第二十章 曲线积分
§ 1 第一型曲线积分
§ 2 第二型曲线积分
第二十章 曲线积分
§ 1 第一型曲线积分
一、问题的提出
实例,曲线形构件的质量
o x
y
A
B
1?nM
iM
1?iM
2M
1M
),( ii ?? L
.sM ?? ?匀质之质量
分割,,,,121 in sMMM ????
,),( iii s????取,),( iiii sM ???? ???
求和,),(
1
?
?
???
n
i
iii sM ???
取极限,),(l i m
10
?
??
???
n
i
iii sM ????
近似值
精确值
二、对弧长的曲线积分的概念
,),(
,),(
,
),(,.
,,,.
),(,
1
121
?
?
?
????
????
???
n
i
iii
iii
iii
n
sf
sf
i
si
nLMMMLL
yxfxoyL
并作和
作乘积
点个小段上任意取定的一
为第又个小段的长度为设第个小段
分成把上的点用上有界在
函数面内一条光滑曲线弧为设
?
1.定义
o x
y
A
B
1?nM
iM
1?iM2M1M
),( ii ?? L
.),(lim),(
,),(,
),(,
,0
1
0
??
?
?
??
?????
??
n
i
iii
L
L
sfdsyxf
dsyxf
L
yxf
即记作线积分
第一类曲上对弧长的曲线积分或在曲线弧
则称此极限为函数这和的极限存在
时长度的最大值如果当各小弧段的
被积函数
积分弧段
积分和式
曲线形构件的质量,),(?? L dsyxM ?
2.存在条件：
.),(
,),(
存在对弧长的曲线积分
上连续时在光滑曲线弧当
? L dsyxf
Lyxf
3.推广
曲线积分为
上对弧长的在空间曲线弧函数 ?),,( zyxf
.),,(lim),,(
10
i
n
i
iii sfdszyxf ??? ??
???
???
?
注意：
)(,)(.1 21 LLLL ??? 是分段光滑的或若
.),(),(),(
2121 ???
??? LLLL dsyxfdsyxfdsyxf
.),(
),(.2
? L dsyxf
Lyxf
曲线积分记为
上对弧长的在闭曲线函数
4.性质
.),(),()],(),([)1( ??? ??? LLL dsyxgdsyxfdsyxgyxf
).(),(),()2( 为常数kdsyxfkdsyxkf LL ?? ?
.),(),(),()3(
21 ???
?? LLL dsyxfdsyxfdsyxf
).( 21 LLL ??
三、对弧长曲线积分的计算
定理
且上有一阶连续导数在其中
参数方程为
的上有定义且连续在曲线弧设
,],[ )( ),(
)(
),(
),(
,),(
????
??
?
?
tt
t
ty
tx
LLyxf
??
?
?
?
?
?
dtttttfdsyxfL ?? ???? ?? ???? )()()]( ),([),( 22
)( ?? ?证略。
??
?
?
?
).(
),(,
ty
txL
?
?
这里,,?? ?? t
,)()( 22 dtttds ?? ????
曲线积分 定积分
(1) L,y=y(x),a≤x≤b
假设 y(x)?C1([a,b]),有
xxyxyxfsyxf baL d)('1))(,(d),( 2??? ??
( a < b )
xxys d)('1d 2??
计算：
(2) L,x=x(y),c≤y≤d
假设 x(y)?C1([c,d]),有
yyxyyxfsyxf dcL d)('1)),((d),( 2??? ??
( c < d )
yyxs d)('1d 2??
例 1.计算
.dsyL?
其中 L 为 y2=2x自点 (0,0)到点 (2,2)
的一段弧,
xxxsy
L
d2 112d 2
0
???? ??
解 1,0≤x≤2,2, xyL ?
x
x
ys d
d
d1d 2
?
?
??
?
??? x
x d2
11 ??
y2=2x
0 2
2
y
x
xx d1220?? ＋ )155(31 ??
(2) L,x=x(y),c≤y≤d
假设 x(y)?C1([c,d]),有
yyxyyxfsyxf dcL d)('1)),((d),( 2??? ??
( c < d )
yyxs d)('1d 2??
(3) L,x=?(t),y=?(t),?≤t≤?
ttts d)(')('d 22 ?? ??
tttttfsyxfL d)(')('))(),((d),( 22 ?????? ?? ??
(? < ?)
注意,;.1 ?? 一定要小于上限定积分的下限
.,,),(.2 而是相互有关的不彼此独立中 yxyxf
.)(:)2( dycyxL ??? ?
.)(1]),([),( 2 dyyyyfdsyxf dcL ?? ??? ??)( dc ?
., ),(,dycyy yxL ????? ?? ?, )(1 2 dyyds ? ???
特殊情形
.)(:)1( bxaxyL ??? ?
,).(,,bxaxy xxL ????? ?? ?, )(1 2 dxxds ? ???
.)(1)](,[),( 2 dxxxxfdsyxf baL ?? ??? ??)( ba ?
??
?
?
?
).(
),(,
ty
txL
?
?
1,曲线,?? ?? t
对弧长曲线积分的计算公式
dtttttfdsyxfL ?? ???? ?? ???? )()()]( ),([),( 22
则
2,曲线,)(,bxaxyL ??? ?
.)(1)](,[),( 2 dxxxxfdsyxf baL ?? ??? ??
.)(,dycyxL ??? ?3,曲线
.)(1]),([),( 2 dyyyyfdsyxf dcL ?? ??? ??
则
则
推广, )().(),(),(,????? ?????? ttztytx
)(
)()()()](),(),([
),,(
222
??
??????
?
?
?
?????? ?
??
dtttttttf
dszyxf
例 1.计算
.dsyL?
其中 L 为 y2=2x自点 (0,0)到点 (2,2)
的一段弧,
xxxsy
L
d2 112d 2
0
???? ??
解 1,0≤x≤2,2, xyL ?
x
x
ys d
d
d1d 2
?
?
??
?
??? x
x d2
11 ??
y2=2x
0 2
2
y
x
xx d1220?? ＋ )155(31 ??
解 2,0≤y≤2
,2,
2y
xL ?
yyysyL d1d 20 2?? ???
y
y
xs d
d
d1d
2
???
?
???
??? yy d1 2??
)155(31 ??
0 2
2
y
x
2
2yx?
例 2.计算 ?
?L syx d)(
L,连接 O(0,0),A(1,0),B(0,2)的闭折线 OABO.
解, L分段光滑
???? ??? BOABOAL
ds=dx
2
1d)0(d)( 1
0
???? ?? xxsyx
OA
OA,y=0,0≤x≤1
O
2
A
B
y
x
1
?? ???? 10 d5))22((d)( xxxsyxAB
AB,y=2?2x,0≤x≤1
xys d'1d 2?? xd5?
523?
?? ?? 20 dd)( yysyxBO
BO,x=0,0≤y≤2
ds=dy
=2
252321d)( ????? ?
L
syx
)535(21 ??
O
2
A
B
y
x
1
例 3.计算 ?
