§ 1 级数的收敛性
§ 2 正项级数
§ 3 一般项级数
§ 1 级数的收敛性
1,计算圆的面积 R
正六边形的面积
正十二边形的面积
1a
21 aa ?
正 形的面积n23? naaa ??? ?21
naaaA ???? ?21即 ?? ??????
n10
3
1 0 0 0
3
1 0 0
3
10
3
3
1.2
一、问题的提出
1,无穷级数的定义
设有数列 {un}:u1,u2,…,un,…,则称表达示
?? ??????
?
?
n
n
n uuuu 21
1
为一个无穷级数，简称为级数, 其中,un称为级
数的一般项或通项,
?无穷级数的概念
若级数 ??
?1n
nu
的每一个项 un均为常数，则称该
级数为 常数项级数 ；若级数的每一项均为同一个
变量的函数 un = un(x),则称级数
)(
1
xu
n
n?
?
?
为 函数项
级数,
例 1,下列各式均为常数项级数； 21412121
1
?? ??????
?
?
n
n
n; 21
1
?? ??????
?
?
nn
n; )1(1111)1( 1
1
1 ?? ????????? ?
?
?
?? n
n
n
,c o s2c o s1c o sc o s
1
?? ??????
?
?
nn
n
例 2,下列各式均为函数项级数
,)1(1)1( 112
1
11 ?? ???????? ??
?
?
??? nn
n
nn xxxx,Rx?
,2210
0
?? ???????
?
?
n
n
n
n
n xaxaxaaxa
.1|| ?x
,s in2s ins ins in
1
?? ??????
?
?
nxxxnx
n
.Rx?
2,级数的敛散性定义
无穷级数 ??
?1n
nu
的前 n项之和：
,21
1
n
n
k
kn uuuuS ????? ?
?
?
称为级数的部分和,
若
SS nn ???lim
存在，则称级数 ??
?1n
nu
收敛，
S称为级数的和,.
1
Su
n
n ??
?
?
若
nn S??lim
不存在 (包括为 ?)，则称级数 ??
?1n
nu
发散,
观察雪花分形过程
第一次分叉：;
9
1
3
,
3
4
112
12
AAA
PP
????
?
面积为
周长为
依次类推;
4
3
,3
1
1
?
?
A
P
面积为
周长为
设三角形
播放
?,2,1)34( 11 ?? ? nPP nn
]})91[(4{3 1121 AAA nnnn ??? ??
1
12
1
2
11 )9
1(43)
9
1(43
9
13 AAAA nn ?? ?????????? ?
?,3,2?n
周长为
面积为
]})94(31)94(31)94(3131[1{ 221 ??????? nA ?
第 次分叉,n
于是有
???? nn Plim )
9
4
1
3
1
1(lim 1
?
??
??
AA n
n,
5
32)
5
31(
1 ??? A
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
雪花的面积存在极限（收敛）．
例 3,讨论等比级数 的敛散性,??
?
?
1
1
n
nar
解, 等比级数的部分和为：
.1 )1(1
1
1
1
r
ra
r
raraarS nnn
k
k
n ?
??
?
???? ?
?
??
当公比 | r |<1时，
,11 )1(limlim rarraS
n
nnn ?
????
????
即
.1 raS ??
当公比 | r |>1时，
.1 )1(limlim ?????
???? r
raS n
nnn
当公比 r =1时,???
???? naS nnn l i ml i m
当公比 r = ?1时,Sn=
a,n为奇数
0,n为偶数
,故 不存在,
nn S??lim
综上所述，当公比 | r |<1时,等比级数收敛；
当公比 | r |?1时，等比级数发散,
例 4,讨论级数 的敛散性,??
? ??1 )12)(12(
1
n nn
解,?
??
?
??
?
?????? 12
1
12
1
2
1
)12)(12(
1
nnnn
??
?
??
?
???????
?
??
? ??
??
?
??
? ??
??
?
??
? ???
12
1
12
1
2
1
7
1
5
1
2
1
5
1
3
1
2
1
3
11
2
1
nnS n ?
??
?
??
?
??? 12
11
2
1
n
而
2
1
12
11
2
1limlim ?
??
?
??
?
??? ???? nS nnn
故,即该级数收敛,
2
1
)12)(12(
1
1
????
?
?n nn
3,收敛级数的余项
收敛级数
称为收敛级数的余项，记为
??
?1n
nu
的和 S与其部分和 Sn的差 S?Sn
?
?
??
???
1nm
mnn uSSr
显然,0lim ?
?? nn r
二、级数收敛的必要条件
定理, 若级数 ??
?1n
nu
收敛，则必有,0lim ?
?? nn u
证 设
SSSu n
nn n
??
??
?
?
? lim,
1
则
)(l i ml i m 1????? ?? nnnnn SSu
1limlim ????? ?? nnnn SS
0??? SS
例 5,判别 的敛散性,??
?
?
??1
1
1)1(n
n
n
n
解, 由于
,1
1
)1(lim||lim 1 ?
?
?? ?
???? n
nu n
nnn
故 该级数发散,
,0lim ??? nn u
例 6,证明调和级数 是发散的,??
?1
1
n n
证 调和级数的部分和有：
,11 ?S
，211122 ??? SS
，221212114131211224 ????
?
?
??
? ??
??
?
??
? ??
??
?
??
? ??? SS
328 SS ?
2
31??
2
1
2
1
2
11
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11 ?
??
?
??
? ???
??
?
??
? ????
??
?
??
? ?
?
??
?
? ????
由数学归纳法，得
，212 kS k ??
k=0,1,2,?
而
????
?
?
??
? ??
?????? 2
1li mli m 2 kS
kk k
故
nn S??lim
不存在，即调和级数发散,
若 c?0为常数，则
?
?
? 1n
nu 与 ?
