§ 1 反常积分概念
§ 2 无穷积分的性质与收敛判别
§ 1 反常积分概念
一, 引入
例：
曲边梯形”的面积。
，右边所围成的“开口轴及直线求曲线 1,1 2 ?? xx
x
y
0 x
y
1 b
2x
1y?
解, 由于这个图形不是封闭的
曲边梯形,而在 x轴的正方
向是开口的，即这是的积
分区间为 [1,∞），
bxdxxAb
bb 11]1[1,1
121 ?????? ?的面积为则故
显然当 b改变时，曲边梯形的面积也随之改变，
1)11(lim1lim 21 ?????? ?????? ? bdxxb bbb时，即故
则所求曲边梯形的面积为 1
一 问题的提出
前面遇到的定积分 ?b
a dxxf )(
是普通的积
分,
ba,是确定的常数,且 )(xf 在 ],[ ba
上连续 。
那么如何计算下列两种类型的积分？
??? ???????? dxxfdxxfdxxf ba )(;)(;)( )1(
之间）无界。与处于（
或或）在（这里
bac
cbaxfdxxf
b
a
,)( )2( ?
定义 1 设函数 )( xf 在 区 间 ),[ ??a 上 连 续, 取
ab ?, 如 果 极 限
?
???
b
ab
dxxf )(lim 存 在, 则 称 此 极
限 为 函 数 )( xf 在 无 穷 区 间 ),[ ??a 上的 反常 积 分,
记作 ?
??
a
dxxf )(,
? ??a dxxf )( ????? bab dxxf )(l i m
当极限存在时，称 反常 积分收敛 ； 当 极 限 不 存 在
时，称 反常 积分发散,
二 无穷限的广义积分
类似地，设函数 )( xf 在区间 ],( b?? 上连续，取
ba ?,如果极限 ?
???
b
aa
dxxf )(lim 存在，则称此极
限为函数 )( xf 在无穷区间 ],( b?? 上的广义积
分，记作 ?
??
b
dxxf )(,
? ??b dxxf )( ????? baa dxxf )(lim
当极限存在时，称 反常 积分收敛 ； 当极限不存在
时，称 反常 积分发散,
设 函 数 )( xf 在 区 间 ),( ???? 上 连 续,如果
广 义 积 分 ? ??
c
dxxf )( 和 ?
??
c
dxxf )( 都 收 敛, 则 称 上
述两 反常 积分之和为函数 )( xf 在无穷区间
),( ???? 上的 反常 积分，记作 ?
??
??
dxxf )(,
? ???? dxxf )( ?? ??c dxxf )( ?? ??c dxxf )(
?? ??? caa dxxf )(lim ?? ??? bcb dxxf )(lim
极限存在称 反常 积分收敛；否则称反常 积分发散,
上述反常积分统称为无穷限的反常积分；
由牛顿 -莱布尼茨公式，可得
，则设 )()( xfxF ??
? ??a dxxf )( )()(lim aFxF
x ?? ???
? ??b dxxf )( )(lim)( xFbF x ?????
? ???? dxxf )( )(l i m xFa ????)(lim xFx ????
例 1 计算反常积分,1 2? ???? ? xdx
解 ? ???? ? 21 xdx ? ?? ?? 0 21 xdx? ?? ?? 0 21 xdx
? ?? ??? 0 21 1l i m aa dxx? ?? ??? bb dxx0 21 1lim
? ?0a rct a nlim aa x???? ? ?bb x 0a rc t a nlim ????
aa a r c t a nlim ????? bb a r c t a nlim ????,22 ?????????? ????
例 2 判定反常 积分 ?
?? ?
a
px dxe 的敛散性,
? ?? ?a px dxe ? ????? ba pxb dxel i m b
a
px
b p
e
??
?
??
? ?? ?
???
l i m
?
?
??
?
? ?? ??
??? p
e
p
e pbpa
b
lim ?
?
?
?
?
??
?
?
?
0,
0,
p
p
p
e ap
即当 0?p 时收敛，当 0?p 时发散,
解
发散0?P显然 ???
a dx
例 3 证明反常积分 ?
??
a p
dx
x
1
当 1?p 时收敛，
当 1?p 时发散,
证,1)1( ?p ? ??
a p dxx
1 ?? ??
a dxx
1 ? ???? axln,???