?L syx d)( 22
其中 L,x2+y2=a2.
L,x=acos t,y=asin t,0≤t≤2?
? ?L syx d)( 22
ttatatata d)c o s()s i n()s i nc o s( 222220 22 ???? ? ?
taa d20 2? ?? ? 32 a??
(4) 空间 R3中的曲线 ?,x=?(t),y=?(t),z=?(t),
?≤t≤?
szyxf d),,( ??
?
x
y
z
O
tttttttf d)()()()](),(),([ 222 ???????? ?????? ?
(? < ?)
例 4.计算
.d)( 23?? ? szyx
其中 ?：从点 A(3,2,1)到点 O(0,0,0)的直线段,
解, 直线段 AO 方程：
123
zyx ??
化成参数方程,x=3t,y=2t,z=t,0≤t≤1.
ttttszyx d123))2()3((d)( 222210 323 ?????? ???
tt d1431 10 3?? 14431?
例 5
.)1,1()0,0(,:
,
2 一段到从其中
求
xyL
dsyI
L
?
? ?
解
dxxxI )(1 210 2 ??? ?
xy ?2
.10,2 ??? xxyL
dxxx 210 41 ?? ?
)155(121 ??
例 6
)20(.
,s i n,c o s:,)( 222
???
??
???
?????? ?
?
的一段
其中求
kz
ayaxdszyxI
解
).43(32 22222 kaka ?? ???
???
???
dkaa
kaa
222
222222
)c o s()s i n(
s i nc o s
?????
??
? ?? 20I
? ??? ? ??20 22222 )( dkaka
例 7
?
?
?
???
???
?
? ?
?
.0
,
,
2222
2
zyx
azyx
dsxI
为圆周其中
求
解 由对称性,知,222 ??? ??? ?? dszdsydsx
?? ??? dszyxI )(31 222故
??? dsa3
2
.32
3a?
? ),2( 球面大圆周长?
??? dsa
例 8 ).(,s i n
,c o s:,象限第椭圆其中求 ?
??
?
?
?? ?
tby
taxLx y d sI
L
解
dttbtatbta 2220 )c o s()s i n(s i nc o s ???? ?
dttbtattab 222220 c o ss i nc o ss i n ?? ? ?
)( s i n s i n)(2 220 2222 tdbtbaab ? ??? ?
,c o s)( tatx ?? ?,s i n)( tbty ?? ?
x
y
o a
b,s i n)( tat ????,c o s)( tbt ???
.20 ??? t
??L xyds
.)(3 )(
22
ba
babaab
?
???
]s i n)[( s i n)()(2 222220 222222 btbadbtbaba ab ?????? ?
?
? ? 2
0
232222
22 s i n)(3
2
)(2
?
??
?
??
? ???
?
? btba
ba
ab
dttbtatbta 2220 )c o s()s i n(s i nc o s ???? ?
dttbtattab 222220 c o ss i nc o ss i n ?? ? ?
)( s i n s i n)(2 220 2222 tdbtbaab ? ??? ?
??L xyds
例 9 其中计算, )( ? ?L dsyx
解,0)( ?? x?
的直线；到点点 )0,2( )0,0(, )1( AoL
的直线；到点点 )3,2( )0,2(, )2( BAL Ax
y
o 2
3 B
(1) L,.20,0) ???? xxy ?
???L dsyx )( dxx? ??20 201 )0(
dxx?? 20,2?
.0)( ?? x?(2) L,.30,2)( ???? yyx ?
???L dsyx )( dyy? ??30 201 )2(
dyy? ?? 30 )2(,221?
例 9
.)2,1()2,1(,4:
,
2 一段到从其中
求
??
? ?
xyL
y d sI L
解
dyyy 22 2 )2(1 ???
.0?
xy 42 ?
x
y
o 1
2?
2
.22,4)(,
2
????? yyyxL ?
.2)( yy ???
?? ?L yd sI
dyyy 41
22
2 ?? ??
例 10
)20(,
,s i n,c o s:,
???
??
???
???? ??
的一段
其中求
kz
ayaxx y z d sI
解
.21 222 kaka ??? ?
??????? dkaaka )c o s()s i n(s i nc o s20 2222? ??????
.,c o s,s i n kzayax ??????? ??
??? dsx y zI
???? dkaka 2s i n2 20222 ? ????
例 11
解
直其中曲线计算,,222 22 ayxdseL yx ??? ?
形边界。在第一象限中所围的图线,0 xyx ??
dseL yx? ? 22
x
y
o
2 2 a
A B
.0,0, ayxoA ???.0??x
dseoA yx? ? 22
dyea y 01 20 0 22 ??? ? ?
dyea y?? 0,1?? ae
dsedsedse oB yxAB yxoA yx ??? ??? ??? 222222
x
y
o
2 2a
A B
.0,0, ayxoA ???.0??x
dseoA yx? ? 22
dyea y 01 20 0 22 ??? ? ?
dyea y?? 0,1?? ae
dttatae tata )s i n()c o s( 2224 )s i n()c o s( 22 ???? ? ???
.24,s i n,c o s, ?? ???? ttaytaxAB
dseAB yx? ? 22
.c o s,s i n taytax ?????
dttatae tata )s i n()c o s( 2224 )s i n()c o s( 22 ???? ? ???
dtae a?? 24 ??,6 aea??
.24,s i n,c o s, ?? ???? ttaytaxAB
dseAB yx? ? 22
.c o s,s i n taytax ?????
.2 20,,axxyoB ???.1??y
dseoB yx? ? 22
dxea xx 11 2220 22 ??? ? ?
x
y
o
2 2a
A B
于是,dseL yx? ?
22
dsedsedse oB yxAB yxoA yx ??? ??? ??? 222222
)1(4)1( ????? aaa eeae ?
.2)42( ??? aea ?
.1?? ae
dxea x 2220 2? ??
.2 20,,axxyoB ???.1??y
dseoB yx? ? 22
dxea xx 11 2220 22 ??? ? ?
四、几何与 物理意义
,),()1( 的线密度时表示当 Lyx?;),(?? L dsyxM ?;,1),()2( ??? L dsLyxf 弧长时当
,),(
),()3(
处的高时柱面在点
上的表示立于当
yx
Lyxf
.),(?? L dsyxfS 柱面面积
s
L
),( yxfz ?
对弧长曲线积分的应用
,)1( 曲线弧的转动惯量
.,22 ?? ?? LyLx dsyIdsxI ??
曲线弧的质心坐标)2(
.,
?
?
?
? ??
L
L
L
L
ds
dsy
y
ds
dsx
x
?
?
?
?
,)( 220 ? ?? L dsyxI ?
例 9
).(,s i n,c o s,?? ???
??
?
?
? t
tRy
tRxL
解, 如图设置坐标系
dttRtRtR 2222 c o s)s i n(s i n ??? ????
.1(
2,
）设线密度为它的对称轴的转动惯量
对于的圆弧中心角为计算半径为 LR ?
x
y
?
