§ 1 拉格朗日定理和函数的单调性
§ 2 柯西中值定理及不定式极限
§ 3 泰勒公式
§ 4 函数的极值与最值
§ 5 函数的凹凸性与拐点
§ 6 函数图象的讨论
§ 1 拉格朗日定理和函数的单调性
一 问题的提出
我们知道，导数是刻划函数在一点处变化
率的数学模型，它反映的是函数在一点处的局
部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常
常需要把握函数在某区间上的整体变化性态，
那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何
关系呢？中值定理正是对这一问题的理论诠释。
中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该
区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既
是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又
是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。
二 微分中值定理
微分中值定理的核心是拉格朗日 (Lagrange)
中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理
是它的特例，柯西定理是它的推广。
1 预备定理 —— 费马（ Fermat）定理
.0)( )(
),( )(
00
0
?? xfxxf
xbaxf
可微，则在点且
取得最值，内一点在若函数
费马（ Fermat,1601-1665），法国人，与笛卡尔
共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著于世。
x
y
o
)(xfy ?
a b1? 2?ba
几何解释,
.
0
位于水平位置的那一点
续滑动时，就必然经过
，当切线沿曲线连率为
显然有水平切线，其斜
曲线在最高点和最低点
证明, 达到最大值证明。在只就
0)( xxf
),()(
,),()(
00
00
xfxxf
baxxxxf
??
?
?
?
就有
内在达到最大值，所以只要在由于
,0)()( 00 ??? xfxxf ?即;0,0 )()( 00 时当从而 ???? xx xfxxf ???;0,0 )()( 00 时当 ???? xx xfxxf ???
0 )()( lim0)( 00
0x0
??????
?? x
xfxxfxf
?
?
?
这样
.0 )()( l i m0)( 00
0x0
??????
?? x
xfxxfxf
?
?
?
0)( 0 ?? xf所以
几何解释, a b1? 2? x
y
o
)(xfy ?
.,的在该点处的切线是水平上至少有一点在曲线弧 CAB
C
2 罗尔 (Rolle)定理
罗尔 （ R o l l e ）定理 如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba
上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且在区间端点的函数
值相等，即 )()( bfaf ?,那末在 ),( ba 内至少有一点
)( ba ????,使得函数 )( xf 在该点的导数等于零，
即 0)(
'
??f
证
.)1( mM ?若
,],[)( 连续在 baxf?,mM 和最小值必有最大值
.)( Mxf ?则
.0)( ?? xf由此得 ),,( ba???,0)( ???f都有
.)2( mM ?若 ),()( bfaf ??
.取得最值不可能同时在端点?
),( afM ?设
.)(),( Mfba ??? 使内至少存在一点则在
),()( ????? fxf?,0)()( ??????? fxf
,0??x若 ;0)()( ?? ????? x fxf则有
,0??x若 ;0)()( ?? ????? x fxf则有;0)()(lim)( 0 ?? ????????? ???? x fxff x;0)()(li m)( 0 ?? ???????? ???? x fxff x,)( 存在??f?
).()( ?????? ?? ff,0)( ???? f只有
注 1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其
结论可能不成立,
例如,];1,1[,??? xxy
例如,
X
Y
-1 10注 2:若罗尔定理的条件仅
是充分条件，不是必要的,
?
?
?
?
??
?
1 0
11-
)(
2
x
xx
xf
0)0( ??f
例 1
.015 有且仅有一个正实根证明方程 ??? xx
2）唯一性
,1)( 5 ??? xxxf设,]1,0[)( 连续在则 xf
.1)1(,1)0( ??? ff且 由零点定理
.0)(),1,0( 00 ??? xfx 使即为方程的正实根,
,),1,0( 011 xxx ??设另有,0)( 1 ?xf使
,,)( 10 条件之间满足罗尔定理的在 xxxf?
使得之间在至少存在一个 ),,( 10 xx??,0)( ???f
015)( 4 ???? xxf但 ))1,0(( ?x 矛盾,.为唯一实根?
证,1）存在性
3 拉格朗日 (Lagrange)中值定理
拉格朗日 （ Lagrange ）中值定理 如果函数 f ( x ) 在
闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,那末在
),( ba 内至少有一点 )( ba ????,使等式
))(()()(
'
abfafbf ???? 成立,
得到将罗尔定理条件中去掉 ),()( bfaf ?
).()()( ????? fab afbf结论亦可写成
a b1? 2?x xo
y
)(xfy ?
A
BC
DN
M几何解释,
.
,
AB
C
AB
线平行于弦
在该点处的切一点
上至少有在曲线弧
证 分析, ).()( bfaf ?条件中与罗尔定理相差
弦 AB方程为 ).()()()( axab afbfafy ?????
,)( ABxf 减去弦曲线
.,两端点的函数值相等所得曲线 ba
化
归
证
明
法
作辅助函数
)].()()()([)()( axab afbfafxfxF ??????
,)( 满足罗尔定理的条件xF
.0)(,),( ???? Fba 使得内至少存在一点则在
0)()()( ?????? ab afbff即
).)(()()( abfafbf ?????或 拉格朗日中值公式
注意,拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的
增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系,
).10()()()( 000 ????????????? xxxfxfxxf
).10()( 0 ??????????? xxxfy也可写成
拉格朗日中值公式又称 有限增量公式,
推论 1
.)(
,)(
上是一个常数在区间那末
上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
Ixf
拉格朗日中值公式另外的表达方式：
),(,2121 xxxxI ?上任取两点证明：在
)( ))(()()( 211212 xxxxfxfxf ?????? ??则
0)()(,0)( 12 ????? xfxff ?? )()( 12 xff ?即
.)(,21 上是常数在的任意性，所以由于 Ixfxx
例 2,)1ln (1,0 xxxxx ????? 时证明当
证 ),1ln ()( xxf ??设
,],0[)( 上满足拉氏定理的条件在 xxf
)0(),0)(()0()( xxffxf ?????????
,1 1)(,0)0( xxff ????? 由上式得,1)1ln( ???? xx
x???0?又 x????? 111,11 11 1 ????? x
,11 xxxx ??????,)1l n (1 xxxx ????即
第四节 函数的单调性
二 单调性的判别法
第四节（ I） 函数的单调性
三 单调区间求法
四 单调性的应用
五 小结与思考判断题
一 问题的提出
1 问题的提出
x
y
o
)(xfy ?
x
y
o
)(xfy ?
a b
A
B
0)( ?? xf
0)( ?? xfa b
B
A
若 在区间（ a,b)上单调上升)( xfy ?
若 在区间（ a,b)上单调下降)( xfy ? 0)( ?? xf
三 函数的单调性
2 单调性的判别法
定理
.],[
)(0)(),()2(
],[
)(0)(),(1
.),(],[)(
上单调减少在
，那末函数内如果在
上单调增加；在
，那末函数内如果在）（
内可导上连续，在在设函数
ba
xfyxfba
ba
xfyxfba
babaxfy
???
???
?
证 ),,(,21 baxx ??,21 xx ?且 应用拉氏定理,得
)())(()()( 211212 xxxxfxfxf ?????? ??
,012 ?? xx?
,0)(),( ?? xfba 内，若在,0)( ?? ?f则
).()( 12 xfxf ??,],[)( 上单调增加在 baxfy ??
,0)(),( ?? xfba 内，若在,0)( ?? ?f则
).()( 12 xfxf ??,],[)( 上单调减少在 baxfy ??
例 1
解
.]20[s i n 上的单调性，在判断函数 ?xxy ??
.0c o s1 ???? xy?
,0??y
.函数单调增加?
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
例 2
解
,的单调性判断函数 xey x ??
.1??? xey?
,)0,( 内在 ??,0??y
函数单调减少；?
,),0( 内在 ??,0??y,函数单调增加?
注 1:要用导数在区间上的符号来判定，而不能用
一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
).,(,????D?又
-3 -2 -1 1 2 3
2
3
4
5
注 2：函数在定义区间上不是单调的，但在各
个部分区间上单调．
3 单调区间求法
1、单调区间 定义,若函数在其定义域的某个区
间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间,
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间
的分界点．
.
,)(
)(0)(
数的符号
然后判断区间内导的定义区间来划分函数
不存在的点的根及用方程
xf
xfxf ???
2、单调区间 的划分
例 3
解
.312
92)( 23
的单调区间
确定函数
??
??
x
xxxf
).,(,????D?
12186)( 2 ???? xxxf )2)(1(6 ?? xx
得，解方程 0)( ?? xf,2,1 21 ?? xx
时，当 1???? x,0)( ??f 上单调增加；在 ]1,( ???
时，当 21 ?? x,0)( ?? xf 上单调减少；在 ]2,1[?
时，当 ???? x2,0)( ?? xf 上单调增加；在 ),2[ ???
单调区间为,]1,(??,]2,1[ ).,2[ ??
例 4
解
.)( 3 2 的单调区间确定函数 xxf ?
).,( ????函数的定义域为?
)0(,3 2)( 3 ??? xxxf
.,0 导数不存在时当 ?x
时，当 0???? x
,0)( ?? xf 上单调增加；在 ),0[ ??? 时，当 ???? x0
,0)( ?? xf 上单调减少；在 ]0,( ???
单调区间为,]0,(?? ).,0[ ??
3 2xy ?
的单调区间。
确定函数例 31292)(.3 23 ???? xxxxf
解,1） 定义域为 (-∞,+∞)
2) f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)
3)列表：
令 f'(x)=0 得 x1=1 x2=2
4）由表可知：函数的单调增区间为（ -∞, 1]∪[2, +∞ ）
单调减区间为（ 1,2）。
x
y'
y
(-∞, 1)
+
1
0
（ 1,2）
- +
(2,+∞)2
0
练习：确定函数 y=2x3+3x2-12x+1的单调区间。
例 4：
的单调区间求函数 x1 x)x(f
2
??解,1）定义域为 (-∞, -1)∪ （ -1,+∞).
2)x1(
)2x(x)x('f2
?
??）
020)(' 21 ???? xxxf,得令
3)列表,
(-∞, -2)
+
-2
0
（ -1,0）
-
0
0 +
(0,+∞)
4） 由表可知函数的单调增区间为 (-∞, -2)∪(0, +∞)
单调减区间为（ -2,-1） ∪ （ -1,0）。
x
y’
y
（ -2,-1）
-
4 单调性的应用
例 5
证
.132,1 成立试证时当 xxx ???
)1(111)( 22 ????? xxxxxxf则
,0)(),1(,),1[)( ?????? xfxf 可导，且上连续在
上单调增加；故在 ),1[ ??,0)1( ?f?
时，当 1?? x
xxxf
132)( ???设
0)( ?xf
.132,1 成立时当 xxx ???
只有一个实根。试证例 xx ?s i n6
0,?x观察法解：先证存在性
01c o s)( ???? xxf
xxxf ?? s i n)(
(
设
应用单调性）再证唯一性
四,小结与作业
1.拉格朗日中值定理及推论,
2.函数单调性的判定方法与步骤,
3.作业,P124,
1(1)~(2),2(1)~(2),3,4(1)~(3).
5(1(~(2).6(1)~(4).7(1)~(3),
思考判断题
2 若,则 在原点的充分小的邻
域内单调递增
0)( ?? xf )(xf
1 区间内个别点导数为零,影响区间的单调性,
3 单调函数的导函数仍是单调函数 。
§ 2 柯西中值定理及不定式极限
一、柯西 (Cauchy)中值定理
柯西 （ C a u c h y ）中值定理 如果函数 )( xf 及 )( xF
在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且 )(
'
xF
在 ),( ba 内每一点处均不为零，那末在 ),( ba 内至少
有一点 )( ba ????,使等式
)(
)(
)()(
)()(
'
'
?
?
?
?
?
F
f
bFaF
bfaf
成立,
几何解释,
)( 1?F )( 2?F xo
y ??