?
? 1n
ncu
有相同的敛散性，
且,
11
?? ?
?
?
?
?
n
n
n
n uccu
三、无穷级数的性质
性质 1
证 ??
?1n
nu
的部分和为
，?
?
?
n
k
kn uS
1
??
?1n
ncu
的部分和为
,
11
n
n
k
k
n
k
kn cSuccuS ???? ??
??
故
nnnnnn SccSS ?????? ??? l i ml i ml i m
从而 同时收敛或同时发散,?? ?
?
?
?
?
11 n
n
n
n uccu
若
收敛，与 ??
?
?
?
? 11 n
n
n
n vu
其和分别为 S1和 S2,则级
数
,)(
1
也收敛?
?
?
?
n
nn vu
且
.)( 21
111
SSvuvu
n
n
n
n
n
nn ????? ???
?
?
?
?
?
?
性质 2
证
?
?
?
?
1
)(
n
nn vu
的部分和为：
)()()()( 2211
1
nn
n
k
kkn vuvuvuvuS ?????????? ?
?
?
nnnn SSvvvuuu 212121 )()( ?????????? ??
故
212121 limlim)(limlim SSSSSSS nnnnnnnnn ??????? ????????
即 级数 ??
?
?
1
)(
n
nn vu
收敛，且
.)( 21
111
SSvuvu
n
n
n
n
n
nn ????? ???
?
?
?
?
?
?
例 7,因为等比级数
收敛，与 ??
?
?
?
? 11 3
1
2
1
n
n
n
n
所以级数
.3121
1
也收敛?
?
?
??
?
??
? ?
n
nn
例 8,问题 (1) 一个收敛级数与一个发散级数的和
是收敛的还是发散的？
答,是发散的,
问题 (2) 两个发散的级数之和是收敛的还是发
散的？
答, 不一定,
在一个级数的前面加上或者去掉有限项后，
所得到的新的级数与原级数的敛散性相同, (但对
收敛级数来说，它的和将改变,)
性质 3
证 设级数 ??
?1n
nu
的部分和为 Sn,去掉级数的前
面 m项后得到的级数 ??
?? 1mk
ku
的部分和为 S 'k:
kmmmk uuuS ??? ???? ?21'
)(
)(
21
2121
m
kmmmm
uuu
uuuuuu
????
???????? ???
?
??
mkm SS ?? ?
由于 Sm当 m固定时为一常数，所以
mkmkkk SSS ??? ??????? limlim
故 级数 ??
?1n
nu
与级数
.
1
有相同的敛散性?
?
?? mk
ku
对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍然
收敛，且其和不变,
性质 4
例 9,考虑一下几个问题：
(1) 收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？
答, 不一定,
(2) 发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？
答, 不一定发散,
(3) 如果加括号后的级数仍发散，原级数是否也
发散？
答, 原级数也发散,
级数收敛,0lim ?? ?? nn u
证明 ?
?
?
?
1n
nus?,1??? nnn ssu则
1l i ml i ml i m ??????? ??? nnnnnn ssuss??,0?
即趋于零它的一般项无限增大时当,,nun
四、级数收敛的必要条件：
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散 ;
?? ??????? ? 1)1(433221 1 n nn例如 发散
2.必要条件不充分,
,0lim 但级数是否收敛有 ??? nn u
?? ????? n131211例如调和级数
讨论
nnnss nn 2
1
2
1
1
1
2 ??????? ??,2
1
2 ?? n
n
.,s其和为假设调和级数收敛
)l i m ( 2 nn
n
ss ?
??
于是 ss??,0?
.级数发散?
)(210 ??? n便有,这是不可能的
???
?
???
?
?
?
??
???????????
?
)
2
1
22
1
12
1
(
)
16
1
10
1
9
1
()
8
1
7
1
6
1
5
1
()
4
1
3
1
()
2
1
1(
1mmm
8项4项2项 2项
项m2
2
1每项均大于
2
1)1(1 ?? mm 项大于即前
.级数发散?
由性质 4推论,调和级数发散,
五、小结
1,由定义,若 ss n ?,则级数收敛 ;
2,当 0lim ?
?? nn
u,则级数发散 ;
3,按基本性质,
常数项级数的基本概念
基本审敛法
思考题
设 ?
?
? 1n
n
b 与 ?
?
? 1n
n
c 都收敛，且
nnn
cab ??
),2,1( ??n,能否推出 ?
?
? 1n
n
a 收敛？
思考题解答
能,由柯西审敛原理即知．
一,填空题,
1, 若
n
n
a
n
242
)12(31
?
?
?
??
?,则 ?
?
5
1n
n
a = ___ __ ___ __ __ ；
2, 若
n
n
n
n
a
!
?,则 ?
?
5
1n
n
a = ___ __ ___ __ ___ __ __ ___ __ ；
3, 若级数为 ??
??
?
?
?
642422
xxxx
则 ?
n
a __ __ ___ ；
4, 若级数为 ?????
9753
5432
aaaa
则
?
n
a
__ __ ___ _ ；
5, 若级数为 ???????
6
1
5
4
1
3
2
1
1 则当 ?n ____ _
时
?
n
a
___ __ ；当
?n
__ ___ _ 时
?
n
a
___ ___ __ ；
6, 等比级数 ?
?
? 0n
n
aq,当 _ __ __ 时收敛；当 __ __ 时发散,
练习题
三、由定义判别级数
?? ?
??
??
?
?
?
?
? )12)(12(
1
75
1
53
1
31
1
nn
的收敛性,
四、判别下列级数的收敛性,
1, ?? ?????
n3
1
9
1
6
1
3
1；
2, ?? ????????? )
3
1
2
1
()
3
1
2
1
()
3
1
2
1
()
3
1
2
1
(
3322 nn；
3, ?? ???????
n
n
10
1
2
1
20
1
4
1
10
1
2
1
,
五、利用柯西收敛原理判别级数
???????