?? Lx dsyI 2
td tR ??? ?? 23 s i n ).co ss i n(3 ??? ?? R
1、对弧长曲线积分的概念
2、对弧长曲线积分的计算
3、对弧长曲线积分的应用
作业, P201:1,(1)~(7),2,3.
五 小结与思考判断题
思考判断题
（ 1） 对弧长的曲线积分的定义中
的符号可能为负吗？ i
S?
（ 2） 对弧长的曲线积分是否与曲线方
向有关？
思考题
对弧长的曲线积分的定义中 的符号
可能为负吗？ i
S?
思考题解答
iS? 的符号永远为正，它表示弧段的长度,
一,填空题,
1, 已知曲线形构件 L 的线密度为 ),( yx?,则 L 的质量
M = __ __ _ __ __ _ __ __ _ ；
2, ?
L
ds = __ __ _ __ __ _ __ __ _ ；
3, 对 ________ 的曲线积分与曲线的方向无关；
4, ?
L
dsyxf ),( = ? ???
?
?
???? dtttttf )()()](),([
22
中要
求 ? ________
?
.
二,计算下列求弧长的曲线积分,
1, ?
?
L
yx dse 22
,其中 L 为圆周 222 ayx ??,直线 xy ?
及 x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；
练习题
2,
?
?
y z d sx
2
,其中 L 为折线 ABCD,这里 DCBA,,,
依次为点 (0,0,0),( 0,0,2),(1,0,2 ),(1,3,2 ) ；
3,
?
?
L
dsyx )(
22
,其中 L 为曲线
?
?
?
??
??
)c o s(s i n
)s i n(c o s
tttay
tttax
)20( ??? t；
4,计算
?
L
dsy,其中
L
为双纽线
)0()()(
222222
???? ayxayx,
三、设螺旋形弹簧一圈的方程为
tax c o s?
,
tay si n?
,
ktz ?,其中 ??? 20 t,它的线密度
222
),,( zyxzyx ????,求,
1,它关于
Z
轴的转动 Z
I惯量；
2,它的重心,
练习题答案
一,1,
?
L
dsyx ),(? ； 2, 的弧长L ；
3,弧长； 4, <,
二,1, 2)
4
2( ?
?
? ae
a； 2, 9 ；
3,
)21(2
232
??? a； 4, )22(2
2
?a,
三,)43(
3
2
222222
kakaaI
z
????? ；
222
2
43
6
ka
ak
x
??
? ；
222
2
43
6
ka
ak
y
??
??
? ；
222
222
43
)2(3
ka
kak
z
??
???
?,
第二十章 曲线积分
§ 2 第二型曲线积分
o x
y
A
B
L
一、问题的提出
1?nMiM
1?iM2M
1M
ix?
iy?实例, 变力沿曲线所作的功
,,BAL ?
jyxQiyxPyxF ?? ),(),(),( ??
常力所作的功
分割,),,(,),,(,1111110 BMyxMyxMMA nnnn ?? ????
.)()(1 jyixMM iiii ?? ?????
.ABFW ??
求和
.]),(),([
1
?
?
?????? n
i
iiiiii yQxP ????
取极限,]),(),([lim
10
?
??
?????? n
i
iiiiii yQxPW ?????
近似值
精确值
,),(),(),( jQiPF iiiiii ?? ?????? ??取
,),( 1 iiiii MMFW ???? ??
.),(),( iiiiiii yQxPW ????? ????即
?
?
??
n
i
iWW
1
o x
y
A
B
L 1?nMiM1?iM2M
1M
),( iiF ??
ix?
iy?
二、对坐标的曲线积分的概念
,0
.
),(,,
).,;,,2,1(
),(,
),,(),,(.
),(),,(,
1
11
01
111
222111
时长度的最大值
如果当各小弧段上任意取定的点
为点设
个有向小弧段分成把
上的点用上有界
在函数向光滑曲线弧
的一条有到点面内从点为设
??
????????
???
?
??
?
???
ii
iiiiiiii
nii
nnn
MM
yyyxxx
BMAMniMM
nLyxM
yxMyxML
LyxQyxP
BAxoyL
?
?
1.定义
.),(lim),(
,(
),(
,),(
1
0
1
ii
n
i
i
L
n
i
iii
xPdxyxP
xLyxP
xP
??
?
??
?
?
?
?
??
??
?
记作或称第二类曲线积分）积分
的曲线上对坐标在有向曲线弧数
则称此极限为函的极限存在
类似地定义,),(lim),(
10
ii
n
i
iL yQdyyxQ ?? ??
??
??
?
,),(),,( 叫做被积函数其中 yxQyxP,叫积分弧段L
2.存在条件：
.,
),(),,(
第二类曲线积分存在上连续时
在光滑曲线弧当 LyxQyxP
3.组合形式
?
??
??
?
L
LL
dyyxQdxyxP
dyyxQdxyxP
),(),(
),(),(
.,jdyidxdsjQiPF ????? ????其中
.? ?? L dsF?
4.推广
?空间有向曲线弧
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i xPdxzyxP ?? ??
???
???
?
.?? ?? Rd zQ d yPd x
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i yQdyzyxQ ????? ??
????
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i zRdzzyxR ????? ??
????
5.性质
.
,)1(
21
21
??? ????? LLL Q d yPdxQ d yPdxQ d yPdx
LLL 则和分成如果把
则有向曲线弧
方向相反的是与是有向曲线弧设
,
,)2( LLL ?
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关,
?? ????? LL dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP ),(),(),(),(
三、对坐标的曲线积分的计算
,),(),(
,0)()(,
)(),(
,),(,
),(
),(
,
),(),,(
22
存在
则曲线积分且续导数
一阶连为端点的闭区间上具有及在以
运动到终点沿的起点从点时到
变单调地由当参数的参数方程为续
上有定义且连在曲线弧设
?
?
????
?
?
?
?
?
L
dyyxQdxyxP
tt
tt
BLALyxM
t
ty
tx
L
LyxQyxP
??
????
?
?
?
?
定理
dttttQtttP
dyyxQdxyxP
L
)}()](),([)()](),([{
),(),(
??????
?
?
????
?
?
?且
特殊情形
.)(:)1( baxxyyL,终点为起点为?
.)}()](,[)](,[{ dxxyxyxQxyxPQ d yP d x baL ?? ????则
.)(:)2( dcyyxxL,终点为起点为?
.]}),([)(]),([{ dyyyxQyxyyxPQ d yP d x dcL ?? ????则
.,,
)(
)(
)(
:)3( ??
?
?
?
终点起点推广 t
tz
ty
tx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
dtttttR
ttttQ
ttttP
R dzQdyP dx
)}()](),(),([
)()](),(),([
)()](),(),([{
????
????
????
?
?
??
??
??
??
?
??
(4) 两类曲线积分之间的联系：
,)( )(
??
?
?
?
ty
txL
?
?：设有向平面曲线弧为
,,),( ??为处的切线向量的方向角上点 yxL
?? ????? LL dsQPQd yP d x )co sco s(则
其中,)()( )(c o s 22 tt t?? ?? ???