?
?
?
)(
)(
xfY
xFX
)(aF
A
)(bF
BC
D
)(xF
N
M
.
)),(),((
AB
fFC
AB
弦
该点处的切线平行于
在一点
上至少有在曲线弧
??
证 作辅助函数
) ],()([)()( )()()()()( aFxFaFbF afbfafxfx ???????
,)( 满足罗尔定理的条件x?
.0)(,),( ??? ?? 使得内至少存在一点则在 ba
,0)()()( )()()( ????????? FaFbF afbff即
.)( )()()( )()( ?? ?????? FfaFbF afbf
.0)(,),( ??? ?? 使得内至少存在一点则在 ba
,)( xxF ?当,1)(,)()( ????? xFabaFbF
)(
)(
)()(
)()(
??
???
?
?
F
f
aFbF
afbf ).()()( ???
?
? f
ab
afbf
例 1
,0s i n1)(
,c o s)(,]
2
,0[)(),(
件满足柯西中值定理的条
上连续、可导在解：
????
??
xxg
xxfxgxf
?
1
2
1
)0()
2
(
)0()
2
(
?
?
?
?
??
?
gg
ff
性。确验证柯西中值定理的正
上在区间及对函数
]
2
,0[c o s)( s i n)(
?xxxgxxf ???
x
x
xg
xf
s i n1
c o s
)(
)(
???
?
?
?
? s i n1
c o s
1
2
1
?
?
?
由柯西中值定理得
?
??? 4
2t a n
x解方程
?
?? ??? 4a r c t a n22 nx解得
21a r c t a n2
4a r c t a n20
0
?
?
? ????? xn 时，当
使则有 ),2,0(),2,0( 00 ??? ???? xx
)(
)(
)0()
2
(
)0()
2
(
?
?
?
?
g
f
gg
ff
?
?
?
?
?
二、不定式极限
型未定式00
点可导，点的导数，假设在在考察函数 aaxf )(
ax
afxfaf
ax ?
???
?
)()(lim)(
。分子分母同时趋向于
时，限当是一个常数值，上述极
0
)( axaf ??
,ta nlim
0 x
x
x?
)00(
型未定式??
,s i nln s i nlnlim
0 bx
ax
x ? )( ?
?
洛必达 (L’Hospital,1661-1704)
.
)(
)(
lim
)(
)(
lim
);(
)(
)(
lim)3(;0)()(
)(),()2(;)()(,)1(
xF
xf
xF
xf
xF
xf
xFxF
xfaa
xFxfax
axax
ax
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
那末
或为无穷大存在
都存在且及
本身可以除外点点的某领域内在
都趋于零及函数时当设
定理 1 )00(
洛必达法则
证
,,0 ),()(1 ??? ??? ax axxfxf,,0 ),()(1 ??? ??? ax axxFxF
,),(0 xaU 内任取一点在 ?,为端点的区间上与在以 xa
,)(),( 11 件满足柯西中值定理的条xFxf 则有
)()(
)()(
)(
)(
aFxF
afxf
xF
xf
?
??
)(
)(
?
?
F
f
?
??
)( 之间与在 ax?
,,aax ?? ?时当,)( )(lim AxF xfax ?????,)( )(li m AFfa ???? ? ???
.)( )(lim)( )(lim AFfxF xf aax ????? ?? ???
,)()( )()( )( 无关及的极限与 agafaxxg xf ??
辅助函数
所以定义
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再
求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则,
.,该法则仍然成立时当 ??x
例 2
解
.123lim 23
3
1 ???
??
? xxx
xx
x
求
123
33lim
2
2
1 ??
??
? xx
x
x
原式
26
6l i m
1 ?
?
? x
x
x,2
3?
)00(
例 3
解
.2t a nl i m
0 x
x
x ?
求
)(
)2( t a nlim
0 ?
??
? x
x
x
原式
1
2s e c2lim 2
0
x
x ?
?,2?
)00(
例 4
解
.s i ns i nl i m
0 bx
ax
x ?
求
bxb
axa
x c o s
c o slim
0?
?原式,
b
a?
)00(
例 5
解
.
1
a rc t a n
2lim
x
x
x
?
???
?
求
2
2
1
1
1
l i m
x
x
x
?
?
?
?
???
原式
2
2
1lim x
x
x ?
?
???,1?
)00(
例 6
.s i nl i m 3
0 x
xx
x
?
?
求
)00(
解
20 3
c o s1l i m
x
x
x
??
?
原式
)00(
x
x
x 6
s i nlim
0?
?
6
1?
注意,1) 使用罗必塔法则必须验证条件，不是
未 定式不能用罗必塔法则；
2)罗必塔法则可以连续应用，必须步步化
简（尽可能地化简）、步步验证求未定式
的极限,
例 7
xx
xx
x s i n
s i nt a nl i m
20
?
?
xx
xx
x ?
??
? 20
s i nt a nlim原式
2
2
0 3
1s e cl i m
x
x
x
??
?
2
2
0 3
)( t a nlim
x
x
x ?
?
3
1
3
lim 2
2
0
??
? x
x
x
.
)(
)(
lim
)(
)(
lim
);(
)(
)(
lim)3(;0)()(
)(),( )2(;)()(,)1(
xF
xf
xF
xf
xF
xf
xFxF
xfaa
xFxfax
axax
ax
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
那末
或为无穷大存在
都存在且及
本身可以除外点点的某领域内在
都趋于无穷及函数时当设
定理 2 )(
?
?
.,该法则仍然成立时当 ??x
例 8
解
.3t a nt a nl i m
2
x
x
x ??
求
x
x
x 3s e c3
s e clim
2
2
2
??
?原式
x
x
x
2
2
2
c o s
3c o sli m
3
1
??
?
xx
xx
x s i nco s2
3s i n3co s6lim
3
1
2
?
??
?? x
x
x 2s i n
6s i nlim
2
??
?
x
x
x 2co s2
6co s6l i m
2
??
?,3?
)(??
注意 3：若导数比的极限不存在，不能判断
原函数极限不存在 。
例如,
xx
xx
x s i n
s i nl i m
?
?
?? x
x
x c o s1
c o s1lim
?
??
??
1
s i n
1
s i n
1
l i m ?
?
?
???
x
x
x
x
x
xx
xx
x ee
ee
?
?
?? ?
?l i m
xx
xx
x ee
ee
?
?
?? ?
?? l i m
)1(
)1(
lim 2
2
ee
ee
xx
xx
x ?
?
?? ?
?
? 1
)1(
)1(
l i m 2
2
?
?
?
? ?
?
?? e
e
x
x
x
事实上
)11(
c o s1l i m 2
0 ??
?
? xx
x
x
)11(
s i nlim 2
0 ??
?
? xx
x
x
11
lim
0 ??
?
? x
x
x
2??
例题
三 其他未定式
型00,1,0,,0 ?????? ?
例 8
解
.lnl i m
0
xx
x ??
求
)0( ??
x
x
x
10
lnlim
??
?原式
2
0 1
1
l i m
x
x
x
?
?
??
解法,将其它类型未定式化为洛必达法则可解
决的类型 ),00( )(??
型??0 1
0)(lim 0 ??? ?? xx
例 9
解
)( ???
型???.2
)t a n( s e clim
2
xx
x
?
? ? x
x
x c o s
s i n1
l i m
2
?
?
?
?
x
x
x s i n
c o s
l i m
2
?
?
?
?
? 0c o tlim
2
??
?
x
x ?
)t a n( s e cl i m
2
xx
x
?
? ?
求
),00(
型00,1,0.3 ??
例 10
解
.lim0 xx x??求
)0( 0 xxx e ln0l i m ???原式 xxxe lnl i m0 ???
2
0 1
1
li m
x
x
x
e
???
?
0e?,1?
x
x
x
e
1
lnlim
0 ??
?
解：原式
例 11
1
]
l i m
)1[(
1
0
??
?
?
?
x x
x
x
xe
x
)1l n (
0
l i m ???
? exe
x ??
???
?
1
1
0
l i m
x
xe x
x
1
0
)1(
lim
??
?
求
)00(
四 小结与思考判断题
Rolle
定理
Lagrange
中值定理
Cauchy
中值定理
xxF ?)()()( bfaf ?
1）罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定
理之间的关系；
2）利用中值定理证明等式与不等式,
Fermat
定理
四 小结与思考判断题
洛必达法则 型00,1,0 ??
型??? 型??0
型00
型??
思考判断题1 设 是 不 定 型 极 限, 如 果 的
极限不存在,的极限也一定不存在,
)(
)(lim
xg
xf
ax? )(
)(l i m
xg
xf
ax ?
?
?
)(
)(lim
xg
xf
ax?
所以其极限不存在。
求出，极限不能用罗必达法则因为
x
x
x
x
1
s i ns i n
lim.2
2
0?
思考题
1 拉格朗日中值定理的条件缺少一个，
结论就可能不成立,
2,)(),( 件满足柯西中值定理的条若 xgxf
)(
)(
))((
))((
)()(
)()(
?
?
?
?
g
f
abg
abf
la g r a n g e
agbg
afbf
?
?
?
??
??
?
?
定理应用
证：得柯西中值定理可如下
§ 3 泰勒公式
一 问题的提出
1,设 )( xf 在 0x 处连续,则有
2,设 )( xf 在 0x 处可导,则有
)()( 0xfxf ?
))(()()( 000 xxxfxfxf ????
])()([ 0 ??? xfxf关系，有根据极限与无穷小量的
))((
)()()(
00
00
xxxf
xxfxfxfdyy
???
???????
)())(()()( 0000 xxOxxxfxfxf ??????
不足
问题 寻找函数 )( xP,使得 )()( xPxf ?误差 )()()( xPxfxR ?? 可估计
1、精确度不高；
2、误差不能估计。
设函数 )( xf 在含有 0x 的开区间 ),( ba 内具有直到
)1( ?n 阶导数,)( xP 为多项式函数
误差 )()()( xPxfxR nn ??
xxxexxx x ?????? )1l n (,1,s i n,0
nnn xxoxxaxxaaxf )()()()( 00010 ???????? ?
)(xPn )(xRn
二 nP 和 nR 的确定
0x
)(xfy ?
o x
y
分析,
)()( 00 xfxP n ?
)()( 00 xfxP n ?????
)()( 00 xfxP n ???
????
2.若有相同的切线
3.若弯曲方向相同
近
似
程
度
越
来
越
好
1.若在 点相交0x
假设 nkxfxP kkn,,2,1)()( 0)(0)( ???
),( 00 xfa ?
代入 )( xP n 中得
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxP
)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
??
??
??
????? ?
得 ),,2,1,0()(!1 0)( nkxfka kk ???
),(1 01 xfa ??? )(!2 02 xfa ????
,?? )(! 0)( xfan nn ??
三 泰勒 (Taylor)中值定理
泰勒 (Taylor) 中值定理 如果函数 )( xf 在含有
0
x 的某个开区间 ),( ba 内具有直到 )1( ?n 阶的导数,
则当 x 在 ),( ba 内时,)( xf 可以表示为 )(
0
xx ? 的
一个 n 次多项式与一个余项 )( xR
n
之和,
)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
????
?
??
?????
?
其中 10
)1(
)(
)!1(
)()( ?? ?
?
? n
n
n xxn
fxR ? (? 在
0x 与 x 之间 ),
证明,
由假设,)( xR n 在 ),( ba 内具有直到 )1( ?n 阶
导数,且两函数 )( xR n 及 10 )( ?? nxx 在以 0x 及 x 为端点的
区间上满足柯西中值定理的条件,得
)())(1( )( 0
01
1 之间与在 xx
xn
R
n
n ?
?
?
??
??
0)(
)()(
)(
)(
1
0
0
1
0 ??
??
? ?? n
nn
n
n
xx
xRxR
xx
xR
0)()()()( 0)(000 ???????? xRxRxRxR nnnnn ?
