第十八章 隐函数定理及其应用
第五节 隐函数的求导公式
§ 8-5 隐函数的
微分法
与一元函数的情形类似，多元函
也有隐函数。
如果在方程式 0),,( ?zyxF 中，
2),( Ryx ????
时,相应地总有满足
该方程的唯一的 z 值存在,则称该方
程在 ? 内确定隐函数 。),( yxfz ?
每一个方程都能
确定一个隐函数吗？
0122 ??? yx
此外，隐函数不一定都能显化。
如果在方程式 0),( ?uXF 中，
nRX ????
时,相应地总有满足该
在 ? 内确定隐函数 。)( Xfu ?
方程的唯一的 u 值存在,则称该方程
),,( 1 nxxX ??
将概念推广到一般情形
一元函数的
隐函数的求导法
一,
设 0),( ?yxF 确定隐函数 。)( xfy ?
若,),(
1CyxF ? 则对方程
两边关于 x 求导，得
0),( ?yxF
0
d
d
?
?
?
?
?
?
x
y
y
F
x
F
从而得到一元隐函数求导公式
)0(
d
d
?
?
?
?
?
?
?
??
y
F
y
F
x
F
x
y
这是利用多元函数的偏导数求
一元函数的隐函数导数的公式
设,022 ??? yxxy 求
。
x
y
d
d
解 令,22),( yxxyyxF ??? 则
?
?
?
x
F 2ln2 xy ? ?
?
?
y
F 2ln2 yx ?
故
?
x
y
d
d ?
?
?
?
?
?
y
F
x
F
2ln2
2ln2
y
x
x
y
?
?
?
)02ln2( ?? yx
例
二,由一个方程确定
的隐函数的求导法
定理 2 (隐函数存在定理 )
设 1,
2,
3,;)),,( U (),,( 0001 zyxCzyxF ?;0),,( 000 ?zyxF
,0),,( 000 ?? zyxF z
则方程
0),,( ?zyxF
在
)),U ( ( 00 yx
内唯一
确定一个函数
)),( U (),( 001 yxCyxfz ??
且
,),( 000 yxfz ? 。0)),(,,( ?yxfyxF
由隐函数存在定理的条件及一元隐
函数求导方法,利用多元函数求导方法，
对方程 F(x,y,u) = 0 两边关于 x,y求偏
导，得
0?
?
?
?
??
?
?
x
z
z
F
x
F
由于
,)),,( U (),,( 0001 zyxCzyxF ?
又
0?
?
?
?
??
?
?
y
z
z
F
y
F
,0),,( 000 ?? zyxF z
由连续函数性质
,)),U ( ( 00 yx?
在其中,0),,( ?? zyxF
z
z
F
x
F
x
z
?
?
?
?
??
?
?
z
F
y
F
y
z
?
?
?
?
??
?
?
自己算一下,z 对 x,y 的
偏导数是多少。
求方程 ?? xye
?z2
0?ze 所确定的
函数 ),( yxzz ? 的偏导数。
解 令 ?),,( zyxF ?? xye,ze 则
?
?
?
x
F,xyye ??
?z2
?
?
?
y
F,xyxe ?? ?
?
?
z
F,2 ze??
故
z
F
x
F
x
z
?
?
?
?
??
?
?
z
xy
e
ye
??
??? ?
2 2?
?
?
z
xy
e
ye
)02( ??ze
z
F
y
F
y
z
?
?
?
?
??
?
?
z
xy
e
xe
??
??? ?
2 2?
?
?
z
xy
e
xe
)02( ??ze
例
设 0),( ??? xyzzyxF 确定 ),,( yxzz ?
求
,
x
z
?
?,
y
z
?
? 其中,。1CF ?
解
?
?
?
x
F,21 FyzF ???
?
?
?
y
F,21 FxzF ???
?
?
?
z
F,21 FxyF ???
?
?
?
x
z
21 FyzF ????
21 FxyF ???
?
?
?
y
z
21 FxzF ????
21 FxyF ???
例
定理 (隐函数存在定理 )
设 1,
2,
3,；)),( U (),( 001 uXCuXF ?；0)( 0 ?XF
,0),( 00 ?? uXF u
则方程
0),( ?uXF
在
))U( ( 0X
内唯
一确定一个函数
))U(()( 01 XCXfu ??
且
,)( 00 Xfu ? 。0))(,( ?XfXF
请同学们自己将上面的隐函数存在
定理推广至一般的 n 元函数情形 ),,2,1( ni
u
F
x
F
x
u
i
i
??
?
?
?
?
??
?
?
三,由方程组确定的
隐函数的求导法
雅可比行列式,)(),,,( 1
21 ??? CxxxFu nii ?
),,2,1( ni ??
),,,(
),,,(
21
21
n
n
xxx
uuuJ
?
?
?
??
?
),,,(
),,,(
21
21
n
n
xxx
FFF
?
?
?
??
1
1
x
F
?
?
2
1
x
F
?
?
nx
F
?
? 1
1
2
x
F
?
?
2
2
x
F
?
?
nx
F
?
? 2
1x
Fn
?
?
n
n
x
F
?
?
2x
Fn
?
?
?
?
?
?
?? ?
当所出现的函数均有一阶连续偏导数
时，雅可比行列式有以下两个常用的性质：
1.
.1
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(
21
21
21
21 ?
?
??
?
?
n
n
n
n
uuu
xxx
xxx
uuu
?
?
?
?
2.
.
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(
21
21
21
21
21
21
n
n
n
n
n
n
ttt
xxx
xxx
uuu
ttt
uuu
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
设方程组
?
?
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF 确定函数
,)( xzz ? 求,
d
d
x
y
。
x
z
d
d,,1CGF ?
想一想，怎么做？
,)( xyy ?
问题 1方程组中每个方程两边关于 x 求导：
?
?
?
?
?
?
?
?
x
F
?
?
?
x
y
y
F
d
d 0
d
d
?
?
?
x
z
z
F
?
?
?
x
G
?
?
?
x
y
y
G
d
d 0
d
d
?
?
?
x
z
z
G
运用克莱满法则解此二元一次方程组 移项，得
?
?
?
?
?
?
?
?
x
y
y
F
d
d
?
?
?
x
z
z
F
d
d
x
F
?
?
?
?
?
?
x
y
y
G
d
d ?
?
?
x
z
z
G
d
d
x
G
?
?
?
当
0
),(
),( ?
?
?
zy
GF 时,方程组有唯一解：
?
x
y
d
d
?
),(
),(
zx
GF
?
?
),(
),(
zy
GF
?
?
?
x
z
d
d
?
),(
),(
xy
GF
?
?
),(
),(
zy
GF
?
?
这样我们实际上已找到了求方程组确
定的隐函数的偏导数的公式 (之一 )。
z
G
x
G
z
F
x
F
zx
GF
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),(
),(
x
G
y
G
x
F
y
F
xy
GF
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),(
),(
z
G
y
G
z
F
y
F
zy
GF
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),(
),(
问题 2
设方程组
?
?
?
?
?
0),,,(
0),,,(
vuyxG
vuyxF
确定函数,),( yxuu ?,),( yxvv ?
,,1CGF ?
求
,
x
u
?
?,
y
u
?
?,
x
v
?
?
。
y
v
?
?
利用问题 1 的结论，
你可能已经知道应该怎
么做了。
依葫芦画瓢哦 ！
将 x 或 y 看成常数
自己动手做！
0
),(
),( ?
?
?
vu
GF当 时，
?
?
?
x
u
),(
),(
vx
GF
?
?
?
),(
),(
vu
GF
?
?
?
?
?
x
v
?
),(
),(
xu
GF
?
?
),(
),(
vu
GF
?
?
将 y 看成常数
公式
0
),(
),( ?
?
?
vu
GF当 时,
?
?
?
y
u
),(
),(
vy
GF
?
?
?
),(
),(
vu
GF
?
?
?
?
?
y
v
?
),(
),(
yu
GF
?
?
),(
),(
vu
GF
?
?
将 x 看成常数
公式
设
0
0{
2
2
???
???
yvu
xvu 确定函数 ),,( yxuu ?
),,( yxvv ? 求,
x
u
?
?
,
y
u
?
?,
x
v
?
? 。
y
v
?
?
解 令,),,,( 2 xvuvuyxF ???
,),,,( 2 yvuvuyxG ???
则
),(
),(
vu
GF
?
?
v
u
21
12 ?
? 14 ?? uv
),(
),(
vx
GF
?
?
v20
11 ?
? v2? ??
?
?
x
u
14 ?uv
v2
例
同理可得
),(
),(
xu
GF
?
?
01
12 u
?
1?? ?
?
?
x
v
14 ?uv
1
),(
),(
vy
GF
?
?
v21
10
?
?
?
1??
?
?
?
y
u
14 ?uv
1
),(
),(
yu
GF
?
?