,1)2( ?p ? ??
a p dxx
1
???
??
?
??
?
?? a
p
p
x
1
1
??
?
?
?
?
?
???
? ?
1,
1
1,
1
p
p
a
p
p
因此当 1?p 时 反常 积分收敛，其值为 11??pa p ；当
1?p 时 反常 积分发散,
例 4.确定下列无穷积分是否收敛，若收敛算出它的值,
dxxdxxdxe x ??? ??????? 1)3(1)2()1( 1410
解,bbxxb eedxe ??? ????? 1)1(
11?
11lim1)1(lim ???? ?????? bbbb ee
100 ??? ?????? dxedxe xx 收敛，且故
3
1341 3
1
3
1
3
11)2( ?????? b
xdxx
bb?
3
1
b
1lim
3
1
3
1)
b3
1
3
1(lim
3b3b ???? ???????
3
111
4141 ???
???? dx
xdxx 收敛，且故
dxxdxx bb 1lim1)3( 11 ?? ????? ??
2221 11 ???? bxdxx bb又
??????? )2b2(l imb
发散故 dxx? ?? 11
练习 1：下列无穷积分是否收敛？若收敛，算出它们的值,
dx
x
x
e
? ?? ln1 1）（ dxxe x? ???02）（
例 5：计算无穷积分
dxx1 1)1( 2? ??? ?? dxxe x? ??? 2
0)2(
解 (1):
202
0
2 111
1
x
dx
x
dxdx
x ????? ???
??
??
??
??
?? ???? ?????? 2b0a20aa x1 dxlimx1 dxlim
b0
b
0a
a [ a r c ta n ]lim[ a r c ta n ]lim ?????? ??
????? ?????? ba r c t a nlimaa r c t a nlim ba
??? ?????? ?? ???? ??? )2(2][ a r c t a n1 2 xxdx简化上述过程：
xxx xx a r c ta nlima r c ta nlim][ a r c ta n ???????? ?? ?应理解为其中
解 (2):
2
1)10(
2
1]e
2
1[dxxe
0
xx
0
22 ?????? ???????
练习 2：求下列无穷积分,
?? ????? ?? dxedxxe x
x
02 )2()1(
2
例 6.
取何值时收敛，何值时在试确定广义积分 pdx
x p
1
1?
??
.发散
???? ?????? 111 ]1 1[11 Pp xPdxxp 时有当
1P1p 1 ??
1??? P
????? ????? 11 ][ l n1 xxdxp 时有当
.1
11
时发散当
时收敛，，当综上所述，广义积分
?
?? ??
P
P
x
dx
练习 3：判断下列无穷积分是否收敛？若收敛，算出
它们的值,
?? ???? dxx)2(dxx1)1( 2121
解,
例 7 计算反常积分
解
).0(
0 22
??? axa dxa
,1lim 22
0
????
?? xaax
?
ax ?? 为被积函数的瑕点,
? ?a xa dx0 22 ? ??? ?? ?? a xa dx0 220l i m
?
?
?
?? ??
?
??
?? a
a
x
00
a r c s i nl i m ?
?
?
??
? ???
??
0a r c s i nl i m
0 a
a ?
?
.2??
例 8 讨论反常积分 ?
1
0
1
dx
x q
的敛散性 。
证,1)1( ?q ?? 10 1 dxx ? ?10ln x?,???
,1)2( ?q ?10 1 dxx q
1
0
1
1 ??
?
??
?
?
?
?
q
x q
??
?
?
?
?
?
???
?
1,
1
1
1,
q
q
q
因此当 1?q 时反常积分收敛，其值
q?1
1；
当 1?q 时反常积分发散,
?10 1 dxx q
例 9 计算广义积分 ?
?
??
1 1
1 dx
xx
? ?? ??? 0 2 )1( 21 dxtt ttx
???
0a r c t a n2 t
)02(2 ?? ?
? ?? ?1 11 dxxx解
)0a r c t a na r c t a nl i m(2 ?? ??? tt
??
可以按照如下简单方法进行计算
例 10 计算广义积分
解
.2
1 2?? x
dx
??
0
1 2x
dx
故原广义积分发散,
,1l i m 2
0
???
? xx
? 0 为被积函数的瑕点,
???
?
?
??
???
?
