim 22 1 ??? ????? ??? x xxx ?
45
32lim
2 1 ??
?
? xx
x
x ? ? ?
根据无穷大与无穷小的关系得
解 ? 0312 415132 45lim 22 1 ??? ????? ??? x xxx ?
因为
有理函数的极限?)( )(l i m
0
?
? xQ
xP
xx
?讨论
?提示
当 Q(x0)?P(x0)?0时 ? 约去分子分母的公因式 (x?x0) ?
当 0)( 0 ?xQ 时 ? )( )()( )(lim
0
0
0 xQ
xP
xQ
xP
xx
?
?
?
当 0)( 0 ?xQ 且 0)( 0 ?xP 时 ? ??
? )(
)(lim
0 xQ
xP
xx
?
先用 x3去除分子及分母 ? 然后取极限 ?
解 先用 x3去除分子及分母 ? 然后取极限 ?
例 5
例 5 ? 求 357 243l im 23 23 ?? ???? xx xxx ?
解,
7
3
357
243
lim
357
243lim
3
3
23
23
?
??
??
?
??
??
????
xx
xx
xx
xx
xx
?
7
3
357
243
lim
357
243lim
3
3
23
23
?
??
??
?
??
?
????
xx
xx
x
xx
xx
?
7
3
37
23
lim
357
243lim
3
3
23
23
?
??
??
??
??
????
xx
x
xx
xx
xx
?
例 6
例 6 ? 求 52 123lim 232 ?? ???? xx xxx ?
0
2
0
512
123
lim
52
123lim
3
32
23
2
??
??
??
?
??
??
????
xx
xxx
xx
xx
xx
? 0
2
0
512
123
lim
52
123lim
3
32
23
2
??
??
??
?
??
?
????
xx
xxx
xx
xx
xx
? 0
2
0
512
123
lim
52
123lim
3
32
23
2
??
??
??
?
?
??
???
xx
xxx
xx
xx
xx
?
?讨论
?提示
例 7 ? 求 123 52lim 2 23 ?? ???? xx xxx ?
例 7
解
解 ? 因为 052 123lim 232 ??? ???? xx xxx ? 所以
???? ???? 123 52lim 2 23 xx xxx ?
所以
有理函数的极限? l i m 1
10
110
??????? ?????? ?
?
?? mmm
nnn
x bxbxb
axaxa
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??????
??????
?
?
??
mn
mn
b
a
mn
bxbxb
axaxa
m
mm
n
nn
x
0
l i m
0
0
1
10
1
10 ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??????
??????
?
?
??
mn
mn
b
a
mn
bxbxb
axaxa
m
mm
n
nn
x
0
lim
0
0
1
10
1
10 ?
解 当 x??时 ? 分子及分母的极限都不存在 ? 故关于
商的极限的运算法则不能应用 ?
例 8
例 8 ? 求 x xx s inlim ?? ?
所以 0s inlim ??? x xx ?
因为 xxx x s i n1s i n ?? ? 是
是无穷小与有界函数的乘积 ?
(1),唯一性 ;
作业
小结
(2),局部有界性 ;
(3),局部保号性 ;
(4),保不等式性 ;
(5),迫敛性 ;
P47,1,2,3,5,6,7,8,9,
(6),四则运算法则 ;
(7),函数极限与数列极限的关系 ;
(8),复合函数的四则运算法则,
第三章 函数极限
§ 3 函数极限存在的条件
一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列
nn
yx,及
n
z 满足下列条件,
,lim,lim)2(
)3,2,1()1(
azay
nzxy
n
n
n
n
nnn
??
???
????
?
那末数列
n
x 的极限存在,且 ax
n
n
?
??
lim,
证,,azay nn ???
使得,0,0,0 21 ????? NN?
,1 ???? ayNn n时恒有当
},,m a x { 21 NNN ?取
恒有时当,Nn ?
,?????? aya n即
,2 ???? azNn n时恒有当
,?????? aza n
上两式同时成立,
,?? ?????? azxya nnn
,成立即 ??? ax n,l i m ax nn ?? ??
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′ 如果当 )(
0
0
xUx
?
? ( 或 Mx ? ) 时,有
,)(lim,)(lim)2(
),()()()1(
)()(
00
AxhAxg
xhxfxg
x
xx
x
xx
??
??
??
?
??
?
那末 )(li m
)(
0
xf
x
xx
??
?
存在,且等于 A,
注意,
.
,
的极限是容易求的与并且
与键是构造出利用夹逼准则求极限关
nn
nn
zy
zy准则 ?和 准则 ?'称为 夹逼准则,
例 1 ).12111(l i m 222 nnnn
n ?