11
02
?
?
u u2??
?
?
?
y
v
14 ?uv
u2
问题 1 和问题 2
的方法可以推广到更
一般的情形。
定理 (隐函数存在定理 )
设,)),( U (),(
001 YXCYXF i ? ；mi,,2,1 ??
,0),( 00 ?YXF i
1.
2,；mi,,2,1 ??
3.
0
),(),,,(
),,,(
0021
21 ?
?
?
YXyyy
FFF
m
m
?
?
其中，,),,,(
21 nxxxX ??,),,,( 21 myyyY ??
方程组 0),(,,0),(
1 ?? YXFYXF m?
则
在 )U(
0X
内唯一确定一组函数 ))( U ()(
01 XCXy Ii ?? ?
且,0))(,),(,(
1 ?XXXF mi ?? ?,),,2,1( mi ??
。))(,),(( 0010 XXY m?? ??
一 问题的提出
定义,)( 称为隐函数由方程所确定的函数 xyy ?
.)( 形式称为显函数xfy ?
0),( ?yxF )( xfy ? 隐函数的显化
问题 2:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
问题 1:隐函数是否可导?
二 隐函数求导法
.
01
dx
dy
y
exye y
的导数
所确定的隐函数求由方程例 ???
yex
y
dx
dy
?
???
,求导方程两边对 x解
0??? ydxdyxdxdye y
直接对方程两边求导
例 2,)0,0(,023 57 处的值在点求设 yyyxx ??????
解 求导得方程两边对 x
052121 46 ??????? yyyx
得代入 0,0 ?? yx ;21
0
0 ??
?
?
y
xy
求导得两边再对将上方程 x
05)(2021 2 6 4235 ?????????? yyyyyx
得21
00
??
??yx
y,0,0 ?? yx代入,0
0
0 ???
?
?
y
xy
三 对数求导法
1 对数求导法
2 适用范围,
.)( )( 的求导数多个函数相乘和幂指函 xvxu
先在 两边取对数,然后利用隐函数的
求导方法求出 y的导数,
)( xfy ?
幂指函数求导：
)0)(()( )( ?? xuxuy xv
ydxdyydxd ?? 1ln然后两端取导数
ydxdyy ln ???得
])( )()()(ln)([)( )( xu xuxvxuxvxuy xv ??????所以
uvy lnln ??先两端取对数
例 3
解
.),0(s i n yxxy x ??? 求设
等式两边取对数得 xxy lns inln ??
求导得上式两边对 x
xxxxyy
1s inlnc o s1 ?????
)1s inln( co s xxxxyy ??????
)s inln( co ss i n x xxxx x ???
函数的导数也可转化为指数xxy s i n?
的导数求导方法，求出
然后利用复合函数的导数
y
ey xx
,lns i n?
)
1
s i nln( c o s
)ln( s i n)(
lns i n
lns i nlns i n
x
xxxe
xxeey
xx
xxxx
???
?????
)s inln( co ss i n x xxxx x ???
例 4
解 等式两边取对数得
)]4ln()3ln()2ln()1[ l n (21ln ???????? xxxxy
求导得上式两边对 x
]4131)2( 111[21 ????????? xxxxyy
.,)4)(3( )2)(1( yxx xxy ??? ??? 求设
]4131)2( 111[)4)(3( )2)(1(21 ????????? ???? xxxxxx xxy
四 由参数方程所确定的函数的导数
.
,
)(
)(
定的函数称此为由参数方程所确
间的函数关系与确定若参数方程 xy
ty
tx
?
?
?
?
?
?
?
xy 2???
消参数法
消参困难或无法消参的求导可用复合函数
求导方法
1 由参数方程确定的函数的定义
2 由参数方程所确定的函数的求导数的方法
2xy ??
例如
??
???
???
??
ttty
ttx
21
1
4
),()( 1 xttx ??? ?? 具有单调连续的反函数设函数
)]([ 1 xy ??? ??
,0)(,)(),( ??? ttytx ??? 且都可导再设函数
由复合函数及反函数的求导法则得
dx
dt
dt
dy
dx
dy ??
dt
dxdt
dy 1??
)(
)(
t
t
?
?
?
??
,)( )( 中在方程
??
?
??
??
ty
tx
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?故
,)( )( 二阶可导同样得到函数
?
?
?
?
?
ty
tx
?
?
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd ?
dx
dt
t
t
dt
d )
)(
)((
? ?
? ??
)(
1
)(
)()()()(
2 tt
tttt
??
????
???
????????
)(
)()()()(
32
2
t
tttt
dx
yd
?
????
?
????????故
例 5
解,先求运动的方向
。的运动方向和速度大小抛射体在时刻求
设抛射体的运动方程为
t
gttvy
tvx
?
?
?
?
?
??
?
,
2
1
,
2
2
1
x
y
o
v
xv
yv
0v
.
,
可由切线的斜率来反映
轨道的切线方向
时刻的运动方向，即在 t
)(
)21(
t a n
1
2
2
?
??
?? tv
gttv
dx
dy?
1
2
v
gtv ??
水平分速度为 1vdtdxv x ??
gtvdtdyv y ??? 2
时刻抛射体的速度为故在 t
22 yx vvv ??
2221 )( gtvv ???
，则设切线的倾角为 ?
再求速度的大小
铅直分速度为
例 6
解
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?
ta
tb
c o s
s i n
?? a
b
dx
dy
t
???
? 4?
.方程 处的切线在求椭圆
4s i n
c o s ??
?
?
?
?
? t
tby
tax
.2 2,2 2,4 byaxt ??? 时当 ?
所求切线方程为
)2 2(2 2 axabby ????
abbxay 2??即
例 7
解
.a r c t a n)1ln(
2
表示的函数的二阶导数求由方程
??
?
??
??
tty
tx
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?
t
t
t
t
2
1
1
2
1
1
1
2
2
?
?
?
?
?
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd ?
t
t
t
t 4
1
1
2
2
1
2
2
?
?
?
?
五 相关变化率问题
.
,
,
,)()(
变化率称为相关变化率
这样两个相互依赖的之间也存在一定关系
与从而它们的变化率之间存在某种关系
与而变量都是可导函数及设
定义：相关变化率
dt
dy
dt
dx
y
xtyytxx ??
相关变化率解决的问题,
已知其中一个变化率时求出另一个变化率
例 7
解
,5 0 0./1 4 0,
5 0 0
率是多少观察员视线的仰角增加
米时当气球高度为秒米其速率为上升
米处离地面铅直一汽球从离开观察员
则的仰角为
观察员视线其高度为秒后设气球上升
,
,,
?
ht
5 0 0ta n
h??
求导得上式两边对 t dtdhdtd ??? 5 0 01s ec 2 ??
,/140 秒米?dtdh? 2s e c,5 00 2 ?? ?米时当 h
)/(14.0 分弧度?? dtd ?
?
米500
米500
例 8
解
大速率。厘米时，气体体积的增求在半径为
秒的速度增大，厘米已知一气球半径以
10
/10 3
3
3
4 rVVr ??，则，体积为设气球的半径为
dt
drr
dt
dv 24 ??于是有
240,10 r
dt
dVscm
dt
dr ??? 则已知
scmdtdVcmr 32 4 0 0 0104010 ?? ???? 时，当
六 小结与思考判断题
隐函数求导方法, 直接对方程两边求导 ;
对数求导法, 对方程两边取对数,按隐函数的求
导法则求导 ;
参数方程求导, 实质上是利用复合函数求导法则 ;
相关变化率, 通过函数关系确定两个相互依赖的
变化率 ; 由其中一个变化率时求出另一个变化率
思考题
1,
2
,
,2
2
2
2
?????
?
?
?
?
?
t
dx
yd
t
t
t
dx
dy
ty
tx
设
下面的计算是否正确
0),(.1 ?yxF
一、一个方程的情形
隐函数的求导公式
.
y
x
F
F
dx
dy ??
隐函数存在定理 1
设函数 ),( yxF 在点 ),(
00
yxP 的某一邻域内具有
连续的偏导数，且 0),(
00
?yxF,,0),(
00
?yxF
y
则方程 0),( ?yxF 在点 ),(
00
yxP 的某一邻域内
恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的
函数 )( xfy ?,它满足条件 )(
00
xfy ?,并有 0),( ?yxF
例１ 验证方程 01
22
??? yx 在点 )1,0( 的某邻域内能
唯一确定一个单值可导、且 0?x 时 1?y 的隐函
数 )( xfy ?,并求这函数的一阶和二阶导数在
0?x 的值,
解 令 1),( 22 ??? yxyxF
则,2 xF x ?,2 yF y ?
,0)1,0( ?F,02)1,0( ??yF
依定理知方程 0122 ??? yx 在点 )1,0( 的某邻
域内能唯一确定一个单值可导、且 0?x 时
1?y 的函数 )( xfy ?,
.1,0 00 ?? yx
均连续。
y
x
F
F
dx
dy ??,
y
x?,0
0
?