0
1
1
x
四, 小结
(1) 无穷积分的定义 ;
(2) 无穷积分收敛与发散的定义 ;
(3) 无穷积分的计算：
(i).求出函数 f(x)的原函数 F(x).
)(lim xFx ????? 时，则求出上限为
(ii).
)(lim xFx ????? 时，则求出上限为
五, 作业 P269,1 (1)~(8),2 (1)~(8).
§ 2 无穷积分的性质及收敛判别
一, 无穷积分的性质
性质１
则为任意常数都收敛与若,k，kdxxfdxxf aa 2121,)()( ?? ????
且也收敛,dxxfkxfka )]()([ 2211 ?? ??
??? ?????? ??? aaa dxxfkdxxfkdxxfkxfk,)()()]()([ 22112211
性质２
b，auaf ?上可积在任何有限区间若 ],[
且同敛散与则,dxxfdxxf ba ?? ???? )()(
.)()()( dxxfdxxfdxxf bbaa ??? ???? ??
性质３
，dxxf，uaf a 收敛且上可积在任何有限区间若 ? ?? )(],[
且必收敛则,dxxfa? ?? )(
.)()( dxxfdxxf aa ?? ???? ?
注
.)()( 为绝对收敛称收敛时当 ?? ???? aa dxxf，dxxf
性质３说明绝对收敛的级数自身一定收敛．但自身收敛的级数
不一定绝对收敛．
我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛．
二, 无穷积分收敛的判别法
２，比较原则
:)( 收敛的充要条件是无穷积分 ? ??a dxxf
便有只要,,,,0 21 GuuaG ????? ?,)(2
1
???uu dxxf
.10:,0,1 ?? xyL１，柯西准则
，gfa 积都在任何有限区间上可和上的两个函数设定义在 ),[ ??
且满足 ),[),()( ???? axxgxf
２，比较原则
，gfa 积都在任何有限区间上可和上的两个函数设定义在 ),[ ??
且满足 ),[),()( ???? axxgxf 则;)()( 收敛则收敛若 dxxf，dxxg aa ?? ????
.)()( 发散则发散若 ?? ???? aa dxxg，dxxf
推论
?? ???????? aa dxxgdxxf，ci ;)()(0)( 同敛散与时当
且上可积都在任何有限区间和设,0)(],[ ?x，guagf cxg
xf
x
?
??? )(
)(lim;)()(0)( 收敛则收敛若时当 dxxf，dxxg，cii aa ?? ?????
.)()()( 发散则发散若时当 dxxf，dxxg，ciii aa ?? ???????
３，柯西判别法
，ua，aaf 上可积且在任何有限区间定义在设 ],[)0)(,[ ???
.)(lim ????? xfx px;)(1),[,1)( 收敛时且当则 dxxfpaxxxf ap ? ???????
发散时且当,)(1),[,1)( dxxfpaxxxf ap ? ???????
推论
且上可积且在任何有限区间定义在设,ua，af ],[),[ ??;)(0,1)( 收敛时当则 dxxf，pi a? ??????? ?
.)(0,1)( 发散时当 dxxf，pii a? ??????? ?
４，狄利克雷判别法
若 ??
u
a dxxfxF )()(,a 上有界在 ),[ ?? 上在 ),[)( ??axg
则时单调趋于当,x 0???,)()( 收敛? ??a dxxgxf
５，阿贝尔判别法
若 ?
??
a dxxf )( 则上单调有界在收敛,ax，g ),[)( ??
.)()( 收敛? ??a dxxgxf
解：
例 1,讨论 收敛性，??? ?
0 21
s in dx
x
x
),0[,1 11s in 22 ?????? xxxx由于
收敛且 21 10 2 ???? ?? dxx
根据比较原则
.绝对收敛?
??
?0 21
s in dx
x
x
例 2,讨论下列无穷积分的收敛性，
?? ???? ? ?0 5
2
1
.
1
)2(;)1( dx
x
xdxex x?
解 (1),都有由于,R?? ?
,0limlim
2
2 ???
?
???
?
??? xx
x
x e
xexx ??
根据柯西判别法
??? ?1 dxex x?,都收敛R?? ?
解 (２ )：
1
1
lim
5
2
2
1
?
?
?
