第十七章 多元函数微分学
§ 1 可微性
§ 2 复合函数微分法
§ 3 方向导数与梯度
§ 4 泰勒公式与极值问题
第十七章 多元函数微分学
§ 1 可微性
一、全微分的定义
),(),( yxfyxxf ??? xyf x ?? ),(
),(),( yxfyyxf ??? yyxf y ?? ),(
二元函数
对 x 和对 y 的 偏微分
二元函数
对 x 和对 y 的 偏增量
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 的某邻域内有定义,
设 ),( yyxxP ????? 为这邻域内的任意一点，则称
这两点的函数值之差 ),(),( yxfyyxxf ?????
为函数在点 P 对应于自变量增量 yx ??,的 全增量,
记为 z?,即
全增量的概念
).,(),( yxfyyxxfz ???????
如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 的全增量
),(),( yxfyyxxfz ???????
可以表示为
)( ?oyBxAz ??????,
其中 BA,不依赖于 yx ??, 而仅与 yx, 有关,
22
)()( yx ?????,则称函数 ),( yxfz ? 在点
),( yx 可微分,yBxA ??? 称为函数 ),( yxfz ?
在点 ),( yx 的 全微分,记为 dz,即
全微分的定义
.yBxAdz ????
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则称这函数
在 D 内 可微分, 如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 可微分,则函数在该
点 连续,
事实上 ),( ?oyBxAz ??????,0lim 0 ?? z?
),(lim
0
0
yyxxf
y
x
????
??
?? ]),([l i m 0 zyxf ??? ??
),( yxf?
故函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 处连续,
定义 设函数 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 的某一邻域内有
定义，当 y 固定在
0
y 而 x 在
0
x 处有增量 x? 时,
相应地函数有增量
),(),(
0000
yxfyxxf ???,
如果
x
yxfyxxf
x ?
???
??
),(),(
lim
0000
0
存在，则称
此极限为函数 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 处对 x 的
偏导数,记为
二、偏导数的定义及其计算法
0
0
yy
xxx
z
?
??
?,
0
0
yy
xxx
f
?
??
?,
0
0
yy
xxxz
?
? 或 ),( 00 yxf x,
函数对 x 的偏增量
同理可定义函数 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 处对 y 的偏导
数为
y
yxfyyxf
y ?
???
??
),(),(
lim
0000
0
记为
0
0
yy
xxy
z
?
??
?
，
0
0
yy
xxy
f
?
??
?
，
0
0
yy
xxyz
?
? 或 ),( 00 yxf y,
.),(),(lim 0000
0
0
0 x
yxfyxxf
x
f
xyy xx ?
????
?
?
????
如果函数 ),( yxfz ? 在区域 D 内任一点 ),( yx 处对 x 的
偏导数都存在，那么这个偏导数就是 x, y 的函数,
它就称为函数 ),( yxfz ? 对自变量 x 的偏导数，记作
x
z
?
?
，
x
f
?
?
，
x
z 或 ),( yxf
x
,
同理可定义函数 ),( yxfz ? 对自变量 y 的偏导数，记作
y
z
?
?,
y
f
?
?
,yz 或 ),( yxf y,
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
),,,( zyxfu ?例如,处，在 ),,( zyx
,),,(),,(lim),,( 0 x zyxfzyxxfzyxf xx ? ???? ??
,),,(),,(lim),,( 0 y zyxfzyyxfzyxf yy ? ???? ??
.),,(),,(lim),,( 0 z zyxfzzyxfzyxf zz ? ???? ??
由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的
微分法问题。
时，求 xf?? 只要把 x 之外的其他自变量暂时看成
常量，对 x 求导数即可。
时，求 yf?? 只要把 y 之外的其他自变量暂时看成
常量，对 y 求导数即可。
其它情况类似。
例 1 求 22 3 yxyxz ??? 在点 )2,1( 处的偏导数,
解 ???xz ;32 yx?
???yz,23 yx?
???
?
?
2
1
y
xx
z
,82312 ???? ??
?
?
?
2
1
y
xy
z
.72213 ????
把 y 看成常量
把 x 看成常量
例 2 求 yxz 2s i n2? 的偏导数,
解 ???xz ;2sin2 yx
???yz,2c o s2 2 yx
把 y 看成常量
把 x 看成常量
例 3 设 yxz ? )1,0( ?? xx, 求证 zyzxxzyx 2ln 1 ??????,
证 ???xz,1?yyx ???yz,ln xx y
y
z
xx
z
y
x
?
??
?
?
ln
1 xx
xyxy
x yy ln
ln
11 ?? ?
yy xx ??
.2z?
原结论成立．
例 4 设
22a r c s i n yx
xz
?
?,求 xz??, yz??,
解 ???xz
322
222
)(|| yx
y
y
yx
?
???
.|| 22 yx y??
|)|( 2 yy ?
x
yx
x
yx
x ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
22
22
2
1
1
?
???yz
322
22
)(
)(
|| yx
xy
y
yx
?
????
yyx
x 1s g n
22 ??? )0( ?y
0
0
?
??
?
y
xy
z
不存在．
y
yx
x
yx
x ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
22
22
2
1
1
?
例 5 已知理想气体的状态方程 RTpV ? （ R 为常
数），求证,1??
?
?
?
?
?
?
?
?
p
T
T
V
V
p
,
证 ?? VRTp ;2V
RT
V
p ??
?
?
?? pRTV ;pRTV ???
?? RpVT ;RVpT ???
????????? pTTVVp 2VRT? pR? RV?
.1??pVRT??
偏导数 xu?? 是一个整体记号，不能拆分 ;
有关偏导数的几点说明：
１、
２,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；
例 6 设
?
?
?
?
?
??
??
??
0,0
,0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf 。
求 ).,( ),,( yxfyxf yx
解
时，当 0 22 ?? yx 时，且即 0 0 ?? yx
x
x yx
xyyxf
???
?
???
?
?
? 22),( ? 222
22
)(
2)(
yx
xyxyxy
?
?????
,
)(
)(
222
22
yx
xyy
?
??
).,( )1( yxf x先求
x
fxf
x ?
???
??
)0,0()0,0(lim
0,0
00l i m
0 ??
??
?? xx
于是,?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
.0,0
,0,
)(
)(
),(
22
22
222
22
yx
yx
yx
xyy
yxf x
考虑点 (0,0) 对 x 的偏导数，
时，当 0 22 ?? yx 时，且即 0 0 ?? yx
y
y yx
xyyxf
???
?
???
?
?
? 22),( ?
222
22
)(
2)(
yx
xyyyxx
?
?????
).,( )2( yxf y求
,
)(
)(
222
22
yx
yxx
?
??
y
fyf
y ?
???
??
)0,0()0,0(lim
0,0
00l i m
0 ??
??
?? yy
于是,?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
.0,0
,0,
)(
)(
),(
22
22
222
22
yx
yx
yx
yxx
yxf y
考虑点 (0,0) 对 x 的偏导数，
例 7 设 222),,( zyxzyxr ??? 。求,xr??,zr??
解 ???xr y,z看成常量 2222
2
zyx
x
??
222 zyx
x
??
?,
rx?
???zr 2222 2 zyx z ??
222 zyx
z
??
?,
rz?
x,y看成常量
３、偏导数存在与连续的关系
例如，函数
?
?
?
?
?
??
??
??
.0,0
,0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf,
依定义知在 )0,0( 处,0)0,0()0,0( ?? yx ff,
但函数在该点处并不连续,
偏导数存在 连续,
一元函数中在某点可导
多元函数中在某点偏导数存在
连续。
连续。
4、偏导数的几何意义
,),()),(,,( 00000 上一点为曲面设 yxfzyxfyxM ?
如图
xT
yT0M ),( 0 yxfz ?
),( 0yxfz ?
偏导数 ),( 00 yxf x 就是曲面被平面 0yy ? 所截得的
曲线在点 0M 处的切线 xTM 0 对 x 轴的斜率, 偏导数 ),(
00 yxf y 就是曲面被平面 0xx ? 所截得的
曲线在点 0M 处的切线 yTM 0 对 y 轴的斜率,
几何意义,
三、可微的条件
定理 1 （ 可微分必要条件 ） 如果函数 ),( yxfz ? 在
点 ),( yx 可微分，则该函数在点 ),( yx 的偏
导数
x
z
?
?
、
y
z
?
?
必存在，且函数 ),( yxfz ?
在点 ),( yx 的全微分为
.yyzxxzdz ????????
.
,
dyy
dxx
??
??,dy
y
zdx
x
zdz
?
??
?
??
证 如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yxP 可微分,
PyyxxP ?????? ),( 的某个邻域
)( ?oyBxAz ?????? 总成立,
特别地，当 0?? y 时，上式仍成立,
此时 || x???,
),(),( yxfyxxf ??? | ),(| xoxA ?????
Ax yxfyxxfx ?? ????? ),(),(lim 0,xz???
同理可得,yzB ???
一元函数在某点的导数存在
多元函数的各偏导数存在
例如，
.
00
0
),(
22
22
22
?
?
?
?
?
??
??
??
yx
yx
yx
xy
yxf
在点 )0,0( 处有,0)0,0()0,0( ?? yx ff
微分存
在．
全微分存
在．
])0,0()0,0([ yfxfz yx ???????,)()( 22 yx
yx
???
????
如果考虑点 ),( yxP ??? 沿着直线 xy ? 趋近于 )0,0(,
则 ?
22 )()( yx
yx
???
???
22 )()( xx
xx
???
????,
21?
说明它不能随着 0?? 而趋于 0,时，即，当 0 ??
2
1])0,0()0,0([ ????????
?
yfxfz yx
函数在点 )0,0( 处不可微,
),(])0,0()0,0([ ?oyfxfz yx ????????即
0
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微
分存在。
定理２ （ 可微分的充分条件 ）如果函数 ),( yxfz ?
的偏导数
x
z
?
?
、
y
z
?
?
在点 ),( yx 连续，则该函
数在点 ),( yx 可微分,
证略。
.dyyzdxxzdz ??????
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分
之和这件事称为二元函数的微分符合 叠加原理．
.dyyzdxxzdz ??????
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
.dzzudyyudxxudu ?????????
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分
之和这件事称为二元函数的微分符合 叠加原理．
例 8 计算函数
xyez ?
在点 )1,2( 处的全微分,
解
,xyxe?
dyyzdxxzdz ?????? 因此,.dyxedxye xyxy ??
.2 22 dyedxedz ??(2,1) 处的全微分
它们均连续。因此，函数可微分。
,xyye?? ?xxyexz ??? ? ? ?
yxyey
z ?