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1 的敛散性,
练习题答案
一,1,
108642
97531
8642
7531
642
531
42
21
2
1
????
????
?
???
???
?
??
??
?
?
?
? ；
2,
54321
5
!5
4
!4
3
!3
2
!2
1
!1
???? ；
3,
)2(642
2
n
x
n
???? ?； 4,
12
)1(
1
1
?
?
?
?
n
a
n
n；
5,
k
kkk
2
1
,2,12.12 ?? ； 6, 1,1 ?? qq,
三、收敛, 四,1,发散； 2,收敛；
3,发散,[ ?
?
??
n
k
kn
k
s
1
2
)
10
1
2
1
( ],
五、发散, [ 取
np 2?
]
§ 2 正项级数
正项级数及其审敛法
1.定义,,中各项均有如果级数 0
1
??
?
?
n
n
n uu
这种级数称为正项级数,
?? ???? nsss 212.正项级数收敛的充要条件,
定理
.有界部分和所成的数列正项级数收敛 ns?
部分和数列 为单调增加数列,}{ ns
且 ),2,1( ??? nvu
nn
,若 ?
?
? 1n
n
v 收敛,则 ?
?
? 1n
n
u 收敛；
反之，若 ?
?
? 1n
n
u 发散，则 ?
?
? 1n
n
v 发散,
证明
nn uuus ???? ?21且
??
?
??
1
)1(
n
nv设,nn vu ??
,??
即部分和数列有界,
1
收敛?
?
?
?
n
nu
均为正项级数，和设 ??
?
?
?
? 11 n
n
n
n vu3.比较审敛法
nvvv ???? ?2
nn s??则
)()2( ???? ns n设,nn vu ?且
?? 不是有界数列
.
1
发散?
?
?
?
n
nv
推论, 若 ?
?
? 1n
n
u 收敛 ( 发散 )
且 ))((
nnnn
vkuNnkuv ???,
则 ?
?
? 1n
nv 收敛 ( 发散 ).
定理证毕,
比较审敛法的不便, 须有参考级数,
例 1 讨论 P- 级数
?? ??????
pppp n
1
4
1
3
1
2
1
1 的收敛性, )0( ?p
解,1?p设,11 nn p ??,级数发散则 ?P
,1?p设
o
y
x
)1(1 ?? pxy p
1 2 3 4
由图可知 ? ?? nn pp xdxn 11
pppn ns
1
3
1
2
11 ????? ?
?? ????? nn pp xdxxdx 1211 ?
??? n pxdx11 )11(111 1????? pnp 111 ??? p
,有界即 ns,级数收敛则 ?P
?
?
?
?
??
发散时当
收敛时当级数
,1
,1
p
pP
重要参考级数, 几何级数,P-级数,调和级数,
例 2 证明级数 ?
?
? ?1 )1(
1
n nn
是发散的,
证明,11)1( 1 ??? nnn?
,11
1
??
? ?n n
发散而级数
.)1( 1
1
??
? ?
?
n nn
发散级数
4.比较审敛法的极限形式,
设 ?
?
?1n
nu 与 ?
?
?1n
nv 都是正项级数,如果
则 (1) 当 时,二级数有相同的敛散性 ;
(2) 当 时，若 收敛,则 收敛 ;
(3) 当 时,若 ?
?
?1n
nv 发散,则 ?
?
?1n
nu 发散 ;
,l i m lvu
n
n
n
?
??
???? l0
0?l
???l
?
?
?1n
nv ?
?
?1n
nu
证明 lvu
n
n
n
?
??
l i m)1( 由,0
2 ??
l?对于
,N?,时当 Nn ? 22
ll
v
ull
n
n ????
)(232 Nnvluvl nnn ???即
由比较审敛法的推论,得证,
设 ?
?
? 1n
nu 为正项级数,
如果 0lim ??
??
lnu n
n
( 或 ??
??
n
n
nulim ),
则级数 ?
?
? 1n
nu 发散 ;
如果有 1?p,使得 n
p
n
un
??
l i m 存在,
则级数 ?
?
? 1n
nu 收敛,
5,极限审敛法：
例 3 判定下列级数的敛散性,
(1 ) ?
?
? 1
1
s i n
n n; (2 ) ?
?
? ?1 3
1
n
n n;
解 )1(
n
n
n
n
3
1
3
1
l i m ?
??
? n
n
n 1
1
s i n
l i m
??
?
,1? 原级数发散,
)2(
nnn
1s i nl i m
??
?
n
n n
3
1
1
l i m
?
?
??,1?
,31
1
收敛?
?
?n
n? 故原级数收敛,
6,比值审敛法 ( 达朗贝尔 D ’ A l e m b e r t 判别法 ),
设 ?
?
? 1n
nu 是正项级数,如果 )(l i m
1 ??????
??
数或
n
n
n u
u
则 1?? 时级数收敛 ; 1?? 时级数发散 ; 1?? 时失效,
证明,为有限数时当 ?,0???对
,N?,时当 Nn ?,1 ?????
n
n
u
u有
)(1 Nnuu
n
n ????? ? ????即
,1时当 ??
,1时当 ??
,1 ????取,1?????r使
,11 ??? ? NmmN uru
,12 ?? ? NN ruu,1223 ??? ?? NNN urruu,?
,
1
1
1??
?
?
?
m
N
m ur 收敛而级数
,
11
收敛?? ?
??
?
?
? ??
Nn
u
m
mN uu 收敛
,1?? ??取,1??? ??r使
,时当 Nn ?,1 nnn uruu ???,0lim ??? nn u 发散
比值审敛法的优点, 不必找参考级数,
两点注意,
1,当 1?? 时比值审敛法失效 ;
,1
1
发散级数例 ?