??? x
xx
x
由于
根据柯西判别法
? ?? ?0 5
2
1
dx
x
x
.发散
三, 小结
一, 无穷积分的性质
二, 无穷积分收敛的判别法
１，柯西准则
２，比较原则
３，柯西判别法
４，狄利克雷判别法
５，阿贝尔判别法
五, 作业 P275,1,2,3,4 (1)~(6),5(1)~(4 )
定义 2 设函数 )( xf 在区间 ],( ba 上连续，而在
点 a 的右邻域内无界,取 0??,如果极限
?
???
b
a
dxxf
??
)(l i m
0
存 在, 则 称 此 极 限 为 函 数 )( xf
在区间 ],( ba 上的 反常 积分，记作 ?
b
a
dxxf )(,
?ba dxxf )( ? ???? ba dxxf?? )(l i m 0
当极限存在时，称 反常 积分收敛 ； 当极限不存
在时，称 反常 积分发散,
瑕积分定义
类似地，设函数 )( xf 在区间 ),[ ba 上连续，
而在点 b 的 左 邻 域 内 无 界, 取 0??, 如 果 极 限
?
?
??
?
?
b
a
dxxf )(lim
0
存 在, 则 称 此 极 限 为 函 数 )( xf
在区间 ),[ ba 上的 反常 积分,
记作 ?
b
a
dxxf )( ?
?
??
?
?
?
b
a
dxxf )(l i m
0
,
当极限存在时，称 反常 积分收敛 ； 当 极 限 不 存 在
时，称 反常 积分发散,
设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上除点 )( bcac ?? 外连
续，而在点 c 的邻域内无界, 如果两个 反常 积分
?
c
a
dxxf )( 和 ?
b
c
dxxf )( 都收敛，则定义
? ba dxxf )( ?? ca dxxf )( ?? bc dxxf )(
? ???? ?? ca dxxf )(l i m 0 ? ?????? bc dxxf?? )(l i m 0
否则，就称 反常 积分 ? ba dxxf )( 发散,
注意 定义中 C为瑕点，以上积分称为瑕积分,
例 1 计算反常积分
解
).0(
0 22
??? axa dxa
,1lim 22
0
????
?? xaax
?
ax ?? 为被积函数的瑕点,
? ?a xa dx0 22 ? ??? ?? ?? a xa dx0 220l i m
?
?
?
?? ??
?
??
?? a
a
x
00
a r c s i nl i m ?
?
?
??
? ???
??
0a r c s i nl i m
0 a
a ?
?
.2??
例 2 讨论反常积分 ?
1
0
1
dx
x q
的敛散性 。
证,1)1( ?q ?? 10 1 dxx ? ?10ln x?,???
,1)2( ?q ?10 1 dxx q
1
0
1
1 ??
?
??
?
?
?
?
q
x q
??
?
?
?
?
?
???
?
1,
1
1
1,
q
q
q
因此当 1?q 时反常积分收敛，其值
q?1
1；
当 1?q 时反常积分发散,
?10 1 dxx q
例 3 计算广义积分 ?
?
??
1 1
1 dx
xx
? ?? ??? 0 2 )1( 21 dxtt ttx
???
0a r c t a n2 t
)02(2 ?? ?
? ?? ?1 11 dxxx解
)0a r c t a na r c t a nl i m(2 ?? ??? tt
??
可以按照如下简单方法进行计算
例 4 计算广义积分
解
.2
1 2?? x
dx
??
0
1 2x
dx
故原广义积分发散,
,1l i m 2
0
???
? xx
? 0 为被积函数的瑕点,
???
?
?
??
???
?
0
1
1
x
.)0(110 的收敛性讨论瑕积分 ?? pdxx p
例 5.
解,
),10(
1,ln
,1),1(
1
1
1
1
1
0
??
?
?
?
?
?
??
??
??
?
? u
pu
pu
pdx
x
p
p
被积函数 f在 (0,1] 上连续,x = 0 是瑕点,由于,
且瑕积分收敛时故当,，p 10 ??;1 11lim1 1
0
1
0 ?? ??? ?? u pup pdxxdxx
.1 ??? 瑕积分发散于时当,P
小结
一, 瑕积分的概念
二、无穷积分与瑕积分的关系
三、瑕积分的计算
五, 作业 P275,1,2,3,4 (1)~(6),5(1)~(4 )
§ 2 无穷积分的性质与收敛判别
§ 1 反常积分概念
一, 引入
例：
曲边梯形”的面积。
，右边所围成的“开口轴及直线求曲线 1,1 2 ?? xx
x
y
0 x
y
1 b
2x
1y?