?
? ?
例 8 求函数 )2c o s ( yxyz ??,当
4
??x
,??y,
4
??? x
,??? y 时的全微分,
解
),2s i n (2)2c o s ( yxyyx ????
dyyzdxxzdz
),4(),4(),4( ?????
? ??????
).74(82 ?? ??
? ? xyxyxz )2c o s ( ???? ? ),2s i n ( yxy ???
? ? yyxyyz )2c o s ( ???? ?
例 9 计算函数 yzeyxu ??? 2si n 的全微分,
解
,2c o s21 yzzey ??
,yzye?
所求全微分
.)2c o s21( dzyedyzeydxdu yzyz ????
,1? xyzeyxxu ?????? ????? 2s i n ?
y
yzeyx
y
u ?
?
??
?
? ???
?
?
2s i n ?
z
yzeyx
z
u ?
?
??
?
? ???
?
?
2s i n ?
例 1 0 试证函数
?
?
?
?
?
??
??
??
.0,0
,0,
)(),(
22
22
2322
22
yx
yx
yx
yx
yxf
( 1) ),( yxf 在点 )0,0( 连续且偏导数存在；
( 2) ),( yxf 在点 )0,0( 不可微,
证 （ 1）
令,c o s???x,s in ???y
?? ),(l i m )0,0(),( yxfyx
.0)0,0( ?f
2322
22
)0,0(),( )(
lim
yx
yx
yx ??
???? 220 c o ss i nlim?? 0?
),0,0(f?
故函数 ),( yxf 在点 )0,0( 连续。
?)0,0(xf x fxfx ? ???? )0,0()0,(lim 0,000l i m 0 ???? ?? xx
?)0,0(yf y fyfy ? ???? )0,0(),0(lim 0,000l i m 0 ???? ?? yy
即, 函数 ),( yxf 在点 )0,0( 偏导数 存在 。
?? ),(l i m )0,0(),( yxfyx 2322
22
)0,0(),( )(
lim
yx
yx
yx ??
???? 220 c o ss i nlim?? 0?
?
])0,0()0,0([ yfxff yx ?????
22
2322
22
)()(
])()[(
)()(
yx
yx
yx
???
???
???
?
222
22
])()[(
)()(
yx
yx
???
????
如果考虑点 ),( yxP ??? 沿着直线 xy ? 趋近于 )0,0(,
?
])0,0()0,0([ yfxff yx ?????则
222
22
])()[(
)()(
xx
xx
???
????
41?
(2) ),( yxf 在点 )0,0( 不可微,
所以，函数 ),( yxf 在点 )0,0( 处不可微,
),(])0,0()0,0([ ?oyfxff yx ????????即
如果考虑点 ),( yxP ??? 沿着直线 xy ? 趋近于 )0,0(,
?
])0,0()0,0([ yfxff yx ?????则
222
22
])()[(
)()(
xx
xx
???
????
41?
多元函数连续、可导、可微的关系
函数可微分
函数连续
偏导数连续
偏导数存在
四、小结
１、多元函数全微分的概念；
２、多元函数全微分的求法；
５、多元函数连续、偏导数存在、可微分的关系．
（注意：与一元函数有很大区别）
（偏增量比的极限）３、偏导数的定义；
４、偏导数的定义，偏导数的几何意义；
作业：Ｐ１１６：１，（１～９），２～９．
若函数 ),( yxf 在点 ),( 000 yxP 连续，能否断定 ),( yxf
在点 ),( 000 yxP 的偏导数必定存在？
思考题
思考题解答
不能,
,),( 22 yxyxf ??在 )0,0( 处连续,
但 )0,0()0,0( yx ff ? 不存在,
例如,
第十七章 多元函数微分学
§ 2 复合函数微分法
证略。
一、复合函数的求导法则
定理 如果函数 )( xu ?? 及 )( xv ?? 都在点 x 可导,
函数 ),( vufz ? 在对应点 ),( vu 具有连续偏导
数，则复合函数 )](),([ xxfz ??? 在对应点
x 可导，且其导数可用下列公式计算,
1,z uv x 型
.dxdvvzdxduuzdxdz ??????
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况,
如
.dxdwwzdxdvvzdxduuzdxdz ?????????
以上公式中的导数 称为 全导数,dtdz
uv
w 型 x
z
.dxdvvzdxduuzdxdz ??????
定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元
函数的情况：
如果 ),( yxu ?? 及 ),( yxv ?? 都在点 ),( yx 具有对 x
和 y 的偏导数，且 ),( vufz ? 在对应点 ),( vu 具有连续
偏导数，则复合函数 )],(),,([ yxyxfz ??? 在对应点
),( yx 的两个偏导数存在,且可用下列公式计算,
2,z uv xy 型
,xvvzxuuzxz ????????????,yvvzyuuzyz ????????????
链式法则如图示
???xz u
v
xz
y
???uz xu?? ???? vz,xv??
???yz ???uz yu?? ???? vz,yv?? u
v
xz
y
类似地, 设 ),( yxu ??, ),( yxv ??, ),( yxww ?
都在点 ),( yx 具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数
)],(),,(),,([ yxwyxyxfz ??? 在对应点 ),( yx 的
两个偏导数存在，且可用下列公式计算,
y
w
w
z
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
xwwzxvvzxuuzxz ?????????????????
z
w
v
u
y
x
特殊地 ),,( yxufz ? ),( yxu ??
即 ],,),,([ yxyxfz ??
,xfxuufxz ???????????,yfyuufyz ???????????
令,xv ?,yw ?
其中
,1???xv,0???xw,0???yv,1??? yw
把 ],),,([ yxyxfz ??
中的 y 看作不变而对
x 的偏导数
把 ),,( yxufz ? 中
的 u 及 y 看作不变
而对 x 的偏导数
区
别
类
似
例 1 设 tuvz s i n??,而 teu ?, tv c o s?,
求全导数
dt
dz,
解 ?dtdz
ttuev t c o ss i n ?????
ttete tt c o ss i nc o s ???
.c o s)s i n( c o s ttte t ???
???uz ?dtdu ???vz ?dtdv tz??
z
u
v
t
t 型
例 2 设 vez u s i n?,而 xyu ?, yxv ??,
求
x
z
?
?
和
y
z
?
?
,
解 ???xz ???uz xu?? ???? vz xv??
1c o ss i n ???? veyve uu
???yz ???uz yu?? ???? vz yv??
1c o ss i n ???? vexve uu
z uv xy 型
)].c o s ()s i n ([ yxyxye xy ????
)].c o s ()s i n ([ yxyxxe xy ????
例 3 设
222
),,( uyxeyxuf ???,而,s i n2 yxu ?
求
y
z
x
z
?
?
?
?,,
解 xfxuufxz ???????????
.yfyuufyz ???????????
222222 2s i n22 uyxuyx xeyxue ???? ???
.)s i n21(2 2222 uyxeyxx ????
222222 2)( c o s2 2 uyxuyx yeyxue ???? ???
.)2s i n2( 2224 uyxeyxy ????
例 4 设 )( xyxfz ??, 且 f 具有 一阶 导数 。
求
y
z
x
z
?
?
?
?,,
解
xudu
df
xz ??????
令,xyxu ?? 则 ).( ufz ?
???? )( xyxf ).1 y?
y
u
du
df
y
z
?
???
?
? ).( xyxf ???x
z u xy 型
例 5 设 ),( x y zzyxfw ???, f 具有二阶连续偏
导数，求
x
w
?
?
和
zx
w
??
? 2
,
解 令,zyxu ??? ;xyzv ?
记,1 uff ????
,12
2
11 u
f
u
ff
?
???
?
????
,2 vff ????
v
f
vu
ff
?
???
??
???? 12
12
,12
2
22 v
f
v
ff
?
???
?
????
w uv
x
y
z
型 ).,( vufw ?则
.2
2
21 u
f
uv
ff
?
???
??
???? 二阶偏
导连续
???? zx w2 )( 21 fyzfz ????? ;221 zfyzfyzf ? ?????? ???
?? ??zf1 zvvfzuuf ???? ??????? ?? 11 ;1211 fxyf ??????
?? ??zf2 zvvfzuuf ???? ??????? ?? 22 ;2221 fxyf ??????
因此,???? zx w
2
1211 fxyf ????? 2fy ?? )( 2221 fxyfyz ??????
.)( 22221211 fyfzxyfzxyf ????????????
???xw xvvfxuuf ??????????? ; 2 1 fzyf ????于是，
设函数 ),( vufz ? 具有连续偏导数，则 u, v 不论 是
自变量 还是 中间 变量, 总 有全微分
dv
v
z
du
u
z
dz
?
?
?
?
?
? 。
二、复合函数的全微分
（ 1）如果 u,v 是自变量，结论显然。
（ 2）如果 u,v 是中间变量,).,( ),,( yxvyxu ?? ??
有全微分：
dyyzdxxzdz ??????
事实上，
dyyvvzyuuzdxxvvzxuuz ?????? ???????????????? ??????????
dyyzdxxzdz ??????
?????? ?????????????? ???????? dyyvdxxvvzdyyudxxuuz
.dvvzduuz ??????
全微分形式不变形的 实质,
无论 z是自变量 u,v的函数或中间变量 u,v
的函数，它的全微分形式是一样的,
例 6 设 vez u s i n?,而 xyu ?, yxv ??,
求 全微分 dz,
解 dvvzduuzdz ??????
)()c o s()()s i n( yxdvexydve uu ???
? ? ? ?dydxvexdyy d xve uu ???? )c o s()s i n(
dyvvxedxvvye uu )c o ss i n()c o ss i n( ????
????? dxyxyxye xy )]c o s ()s i n ([
.)]c o s ()s i n ([ dyyxyxxe xy ????xz??
y
z
?
?
例 7 已知 02 ???
? zxz eze,求
x
z
?
?
和 y
z
?
?,
解,0 2 ???? zxy eze
,02)( ????? dzedzxyde zxy
),()2( y d xx d yedze xyz ??? ?
,
)2()2(
dy
e
xedx
e
yedz
z
xy
z
xy
?
?
?
?
??
xz??,2??
?
z
xy
e
ye
y
z
?
?,
2??