?
?n n
,1
1
2 收敛级数 ?
?
?n n
)1( ?
??
? ?
,232 )1(2 nnn
n
n vu ??
????例
,2 )1(2
11
收敛级数 ??
?
?
?
?
????
n
n
n
n
nu
,))1(2(2 )1(2
1
1
nn
n
n
n a
u
u ?
??
??? ??但,
6
1l i m
2 ??? nn a
,23l i m 12 ??
?? nn
a,l i ml i m 1 不存在n
nn
n
n
auu
??
?
??
??
2,条件是充分的,而非必要,
例 4 判别下列级数的收敛性,
(1 ) ?
?
? 1 !
1
n n; (2 ) ?
?
? 1 10
!
n
n
n; (3 ) ?
?
? ??1 2)12(
1
n nn
.
解 )1(
!
1
)!1(
1
1
n
n
u
u
n
n ????
1
1
?? n ),(0 ??? n
.!1
1
收敛故级数 ?
?
?n n
),( ???? n)2( !
10
10
)!1(
1
1
n
n
u
u n
n
n
n ???
?
??
10
1?? n
.10 !
1
发散故级数 ?
?
?n
n
n
)3( )22()12(
2)12(limlim 1
???
???
??
?
?? nn
nn
u
u
nn
n
n
?,1?
比值审敛法失效,改用比较审敛法
,12)12( 1 2nnn ????,1
1
2 收敛级数 ?
?
?n n
?
.)12(2 1
1
收敛故级数 ?
?
? ??n nn
7,根值审敛法 ( 柯西判别法 ),设 ?
?
? 1n
nu 是正项级数,如果 ??
??
n
n
n
ulim
)( ??为数或?,
则 1?? 时级数收敛 ;
,1,
1
??
?n
nn设级数例如
n nn n
nu
1??
n
1? )(0 ??? n 级数收敛,
1?? 时级数发散 ; 1?? 时失效,
思考题
设正项级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛,能否推得 ?
?
? 1
2
n
n
u 收敛?
反之是否成立?
思考题解答
由正项级数 ?
?
? 1n
nu 收敛，可以推得 ?
?
? 1
2
n
nu 收敛,
n
n
n u
u 2lim
??
?
nn u??? lim 0?
由比较审敛法知 收敛,?
?
?1
2
n
nu
反之不成立, 例如,?
?
?1
2
1
n n
收敛,?
?
?1
1
n n
发散,
一,填空题,
1, ?p 级数当 __ __ __ _ 时收敛,当 __ __ __ _ 时发散；
2,若正项级数 ?
?
? 1n
n
u 的后项与前项之比值的根 ?等于,
则当 _ __ _ __ __ 时级数收敛； __ __ __ _ _ 时级数发散；
__ __ __ __ _ __ _ 时级数可能收敛也可能发散,
二,用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛
性,
1, ?? ?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
222
1
1
31
31
21
21
1
n
n；
2, )0(
1
1
1
?
?
?
?
?
a
an
n
,
练 习 题
三,用比值审敛法判别下列级数的收敛性,
1, ?? ?
?
??
?
?
?
?
?
n
n
n 2
3
23
3
22
3
21
3
3
3
2
2； 2, ?
?
?
?
1
!2
n
n
n
n
n
.
四,用根值审敛法判别下列级数的收敛性,
1, ?
?
?
?
1
)]1[l n (
1
n
n
n； 2,
12
1
)
13
(
?
?
?
?
?
n
n
n
n
.
五,判别下列级数的收敛性,
1, ?? ?
?
???
n
n 1
2
3
2 ；
2, ?
?
? 1
3
s i n2
n
n
n
?； 3, )0(
)
1
(
)2l n (
1
?
?
?
?
?
?
a
n
a
n
n n
.
练习题答案
一,1, 1,1 ?? pp ；
2, 1),l i m(1,1
1
?????
?
??
???
n
n
n u
u
或,
二,1,发散； 2,发散,
三,1,发散； 2,收敛,
四,1,收敛； 2,收敛,
五,1,发散； 2,收敛； 3,
?
?
?
?
?
?
??
?
.,1;,10;,1
发散
发散
收敛
a
a
a
§ 3 一般项级数
任意项级数的敛散性
1,交错级数及其敛散性
交错级数是各项正负相间的一种级数，它的
一般形式为
?? ??????? ? nn uuuuu 14321 )1(
或 ?? ????????
nn uuuuu )1(4321
其中,un?0 (n=1,2,…)
定理 (莱布尼兹判别法 ) 若交错级数 ??
?
??
1
1)1(
n
n
n u
满足条件
(1)
(2) un?un+1 (n=1,2,…)
则交错级数收敛，且其和 S的值小于 u1.
0lim ??? nn u
(级数收敛的必要条件 )
证 只需证明级数部分和 Sn当 n??时的极限存在,
1) 取交错级前 2m项之和
mmm uuuuuuS 21243212 ??????? ??
)()()( 2124321 mm uuuuuu ??????? ??
由条件 (2),un?un+1,un?0,得 S2m?以及
121222543212 )()()( uuuuuuuuuS mmmm ?????????? ???
由极限存在准则：
.l i m 12 uSSS mm ???? 存在，且
2) 取交错级数的前 2m+1项之和
12212212432112 ???? ?????????? mmmmmm uSuuuuuuuS ?
由条件 1):
故,0lim ??? nn u
SuSuSS mmmmmmmmm ????? ??????????? 12212212 l i ml i m)(l i ml i m
综上所述，有
.lim 1uSSS nn ????,且
例 1,讨论级数 ??
?
??
1
1)1(
n
n
n
的敛散性,
解, 这是一个交错级数，
，nu n 1?
又
，01limlim ??