解, 由于这个图形不是封闭的
曲边梯形,而在 x轴的正方
向是开口的，即这是的积
分区间为 [1,∞），
bxdxxAb
bb 11]1[1,1
121 ?????? ?的面积为则故
显然当 b改变时，曲边梯形的面积也随之改变，
1)11(lim1lim 21 ?????? ?????? ? bdxxb bbb时，即故
则所求曲边梯形的面积为 1
一 问题的提出
前面遇到的定积分 ?b
a dxxf )(
是普通的积
分,
ba,是确定的常数,且 )(xf 在 ],[ ba
上连续 。
那么如何计算下列两种类型的积分？
??? ???????? dxxfdxxfdxxf ba )(;)(;)( )1(
之间）无界。与处于（
或或）在（这里
bac
cbaxfdxxf
b
a
,)( )2( ?
定义 1 设函数 )( xf 在 区 间 ),[ ??a 上 连 续, 取
ab ?, 如 果 极 限
?
???
b
ab
dxxf )(lim 存 在, 则 称 此 极
限 为 函 数 )( xf 在 无 穷 区 间 ),[ ??a 上的 反常 积 分,
记作 ?
??
a
dxxf )(,
? ??a dxxf )( ????? bab dxxf )(l i m
当极限存在时，称 反常 积分收敛 ； 当 极 限 不 存 在
时，称 反常 积分发散,
二 无穷限的广义积分
类似地，设函数 )( xf 在区间 ],( b?? 上连续，取
ba ?,如果极限 ?
???
b
aa
dxxf )(lim 存在，则称此极
限为函数 )( xf 在无穷区间 ],( b?? 上的广义积
分，记作 ?
??
b
dxxf )(,
? ??b dxxf )( ????? baa dxxf )(lim
当极限存在时，称 反常 积分收敛 ； 当极限不存在
时，称 反常 积分发散,
设 函 数 )( xf 在 区 间 ),( ???? 上 连 续,如果
广 义 积 分 ? ??
c
dxxf )( 和 ?
??
c
dxxf )( 都 收 敛, 则 称 上
述两 反常 积分之和为函数 )( xf 在无穷区间
),( ???? 上的 反常 积分，记作 ?
??
??
dxxf )(,
? ???? dxxf )( ?? ??c dxxf )( ?? ??c dxxf )(
?? ??? caa dxxf )(lim ?? ??? bcb dxxf )(lim
极限存在称 反常 积分收敛；否则称反常 积分发散,
上述反常积分统称为无穷限的反常积分；
由牛顿 -莱布尼茨公式，可得
，则设 )()( xfxF ??
? ??a dxxf )( )()(lim aFxF
x ?? ???
? ??b dxxf )( )(lim)( xFbF x ?????
? ???? dxxf )( )(l i m xFa ????)(lim xFx ????
例 1 计算反常积分,1 2? ???? ? xdx
解 ? ???? ? 21 xdx ? ?? ?? 0 21 xdx? ?? ?? 0 21 xdx
? ?? ??? 0 21 1l i m aa dxx? ?? ??? bb dxx0 21 1lim
? ?0a rct a nlim aa x???? ? ?bb x 0a rc t a nlim ????
aa a r c t a nlim ????? bb a r c t a nlim ????,22 ?????????? ????
例 2 判定反常 积分 ?
?? ?
a
px dxe 的敛散性,
? ?? ?a px dxe ? ????? ba pxb dxel i m b
a
px
b p
e
??
?
??
? ?? ?
???
l i m
?
?
??
?
? ?? ??
??? p
e
p
e pbpa
b
lim ?
?
?
?
?
??
?
?
?
0,
0,
p
p
p
e ap
即当 0?p 时收敛，当 0?p 时发散,
解
发散0?P显然 ???
a dx
例 3 证明反常积分 ?
??
a p
dx
x
1
当 1?p 时收敛，
当 1?p 时发散,
证,1)1( ?p ? ??
a p dxx
1 ?? ??
a dxx
1 ? ???? axln,???