?????
??
?求
解,1111 2222 ???????? n nnnnnn n ??
n
nn
n
nn 1
1
1limlim
2
?
?
? ????
又
,1?
2
2 1
1
1lim
1
lim
n
n
n
nn
?
?
? ????,1? 由夹逼定理得
.1)12111(l i m 222 ???????
?? nnnnn
?
x1x 2x 3x 1?nxnx
2.单调有界准则
满足条件如果数列 nx
,121 ?? ???? ?nn xxxx 单调增加
,121 ?? ???? ?nn xxxx 单调减少
单调数列
准则 Ⅱ 单调有界数列必有极限,
几何解释,
A M
例 2
.)
(333
的极限存在式
重根证明数列 nx n ???? ?
证,1 nn xx ??显然 ? ? ;是单调递增的x?
,331 ??x?又,3?kx假定 kk xx ??? 31 33 ??,3?
? ? ;是有界的nx?,l i m 存在nn x???
,31 nn xx ????,32 1 nn xx ??? ),3(limlim 2 1 nnnn xx ?? ?????
,32 AA ?? 2 131,2 131 ???? AA解得 (舍去 )
.2 131lim ??? ?? nn x
第三章 函数极限
§ 4 两个重要极限
A
C
二、两个重要极限
(1) 1
s i nl i m
0
?
? x
x
x
)20(,,????? xxAO BO 圆心角设单位圆
,t a n,,s i n ACxABxBDx ??? 弧于是有
xo
B
D
.A C O?，得作单位圆的切线
,xOA B 的圆心角为扇形,BDOA B 的高为?
,ta ns i n xxx ???,1s i nco s ?? x xx即
.02 也成立上式对于 ???? x,20 时当 ??? x
xx co s11co s0 ???? 2s in2 2 x? 2)2(2 x?,2
2x
?
,02lim
2
0
?
?
x
x
?,0)c o s1(lim 0 ??? ? xx
,1c o sl i m0 ?? ? xx,11l i m0 ??x?又,1
s i nlim
0 ?? ? x
x
x
注,
这是因为 ? 令 u?a(x)? 则 u?0? 于是
在极限 )( )(s i nl i m x xa a 中 ? 只 要 a ( x ) 是无穷小 ? 就 有
1)( )(s inlim ?x xa a ?
)(
)(s i nl i m
x
x
a
a 1s i nl i m
0
??
? u
u
u
?
?第一个重要极限
1s inlim
0
?
? x
x
x
?
20
c o s1lim
x
x
x
?
?
?
2
2
02
2
0
)
2
(
2
s in
lim
2
12s in2
lim
x
x
x
x
xx ??
?
1s i nl i m
0
?
? x
x
x ? 1)(
)(s i nlim ?
x
x
a
a ( a ( x ) ? 0 ) ?
例 1
例 1 ? 求 x xx ta nlim 0? ?
解 ? x xx ta nlim0? xx xx c o s1s inlim 0 ?? ? 1c o s1lims inlim 00 ??? ?? xx x xx ?
解
解 ? x xx t a nlim 0? xx xx c o s1s inlim 0 ?? ? 1c o s1lims inlim 00 ??? ?? xx x xx ? 解 ? x xx t a nlim 0? xx xx c o s1s inlim 0 ?? 1c o s1lims inlim 00 ??? ?? xx x xx ? 解 ? xxtanlim0 xxx cos1sinlim0 ?? 1cos1limsinlim 00 ??? ?? xxx xx ?
解
例 2
例 2 ? 求 20 c o s1lim x xx ?? ?
2
1
1
2
1
2
2
s in
lim
2
1
2
2
0
?????
?
?
??
?
?
?
? x
x
x
?
2
1
1
2
1
2
2
s in
lim
2
1
2
2
0
?????
?
?
??
?
?
?
? x
x
x
?
20
c o s1lim
x
x
x
?
?
?
2
2
02
2
0
)
2
(
2
s in
lim
2
12s in2
lim
x
x
x
x
xx ?
?
20
c o s1lim
x
x
x
?
?
?
2
2
2
2
0
)
2
(
2
s in
lim
2
12s in2
lim
x
x
x
x
xx ??
?
例 3
x
x
x
5s inlim
0?求
x
x
x
5s i nlim
0?解,x
x
x 5
5s i n5lim
0?? x
x
x 5
5s i nlim5
0??