???? n
u
nnn
，1111 ????? nn unnu
由莱布尼兹判别法，该级数是收敛,
例 2,判别级数 ??
?
?
2 ln
)1(
n
p
n
nn
的敛散性,
解, 这是一个交错级数，
又
，nnu pn ln1?
，0ln 1limlim ??
???? nn
u p
nnn
令
，xxxf pln1)( ?
x?[2,+?),则
，0ln lnln)( 22
1
?????
?
xx
xpxxf
p
pp x?[2,+?)，
故 f (x)? [2,+?),即有 un?un+1成立，由莱布尼兹判
别法，该级数收敛,
例 3 判别级数 ?
?
? ?
?
2 1
)1(
n
n
n
n
的收敛性,
解 2)1(2
)1()
1( ?
????
? xx
x
x
x?
)2(0 ?? x
,1 单调递减故函数 ?x x,1??? nn uu
1limlim ?? ???? n
nu
nnn
又,0? 原级数收敛,
2,任意项级数及其敛散性
(1) 级数的绝对敛和条件收敛
定义,若级数
收敛,||
1
??
?n
nu 是绝则称原级数 ||
1
??
?n
nu
对收敛的；若级数
,
1
是条件收敛的则称原级数 ?
?
?n
nu
但级数
收敛,
1
??
?n
nu 发散,||
1
??
?n
nu
定理,若
收敛,||
1
??
?n
nu,
1
收敛必则 ?
?
?n
nu
(即绝对收敛的级数必定收敛 )
证, ? un ? |un|
? ||2||0
nnn uuu ???
收敛，已知 ||
1
??
?n
nu 收敛，故 )||(
1
?
?
?
?
n
nn uu
从而
,]||)||([
11
收敛??
?
?
?
?
???
n
nnn
n
n uuuu
上定理的作用：
任意项级数 正项级数
定义, 若 ?
?
? 1n
nu 收敛,则称 ?
?
? 1n
nu 为绝对收敛 ;
若 ?
?
? 1n
nu 发散,而 ?
?
? 1n
nu 收敛,则称 ?
?
? 1n
nu 为条件收敛,
例 4 判别级数 ?
?
? 1
2
s i n
n n
n
的收敛性,
解,
1s i n
22 nn
n ??,1
1
2 收敛而 ?
?
? n
,s in
1
2?
?
?
?
n n
n 收敛
故由定理知原级数绝对收敛,
定理 (达朗贝尔判别法 ) 设有级数,
1
??
?n
nu
若
存在，则???
?? ||
||lim 1
n
n
n u
u
(1) ?<1时,级数绝对收敛；
(2) ?>1 (包括 ?= ??)时，级数发散；
(3) ?=1时，不能由此断定级数的敛散性,
例 5,判别级数 ??
?1
2
5
sin
n n
n? 的敛散性,
解：
22
15
s i n
||
nn
n
u n ??
?
由 P一级数的敛散性，
收敛，?
?
?1
2
1
n n
收敛，故 ||
1
?
?
?n
nu
即原级数绝对收敛,
例 6,判别 ??
? ?1 1n
n
n
x
x 的敛散性，其中,x??1为常数,
解, 记
n
n
n x
xu
?? 1
|)1(|
|)1(|l i m
||
||l i m
1
1
1
?
?
??
?
?? ?
??
nn
nn
nn
n
n xx
xx
u
u
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?? 1||,1
1||,||
1
lim 1
1
x
xx
x
xx
n
n
n
当 |x|<1时,?=|x|<1,原级数绝对收敛,
当 |x|>1时,?=1,此时不能判断其敛散性,
由达朗贝尔判别法：
但 |x|>1时，
，01
1
lim||lim ??
?
?
???? n
n
nnn x
xu
从而，原级数发散,
例 6,级数
?
?
?
?
??1
1
)1ln (
1)1(
n
n
n
是否绝对收敛?
1
1
)1l n (
1
)1l n (
1)1( 1
??????
?
nnn
n
解：
由调和级数的发散性可知，
发散，?
?
? ?1 1
1
n n
故
?
?
?
?
??1
1
)1ln (
1)1(
n
n
n
发散,
但原级数是一个收敛的交错级数：
，)1ln ( 1 ?? nu n
故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的,
(2) 绝对收敛级数的性质
性质 1,任意交换绝对敛级数中各项的位置，其
敛散性不变，其和也不变,
性质 2,两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对
收敛的级数，且其和等于原来两个级数的和之积,
(3) 任意项级数敛散性的一个判别法
定理 (迪利赫勒判别法 ) 设有级数,
1
??
?n
nn vu
任意的 n ? 1,有 un ? un+1,且；0lim ??? nn u
又
，Mv
n
k
k ??
?
||
1
n=1,2,…,M > 0为与 n无关的常数，则级数
若对
?
?
?1n
nn vu
收敛,
例 8,判别级数 ??
?1
c o s
n n
nx 的敛散性,其中,x?2k?,k?Z.
解, 记,
nu n
1? vn=cosnx,则
11
11
????? nn unnu
n=1,2,…,
01limlim ??
???? n
u
nnn
又
，kxxxkxk c o s2s i n2)21s i n ()21s i n ( ????
而 x?2k?,k?Z，
于是
，02s in ?x
且,
2
s in2
2
1
s in)
2
1
s in (
c o s
1
x
xxn
kx
n
k
??
??
?
故
M
x
kxv
n
k
n
k
k ??? ??
?? |
2
s i n|
1|c o s|||
11
又迪利赫勒判别法，级数
??
?1
c o s
n n
nx (x?2k?,k?Z)收敛,
小结
正 项 级 数 任意项级数
审
敛
法
1.
2.