,1)2( ?p ? ??
a p dxx
1
???
??
?
??
?
?? a
p
p
x
1
1
??
?
?
?
?
?
???
? ?
1,
1
1,
1
p
p
a
p
p
因此当 1?p 时 反常 积分收敛，其值为 11??pa p ；当
1?p 时 反常 积分发散,
例 4.确定下列无穷积分是否收敛，若收敛算出它的值,
dxxdxxdxe x ??? ??????? 1)3(1)2()1( 1410
解,bbxxb eedxe ??? ????? 1)1(
11?
11lim1)1(lim ???? ?????? bbbb ee
100 ??? ?????? dxedxe xx 收敛，且故
3
1341 3
1
3
1
3
11)2( ?????? b
xdxx
bb?
3
1
b
1lim
3
1
3
1)
b3
1
3
1(lim
3b3b ???? ???????
3
111
4141 ???
???? dx
xdxx 收敛，且故
dxxdxx bb 1lim1)3( 11 ?? ????? ??
2221 11 ???? bxdxx bb又
??????? )2b2(l imb
发散故 dxx? ?? 11
练习 1：下列无穷积分是否收敛？若收敛，算出它们的值,
dx
x
x
e
? ?? ln1 1）（ dxxe x? ???02）（
例 5：计算无穷积分
dxx1 1)1( 2? ??? ?? dxxe x? ??? 2
0)2(
解 (1):
202
0
2 111
1
x
dx
x
dxdx
x ????? ???
??
??
??
??
?? ???? ?????? 2b0a20aa x1 dxlimx1 dxlim
b0
b
0a
a [ a r c ta n ]lim[ a r c ta n ]lim ?????? ??
????? ?????? ba r c t a nlimaa r c t a nlim ba
??? ?????? ?? ???? ??? )2(2][ a r c t a n1 2 xxdx简化上述过程：
xxx xx a r c ta nlima r c ta nlim][ a r c ta n ???????? ?? ?应理解为其中
解 (2):
2
1)10(
2
1]e
2
1[dxxe
0
xx
0
22 ?????? ???????
练习 2：求下列无穷积分,
?? ????? ?? dxedxxe x
x
02 )2()1(
2
例 6.
取何值时收敛，何值时在试确定广义积分 pdx
x p
1
1?
??
.发散
???? ?????? 111 ]1 1[11 Pp xPdxxp 时有当
1P1p 1 ??
1??? P
????? ????? 11 ][ l n1 xxdxp 时有当
.1
11
时发散当
时收敛，，当综上所述，广义积分
?
?? ??
P
P
x
dx
练习 3：判断下列无穷积分是否收敛？若收敛，算出
它们的值,
?? ???? dxx)2(dxx1)1( 2121
解,
例 7 计算反常积分
解
).0(
0 22
??? axa dxa
,1lim 22
0
????
?? xaax
?
ax ?? 为被积函数的瑕点,
? ?a xa dx0 22 ? ??? ?? ?? a xa dx0 220l i m
?
?
?
?? ??
?
??
?? a
a
x
00
a r c s i nl i m ?
?
?
??
? ???
??
0a r c s i nl i m
0 a
a ?
?
.2??
例 8 讨论反常积分 ?
1
0
1
dx
x q
的敛散性 。
证,1)1( ?q ?? 10 1 dxx ? ?10ln x?,???
,1)2( ?q ?10 1 dxx q
1
0
1
1 ??
?
??
?
?
?
?
q
x q
??
?
?
?
?
?
???
?
1,
1
1
1,
q
q
q
因此当 1?q 时反常积分收敛，其值
q?1
1；
当 1?q 时反常积分发散,
?10 1 dxx q
例 9 计算广义积分 ?
?
??
1 1
1 dx
xx
? ?? ??? 0 2 )1( 21 dxtt ttx
???
0a r c t a n2 t
)02(2 ?? ?
? ?? ?1 11 dxxx解
)0a r c t a na r c t a nl i m(2 ?? ??? tt
??
可以按照如下简单方法进行计算
例 10 计算广义积分
解
.2
1 2?? x
dx
??
0
1 2x
dx
故原广义积分发散,
,1l i m 2
0
???
? xx
? 0 为被积函数的瑕点,
???
?
?
??
???
?