?xdx
dy
22
2
y
yxy
dx
yd ????
2y
y
xxy
?
?
?
?
?
? ??
??,1
3y??
.1
0
2
2
??
?xdx
yd
函数的一阶和二阶导数为
例 2 已知 xyyx a r c t a nln 22 ??,用公式求 dxdy,
解 令
则
,a r c t a nln),( 22 xyyxyxF ???
,22 yx yx ???
,22 yx xy ???
y
x
F
F
dx
dy ??,
xy
yx
?
???
x
x x
yyxF ?
?
??
?
? ??? a r c t a nln 22 ?
y
y x
yyxF ?
?
??
?
? ??? a r c t a nln 22 ?
0),,(.2 ?zyxF
隐函数存在定理 2
设函数 ),,( zyxF 在点 ),,(
000
zyxP 的某一邻域
内有连续的偏导数，且 0),,(
000
?zyxF,
0),,(
000
?zyxF
z
，则方程 0),,( ?zyxF 在点
),,(
000
zyxP 的某一邻域内恒能唯一确定一 个
单值连续且具有连续偏导数的函数 ),,( yxfz ?
它满足条件 ),(
000
yxfz ?, 并有
z
x
F
F
x
z
??
?
?
,
z
y
F
F
y
z
??
?
?
,0),,( ?zyxF
z
y
F
F
y
z ??
?
?
z
y
F
F
y
z ??
?
?
例 3 设 04222 ???? zzyx,求 2
2
x
z
?
?,
解 令
则
,4),,( 222 zzyxzyxF ????
,2 xF x ?,42 ?? zF z
z
x
F
F
x
z ??
?
?
??? 22xz 2)2(
)2(
z
x
zxz
?
?
????
?
2)2(
2)2(
z
z
xxz
?
?????
.
)2(
)2(
3
22
z
xz
?
???
,2 zx??
xz
x ?
?
??
?
? ?2 ?
例 4 设 ),( x y zzyxfz ???,求 xz??, yx??, zy??,
解 1,).,(),,( x y zzyxfzzyxF ????令
xvxu x y zfzyxf )()( ?????????
,zyxu ???,xyzv ?
).( vu fzxf ???
).,( vufzF ??
? ? xx vufzF ),(?? ?
),( vu fzyf ???
yvyu x y zfzyxf )()( ?????????
? ? yy vufzF ),(?? ?
.1 vu fyxf ??? yvyu x y zfzyxf )()(1 ?????????
? ? zz vufzF ),(?? ?
于是,z
x
F
F
x
z ??
?
?,
1 vu
vu
fxyf
fyzf
???
???
x
y
F
F
y
x ??
?
?,
vu
vu
fyzf
fxzf
??
????
.1
vu
vu
fxzf
fxyf
??
????
y
z
F
F
z
y ??
?
?
).( vu fzxf ???? ? yy vufzF ),(?? ?
.1 vu fyxf ??? yvyu x y zfzyxf )()(1 ?????????
? ? zz vufzF ),(?? ?
? ? xx vufzF ),(?? ? ),( vu fzyf ???
思路 2：把 z 看成 yx,的函数，对 x 求偏导数得 xz??,
把 x 看成 yz,的函数，对 y 求偏导数得 yx??,
把 y 看成 zx,的函数，对 z 求偏导数得 zy??,
解 2,令,zyxu ???,xyzv ? 则 ),,( vufz ?
把 z 看成 yx,的函数，对 x 求偏导数得
xvv
f
xuu
f
xz ????
??
????
??
??
)1( xzf u ????? ),( xzxyyzf v ?????
vuvu fyzfxzfxyf ???????? )1(
整理得 xz??,1 vu
vu
fxyf
fyzf
???
???
把 x 看成 yz,的函数, 对 y 求偏导数得
)1(0 ????? yxf u ),( yxyzxzf v ?????
整理得,
vu
vu
fyzf
fxzf
??
????
y
x
?
?
把 y 看成 zx,的函数，对 z 求偏导数得
)1(1 ????? zyf u ),( zyxzxyf v ?????
整理得 zy??,
1
vu
vu
fxzf
fxyf
??
????
第十八章 隐函数定理及其应用
??
?
?
?
0),,,(
0),,,(
vuyxG
vuyxF
二、方程组的情形
？何时唯一确定函数 ),( ),,( yxvvyxuu ??
???xu????yu????xv????yv
隐函数存在定理 3
设 ),,,( vuyxF, ),,,( vuyxG 在点 ),,,(
0000
vuyxP 的某
一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且,,(
00
yxF
0),
00
?vu, 0),,,(
0000
?vuyxG,且偏导数所组成的
函数行列式（或称雅可比式）
),(
),(
v
G
u
G
v
F
u
F
vu
GF
J
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
在点 ),,,( 0000 vuyxP 不等于零，则方程组
0),,,( ?vuyxF, 0),,,( ?vuyxG
在点 ),,,( 0000 vuyxP 的某一邻域内恒能唯一确定一
组单值连续且具有连续偏导数的函数 ),( yxuu ?,
,
),(
),(1
vu
vu
vx
vx
GG
FF
GG
FF
vx
GF
Jx
u
??
?
?
???
?
? ),( yxvv ?,它们满足条件 ),( 000 yxuu ?,vv ?0 ),,( 00 yx
并有
vu
vu
xu
xu
GG
FF
GG
FF
xu
GF
Jx
v ??
?
????
?
?
),(
),(1
,),( ),(1
vu
vu
vy
vy
GG
FF
GG
FF
vy
GF
Jy
u ??
?
???
?
?
.),( ),(1
vu
vu
yu
yu
GG
FF
GG
FF
yu
GF
Jy
v ??
?
???
?
?
下面推导公式：
??
?
?
?
0),,,(
0),,,(
vuyxG
vuyxF
).,( ),,( yxvvyxuu ??确定了
即,??
?
?
?
0)],(),,(,,[
0)],(),,(,,[
yxvyxuyxG
yxvyxuyxF
等式两边对 x 求导，
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
??
?
??
0
0
x
vG
x
uGG
x
vF
x
uFF
uux
vux
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
??
?
??
?
?
?
xuu
xvu
G
x
vG
x
uG
F
x
vF
x
uF
现
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
??
?
??
?
?
xuu
xvu
G
x
vG
x
uG
F
x
vF
x
uF
这是关于 xvxu ????,的
二元线性方程组。
vu
vu
GG
FFD ?
,0?? J 方程组有唯一解。
vx
vx
GG
FFD
?
??
1
vx
vx
G
F??
),(
),(
vx
GF
?
???
xu
xu
GG
FFD
?
??
2
xu
xu
GG
FF??
),(
),(
xu
GF
?
???
D
D
x
u 1?
?
?,),( ),(1 vx GFJ ?????
D
D
x
v 2?
?
?,),( ),(1 xu GFJ ?????
类似，对 ??
?
?
?
0)],(),,(,,[
0)],(),,(,,[
yxvyxuyxG
yxvyxuyxF
等式两边对 y 求导,得关于 y
v
y
u
?
?
?
?,
的线性方程组。
解方程组得
???yu,),( ),(1 vy GFJ ???? ???yv,),( ),(1 yu GFJ ????
D
D
x
u 1?
?
?,),( ),(1 vx GFJ ?????
D
D
x
v 2?
?
?,),( ),(1 xu GFJ ?????
特别地，方程组 ??
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
且可以确定函数 ),( ),( xzzxyy ??,
),(
),(
),(
),(
zy
zy
zx
zx
GG
FF
GG
FF
zy
GF
zx
GF
dx
dy
??
?
?
?
?
??
.
),(
),(
),(
),(
zy
zy
xy
xy
GG
FF
GG
FF
zy
GF
xy
GF
dx
dz
??
?
?
?
?
??
例 5 设 ??
?
???
???
.432
,50222
zyx
zyx
.,dxdzdxdy求
解 1,令,050),,( 222 ????? zyxzyxF
.0432),,( ????? zyxzyxG
则
zy
zy
GG
FF
zy
GF ?
?
?
),(
),(
,2 xF x ?,2 yF y ?,2 zFz ?
,1?xG,2?yG,3?zG
32
22 zy?
.46 zy ??
zx
zx
GG
FF
zx
GF ?
?
?
),(
),(
31
22 zx?
.26 zx ??
xx
xx
GG
FF
xy
GF ?
?
?
),(
),( zx
zx
GG
FF
zx
GF ?
?
?
),(
),(
31
22 zx?
.26 zx ??
.42 xy ?? 12
22 xy?
),(
),(
),(
),(
zy
GF
zx
GF
dx
dy
?
?
?
?
??
zy
zx
46
26
?
???
),(
),(
),(
),(
zy
GF
xy
GF
dx
dz
?