4.充要条件
5.比较法
6.比值法
7.根值法
4.绝对收敛
5.交错级数
(莱布尼茨定理 )
3,按基本性质 ;;,则级数收敛若 SS n ?;,0,则级数发散当 ??? nun
一,别下列级数是否收敛? 如果是收敛的,是绝对收敛
还是条件收敛?
1, ?
?
?
?
?
?
1
1
1
3
)1(
n
n
n
n；
2, ?????
5ln
1
4ln
1
3ln
1
2ln
1；
3, ?
?
?
?
?
2
ln
)1(
n
n
nn
,
二、若
n
n
un
2
l i m
???
存在,证明, 级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛,
三、证明, 0
!
lim
3
?
??
n
n
n
an
b
,
§ 2 正项级数
§ 3 一般项级数
§ 1 级数的收敛性
1,计算圆的面积 R
正六边形的面积
正十二边形的面积
1a
21 aa ?
正 形的面积n23? naaa ??? ?21
naaaA ???? ?21即 ?? ??????
n10
3
1 0 0 0
3
1 0 0
3
10
3
3
1.2
一、问题的提出
1,无穷级数的定义
设有数列 {un}:u1,u2,…,un,…,则称表达示
?? ??????
?
?
n
n
n uuuu 21
1
为一个无穷级数，简称为级数, 其中,un称为级
数的一般项或通项,
?无穷级数的概念
若级数 ??
?1n
nu
的每一个项 un均为常数，则称该
级数为 常数项级数 ；若级数的每一项均为同一个
变量的函数 un = un(x),则称级数
)(
1
xu
n
n?
?
?
为 函数项
级数,
例 1,下列各式均为常数项级数； 21412121
1
?? ??????
?
?
n
n
n; 21
1
?? ??????
?
?
nn
n; )1(1111)1( 1
1
1 ?? ????????? ?
?
?
?? n
n
n
,c o s2c o s1c o sc o s
1
?? ??????
?
?
nn
n
例 2,下列各式均为函数项级数
,)1(1)1( 112
1
11 ?? ???????? ??
?
?
??? nn
n
nn xxxx,Rx?
,2210
0
?? ???????
?
?
n
n
n
n
n xaxaxaaxa
.1|| ?x
,s in2s ins ins in
1
?? ??????
?
?
nxxxnx
n
.Rx?
2,级数的敛散性定义
无穷级数 ??
?1n
nu
的前 n项之和：
,21
1
n
n
k
kn uuuuS ????? ?
?
?
称为级数的部分和,
若
SS nn ???lim
存在，则称级数 ??
?1n
nu
收敛，
S称为级数的和,.
1
Su
n
n ??
?
?
若
nn S??lim
不存在 (包括为 ?)，则称级数 ??
?1n
nu
发散,
观察雪花分形过程
第一次分叉：;
9
1
3
,
3
4
112
12
AAA
PP
????
?
面积为
周长为
依次类推;
4
3
,3
1
1
?
?
A
P
面积为
周长为
设三角形
播放
?,2,1)34( 11 ?? ? nPP nn
]})91[(4{3 1121 AAA nnnn ??? ??
1
12
1
2
11 )9
1(43)
9
1(43
9
13 AAAA nn ?? ?????????? ?
?,3,2?n
周长为
面积为
]})94(31)94(31)94(3131[1{ 221 ??????? nA ?
第 次分叉,n
于是有
???? nn Plim )
9
4
1
3
1
1(lim 1
?
??
??
AA n
n,
5
32)
5
31(
1 ??? A
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
雪花的面积存在极限（收敛）．
例 3,讨论等比级数 的敛散性,??
?
?
1
1
n
nar
解, 等比级数的部分和为：
.1 )1(1
1
1
1
r
ra
r
raraarS nnn
k
k
n ?
??
?
???? ?
?
??
当公比 | r |<1时，
,11 )1(limlim rarraS
n
nnn ?
????
????
即
.1 raS ??
当公比 | r |>1时，
.1 )1(limlim ?????
???? r
raS n
nnn
当公比 r =1时,???
???? naS nnn l i ml i m
当公比 r = ?1时,Sn=
a,n为奇数
0,n为偶数
,故 不存在,
nn S??lim
综上所述，当公比 | r |<1时,等比级数收敛；
当公比 | r |?1时，等比级数发散,
例 4,讨论级数 的敛散性,??
? ??1 )12)(12(
1
n nn
解,?
??
?
??
?
?????? 12
1
12
1
2
1
)12)(12(
1
nnnn
??
?
??
?
???????
?
??
? ??
??
?
??
? ??
??
?
??
? ???
12
1
12
1
2
1
7
1
5
1
2
1
5
1
3
1
2
1
3
11
2
1
nnS n ?
??
?
??
?
??? 12
11
2
1
n
而
2
1
12
11
2
1limlim ?
??
?
??
?
??? ???? nS nnn
故,即该级数收敛,
2
1
)12)(12(
1
1
????
?
?n nn
3,收敛级数的余项
收敛级数
称为收敛级数的余项，记为
??
?1n
nu
的和 S与其部分和 Sn的差 S?Sn
?
?
??
???
1nm
mnn uSSr
显然,0lim ?
?? nn r
二、级数收敛的必要条件
定理, 若级数 ??
?1n
nu
收敛，则必有,0lim ?
?? nn u
证 设
SSSu n
nn n
??
??
?
?
? lim,
1
则
)(l i ml i m 1????? ?? nnnnn SSu
1limlim ????? ?? nnnn SS
0??? SS
例 5,判别 的敛散性,??
?
?
??1
1
1)1(n
n
n
n
解, 由于
,1
1
)1(lim||lim 1 ?
?
?? ?
???? n
nu n
nnn
故 该级数发散,
,0lim ??? nn u
例 6,证明调和级数 是发散的,??