0,0,5 ??? txtx 有时当令
5s i nlim5,0 ?? ? t tt原式所以
注：在上例中，应用公式（ 14—1）时，我们使用了代
换,在运算熟练后可不必代换，直接计算：xt 5?
x
x
x
5sinlim
0? 55
5s i nl i m5
0 ?? ? x
x
x
例 4, 求极限,
x
x
x
x
xx
t anl i m2
2s i n
3s i nl i m1
00 ??,、
x
x
x 2s i n
3s i nl i m1
0?、解：
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2s in
3
3
3s in
li m
0
?
?
?
?
x
x
x
x
x
x
2
2s i n
lim2
3
3s i n
lim3
0
0
?
?
?
?
?
2
3
12
13 ?
?
??
x
x
x
x
x
xx
c o s
s i n
l imt a nl im2
00 ??
?,xx x
x co s
s inlim
0??
xx
x
xx c o s
1l i ms i nl i m
00 ?? ??
111 ???
例 5,求极限,
xxx
3sinlim
??
xxx
3s i nl i m:
??解
x
x
x 3
3
s i n
l i m3
??
?
)
3
3
3
s in
(lim
x
x
xx
x
???
??
3
13
?
??
练习 1.求下列极限,
x
x
x
x
A
x
x
3
5s i n
l i m2
3s i n
l i m1][
0
0
?
?
、
、
33 3s in3li m3s inli m1
00
??
?? x
x
x
x
xx
、
3
5)
3
5)(
5
5s in(lim
3
5s inlim2
00
??
?? x
x
x
x
xx
、
二,关于极限 x
x x )
11(lim ?
??
设有函数
,时???x，根据下表观察
x
xxf ??
??
?
? ?? 11)(
的变化趋势。)(xf
???
? ? xxxf ?????? ?? 11
x
2.718152.716922.704812.59374
10000100010010
…,.2.718282.71827
…1000000100000
???
? ? xxxf ?????? ?? 11
x
2.718152.716922.704812.59374
-10000-1000-100-10
…,.2.718282.71827
…-1000000-100000
???x 时,x
x )
11( ? 均趋于一个确定的数 2.71828…
用 e表示该数,e是无理数。
e=2.718281828…
)214()11(l im ????? ex xx得到公式
注意：
2.底数中的无穷小量（可以是字母 或是
代数式）和指数互为倒数。
tx或
1.公式中底数的极限是 1，指数的极限是无穷大,
函数极限为 型"1" ?
ex xx ???
1
0 )1(lim.3 公式的等价形式为
ex x
x
??
??
)11(l i m
定义 en
n
n
??
??
)11(lim
n
n nx )
11( ??设
???????? 21!2 )1(1!11 nnnnn
).11()21)(11(!1)11(!2111 nnnnnn ?????????? ??
nnn
nnnn 1
!
)1()1( ????? ?
?第二个重要极限
).
1
1()
2
2
1)(
1
1
1(
)!1(
1
)
1
1
1()
2
2
1)(
1
1
1(
!
1
)
1
1
1(
!2
1
11
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
????
?
n
n
nnn
n
n
nnn
n
x
n
?
?
?
,1 nn xx ??显然 ? ? ;是单调递增的n?
!
1
!2
111
nx n ????? ? 12
1
2
111
?????? n?
12
13
??? n,3? ? ? ;是有界的nx?
.l i m 存在nn x??? en
n
n ???? )
11(l i m记为 )71828.2( ??e
类似地,
,1 时当 ?x,1][][ ??? xxx有
,)][ 11()11()1][ 11( 1][][ ??????? xxx xxx
)][ 11(lim)][ 11(lim)][ 11(lim ][1][ xxx
x
x
x
x
x
?????
??????
?
???
而,e?
11][
][
)
1][
1
1(l i m)
1][
1
1(l i m
)
1][
1
1(l i m
?
???
?
???
???
?
??
?
??
?
?
xx
x
x
x
x
x
x
,e?
.)11(l i m ex xx ??? ???
,xt ??令
t
t
x
x tx
?
?????? ???? )
11(l i m)11(l i m t
t t )1
11(l i m
??? ???
)111()111(lim 1 ????? ???? tt tt,e?
ex x
x
???
??
)11(lim
,1xt ?令
t
t
x
x t
x )11(lim)1(lim
1
0
???
???,e?
ex x
x
??
?
1
0
)1(lim
例 6,求极限
x
x x
)31(l im)1( ?
??
xx
x
1
)31(l i m)2(
0
?
?
x
x x
)31(lim)1( ?
??
33 ])31[(lim
x
x x
??
??
3e?
xx
x
1
)31(l i m)2(
0
?
?
)3(31
)]3(1[lim
0
???
???
?
xx
x
3})]3(1{[lim 3
1
?
??
???? xx
x
3?? e
解：
例 7
34)
2
11(li m ?