如此下去,经过 )1( ?n 次后,得
两函数 )( xR
n
? 及 nxxn ))(1(
0
?? 在以
0
x 及
1
? 为端点
的区间上满足柯西中值定理的条件,得
0))(1(
)()(
))(1(
)(
01
01
01
1
???
????
??
?
n
nn
n
n
xn
xRR
xn
R
?
?
?
?
? ? !1
)(
)(
)(
)1(
1
0 ?
?
?
?
?
n
R
xx
xR
n
n
n
n ?
( 之间与在 nx ?? 0,也在 0x 与 x 之间 )
)())(1( )( 1021
02
2 之间与在 ??
?
? x
xnn
R
n
n
???
???
?
?
??
n
k
k
k
n xx
k
xf
xP
0
0
0
)(
)(
!
)(
)(
称为 )( xf 按 )( 0xx ? 的幂展开的 n 次近似多项式?
?
???
n
k
n
k
k
xRxx
k
xf
xf
0
0
0
)(
)()(
!
)(
)(
称为 )( xf 按 )( 0xx ? 的幂展开的 n 阶泰勒公式
? ? )()(!1
)()(
0
1
0
)1(
之间与在 xxxxnfxR n
n
n ?
? ?? ?
??
则由上式得
,0)()1( ?? xP nn? )()( )1()1( xfxR nnn ?? ??
定理 1 （带 lagrange余项的泰勒定理）
如果 f(x)在 点邻域内有 n+1 阶导数，
则
x0 )()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
????
?
??
?????
?
其中 10
)1(
)(
)!1(
)()( ?? ?
?
? n
n
n xxn
fxR ? ( ? 在
0x 与 x 之间 ),
拉格朗日形式的余项
? ? ? ?
1
0
1
0
)1(
)(
!1
)(
!1
)(
)( ??
?
?
?
??
?
? nn
n
n xxn
M
xx
n
f
xR
?
皮亚诺形式的余项
0)( )(l i m
00
??
? n
n
xx xx
xR及 ].)[()(
0 nn xxoxR ??即
定理 2 （带 peano余项的泰勒定理）
如果 f(x)在 点邻域内有 n+1 阶导数，则x
0
))(()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
00
0
)(
2
0
0
000
nn
n
xxoxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
????
??
??
????? ?
1,当 0?n 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
)())(()()( 000 之间与在 xxxxfxfxf ?? ????
2,取 0
0
?x,
? 在 0 与 x 之间,令 )10( ??? ??? x
则余项
1
)1(
)!1(
)(
)(
?
?
?
?
n
n
n
x
n
xf
xR
?
几点说明：
n
n
xnfxfxffxf ! )0(!2 )0()0()0()(
)(
2 ???????? ?
1
)1(
)!1(
)( ??
?
? n
n
x
n
f ?
)1,0(??
（ 3） 00 ?x （麦克劳林公式）
四 常用 n阶泰勒公式及其简单应用
例 1 求 xexf ?)( 的 n 阶麦克劳林公式,
解,)()()( )( xn exfxfxf ??????? ??
1)0()0()0()0( )( ????????? nffff ?
xn exf ?? ?? )()1(注意到
).10()!1(!!21 1
2
????????? ? ?
?
n
xn
x x
n
e
n
xxxe ?
).10()!1()!1()( 1 ?????? ? ?
?
n
xx
n xn
e
n
exR
!!21
2
n
xxxe nx ????? ?
!
1
!2
111,1
nex ?????? ?取
.)!1( 3?? n )!1?? eR n
)
2
s i n ()()( ?nxxf n ??解：
)
2
s i n ()0(
1)0(,0)0(,1)0(,0)0(
)( ?n
ffff
f
n
?
???????????
R m
m
m
xxxxxx
2
12753
)!12(!7!5!3
s i n ?
?
??????
?
?
12
2 )!12(
]
2
)12(s i n [
?
?
??
? mm x
m
mx
R
?
?
10 ???
例 2 求 的 n 阶麦克劳林公式,xxf s i n)( ?
xxm ?? s i n,1
3
!3
1s i n,2 xxxm ???
53
!5
1
!3
1s i n,3 xxxxm ????
0 1 2 3 4
0
0, 5
1
t r a c e 1
s i n ( )x
x
xy s i n?
xy?
xxy 3!31??
xxxy 53 !51!31 ???
例 3 求 xxxf ln)( 3? 在 x=1点的四阶泰勒公式;1)1(,ln3)(,0)1( 22 ?????? fxxxxff
2
)5()4()4( 6
)(;6)1(,
6
)(;11)1(,11ln6)(;5)1(,5ln6)(
x
xff
x
xf
fxxf
fxxxxf
????
?????????
???????
)1)1
)1
5
)5(
4
)4(
2
(
!5
)(
(
!4
)1(
(
!2
)1(
)1)(1()1()(
??
?
??
?
??
?????
xx
f
x
f
f
xffxf
?
?
例 4：求极限 3
)1(s i nlim
x
xxxe x
x
??
??
)(!3!21 3
32
xoxxxe x ??????
)(!3s i n 3
3
xoxxx ???
????
?? 3
)1(s i nlim
x
xxxe x
x
3
3
3
3
32
)1()(
!3
)(
!3!2
1
l i m
x
xxxo
x
xxo
xx
x
x
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
????
??
3
3
33
)(
!3!2lim
x
xoxx
x
??
?
?? 6
1?
罗尔定理
Lagrange 定理 柯西定理
泰勒公式 罗必塔法则
条
件
，
结
论
五 小结与思考判断题
其它函数的麦克劳林公式
)(
)!12(
)1(
!5!3
s in
22
1253
?
?
?
?
??????
n
n
n
xo
n
xxx
xx ?
)(
)!2(
)1(
!6!4!2
1c o s
2
2642
n
n
n
xo
n
xxxx
x ???????? ?
)(
1
)1(
32
)1ln (
1
132
?
?
?
?
???????
n
n
n
xo
n
xxx
xx ?
)(1
1
1
2 nn
xoxxx
x
??????
?
?
)(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
2
nn
m
xox
n
nmmm
x
mm
mxx
?
???
?
?
?
????
?
?
435
)4(
234
????
?
xxxx
x 的乘幂展开多项式按
思考判断题
§ 4 函数的极值与最值
1.确定函数 f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间,
1）函数 f(x)的定义域为（ -∞, +∞ ）
2）又 f’(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)
令 f’(x)=0,得 x=1或 x=2.
3）
4）单调增区间为 (-∞, 1]和 [2,+∞ ）
单调减区间为 [1,2]
x
f’(x)
f(x)
(-∞,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞）
+ +0 0-
解：
复习引入
2.根据单调性画出函数 f(x)的草图
由图知,f(x)在 x=1处的函数值 大于 它近两旁各点的函数值；
而 f(x)在 x=2处的函数值 小于 它近两旁各点的函数值。
3x12x9x2)x(f 23 ????
x
y
1
2
-1
-2
1 2
f’(1)=0
f’(2)=0
0
左右近旁的函数值考察在点 54321,,,,CCCCC
一,极值的概念
?定义：设 f(x)在区间 (a,b)上有定义,x0∈ (a,b)
极值
极小值
极大值
极值点
极小值点
极大值点
注,1）极值是指函数值，而极值点是自变量的值；
2）函数的极值概念具有局部性；在小范围内相比比较
而言该点的函数值较大，而不是在整个定义域上最
大或最小，所以函数的极大值不一定比极小值大。
3）函数极值点必出现在区间内部，而不在区间的端点。
讲授新课
的一个称为点的一个函数
是成立，则称有近旁且在点如果
)()(
)()()(,)1
0
0000
xfxxf
xfxfxfxxxx ???极大值,极大值点,
的一个称为点的一个是函数
成立，则称有近旁且在点如果
)()(
)()()(,)2
0
0000
xfxxf
xfxfxfxxxx ???极小值,极小值点,
几何特征：
结论,1） f(x)在 x0处有极值且可导，则 f’(x0)=0
2） f(x)在 x0处有极值且可导，则 f’(x0)在 x0的左右
两旁的符号要改变。
f’(x)从 +到 - f’(x)从 -到 +
x
y
0 x
y
0x0
+ -
x0
+-
二,判定定理
?定理, 0)x('fx)x(f
00 ?及其近旁可导，且在点设函数
处没有极值。在点
相同，那么函数两侧，函数的导数符号）如果在（
0
0
x
)x(fx3
处取得在点那么函数近旁的值时，有
右侧取当左侧近旁的值时，有取）当（
0
00
)(,0)('
,0)('1
xxfxf
xxxfxx
?
?
极大值,
处取得在点那么函数近旁的值时，有
右侧取当左侧近旁的值时，有取）当（
0
00
)(,0)('
,0)('2
xxfxf
xxxfxx
?
?
极小值,
?极值的求法：
1）求出函数 f(x)的定义域；
2）求出函数 f(x)的导数 f'(x)；
3）令 f’(x)=0,解出方程 f'(x)=0的全部解，得到 f(x)的
全部驻点。
4）用驻点把函数的定义域划分成若干个部分区间，
考察每个部分区间内 f’(x)的符号，以确定该驻点
是否为极值点，并由极值点求出函数的极值。
?例题与练习
.4931)(.1 3 的极值求函数例 ??? xxxf
解,）；，的定义域为（ ????)x(f)1
)3x)(3x(9x)x('f)2 2 ?????
3x,3x0)x('f)3 21 ????,解之得驻点令
的符号列表考察 )x('f)4
x
f’(x)
f(x)
(-∞,-3) -3 (-3,3) 3 (3,+∞）
+ +0 0-
极大值
22
极小值
-14
由上表得 极大值 f(-3)=22,极小值 f(3)=-14
练习 1,求函数 y=xln2x
例 2.求函数 f(x)=(x2-1)3的极值
解,），的定义域为（ ????)x(f)1
???? xxxf 2)1(3)(')2 22
1x,0x,1x0)x('f)3 321 ?????,解之得驻点令
的符号列表考察 )x('f)4
x
f’(x)
f(x)
(-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1）
++0 0-
极小值
-1
-
(1,+∞)1
0
的极值求函数 xx32x51)x(f 35 ???
极值点。
不是驻点值由上表知，函数有极小 1x1x,1)0('f 31 ?????
练习 2.
22 )1()1(6 ?? xxx
的符号）列表考察 )x('f4
上的极值在求函数例 ]2,2[c o ss i n)(.3 ????? xxxf
解：
]2,2[)x(f1 ???的定义区间为）函数
??? xxxf s i nc o s)('2 ）
4x0)x('f3
???,得驻点）令
x
f’(x)
f(x)
+ 0 -
极大值
）,24( ??）,42( ??? 4?
2
）上的极值，在（求函数 ?? 20xc o se)x(f x
2)
4
(f ??有极大值
由左表知，函数
练习 3.
)4c o s (2 x??
例 4,求函数 f(x)=x3-3x2-9x+5在 [-2,6]上的极值,
解,(1)f'(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3)
(2)令 f'(x)=0,3x,1x
21 ???解之得驻点为(3)列表考察 f'(x)的符号
x
f'(x)
f(x)
(-2,-1)
+
(-1,3) (3,6)3
00
-1
+-
(4)极小值 f(3)=-22,极大值 f(-1)=10草图：
由图知，极大值为 10
但不是最大值。
问题：求 f(x)=x3-3x2-9x+5
在 [-2,6]上的最大 (小 )值,
(-2,3)
-1-2
10
6
(3,-22)
3
(-1,10)
(6,59)
极大值
10
极小值
-22
x
y
0
函数最大值和最小值的一般求法：
(一 ) y=f(x) x∈[a,b]
(1)求出 f(x)的导数 f'(x)； 令 f'(x)=0，求出驻点；
(2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值；
(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的
最大值，最小的就是最大值,
三,函数的最值
例题与练习
.