??,
)()(
)(c o s
22 tt
t
??
??
???
??
（可以推广到空间曲线上 ）?
,,,),,( ???? 为处的切线向量的方向角上点 zyx
?? ?? ???????? dsRQPR d zQd yP d x )c o sc o sc o s(则
?? ?? dstA ?? ?? ?? rdA ??,??? dsAt?可用向量表示
，其中 },,{ RQPA ?? },c o s,c o s,{c o s ????t?
},,{ dzdydxdstrd ?? ?? 有向曲线元；
.上的投影在向量为向量 tAA t ??
处的单位切向量上点 ),,( zyx?
例 1
.)1,1()1,1(
,2
的一段弧到
上从为抛物线其中计算
BA
xyLx yd x
L
?
??
解 的定积分，化为对 x)1(,xy ??
??? ?? OBAOL x yd xx yd xx yd x
?? ??? 1001 )( dxxxdxxx
?? 10 232 dxx,54?
xy ?2
)1,1( ?A
)1,1(B
的定积分，化为对 y)2(
,2yx ?
?? ? ABL x yd xx yd x
?? ?? 1 1 22 )( dyyyy
.11到从 ?y
??? 11 42 dyy,54?
xy ?2
)1,1( ?A
)1,1(B
.)0,()0,()2(;
)1(
,
2
的直线段轴到点沿从点
的上半圆周
针方向绕行、圆心为原点、按逆时半径为
为其中计算
aBxaA
a
Ldxy
L
?
?
例 2
解,s in
c o s:)1(
??
?
?
?
?
?
ay
axL?
，变到从 ?? 0
)0,(aA)0,( aB ???
? 0原式 ??? daa )s i n(s i n 22 ?
)0,(aA)0,( aB ?
.34 3a??
,0:)2( ?yL?
，变到从 aax ?
? ?? aa dx0原式,0?
问题,被积函数相同，起点和终点也相同，但
路径不同积分结果不同,
??? 03a )( c o s)c o s1( 2 ?? d?
例 3
).1,1(),0,1(
)0,0(,,)3(;)1,1()0,0()2(;)1,1()0,0()1(
,2
2
2
2
依次是点，这里有向折线
的一段弧到上从抛物线
的一段弧到上从抛物线
为其中计算
BAOOA B
BOyx
BOxy
Ldyxx yd x
L
?
?
??
2xy?
)0,1(A
)1,1(B解,)1( 的积分化为对 x
,10,,2 变到从xxyL ?
? ???? 10 22 )22( dxxxxx原式
?? 10 34 dxx,1?
)0,1(A
)1,1(B
2yx?,)2( 的积分化为对 y
,10,,2 变到从yyxL ?
? ???? 10 42 )22( dyyyyy原式
?? 10 45 dxy,1?
)0,1(A
)1,1(B
)3(
?
?
??
??
AB
OA
dyxx y d x
dyxx y d x
2
2
2
2原式
,上在 OA,10,0 变到从xy ?
?? ????? 10 22 )002(2 dxxxdyxxy dxOA
.0?
,上在 AB,10,1 变到从yx ?
?? ???? 102 )102(2 dyydyxx y d xAB,1?
10 ??? 原式,1?
)0,1(A
)1,1(B
问题,被积函数相同，起点和终点也相同，但
路径不同而积分结果相同,
四、小结
1、对坐标曲线积分的概念
2、对坐标曲线积分的计算
3、两类曲线积分之间的联系
思考题
当曲线 L 的参数方程与参数的变化范围给定
之后 （例如 L, tax c os?, tay s i n?,
]2,0[ ??t, a 是正常数），试问如何表示 L 的方
向 （如 L 表示为顺时针方向、逆时针方向）？
思考题解答
曲线方向由参数的变化方向而定,
例如 L, tax c o s?, tay s i n?, ]2,0[ ??t 中
当 t 从 0 变到 ?2 时,L 取逆时针方向 ;
反之当 t 从 ?2 变到 0 时,L 取顺时针方向,
一,填空题,
1, 对 __ __ _ __ _ __ __ __ 的曲线积分与曲线的方向有关；
2, 设 0),(),( ??
?
dyyxQdxyxP
L
,则
?
?
?
?
? ?
L
L
dyyxQdxyxP
dyyxQdxyxP
),(),(
),(),(
__ __ __ __ _ __ _ ；
3, 在公式 ??
?
dyyxQdxyxP
L
),(),(
?
???
?
?
?????? dttttQtttP )}()](,)([)()](,)([{ 中,下
?限
对应于
L
的 __ _ _ 点,上限 ? 对应于
L
的 ____ 点；
4,两类曲线积分的联系是 __ __ _ __ __ __ _ _ _ __ _ __ __ __
__ __ __ __ _ __ __ __ _ __ __ _ __ __ __ _ __ _,
练 习 题
二,计算下列对坐标的曲线积分,
1, ?
L
x y d x,L其中 为圆周 )0()(
222
???? aayax 及
x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界 ( 按
逆时针方向绕行 ) ；
2, ?
?
???
L
yx
dyyxdxyx
22
)()(
,L其中 为圆周
222
ayx ?? ( 按逆时针方向饶行 ) ；
3, ?
?
?? y d zdydx,其中为有向闭折线 ABCD,这里
的 CBA,,依次为点 (1,0,0 ),( 0,1,0),( 0,0,1) ；
4, ?
?
?
A B C D A
yx
dydx
,其中 A B C DA 是以 )0,1(A, )1,0(B,
)0,1( ?C,)1,0( ?D 为顶点的正方形正向边界线,
三,设 z 轴与重力的方向一致,求质量为 m 的质点从位
置 ),,(
111
zyx 沿直线移到 ),,(
222
zyx 时重力所作
的功,
四,把对坐标的曲线积分
?
?
L
dyyxQdxyxP ),(),( 化成
对弧长的积分,L其中 为,
1, 在
x o y
面内沿直线从点 (0,0 ) 到点 (1,1) ；
2, 沿抛物线
2
xy ? 从点 (0,0 ) 到点 (1,1 ) ；
3, 沿上半圆周 xyx 2
22
?? 从点 (0,0 ) 到点 (1,1).
练习题答案
一,1,坐标； 2, -1 ； 3,起,点；
4, dzRQ d yPd x?
?
??
dsRQP )c o sc o sc o s( ????
?
???,
二,1, ;
2
3
a
?
? 2, ?? 2 ；
3,
2
1； 4, 0,
三,? ? )(,,0,0
12
zzmgWmgF ???,
四,1,
?
?
L
dyyxQdxyxP ),(),(
?
?
?
L
ds
yxQyxP
2
),(),(；
2, ? ?
L
dyyxQdxyxP ),(),(
?
?
?
?
L
ds
x
yxxQyxP
2
41
),(2),(；
3, ? ?
L
dyyxQdxyxP ),(),(
? ????
L
dsyxQxyxPxx )],()1(),(2[
2
.