?
z
xy
e
xe
d ( ) d( )
1、链式法则（分二种情况）
2、全微分形式不变性
（特别要注意课中所讲的特殊情况）
（理解其实质）
三、小结
作业：Ｐ１２３,１（１）～（６）；
２，３，４，５．
第十七章 多元函数微分学
§ 3 方向导数与梯度
方向导数与梯度
偏导数是
方向导数
吗？
偏导数是
方向导数
吗？
偏导数是
方向导数
吗？
偏导数是
方向导数
吗？
例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐
标是 (1,1),(5,1),(1,3),(5,3)．在坐标原点
处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上
任意一点处的温度与该点到原点的距离成反
比．在 (3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿
什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
问题的答案：应沿由热变冷变化最骤烈的方
向（即梯度方向）爬行．
一 问题的提出
?
),( yxp
),( yyxxp ?????
x?
y?
?
?l
0 x
y
方向导数图示
讨论函数 在一点 P沿某一方向
的变化率问题．
),( yxfz ?
A
B
C?
??tan
|AC|
|BC|
)( xf
)( xxf ??
x xx ??
?? )( xf
0?? x
x
xfxxf
x ?
???
??
)()(l i m
0
??f
x
xfxxf
x ?
???
???
)()(l i m
0
??? )( xf
||)(||
)()(li
0|||| xxx
xfxxf
x ???
???
??
3R 中
x
O y
z,
P0
P
||PP||
)(P( P )
lim
0
0
PP 0
ff ?
?
l
0l?
沿)( xf 0l? 方向的方向导数
)( Xfz ?,
二、方向导数的定义
设函数 )( Xfu ? 在
)U( 0X
内有定义。
若点
)U( 0XX ?
沿射线 l 趋于
0X
时,极限
||||
)()(
lim
0
0
0 XX
XfXf
XX ?
?
?
存在，则称该极限值为函数 )( Xf 在点
0X
处沿 l 方向的方向导数。记为
?
?
?
? 0XXl
z
||||
)()(
lim
0
0
0 XX
XfXf
XX ?
?
?
或
)( 0Xf l?
利用直线方程可将方向导数的定义
t
XfetXf
l
u
t
)()(lim 00
0
???
?
?
??
表示为,
射线 l 的方程为
p
zz
n
yy
m
xx 000 ????? t?
则 ?co s
0 txx ?? ?co s0 tyy ?? ?co s0 tzz ??
故 etXX ??
0
)c o s,c o s,( c o s ????e
??? c o sc o sc o s
比较方向导数与偏导数的概念
在方向导数中，分母 0||||
0 ?? XX；
在偏导数中，分母 x?,
y?
可正、可负。
即使 l 的方向与 x 轴,y 轴的正方向一致时，
方向导数与偏导数的概念也是不同的。
方向导数与偏导数是两个不同的概念 想一想，为什么？
怎么计算方向导数？
0X
X
l0l?
?
?
?
),,( 0000 zyxX
),,( zyxX
||||
c o s
0
0
XX
xx
?
???
||||
c o s
0
0
XX
yy
?
???
||||
c o s
0
0
XX
zz
?
???
| | )o ( | |)()( 00 XXz
z
uy
y
ux
x
uXfXf ???
?
???
?
???
?
???
看看三维空间的情形
定理 (方向导数导计算公式 )
若函数 ),,( zyxfu ? 在点 ),,(
000 zyx
处可微,则函数 )( Xf 在点 ),,(
000 zyx
处
沿任一方向
)c o s,c o s,( c o s0 ????l? 的方
向导数存在，且
?
?
?
l
u
其中,各导数均为在点 ),,(
000 zyx
处的值。
?
?
? ?c o s
x
u
?
?
? ?c o s
y
u ?c o s
z
u
?
?
运用向量的数量积，可将方向
导数计算公式表示为：
?
?
?
l
u ?
?
? ?c o s
x
u
?
?
? ?c o s
y
u ?co s
z
u
?
?
???
?
???
?
?
?
?
?
?
?
z
u
y
u
x
u,,
eu ?? g r a d
其中,?ug r a d
)c o s,c o s,( c o s ????e
称为梯度
在 2R 中
?
?
?
l
u ?
?
? ?c o s
x
u ?c o s
y
u
?
?
在 nR 中
?
?
?
l
u ?
?
?
1
1
c o s?
x
u
n
nx
u
?c o s
?
?
??
可统一表示为
eu
l
u ??
?
? g r a d
?ugra d
),,,(
21 nx
u
x
u
x
u
?
?
?
?
?
? ?
)c o s,,c o s,( co s 21 ne ??? ?? )2( ?n
设
x y zu ?
,求函数在点 )2,2,1P( ?
沿方向
kjil ???? 22 ???
的方向导数。
解;4PP ???
?
? yx
x
u ;2
PP ????
? xz
y
u
.2PP ??
?
? xy
z
u
,31c o s ??,3
2c o s ??,
3
2c o s ??
3
4
3
22
3
2)2(
3
1)4(
P ???????????
?
l
u
?
?
?
l
u ?
?
? ?c o s
x
u
?
?
? ?c o s
y
u ?c o s
z
u
?
?
例
由点 ),P( yx 到坐标原点的距离定
义的函数
22 yxz ??
在坐标原点处
的两个偏导数均不存在，但它在该点
沿任何方向的方向导数均存在，且方
向导数值都等于 1：
1
0
lim
22
22
0
0
)0,0( ?
?
??
?
?
?
?
? yx
yx
l
z
y
x
想一想，该例给你什么启示
函数可微是方向导数存在
的充分条件，而不是必要
条件。
方向导数存在时，偏导数
不一定存在。
例
三,
梯
度
一个问题：
),,()( zyxfXfu ??
在给定点
0X
沿什么方向增加得最快？
该问题仅在
z
u
y
u
x
u
?
?
?
?
?
?,,不同时为零才有意义。
可微函数
eu
l
u ??
?
? g r a d
由前面的推导，有
),g r a dc o s (||||||g r a d|| eueu?
现在正式给出 的定义
ue g r a dp r j?
grad u
),g r a dc o s (||g r a d|| euu?
由此可得出什么结论？
方向导数等于梯度
在此方向上的投影
定义
设
,3R??,)()( 1 ??? CXfu
,0 ??? X
则称向量
?
?
? i
x
Xf ?)( 0
为函数
)( Xf
在点
0X
处的梯度，记为
)(g r ad 0Xf 或 。)(
0Xf?
?
?
? j
y
Xf ?)( 0 k
z
Xf ?
?
? )( 0
梯度的方向与取得最大方向导
数导方向一致，而它的模就是函数
在该点的方向导数的最大值。
以上结论可以推广到二元和三元以
上的函数中。
梯度的方向与取得最大方向导
数导方向一致，而它的模就是函数
在该点的方向导数的最大值。
以上结论可以推广到二元和三元以
上的函数中。
),( yxfz ?在几何上 表示一个曲面
曲面被平面 所截得cz?,
),(
??
?
?
?
cz
yxfz
所得曲线在 xoy面上投影如图
等高线
),( yxfg r a d
梯度为等高线上的法向量P
2),( cyxf ?
1),( cyxf ?o
y
x
cyxf ?),(12 cc ?
三元函数 ),,( zyxfu ? 在空间区域 G 内具有一阶
连续偏导数，则对于每一点 GzyxP ?),,(,都可
定义一个向量 ( 梯度 )
,),,( kzfjyfixfzyxfg r a d ?????????
类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与
取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的
最大值,
梯度的概念可以推广到三元函数
类似地,设曲面 czyxf ?),,( 为函数 ),,( zyxfu ?
的等量面，此函数在点 ),,( zyxP 的梯度的方向与
过点 P 的等量面 czyxf ?),,( 在这点的法线的一
个方向相同，且从数值较低的 等量面指向数值较
高的等量面，而梯度的模等于 函数在这个法线方
向的方向导数,
设,52 ??? zxy zu 求,g r a d u 并求在
点 )1,1,0( ?M 处方向导数的最大 (小 )值。
解 ∵
∴
,yz
x
u ?
?
?,xz
y
u ?
?
?,2 zxy
z
u ??
?
?
)1,1,0()1,1,0( )2,,(g r a d ?? ?? zxyxzyzu
)2,0,1( ???
从而
5||g r a d||m a x ??
??
?
??
?
?
? u
l
u
M
5||g r a d||m in ????
??
?
??
?
?
? u
l
u
M
例 1
例 2 求函数 yxzyxu 2332 222 ????? 在点 )2,1,1(
处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零向量？
解 由梯度计算公式得
),,( kzujyuixuzyxug r a d ?????????
,6 )24( )32( kzjyix ?????
故, 12 2 5)2,1,1( kjiug r a d ???
在 )0,21,23(0 ?P 处梯度为 零 向量,
1、方向导数的概念
2、梯度的概念
3、方向导数与梯度的关系
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
（注意梯度是一个向量）
三、小结
最大值。梯度的模为方向导数的快的方向
在这点增长最梯度的方向就是函数
,
),( yxf
作业：Ｐ１２７,１～７．
1 方向导数的概念
2 梯度的概念
3 方向导数与梯度的关系
（注意梯度是一个向量）
四 小结
最大值。梯度的模为方向导数的快的方向
在这点增长最梯度的方向就是函数
,
),( yxf
1 方向导数是一个数值，在任何方向上都存在；
2 梯度是一个向量，只有方向导数存在时，
梯度才存在。
3 方向导数与一般所说偏导数的无区别）
五 思考判断题
作业：Ｐ１２７,１～７．
第十七章 多元函数微分学
§ 4 泰勒公式与极值问题
一、多元函数的极值和最值
设函数 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 的某邻域内有定义,
对于该邻域内异于 ),(
00
yx 的点 ),( yx,
若满足不等式 ),(),(
00
yxfyxf ?,
则称函数在 ),(
00
yx 有 极大值 ；
若满足不等式 ),(),(
00
yxfyxf ?,
则称函数在 ),(
00
yx 有 极小值 ；
1、二元函数极值的定义
极大值、极小值统称为 极值,
使函数取得极值的点称为 极值点,
例 1 处有极小值．在
函数
)0,0(
43 22 yxz ??
例２ 处有极大值．在
函数
)0,0(
22 yxz ???
例３
处无极值．在
函数
)0,0(
xyz ?