?1
1
n n
证 调和级数的部分和有：
,11 ?S
，211122 ??? SS
，221212114131211224 ????
?
?
??
? ??
??
?
??
? ??
??
?
??
? ??? SS
328 SS ?
2
31??
2
1
2
1
2
11
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11 ?
??
?
??
? ???
??
?
??
? ????
??
?
??
? ?
?
??
?
? ????
由数学归纳法，得
，212 kS k ??
k=0,1,2,?
而
????
?
?
??
? ??
?????? 2
1li mli m 2 kS
kk k
故
nn S??lim
不存在，即调和级数发散,
若 c?0为常数，则
?
?
? 1n
nu 与 ?
?
? 1n
ncu
有相同的敛散性，
且,
11
?? ?
?
?
?
?
n
n
n
n uccu
三、无穷级数的性质
性质 1
证 ??
?1n
nu
的部分和为
，?
?
?
n
k
kn uS
1
??
?1n
ncu
的部分和为
,
11
n
n
k
k
n
k
kn cSuccuS ???? ??
??
故
nnnnnn SccSS ?????? ??? l i ml i ml i m
从而 同时收敛或同时发散,?? ?
?
?
?
?
11 n
n
n
n uccu
若
收敛，与 ??
?
?
?
? 11 n
n
n
n vu
其和分别为 S1和 S2,则级
数
,)(
1
也收敛?
?
?
?
n
nn vu
且
.)( 21
111
SSvuvu
n
n
n
n
n
nn ????? ???
?
?
?
?
?
?
性质 2
证
?
?
?
?
1
)(
n
nn vu
的部分和为：
)()()()( 2211
1
nn
n
k
kkn vuvuvuvuS ?????????? ?
?
?
nnnn SSvvvuuu 212121 )()( ?????????? ??
故
212121 limlim)(limlim SSSSSSS nnnnnnnnn ??????? ????????
即 级数 ??
?
?
1
)(
n
nn vu
收敛，且
.)( 21
111
SSvuvu
n
n
n
n
n
nn ????? ???
?
?
?
?
?
?
例 7,因为等比级数
收敛，与 ??
?
?
?
? 11 3
1
2
1
n
n
n
n
所以级数
.3121
1
也收敛?
?
?
??
?
??
? ?
n
nn
例 8,问题 (1) 一个收敛级数与一个发散级数的和
是收敛的还是发散的？
答,是发散的,
问题 (2) 两个发散的级数之和是收敛的还是发
散的？
答, 不一定,
在一个级数的前面加上或者去掉有限项后，
所得到的新的级数与原级数的敛散性相同, (但对
收敛级数来说，它的和将改变,)
性质 3
证 设级数 ??
?1n
nu
的部分和为 Sn,去掉级数的前
面 m项后得到的级数 ??
?? 1mk
ku
的部分和为 S 'k:
kmmmk uuuS ??? ???? ?21'
)(
)(
21
2121
m
kmmmm
uuu
uuuuuu
????
???????? ???
?
??
mkm SS ?? ?
由于 Sm当 m固定时为一常数，所以
mkmkkk SSS ??? ??????? limlim
故 级数 ??
?1n
nu
与级数
.
1
有相同的敛散性?
?
?? mk
ku
对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍然
收敛，且其和不变,
性质 4
例 9,考虑一下几个问题：
(1) 收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？
答, 不一定,
(2) 发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？
答, 不一定发散,
(3) 如果加括号后的级数仍发散，原级数是否也
发散？
答, 原级数也发散,
级数收敛,0lim ?? ?? nn u
证明 ?
?
?
?
1n
nus?,1??? nnn ssu则
1l i ml i ml i m ??????? ??? nnnnnn ssuss??,0?
即趋于零它的一般项无限增大时当,,nun
四、级数收敛的必要条件：
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散 ;
?? ??????? ? 1)1(433221 1 n nn例如 发散
2.必要条件不充分,
,0lim 但级数是否收敛有 ??? nn u
?? ????? n131211例如调和级数
讨论
nnnss nn 2
1
2
1
1
1
2 ??????? ??,2
1
2 ?? n
n
.,s其和为假设调和级数收敛
)l i m ( 2 nn
n
ss ?
??
于是 ss??,0?
.级数发散?
)(210 ??? n便有,这是不可能的
???
?
???
?
?
?
??
???????????
?
)
2
1
22
1
12
1
(
)
16
1
10
1
9
1
()
8
1
7
1
6
1
5
1
()
4
1
3
1
()
2
1
1(
1mmm
8项4项2项 2项
项m2
2
1每项均大于
2
1)1(1 ?? mm 项大于即前
.级数发散?
由性质 4推论,调和级数发散,
五、小结
1,由定义,若 ss n ?,则级数收敛 ;
2,当 0lim ?
?? nn
u,则级数发散 ;
3,按基本性质,
常数项级数的基本概念
基本审敛法
思考题
设 ?
?
? 1n
n
b 与 ?
?
? 1n
n
c 都收敛，且
nnn
cab ??
),2,1( ??n,能否推出 ?
?
? 1n
n
a 收敛？
思考题解答
能,由柯西审敛原理即知．
一,填空题,
1, 若
n
n
a
n
242
)12(31
?
?
?
??
?,则 ?
?
5
1n
n
a = ___ __ ___ __ __ ；
2, 若
n
n
n
n
a
!
?,则 ?
?
5
1n
n
a = ___ __ ___ __ ___ __ __ ___ __ ；
3, 若级数为 ??
??
?
?
?
642422
xxxx
则 ?
n
a __ __ ___ ；
4, 若级数为 ?????
9753
5432
aaaa
则
?
n
a
__ __ ___ _ ；
5, 若级数为 ???????
6
1
5
4
1
3
2
1
1 则当 ?n ____ _
时
?
n
a
___ __ ；当
?n
__ ___ _ 时
?
n
a
___ ___ __ ；
6, 等比级数 ?