]18[1)(.1
最大值和最小值
上的，在闭区间求函数例 ???? xxxf
解,(1).f(x)的定义域为 (-∞,1),[-8,1] (-∞,+1]?
(2).
x12
11)x('f
???
(3).令 f‘(x)=0，解之得驻点为
4
3x?
(5).比较大小得，在 [-8,1]上的最大值为,最小值为 -5.
4
5
(4).
1)1(f,5)8(f,45)43(f ?????
练习,求函数 y=x2-4x+6在闭区间 [-3,10]上的最大值
和最小值
例 2.求函数 f(x)=x2-2x+6的最值,
(1).f(x)的定义域为 (-∞,+∞).解：
(2).f’(x)=2x-2=2(x-1)
(3).令 f’(x)=0，解之得驻点为 x=1.
当 x∈ (-∞,1)时,f’(x)<0,单调递减,
当 x∈ (1,+∞)时,f’(x)>0,单调递增,
.5)1(f1x ??? 小值为是函数的最小值点，最
(二 )若函数在一个开区间或无穷区间 (-∞,+∞)内可导，
且有唯一的极值点,
0x
.)x(f)x(f 00 就是该区间上的最大值是极大值时，那么当
.)x(f)x(f 00 就是该区间上的最小值是极小值时，那么当
例 3.在半径为 R的半圆内作内接梯形，使其底为直径其他三边
为圆的弦，问应这样设计，才能使梯形的面积最大？
解,22 xRhx2 ??，则高设梯形的上底为
)Rx0(xR)Rx( 22 ?????
22
22
22
22
xR
x2RxR
xR
)xR(xxR'S
?
???
?
????
2
Rx0'S ??,得令
.2Rx 大值存在是唯一驻点，又面积最??,
2
Rx 就是最大值点??
.SR 梯形最大时，即当上底长为
(三 )：解决实际问题中的最大值问题的步骤：
(1).根据题意建立函数关系式,
(2).确定函数的定义域,.
(3).求函数 f(x)在给定区域上的最大值或最小值,
练习 3.求半径为 R的半圆的内接矩形的最大面积,
22 xR)R2x2(
2
1S ???于是梯形面积
例 4.生产某种商品 x个单位的利润是 P(x)=5000+x-0.00001x2(元 )
问生产多少个单位时获得的利润最大？
解,(1)函数关系式为 P(x)=5000+x-0.00001x2 (x>0).
(2)P’(x)=1-0.00002x
(3)令 P’(x)=0得驻点 x=5× 104
∵ x=5× 104是唯一驻点，又利润最大值存在,
练习：
最多？个工人作业时，产煤量情况下，每班安排多少
工艺不变的试求在作业条件，操作：
的函数千吨）是个人作业，每班产煤量某煤矿每班有
),
12
x
3(
25
x
)x(fy
x(yx
2
???
∴ 当生产 5× 104个单位时获得的利润最大,
?小结与作业
1）求出函数的定义域；
2）求出函数 f(x)的导数 f'(x)；
3）令 f’(x)=0,解出方程 f'(x)=0的全部解，得到 f(x)的
全部驻点。
4）列表考察 f’(x)的符号，以确定该驻点是否为极值点，
并由极值点求出函数的极值。
求函数极值的步骤：
小结与作业
最值问题的两种类型：
(1)求出 给定解析式 的导数 f'(x)； 令 f'(x)=0，求出驻点；
(2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值；
(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的
最大值，最小的就是最大值,
1.已知函数解析式及闭区间求最值,
2.实际问题求最值,
(1)根据题意建立函数关系式 y=f(x)；
(2)根据实际问题确定函数的定义域；
(3)求出函数 y=f(x)的导数，令 f‘(x)=0，求出驻点；
若定义域为开区间且驻点只存一个，则由题意判定函数
存在最大或最小值，则该驻点所对应函数值就是所求,
作业：
P146, 1,2,3,4,5.
§ 5 函数的凸性与拐点
1.函数 y=f(x)单调性的判定
K切 =f '(x)>0 y单调递增
凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的上方,
凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的下方,
K切 =f '(x)<0 y单调递减
x0
y0 p
x0
y0y=f(x) p
x
yy
xo o
2.几何特征 Ｉ
y=f(x)
连续曲线的凹弧段与凸弧段有分界点,
复
习
引
入
一,定义,若曲线 y=f(x)在某区间内位于其切线的 上方,则称
该曲线在此区间内是 凸 的,此区间称为 凸 区间, 若曲线位于其
切线的 下方,则称该曲线在此区间内是 凹 的,此区间称为 凹 区
间,
x
y
o
θ1 θ2 θ3a
b x
y
o
θ1θ2θ3
曲线的凹凸与拐点
a b
1.几何特征 Ⅱ
凸 型曲线,切线的斜率随着 X的增大而增大,
凹 型曲线,切线的斜率随着 X的增大而减小,
?
??
??
?
x1 x2x3 x1x2 x3
讲
授
新
课
连续曲线 y=f(x)上凹的曲线弧和凸的曲线弧的
分界点称为 拐点,
曲线 y=f(x)的凹凸性可以用 f′的单调性 来判定,
即 y=f(x)的凹凸性与 f″ 的符号有关,
(x)
(x)
设 f(x)在区间 (a,b)内具有二阶导数 f″,(x)
(1)如果在 (a,b)内 f″ >0,那末曲线在 (a,b)内
是 凸 的,
(x)
(2)如果在 (a,b)内 f″ <0,那么曲线在 (a,b)内
是 凹 的,
(x)
2.结论,
二,定理,
三,定义,
例 1.判定 y=ax2+bx+c的凹凸性, (a≠0)
解, 定义域为 (?∞,+∞ )
y'=2ax+b
当 a>0时,y">0,曲线 y=ax2+bx+c在
(?∞,+∞) 内是 凸 的,
当 a<0时,y"<0,曲线 y=ax2+bx+c在
(?∞,+∞) 内是 凹 的,
注：凹凸性的判定定理的记忆与二次函数的开口
方向相结合。
y"=2a
例 2.求下列曲线的凹凸区间与拐点
1.y=x4 ?2x3+1
解, （ 1） 定义域为（ ?∞,+∞ ）
（ 2） y'=4x3?6x2 y"=12x2?12x=12x(x?1)
（ 4） 列表
x
y″
y
（ ?∞, 0）
+
∪
0
0
（ 0,1）
?
∩
1
0
拐点（ 0,1） 拐点（ 1,0）
（ 1,+∞ ）
+
∪
∴ 已知曲线的 凸 区间为（ ?∞, 0） ∪ （ 1,+∞ ），
凹区间为（ 0,1）拐点为（ 0,1）与（ 1,0）,
（ 3） 令 y"=0,得 x =0,x =11 2
解,（ 1） 定义域为（ ?∞, +∞ ）
（ 2） y'=8(2x-1)3
（ 3） 显然 x∈ (?∞,+∞ ),y"≥0
∴ 凸区间（ ?∞, +∞ ），无拐点
2.y=(2x-1) +14
y"=48(2x-1)2
1.下列结论是否正确
（ 1）,由 f"(x0)=0所确定的点 (x0,f(x0))一定是拐点,
2.求下列曲线的凸区间与拐点
（ 2） y=ln(1+x2)
（ 2）,若函数 f(x)在 (a,b)内二次可导,且 f'(x)<0,
f"(x)>0,则曲线 y=f(x)在 (a,b)单调递减
且凸向上,
练习
（ 1） y=3x ?4x3+14
小结,
作业,
1.如何来研究函数的凹凸性,
2.凹与凸的定义,拐点的定义,
3.凹与凸的判定,
P153,
1,2,3,4,5.
§ 6 函数图象的讨论
引例 1：
的图象；x1y ?
引例 2,xa rc ta ny ?
轴；接近于
无限时，曲线当
x
x
yx 1???;
2
a r c t a n
??
????
y
xyx
近于直线
无限接时，曲线当
x
y
0 x
y
0
2??
2?
1
1
轴；接近于
无限时，曲线当
y
x
yx 10 ??；近于直线
无限接时，曲线当
2
a r c t a n
???
????
y
xyx
新课讲解
一,水平渐近线和垂直渐近线,
定义 1.
b)x(flimb)x(f x ???为极限，即以常量函数
那么直线 y=b称为曲线 y=f(x)的水平渐近线,
那么直线 y=x0称为曲线 y=f(x)的垂直渐近线,
)xx ??????或（
时，
或有时仅当如果当自变量 )00( 000 ????? xxxxxx
??? )(lim)(
0
xfxf xx为无穷大，即函数
)0000 ?? ?? xx xx或（
时，或有时仅当如果当自变量 )xx(x ????????
如,引例 1中,
????
???? x
xfx
xxx
1l i m)(l i m01l i m
00
引例 2中,
2a r c t a nlim)(lim
???
??????
xxf
xx
为垂直渐近线；为水平渐近线；则,00 ?? xy
2a r c t a nlim)(lim
????
?????? xxf xx
的两条水平渐近线；为故,xyy a r c t a n2 ??? ?
例 1,求下列曲线的水平渐近线或垂直渐近线,
x1
1y1
??）（
解,??
??? ??? x1
1lim0
x1
1lim)1(
1xx
∴ y=0是水平渐近线,x=1是垂直渐近线
练习,求下列曲线的水平渐近线或垂直渐近线
x
xs i ny)2()1xl n (y)1( ???
二,函数图象的描绘,
描绘函数图象的一般步骤为：
(1)确定函数 y=f(x)的定义域，考察函数的奇偶性,
(2)求出 f’(x)及 f’’(x),解出方程 f’(x)=0和 f’’(x)=0在其
定义域内的全部实根，用这些根把定义域分成
若干个部分区间；
(4)确定曲线的水平渐近线和垂直渐近线；
(5)需要时计算一些辅助点； (如与 x轴,y轴的交点 ).
(6)结合上面的讨论结果，作出函数 y=f(x)的图象,
(3)考察在各个部分区间内 f’(x)和 f’’(x)的符号，列
表确定函数的单调性，函数的极值，曲线的凹
凸性和拐点；
例 2.
的图象作函数 xx31)x(f 3 ??
解：
)x(f)xx31(xx31)x(f1 33 ???????????? ）且，）定义域为（（
点对称为奇函数，图象关于原则 )x(f
0x0)x(''fx2)x(''f
,1x,1x0)x('f),1x)(1x1x)x('f2
3
21
2
???
?????????
得令
得驻点为令（）（
的主要性态）列表确定函数（ )x(f3
x
f’(x)
f’’(x)
f(x)
(-∞,-1) (-1,0) (0,1) (1,+∞)
+
-
+
+
--
- +
-1
0
1
0
0
0
极大值
32
拐点
(0,0) 极小值 32?
无渐近线）函数（ xx31)x(f4 3 ??
)32,2(322(03(035 ），，），，），，）取辅助点（（ ???
）描绘图象（ 6
练习,作出下列函数的图象 (1)y=2-6x-x2 (2)y=xe-x
xx31)x(f 3 ??
1 2-1-2
1
2
3
-1
-2
3 x
y
0
函数图象描绘的步骤：
(1)确定函数 y=f(x)的定义域，考察函数的奇偶性,
(2)求出 f’(x)及 f’’(x),解出方程 f’(x)=0和 f’’(x)=0在其
定义域内的全部实根，用这些根把定义域分成
若干个部分区间；
(4)确定曲线的水平渐近线和垂直渐近线；
(5)需要时计算一些辅助点； (如与 x轴,y轴的交点 ).