(3)
(2)
(1)
定理 1 （ 必要条件 ）
设函数 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 具有偏导数，且在
点 ),(
00
yx 处有极值，则它在该点的偏导数必然
为零,0),(
00
?yxf
x
,0),(
00
?yxf
y
,2、多元函数取得极值的条件
不妨设 ),( yxfz ? 在点 ),( 00 yx 处有极大值,
则对于 ),( 00 yx 的某邻域内任意 ?),( yx ),( 00 yx
都有 ?),( yxf ),( 00 yxf,
证
故当 0yy ?, 0xx ? 时,有 ?),( 0yxf ),( 00 yxf,
说明一元函数 ),( 0yxf 在 0xx ? 处有极大值,
必有 0),( 00 ?yxf x ;
类似地可证 0),( 00 ?yxf y,
推广,如果三元函数 ),,( zyxfu ? 在点 ),,(
000
zyxP
具有偏导数，则它在 ),,(
000
zyxP 有极值的 必
要条件 为 0),,(
000
?zyxf
x
,
0),,(
000
?zyxf
y
,
0),,(
000
?zyxf
z
,
例如，点 )0,0( 是函数 xyz ? 的驻点,
但 点 ( 0,0 ) 不是极值点,
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，
均称为函数的驻点,
驻点偏导数存在的极值点
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
注意：;0)0,0(,?? xx zyz
.0)0,0(,?? yy zxz
定理 2 （ 充分条件 ）
设函数 ),( yxfz ? 在点 ),( 00 yx 的某邻域内连
续，有一阶及二阶连续偏导数，又
0),( 00 ?yxf x,0),( 00 ?yxf y,
令 Ayxf xx ?),( 00, Byxf xy ?),( 00,
Cyxf yy ?),( 00,则
( 1 ) 0
2
?? BAC 时具有极值，且
当 0?A 时有极大值,当 0?A 时有极小值；
( 2 ) 0
2
?? BAC 时没有极值；
( 3 ) 0
2
?? BAC 时可能有极值,也可能没有极值,
还需另作讨论,
求函数 ),( yxfz ? 极值的一般 步骤,
第一步 解方程组,0),( ?yxf x 0),( ?yxf y
求出所有驻点,
第二步 对于每一个驻点 ),( 00 yx,
求出二阶偏导数的值 A, B, C,
第三步 定出 2BAC ? 的符号，再判定是否是极值,
例 4 求函数 xyyxyxf 3),( 33 ???的极值。
解,33),( 2 yxyxf x ??,33),( 2 xyyxf y ??
求解方程组,??
???
??
??
.033
,033
2
2
xy
yx
得驻点
??
???
?
??
.
,
2
2
xy
yx
).1,1( ),0,0(
,6),( xyxf xx ?,3),( ??yxf xy,6),( yyxf yy ?
,)0,0( 处在,0)0,0( ?? xxfA,3)0,0( ??? xyfB
.0)0,0( ?? yyfC 92 ?? BAC,0?
因此，驻点, )0,0( 不是极值点
,6),( xyxf xx ?,3),( ??yxf xy,6),( yyxf yy ?
,)0,0( 处在,0)0,0( ?? xxfA,3)0,0( ??? xyfB
.0)0,0( ?? yyfC 92 ?? BAC,0?
因此，驻点, )0,0( 不是极值点
,)1,1( 处在,06)1,1( ??? xxfA
,3)1,1( ??? xyfB,6)1,1( ?? yyfC
22 )3(66 ????? BAC,027 ??
因此，驻点, )1,1( 是极小值点
.111311)1,1( 33 ???????f极小值
与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，
偏导数不存在的点也可能是极值点。
例如，显然函数 22 yxz ??
,)0,0( 处取得极小值在
处偏导数但函数在 )0,0(
不存在。
求最值的一般方法：
将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D
的边界上的最大值和最小值相互比较，其中
最大者即为最大值，最小者即为最小值,
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值
来求函数的最大值和最小值,
3、多元函数的最值
例 5 求
122 ??
??
yx
yxz 的最大值和最小值,
,0
)1(
)(2)1(
222
22
?
??
?????
yx
yxxyxz
x
,0
)1(
)(2)1(
222
22
?
??
?????
yx
yxyyxz
y
得驻点 )21,21( 和 )21,21( ??,
解 令
即边界上的值为零,
因为 0
1
lim 22 ?
??
?
??
?? yx
yx
y
x
即边界上的值为零,
,21)21,21( ?z,21)21,21( ????z
所以最大值为 21,最小值为 21?,
因为 0
1
lim 22 ?
??
?
??
?? yx
yx
y
x
无条件极值, 对自变量除了限制在定义域内外，
并无其他条件,
实例：小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急
需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购
买 x 张磁盘,y 盒录音磁带达到最佳效果，
效果函数为 U(x,y) = lnx+lny, 设每张磁
盘 8 元，每盒磁带 10 元，问他如何分配这
200 元以达到最佳效果．
问题的实质：求 在条件
下的极值点．
yxyxU lnln),( ??
2 0 0108 ?? yx
2 条件极值拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法
要找函数 ),( yxfz ? 在条件 0),( ?yx? 下的可能
极值点,
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
先构造函数 ),(),(),( yxyxfyxF ????,其中 ?
为某一常数，可由
?
?
?
?
?
?
??
??
,0),(
,0),(),(
,0),(),(
yx
yxyxf
yxyxf
yy
xx
?
??
??
解出 ?,,yx,其中 yx,就是可能的极值点的坐标,
拉格朗日乘数法可 推广 到自变量多于两个的情况,
要找函数 ),,,( tzyxfu ? 在条件 0),,,( ?tzyx?,
0),,,( ?tzyx? 下的极值。 先构造函数 （ 其中
21,?? 均为常数 ）
?? ),,,(),,,( tzyxftzyxF ),,,(),,,( 21 tzyxtzyx ???? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.0),,,(
,0),,,(
,0),,,(
,0),,,(
,0),,,(
,0),,,(
tzyx
tzyx
tzyxF
tzyxF
tzyxF
tzyxF
t
z
y
x
?
?
求解方程组 解出 x,y,z,t 即得
可能极值点的坐标,
解
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
)22(
)22(
)22(
xyxyF
zxxzF
zyyzF
z
y
x
?
?
?
则
例 6 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积,
设长方体的长、宽、高为 x,y,z,体积为 V,
则问题就是条件
求函数 的最大值, )0,0,0( ???? zyxx y zV
令 ),222(),,( 2axzyzxyx y zzyxF ????? ?
,0?
,0?
,0?
.0222 2 ???? axzyzxy
0222 2 ???? axzyzxy 下，
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
)22(
)22(
)22(
xyxyF
zxxzF
zyyzF
z
y
x
?
?
?
则
令 ),222(),,( 2axzyzxyx y zzyxF ????? ?
,0?
,0?
,0?
.0222 2 ???? axzyzxy
即 ?
?
?
?
?
?
?
????
???
???
???
)4( 0222
)3( )(2
)2( )(2
)1( )(2
2
axzyzxy
yxxy
zxxz
zyyz
?
?
?
,0,0,0 ??? zyx因 由 (2),(1)及 (3),(2)得
,zy zxyx ???,zx yxzy ???
,0,0,0 ??? zyx因 由 (2),(1)及 (3),(2)得
,zy zxyx ???,zx yxzy ???
于是,.zyx ?? 代入条件，得
.0222 2 ??????? axxxxxx
,6 22 ax ?
解得,66 ax ?,66 ay ?,66 az ?
.36 66 66 66 6 3m a x aaaaV ????
这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知，
所以,最大值就在此点处取得。
故，最大值
最大值一定存在，
例 7 将正数 12 分成三个正数 zyx,,之和 使得
zyxu 23? 为最大,
解 令 )12(),,( 23 ????? zyxzyxzyxF ?,
?
?
?
?
?
?
?
???
????
????
????
12
0
02
03
23
3
22
zyx
yxF
yzxF
zyxF
z
y
x
?
?
?
则 ?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
??
?
)4(,12
)3(,
)2(,2
)1(,3
23
3
22
zyx
yx
yzx
zyx
?
?
?
由 (1),(2) 得 ( 5 ),32 xy ?
由 (1),(3) 得 ( 6 ),31 xz ?
即，得唯一驻点 )2,4,6(,
.6912246 23m ax ????u
将 (5),(6) 代入 (4)：
123132 ??? xxx
于是，得,6?x,4?y,2?z
这是唯一可能的极值点。
因为由问题本身可知，最大值一定存在,所以，
最大值就在这个可能的极值点处取得。
故，最大值
解
?
?
?
?
?
???
????
????
01
024
022
22
yx
yyF
xxF
y
x
?
?
则
小值。约束条件下的最大与最
在方程求函数例
1
2),( 8
22
22
??
??
yx
yxyxf
)1(2),( 2222 ????? yxyxyxF ?
构造拉格朗日函数，
），（），（），（），（
解得可能条件极值点为
01,01,10,10 ??
,1)0,1()0,1(
,2)1,0()1,0(
???
???
ff
ff
计算出
。，最小值为所以所求得的最大值为
上必有最值，
在有界闭集由于连续函数
12
}1/),{(
2
22
22
??
?
yxyx
yx
例 9 在第一卦限内作椭球面
1
2
2
2
2
2
2
???
c
z
b
y
a
x
的切平面，使切平面与三个坐
标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标,
解 设 ),,( 000 zyxP 为椭球面上一点,
令 1),,( 2
2
2
2
2
2
???? czbyaxzyxF,
则 2 02|
a
xF
Px ??, 2
02|
b
yF
Py ??, 2
02|
c
zF
Pz ??
过 ),,( 000 zyxP 的切平面方程为
?? )( 020 xxax ?? )( 020 yyby 0)( 020 ?? zzcz,
化简为 12 02 02 0 ?????? c zzb yya xx,
该切平面在三个轴上的截距各为
0
2
x
ax ?,
0
2
y
by ?,
0
2
z
cz ?,
所围四面体的体积
000
222
66
1
zyx
cbax y zV ??
,
在条件 12
2
0
2
2
0
2
2
0 ???
c
z
b
y
a
x 下求 V 的最小值,
令,lnlnln 000 zyxu ???
),,( 000 zyxG
???? 000 lnlnln zyx )1(
2
2
0
2
2
0
2
2
0 ???
c
z
b
y
a
x
?,
由,
01
0,0,0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
000
?
?
?
?
?
????
??????
c
y
b
y
a
x
GGG
zyx
当切点坐标为
(
3
a
，
3
b
，
3
c
) 时,
四面体的体积最小 abcV 2 3m i n ?,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
??
01
0
21
0
21
0
21
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
c
z
b
y
a
x
c
z
z
b
y
y
a
x
x
?
?
?
可得
即
3
0
a
x ?
3
0
b
y ?,
3
0
c
z ?
多元函数的极值
拉格朗日乘数法
（取得极值的必要条件、充分条件）
多元函数的最值
三 小结
?
?
?
?
?
?
条件极值
无条件极值
作业：Ｐ１４０：８，９，１０，１１．
四 思考判断题
.
c o s)1(),(
值多个极大值，但无极小
有无穷函数 yy yexeyxf ???