??
? x
x x
求
34)
2
11(l i m ?
??
? x
x x
34 )
2
11()
2
11(lim
xx
x
x
???
??
322 )
2
11(l i m])
2
11[(l i m
xx x
x
x
???
????
2
2 1
e
e
?
??
解：
例 8
x
x x
x 2)
1
2(l i m
?
?
??
求
2e?
x
x x
x 2)
1
2(lim
?
?
??
x
x x
2)
1
11(lim
??? ??
2)1(2)
1
11(li m ??
?? ?
?? x
x x
解：
2)1(2 )
1
11()
1
11(lim ??
?? ?
????? xx x
x
221 )
1
11(l im])
1
11[(l im ?
??
?
?? ?
????? xx
x
x
x
例 9,)11(l i m x
x x
?
??
求
解 xx
x
???
?
?
?
)11(
1lim
1])11[(l i m ??
?? ???
x
x x原式
.1e?
例 10,)23(l i m 2 x
x x
x
?
?
??
求
解 422 )211(])211[(lim ??
?? ????? xx
x
x原式,
2e?
练习 2.求下列极限,
x
x
x
x
x
xA
)
2
1(l i m2
)31(l i m1][
1
0
?
?
??
?
、
、
333
1
0
1
0
])31[(lim)31(lim exx x
x
x
x
????
??
222 })]21{ [ (lim)21(lim ??
?
????
???? exx
x
x
x
x
练习
2
2
0
0
0
1
s i nlim4][
2t a n
lim3
3s i n
7s i n
lim2][
2
1
s i n
lim1][
x
xC
x
x
x
x
B
x
x
A
x
x
x
x
??
?
?
?
、
、
、
、
3
7)
3
7)(
3s in
3)(
7
7s in(lim
3s in
7s inlim.2
00
??
?? x
x
x
x
x
x
xx
2)
2c o s
2)(
2
2s in(lim2t a nlim.3
00
??
?? xx
x
x
x
xx
1
1
1
s i n
lim
1
s i nlim.4
2
2
2
2
??
????
x
x
x
x
xx
2
1
)
2
1
2
1
2
1
s i n
(lim2
1
s i n
lim.1
00
???
??
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
C
x
B
xA
?
??
?
??
?
?
?
?
)
2
12
(l i m.7][
)
3
1
1(l i m.6][
)c o s1(l i m.5][
14
c o s
1
2
?
2
1
2
1
2 ])
2
1
1[(lim
)
2
12
(lim.7
??
??
?
??
???
?
e
x
x
x
x
x
x
x
13
4
314 )
3
1
1(])
3
1
1[(lim)
3
1
1(lim.6
xxx
x
x
x
x
????
??
?
??
3
4
3
4
1 ee ???
ex x
x
??
?
c o s
1
2
)c o s1(l i m.5
?
小结：
1s i nlim.1 0 ?? x xx对公式
0
0
（ 1）分子、分母含有三角函数且在自变量指定的变化趋
势下是,” 型。
（ 2）公式中的,”可以是趋向于零的代数式。x
（ 3）注意三角函数有关公式的应用。
ex xx ???? )11(l i m.2 对公式
（ 1）函数在自变量指定的变化趋势下是,” 型。?1
（ 2）应用公式解题时，注意将底数写成 1与一个无穷小量
的代数和的形式，该无穷小量与指数互为倒数。
（ 3）注意求极限过程中运用指数的运算法则。
作业,
P58,1 (1)~(10),2 (1)~(6),3,4 (1)~ (2),
三、小结
1.两个准则
2.两个重要极限
夹逼准则 ; 单调有界准则,;1s i nl i m1 0 ?a a
某过程,)1(l i m2
1
0 e?a? a
某过程
,为某过程中的无穷小设 a
思考题
求极限 ? ? xxx
x
1
93lim ?
???
思考题解答
? ? xxx
x
1
93lim ?
???
? ? xxxx
x
1
1
1
3
19l i m
?
?
??
?
? ??
???
x
xx
xx ?
??? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??? 3
1
3
3
1
1lim9
99 0 ??? e
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _3c o tl i m4 0 ??? xxx、
一、填空题,
._ _ _ _ _ _ _ _ _s i nl i m1 0 ?? x xx ?、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _3s i n 2s i nl i m2 0 ?? xxx、
.__________2s i nl i m5 ??? x xx、
._ _ _ _ _ _ _ _ _)1(l i m6
1
0 ???
x
x x、
练 习 题
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _co tli m3 0 ?? x xx,arc
x
x
x 2t a n
4
)( t a nlim2 ?
?