0
1
1
x
四, 小结
(1) 无穷积分的定义 ;
(2) 无穷积分收敛与发散的定义 ;
(3) 无穷积分的计算：
(i).求出函数 f(x)的原函数 F(x).
)(lim xFx ????? 时，则求出上限为
(ii).
)(lim xFx ????? 时，则求出上限为
五, 作业 P269,1 (1)~(8),2 (1)~(8).
§ 2 无穷积分的性质及收敛判别
一, 无穷积分的性质
性质１
则为任意常数都收敛与若,k，kdxxfdxxf aa 2121,)()( ?? ????
且也收敛,dxxfkxfka )]()([ 2211 ?? ??
??? ?????? ??? aaa dxxfkdxxfkdxxfkxfk,)()()]()([ 22112211
性质２
b，auaf ?上可积在任何有限区间若 ],[
且同敛散与则,dxxfdxxf ba ?? ???? )()(
.)()()( dxxfdxxfdxxf bbaa ??? ???? ??
性质３
，dxxf，uaf a 收敛且上可积在任何有限区间若 ? ?? )(],[
且必收敛则,dxxfa? ?? )(
.)()( dxxfdxxf aa ?? ???? ?
注
.)()( 为绝对收敛称收敛时当 ?? ???? aa dxxf，dxxf
性质３说明绝对收敛的级数自身一定收敛．但自身收敛的级数
不一定绝对收敛．
我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛．
二, 无穷积分收敛的判别法
２，比较原则
:)( 收敛的充要条件是无穷积分 ? ??a dxxf
便有只要,,,,0 21 GuuaG ????? ?,)(2
1
???uu dxxf
.10:,0,1 ?? xyL１，柯西准则
，gfa 积都在任何有限区间上可和上的两个函数设定义在 ),[ ??
且满足 ),[),()( ???? axxgxf
２，比较原则
，gfa 积都在任何有限区间上可和上的两个函数设定义在 ),[ ??
且满足 ),[),()( ???? axxgxf 则;)()( 收敛则收敛若 dxxf，dxxg aa ?? ????
.)()( 发散则发散若 ?? ???? aa dxxg，dxxf
推论
?? ???????? aa dxxgdxxf，ci ;)()(0)( 同敛散与时当
且上可积都在任何有限区间和设,0)(],[ ?x，guagf cxg
xf
x
?
??? )(
)(lim;)()(0)( 收敛则收敛若时当 dxxf，dxxg，cii aa ?? ?????
.)()()( 发散则发散若时当 dxxf，dxxg，ciii aa ?? ???????
３，柯西判别法
，ua，aaf 上可积且在任何有限区间定义在设 ],[)0)(,[ ???
.)(lim ????? xfx px;)(1),[,1)( 收敛时且当则 dxxfpaxxxf ap ? ???????
发散时且当,)(1),[,1)( dxxfpaxxxf ap ? ???????
推论
且上可积且在任何有限区间定义在设,ua，af ],[),[ ??;)(0,1)( 收敛时当则 dxxf，pi a? ??????? ?
.)(0,1)( 发散时当 dxxf，pii a? ??????? ?
４，狄利克雷判别法
若 ??
u
a dxxfxF )()(,a 上有界在 ),[ ?? 上在 ),[)( ??axg
则时单调趋于当,x 0???,)()( 收敛? ??a dxxgxf
５，阿贝尔判别法
若 ?
??
a dxxf )( 则上单调有界在收敛,ax，g ),[)( ??
.)()( 收敛? ??a dxxgxf
解：
例 1,讨论 收敛性，??? ?
0 21
s in dx
x
x
),0[,1 11s in 22 ?????? xxxx由于
收敛且 21 10 2 ???? ?? dxx
根据比较原则
.绝对收敛?
??
?0 21
s in dx
x
x
例 2,讨论下列无穷积分的收敛性，
?? ???? ? ?0 5
2
1
.
1
)2(;)1( dx
x
xdxex x?
解 (1),都有由于,R?? ?
,0limlim
2
2 ???
?
???
?
??? xx
x
x e
xexx ??
根据柯西判别法
??? ?1 dxex x?,都收敛R?? ?
解 (２ )：
1
1
lim
5
2
2
1
?
?
?