§ 1 可微性
§ 2 复合函数微分法
§ 3 方向导数与梯度
§ 4 泰勒公式与极值问题
第十七章 多元函数微分学
§ 1 可微性
一、全微分的定义
),(),( yxfyxxf ??? xyf x ?? ),(
),(),( yxfyyxf ??? yyxf y ?? ),(
二元函数
对 x 和对 y 的 偏微分
二元函数
对 x 和对 y 的 偏增量
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 的某邻域内有定义,
设 ),( yyxxP ????? 为这邻域内的任意一点，则称
这两点的函数值之差 ),(),( yxfyyxxf ?????
为函数在点 P 对应于自变量增量 yx ??,的 全增量,
记为 z?,即
全增量的概念
).,(),( yxfyyxxfz ???????
如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 的全增量
),(),( yxfyyxxfz ???????
可以表示为
)( ?oyBxAz ??????,
其中 BA,不依赖于 yx ??, 而仅与 yx, 有关,
22
)()( yx ?????,则称函数 ),( yxfz ? 在点
),( yx 可微分,yBxA ??? 称为函数 ),( yxfz ?
在点 ),( yx 的 全微分,记为 dz,即
全微分的定义
.yBxAdz ????
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则称这函数
在 D 内 可微分, 如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 可微分,则函数在该
点 连续,
事实上 ),( ?oyBxAz ??????,0lim 0 ?? z?
),(lim
0
0
yyxxf
y
x
????
??
?? ]),([l i m 0 zyxf ??? ??
),( yxf?
故函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 处连续,
定义 设函数 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 的某一邻域内有
定义，当 y 固定在
0
y 而 x 在
0
x 处有增量 x? 时,
相应地函数有增量
),(),(
0000
yxfyxxf ???,
如果
x
yxfyxxf
x ?
???
??
),(),(
lim
0000
0
存在，则称
此极限为函数 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 处对 x 的
偏导数,记为
二、偏导数的定义及其计算法
0
0
yy
xxx
z
?
??
?,
0
0
yy
xxx
f
?
??
?,
0
0
yy
xxxz
?
? 或 ),( 00 yxf x,
函数对 x 的偏增量
同理可定义函数 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 处对 y 的偏导
数为
y
yxfyyxf
y ?
???
??
),(),(
lim
0000
0
记为
0
0
yy
xxy
z
?
??
?
，
0
0
yy
xxy
f
?
??
?
，
0
0
yy
xxyz
?
? 或 ),( 00 yxf y,
.),(),(lim 0000
0
0
0 x
yxfyxxf
x
f
xyy xx ?
????
?
?
????
如果函数 ),( yxfz ? 在区域 D 内任一点 ),( yx 处对 x 的
偏导数都存在，那么这个偏导数就是 x, y 的函数,
它就称为函数 ),( yxfz ? 对自变量 x 的偏导数，记作
x
z
?
?
，
x
f
?
?
，
x
z 或 ),( yxf
x
,
同理可定义函数 ),( yxfz ? 对自变量 y 的偏导数，记作
y
z
?
?,
y
f
?
?
,yz 或 ),( yxf y,
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
),,,( zyxfu ?例如,处，在 ),,( zyx
,),,(),,(lim),,( 0 x zyxfzyxxfzyxf xx ? ???? ??
,),,(),,(lim),,( 0 y zyxfzyyxfzyxf yy ? ???? ??
.),,(),,(lim),,( 0 z zyxfzzyxfzyxf zz ? ???? ??
由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的
微分法问题。
时，求 xf?? 只要把 x 之外的其他自变量暂时看成
常量，对 x 求导数即可。
时，求 yf?? 只要把 y 之外的其他自变量暂时看成
常量，对 y 求导数即可。
其它情况类似。
例 1 求 22 3 yxyxz ??? 在点 )2,1( 处的偏导数,
解 ???xz ;32 yx?
???yz,23 yx?
???
?
?
2
1
y
xx
z
,82312 ???? ??
?
?
?
2
1
y
xy
z
.72213 ????
把 y 看成常量
把 x 看成常量
例 2 求 yxz 2s i n2? 的偏导数,
解 ???xz ;2sin2 yx
???yz,2c o s2 2 yx
把 y 看成常量
把 x 看成常量
例 3 设 yxz ? )1,0( ?? xx, 求证 zyzxxzyx 2ln 1 ??????,
证 ???xz,1?yyx ???yz,ln xx y
y
z
xx
z
y
x
?
??
?
?
ln
1 xx
xyxy
x yy ln
ln
11 ?? ?
yy xx ??
.2z?
原结论成立．
例 4 设
22a r c s i n yx
xz
?
?,求 xz??, yz??,
解 ???xz
322
222
)(|| yx
y
y
yx
?
???
.|| 22 yx y??
|)|( 2 yy ?
x
yx
x
yx
x ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
22
22
2
1
1
?
???yz
322
22
)(
)(
|| yx
xy
y
yx
?
????
yyx
x 1s g n
22 ??? )0( ?y
0
0
?
??
?
y
xy
z
不存在．
y
yx
x
yx
x ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
22
22
2
1
1
?
例 5 已知理想气体的状态方程 RTpV ? （ R 为常
数），求证,1??
?
?
?
?
?
?
?
?
p
T
T
V
V
p
,
证 ?? VRTp ;2V
RT
V
p ??
?
?
?? pRTV ;pRTV ???
?? RpVT ;RVpT ???
????????? pTTVVp 2VRT? pR? RV?
.1??pVRT??
偏导数 xu?? 是一个整体记号，不能拆分 ;
有关偏导数的几点说明：
１、
２,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；
例 6 设
?
?
?
?
?
??
??
??
0,0
,0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf 。
求 ).,( ),,( yxfyxf yx
解
时，当 0 22 ?? yx 时，且即 0 0 ?? yx
x
x yx
xyyxf
???
?
???
?
?
? 22),( ? 222
22
)(
2)(
yx
xyxyxy
?
?????
,
)(
)(
222
22
yx
xyy
?
??
).,( )1( yxf x先求
x
fxf
x ?
???
??
)0,0()0,0(lim
0,0
00l i m
0 ??
??
?? xx
于是,?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
.0,0
,0,
)(
)(
),(
22
22
222
22
yx
yx
yx
xyy
yxf x
考虑点 (0,0) 对 x 的偏导数，
时，当 0 22 ?? yx 时，且即 0 0 ?? yx
y
y yx
xyyxf
???
?
???
?
?
? 22),( ?
222
22
)(
2)(
yx
xyyyxx
?
?????
).,( )2( yxf y求
,
)(
)(
222
22
yx
yxx
?
??
y
fyf
y ?
???
??
)0,0()0,0(lim
0,0
00l i m
0 ??
??
?? yy
于是,?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
.0,0
,0,
)(
)(
),(
22
22
222
22
yx
yx
yx
yxx
yxf y
考虑点 (0,0) 对 x 的偏导数，
例 7 设 222),,( zyxzyxr ??? 。求,xr??,zr??
解 ???xr y,z看成常量 2222
2
zyx
x
??
222 zyx
x
??
?,
rx?
???zr 2222 2 zyx z ??
222 zyx
z
??
?,
rz?
x,y看成常量
３、偏导数存在与连续的关系
例如，函数
?
?
?
?
?
??
??
??
.0,0
,0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf,
依定义知在 )0,0( 处,0)0,0()0,0( ?? yx ff,
但函数在该点处并不连续,
偏导数存在 连续,
一元函数中在某点可导
多元函数中在某点偏导数存在
连续。
连续。
4、偏导数的几何意义
,),()),(,,( 00000 上一点为曲面设 yxfzyxfyxM ?
如图
xT
yT0M ),( 0 yxfz ?
),( 0yxfz ?
偏导数 ),( 00 yxf x 就是曲面被平面 0yy ? 所截得的
曲线在点 0M 处的切线 xTM 0 对 x 轴的斜率, 偏导数 ),(
00 yxf y 就是曲面被平面 0xx ? 所截得的
曲线在点 0M 处的切线 yTM 0 对 y 轴的斜率,
几何意义,
三、可微的条件
定理 1 （ 可微分必要条件 ） 如果函数 ),( yxfz ? 在
点 ),( yx 可微分，则该函数在点 ),( yx 的偏
导数
x
z
?
?
、
y
z
?
?
必存在，且函数 ),( yxfz ?
在点 ),( yx 的全微分为
.yyzxxzdz ????????
.
,
dyy
dxx
??
??,dy
y
zdx
x
zdz
?
??
?
??
证 如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yxP 可微分,
PyyxxP ?????? ),( 的某个邻域
)( ?oyBxAz ?????? 总成立,
特别地，当 0?? y 时，上式仍成立,
此时 || x???,
),(),( yxfyxxf ??? | ),(| xoxA ?????
Ax yxfyxxfx ?? ????? ),(),(lim 0,xz???
同理可得,yzB ???
一元函数在某点的导数存在
多元函数的各偏导数存在
例如，
.
00
0
),(
22
22
22
?
?
?
?
?
??
??
??
yx
yx
yx
xy
yxf
在点 )0,0( 处有,0)0,0()0,0( ?? yx ff
微分存
在．
全微分存
在．
])0,0()0,0([ yfxfz yx ???????,)()( 22 yx
yx
???
????
如果考虑点 ),( yxP ??? 沿着直线 xy ? 趋近于 )0,0(,
则 ?
22 )()( yx
yx
???
???
22 )()( xx
xx
???
????,
21?
说明它不能随着 0?? 而趋于 0,时，即，当 0 ??
2
1])0,0()0,0([ ????????
?
yfxfz yx
函数在点 )0,0( 处不可微,
),(])0,0()0,0([ ?oyfxfz yx ????????即
0
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微
分存在。
定理２ （ 可微分的充分条件 ）如果函数 ),( yxfz ?
的偏导数
x
z
?
?
、
y
z
?
?
在点 ),( yx 连续，则该函
数在点 ),( yx 可微分,
证略。
.dyyzdxxzdz ??????
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分
之和这件事称为二元函数的微分符合 叠加原理．
.dyyzdxxzdz ??????
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
.dzzudyyudxxudu ?????????
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分
之和这件事称为二元函数的微分符合 叠加原理．
例 8 计算函数
xyez ?
在点 )1,2( 处的全微分,
解
,xyxe?
dyyzdxxzdz ?????? 因此,.dyxedxye xyxy ??
.2 22 dyedxedz ??(2,1) 处的全微分
它们均连续。因此，函数可微分。
,xyye?? ?xxyexz ??? ? ? ?
yxyey
z ?