、
._________)1(l i m7 2 ???? xx x x、
._________)11(l i m8 ???? xx x、
xx
x
x s in
2c o s1lim1
0
?
?、
x
x ax
ax )(lim3
?
?
??、
二、求下列各极限,
n
n n
n )
1
1(lim4 2
?
?
??、
5, n
nn
n
1
)321(l i m ??
??
三,利用极限存在准则证明数列
,.,,,,,222,22,2 ??? 的极限存在，并求
出该极限,
一,1, ? ； 2,
3
2； 3, 1 ； 4,
3
1；
5, 0 ； 6, e ； 7,
2
e ； 8,
e
1；
二,1, 2 ； 2,
e
1； 3,
a
e
2； 4,
1?
e ；
5, 3.
三,2l i m ?
??
n
x
x,
练习题答案
第三章 函数极限
§ 5 无穷小量与无穷大量
则称 f (x)是该极限过程中
的一个无穷小量 (省去 x?xo,x??的极
限符号,lim” 表示任一极限过程 ).
定义 1.若 lim f (x)=0,
一、无穷小
一、无穷小
1、定义,
定义 1 如果对于任意给定的正数 ? ( 不论它多么小 ),
总存在正数 ? ( 或正数 X ),使得对于适合不等式
????
0
0 xx ( 或 ?x X ) 的一切 x,对应的函数值
)( xf 都满足不等式 ??)( xf,
那末 称函数 )( xf 当
0
xx ? ( 或 ??x ) 时为无穷小,
记作 ).0)(l i m(0)(l i m
0
??
???
xfxf
xxx
或
极限为零的变量称为 无穷小,
例如,
,0s i nl i m0 ?? xx?,0s i n 时的无穷小是当函数 ?? xx
,01lim ?
?? xx
?,1 时的无穷小是当函数 ??? x
x
,0)1(lim ??
?? n
n
n
?,})1({ 时的无穷小是当数列 ???? n
n
n
注意 （ 1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆 ;
注 2,无穷小量与极限过程分不开,不能脱离极
限过程谈无穷小量,
2.1s inli m
2
?
?
??
?
xx
x
因此，它不是
.时的无穷小量
小量,但
如 sinx是 x?0时的无穷
注 3,由于 limC = C(常数 ),
注 4,0是任何极限过程的无穷小量,
所以,除 0外的
任何常数不是无穷小量,
2、无穷小与函数极限的关系,
证 必要性,)(lim
0
Axfxx ??设,)()( Axfx ??a令
,0)(l i m
0
?a? xxx则有 ).()( xAxf a???
充分性 ),()( xAxf a??设
,)( 0 时的无穷小是当其中 xxx ?a
))((l i m)(l i m
00
xAxf xxxx a?? ??则 )(l i m
0
xA xx a?? ?.A?
定理 1 ),()()(lim
0
xAxfAxf
xx
a????
?
其中 )( xa 是当 0xx ? 时的无穷小,
意义 （ 1）将一般极限问题转化为特殊极限问题
(无穷小 );
).(,)(
)(2 0
xAxf
xxf
a误差为式
附近的近似表达在）给出了函数（
?
3、无穷小的运算性质,
定理 2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是
无穷小,
证,时的两个无穷小是当及设 ???a x
使得,0,0,0 21 ?????? NN;21 ??a? 时恒有当 Nx ;22 ???? 时恒有当 Nx
},,m a x { 21 NNN ?取 恒有时当,Nx ?
??a???a 22 ????,??
)(0 ?????a? x
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小,
是无穷小，时例如 nn 1,,??
.11 不是无穷小之和为个但 nn
定理 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小,
证 内有界，在设函数 ),( 100 ?xUu
.
0,0,0 101
Mu
xxM
?
????????
恒有
时使得当则
,0 时的无穷小是当又设 xx ?a
.
0,0,0 202
M
xx
?
?a
???????????
恒有
时使得当
推论 1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘
积是无穷小,
推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小,
推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小,
},,m i n { 21 ????取 恒有时则当,0 0 ???? xx
a??a? uu MM ???,??
.,0 为无穷小时当 a??? uxx
xxxxx
1a rc ta n,1s i n,0,2时当例如 ?都是无穷小
二、无穷大
定义 2 设 函数 )( xf 在
0
x 某 一 去 心 邻域 内 有 定 义 （ 或 x 大
于 某 一 正数 时 有 定义 ）, 如果对于任意给定的正数 M ( 不
论它多么大 ),总存在正数 ? ( 或正数 X ),使得对于适合不
等式 ????