(6)结合上面的讨论结果，作出函数 y=f(x)的图象,
(3)考察在各个部分区间内 f’(x)和 f’’(x)的符号，列
表确定函数的单调性，函数的极值，曲线的凹
凸性和拐点；
小结与作业
作业,P155 1,(2)(4)(6)(8)
§ 2 柯西中值定理及不定式极限
§ 3 泰勒公式
§ 4 函数的极值与最值
§ 5 函数的凹凸性与拐点
§ 6 函数图象的讨论
§ 1 拉格朗日定理和函数的单调性
一 问题的提出
我们知道，导数是刻划函数在一点处变化
率的数学模型，它反映的是函数在一点处的局
部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常
常需要把握函数在某区间上的整体变化性态，
那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何
关系呢？中值定理正是对这一问题的理论诠释。
中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该
区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既
是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又
是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。
二 微分中值定理
微分中值定理的核心是拉格朗日 (Lagrange)
中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理
是它的特例，柯西定理是它的推广。
1 预备定理 —— 费马（ Fermat）定理
.0)( )(
),( )(
00
0
?? xfxxf
xbaxf
可微，则在点且
取得最值，内一点在若函数
费马（ Fermat,1601-1665），法国人，与笛卡尔
共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著于世。
x
y
o
)(xfy ?
a b1? 2?ba
几何解释,
.
0
位于水平位置的那一点
续滑动时，就必然经过
，当切线沿曲线连率为
显然有水平切线，其斜
曲线在最高点和最低点
证明, 达到最大值证明。在只就
0)( xxf
),()(
,),()(
00
00
xfxxf
baxxxxf
??
?
?
?
就有
内在达到最大值，所以只要在由于
,0)()( 00 ??? xfxxf ?即;0,0 )()( 00 时当从而 ???? xx xfxxf ???;0,0 )()( 00 时当 ???? xx xfxxf ???
0 )()( lim0)( 00
0x0
??????
?? x
xfxxfxf
?
?
?
这样
.0 )()( l i m0)( 00
0x0
??????
?? x
xfxxfxf
?
?
?
0)( 0 ?? xf所以
几何解释, a b1? 2? x
y
o
)(xfy ?
.,的在该点处的切线是水平上至少有一点在曲线弧 CAB
C
2 罗尔 (Rolle)定理
罗尔 （ R o l l e ）定理 如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba
上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且在区间端点的函数
值相等，即 )()( bfaf ?,那末在 ),( ba 内至少有一点
)( ba ????,使得函数 )( xf 在该点的导数等于零，
即 0)(
'
??f
证
.)1( mM ?若
,],[)( 连续在 baxf?,mM 和最小值必有最大值
.)( Mxf ?则
.0)( ?? xf由此得 ),,( ba???,0)( ???f都有
.)2( mM ?若 ),()( bfaf ??
.取得最值不可能同时在端点?
),( afM ?设
.)(),( Mfba ??? 使内至少存在一点则在
),()( ????? fxf?,0)()( ??????? fxf
,0??x若 ;0)()( ?? ????? x fxf则有
,0??x若 ;0)()( ?? ????? x fxf则有;0)()(lim)( 0 ?? ????????? ???? x fxff x;0)()(li m)( 0 ?? ???????? ???? x fxff x,)( 存在??f?
).()( ?????? ?? ff,0)( ???? f只有
注 1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其
结论可能不成立,
例如,];1,1[,??? xxy
例如,
X
Y
-1 10注 2:若罗尔定理的条件仅
是充分条件，不是必要的,
?
?
?
?
??
?
1 0
11-
)(
2
x
xx
xf
0)0( ??f
例 1
.015 有且仅有一个正实根证明方程 ??? xx
2）唯一性
,1)( 5 ??? xxxf设,]1,0[)( 连续在则 xf
.1)1(,1)0( ??? ff且 由零点定理
.0)(),1,0( 00 ??? xfx 使即为方程的正实根,
,),1,0( 011 xxx ??设另有,0)( 1 ?xf使
,,)( 10 条件之间满足罗尔定理的在 xxxf?
使得之间在至少存在一个 ),,( 10 xx??,0)( ???f
015)( 4 ???? xxf但 ))1,0(( ?x 矛盾,.为唯一实根?
证,1）存在性
3 拉格朗日 (Lagrange)中值定理
拉格朗日 （ Lagrange ）中值定理 如果函数 f ( x ) 在
闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,那末在
),( ba 内至少有一点 )( ba ????,使等式
))(()()(
'
abfafbf ???? 成立,
得到将罗尔定理条件中去掉 ),()( bfaf ?
).()()( ????? fab afbf结论亦可写成
a b1? 2?x xo
y
)(xfy ?
A
BC
DN
M几何解释,
.
,
AB
C
AB
线平行于弦
在该点处的切一点
上至少有在曲线弧
证 分析, ).()( bfaf ?条件中与罗尔定理相差
弦 AB方程为 ).()()()( axab afbfafy ?????
,)( ABxf 减去弦曲线
.,两端点的函数值相等所得曲线 ba
化
归
证
明
法
作辅助函数
)].()()()([)()( axab afbfafxfxF ??????
,)( 满足罗尔定理的条件xF
.0)(,),( ???? Fba 使得内至少存在一点则在
0)()()( ?????? ab afbff即
).)(()()( abfafbf ?????或 拉格朗日中值公式
注意,拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的
增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系,
).10()()()( 000 ????????????? xxxfxfxxf
).10()( 0 ??????????? xxxfy也可写成
拉格朗日中值公式又称 有限增量公式,
推论 1
.)(
,)(
上是一个常数在区间那末
上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
Ixf
拉格朗日中值公式另外的表达方式：
),(,2121 xxxxI ?上任取两点证明：在
)( ))(()()( 211212 xxxxfxfxf ?????? ??则
0)()(,0)( 12 ????? xfxff ?? )()( 12 xff ?即
.)(,21 上是常数在的任意性，所以由于 Ixfxx
例 2,)1ln (1,0 xxxxx ????? 时证明当
证 ),1ln ()( xxf ??设
,],0[)( 上满足拉氏定理的条件在 xxf
)0(),0)(()0()( xxffxf ?????????
,1 1)(,0)0( xxff ????? 由上式得,1)1ln( ???? xx
x???0?又 x????? 111,11 11 1 ????? x
,11 xxxx ??????,)1l n (1 xxxx ????即
第四节 函数的单调性
二 单调性的判别法
第四节（ I） 函数的单调性
三 单调区间求法
四 单调性的应用
五 小结与思考判断题
一 问题的提出
1 问题的提出
x
y
o
)(xfy ?
x
y
o
)(xfy ?
a b
A
B
0)( ?? xf
0)( ?? xfa b
B
A
若 在区间（ a,b)上单调上升)( xfy ?
若 在区间（ a,b)上单调下降)( xfy ? 0)( ?? xf
三 函数的单调性
2 单调性的判别法
定理
.],[
)(0)(),()2(
],[
)(0)(),(1
.),(],[)(
上单调减少在
，那末函数内如果在
上单调增加；在
，那末函数内如果在）（
内可导上连续，在在设函数
ba
xfyxfba
ba
xfyxfba
babaxfy
???
???
?
证 ),,(,21 baxx ??,21 xx ?且 应用拉氏定理,得
)())(()()( 211212 xxxxfxfxf ?????? ??
,012 ?? xx?
,0)(),( ?? xfba 内，若在,0)( ?? ?f则
).()( 12 xfxf ??,],[)( 上单调增加在 baxfy ??
,0)(),( ?? xfba 内，若在,0)( ?? ?f则
).()( 12 xfxf ??,],[)( 上单调减少在 baxfy ??
例 1
解
.]20[s i n 上的单调性，在判断函数 ?xxy ??
.0c o s1 ???? xy?
,0??y
.函数单调增加?
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
例 2
解
,的单调性判断函数 xey x ??
.1??? xey?
,)0,( 内在 ??,0??y
函数单调减少；?
,),0( 内在 ??,0??y,函数单调增加?
注 1:要用导数在区间上的符号来判定，而不能用
一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
).,(,????D?又
-3 -2 -1 1 2 3
2
3
4
5
注 2：函数在定义区间上不是单调的，但在各
个部分区间上单调．
3 单调区间求法
1、单调区间 定义,若函数在其定义域的某个区
间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间,
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间
的分界点．
.
,)(
)(0)(
数的符号
然后判断区间内导的定义区间来划分函数
不存在的点的根及用方程
xf
xfxf ???
2、单调区间 的划分
例 3
解
.312
92)( 23
的单调区间
确定函数
??
??
x
xxxf
).,(,????D?
12186)( 2 ???? xxxf )2)(1(6 ?? xx
得，解方程 0)( ?? xf,2,1 21 ?? xx
时，当 1???? x,0)( ??f 上单调增加；在 ]1,( ???
时，当 21 ?? x,0)( ?? xf 上单调减少；在 ]2,1[?
时，当 ???? x2,0)( ?? xf 上单调增加；在 ),2[ ???
单调区间为,]1,(??,]2,1[ ).,2[ ??
例 4
解
.)( 3 2 的单调区间确定函数 xxf ?
).,( ????函数的定义域为?
)0(,3 2)( 3 ??? xxxf
.,0 导数不存在时当 ?x
时，当 0???? x
,0)( ?? xf 上单调增加；在 ),0[ ??? 时，当 ???? x0
,0)( ?? xf 上单调减少；在 ]0,( ???
单调区间为,]0,(?? ).,0[ ??
3 2xy ?
的单调区间。
确定函数例 31292)(.3 23 ???? xxxxf
解,1） 定义域为 (-∞,+∞)
2) f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)
3)列表：
令 f'(x)=0 得 x1=1 x2=2
4）由表可知：函数的单调增区间为（ -∞, 1]∪[2, +∞ ）
单调减区间为（ 1,2）。
x
y'
y
(-∞, 1)
+
1
0
（ 1,2）
- +
(2,+∞)2
0
练习：确定函数 y=2x3+3x2-12x+1的单调区间。
例 4：
的单调区间求函数 x1 x)x(f
2
??解,1）定义域为 (-∞, -1)∪ （ -1,+∞).
2)x1(
)2x(x)x('f2
?
??）
020)(' 21 ???? xxxf,得令
3)列表,
(-∞, -2)
+
-2
0
（ -1,0）
-
0
0 +
(0,+∞)
4） 由表可知函数的单调增区间为 (-∞, -2)∪(0, +∞)
单调减区间为（ -2,-1） ∪ （ -1,0）。
x
y’
y
（ -2,-1）
-
4 单调性的应用
例 5
证
.132,1 成立试证时当 xxx ???
)1(111)( 22 ????? xxxxxxf则
,0)(),1(,),1[)( ?????? xfxf 可导，且上连续在
上单调增加；故在 ),1[ ??,0)1( ?f?
时，当 1?? x
xxxf
132)( ???设
0)( ?xf
.132,1 成立时当 xxx ???
只有一个实根。试证例 xx ?s i n6
0,?x观察法解：先证存在性
01c o s)( ???? xxf
xxxf ?? s i n)(
(
设
应用单调性）再证唯一性
四,小结与作业
1.拉格朗日中值定理及推论,
2.函数单调性的判定方法与步骤,
3.作业,P124,
1(1)~(2),2(1)~(2),3,4(1)~(3).
5(1(~(2).6(1)~(4).7(1)~(3),
思考判断题
2 若,则 在原点的充分小的邻
域内单调递增
0)( ?? xf )(xf
1 区间内个别点导数为零,影响区间的单调性,
3 单调函数的导函数仍是单调函数 。
§ 2 柯西中值定理及不定式极限
一、柯西 (Cauchy)中值定理
柯西 （ C a u c h y ）中值定理 如果函数 )( xf 及 )( xF
在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且 )(
'
xF
在 ),( ba 内每一点处均不为零，那末在 ),( ba 内至少
有一点 )( ba ????,使等式
)(
)(
)()(
)()(
'
'
?
?
?
?
?
F
f
bFaF
bfaf
成立,
几何解释,
)( 1?F )( 2?F xo
y ??
?
?
?