?
?
?
??
,23 3 zy xz ???
zy
xy
46
42
?
???,
23
2
zy
yx
?
??
时，当 046 ),( ),( ????? zyzy GF
?
?
?
???
???
.432
,50222
zyx
zyx
解 2,方程两端对 x 求导。
?
?
?
?
?
???
???
.0321
,0222
dx
dz
dx
dy
dx
dzz
dx
dy
yx
注意,),( xyy ?
).( xzz ?
即
得
?
?
?
?
?
???
???
.132
,
dx
dz
dx
dy
x
dx
dzz
dx
dy
y
32
zyD ?
.23 zy ??
即 ?
?
?
?
?
???
???
.132
,
dx
dz
dx
dy
x
dx
dzz
dx
dy
y
32
zyD ?
.23 zy ??
311 ?
?? zxD
,3 xz ?? 122 ?
?? xyD
.2 yx ??
D
D
dx
dy 1?
D
D
dx
dz 2?,23 3 zy xz ???,232 zy yx ???
时，当 0 ?D
例 6 设
?
?
?
??
??
1
,0
xvyu
yvxu, 求
x
u
?
?,
y
u
?
?,
x
v
?
? 和
y
v
?
?,
解 1 直接代入公式；
解 2 运用公式推导的方法。
将所给方程的两边对 x求导并移项,,
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
??
?
??
?
?
v
x
vx
x
uy
u
x
vy
x
ux
xy
yxJD ???
,22 yx ??
当 0?? JD 时,
D
D
x
u 1?
?
?,22
yx
yvxu
?
???
D
D
x
v 2?
?
?,22
yx
xvyu
?
??
将所给方程的两边对 y求导，用同样方法得
,22 yx yuxvyu ?????,22 yx yvxuyv ??????
xv
yuD
1 ?
???
,yvux ??? vy
uxD
?
??
2,xvyu ??
xy
yxJD ???
,22 yx ??
隐函数的求导法则
0),()1( ?yxF
0),,()2( ?zyxF ??
?
?
?
0),,,(
0),,,()3(
vuyxG
vuyxF
三、小结
（分下列几种情况）
常用解法,公式法
方程两边求导法
作业,151页 1,2,3(1~ 6),4,5.
第六节 微分法在几何上的应用
第六节 微分法在几何上的应用
一 问题的提出
二 空间曲线的切线与法平面
(Applications of differential calculus in geometry)
一 问题的提出
偏导数 ),( 00 yxf x 就是曲面被平面 0yy ?
所截得的曲线在点 0M 处的切线 xTM 0 对 x 轴的
斜率,
偏导数 ),( 00 yxf y 就是曲面被平面 0xx ?
所截得的曲线在点 0M 处的切线 yTM 0 对 y 轴
的斜率,
我们可以利用偏导数来确定空间曲线的
切向量和空间曲面的法向量
推导过程
二 空间曲线的切线与法平面
1 空间曲线 ?
切向量, ? ? ? ? ? ?? ?
0'00',',tttT ????
?
切线方程,
? ? ? ? ? ?0' 00' 00' 0 t
zz
t
yy
t
xx
???
?????
法平面方程：
? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? 000'00'00' ?????? zztyytxxt ???
? ?
? ?
? ???
?
?
?
?
?
?
tz
ty
tx
?
?
?
? ? 0 z,y,0000 ttxM ?
(Tangent and normal plane of space curve)
解：
2't't' 3z,2y,1 ttx t ????
在（ 1, 1, 1 ）点对应参数为 t = 1
? ?? 3,2,1 ??T
切线方程,3 12 11 1 ????? zyx
法平面方程,( x - 1)+2 ( y - 1 )+( z - 1 )=0
即,x + 2 y + 3 z = 6
例 1 求曲线 在点 处的
切线及法平面方程。
3,2,tztytx ??? )1,1,1(
2
切线方程：
? ? ? ?0' 00' 001 t
zz
t
yyxx
??
?????
? ?
? ???
?
?
?
xz
xy
?
?:? ? ? z,y,0000 xM
法平面方程,
? ? ? ?? ? ? ?? ? 000'00'0 ?????? zztyytxx ??
??
?
?
?
0) z,y,G ( x
0 ) z,y,x F(, 3 ? ? ? z,y,0000 xM
y
y
x
x
x
x
z
z
z
z
y
y
G
F
G
F
zz
G
F
G
F
yy
G
F
G
F
xx
000 ?????
切线方程：
? ? ? ? ? ? 0 000 ?????? zz
G
F
G
F
yy
G
F
G
F
xx
G
F
G
F
y
y
x
x
x
x
z
z
z
z
y
y
法平面方程,
例 2、求曲线 在点
（ 1, -2, 1）处的切线及法平面方程。
0,6222 ?????? zyxzyx
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?30163032
222222
1
2
1
2
,
1
2
1
2
,
1
2
1
2
121
121
,,,,
,,
,,
,,
????
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
yxxzzyT
yxxzzy
T
即：
解：
法平面方程,x - z = 0
切线方程：
1
1
0
2
1
1 ????
?
? zyx
1 设曲面方程为
0),,( ?zyxF
) },(),(),({ 000 tttT ??? ?????曲线在 M处的切向量
在曲面上任取一条通
过点 M的曲线
,
)(
)(
)(
:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
tz
ty
tx
?
?
?
三 曲面的切平面与法线
n? T?
M
(Tangent plane and normal line of surface)
)},,(),,,(),,,({ 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx??令
则,Tn ???
由于曲线是曲面上通过 M 的任意一
条曲线，它们在 M 的切线都与同一向量 n
?
垂直，故
曲面上通过 M 的一切曲线在点 M 的切线都在同一
平面上，这个平面称为曲面在点 M 的 切平面,
切平面方程为
0))(,,(
))(,,())(,,(
0000
00000000
???
???
zzzyxF
yyzyxFxxzyxF
z
yx
通过点 ),,( 000 zyxM 而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线,
法线方程为
),,(),,(),,( 000
0
000
0
000
0
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zyx
?????
)},,(),,,(),,,({ 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx??
曲面在 M处的法向量即
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量,
2 空间曲面方程形为 ),( yxfz ?
曲面在 M处的切平面方程为
,))(,())(,( 0000000 zzyyyxfxxyxf yx ?????
曲面在 M处的法线方程为
.1),(),( 0
00
0
00
0
?
????? zz
yxf
yy
yxf
xx
yx
,),(),,( zyxfzyxF ??令
))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx ?????
切平面
上点的
竖坐标
的增量
的全微分在点函数 ),(),( 00 yxyxfz ?
因为曲面在 M处的切平面方程为
3 全微分的几何意义
),( yxfz ? 在 ),( 00 yx 的全微分，表示曲
面 ),( yxfz ? 在点 ),,( 000 zyx 处的切平面
上的点的竖坐标的增量,
若 ?, ?, ? 表示曲面的法向量的方向角，
并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 z
轴的正向所成的角 ? 是锐角，则法向量的 方向
余弦 为
,
1
c o s
22
yx
x
ff
f
??
???
,
1
c o s
22
yx
y
ff
f
??
???
.
1
1c o s
22
yx ff ??
??
),( 00 yxff xx ?
),( 00 yxff yy ?
其中
解,632),,( 222 ???? zyxzyxF
)1,1,1()1,1,1( }6,4,2{ zyxn ?
? },6,4,2{?
切平面方程为,0)1(6)1(4)1(2 ?????? zyx
,032 ???? zyx
法线方程为
.6 14 12 1 ????? zyx
.处的切平面及法线方程( 1,1,1 ) 在点
632 面3 222 ??? zyx椭球求例
例 4 求曲面 32 ??? xyez z 在点 )0,2,1( 处的切
平面及法线方程,
解,32),,( ???? xyezzyxF z
,42 )0,2,1()0,2,1( ??? yF x,22 )0,2,1()0,2,1( ??? xF y
,01 )0,2,1()0,2,1( ???? zz eF
令
切平面方程
法线方程
,0)0(0)2(2)1(4 ??????? zyx
,042 ???? yx
.0 01 22 1 ????? zyx
解 设 为曲面上的切点,),,( 000 zyx
切平面方程为
0)(2)(4)(2 000000 ?????? zzzyyyxxx
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
,221412 000 zyx ???,42 000 zyx ????
,02
12 5 222
平行
的切平面，是其与平面求椭球面例
???
???
zyx
zyx
}2,4,2{ 000 zyxn ??法向量
因为 是曲面上的切点,),,( 000 zyx
,
11
2
0 ??? x
所求切点为
满足方程
),,118,221,112( ??
2
112 ???? zyx
切平面方程
1 空间曲线的切线与法平面
2 曲面的切平面与法线
四 小结
五 思考判断题
轴成定角。的切线与
螺旋线
Z
btz
tay
tax
?
?
?
?
?
?
?