§ 1 第一型曲线积分
§ 2 第二型曲线积分
第二十章 曲线积分
§ 1 第一型曲线积分
一、问题的提出
实例,曲线形构件的质量
o x
y
A
B
1?nM
iM
1?iM
2M
1M
),( ii ?? L
.sM ?? ?匀质之质量
分割,,,,121 in sMMM ????
,),( iii s????取,),( iiii sM ???? ???
求和,),(
1
?
?
???
n
i
iii sM ???
取极限,),(l i m
10
?
??
???
n
i
iii sM ????
近似值
精确值
二、对弧长的曲线积分的概念
,),(
,),(
,
),(,.
,,,.
),(,
1
121
?
?
?
????
????
???
n
i
iii
iii
iii
n
sf
sf
i
si
nLMMMLL
yxfxoyL
并作和
作乘积
点个小段上任意取定的一
为第又个小段的长度为设第个小段
分成把上的点用上有界在
函数面内一条光滑曲线弧为设
?
1.定义
o x
y
A
B
1?nM
iM
1?iM2M1M
),( ii ?? L
.),(lim),(
,),(,
),(,
,0
1
0
??
?
?
??
?????
??
n
i
iii
L
L
sfdsyxf
dsyxf
L
yxf
即记作线积分
第一类曲上对弧长的曲线积分或在曲线弧
则称此极限为函数这和的极限存在
时长度的最大值如果当各小弧段的
被积函数
积分弧段
积分和式
曲线形构件的质量,),(?? L dsyxM ?
2.存在条件：
.),(
,),(
存在对弧长的曲线积分
上连续时在光滑曲线弧当
? L dsyxf
Lyxf
3.推广
曲线积分为
上对弧长的在空间曲线弧函数 ?),,( zyxf
.),,(lim),,(
10
i
n
i
iii sfdszyxf ??? ??
???
???
?
注意：
)(,)(.1 21 LLLL ??? 是分段光滑的或若
.),(),(),(
2121 ???
??? LLLL dsyxfdsyxfdsyxf
.),(
),(.2
? L dsyxf
Lyxf
曲线积分记为
上对弧长的在闭曲线函数
4.性质
.),(),()],(),([)1( ??? ??? LLL dsyxgdsyxfdsyxgyxf
).(),(),()2( 为常数kdsyxfkdsyxkf LL ?? ?
.),(),(),()3(
21 ???
?? LLL dsyxfdsyxfdsyxf
).( 21 LLL ??
三、对弧长曲线积分的计算
定理
且上有一阶连续导数在其中
参数方程为
的上有定义且连续在曲线弧设
,],[ )( ),(
)(
),(
),(
,),(
????
??
?
?
tt
t
ty
tx
LLyxf
??
?
?
?
?
?
dtttttfdsyxfL ?? ???? ?? ???? )()()]( ),([),( 22
)( ?? ?证略。
??
?
?
?
).(
),(,
ty
txL
?
?
这里,,?? ?? t
,)()( 22 dtttds ?? ????
曲线积分 定积分
(1) L,y=y(x),a≤x≤b
假设 y(x)?C1([a,b]),有
xxyxyxfsyxf baL d)('1))(,(d),( 2??? ??
( a < b )
xxys d)('1d 2??
计算：
(2) L,x=x(y),c≤y≤d
假设 x(y)?C1([c,d]),有
yyxyyxfsyxf dcL d)('1)),((d),( 2??? ??
( c < d )
yyxs d)('1d 2??
例 1.计算
.dsyL?
其中 L 为 y2=2x自点 (0,0)到点 (2,2)
的一段弧,
xxxsy
L
d2 112d 2
0
???? ??
解 1,0≤x≤2,2, xyL ?
x
x
ys d
d
d1d 2
?
?
??
?
??? x
x d2
11 ??
y2=2x
0 2
2
y
x
xx d1220?? ＋ )155(31 ??
(2) L,x=x(y),c≤y≤d
假设 x(y)?C1([c,d]),有
yyxyyxfsyxf dcL d)('1)),((d),( 2??? ??
( c < d )
yyxs d)('1d 2??
(3) L,x=?(t),y=?(t),?≤t≤?
ttts d)(')('d 22 ?? ??
tttttfsyxfL d)(')('))(),((d),( 22 ?????? ?? ??
(? < ?)
注意,;.1 ?? 一定要小于上限定积分的下限
.,,),(.2 而是相互有关的不彼此独立中 yxyxf
.)(:)2( dycyxL ??? ?
.)(1]),([),( 2 dyyyyfdsyxf dcL ?? ??? ??)( dc ?
., ),(,dycyy yxL ????? ?? ?, )(1 2 dyyds ? ???
特殊情形
.)(:)1( bxaxyL ??? ?
,).(,,bxaxy xxL ????? ?? ?, )(1 2 dxxds ? ???
.)(1)](,[),( 2 dxxxxfdsyxf baL ?? ??? ??)( ba ?
??
?
?
?
).(
),(,
ty
txL
?
?
1,曲线,?? ?? t
对弧长曲线积分的计算公式
dtttttfdsyxfL ?? ???? ?? ???? )()()]( ),([),( 22
则
2,曲线,)(,bxaxyL ??? ?
.)(1)](,[),( 2 dxxxxfdsyxf baL ?? ??? ??
.)(,dycyxL ??? ?3,曲线
.)(1]),([),( 2 dyyyyfdsyxf dcL ?? ??? ??
则
则
推广, )().(),(),(,????? ?????? ttztytx
)(
)()()()](),(),([
),,(
222
??
??????
?
?
?
?????? ?
??
dtttttttf
dszyxf
例 1.计算
.dsyL?
其中 L 为 y2=2x自点 (0,0)到点 (2,2)
的一段弧,
xxxsy
L
d2 112d 2
0
???? ??
解 1,0≤x≤2,2, xyL ?
x
x
ys d
d
d1d 2
?
?
??
?
??? x
x d2
11 ??
y2=2x
0 2
2
y
x
xx d1220?? ＋ )155(31 ??
解 2,0≤y≤2
,2,
2y
xL ?
yyysyL d1d 20 2?? ???
y
y
xs d
d
d1d
2
???
?
???
??? yy d1 2??
)155(31 ??
0 2
2
y
x
2
2yx?
例 2.计算 ?
?L syx d)(
L,连接 O(0,0),A(1,0),B(0,2)的闭折线 OABO.
解, L分段光滑
???? ??? BOABOAL
ds=dx
2
1d)0(d)( 1
0
???? ?? xxsyx
OA
OA,y=0,0≤x≤1
O
2
A
B
y
x
1
?? ???? 10 d5))22((d)( xxxsyxAB
AB,y=2?2x,0≤x≤1
xys d'1d 2?? xd5?
523?
?? ?? 20 dd)( yysyxBO
BO,x=0,0≤y≤2
ds=dy
=2
252321d)( ????? ?
L
syx
)535(21 ??
O
2
A
B
y
x
1
例 3.计算 ?