)(
)(
xfY
xFX
)(aF
A
)(bF
BC
D
)(xF
N
M
.
)),(),((
AB
fFC
AB
弦
该点处的切线平行于
在一点
上至少有在曲线弧
??
证 作辅助函数
) ],()([)()( )()()()()( aFxFaFbF afbfafxfx ???????
,)( 满足罗尔定理的条件x?
.0)(,),( ??? ?? 使得内至少存在一点则在 ba
,0)()()( )()()( ????????? FaFbF afbff即
.)( )()()( )()( ?? ?????? FfaFbF afbf
.0)(,),( ??? ?? 使得内至少存在一点则在 ba
,)( xxF ?当,1)(,)()( ????? xFabaFbF
)(
)(
)()(
)()(
??
???
?
?
F
f
aFbF
afbf ).()()( ???
?
? f
ab
afbf
例 1
,0s i n1)(
,c o s)(,]
2
,0[)(),(
件满足柯西中值定理的条
上连续、可导在解：
????
??
xxg
xxfxgxf
?
1
2
1
)0()
2
(
)0()
2
(
?
?
?
?
??
?
gg
ff
性。确验证柯西中值定理的正
上在区间及对函数
]
2
,0[c o s)( s i n)(
?xxxgxxf ???
x
x
xg
xf
s i n1
c o s
)(
)(
???
?
?
?
? s i n1
c o s
1
2
1
?
?
?
由柯西中值定理得
?
??? 4
2t a n
x解方程
?
?? ??? 4a r c t a n22 nx解得
21a r c t a n2
4a r c t a n20
0
?
?
? ????? xn 时，当
使则有 ),2,0(),2,0( 00 ??? ???? xx
)(
)(
)0()
2
(
)0()
2
(
?
?
?
?
g
f
gg
ff
?
?
?
?
?
二、不定式极限
型未定式00
点可导，点的导数，假设在在考察函数 aaxf )(
ax
afxfaf
ax ?
???
?
)()(lim)(
。分子分母同时趋向于
时，限当是一个常数值，上述极
0
)( axaf ??
,ta nlim
0 x
x
x?
)00(
型未定式??
,s i nln s i nlnlim
0 bx
ax
x ? )( ?
?
洛必达 (L’Hospital,1661-1704)
.
)(
)(
lim
)(
)(
lim
);(
)(
)(
lim)3(;0)()(
)(),()2(;)()(,)1(
xF
xf
xF
xf
xF
xf
xFxF
xfaa
xFxfax
axax
ax
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
那末
或为无穷大存在
都存在且及
本身可以除外点点的某领域内在
都趋于零及函数时当设
定理 1 )00(
洛必达法则
证
,,0 ),()(1 ??? ??? ax axxfxf,,0 ),()(1 ??? ??? ax axxFxF
,),(0 xaU 内任取一点在 ?,为端点的区间上与在以 xa
,)(),( 11 件满足柯西中值定理的条xFxf 则有
)()(
)()(
)(
)(
aFxF
afxf
xF
xf
?
??
)(
)(
?
?
F
f
?
??
)( 之间与在 ax?
,,aax ?? ?时当,)( )(lim AxF xfax ?????,)( )(li m AFfa ???? ? ???
.)( )(lim)( )(lim AFfxF xf aax ????? ?? ???
,)()( )()( )( 无关及的极限与 agafaxxg xf ??
辅助函数
所以定义
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再
求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则,
.,该法则仍然成立时当 ??x
例 2
解
.123lim 23
3
1 ???
??
? xxx
xx
x
求
123
33lim
2
2
1 ??
??
? xx
x
x
原式
26
6l i m
1 ?
?
? x
x
x,2
3?
)00(
例 3
解
.2t a nl i m
0 x
x
x ?
求
)(
)2( t a nlim
0 ?
??
? x
x
x
原式
1
2s e c2lim 2
0
x
x ?
?,2?
)00(
例 4
解
.s i ns i nl i m
0 bx
ax
x ?
求
bxb
axa
x c o s
c o slim
0?
?原式,
b
a?
)00(
例 5
解
.
1
a rc t a n
2lim
x
x
x
?
???
?
求
2
2
1
1
1
l i m
x
x
x
?
?
?
?
???
原式
2
2
1lim x
x
x ?
?
???,1?
)00(
例 6
.s i nl i m 3
0 x
xx
x
?
?
求
)00(
解
20 3
c o s1l i m
x
x
x
??
?
原式
)00(
x
x
x 6
s i nlim
0?
?
6
1?
注意,1) 使用罗必塔法则必须验证条件，不是
未 定式不能用罗必塔法则；
2)罗必塔法则可以连续应用，必须步步化
简（尽可能地化简）、步步验证求未定式
的极限,
例 7
xx
xx
x s i n
s i nt a nl i m
20
?
?
xx
xx
x ?
??
? 20
s i nt a nlim原式
2
2
0 3
1s e cl i m
x
x
x
??
?
2
2
0 3
)( t a nlim
x
x
x ?
?
3
1
3
lim 2
2
0
??
? x
x
x
.
)(
)(
lim
)(
)(
lim
);(
)(
)(
lim)3(;0)()(
)(),( )2(;)()(,)1(
xF
xf
xF
xf
xF
xf
xFxF
xfaa
xFxfax
axax
ax
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
那末
或为无穷大存在
都存在且及
本身可以除外点点的某领域内在
都趋于无穷及函数时当设
定理 2 )(
?
?
.,该法则仍然成立时当 ??x
例 8
解
.3t a nt a nl i m
2
x
x
x ??
求
x
x
x 3s e c3
s e clim
2
2
2
??
?原式
x
x
x
2
2
2
c o s
3c o sli m
3
1
??
?
xx
xx
x s i nco s2
3s i n3co s6lim
3
1
2
?
??
?? x
x
x 2s i n
6s i nlim
2
??
?
x
x
x 2co s2
6co s6l i m
2
??
?,3?
)(??
注意 3：若导数比的极限不存在，不能判断
原函数极限不存在 。
例如,
xx
xx
x s i n
s i nl i m
?
?
?? x
x
x c o s1
c o s1lim
?
??
??
1
s i n
1
s i n
1
l i m ?
?
?
???
x
x
x
x
x
xx
xx
x ee
ee
?
?
?? ?
?l i m
xx
xx
x ee
ee
?
?
?? ?
?? l i m
)1(
)1(
lim 2
2
ee
ee
xx
xx
x ?
?
?? ?
?
? 1
)1(
)1(
l i m 2
2
?
?
?
? ?
?
?? e
e
x
x
x
事实上
)11(
c o s1l i m 2
0 ??
?
? xx
x
x
)11(
s i nlim 2
0 ??
?
? xx
x
x
11
lim
0 ??
?
? x
x
x
2??
例题
三 其他未定式
型00,1,0,,0 ?????? ?
例 8
解
.lnl i m
0
xx
x ??
求
)0( ??
x
x
x
10
lnlim
??
?原式
2
0 1
1
l i m
x
x
x
?
?
??
解法,将其它类型未定式化为洛必达法则可解
决的类型 ),00( )(??
型??0 1
0)(lim 0 ??? ?? xx
例 9
解
)( ???
型???.2
)t a n( s e clim
2
xx
x
?
? ? x
x
x c o s
s i n1
l i m
2
?
?
?
?
x
x
x s i n
c o s
l i m
2
?
?
?
?
? 0c o tlim
2
??
?
x
x ?
)t a n( s e cl i m
2
xx
x
?
? ?
求
),00(
型00,1,0.3 ??
例 10
解
.lim0 xx x??求
)0( 0 xxx e ln0l i m ???原式 xxxe lnl i m0 ???
2
0 1
1
li m
x
x
x
e
???
?
0e?,1?
x
x
x
e
1
lnlim
0 ??
?
解：原式
例 11
1
]
l i m
)1[(
1
0
??
?
?
?
x x
x
x
xe
x
)1l n (
0
l i m ???
? exe
x ??
???
?
1
1
0
l i m
x
xe x
x
1
0
)1(
lim
??
?
求
)00(
四 小结与思考判断题
Rolle
定理
Lagrange
中值定理
Cauchy
中值定理
xxF ?)()()( bfaf ?
1）罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定
理之间的关系；
2）利用中值定理证明等式与不等式,
Fermat
定理
四 小结与思考判断题
洛必达法则 型00,1,0 ??
型??? 型??0
型00
型??
思考判断题1 设 是 不 定 型 极 限, 如 果 的
极限不存在,的极限也一定不存在,
)(
)(lim
xg
xf
ax? )(
)(l i m
xg
xf
ax ?
?
?
)(
)(lim
xg
xf
ax?
所以其极限不存在。
求出，极限不能用罗必达法则因为
x
x
x
x
1
s i ns i n
lim.2
2
0?
思考题
1 拉格朗日中值定理的条件缺少一个，
结论就可能不成立,
2,)(),( 件满足柯西中值定理的条若 xgxf
)(
)(
))((
))((
)()(
)()(
?
?
?
?
g
f
abg
abf
la g r a n g e
agbg
afbf
?
?
?
??
??
?
?
定理应用
证：得柯西中值定理可如下
§ 3 泰勒公式
一 问题的提出
1,设 )( xf 在 0x 处连续,则有
2,设 )( xf 在 0x 处可导,则有
)()( 0xfxf ?
))(()()( 000 xxxfxfxf ????
])()([ 0 ??? xfxf关系，有根据极限与无穷小量的
))((
)()()(
00
00
xxxf
xxfxfxfdyy
???
???????
)())(()()( 0000 xxOxxxfxfxf ??????
不足
问题 寻找函数 )( xP,使得 )()( xPxf ?误差 )()()( xPxfxR ?? 可估计
1、精确度不高；
2、误差不能估计。
设函数 )( xf 在含有 0x 的开区间 ),( ba 内具有直到
)1( ?n 阶导数,)( xP 为多项式函数
误差 )()()( xPxfxR nn ??
xxxexxx x ?????? )1l n (,1,s i n,0
nnn xxoxxaxxaaxf )()()()( 00010 ???????? ?
)(xPn )(xRn
二 nP 和 nR 的确定
0x
)(xfy ?
o x
y
分析,
)()( 00 xfxP n ?
)()( 00 xfxP n ?????
)()( 00 xfxP n ???
????
2.若有相同的切线
3.若弯曲方向相同
近
似
程
度
越
来
越
好
1.若在 点相交0x
假设 nkxfxP kkn,,2,1)()( 0)(0)( ???
),( 00 xfa ?
代入 )( xP n 中得
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxP
)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
??
??
??
????? ?
得 ),,2,1,0()(!1 0)( nkxfka kk ???
),(1 01 xfa ??? )(!2 02 xfa ????
,?? )(! 0)( xfan nn ??
三 泰勒 (Taylor)中值定理
泰勒 (Taylor) 中值定理 如果函数 )( xf 在含有
0
x 的某个开区间 ),( ba 内具有直到 )1( ?n 阶的导数,
则当 x 在 ),( ba 内时,)( xf 可以表示为 )(
0
xx ? 的
一个 n 次多项式与一个余项 )( xR
n
之和,
)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
????
?
??
?????
?
其中 10
)1(
)(
)!1(
)()( ?? ?
?
? n
n
n xxn
fxR ? (? 在
0x 与 x 之间 ),
证明,
由假设,)( xR n 在 ),( ba 内具有直到 )1( ?n 阶
导数,且两函数 )( xR n 及 10 )( ?? nxx 在以 0x 及 x 为端点的
区间上满足柯西中值定理的条件,得
)())(1( )( 0
01
1 之间与在 xx
xn
R
n
n ?
?
?
??
??
0)(
)()(
)(
)(
1
0
0
1
0 ??
??
? ?? n
nn
n
n
xx
xRxR
xx
xR
0)()()()( 0)(000 ???????? xRxRxRxR nnnnn ?