?
s i n
c o s
第五节 隐函数的求导公式
§ 8-5 隐函数的
微分法
与一元函数的情形类似，多元函
也有隐函数。
如果在方程式 0),,( ?zyxF 中，
2),( Ryx ????
时,相应地总有满足
该方程的唯一的 z 值存在,则称该方
程在 ? 内确定隐函数 。),( yxfz ?
每一个方程都能
确定一个隐函数吗？
0122 ??? yx
此外，隐函数不一定都能显化。
如果在方程式 0),( ?uXF 中，
nRX ????
时,相应地总有满足该
在 ? 内确定隐函数 。)( Xfu ?
方程的唯一的 u 值存在,则称该方程
),,( 1 nxxX ??
将概念推广到一般情形
一元函数的
隐函数的求导法
一,
设 0),( ?yxF 确定隐函数 。)( xfy ?
若,),(
1CyxF ? 则对方程
两边关于 x 求导，得
0),( ?yxF
0
d
d
?
?
?
?
?
?
x
y
y
F
x
F
从而得到一元隐函数求导公式
)0(
d
d
?
?
?
?
?
?
?
??
y
F
y
F
x
F
x
y
这是利用多元函数的偏导数求
一元函数的隐函数导数的公式
设,022 ??? yxxy 求
。
x
y
d
d
解 令,22),( yxxyyxF ??? 则
?
?
?
x
F 2ln2 xy ? ?
?
?
y
F 2ln2 yx ?
故
?
x
y
d
d ?
?
?
?
?
?
y
F
x
F
2ln2
2ln2
y
x
x
y
?
?
?
)02ln2( ?? yx
例
二,由一个方程确定
的隐函数的求导法
定理 2 (隐函数存在定理 )
设 1,
2,
3,;)),,( U (),,( 0001 zyxCzyxF ?;0),,( 000 ?zyxF
,0),,( 000 ?? zyxF z
则方程
0),,( ?zyxF
在
)),U ( ( 00 yx
内唯一
确定一个函数
)),( U (),( 001 yxCyxfz ??
且
,),( 000 yxfz ? 。0)),(,,( ?yxfyxF
由隐函数存在定理的条件及一元隐
函数求导方法,利用多元函数求导方法，
对方程 F(x,y,u) = 0 两边关于 x,y求偏
导，得
0?
?
?
?
??
?
?
x
z
z
F
x
F
由于
,)),,( U (),,( 0001 zyxCzyxF ?
又
0?
?
?
?
??
?
?
y
z
z
F
y
F
,0),,( 000 ?? zyxF z
由连续函数性质
,)),U ( ( 00 yx?
在其中,0),,( ?? zyxF
z
z
F
x
F
x
z
?
?
?
?
??
?
?
z
F
y
F
y
z
?
?
?
?
??
?
?
自己算一下,z 对 x,y 的
偏导数是多少。
求方程 ?? xye
?z2
0?ze 所确定的
函数 ),( yxzz ? 的偏导数。
解 令 ?),,( zyxF ?? xye,ze 则
?
?
?
x
F,xyye ??
?z2
?
?
?
y
F,xyxe ?? ?
?
?
z
F,2 ze??
故
z
F
x
F
x
z
?
?
?
?
??
?
?
z
xy
e
ye
??
??? ?
2 2?
?
?
z
xy
e
ye
)02( ??ze
z
F
y
F
y
z
?
?
?
?
??
?
?
z
xy
e
xe
??
??? ?
2 2?
?
?
z
xy
e
xe
)02( ??ze
例
设 0),( ??? xyzzyxF 确定 ),,( yxzz ?
求
,
x
z
?
?,
y
z
?
? 其中,。1CF ?
解
?
?
?
x
F,21 FyzF ???
?
?
?
y
F,21 FxzF ???
?
?
?
z
F,21 FxyF ???
?
?
?
x
z
21 FyzF ????
21 FxyF ???
?
?
?
y
z
21 FxzF ????
21 FxyF ???
例
定理 (隐函数存在定理 )
设 1,
2,
3,；)),( U (),( 001 uXCuXF ?；0)( 0 ?XF
,0),( 00 ?? uXF u
则方程
0),( ?uXF
在
))U( ( 0X
内唯
一确定一个函数
))U(()( 01 XCXfu ??
且
,)( 00 Xfu ? 。0))(,( ?XfXF
请同学们自己将上面的隐函数存在
定理推广至一般的 n 元函数情形 ),,2,1( ni
u
F
x
F
x
u
i
i
??
?
?
?
?
??
?
?
三,由方程组确定的
隐函数的求导法
雅可比行列式,)(),,,( 1
21 ??? CxxxFu nii ?
),,2,1( ni ??
),,,(
),,,(
21
21
n
n
xxx
uuuJ
?
?
?
??
?
),,,(
),,,(
21
21
n
n
xxx
FFF
?
?
?
??
1
1
x
F
?
?
2
1
x
F
?
?
nx
F
?
? 1
1
2
x
F
?
?
2
2
x
F
?
?
nx
F
?
? 2
1x
Fn
?
?
n
n
x
F
?
?
2x
Fn
?
?
?
?
?
?
?? ?
当所出现的函数均有一阶连续偏导数
时，雅可比行列式有以下两个常用的性质：
1.
.1
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(
21
21
21
21 ?
?
??
?
?
n
n
n
n
uuu
xxx
xxx
uuu
?
?
?
?
2.
.
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(
21
21
21
21
21
21
n
n
n
n
n
n
ttt
xxx
xxx
uuu
ttt
uuu
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
设方程组
?
?
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF 确定函数
,)( xzz ? 求,
d
d
x
y
。
x
z
d
d,,1CGF ?
想一想，怎么做？
,)( xyy ?
问题 1方程组中每个方程两边关于 x 求导：
?
?
?
?
?
?
?
?
x
F
?
?
?
x
y
y
F
d
d 0
d
d
?
?
?
x
z
z
F
?
?
?
x
G
?
?
?
x
y
y
G
d
d 0
d
d
?
?
?
x
z
z
G
运用克莱满法则解此二元一次方程组 移项，得
?
?
?
?
?
?
?
?
x
y
y
F
d
d
?
?
?
x
z
z
F
d
d
x
F
?
?
?
?
?
?
x
y
y
G
d
d ?
?
?
x
z
z
G
d
d
x
G
?
?
?
当
0
),(
),( ?
?
?
zy
GF 时,方程组有唯一解：
?
x
y
d
d
?
),(
),(
zx
GF
?
?
),(
),(
zy
GF
?
?
?
x
z
d
d
?
),(
),(
xy
GF
?
?
),(
),(
zy
GF
?
?
这样我们实际上已找到了求方程组确
定的隐函数的偏导数的公式 (之一 )。
z
G
x
G
z
F
x
F
zx
GF
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),(
),(
x
G
y
G
x
F
y
F
xy
GF
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),(
),(
z
G
y
G
z
F
y
F
zy
GF
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),(
),(
问题 2
设方程组
?
?
?
?
?
0),,,(
0),,,(
vuyxG
vuyxF
确定函数,),( yxuu ?,),( yxvv ?
,,1CGF ?
求
,
x
u
?
?,
y
u
?
?,
x
v
?
?
。
y
v
?
?
利用问题 1 的结论，
你可能已经知道应该怎
么做了。
依葫芦画瓢哦 ！
将 x 或 y 看成常数
自己动手做！
0
),(
),( ?
?
?
vu
GF当 时，
?
?
?
x
u
),(
),(
vx
GF
?
?
?
),(
),(
vu
GF
?
?
?
?
?
x
v
?
),(
),(
xu
GF
?
?
),(
),(
vu
GF
?
?
将 y 看成常数
公式
0
),(
),( ?
?
?
vu
GF当 时,
?
?
?
y
u
),(
),(
vy
GF
?
?
?
),(
),(
vu
GF
?
?
?
?
?
y
v
?
),(
),(
yu
GF
?
?
),(
),(
vu
GF
?
?
将 x 看成常数
公式
设
0
0{
2
2
???
???
yvu
xvu 确定函数 ),,( yxuu ?
),,( yxvv ? 求,
x
u
?
?
,
y
u
?
?,
x
v
?
? 。
y
v
?
?
解 令,),,,( 2 xvuvuyxF ???
,),,,( 2 yvuvuyxG ???
则
),(
),(
vu
GF
?
?
v
u
21
12 ?
? 14 ?? uv
),(
),(
vx
GF
?
?
v20
11 ?
? v2? ??
?
?
x
u
14 ?uv
v2
例
同理可得
),(
),(
xu
GF
?
?
01
12 u
?
1?? ?
?
?
x
v
14 ?uv
1
),(
),(
vy
GF
?
?
v21
10
?
?
?
1??
?
?
?
y
u
14 ?uv
1
),(
),(
yu
GF
?
?
11
02
?
?
u u2??