??? x
xx
x
由于
根据柯西判别法
? ?? ?0 5
2
1
dx
x
x
.发散
三, 小结
一, 无穷积分的性质
二, 无穷积分收敛的判别法
１，柯西准则
２，比较原则
３，柯西判别法
４，狄利克雷判别法
５，阿贝尔判别法
五, 作业 P275,1,2,3,4 (1)~(6),5(1)~(4 )
定义 2 设函数 )( xf 在区间 ],( ba 上连续，而在
点 a 的右邻域内无界,取 0??,如果极限
?
???
b
a
dxxf
??
)(l i m
0
存 在, 则 称 此 极 限 为 函 数 )( xf
在区间 ],( ba 上的 反常 积分，记作 ?
b
a
dxxf )(,
?ba dxxf )( ? ???? ba dxxf?? )(l i m 0
当极限存在时，称 反常 积分收敛 ； 当极限不存
在时，称 反常 积分发散,
瑕积分定义
类似地，设函数 )( xf 在区间 ),[ ba 上连续，
而在点 b 的 左 邻 域 内 无 界, 取 0??, 如 果 极 限
?
?
??
?
?
b
a
dxxf )(lim
0
存 在, 则 称 此 极 限 为 函 数 )( xf
在区间 ),[ ba 上的 反常 积分,
记作 ?
b
a
dxxf )( ?
?
??
?
?
?
b
a
dxxf )(l i m
0
,
当极限存在时，称 反常 积分收敛 ； 当 极 限 不 存 在
时，称 反常 积分发散,
设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上除点 )( bcac ?? 外连
续，而在点 c 的邻域内无界, 如果两个 反常 积分
?
c
a
dxxf )( 和 ?
b
c
dxxf )( 都收敛，则定义
? ba dxxf )( ?? ca dxxf )( ?? bc dxxf )(
? ???? ?? ca dxxf )(l i m 0 ? ?????? bc dxxf?? )(l i m 0
否则，就称 反常 积分 ? ba dxxf )( 发散,
注意 定义中 C为瑕点，以上积分称为瑕积分,
例 1 计算反常积分
解
).0(
0 22
??? axa dxa
,1lim 22
0
????
?? xaax
?
ax ?? 为被积函数的瑕点,
? ?a xa dx0 22 ? ??? ?? ?? a xa dx0 220l i m
?
?
?
?? ??
?
??
?? a
a
x
00
a r c s i nl i m ?
?
?
??
? ???
??
0a r c s i nl i m
0 a
a ?
?
.2??
例 2 讨论反常积分 ?
1
0
1
dx
x q
的敛散性 。
证,1)1( ?q ?? 10 1 dxx ? ?10ln x?,???
,1)2( ?q ?10 1 dxx q
1
0
1
1 ??
?
??
?
?
?
?
q
x q
??
?
?
?
?
?
???
?
1,
1
1
1,
q
q
q
因此当 1?q 时反常积分收敛，其值
q?1
1；
当 1?q 时反常积分发散,
?10 1 dxx q
例 3 计算广义积分 ?
?
??
1 1
1 dx
xx
? ?? ??? 0 2 )1( 21 dxtt ttx
???
0a r c t a n2 t
)02(2 ?? ?
? ?? ?1 11 dxxx解
)0a r c t a na r c t a nl i m(2 ?? ??? tt
??
可以按照如下简单方法进行计算
例 4 计算广义积分
解
.2
1 2?? x
dx
??
0
1 2x
dx
故原广义积分发散,
,1l i m 2
0
???
? xx
? 0 为被积函数的瑕点,
???
?
?
??
???
?
0
1
1
x
.)0(110 的收敛性讨论瑕积分 ?? pdxx p
例 5.
解,
),10(
1,ln
,1),1(
1
1
1
1
1
0
??
?
?
?
?
?
??
??
??
?
? u
pu
pu
pdx
x
p
p
被积函数 f在 (0,1] 上连续,x = 0 是瑕点,由于,
且瑕积分收敛时故当,，p 10 ??;1 11lim1 1
0
1
0 ?? ??? ?? u pup pdxxdxx
.1 ??? 瑕积分发散于时当,P
小结
一, 瑕积分的概念
二、无穷积分与瑕积分的关系
三、瑕积分的计算
五, 作业 P275,1,2,3,4 (1)~(6),5(1)~(4 )