如此下去,经过 )1( ?n 次后,得
两函数 )( xR
n
? 及 nxxn ))(1(
0
?? 在以
0
x 及
1
? 为端点
的区间上满足柯西中值定理的条件,得
0))(1(
)()(
))(1(
)(
01
01
01
1
???
????
??
?
n
nn
n
n
xn
xRR
xn
R
?
?
?
?
? ? !1
)(
)(
)(
)1(
1
0 ?
?
?
?
?
n
R
xx
xR
n
n
n
n ?
( 之间与在 nx ?? 0,也在 0x 与 x 之间 )
)())(1( )( 1021
02
2 之间与在 ??
?
? x
xnn
R
n
n
???
???
?
?
??
n
k
k
k
n xx
k
xf
xP
0
0
0
)(
)(
!
)(
)(
称为 )( xf 按 )( 0xx ? 的幂展开的 n 次近似多项式?
?
???
n
k
n
k
k
xRxx
k
xf
xf
0
0
0
)(
)()(
!
)(
)(
称为 )( xf 按 )( 0xx ? 的幂展开的 n 阶泰勒公式
? ? )()(!1
)()(
0
1
0
)1(
之间与在 xxxxnfxR n
n
n ?
? ?? ?
??
则由上式得
,0)()1( ?? xP nn? )()( )1()1( xfxR nnn ?? ??
定理 1 （带 lagrange余项的泰勒定理）
如果 f(x)在 点邻域内有 n+1 阶导数，
则
x0 )()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
????
?
??
?????
?
其中 10
)1(
)(
)!1(
)()( ?? ?
?
? n
n
n xxn
fxR ? ( ? 在
0x 与 x 之间 ),
拉格朗日形式的余项
? ? ? ?
1
0
1
0
)1(
)(
!1
)(
!1
)(
)( ??
?
?
?
??
?
? nn
n
n xxn
M
xx
n
f
xR
?
皮亚诺形式的余项
0)( )(l i m
00
??
? n
n
xx xx
xR及 ].)[()(
0 nn xxoxR ??即
定理 2 （带 peano余项的泰勒定理）
如果 f(x)在 点邻域内有 n+1 阶导数，则x
0
))(()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
00
0
)(
2
0
0
000
nn
n
xxoxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
????
??
??
????? ?
1,当 0?n 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
)())(()()( 000 之间与在 xxxxfxfxf ?? ????
2,取 0
0
?x,
? 在 0 与 x 之间,令 )10( ??? ??? x
则余项
1
)1(
)!1(
)(
)(
?
?
?
?
n
n
n
x
n
xf
xR
?
几点说明：
n
n
xnfxfxffxf ! )0(!2 )0()0()0()(
)(
2 ???????? ?
1
)1(
)!1(
)( ??
?
? n
n
x
n
f ?
)1,0(??
（ 3） 00 ?x （麦克劳林公式）
四 常用 n阶泰勒公式及其简单应用
例 1 求 xexf ?)( 的 n 阶麦克劳林公式,
解,)()()( )( xn exfxfxf ??????? ??
1)0()0()0()0( )( ????????? nffff ?
xn exf ?? ?? )()1(注意到
).10()!1(!!21 1
2
????????? ? ?
?
n
xn
x x
n
e
n
xxxe ?
).10()!1()!1()( 1 ?????? ? ?
?
n
xx
n xn
e
n
exR
!!21
2
n
xxxe nx ????? ?
!
1
!2
111,1
nex ?????? ?取
.)!1( 3?? n )!1?? eR n
)
2
s i n ()()( ?nxxf n ??解：
)
2
s i n ()0(
1)0(,0)0(,1)0(,0)0(
)( ?n
ffff
f
n
?
???????????
R m
m
m
xxxxxx
2
12753
)!12(!7!5!3
s i n ?
?
??????
?
?
12
2 )!12(
]
2
)12(s i n [
?
?
??
? mm x
m
mx
R
?
?
10 ???
例 2 求 的 n 阶麦克劳林公式,xxf s i n)( ?
xxm ?? s i n,1
3
!3
1s i n,2 xxxm ???
53
!5
1
!3
1s i n,3 xxxxm ????
0 1 2 3 4
0
0, 5
1
t r a c e 1
s i n ( )x
x
xy s i n?
xy?
xxy 3!31??
xxxy 53 !51!31 ???
例 3 求 xxxf ln)( 3? 在 x=1点的四阶泰勒公式;1)1(,ln3)(,0)1( 22 ?????? fxxxxff
2
)5()4()4( 6
)(;6)1(,
6
)(;11)1(,11ln6)(;5)1(,5ln6)(
x
xff
x
xf
fxxf
fxxxxf
????
?????????
???????
)1)1
)1
5
)5(
4
)4(
2
(
!5
)(
(
!4
)1(
(
!2
)1(
)1)(1()1()(
??
?
??
?
??
?????
xx
f
x
f
f
xffxf
?
?
例 4：求极限 3
)1(s i nlim
x
xxxe x
x
??
??
)(!3!21 3
32
xoxxxe x ??????
)(!3s i n 3
3
xoxxx ???
????
?? 3
)1(s i nlim
x
xxxe x
x
3
3
3
3
32
)1()(
!3
)(
!3!2
1
l i m
x
xxxo
x
xxo
xx
x
x
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
????
??
3
3
33
)(
!3!2lim
x
xoxx
x
??
?
?? 6
1?
罗尔定理
Lagrange 定理 柯西定理
泰勒公式 罗必塔法则
条
件
，
结
论
五 小结与思考判断题
其它函数的麦克劳林公式
)(
)!12(
)1(
!5!3
s in
22
1253
?
?
?
?
??????
n
n
n
xo
n
xxx
xx ?
)(
)!2(
)1(
!6!4!2
1c o s
2
2642
n
n
n
xo
n
xxxx
x ???????? ?
)(
1
)1(
32
)1ln (
1
132
?
?
?
?
???????
n
n
n
xo
n
xxx
xx ?
)(1
1
1
2 nn
xoxxx
x
??????
?
?
)(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
2
nn
m
xox
n
nmmm
x
mm
mxx
?
???
?
?
?
????
?
?
435
)4(
234
????
?
xxxx
x 的乘幂展开多项式按
思考判断题
§ 4 函数的极值与最值
1.确定函数 f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间,
1）函数 f(x)的定义域为（ -∞, +∞ ）
2）又 f’(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)
令 f’(x)=0,得 x=1或 x=2.
3）
4）单调增区间为 (-∞, 1]和 [2,+∞ ）
单调减区间为 [1,2]
x
f’(x)
f(x)
(-∞,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞）
+ +0 0-
解：
复习引入
2.根据单调性画出函数 f(x)的草图
由图知,f(x)在 x=1处的函数值 大于 它近两旁各点的函数值；
而 f(x)在 x=2处的函数值 小于 它近两旁各点的函数值。
3x12x9x2)x(f 23 ????
x
y
1
2
-1
-2
1 2
f’(1)=0
f’(2)=0
0
左右近旁的函数值考察在点 54321,,,,CCCCC
一,极值的概念
?定义：设 f(x)在区间 (a,b)上有定义,x0∈ (a,b)
极值
极小值
极大值
极值点
极小值点
极大值点
注,1）极值是指函数值，而极值点是自变量的值；
2）函数的极值概念具有局部性；在小范围内相比比较
而言该点的函数值较大，而不是在整个定义域上最
大或最小，所以函数的极大值不一定比极小值大。
3）函数极值点必出现在区间内部，而不在区间的端点。
讲授新课
的一个称为点的一个函数
是成立，则称有近旁且在点如果
)()(
)()()(,)1
0
0000
xfxxf
xfxfxfxxxx ???极大值,极大值点,
的一个称为点的一个是函数
成立，则称有近旁且在点如果
)()(
)()()(,)2
0
0000
xfxxf
xfxfxfxxxx ???极小值,极小值点,
几何特征：
结论,1） f(x)在 x0处有极值且可导，则 f’(x0)=0
2） f(x)在 x0处有极值且可导，则 f’(x0)在 x0的左右
两旁的符号要改变。
f’(x)从 +到 - f’(x)从 -到 +
x
y
0 x
y
0x0
+ -
x0
+-
二,判定定理
?定理, 0)x('fx)x(f
00 ?及其近旁可导，且在点设函数
处没有极值。在点
相同，那么函数两侧，函数的导数符号）如果在（
0
0
x
)x(fx3
处取得在点那么函数近旁的值时，有
右侧取当左侧近旁的值时，有取）当（
0
00
)(,0)('
,0)('1
xxfxf
xxxfxx
?
?
极大值,
处取得在点那么函数近旁的值时，有
右侧取当左侧近旁的值时，有取）当（
0
00
)(,0)('
,0)('2
xxfxf
xxxfxx
?
?
极小值,
?极值的求法：
1）求出函数 f(x)的定义域；
2）求出函数 f(x)的导数 f'(x)；
3）令 f’(x)=0,解出方程 f'(x)=0的全部解，得到 f(x)的
全部驻点。
4）用驻点把函数的定义域划分成若干个部分区间，
考察每个部分区间内 f’(x)的符号，以确定该驻点
是否为极值点，并由极值点求出函数的极值。
?例题与练习
.4931)(.1 3 的极值求函数例 ??? xxxf
解,）；，的定义域为（ ????)x(f)1
)3x)(3x(9x)x('f)2 2 ?????
3x,3x0)x('f)3 21 ????,解之得驻点令
的符号列表考察 )x('f)4
x
f’(x)
f(x)
(-∞,-3) -3 (-3,3) 3 (3,+∞）
+ +0 0-
极大值
22
极小值
-14
由上表得 极大值 f(-3)=22,极小值 f(3)=-14
练习 1,求函数 y=xln2x
例 2.求函数 f(x)=(x2-1)3的极值
解,），的定义域为（ ????)x(f)1
???? xxxf 2)1(3)(')2 22
1x,0x,1x0)x('f)3 321 ?????,解之得驻点令
的符号列表考察 )x('f)4
x
f’(x)
f(x)
(-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1）
++0 0-
极小值
-1
-
(1,+∞)1
0
的极值求函数 xx32x51)x(f 35 ???
极值点。
不是驻点值由上表知，函数有极小 1x1x,1)0('f 31 ?????
练习 2.
22 )1()1(6 ?? xxx
的符号）列表考察 )x('f4
上的极值在求函数例 ]2,2[c o ss i n)(.3 ????? xxxf
解：
]2,2[)x(f1 ???的定义区间为）函数
??? xxxf s i nc o s)('2 ）
4x0)x('f3
???,得驻点）令
x
f’(x)
f(x)
+ 0 -
极大值
）,24( ??）,42( ??? 4?
2
）上的极值，在（求函数 ?? 20xc o se)x(f x
2)
4
(f ??有极大值
由左表知，函数
练习 3.
)4c o s (2 x??
例 4,求函数 f(x)=x3-3x2-9x+5在 [-2,6]上的极值,
解,(1)f'(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3)
(2)令 f'(x)=0,3x,1x
21 ???解之得驻点为(3)列表考察 f'(x)的符号
x
f'(x)
f(x)
(-2,-1)
+
(-1,3) (3,6)3
00
-1
+-
(4)极小值 f(3)=-22,极大值 f(-1)=10草图：
由图知，极大值为 10
但不是最大值。
问题：求 f(x)=x3-3x2-9x+5
在 [-2,6]上的最大 (小 )值,
(-2,3)
-1-2
10
6
(3,-22)
3
(-1,10)
(6,59)
极大值
10
极小值
-22
x
y
0
函数最大值和最小值的一般求法：
(一 ) y=f(x) x∈[a,b]
(1)求出 f(x)的导数 f'(x)； 令 f'(x)=0，求出驻点；
(2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值；
(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的
最大值，最小的就是最大值,
三,函数的最值
例题与练习
.