?
? ?
例 8 求函数 )2c o s ( yxyz ??,当
4
??x
,??y,
4
??? x
,??? y 时的全微分,
解
),2s i n (2)2c o s ( yxyyx ????
dyyzdxxzdz
),4(),4(),4( ?????
? ??????
).74(82 ?? ??
? ? xyxyxz )2c o s ( ???? ? ),2s i n ( yxy ???
? ? yyxyyz )2c o s ( ???? ?
例 9 计算函数 yzeyxu ??? 2si n 的全微分,
解
,2c o s21 yzzey ??
,yzye?
所求全微分
.)2c o s21( dzyedyzeydxdu yzyz ????
,1? xyzeyxxu ?????? ????? 2s i n ?
y
yzeyx
y
u ?
?
??
?
? ???
?
?
2s i n ?
z
yzeyx
z
u ?
?
??
?
? ???
?
?
2s i n ?
例 1 0 试证函数
?
?
?
?
?
??
??
??
.0,0
,0,
)(),(
22
22
2322
22
yx
yx
yx
yx
yxf
( 1) ),( yxf 在点 )0,0( 连续且偏导数存在；
( 2) ),( yxf 在点 )0,0( 不可微,
证 （ 1）
令,c o s???x,s in ???y
?? ),(l i m )0,0(),( yxfyx
.0)0,0( ?f
2322
22
)0,0(),( )(
lim
yx
yx
yx ??
???? 220 c o ss i nlim?? 0?
),0,0(f?
故函数 ),( yxf 在点 )0,0( 连续。
?)0,0(xf x fxfx ? ???? )0,0()0,(lim 0,000l i m 0 ???? ?? xx
?)0,0(yf y fyfy ? ???? )0,0(),0(lim 0,000l i m 0 ???? ?? yy
即, 函数 ),( yxf 在点 )0,0( 偏导数 存在 。
?? ),(l i m )0,0(),( yxfyx 2322
22
)0,0(),( )(
lim
yx
yx
yx ??
???? 220 c o ss i nlim?? 0?
?
])0,0()0,0([ yfxff yx ?????
22
2322
22
)()(
])()[(
)()(
yx
yx
yx
???
???
???
?
222
22
])()[(
)()(
yx
yx
???
????
如果考虑点 ),( yxP ??? 沿着直线 xy ? 趋近于 )0,0(,
?
])0,0()0,0([ yfxff yx ?????则
222
22
])()[(
)()(
xx
xx
???
????
41?
(2) ),( yxf 在点 )0,0( 不可微,
所以，函数 ),( yxf 在点 )0,0( 处不可微,
),(])0,0()0,0([ ?oyfxff yx ????????即
如果考虑点 ),( yxP ??? 沿着直线 xy ? 趋近于 )0,0(,
?
])0,0()0,0([ yfxff yx ?????则
222
22
])()[(
)()(
xx
xx
???
????
41?
多元函数连续、可导、可微的关系
函数可微分
函数连续
偏导数连续
偏导数存在
四、小结
１、多元函数全微分的概念；
２、多元函数全微分的求法；
５、多元函数连续、偏导数存在、可微分的关系．
（注意：与一元函数有很大区别）
（偏增量比的极限）３、偏导数的定义；
４、偏导数的定义，偏导数的几何意义；
作业：Ｐ１１６：１，（１～９），２～９．
若函数 ),( yxf 在点 ),( 000 yxP 连续，能否断定 ),( yxf
在点 ),( 000 yxP 的偏导数必定存在？
思考题
思考题解答
不能,
,),( 22 yxyxf ??在 )0,0( 处连续,
但 )0,0()0,0( yx ff ? 不存在,
例如,
第十七章 多元函数微分学
§ 2 复合函数微分法
证略。
一、复合函数的求导法则
定理 如果函数 )( xu ?? 及 )( xv ?? 都在点 x 可导,
函数 ),( vufz ? 在对应点 ),( vu 具有连续偏导
数，则复合函数 )](),([ xxfz ??? 在对应点
x 可导，且其导数可用下列公式计算,
1,z uv x 型
.dxdvvzdxduuzdxdz ??????
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况,
如
.dxdwwzdxdvvzdxduuzdxdz ?????????
以上公式中的导数 称为 全导数,dtdz
uv
w 型 x
z
.dxdvvzdxduuzdxdz ??????
定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元
函数的情况：
如果 ),( yxu ?? 及 ),( yxv ?? 都在点 ),( yx 具有对 x
和 y 的偏导数，且 ),( vufz ? 在对应点 ),( vu 具有连续
偏导数，则复合函数 )],(),,([ yxyxfz ??? 在对应点
),( yx 的两个偏导数存在,且可用下列公式计算,
2,z uv xy 型
,xvvzxuuzxz ????????????,yvvzyuuzyz ????????????
链式法则如图示
???xz u
v
xz
y
???uz xu?? ???? vz,xv??
???yz ???uz yu?? ???? vz,yv?? u
v
xz
y
类似地, 设 ),( yxu ??, ),( yxv ??, ),( yxww ?
都在点 ),( yx 具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数
)],(),,(),,([ yxwyxyxfz ??? 在对应点 ),( yx 的
两个偏导数存在，且可用下列公式计算,
y
w
w
z
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
xwwzxvvzxuuzxz ?????????????????
z
w
v
u
y
x
特殊地 ),,( yxufz ? ),( yxu ??
即 ],,),,([ yxyxfz ??
,xfxuufxz ???????????,yfyuufyz ???????????
令,xv ?,yw ?
其中
,1???xv,0???xw,0???yv,1??? yw
把 ],),,([ yxyxfz ??
中的 y 看作不变而对
x 的偏导数
把 ),,( yxufz ? 中
的 u 及 y 看作不变
而对 x 的偏导数
区
别
类
似
例 1 设 tuvz s i n??,而 teu ?, tv c o s?,
求全导数
dt
dz,
解 ?dtdz
ttuev t c o ss i n ?????
ttete tt c o ss i nc o s ???
.c o s)s i n( c o s ttte t ???
???uz ?dtdu ???vz ?dtdv tz??
z
u
v
t
t 型
例 2 设 vez u s i n?,而 xyu ?, yxv ??,
求
x
z
?
?
和
y
z
?
?
,
解 ???xz ???uz xu?? ???? vz xv??
1c o ss i n ???? veyve uu
???yz ???uz yu?? ???? vz yv??
1c o ss i n ???? vexve uu
z uv xy 型
)].c o s ()s i n ([ yxyxye xy ????
)].c o s ()s i n ([ yxyxxe xy ????
例 3 设
222
),,( uyxeyxuf ???,而,s i n2 yxu ?
求
y
z
x
z
?
?
?
?,,
解 xfxuufxz ???????????
.yfyuufyz ???????????
222222 2s i n22 uyxuyx xeyxue ???? ???
.)s i n21(2 2222 uyxeyxx ????
222222 2)( c o s2 2 uyxuyx yeyxue ???? ???
.)2s i n2( 2224 uyxeyxy ????
例 4 设 )( xyxfz ??, 且 f 具有 一阶 导数 。
求
y
z
x
z
?
?
?
?,,
解
xudu
df
xz ??????
令,xyxu ?? 则 ).( ufz ?
???? )( xyxf ).1 y?
y
u
du
df
y
z
?
???
?
? ).( xyxf ???x
z u xy 型
例 5 设 ),( x y zzyxfw ???, f 具有二阶连续偏
导数，求
x
w
?
?
和
zx
w
??
? 2
,
解 令,zyxu ??? ;xyzv ?
记,1 uff ????
,12
2
11 u
f
u
ff
?
???
?
????
,2 vff ????
v
f
vu
ff
?
???
??
???? 12
12
,12
2
22 v
f
v
ff
?
???
?
????
w uv
x
y
z
型 ).,( vufw ?则
.2
2
21 u
f
uv
ff
?
???
??
???? 二阶偏
导连续
???? zx w2 )( 21 fyzfz ????? ;221 zfyzfyzf ? ?????? ???
?? ??zf1 zvvfzuuf ???? ??????? ?? 11 ;1211 fxyf ??????
?? ??zf2 zvvfzuuf ???? ??????? ?? 22 ;2221 fxyf ??????
因此,???? zx w
2
1211 fxyf ????? 2fy ?? )( 2221 fxyfyz ??????
.)( 22221211 fyfzxyfzxyf ????????????
???xw xvvfxuuf ??????????? ; 2 1 fzyf ????于是，
设函数 ),( vufz ? 具有连续偏导数，则 u, v 不论 是
自变量 还是 中间 变量, 总 有全微分
dv
v
z
du
u
z
dz
?
?
?
?
?
? 。
二、复合函数的全微分
（ 1）如果 u,v 是自变量，结论显然。
（ 2）如果 u,v 是中间变量,).,( ),,( yxvyxu ?? ??
有全微分：
dyyzdxxzdz ??????
事实上，
dyyvvzyuuzdxxvvzxuuz ?????? ???????????????? ??????????
dyyzdxxzdz ??????
?????? ?????????????? ???????? dyyvdxxvvzdyyudxxuuz
.dvvzduuz ??????
全微分形式不变形的 实质,
无论 z是自变量 u,v的函数或中间变量 u,v
的函数，它的全微分形式是一样的,
例 6 设 vez u s i n?,而 xyu ?, yxv ??,
求 全微分 dz,
解 dvvzduuzdz ??????
)()c o s()()s i n( yxdvexydve uu ???
? ? ? ?dydxvexdyy d xve uu ???? )c o s()s i n(
dyvvxedxvvye uu )c o ss i n()c o ss i n( ????
????? dxyxyxye xy )]c o s ()s i n ([
.)]c o s ()s i n ([ dyyxyxxe xy ????xz??
y
z
?
?
例 7 已知 02 ???
? zxz eze,求
x
z
?
?
和 y
z
?
?,
解,0 2 ???? zxy eze
,02)( ????? dzedzxyde zxy
),()2( y d xx d yedze xyz ??? ?
,
)2()2(
dy
e
xedx
e
yedz
z
xy
z
xy
?
?
?
?
??
xz??,2??
?
z
xy
e
ye
y
z
?
?,
2??
