维欧氏空间与向量函数
维欧氏空间一,n
其中每个维空间或简称维向量空间称为,,nn
的全体个有序实数组所有 ),,( 21 nxxxn ?
记作维空间中的一个向量有序实数组称为,n
.
2
1
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n
x
x
x
x
?,的转置表示向量记号 xx T
? n维向量空间的概念
? 内积的概念
TnTn yyyyxxxx ),,(,),,( 2121 ?? ??设
则量维空间中的任意两个向是,n
nnT yxyxyxyx ???? ?2211
.的内积与称为向量 yx
之和为与则向量为任意实数设 yx,?
.),,,( 2211 Tnn yxyxyxyx ????? ?
的数乘积为与向量数量 x?
.)( 21 Tnxxxx ???? ???? ?
? 内积的性质;0,0,0)1( ??? xxxxx TT 时当且仅当;)2( xyyx TT ?;),()()()3( 为实数???? yxyxyx TTT ??
.)()4( zyzxzyx TTT ???
? n维欧氏空间的概念
维欧几里得维空间叫做定义了内积的 nn
.),()( nRnE u cl i d 记作维欧氏空间简称空间
的模为利用内积定义向量 nRx ?
.)()(
2
1
1
221 ?
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??
n
i
i
T xxxx
间的距离定义为与中任意两点 yxR n
.)(),(
2
1
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2
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?
n
i
ji yxyxyx?
? 向量模的性质;0,0,0)1( ??? xxx 时当且仅当;,)2( 为实数??? xx ?
);()3( 三角不等式yxyx ???
).—()4( 施瓦茨不等式柯西yxyx T ?
向量函数二,
? 定义
,,,的一个子集是若 YXfRyRx mn ???
使都有惟一的一个对每一个,,YyXx ??
记作的向量函数到为则称,,),( YXffyx ?
,
,:
yx
YXf
?
?
.的定义域称为函数其中 fX
向量函数的极限与连续三,
? 定义 1
.:,,mn RXfDaRXD ??? 的聚点是设
0,);(,0,?????? ??? 总若存在 mm RlURl
),;());((,);( ??? lUDaUfRaU n ?? ???使得
记作为极限以时上当则称在集合,,lfaxD ?
.)(l i m lxf
Dx
ax
?
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?
? 几何描述
nR
a
);( ?aU ?
mR
f
l
);( ?lU
? 定义 2
,0.:,,?????? ?若设 mn RXfDaRXD
),);(());((,0 ??? afUDaUf ??? ?使得
.连续关于集合在点则称 Daf
上的连续为则称上每一点都连续在若 DfDf,
.函数
? 连续函数的性质
定理 1:
);,(:,mn RYRXYXgf ???设
则连续在点连续在点若,,,,bhagf ?
.)(,;:;,YafbXaRXRZYh r ?????? ?
gf ?
.
11
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mm
gf
gf
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f?
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1
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m
f
f
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fh?
.
1
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fh
fh
r
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.连续都在点 a
? 连续函数的性质
定理 2:
连续的在点函数 nm RXaRXf ???:
充要条件是
? ? 时收剑于任何点列 aXP k ?
? ? ).()( afRPf mk 都收剑于?
? 连续函数的性质
定理 3:
mn RDfRD ??,,是有界闭集若
.)(,也是有闭集则上的连续函数是 mRDfD ?
? 连续函数的性质
定理 4:
DRDfRD mn 是是有界闭集若 ??,,
即的直径可达则上的连续函数,)( Df，
使得,,DPP ?????
.)()(m a x)()(
,
xfxfPfPf
Dxx
?????????
????
? 连续函数的性质
定理 5:
上的连续函数是是有界闭集若 DfRD n,?
.上一致连续在则 Df
,0,0 ?? ??? 的存在只依赖于即任给
就有且只要,,?????????? xxDxx
.)()( ?????? xfxf
? 连续函数的性质
定理 6:
上的连续函数是是道路连通集若 DfRD n,?
.)( 也是道路连通集则 mRDf ?
中任意两点是指是道路连通集 DRD n,?
的连续曲线相能用一条完全含于之间 D，
.连结
小结四,
1,n维欧氏空间的概念 ;
2,向量函数的定义 ;
3,向量函数的极限 ;
5,连续函数的性质,
4,向量函数的连续性 ;
作业, P313,1,2,3,4,5,