]18[1)(.1
最大值和最小值
上的，在闭区间求函数例 ???? xxxf
解,(1).f(x)的定义域为 (-∞,1),[-8,1] (-∞,+1]?
(2).
x12
11)x('f
???
(3).令 f‘(x)=0，解之得驻点为
4
3x?
(5).比较大小得，在 [-8,1]上的最大值为,最小值为 -5.
4
5
(4).
1)1(f,5)8(f,45)43(f ?????
练习,求函数 y=x2-4x+6在闭区间 [-3,10]上的最大值
和最小值
例 2.求函数 f(x)=x2-2x+6的最值,
(1).f(x)的定义域为 (-∞,+∞).解：
(2).f’(x)=2x-2=2(x-1)
(3).令 f’(x)=0，解之得驻点为 x=1.
当 x∈ (-∞,1)时,f’(x)<0,单调递减,
当 x∈ (1,+∞)时,f’(x)>0,单调递增,
.5)1(f1x ??? 小值为是函数的最小值点，最
(二 )若函数在一个开区间或无穷区间 (-∞,+∞)内可导，
且有唯一的极值点,
0x
.)x(f)x(f 00 就是该区间上的最大值是极大值时，那么当
.)x(f)x(f 00 就是该区间上的最小值是极小值时，那么当
例 3.在半径为 R的半圆内作内接梯形，使其底为直径其他三边
为圆的弦，问应这样设计，才能使梯形的面积最大？
解,22 xRhx2 ??，则高设梯形的上底为
)Rx0(xR)Rx( 22 ?????
22
22
22
22
xR
x2RxR
xR
)xR(xxR'S
?
???
?
????
2
Rx0'S ??,得令
.2Rx 大值存在是唯一驻点，又面积最??,
2
Rx 就是最大值点??
.SR 梯形最大时，即当上底长为
(三 )：解决实际问题中的最大值问题的步骤：
(1).根据题意建立函数关系式,
(2).确定函数的定义域,.
(3).求函数 f(x)在给定区域上的最大值或最小值,
练习 3.求半径为 R的半圆的内接矩形的最大面积,
22 xR)R2x2(
2
1S ???于是梯形面积
例 4.生产某种商品 x个单位的利润是 P(x)=5000+x-0.00001x2(元 )
问生产多少个单位时获得的利润最大？
解,(1)函数关系式为 P(x)=5000+x-0.00001x2 (x>0).
(2)P’(x)=1-0.00002x
(3)令 P’(x)=0得驻点 x=5× 104
∵ x=5× 104是唯一驻点，又利润最大值存在,
练习：
最多？个工人作业时，产煤量情况下，每班安排多少
工艺不变的试求在作业条件，操作：
的函数千吨）是个人作业，每班产煤量某煤矿每班有
),
12
x
3(
25
x
)x(fy
x(yx
2
???
∴ 当生产 5× 104个单位时获得的利润最大,
?小结与作业
1）求出函数的定义域；
2）求出函数 f(x)的导数 f'(x)；
3）令 f’(x)=0,解出方程 f'(x)=0的全部解，得到 f(x)的
全部驻点。
4）列表考察 f’(x)的符号，以确定该驻点是否为极值点，
并由极值点求出函数的极值。
求函数极值的步骤：
小结与作业
最值问题的两种类型：
(1)求出 给定解析式 的导数 f'(x)； 令 f'(x)=0，求出驻点；
(2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值；
(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的
最大值，最小的就是最大值,
1.已知函数解析式及闭区间求最值,
2.实际问题求最值,
(1)根据题意建立函数关系式 y=f(x)；
(2)根据实际问题确定函数的定义域；
(3)求出函数 y=f(x)的导数，令 f‘(x)=0，求出驻点；
若定义域为开区间且驻点只存一个，则由题意判定函数
存在最大或最小值，则该驻点所对应函数值就是所求,
作业：
P146, 1,2,3,4,5.
§ 5 函数的凸性与拐点
1.函数 y=f(x)单调性的判定
K切 =f '(x)>0 y单调递增
凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的上方,
凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的下方,
K切 =f '(x)<0 y单调递减
x0
y0 p
x0
y0y=f(x) p
x
yy
xo o
2.几何特征 Ｉ
y=f(x)
连续曲线的凹弧段与凸弧段有分界点,
复
习
引
入
一,定义,若曲线 y=f(x)在某区间内位于其切线的 上方,则称
该曲线在此区间内是 凸 的,此区间称为 凸 区间, 若曲线位于其
切线的 下方,则称该曲线在此区间内是 凹 的,此区间称为 凹 区
间,
x
y
o
θ1 θ2 θ3a
b x
y
o
θ1θ2θ3
曲线的凹凸与拐点
a b
1.几何特征 Ⅱ
凸 型曲线,切线的斜率随着 X的增大而增大,
凹 型曲线,切线的斜率随着 X的增大而减小,
?
??
??
?
x1 x2x3 x1x2 x3
讲
授
新
课
连续曲线 y=f(x)上凹的曲线弧和凸的曲线弧的
分界点称为 拐点,
曲线 y=f(x)的凹凸性可以用 f′的单调性 来判定,
即 y=f(x)的凹凸性与 f″ 的符号有关,
(x)
(x)
设 f(x)在区间 (a,b)内具有二阶导数 f″,(x)
(1)如果在 (a,b)内 f″ >0,那末曲线在 (a,b)内
是 凸 的,
(x)
(2)如果在 (a,b)内 f″ <0,那么曲线在 (a,b)内
是 凹 的,
(x)
2.结论,
二,定理,
三,定义,
例 1.判定 y=ax2+bx+c的凹凸性, (a≠0)
解, 定义域为 (?∞,+∞ )
y'=2ax+b
当 a>0时,y">0,曲线 y=ax2+bx+c在
(?∞,+∞) 内是 凸 的,
当 a<0时,y"<0,曲线 y=ax2+bx+c在
(?∞,+∞) 内是 凹 的,
注：凹凸性的判定定理的记忆与二次函数的开口
方向相结合。
y"=2a
例 2.求下列曲线的凹凸区间与拐点
1.y=x4 ?2x3+1
解, （ 1） 定义域为（ ?∞,+∞ ）
（ 2） y'=4x3?6x2 y"=12x2?12x=12x(x?1)
（ 4） 列表
x
y″
y
（ ?∞, 0）
+
∪
0
0
（ 0,1）
?
∩
1
0
拐点（ 0,1） 拐点（ 1,0）
（ 1,+∞ ）
+
∪
∴ 已知曲线的 凸 区间为（ ?∞, 0） ∪ （ 1,+∞ ），
凹区间为（ 0,1）拐点为（ 0,1）与（ 1,0）,
（ 3） 令 y"=0,得 x =0,x =11 2
解,（ 1） 定义域为（ ?∞, +∞ ）
（ 2） y'=8(2x-1)3
（ 3） 显然 x∈ (?∞,+∞ ),y"≥0
∴ 凸区间（ ?∞, +∞ ），无拐点
2.y=(2x-1) +14
y"=48(2x-1)2
1.下列结论是否正确
（ 1）,由 f"(x0)=0所确定的点 (x0,f(x0))一定是拐点,
2.求下列曲线的凸区间与拐点
（ 2） y=ln(1+x2)
（ 2）,若函数 f(x)在 (a,b)内二次可导,且 f'(x)<0,
f"(x)>0,则曲线 y=f(x)在 (a,b)单调递减
且凸向上,
练习
（ 1） y=3x ?4x3+14
小结,
作业,
1.如何来研究函数的凹凸性,
2.凹与凸的定义,拐点的定义,
3.凹与凸的判定,
P153,
1,2,3,4,5.
§ 6 函数图象的讨论
引例 1：
的图象；x1y ?
引例 2,xa rc ta ny ?
轴；接近于
无限时，曲线当
x
x
yx 1???;
2
a r c t a n
??
????
y
xyx
近于直线
无限接时，曲线当
x
y
0 x
y
0
2??
2?
1
1
轴；接近于
无限时，曲线当
y
x
yx 10 ??；近于直线
无限接时，曲线当
2
a r c t a n
???
????
y
xyx
新课讲解
一,水平渐近线和垂直渐近线,
定义 1.
b)x(flimb)x(f x ???为极限，即以常量函数
那么直线 y=b称为曲线 y=f(x)的水平渐近线,
那么直线 y=x0称为曲线 y=f(x)的垂直渐近线,
)xx ??????或（
时，
或有时仅当如果当自变量 )00( 000 ????? xxxxxx
??? )(lim)(
0
xfxf xx为无穷大，即函数
)0000 ?? ?? xx xx或（
时，或有时仅当如果当自变量 )xx(x ????????
如,引例 1中,
????
???? x
xfx
xxx
1l i m)(l i m01l i m
00
引例 2中,
2a r c t a nlim)(lim
???
??????
xxf
xx
为垂直渐近线；为水平渐近线；则,00 ?? xy
2a r c t a nlim)(lim
????
?????? xxf xx
的两条水平渐近线；为故,xyy a r c t a n2 ??? ?
例 1,求下列曲线的水平渐近线或垂直渐近线,
x1
1y1
??）（
解,??
??? ??? x1
1lim0
x1
1lim)1(
1xx
∴ y=0是水平渐近线,x=1是垂直渐近线
练习,求下列曲线的水平渐近线或垂直渐近线
x
xs i ny)2()1xl n (y)1( ???
二,函数图象的描绘,
描绘函数图象的一般步骤为：
(1)确定函数 y=f(x)的定义域，考察函数的奇偶性,
(2)求出 f’(x)及 f’’(x),解出方程 f’(x)=0和 f’’(x)=0在其
定义域内的全部实根，用这些根把定义域分成
若干个部分区间；
(4)确定曲线的水平渐近线和垂直渐近线；
(5)需要时计算一些辅助点； (如与 x轴,y轴的交点 ).
(6)结合上面的讨论结果，作出函数 y=f(x)的图象,
(3)考察在各个部分区间内 f’(x)和 f’’(x)的符号，列
表确定函数的单调性，函数的极值，曲线的凹
凸性和拐点；
例 2.
的图象作函数 xx31)x(f 3 ??
解：
)x(f)xx31(xx31)x(f1 33 ???????????? ）且，）定义域为（（
点对称为奇函数，图象关于原则 )x(f
0x0)x(''fx2)x(''f
,1x,1x0)x('f),1x)(1x1x)x('f2
3
21
2
???
?????????
得令
得驻点为令（）（
的主要性态）列表确定函数（ )x(f3
x
f’(x)
f’’(x)
f(x)
(-∞,-1) (-1,0) (0,1) (1,+∞)
+
-
+
+
--
- +
-1
0
1
0
0
0
极大值
32
拐点
(0,0) 极小值 32?
无渐近线）函数（ xx31)x(f4 3 ??
)32,2(322(03(035 ），，），，），，）取辅助点（（ ???
）描绘图象（ 6
练习,作出下列函数的图象 (1)y=2-6x-x2 (2)y=xe-x
xx31)x(f 3 ??
1 2-1-2
1
2
3
-1
-2
3 x
y
0
函数图象描绘的步骤：
(1)确定函数 y=f(x)的定义域，考察函数的奇偶性,
(2)求出 f’(x)及 f’’(x),解出方程 f’(x)=0和 f’’(x)=0在其
定义域内的全部实根，用这些根把定义域分成
若干个部分区间；
(4)确定曲线的水平渐近线和垂直渐近线；
(5)需要时计算一些辅助点； (如与 x轴,y轴的交点 ).
(6)结合上面的讨论结果，作出函数 y=f(x)的图象,
(3)考察在各个部分区间内 f’(x)和 f’’(x)的符号，列
表确定函数的单调性，函数的极值，曲线的凹
凸性和拐点；
小结与作业
作业,P155 1,(2)(4)(6)(8)