?L syx d)( 22
其中 L,x2+y2=a2.
L,x=acos t,y=asin t,0≤t≤2?
? ?L syx d)( 22
ttatatata d)c o s()s i n()s i nc o s( 222220 22 ???? ? ?
taa d20 2? ?? ? 32 a??
(4) 空间 R3中的曲线 ?,x=?(t),y=?(t),z=?(t),
?≤t≤?
szyxf d),,( ??
?
x
y
z
O
tttttttf d)()()()](),(),([ 222 ???????? ?????? ?
(? < ?)
例 4.计算
.d)( 23?? ? szyx
其中 ?：从点 A(3,2,1)到点 O(0,0,0)的直线段,
解, 直线段 AO 方程：
123
zyx ??
化成参数方程,x=3t,y=2t,z=t,0≤t≤1.
ttttszyx d123))2()3((d)( 222210 323 ?????? ???
tt d1431 10 3?? 14431?
例 5
.)1,1()0,0(,:
,
2 一段到从其中
求
xyL
dsyI
L
?
? ?
解
dxxxI )(1 210 2 ??? ?
xy ?2
.10,2 ??? xxyL
dxxx 210 41 ?? ?
)155(121 ??
例 6
)20(.
,s i n,c o s:,)( 222
???
??
???
?????? ?
?
的一段
其中求
kz
ayaxdszyxI
解
).43(32 22222 kaka ?? ???
???
???
dkaa
kaa
222
222222
)c o s()s i n(
s i nc o s
?????
??
? ?? 20I
? ??? ? ??20 22222 )( dkaka
例 7
?
?
?
???
???
?
? ?
?
.0
,
,
2222
2
zyx
azyx
dsxI
为圆周其中
求
解 由对称性,知,222 ??? ??? ?? dszdsydsx
?? ??? dszyxI )(31 222故
??? dsa3
2
.32
3a?
? ),2( 球面大圆周长?
??? dsa
例 8 ).(,s i n
,c o s:,象限第椭圆其中求 ?
??
?
?
?? ?
tby
taxLx y d sI
L
解
dttbtatbta 2220 )c o s()s i n(s i nc o s ???? ?
dttbtattab 222220 c o ss i nc o ss i n ?? ? ?
)( s i n s i n)(2 220 2222 tdbtbaab ? ??? ?
,c o s)( tatx ?? ?,s i n)( tbty ?? ?
x
y
o a
b,s i n)( tat ????,c o s)( tbt ???
.20 ??? t
??L xyds
.)(3 )(
22
ba
babaab
?
???
]s i n)[( s i n)()(2 222220 222222 btbadbtbaba ab ?????? ?
?
? ? 2
0
232222
22 s i n)(3
2
)(2
?
??
?
??
? ???
?
? btba
ba
ab
dttbtatbta 2220 )c o s()s i n(s i nc o s ???? ?
dttbtattab 222220 c o ss i nc o ss i n ?? ? ?
)( s i n s i n)(2 220 2222 tdbtbaab ? ??? ?
??L xyds
例 9 其中计算, )( ? ?L dsyx
解,0)( ?? x?
的直线；到点点 )0,2( )0,0(, )1( AoL
的直线；到点点 )3,2( )0,2(, )2( BAL Ax
y
o 2
3 B
(1) L,.20,0) ???? xxy ?
???L dsyx )( dxx? ??20 201 )0(
dxx?? 20,2?
.0)( ?? x?(2) L,.30,2)( ???? yyx ?
???L dsyx )( dyy? ??30 201 )2(
dyy? ?? 30 )2(,221?
例 9
.)2,1()2,1(,4:
,
2 一段到从其中
求
??
? ?
xyL
y d sI L
解
dyyy 22 2 )2(1 ???
.0?
xy 42 ?
x
y
o 1
2?
2
.22,4)(,
2
????? yyyxL ?
.2)( yy ???
?? ?L yd sI
dyyy 41
22
2 ?? ??
例 10
)20(,
,s i n,c o s:,
???
??
???
???? ??
的一段
其中求
kz
ayaxx y z d sI
解
.21 222 kaka ??? ?
??????? dkaaka )c o s()s i n(s i nc o s20 2222? ??????
.,c o s,s i n kzayax ??????? ??
??? dsx y zI
???? dkaka 2s i n2 20222 ? ????
例 11
解
直其中曲线计算,,222 22 ayxdseL yx ??? ?
形边界。在第一象限中所围的图线,0 xyx ??
dseL yx? ? 22
x
y
o
2 2 a
A B
.0,0, ayxoA ???.0??x
dseoA yx? ? 22
dyea y 01 20 0 22 ??? ? ?
dyea y?? 0,1?? ae
dsedsedse oB yxAB yxoA yx ??? ??? ??? 222222
x
y
o
2 2a
A B
.0,0, ayxoA ???.0??x
dseoA yx? ? 22
dyea y 01 20 0 22 ??? ? ?
dyea y?? 0,1?? ae
dttatae tata )s i n()c o s( 2224 )s i n()c o s( 22 ???? ? ???
.24,s i n,c o s, ?? ???? ttaytaxAB
dseAB yx? ? 22
.c o s,s i n taytax ?????
dttatae tata )s i n()c o s( 2224 )s i n()c o s( 22 ???? ? ???
dtae a?? 24 ??,6 aea??
.24,s i n,c o s, ?? ???? ttaytaxAB
dseAB yx? ? 22
.c o s,s i n taytax ?????
.2 20,,axxyoB ???.1??y
dseoB yx? ? 22
dxea xx 11 2220 22 ??? ? ?
x
y
o
2 2a
A B
于是,dseL yx? ?
22
dsedsedse oB yxAB yxoA yx ??? ??? ??? 222222
)1(4)1( ????? aaa eeae ?
.2)42( ??? aea ?
.1?? ae
dxea x 2220 2? ??
.2 20,,axxyoB ???.1??y
dseoB yx? ? 22
dxea xx 11 2220 22 ??? ? ?
四、几何与 物理意义
,),()1( 的线密度时表示当 Lyx?;),(?? L dsyxM ?;,1),()2( ??? L dsLyxf 弧长时当
,),(
),()3(
处的高时柱面在点
上的表示立于当
yx
Lyxf
.),(?? L dsyxfS 柱面面积
s
L
),( yxfz ?
对弧长曲线积分的应用
,)1( 曲线弧的转动惯量
.,22 ?? ?? LyLx dsyIdsxI ??
曲线弧的质心坐标)2(
.,
?
?
?
? ??
L
L
L
L
ds
dsy
y
ds
dsx
x
?
?
?
?
,)( 220 ? ?? L dsyxI ?
例 9
).(,s i n,c o s,?? ???
??
?
?
? t
tRy
tRxL
解, 如图设置坐标系
dttRtRtR 2222 c o s)s i n(s i n ??? ????
.1(
2,
）设线密度为它的对称轴的转动惯量
对于的圆弧中心角为计算半径为 LR ?
x
y
?