?
z
xy
e
xe
d ( ) d( )
1、链式法则（分二种情况）
2、全微分形式不变性
（特别要注意课中所讲的特殊情况）
（理解其实质）
三、小结
作业：Ｐ１２３,１（１）～（６）；
２，３，４，５．
第十七章 多元函数微分学
§ 3 方向导数与梯度
方向导数与梯度
偏导数是
方向导数
吗？
偏导数是
方向导数
吗？
偏导数是
方向导数
吗？
偏导数是
方向导数
吗？
例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐
标是 (1,1),(5,1),(1,3),(5,3)．在坐标原点
处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上
任意一点处的温度与该点到原点的距离成反
比．在 (3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿
什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
问题的答案：应沿由热变冷变化最骤烈的方
向（即梯度方向）爬行．
一 问题的提出
?
),( yxp
),( yyxxp ?????
x?
y?
?
?l
0 x
y
方向导数图示
讨论函数 在一点 P沿某一方向
的变化率问题．
),( yxfz ?
A
B
C?
??tan
|AC|
|BC|
)( xf
)( xxf ??
x xx ??
?? )( xf
0?? x
x
xfxxf
x ?
???
??
)()(l i m
0
??f
x
xfxxf
x ?
???
???
)()(l i m
0
??? )( xf
||)(||
)()(li
0|||| xxx
xfxxf
x ???
???
??
3R 中
x
O y
z,
P0
P
||PP||
)(P( P )
lim
0
0
PP 0
ff ?
?
l
0l?
沿)( xf 0l? 方向的方向导数
)( Xfz ?,
二、方向导数的定义
设函数 )( Xfu ? 在
)U( 0X
内有定义。
若点
)U( 0XX ?
沿射线 l 趋于
0X
时,极限
||||
)()(
lim
0
0
0 XX
XfXf
XX ?
?
?
存在，则称该极限值为函数 )( Xf 在点
0X
处沿 l 方向的方向导数。记为
?
?
?
? 0XXl
z
||||
)()(
lim
0
0
0 XX
XfXf
XX ?
?
?
或
)( 0Xf l?
利用直线方程可将方向导数的定义
t
XfetXf
l
u
t
)()(lim 00
0
???
?
?
??
表示为,
射线 l 的方程为
p
zz
n
yy
m
xx 000 ????? t?
则 ?co s
0 txx ?? ?co s0 tyy ?? ?co s0 tzz ??
故 etXX ??
0
)c o s,c o s,( c o s ????e
??? c o sc o sc o s
比较方向导数与偏导数的概念
在方向导数中，分母 0||||
0 ?? XX；
在偏导数中，分母 x?,
y?
可正、可负。
即使 l 的方向与 x 轴,y 轴的正方向一致时，
方向导数与偏导数的概念也是不同的。
方向导数与偏导数是两个不同的概念 想一想，为什么？
怎么计算方向导数？
0X
X
l0l?
?
?
?
),,( 0000 zyxX
),,( zyxX
||||
c o s
0
0
XX
xx
?
???
||||
c o s
0
0
XX
yy
?
???
||||
c o s
0
0
XX
zz
?
???
| | )o ( | |)()( 00 XXz
z
uy
y
ux
x
uXfXf ???
?
???
?
???
?
???
看看三维空间的情形
定理 (方向导数导计算公式 )
若函数 ),,( zyxfu ? 在点 ),,(
000 zyx
处可微,则函数 )( Xf 在点 ),,(
000 zyx
处
沿任一方向
)c o s,c o s,( c o s0 ????l? 的方
向导数存在，且
?
?
?
l
u
其中,各导数均为在点 ),,(
000 zyx
处的值。
?
?
? ?c o s
x
u
?
?
? ?c o s
y
u ?c o s
z
u
?
?
运用向量的数量积，可将方向
导数计算公式表示为：
?
?
?
l
u ?
?
? ?c o s
x
u
?
?
? ?c o s
y
u ?co s
z
u
?
?
???
?
???
?
?
?
?
?
?
?
z
u
y
u
x
u,,
eu ?? g r a d
其中,?ug r a d
)c o s,c o s,( c o s ????e
称为梯度
在 2R 中
?
?
?
l
u ?
?
? ?c o s
x
u ?c o s
y
u
?
?
在 nR 中
?
?
?
l
u ?
?
?
1
1
c o s?
x
u
n
nx
u
?c o s
?
?
??
可统一表示为
eu
l
u ??
?
? g r a d
?ugra d
),,,(
21 nx
u
x
u
x
u
?
?
?
?
?
? ?
)c o s,,c o s,( co s 21 ne ??? ?? )2( ?n
设
x y zu ?
,求函数在点 )2,2,1P( ?
沿方向
kjil ???? 22 ???
的方向导数。
解;4PP ???
?
? yx
x
u ;2
PP ????
? xz
y
u
.2PP ??
?
? xy
z
u
,31c o s ??,3
2c o s ??,
3
2c o s ??
3
4
3
22
3
2)2(
3
1)4(
P ???????????
?
l
u
?
?
?
l
u ?
?
? ?c o s
x
u
?
?
? ?c o s
y
u ?c o s
z
u
?
?
例
由点 ),P( yx 到坐标原点的距离定
义的函数
22 yxz ??
在坐标原点处
的两个偏导数均不存在，但它在该点
沿任何方向的方向导数均存在，且方
向导数值都等于 1：
1
0
lim
22
22
0
0
)0,0( ?
?
??
?
?
?
?
? yx
yx
l
z
y
x
想一想，该例给你什么启示
函数可微是方向导数存在
的充分条件，而不是必要
条件。
方向导数存在时，偏导数
不一定存在。
例
三,
梯
度
一个问题：
),,()( zyxfXfu ??
在给定点
0X
沿什么方向增加得最快？
该问题仅在
z
u
y
u
x
u
?
?
?
?
?
?,,不同时为零才有意义。
可微函数
eu
l
u ??
?
? g r a d
由前面的推导，有
),g r a dc o s (||||||g r a d|| eueu?
现在正式给出 的定义
ue g r a dp r j?
grad u
),g r a dc o s (||g r a d|| euu?
由此可得出什么结论？
方向导数等于梯度
在此方向上的投影
定义
设
,3R??,)()( 1 ??? CXfu
,0 ??? X
则称向量
?
?
? i
x
Xf ?)( 0
为函数
)( Xf
在点
0X
处的梯度，记为
)(g r ad 0Xf 或 。)(
0Xf?
?
?
? j
y
Xf ?)( 0 k
z
Xf ?
?
? )( 0
梯度的方向与取得最大方向导
数导方向一致，而它的模就是函数
在该点的方向导数的最大值。
以上结论可以推广到二元和三元以
上的函数中。
梯度的方向与取得最大方向导
数导方向一致，而它的模就是函数
在该点的方向导数的最大值。
以上结论可以推广到二元和三元以
上的函数中。
),( yxfz ?在几何上 表示一个曲面
曲面被平面 所截得cz?,
),(
??
?
?
?
cz
yxfz
所得曲线在 xoy面上投影如图
等高线
),( yxfg r a d
梯度为等高线上的法向量P
2),( cyxf ?
1),( cyxf ?o
y
x
cyxf ?),(12 cc ?
三元函数 ),,( zyxfu ? 在空间区域 G 内具有一阶
连续偏导数，则对于每一点 GzyxP ?),,(,都可
定义一个向量 ( 梯度 )
,),,( kzfjyfixfzyxfg r a d ?????????
类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与
取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的
最大值,
梯度的概念可以推广到三元函数
类似地,设曲面 czyxf ?),,( 为函数 ),,( zyxfu ?
的等量面，此函数在点 ),,( zyxP 的梯度的方向与
过点 P 的等量面 czyxf ?),,( 在这点的法线的一
个方向相同，且从数值较低的 等量面指向数值较
高的等量面，而梯度的模等于 函数在这个法线方
向的方向导数,
设,52 ??? zxy zu 求,g r a d u 并求在
点 )1,1,0( ?M 处方向导数的最大 (小 )值。
解 ∵
∴
,yz
x
u ?
?
?,xz
y
u ?
?
?,2 zxy
z
u ??
?
?
)1,1,0()1,1,0( )2,,(g r a d ?? ?? zxyxzyzu
)2,0,1( ???
从而
5||g r a d||m a x ??
??
?
??
?
?
? u
l
u
M
5||g r a d||m in ????
??
?
??
?
?
? u
l
u
M
例 1
例 2 求函数 yxzyxu 2332 222 ????? 在点 )2,1,1(
处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零向量？
解 由梯度计算公式得
),,( kzujyuixuzyxug r a d ?????????
,6 )24( )32( kzjyix ?????
故, 12 2 5)2,1,1( kjiug r a d ???
在 )0,21,23(0 ?P 处梯度为 零 向量,
1、方向导数的概念
2、梯度的概念
3、方向导数与梯度的关系
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
（注意梯度是一个向量）
三、小结
最大值。梯度的模为方向导数的快的方向
在这点增长最梯度的方向就是函数
,
),( yxf
作业：Ｐ１２７,１～７．
1 方向导数的概念
2 梯度的概念
3 方向导数与梯度的关系
（注意梯度是一个向量）
四 小结
最大值。梯度的模为方向导数的快的方向
在这点增长最梯度的方向就是函数
,
),( yxf
1 方向导数是一个数值，在任何方向上都存在；
2 梯度是一个向量，只有方向导数存在时，
梯度才存在。
3 方向导数与一般所说偏导数的无区别）
五 思考判断题
作业：Ｐ１２７,１～７．
第十七章 多元函数微分学
§ 4 泰勒公式与极值问题
一、多元函数的极值和最值
设函数 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 的某邻域内有定义,
对于该邻域内异于 ),(
00
yx 的点 ),( yx,
若满足不等式 ),(),(
00
yxfyxf ?,
则称函数在 ),(
00
yx 有 极大值 ；
若满足不等式 ),(),(
00
yxfyxf ?,
则称函数在 ),(
00
yx 有 极小值 ；
1、二元函数极值的定义
极大值、极小值统称为 极值,
使函数取得极值的点称为 极值点,
例 1 处有极小值．在
函数
)0,0(
43 22 yxz ??
例２ 处有极大值．在
函数
)0,0(
22 yxz ???
例３
处无极值．在
函数
)0,0(
xyz ?