0
0 xx ( 或 ?x X ) 的一切 x,对应的函数值
)( xf 总 满足不等式 Mxf ?)(,
则称函数 )( xf 当
0
xx ? ( 或 ??x ) 时为无穷大,记作
).)(lim()(lim
0
????
???
xfxf
xxx
或
绝对值无限增大的变量称为 无穷大,
二、无穷大量
定义 2,若 ?? >0(无论多么大 ),
??
??
?
)(lim
)( 0
xf
x
xx
记作：
?? >0(或 ?X>0),
当 0<|x–xo|<?(或 |x|>X)时，有 |f (x)|>M,
则称 f (x)是 x? x0(或 x? ?)时的无穷大量,
若以,f (x)>M,代替定义中的, |f
(x)|>M,,就得到正无穷大量的定义,
???
??
?
)(lim
)( 0
xf
x
xx
???
??
?
)(lim
)( 0
xf
x
xx
若以, f (x)< – M,
代替定义中的, |f (x)|>M,,就得到负无穷大量
的定义, 分别记作：
?? >0,?? >0(或 ?X>0),当 0<|x–xo|<? (或 |x|>X)时，
有 |f (x)|>M,.)(lim
)( 0
??
???
xf
x xx
则记
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
))(l i m()(l i m
)()( 00
??????
??
?
??
?
xfxf
x
xx
x
xx
或
注意 （ 1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆 ;
（ 3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无
界变量未必是无穷大,
.)(lim2
0
认为极限存在）切勿将（ ??? xfxx
xxy 1sin1?
.,
1
s i n
1
,0,
但不是无穷大是一个无界变量
时当例如
xx
yx ??
),3,2,1,0(
22
1)1( ??
???? kkx k取
,22)( ???? kxy k,)(,Mxyk k ?充分大时当
),3,2,1,0(2 1)2( ??????? kkx k取
,,??? ?kxk 充分大时当
?????? kkxy k 2s i n2)(但,0 M?? 不是无穷大．
无界，
.11l i m
1
???
? xx
证明例
证,0?? M,11 Mx ??要使
,11 Mx ??只要,1M??取
,110 时当 Mx ?????,11 Mx ??就有,11lim 1 ???? ? xx
.
)(,)(l i m,0
0
的图形的铅直渐近线
是函数则直线如果定义 xfyxxxf
xx
????
?
1
1
?? xy
例 2,试从函数图形判断下列极限,
,tgl i m,tgl i m,tgl i m )1(
222
xxx
xxx
??
??? ??
?
,lim,lim )2( xxxx ee ??????
,lnlim,lnlim )3( 0 xx xx ?????
解, (1)
2
?? ?23
2
? ? x
y
0
x
y
y = tgx
x
y
从图上可看出
.tgl i m,tgl i m,tgl i m
222
???????? ??
???
xxx
xxx ??
?
,lim ????? xx e从图上看出
(2)
x
o
y
xx
y
y
l i m?,l i m( ?? ?????? xxxx aa一般
).1,10 讨论分 ??? aa
xey ?
,0li m ???? xx e
x?+?x?–?
,lnli m )3( ?????? xx
).1,10 讨论分 ??? aa
l o gl i m?,l o gl i m( 0 ?? ????? xx axax一般
.lnlim 0 ????? xx
注 1,若在定义 2中，将,f (x)” 换成,xn”,
注 2,若 lim f (x)=?,
将,X” 换成,N”,将,x??” 换成
就得到数列 xn为无穷大量定义,,n??”,
则表示在该极限过程
中 f (x)的极限不存在,
?? >0,?X>0,当 |x|>X 时,有 |f (x)|>M,
.)(li m ???? xfx则记
注 3,不能脱离极限过程谈无穷大量,
注 4,无穷大量一定是无界量,
任何常量都不是无穷大量,
但无界量不一定是无穷大量,
),()c o s)((si n)( ?????? 在或 xxxfxxxf例3,
.s i nl i m,s i nl i m 不存在内是无界函数，但 xxxx xx ?????? ??
只须内无界函数是要说明,),(s i n ????? xxy解：
说明 ??>0,?x0?(–?,+?),使得 |x0sinx0|>M即可,
为自然数，现在取 kkx,220 ?? ??
，充分大时当则 )(22|s in| 00 kMkxx ??? ??
.s i n 是无界函数故 xxy ?
,,,2 Xxkkx kk ?? 充分大时当又取 ?
|)(| kxf但,0 M不大于?
.s inlim ????? xxx故
,))1(1( nnnx ???例4,
.))1(1(l i m ?????? nnn但
.2 0 2 0 2 0 642 是无界数列，，，，，,?