?? Lx dsyI 2
td tR ??? ?? 23 s i n ).co ss i n(3 ??? ?? R
1、对弧长曲线积分的概念
2、对弧长曲线积分的计算
3、对弧长曲线积分的应用
作业, P201:1,(1)~(7),2,3.
五 小结与思考判断题
思考判断题
（ 1） 对弧长的曲线积分的定义中
的符号可能为负吗？ i
S?
（ 2） 对弧长的曲线积分是否与曲线方
向有关？
思考题
对弧长的曲线积分的定义中 的符号
可能为负吗？ i
S?
思考题解答
iS? 的符号永远为正，它表示弧段的长度,
一,填空题,
1, 已知曲线形构件 L 的线密度为 ),( yx?,则 L 的质量
M = __ __ _ __ __ _ __ __ _ ；
2, ?
L
ds = __ __ _ __ __ _ __ __ _ ；
3, 对 ________ 的曲线积分与曲线的方向无关；
4, ?
L
dsyxf ),( = ? ???
?
?
???? dtttttf )()()](),([
22
中要
求 ? ________
?
.
二,计算下列求弧长的曲线积分,
1, ?
?
L
yx dse 22
,其中 L 为圆周 222 ayx ??,直线 xy ?
及 x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；
练习题
2,
?
?
y z d sx
2
,其中 L 为折线 ABCD,这里 DCBA,,,
依次为点 (0,0,0),( 0,0,2),(1,0,2 ),(1,3,2 ) ；
3,
?
?
L
dsyx )(
22
,其中 L 为曲线
?
?
?
??
??
)c o s(s i n
)s i n(c o s
tttay
tttax
)20( ??? t；
4,计算
?
L
dsy,其中
L
为双纽线
)0()()(
222222
???? ayxayx,
三、设螺旋形弹簧一圈的方程为
tax c o s?
,
tay si n?
,
ktz ?,其中 ??? 20 t,它的线密度
222
),,( zyxzyx ????,求,
1,它关于
Z
轴的转动 Z
I惯量；
2,它的重心,
练习题答案
一,1,
?
L
dsyx ),(? ； 2, 的弧长L ；
3,弧长； 4, <,
二,1, 2)
4
2( ?
?
? ae
a； 2, 9 ；
3,
)21(2
232
??? a； 4, )22(2
2
?a,
三,)43(
3
2
222222
kakaaI
z
????? ；
222
2
43
6
ka
ak
x
??
? ；
222
2
43
6
ka
ak
y
??
??
? ；
222
222
43
)2(3
ka
kak
z
??
???
?,
第二十章 曲线积分
§ 2 第二型曲线积分
o x
y
A
B
L
一、问题的提出
1?nMiM
1?iM2M
1M
ix?
iy?实例, 变力沿曲线所作的功
,,BAL ?
jyxQiyxPyxF ?? ),(),(),( ??
常力所作的功
分割,),,(,),,(,1111110 BMyxMyxMMA nnnn ?? ????
.)()(1 jyixMM iiii ?? ?????
.ABFW ??
求和
.]),(),([
1
?
?
?????? n
i
iiiiii yQxP ????
取极限,]),(),([lim
10
?
??
?????? n
i
iiiiii yQxPW ?????
近似值
精确值
,),(),(),( jQiPF iiiiii ?? ?????? ??取
,),( 1 iiiii MMFW ???? ??
.),(),( iiiiiii yQxPW ????? ????即
?
?
??
n
i
iWW
1
o x
y
A
B
L 1?nMiM1?iM2M
1M
),( iiF ??
ix?
iy?
二、对坐标的曲线积分的概念
,0
.
),(,,
).,;,,2,1(
),(,
),,(),,(.
),(),,(,
1
11
01
111
222111
时长度的最大值
如果当各小弧段上任意取定的点
为点设
个有向小弧段分成把
上的点用上有界
在函数向光滑曲线弧
的一条有到点面内从点为设
??
????????
???
?
??
?
???
ii
iiiiiiii
nii
nnn
MM
yyyxxx
BMAMniMM
nLyxM
yxMyxML
LyxQyxP
BAxoyL
?
?
1.定义
.),(lim),(
,(
),(
,),(
1
0
1
ii
n
i
i
L
n
i
iii
xPdxyxP
xLyxP
xP
??
?
??
?
?
?
?
??
??
?
记作或称第二类曲线积分）积分
的曲线上对坐标在有向曲线弧数
则称此极限为函的极限存在
类似地定义,),(lim),(
10
ii
n
i
iL yQdyyxQ ?? ??
??
??
?
,),(),,( 叫做被积函数其中 yxQyxP,叫积分弧段L
2.存在条件：
.,
),(),,(
第二类曲线积分存在上连续时
在光滑曲线弧当 LyxQyxP
3.组合形式
?
??
??
?
L
LL
dyyxQdxyxP
dyyxQdxyxP
),(),(
),(),(
.,jdyidxdsjQiPF ????? ????其中
.? ?? L dsF?
4.推广
?空间有向曲线弧
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i xPdxzyxP ?? ??
???
???
?
.?? ?? Rd zQ d yPd x
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i yQdyzyxQ ????? ??
????
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i zRdzzyxR ????? ??
????
5.性质
.
,)1(
21
21
??? ????? LLL Q d yPdxQ d yPdxQ d yPdx
LLL 则和分成如果把
则有向曲线弧
方向相反的是与是有向曲线弧设
,
,)2( LLL ?
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关,
?? ????? LL dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP ),(),(),(),(
三、对坐标的曲线积分的计算
,),(),(
,0)()(,
)(),(
,),(,
),(
),(
,
),(),,(
22
存在
则曲线积分且续导数
一阶连为端点的闭区间上具有及在以
运动到终点沿的起点从点时到
变单调地由当参数的参数方程为续
上有定义且连在曲线弧设
?
?
????
?
?
?
?
?
L
dyyxQdxyxP
tt
tt
BLALyxM
t
ty
tx
L
LyxQyxP
??
????
?
?
?
?
定理
dttttQtttP
dyyxQdxyxP
L
)}()](),([)()](),([{
),(),(
??????
?
?
????
?
?
?且
特殊情形
.)(:)1( baxxyyL,终点为起点为?
.)}()](,[)](,[{ dxxyxyxQxyxPQ d yP d x baL ?? ????则
.)(:)2( dcyyxxL,终点为起点为?
.]}),([)(]),([{ dyyyxQyxyyxPQ d yP d x dcL ?? ????则
.,,
)(
)(
)(
:)3( ??
?
?
?
终点起点推广 t
tz
ty
tx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
dtttttR
ttttQ
ttttP
R dzQdyP dx
)}()](),(),([
)()](),(),([
)()](),(),([{
????
????
????
?
?
??
??
??
??
?
??
(4) 两类曲线积分之间的联系：
,)( )(
??
?
?
?
ty
txL
?
?：设有向平面曲线弧为
,,),( ??为处的切线向量的方向角上点 yxL
?? ????? LL dsQPQd yP d x )co sco s(则
其中,)()( )(c o s 22 tt t?? ?? ???