?
?
?
y
v
14 ?uv
u2
问题 1 和问题 2
的方法可以推广到更
一般的情形。
定理 (隐函数存在定理 )
设,)),( U (),(
001 YXCYXF i ? ；mi,,2,1 ??
,0),( 00 ?YXF i
1.
2,；mi,,2,1 ??
3.
0
),(),,,(
),,,(
0021
21 ?
?
?
YXyyy
FFF
m
m
?
?
其中，,),,,(
21 nxxxX ??,),,,( 21 myyyY ??
方程组 0),(,,0),(
1 ?? YXFYXF m?
则
在 )U(
0X
内唯一确定一组函数 ))( U ()(
01 XCXy Ii ?? ?
且,0))(,),(,(
1 ?XXXF mi ?? ?,),,2,1( mi ??
。))(,),(( 0010 XXY m?? ??
一 问题的提出
定义,)( 称为隐函数由方程所确定的函数 xyy ?
.)( 形式称为显函数xfy ?
0),( ?yxF )( xfy ? 隐函数的显化
问题 2:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
问题 1:隐函数是否可导?
二 隐函数求导法
.
01
dx
dy
y
exye y
的导数
所确定的隐函数求由方程例 ???
yex
y
dx
dy
?
???
,求导方程两边对 x解
0??? ydxdyxdxdye y
直接对方程两边求导
例 2,)0,0(,023 57 处的值在点求设 yyyxx ??????
解 求导得方程两边对 x
052121 46 ??????? yyyx
得代入 0,0 ?? yx ;21
0
0 ??
?
?
y
xy
求导得两边再对将上方程 x
05)(2021 2 6 4235 ?????????? yyyyyx
得21
00
??
??yx
y,0,0 ?? yx代入,0
0
0 ???
?
?
y
xy
三 对数求导法
1 对数求导法
2 适用范围,
.)( )( 的求导数多个函数相乘和幂指函 xvxu
先在 两边取对数,然后利用隐函数的
求导方法求出 y的导数,
)( xfy ?
幂指函数求导：
)0)(()( )( ?? xuxuy xv
ydxdyydxd ?? 1ln然后两端取导数
ydxdyy ln ???得
])( )()()(ln)([)( )( xu xuxvxuxvxuy xv ??????所以
uvy lnln ??先两端取对数
例 3
解
.),0(s i n yxxy x ??? 求设
等式两边取对数得 xxy lns inln ??
求导得上式两边对 x
xxxxyy
1s inlnc o s1 ?????
)1s inln( co s xxxxyy ??????
)s inln( co ss i n x xxxx x ???
函数的导数也可转化为指数xxy s i n?
的导数求导方法，求出
然后利用复合函数的导数
y
ey xx
,lns i n?
)
1
s i nln( c o s
)ln( s i n)(
lns i n
lns i nlns i n
x
xxxe
xxeey
xx
xxxx
???
?????
)s inln( co ss i n x xxxx x ???
例 4
解 等式两边取对数得
)]4ln()3ln()2ln()1[ l n (21ln ???????? xxxxy
求导得上式两边对 x
]4131)2( 111[21 ????????? xxxxyy
.,)4)(3( )2)(1( yxx xxy ??? ??? 求设
]4131)2( 111[)4)(3( )2)(1(21 ????????? ???? xxxxxx xxy
四 由参数方程所确定的函数的导数
.
,
)(
)(
定的函数称此为由参数方程所确
间的函数关系与确定若参数方程 xy
ty
tx
?
?
?
?
?
?
?
xy 2???
消参数法
消参困难或无法消参的求导可用复合函数
求导方法
1 由参数方程确定的函数的定义
2 由参数方程所确定的函数的求导数的方法
2xy ??
例如
??
???
???
??
ttty
ttx
21
1
4
),()( 1 xttx ??? ?? 具有单调连续的反函数设函数
)]([ 1 xy ??? ??
,0)(,)(),( ??? ttytx ??? 且都可导再设函数
由复合函数及反函数的求导法则得
dx
dt
dt
dy
dx
dy ??
dt
dxdt
dy 1??
)(
)(
t
t
?
?
?
??
,)( )( 中在方程
??
?
??
??
ty
tx
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?故
,)( )( 二阶可导同样得到函数
?
?
?
?
?
ty
tx
?
?
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd ?
dx
dt
t
t
dt
d )
)(
)((
? ?
? ??
)(
1
)(
)()()()(
2 tt
tttt
??
????
???
????????
)(
)()()()(
32
2
t
tttt
dx
yd
?
????
?
????????故
例 5
解,先求运动的方向
。的运动方向和速度大小抛射体在时刻求
设抛射体的运动方程为
t
gttvy
tvx
?
?
?
?
?
??
?
,
2
1
,
2
2
1
x
y
o
v
xv
yv
0v
.
,
可由切线的斜率来反映
轨道的切线方向
时刻的运动方向，即在 t
)(
)21(
t a n
1
2
2
?
??
?? tv
gttv
dx
dy?
1
2
v
gtv ??
水平分速度为 1vdtdxv x ??
gtvdtdyv y ??? 2
时刻抛射体的速度为故在 t
22 yx vvv ??
2221 )( gtvv ???
，则设切线的倾角为 ?
再求速度的大小
铅直分速度为
例 6
解
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?
ta
tb
c o s
s i n
?? a
b
dx
dy
t
???
? 4?
.方程 处的切线在求椭圆
4s i n
c o s ??
?
?
?
?
? t
tby
tax
.2 2,2 2,4 byaxt ??? 时当 ?
所求切线方程为
)2 2(2 2 axabby ????
abbxay 2??即
例 7
解
.a r c t a n)1ln(
2
表示的函数的二阶导数求由方程
??
?
??
??
tty
tx
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?
t
t
t
t
2
1
1
2
1
1
1
2
2
?
?
?
?
?
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd ?
t
t
t
t 4
1
1
2
2
1
2
2
?
?
?
?
五 相关变化率问题
.
,
,
,)()(
变化率称为相关变化率
这样两个相互依赖的之间也存在一定关系
与从而它们的变化率之间存在某种关系
与而变量都是可导函数及设
定义：相关变化率
dt
dy
dt
dx
y
xtyytxx ??
相关变化率解决的问题,
已知其中一个变化率时求出另一个变化率
例 7
解
,5 0 0./1 4 0,
5 0 0
率是多少观察员视线的仰角增加
米时当气球高度为秒米其速率为上升
米处离地面铅直一汽球从离开观察员
则的仰角为
观察员视线其高度为秒后设气球上升
,
,,
?
ht
5 0 0ta n
h??
求导得上式两边对 t dtdhdtd ??? 5 0 01s ec 2 ??
,/140 秒米?dtdh? 2s e c,5 00 2 ?? ?米时当 h
)/(14.0 分弧度?? dtd ?
?
米500
米500
例 8
解
大速率。厘米时，气体体积的增求在半径为
秒的速度增大，厘米已知一气球半径以
10
/10 3
3
3
4 rVVr ??，则，体积为设气球的半径为
dt
drr
dt
dv 24 ??于是有
240,10 r
dt
dVscm
dt
dr ??? 则已知
scmdtdVcmr 32 4 0 0 0104010 ?? ???? 时，当
六 小结与思考判断题
隐函数求导方法, 直接对方程两边求导 ;
对数求导法, 对方程两边取对数,按隐函数的求
导法则求导 ;
参数方程求导, 实质上是利用复合函数求导法则 ;
相关变化率, 通过函数关系确定两个相互依赖的
变化率 ; 由其中一个变化率时求出另一个变化率
思考题
1,
2
,
,2
2
2
2
?????
?
?
?
?
?
t
dx
yd
t
t
t
dx
dy
ty
tx
设
下面的计算是否正确
0),(.1 ?yxF
一、一个方程的情形
隐函数的求导公式
.
y
x
F
F
dx
dy ??
隐函数存在定理 1
设函数 ),( yxF 在点 ),(
00
yxP 的某一邻域内具有
连续的偏导数，且 0),(
00
?yxF,,0),(
00
?yxF
y
则方程 0),( ?yxF 在点 ),(
00
yxP 的某一邻域内
恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的
函数 )( xfy ?,它满足条件 )(
00
xfy ?,并有 0),( ?yxF
例１ 验证方程 01
22
??? yx 在点 )1,0( 的某邻域内能
唯一确定一个单值可导、且 0?x 时 1?y 的隐函
数 )( xfy ?,并求这函数的一阶和二阶导数在
0?x 的值,
解 令 1),( 22 ??? yxyxF
则,2 xF x ?,2 yF y ?
,0)1,0( ?F,02)1,0( ??yF
依定理知方程 0122 ??? yx 在点 )1,0( 的某邻
域内能唯一确定一个单值可导、且 0?x 时
1?y 的函数 )( xfy ?,
.1,0 00 ?? yx
均连续。
y
x
F
F
dx
dy ??,
y
x?,0
0
?