(3)
(2)
(1)
定理 1 （ 必要条件 ）
设函数 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 具有偏导数，且在
点 ),(
00
yx 处有极值，则它在该点的偏导数必然
为零,0),(
00
?yxf
x
,0),(
00
?yxf
y
,2、多元函数取得极值的条件
不妨设 ),( yxfz ? 在点 ),( 00 yx 处有极大值,
则对于 ),( 00 yx 的某邻域内任意 ?),( yx ),( 00 yx
都有 ?),( yxf ),( 00 yxf,
证
故当 0yy ?, 0xx ? 时,有 ?),( 0yxf ),( 00 yxf,
说明一元函数 ),( 0yxf 在 0xx ? 处有极大值,
必有 0),( 00 ?yxf x ;
类似地可证 0),( 00 ?yxf y,
推广,如果三元函数 ),,( zyxfu ? 在点 ),,(
000
zyxP
具有偏导数，则它在 ),,(
000
zyxP 有极值的 必
要条件 为 0),,(
000
?zyxf
x
,
0),,(
000
?zyxf
y
,
0),,(
000
?zyxf
z
,
例如，点 )0,0( 是函数 xyz ? 的驻点,
但 点 ( 0,0 ) 不是极值点,
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，
均称为函数的驻点,
驻点偏导数存在的极值点
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
注意：;0)0,0(,?? xx zyz
.0)0,0(,?? yy zxz
定理 2 （ 充分条件 ）
设函数 ),( yxfz ? 在点 ),( 00 yx 的某邻域内连
续，有一阶及二阶连续偏导数，又
0),( 00 ?yxf x,0),( 00 ?yxf y,
令 Ayxf xx ?),( 00, Byxf xy ?),( 00,
Cyxf yy ?),( 00,则
( 1 ) 0
2
?? BAC 时具有极值，且
当 0?A 时有极大值,当 0?A 时有极小值；
( 2 ) 0
2
?? BAC 时没有极值；
( 3 ) 0
2
?? BAC 时可能有极值,也可能没有极值,
还需另作讨论,
求函数 ),( yxfz ? 极值的一般 步骤,
第一步 解方程组,0),( ?yxf x 0),( ?yxf y
求出所有驻点,
第二步 对于每一个驻点 ),( 00 yx,
求出二阶偏导数的值 A, B, C,
第三步 定出 2BAC ? 的符号，再判定是否是极值,
例 4 求函数 xyyxyxf 3),( 33 ???的极值。
解,33),( 2 yxyxf x ??,33),( 2 xyyxf y ??
求解方程组,??
???
??
??
.033
,033
2
2
xy
yx
得驻点
??
???
?
??
.
,
2
2
xy
yx
).1,1( ),0,0(
,6),( xyxf xx ?,3),( ??yxf xy,6),( yyxf yy ?
,)0,0( 处在,0)0,0( ?? xxfA,3)0,0( ??? xyfB
.0)0,0( ?? yyfC 92 ?? BAC,0?
因此，驻点, )0,0( 不是极值点
,6),( xyxf xx ?,3),( ??yxf xy,6),( yyxf yy ?
,)0,0( 处在,0)0,0( ?? xxfA,3)0,0( ??? xyfB
.0)0,0( ?? yyfC 92 ?? BAC,0?
因此，驻点, )0,0( 不是极值点
,)1,1( 处在,06)1,1( ??? xxfA
,3)1,1( ??? xyfB,6)1,1( ?? yyfC
22 )3(66 ????? BAC,027 ??
因此，驻点, )1,1( 是极小值点
.111311)1,1( 33 ???????f极小值
与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，
偏导数不存在的点也可能是极值点。
例如，显然函数 22 yxz ??
,)0,0( 处取得极小值在
处偏导数但函数在 )0,0(
不存在。
求最值的一般方法：
将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D
的边界上的最大值和最小值相互比较，其中
最大者即为最大值，最小者即为最小值,
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值
来求函数的最大值和最小值,
3、多元函数的最值
例 5 求
122 ??
??
yx
yxz 的最大值和最小值,
,0
)1(
)(2)1(
222
22
?
??
?????
yx
yxxyxz
x
,0
)1(
)(2)1(
222
22
?
??
?????
yx
yxyyxz
y
得驻点 )21,21( 和 )21,21( ??,
解 令
即边界上的值为零,
因为 0
1
lim 22 ?
??
?
??
?? yx
yx
y
x
即边界上的值为零,
,21)21,21( ?z,21)21,21( ????z
所以最大值为 21,最小值为 21?,
因为 0
1
lim 22 ?
??
?
??
?? yx
yx
y
x
无条件极值, 对自变量除了限制在定义域内外，
并无其他条件,
实例：小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急
需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购
买 x 张磁盘,y 盒录音磁带达到最佳效果，
效果函数为 U(x,y) = lnx+lny, 设每张磁
盘 8 元，每盒磁带 10 元，问他如何分配这
200 元以达到最佳效果．
问题的实质：求 在条件
下的极值点．
yxyxU lnln),( ??
2 0 0108 ?? yx
2 条件极值拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法
要找函数 ),( yxfz ? 在条件 0),( ?yx? 下的可能
极值点,
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
先构造函数 ),(),(),( yxyxfyxF ????,其中 ?
为某一常数，可由
?
?
?
?
?
?
??
??
,0),(
,0),(),(
,0),(),(
yx
yxyxf
yxyxf
yy
xx
?
??
??
解出 ?,,yx,其中 yx,就是可能的极值点的坐标,
拉格朗日乘数法可 推广 到自变量多于两个的情况,
要找函数 ),,,( tzyxfu ? 在条件 0),,,( ?tzyx?,
0),,,( ?tzyx? 下的极值。 先构造函数 （ 其中
21,?? 均为常数 ）
?? ),,,(),,,( tzyxftzyxF ),,,(),,,( 21 tzyxtzyx ???? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.0),,,(
,0),,,(
,0),,,(
,0),,,(
,0),,,(
,0),,,(
tzyx
tzyx
tzyxF
tzyxF
tzyxF
tzyxF
t
z
y
x
?
?
求解方程组 解出 x,y,z,t 即得
可能极值点的坐标,
解
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
)22(
)22(
)22(
xyxyF
zxxzF
zyyzF
z
y
x
?
?
?
则
例 6 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积,
设长方体的长、宽、高为 x,y,z,体积为 V,
则问题就是条件
求函数 的最大值, )0,0,0( ???? zyxx y zV
令 ),222(),,( 2axzyzxyx y zzyxF ????? ?
,0?
,0?
,0?
.0222 2 ???? axzyzxy
0222 2 ???? axzyzxy 下，
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
)22(
)22(
)22(
xyxyF
zxxzF
zyyzF
z
y
x
?
?
?
则
令 ),222(),,( 2axzyzxyx y zzyxF ????? ?
,0?
,0?
,0?
.0222 2 ???? axzyzxy
即 ?
?
?
?
?
?
?
????
???
???
???
)4( 0222
)3( )(2
)2( )(2
)1( )(2
2
axzyzxy
yxxy
zxxz
zyyz
?
?
?
,0,0,0 ??? zyx因 由 (2),(1)及 (3),(2)得
,zy zxyx ???,zx yxzy ???
,0,0,0 ??? zyx因 由 (2),(1)及 (3),(2)得
,zy zxyx ???,zx yxzy ???
于是,.zyx ?? 代入条件，得
.0222 2 ??????? axxxxxx
,6 22 ax ?
解得,66 ax ?,66 ay ?,66 az ?
.36 66 66 66 6 3m a x aaaaV ????
这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知，
所以,最大值就在此点处取得。
故，最大值
最大值一定存在，
例 7 将正数 12 分成三个正数 zyx,,之和 使得
zyxu 23? 为最大,
解 令 )12(),,( 23 ????? zyxzyxzyxF ?,
?
?
?
?
?
?
?
???
????
????
????
12
0
02
03
23
3
22
zyx
yxF
yzxF
zyxF
z
y
x
?
?
?
则 ?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
??
?
)4(,12
)3(,
)2(,2
)1(,3
23
3
22
zyx
yx
yzx
zyx
?
?
?
由 (1),(2) 得 ( 5 ),32 xy ?
由 (1),(3) 得 ( 6 ),31 xz ?
即，得唯一驻点 )2,4,6(,
.6912246 23m ax ????u
将 (5),(6) 代入 (4)：
123132 ??? xxx
于是，得,6?x,4?y,2?z
这是唯一可能的极值点。
因为由问题本身可知，最大值一定存在,所以，
最大值就在这个可能的极值点处取得。
故，最大值
解
?
?
?
?
?
???
????
????
01
024
022
22
yx
yyF
xxF
y
x
?
?
则
小值。约束条件下的最大与最
在方程求函数例
1
2),( 8
22
22
??
??
yx
yxyxf
)1(2),( 2222 ????? yxyxyxF ?
构造拉格朗日函数，
），（），（），（），（
解得可能条件极值点为
01,01,10,10 ??
,1)0,1()0,1(
,2)1,0()1,0(
???
???
ff
ff
计算出
。，最小值为所以所求得的最大值为
上必有最值，
在有界闭集由于连续函数
12
}1/),{(
2
22
22
??
?
yxyx
yx
例 9 在第一卦限内作椭球面
1
2
2
2
2
2
2
???
c
z
b
y
a
x
的切平面，使切平面与三个坐
标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标,
解 设 ),,( 000 zyxP 为椭球面上一点,
令 1),,( 2
2
2
2
2
2
???? czbyaxzyxF,
则 2 02|
a
xF
Px ??, 2
02|
b
yF
Py ??, 2
02|
c
zF
Pz ??
过 ),,( 000 zyxP 的切平面方程为
?? )( 020 xxax ?? )( 020 yyby 0)( 020 ?? zzcz,
化简为 12 02 02 0 ?????? c zzb yya xx,
该切平面在三个轴上的截距各为
0
2
x
ax ?,
0
2
y
by ?,
0
2
z
cz ?,
所围四面体的体积
000
222
66
1
zyx
cbax y zV ??
,
在条件 12
2
0
2
2
0
2
2
0 ???
c
z
b
y
a
x 下求 V 的最小值,
令,lnlnln 000 zyxu ???
),,( 000 zyxG
???? 000 lnlnln zyx )1(
2
2
0
2
2
0
2
2
0 ???
c
z
b
y
a
x
?,
由,
01
0,0,0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
000
?
?
?
?
?
????
??????
c
y
b
y
a
x
GGG
zyx
当切点坐标为
(
3
a
，
3
b
，
3
c
) 时,
四面体的体积最小 abcV 2 3m i n ?,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
??
01
0
21
0
21
0
21
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
c
z
b
y
a
x
c
z
z
b
y
y
a
x
x
?
?
?
可得
即
3
0
a
x ?
3
0
b
y ?,
3
0
c
z ?
多元函数的极值
拉格朗日乘数法
（取得极值的必要条件、充分条件）
多元函数的最值
三 小结
?
?
?
?
?
?
条件极值
无条件极值
作业：Ｐ１４０：８，９，１０，１１．
四 思考判断题
.
c o s)1(),(
值多个极大值，但无极小
有无穷函数 yy yexeyxf ???