三、无穷小与无穷大的关系
定理 4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小 ;
恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,
证,)(lim
0
??? xfxx设
,
1
)(
0,0,0 0
?
?
???????????
xf
xx
恒有
时使得当
.)(1 ??xf即
.)(1,0 为无穷小时当 xfxx ??
.0)(,0)(lim,
0
??? xfxfxx 且设反之
,
1
)(
0,0,0 0
M
xf
xxM
?
??????????
恒有
时使得当
.)(1 Mxf ?从而
.)(1,0 为无穷大时当 xfxx ??
,0)( ?xf由于
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小
的讨论,
证明
设 a及 ?是当 x?x0时的两个无穷小 ? 则 ???0?
??1?0? 当 0?|x?x0|??1 时 ? 有 |a|?? ?
??2?0? 当 0?|x?x0|??2 时 ? 有 |?|???
取 ??min{?1? ?2}? 则当 0?|x?x0|??时 ? 有
这说明 a?? 也是当 x?x0时的无穷小 ?
|a??|?|a|?|?|?2? ?
?定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小 ?
仅就两个 x?x0时的无穷小情形证明 ?
举例, 当 x?0时 ? x与 sin x都是无穷小 ? 所以 x?sin x也是当
x?0时的无穷小 ?
四、无穷小的性质
设函数 u在 x0的某一去心邻域 {x|0?|x?x0|??1}内
有界 ?即 ?M?0? 使当 0?|x?x0|??1时 ? 有 |u|?M?
又设 a是当 x?x0时的无穷小 ? 即 ???0? 存在 ?2?0? 使当
0?|x?x0|??2时 ? 有 |a|?? ?
取 ??min{?1? ?2}? 则当 0?|x?x0|?? 时 ? 有
|u?a|?|u|?|a|?M? ?
这说明 u?a 也是当 x?x0时的无穷小 ?
证明
?定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 ?
?定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小 ?
四、无穷小的性质
举例,
当 x ? ? 时 ? x1 是无穷小 ? a r c ta n x 是有界函数 ?
所以 x1 a r c ta n x 也是无穷小 ?
?推论 2 有限个无穷小的乘积也是无穷小 ?
?定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 ?
?定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小 ?
?推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小 ?
四、无穷小的性质
五、无穷小的比较
观察两个无穷小比值的极限
?观察与比较
03lim 20 ?? xxx ? ??? 20 3l i m x xx ? 1s i nl i m 0 ?? x xx ?
两个无穷小比值的极限的各种不同情况 ? 反映了不
同的无穷小趋于零的, 快慢, 程度 ?
在 x?0的过程中 ? x2比 3x趋于零的速度 快些 ? 反过来
3x比 x2趋于零的速度 慢些 ? 而 sin x与 x趋于零的速度 相仿 ?
?无穷小的阶
设 a 及 ? 为 同一个自变量的变化过程中的无穷小 ?
如果 0l i m ?a? ? 就说 ? 是比 a 高阶的无穷小 ? 记为 ? ? o ( a ) ?
如果 ??a?l i m ? 就说 ? 是比 a 低阶的无穷小 ?
如果 0l i m ?? ca? ? 就说 ? 与 a 是同阶无穷小 ?
如果 0lim ?? cka? ? k >0 ? 就说 ? 是关于 a 的 k 阶无穷小 ?
如果 1lim ?a? ? 就说 ? 与 a 是等价无穷小 ? 记为 a ~ ? ?
?阶的比较举例
所以当 x?0时 ? 3x2是比 x高阶的无穷小 ? 即 3x2?o(x)(x?0)?
所以当 x?3时 ? x2?9与 x?3是同阶无穷小 ?
所以当 n ? ? 时 ? n1 是比 21n 低阶的无穷小 ?
因为 ??
??
2
1
1
lim
n
n
n
? 例 2
例 3 ? 因为 639lim 23 ???? xxx ? 例 3
例 1 ? 因为 03lim 20 ?? xxx ?
例 1
所以当 x?0时 ? 1?cos x 是关于 x 的二阶无穷小 ?
所以当 x?0时 ? sin x 与 x是等价无穷小 ? 即 sin x~x(x?0)?
例 4 ? 因为 21c os1l i m 20 ??? x xx ?
例 4
例 5 ? 因为 1s inlim 0 ?? x xx ?
例 5
?阶的比较举例
?定理 1
?与 a是等价无穷小的充分必要条件为
? ?a?o(a)?
?关于等价无穷小的定理
必要性,证明
01lim)1lim (lim ?????? a?a?a a? ?
所以 ? –a?o(a)?
因为设 a~?? 只需证 ? –a?o(a)?