?xdx
dy
22
2
y
yxy
dx
yd ????
2y
y
xxy
?
?
?
?
?
? ??
??,1
3y??
.1
0
2
2
??
?xdx
yd
函数的一阶和二阶导数为
例 2 已知 xyyx a r c t a nln 22 ??,用公式求 dxdy,
解 令
则
,a r c t a nln),( 22 xyyxyxF ???
,22 yx yx ???
,22 yx xy ???
y
x
F
F
dx
dy ??,
xy
yx
?
???
x
x x
yyxF ?
?
??
?
? ??? a r c t a nln 22 ?
y
y x
yyxF ?
?
??
?
? ??? a r c t a nln 22 ?
0),,(.2 ?zyxF
隐函数存在定理 2
设函数 ),,( zyxF 在点 ),,(
000
zyxP 的某一邻域
内有连续的偏导数，且 0),,(
000
?zyxF,
0),,(
000
?zyxF
z
，则方程 0),,( ?zyxF 在点
),,(
000
zyxP 的某一邻域内恒能唯一确定一 个
单值连续且具有连续偏导数的函数 ),,( yxfz ?
它满足条件 ),(
000
yxfz ?, 并有
z
x
F
F
x
z
??
?
?
,
z
y
F
F
y
z
??
?
?
,0),,( ?zyxF
z
y
F
F
y
z ??
?
?
z
y
F
F
y
z ??
?
?
例 3 设 04222 ???? zzyx,求 2
2
x
z
?
?,
解 令
则
,4),,( 222 zzyxzyxF ????
,2 xF x ?,42 ?? zF z
z
x
F
F
x
z ??
?
?
??? 22xz 2)2(
)2(
z
x
zxz
?
?
????
?
2)2(
2)2(
z
z
xxz
?
?????
.
)2(
)2(
3
22
z
xz
?
???
,2 zx??
xz
x ?
?
??
?
? ?2 ?
例 4 设 ),( x y zzyxfz ???,求 xz??, yx??, zy??,
解 1,).,(),,( x y zzyxfzzyxF ????令
xvxu x y zfzyxf )()( ?????????
,zyxu ???,xyzv ?
).( vu fzxf ???
).,( vufzF ??
? ? xx vufzF ),(?? ?
),( vu fzyf ???
yvyu x y zfzyxf )()( ?????????
? ? yy vufzF ),(?? ?
.1 vu fyxf ??? yvyu x y zfzyxf )()(1 ?????????
? ? zz vufzF ),(?? ?
于是,z
x
F
F
x
z ??
?
?,
1 vu
vu
fxyf
fyzf
???
???
x
y
F
F
y
x ??
?
?,
vu
vu
fyzf
fxzf
??
????
.1
vu
vu
fxzf
fxyf
??
????
y
z
F
F
z
y ??
?
?
).( vu fzxf ???? ? yy vufzF ),(?? ?
.1 vu fyxf ??? yvyu x y zfzyxf )()(1 ?????????
? ? zz vufzF ),(?? ?
? ? xx vufzF ),(?? ? ),( vu fzyf ???
思路 2：把 z 看成 yx,的函数，对 x 求偏导数得 xz??,
把 x 看成 yz,的函数，对 y 求偏导数得 yx??,
把 y 看成 zx,的函数，对 z 求偏导数得 zy??,
解 2,令,zyxu ???,xyzv ? 则 ),,( vufz ?
把 z 看成 yx,的函数，对 x 求偏导数得
xvv
f
xuu
f
xz ????
??
????
??
??
)1( xzf u ????? ),( xzxyyzf v ?????
vuvu fyzfxzfxyf ???????? )1(
整理得 xz??,1 vu
vu
fxyf
fyzf
???
???
把 x 看成 yz,的函数, 对 y 求偏导数得
)1(0 ????? yxf u ),( yxyzxzf v ?????
整理得,
vu
vu
fyzf
fxzf
??
????
y
x
?
?
把 y 看成 zx,的函数，对 z 求偏导数得
)1(1 ????? zyf u ),( zyxzxyf v ?????
整理得 zy??,
1
vu
vu
fxzf
fxyf
??
????
第十八章 隐函数定理及其应用
??
?
?
?
0),,,(
0),,,(
vuyxG
vuyxF
二、方程组的情形
？何时唯一确定函数 ),( ),,( yxvvyxuu ??
???xu????yu????xv????yv
隐函数存在定理 3
设 ),,,( vuyxF, ),,,( vuyxG 在点 ),,,(
0000
vuyxP 的某
一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且,,(
00
yxF
0),
00
?vu, 0),,,(
0000
?vuyxG,且偏导数所组成的
函数行列式（或称雅可比式）
),(
),(
v
G
u
G
v
F
u
F
vu
GF
J
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
在点 ),,,( 0000 vuyxP 不等于零，则方程组
0),,,( ?vuyxF, 0),,,( ?vuyxG
在点 ),,,( 0000 vuyxP 的某一邻域内恒能唯一确定一
组单值连续且具有连续偏导数的函数 ),( yxuu ?,
,
),(
),(1
vu
vu
vx
vx
GG
FF
GG
FF
vx
GF
Jx
u
??
?
?
???
?
? ),( yxvv ?,它们满足条件 ),( 000 yxuu ?,vv ?0 ),,( 00 yx
并有
vu
vu
xu
xu
GG
FF
GG
FF
xu
GF
Jx
v ??
?
????
?
?
),(
),(1
,),( ),(1
vu
vu
vy
vy
GG
FF
GG
FF
vy
GF
Jy
u ??
?
???
?
?
.),( ),(1
vu
vu
yu
yu
GG
FF
GG
FF
yu
GF
Jy
v ??
?
???
?
?
下面推导公式：
??
?
?
?
0),,,(
0),,,(
vuyxG
vuyxF
).,( ),,( yxvvyxuu ??确定了
即,??
?
?
?
0)],(),,(,,[
0)],(),,(,,[
yxvyxuyxG
yxvyxuyxF
等式两边对 x 求导，
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
??
?
??
0
0
x
vG
x
uGG
x
vF
x
uFF
uux
vux
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
??
?
??
?
?
?
xuu
xvu
G
x
vG
x
uG
F
x
vF
x
uF
现
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
??
?
??
?
?
xuu
xvu
G
x
vG
x
uG
F
x
vF
x
uF
这是关于 xvxu ????,的
二元线性方程组。
vu
vu
GG
FFD ?
,0?? J 方程组有唯一解。
vx
vx
GG
FFD
?
??
1
vx
vx
G
F??
),(
),(
vx
GF
?
???
xu
xu
GG
FFD
?
??
2
xu
xu
GG
FF??
),(
),(
xu
GF
?
???
D
D
x
u 1?
?
?,),( ),(1 vx GFJ ?????
D
D
x
v 2?
?
?,),( ),(1 xu GFJ ?????
类似，对 ??
?
?
?
0)],(),,(,,[
0)],(),,(,,[
yxvyxuyxG
yxvyxuyxF
等式两边对 y 求导,得关于 y
v
y
u
?
?
?
?,
的线性方程组。
解方程组得
???yu,),( ),(1 vy GFJ ???? ???yv,),( ),(1 yu GFJ ????
D
D
x
u 1?
?
?,),( ),(1 vx GFJ ?????
D
D
x
v 2?
?
?,),( ),(1 xu GFJ ?????
特别地，方程组 ??
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
且可以确定函数 ),( ),( xzzxyy ??,
),(
),(
),(
),(
zy
zy
zx
zx
GG
FF
GG
FF
zy
GF
zx
GF
dx
dy
??
?
?
?
?
??
.
),(
),(
),(
),(
zy
zy
xy
xy
GG
FF
GG
FF
zy
GF
xy
GF
dx
dz
??
?
?
?
?
??
例 5 设 ??
?
???
???
.432
,50222
zyx
zyx
.,dxdzdxdy求
解 1,令,050),,( 222 ????? zyxzyxF
.0432),,( ????? zyxzyxG
则
zy
zy
GG
FF
zy
GF ?
?
?
),(
),(
,2 xF x ?,2 yF y ?,2 zFz ?
,1?xG,2?yG,3?zG
32
22 zy?
.46 zy ??
zx
zx
GG
FF
zx
GF ?
?
?
),(
),(
31
22 zx?
.26 zx ??
xx
xx
GG
FF
xy
GF ?
?
?
),(
),( zx
zx
GG
FF
zx
GF ?
?
?
),(
),(
31
22 zx?
.26 zx ??
.42 xy ?? 12
22 xy?
),(
),(
),(
),(
zy
GF
zx
GF
dx
dy
?
?
?
?
??
zy
zx
46
26
?
???
),(
),(
),(
),(
zy
GF
xy
GF
dx
dz
?
?
?
?