??,
)()(
)(c o s
22 tt
t
??
??
???
??
（可以推广到空间曲线上 ）?
,,,),,( ???? 为处的切线向量的方向角上点 zyx
?? ?? ???????? dsRQPR d zQd yP d x )c o sc o sc o s(则
?? ?? dstA ?? ?? ?? rdA ??,??? dsAt?可用向量表示
，其中 },,{ RQPA ?? },c o s,c o s,{c o s ????t?
},,{ dzdydxdstrd ?? ?? 有向曲线元；
.上的投影在向量为向量 tAA t ??
处的单位切向量上点 ),,( zyx?
例 1
.)1,1()1,1(
,2
的一段弧到
上从为抛物线其中计算
BA
xyLx yd x
L
?
??
解 的定积分，化为对 x)1(,xy ??
??? ?? OBAOL x yd xx yd xx yd x
?? ??? 1001 )( dxxxdxxx
?? 10 232 dxx,54?
xy ?2
)1,1( ?A
)1,1(B
的定积分，化为对 y)2(
,2yx ?
?? ? ABL x yd xx yd x
?? ?? 1 1 22 )( dyyyy
.11到从 ?y
??? 11 42 dyy,54?
xy ?2
)1,1( ?A
)1,1(B
.)0,()0,()2(;
)1(
,
2
的直线段轴到点沿从点
的上半圆周
针方向绕行、圆心为原点、按逆时半径为
为其中计算
aBxaA
a
Ldxy
L
?
?
例 2
解,s in
c o s:)1(
??
?
?
?
?
?
ay
axL?
，变到从 ?? 0
)0,(aA)0,( aB ???
? 0原式 ??? daa )s i n(s i n 22 ?
)0,(aA)0,( aB ?
.34 3a??
,0:)2( ?yL?
，变到从 aax ?
? ?? aa dx0原式,0?
问题,被积函数相同，起点和终点也相同，但
路径不同积分结果不同,
??? 03a )( c o s)c o s1( 2 ?? d?
例 3
).1,1(),0,1(
)0,0(,,)3(;)1,1()0,0()2(;)1,1()0,0()1(
,2
2
2
2
依次是点，这里有向折线
的一段弧到上从抛物线
的一段弧到上从抛物线
为其中计算
BAOOA B
BOyx
BOxy
Ldyxx yd x
L
?
?
??
2xy?
)0,1(A
)1,1(B解,)1( 的积分化为对 x
,10,,2 变到从xxyL ?
? ???? 10 22 )22( dxxxxx原式
?? 10 34 dxx,1?
)0,1(A
)1,1(B
2yx?,)2( 的积分化为对 y
,10,,2 变到从yyxL ?
? ???? 10 42 )22( dyyyyy原式
?? 10 45 dxy,1?
)0,1(A
)1,1(B
)3(
?
?
??
??
AB
OA
dyxx y d x
dyxx y d x
2
2
2
2原式
,上在 OA,10,0 变到从xy ?
?? ????? 10 22 )002(2 dxxxdyxxy dxOA
.0?
,上在 AB,10,1 变到从yx ?
?? ???? 102 )102(2 dyydyxx y d xAB,1?
10 ??? 原式,1?
)0,1(A
)1,1(B
问题,被积函数相同，起点和终点也相同，但
路径不同而积分结果相同,
四、小结
1、对坐标曲线积分的概念
2、对坐标曲线积分的计算
3、两类曲线积分之间的联系
思考题
当曲线 L 的参数方程与参数的变化范围给定
之后 （例如 L, tax c os?, tay s i n?,
]2,0[ ??t, a 是正常数），试问如何表示 L 的方
向 （如 L 表示为顺时针方向、逆时针方向）？
思考题解答
曲线方向由参数的变化方向而定,
例如 L, tax c o s?, tay s i n?, ]2,0[ ??t 中
当 t 从 0 变到 ?2 时,L 取逆时针方向 ;
反之当 t 从 ?2 变到 0 时,L 取顺时针方向,
一,填空题,
1, 对 __ __ _ __ _ __ __ __ 的曲线积分与曲线的方向有关；
2, 设 0),(),( ??
?
dyyxQdxyxP
L
,则
?
?
?
?
? ?
L
L
dyyxQdxyxP
dyyxQdxyxP
),(),(
),(),(
__ __ __ __ _ __ _ ；
3, 在公式 ??
?
dyyxQdxyxP
L
),(),(
?
???
?
?
?????? dttttQtttP )}()](,)([)()](,)([{ 中,下
?限
对应于
L
的 __ _ _ 点,上限 ? 对应于
L
的 ____ 点；
4,两类曲线积分的联系是 __ __ _ __ __ __ _ _ _ __ _ __ __ __
__ __ __ __ _ __ __ __ _ __ __ _ __ __ __ _ __ _,
练 习 题
二,计算下列对坐标的曲线积分,
1, ?
L
x y d x,L其中 为圆周 )0()(
222
???? aayax 及
x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界 ( 按
逆时针方向绕行 ) ；
2, ?
?
???
L
yx
dyyxdxyx
22
)()(
,L其中 为圆周
222
ayx ?? ( 按逆时针方向饶行 ) ；
3, ?
?
?? y d zdydx,其中为有向闭折线 ABCD,这里
的 CBA,,依次为点 (1,0,0 ),( 0,1,0),( 0,0,1) ；
4, ?
?
?
A B C D A
yx
dydx
,其中 A B C DA 是以 )0,1(A, )1,0(B,
)0,1( ?C,)1,0( ?D 为顶点的正方形正向边界线,
三,设 z 轴与重力的方向一致,求质量为 m 的质点从位
置 ),,(
111
zyx 沿直线移到 ),,(
222
zyx 时重力所作
的功,
四,把对坐标的曲线积分
?
?
L
dyyxQdxyxP ),(),( 化成
对弧长的积分,L其中 为,
1, 在
x o y
面内沿直线从点 (0,0 ) 到点 (1,1) ；
2, 沿抛物线
2
xy ? 从点 (0,0 ) 到点 (1,1 ) ；
3, 沿上半圆周 xyx 2
22
?? 从点 (0,0 ) 到点 (1,1).
练习题答案
一,1,坐标； 2, -1 ； 3,起,点；
4, dzRQ d yPd x?
?
??
dsRQP )c o sc o sc o s( ????
?
???,
二,1, ;
2
3
a
?
? 2, ?? 2 ；
3,
2
1； 4, 0,
三,? ? )(,,0,0
12
zzmgWmgF ???,
四,1,
?
?
L
dyyxQdxyxP ),(),(
?
?
?
L
ds
yxQyxP
2
),(),(；
2, ? ?
L
dyyxQdxyxP ),(),(
?
?
?
?
L
ds
x
yxxQyxP
2
41
),(2),(；
3, ? ?
L
dyyxQdxyxP ),(),(
? ????
L
dsyxQxyxPxx )],()1(),(2[
2
.