01lim)1lim ( ?????? a?a?a a? ? 01lim)1lim (lim ????? a?a a? ?
充分性, 设 ??a?o(a)? 则
1])(1lim[)(limlim ????? aaaaaa? oo ? 1])(1lim [)(limlim ????? aaaaa? oo ? 1])(1lim [)(limlim ???? aaaaa? oo ? 1])(lim[)(limlim ????? aaaaa? oo ?
因此 a~??
所以当 x?0时 ? 有
sin x?x?o(x)?
tan x?x?o(x)?
1 ? c o s x ? )(21 22 xox ? ?
例 6 ? 因为当 x ? 0 时 s i n x ~ x ? ta n x ~ x ? 1 ? c o s x ~ 221 x ?
例 6
?定理 1
?与 a是等价无穷小的充分必要条件为
? ?a?o(a)?
?关于等价无穷小的定理
?定理 1
?与 a是等价无穷小的充分必要条件为
? ?a?o(a)?
?关于等价无穷小的定理
设 a ~ a ?? ? ~ ? ?? 且 a? ??lim 存在 ? 则 a?a? ??? limlim ?
?定理 2
a
a
a
?
?
?
a
? ??
?
??
??limlim
a
?
a
a
a
?
?
?
?
????
?
??
?? limlimlimlim ?
证明
a
a
a
?
?
?
a
? ??
?
??
?? limlim
a
?
a
a
a
?
?
?
?
????
?
??
?? limlimlimlim ?
求两个无穷小比值的极限时 ? 分子及分母都可用等
价无穷小来代替 ? 因此 ? 如果用来代替的无穷小选取得
适当 ? 则可使计算简化 ?
定理 2的意义,
?定理 1
?与 a是等价无穷小的充分必要条件为
? ?a?o(a)?
?关于等价无穷小的定理
设 a ~ a ?? ? ~ ? ?? 且 a? ??lim 存在 ? 则 a?a? ??? limlim ?
?定理 2
解 当 x?0时 ? tan 2x~2x? sin 5x~5x? 所以
解 当 x?0时 sin x~x? 无穷小 x3?3x与它本身显然是等
价的 ? 所以
若 a ~ a ?? ? ~ ? ?? 且 a? ??lim 存在 ? 则 a?a? ??? limlim ?
例 7
例 ? ? 求 xxx 5s in 2t a nlim 0? ?
x
x
x 5s in
2ta nlim
0? 5
2
5
2lim
0 ?? ? x
x
x ?
例 8
例 ? ? 求 xx xx 3s inlim 30 ?? ?
x
x
x 5s in
2tanlim
0? 5
2
5
2lim
0 ?? x
x
x ? x
x
x 5sin
2tanlim
0? 5
2
5
2lim
0 ?? ? x
x
x ?
3
1
3
1lim
3lim3
s inlim
202030 ?????? ??? xx
x
xx
x
xxx ? 3
1
3
1lim
3lim3
s i
20203 ????? ?? xx
x
x
x
xx ?
inlim
30 ?xx 3
1lim
33
sinlim
202030 ????? ?? xx
x
xx
x
xx ?
六、小结
1、主要内容, 两个定义 ;四个定理 ;三个推论,
2、几点注意,
无穷小与无穷大是相对于过程而言的,
（ 1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混
淆，零是唯一的无穷小的数；
（ 2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；
（ 3） 无界变量未必是无穷大,
思考题
若 0)( ?xf,且 Axf
x
?
???
)(lim,
问：能否保证有 0?A 的结论？试举例说明,
思考题解答
不能保证,
例 xxf 1)( ?,0??x 有 01)( ?? xxf
???? )(l i m xfx,01l im ????? Axx
一、填空题,
1,凡无穷小量皆以 _ _ _ _ _ _ _ _ 为极限,
.)(
,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _2
的水平渐近线
是函数直线条件下、在
xfy
cy
?
?
.)0l i m(
,)(_______)(l i m3
0
0
?
???
?
?
a
a
xx
xx
AxfAxf
其中
、
._ _ _ _ _ _
,)(,4
是无穷小则
是无穷大若、在同一过程中 xf
.10,,
21,0:
4?
???
yx
x
xyx
能使应满足什么条件问是无穷大
函数时当二、根据定义证明
练 习 题
.,0
,]1,0(1s i n1
这个函数不是无穷大时
但当上无界在区间三、证明函数
??
?
x
xx
y
一,1, 0 ； 2, Cxf
x
x
?
???
??
)(l i m ；
3, ? ； 4,
)(
1
xf
.
二、
210
1
0
4
?
?? x,
练习题答案
作业 P66,1,2,3,5,6..