??
,23 3 zy xz ???
zy
xy
46
42
?
???,
23
2
zy
yx
?
??
时，当 046 ),( ),( ????? zyzy GF
?
?
?
???
???
.432
,50222
zyx
zyx
解 2,方程两端对 x 求导。
?
?
?
?
?
???
???
.0321
,0222
dx
dz
dx
dy
dx
dzz
dx
dy
yx
注意,),( xyy ?
).( xzz ?
即
得
?
?
?
?
?
???
???
.132
,
dx
dz
dx
dy
x
dx
dzz
dx
dy
y
32
zyD ?
.23 zy ??
即 ?
?
?
?
?
???
???
.132
,
dx
dz
dx
dy
x
dx
dzz
dx
dy
y
32
zyD ?
.23 zy ??
311 ?
?? zxD
,3 xz ?? 122 ?
?? xyD
.2 yx ??
D
D
dx
dy 1?
D
D
dx
dz 2?,23 3 zy xz ???,232 zy yx ???
时，当 0 ?D
例 6 设
?
?
?
??
??
1
,0
xvyu
yvxu, 求
x
u
?
?,
y
u
?
?,
x
v
?
? 和
y
v
?
?,
解 1 直接代入公式；
解 2 运用公式推导的方法。
将所给方程的两边对 x求导并移项,,
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
??
?
??
?
?
v
x
vx
x
uy
u
x
vy
x
ux
xy
yxJD ???
,22 yx ??
当 0?? JD 时,
D
D
x
u 1?
?
?,22
yx
yvxu
?
???
D
D
x
v 2?
?
?,22
yx
xvyu
?
??
将所给方程的两边对 y求导，用同样方法得
,22 yx yuxvyu ?????,22 yx yvxuyv ??????
xv
yuD
1 ?
???
,yvux ??? vy
uxD
?
??
2,xvyu ??
xy
yxJD ???
,22 yx ??
隐函数的求导法则
0),()1( ?yxF
0),,()2( ?zyxF ??
?
?
?
0),,,(
0),,,()3(
vuyxG
vuyxF
三、小结
（分下列几种情况）
常用解法,公式法
方程两边求导法
作业,151页 1,2,3(1~ 6),4,5.
第六节 微分法在几何上的应用
第六节 微分法在几何上的应用
一 问题的提出
二 空间曲线的切线与法平面
(Applications of differential calculus in geometry)
一 问题的提出
偏导数 ),( 00 yxf x 就是曲面被平面 0yy ?
所截得的曲线在点 0M 处的切线 xTM 0 对 x 轴的
斜率,
偏导数 ),( 00 yxf y 就是曲面被平面 0xx ?
所截得的曲线在点 0M 处的切线 yTM 0 对 y 轴
的斜率,
我们可以利用偏导数来确定空间曲线的
切向量和空间曲面的法向量
推导过程
二 空间曲线的切线与法平面
1 空间曲线 ?
切向量, ? ? ? ? ? ?? ?
0'00',',tttT ????
?
切线方程,
? ? ? ? ? ?0' 00' 00' 0 t
zz
t
yy
t
xx
???
?????
法平面方程：
? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? 000'00'00' ?????? zztyytxxt ???
? ?
? ?
? ???
?
?
?
?
?
?
tz
ty
tx
?
?
?
? ? 0 z,y,0000 ttxM ?
(Tangent and normal plane of space curve)
解：
2't't' 3z,2y,1 ttx t ????
在（ 1, 1, 1 ）点对应参数为 t = 1
? ?? 3,2,1 ??T
切线方程,3 12 11 1 ????? zyx
法平面方程,( x - 1)+2 ( y - 1 )+( z - 1 )=0
即,x + 2 y + 3 z = 6
例 1 求曲线 在点 处的
切线及法平面方程。
3,2,tztytx ??? )1,1,1(
2
切线方程：
? ? ? ?0' 00' 001 t
zz
t
yyxx
??
?????
? ?
? ???
?
?
?
xz
xy
?
?:? ? ? z,y,0000 xM
法平面方程,
? ? ? ?? ? ? ?? ? 000'00'0 ?????? zztyytxx ??
??
?
?
?
0) z,y,G ( x
0 ) z,y,x F(, 3 ? ? ? z,y,0000 xM
y
y
x
x
x
x
z
z
z
z
y
y
G
F
G
F
zz
G
F
G
F
yy
G
F
G
F
xx
000 ?????
切线方程：
? ? ? ? ? ? 0 000 ?????? zz
G
F
G
F
yy
G
F
G
F
xx
G
F
G
F
y
y
x
x
x
x
z
z
z
z
y
y
法平面方程,
例 2、求曲线 在点
（ 1, -2, 1）处的切线及法平面方程。
0,6222 ?????? zyxzyx
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?30163032
222222
1
2
1
2
,
1
2
1
2
,
1
2
1
2
121
121
,,,,
,,
,,
,,
????
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
yxxzzyT
yxxzzy
T
即：
解：
法平面方程,x - z = 0
切线方程：
1
1
0
2
1
1 ????
?
? zyx
1 设曲面方程为
0),,( ?zyxF
) },(),(),({ 000 tttT ??? ?????曲线在 M处的切向量
在曲面上任取一条通
过点 M的曲线
,
)(
)(
)(
:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
tz
ty
tx
?
?
?
三 曲面的切平面与法线
n? T?
M
(Tangent plane and normal line of surface)
)},,(),,,(),,,({ 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx??令
则,Tn ???
由于曲线是曲面上通过 M 的任意一
条曲线，它们在 M 的切线都与同一向量 n
?
垂直，故
曲面上通过 M 的一切曲线在点 M 的切线都在同一
平面上，这个平面称为曲面在点 M 的 切平面,
切平面方程为
0))(,,(
))(,,())(,,(
0000
00000000
???
???
zzzyxF
yyzyxFxxzyxF
z
yx
通过点 ),,( 000 zyxM 而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线,
法线方程为
),,(),,(),,( 000
0
000
0
000
0
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zyx
?????
)},,(),,,(),,,({ 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx??
曲面在 M处的法向量即
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量,
2 空间曲面方程形为 ),( yxfz ?
曲面在 M处的切平面方程为
,))(,())(,( 0000000 zzyyyxfxxyxf yx ?????
曲面在 M处的法线方程为
.1),(),( 0
00
0
00
0
?
????? zz
yxf
yy
yxf
xx
yx
,),(),,( zyxfzyxF ??令
))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx ?????
切平面
上点的
竖坐标
的增量
的全微分在点函数 ),(),( 00 yxyxfz ?
因为曲面在 M处的切平面方程为
3 全微分的几何意义
),( yxfz ? 在 ),( 00 yx 的全微分，表示曲
面 ),( yxfz ? 在点 ),,( 000 zyx 处的切平面
上的点的竖坐标的增量,
若 ?, ?, ? 表示曲面的法向量的方向角，
并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 z
轴的正向所成的角 ? 是锐角，则法向量的 方向
余弦 为
,
1
c o s
22
yx
x
ff
f
??
???
,
1
c o s
22
yx
y
ff
f
??
???
.
1
1c o s
22
yx ff ??
??
),( 00 yxff xx ?
),( 00 yxff yy ?
其中
解,632),,( 222 ???? zyxzyxF
)1,1,1()1,1,1( }6,4,2{ zyxn ?
? },6,4,2{?
切平面方程为,0)1(6)1(4)1(2 ?????? zyx
,032 ???? zyx
法线方程为
.6 14 12 1 ????? zyx
.处的切平面及法线方程( 1,1,1 ) 在点
632 面3 222 ??? zyx椭球求例
例 4 求曲面 32 ??? xyez z 在点 )0,2,1( 处的切
平面及法线方程,
解,32),,( ???? xyezzyxF z
,42 )0,2,1()0,2,1( ??? yF x,22 )0,2,1()0,2,1( ??? xF y
,01 )0,2,1()0,2,1( ???? zz eF
令
切平面方程
法线方程
,0)0(0)2(2)1(4 ??????? zyx
,042 ???? yx
.0 01 22 1 ????? zyx
解 设 为曲面上的切点,),,( 000 zyx
切平面方程为
0)(2)(4)(2 000000 ?????? zzzyyyxxx
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
,221412 000 zyx ???,42 000 zyx ????
,02
12 5 222
平行
的切平面，是其与平面求椭球面例
???
???
zyx
zyx
}2,4,2{ 000 zyxn ??法向量
因为 是曲面上的切点,),,( 000 zyx
,
11
2
0 ??? x
所求切点为
满足方程
),,118,221,112( ??
2
112 ???? zyx
切平面方程
1 空间曲线的切线与法平面
2 曲面的切平面与法线
四 小结
五 思考判断题
轴成定角。的切线与
螺旋线
Z
btz
tay
tax
?
?
?
?
?
?
?
?
s i n
c o s