?
? 0n
n
aq,当 _ __ __ 时收敛；当 __ __ 时发散,
练习题
三、由定义判别级数
?? ?
??
??
?
?
?
?
? )12)(12(
1
75
1
53
1
31
1
nn
的收敛性,
四、判别下列级数的收敛性,
1, ?? ?????
n3
1
9
1
6
1
3
1；
2, ?? ????????? )
3
1
2
1
()
3
1
2
1
()
3
1
2
1
()
3
1
2
1
(
3322 nn；
3, ?? ???????
n
n
10
1
2
1
20
1
4
1
10
1
2
1
,
五、利用柯西收敛原理判别级数
???????
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1 的敛散性,
练习题答案
一,1,
108642
97531
8642
7531
642
531
42
21
2
1
????
????
?
???
???
?
??
??
?
?
?
? ；
2,
54321
5
!5
4
!4
3
!3
2
!2
1
!1
???? ；
3,
)2(642
2
n
x
n
???? ?； 4,
12
)1(
1
1
?
?
?
?
n
a
n
n；
5,
k
kkk
2
1
,2,12.12 ?? ； 6, 1,1 ?? qq,
三、收敛, 四,1,发散； 2,收敛；
3,发散,[ ?
?
??
n
k
kn
k
s
1
2
)
10
1
2
1
( ],
五、发散, [ 取
np 2?
]
§ 2 正项级数
正项级数及其审敛法
1.定义,,中各项均有如果级数 0
1
??
?
?
n
n
n uu
这种级数称为正项级数,
?? ???? nsss 212.正项级数收敛的充要条件,
定理
.有界部分和所成的数列正项级数收敛 ns?
部分和数列 为单调增加数列,}{ ns
且 ),2,1( ??? nvu
nn
,若 ?
?
? 1n
n
v 收敛,则 ?
?
? 1n
n
u 收敛；
反之，若 ?
?
? 1n
n
u 发散，则 ?
?
? 1n
n
v 发散,
证明
nn uuus ???? ?21且
??
?
??
1
)1(
n
nv设,nn vu ??
,??
即部分和数列有界,
1
收敛?
?
?
?
n
nu
均为正项级数，和设 ??
?
?
?
? 11 n
n
n
n vu3.比较审敛法
nvvv ???? ?2
nn s??则
)()2( ???? ns n设,nn vu ?且
?? 不是有界数列
.
1
发散?
?
?
?
n
nv
推论, 若 ?
?
? 1n
n
u 收敛 ( 发散 )
且 ))((
nnnn
vkuNnkuv ???,
则 ?
?
? 1n
nv 收敛 ( 发散 ).
定理证毕,
比较审敛法的不便, 须有参考级数,
例 1 讨论 P- 级数
?? ??????
pppp n
1
4
1
3
1
2
1
1 的收敛性, )0( ?p
解,1?p设,11 nn p ??,级数发散则 ?P
,1?p设
o
y
x
)1(1 ?? pxy p
1 2 3 4
由图可知 ? ?? nn pp xdxn 11
pppn ns
1
3
1
2
11 ????? ?
?? ????? nn pp xdxxdx 1211 ?
??? n pxdx11 )11(111 1????? pnp 111 ??? p
,有界即 ns,级数收敛则 ?P
?
?
?
?
??
发散时当
收敛时当级数
,1
,1
p
pP
重要参考级数, 几何级数,P-级数,调和级数,
例 2 证明级数 ?
?
? ?1 )1(
1
n nn
是发散的,
证明,11)1( 1 ??? nnn?
,11
1
??
? ?n n
发散而级数
.)1( 1
1
??
? ?
?
n nn
发散级数
4.比较审敛法的极限形式,
设 ?
?
?1n
nu 与 ?
?
?1n
nv 都是正项级数,如果
则 (1) 当 时,二级数有相同的敛散性 ;
(2) 当 时，若 收敛,则 收敛 ;
(3) 当 时,若 ?
?
?1n
nv 发散,则 ?
?
?1n
nu 发散 ;
,l i m lvu
n
n
n
?
??
???? l0
0?l
???l
?
?
?1n
nv ?
?
?1n
nu
证明 lvu
n
n
n
?
??
l i m)1( 由,0
2 ??
l?对于
,N?,时当 Nn ? 22
ll
v
ull
n
n ????
)(232 Nnvluvl nnn ???即
由比较审敛法的推论,得证,
设 ?
?
? 1n
nu 为正项级数,
如果 0lim ??
??
lnu n
n
( 或 ??
??
n
n
nulim ),
则级数 ?
?
? 1n
nu 发散 ;
如果有 1?p,使得 n
p
n
un
??
l i m 存在,
则级数 ?
?
? 1n
nu 收敛,
5,极限审敛法：
例 3 判定下列级数的敛散性,
(1 ) ?
?
? 1
1
s i n
n n; (2 ) ?
?
? ?1 3
1
n
n n;
解 )1(
n
n
n
n
3
1
3
1
l i m ?
??
? n
n
n 1
1
s i n
l i m
??
?
,1? 原级数发散,
)2(
nnn
1s i nl i m
??
?
n
n n
3
1
1
l i m
?
?
??,1?
,31
1
收敛?
?
?n
n? 故原级数收敛,
6,比值审敛法 ( 达朗贝尔 D ’ A l e m b e r t 判别法 ),
设 ?
?
? 1n
nu 是正项级数,如果 )(l i m
1 ??????
??
数或
n
n
n u
u
则 1?? 时级数收敛 ; 1?? 时级数发散 ; 1?? 时失效,
证明,为有限数时当 ?,0???对
,N?,时当 Nn ?,1 ?????
n
n
u
u有
)(1 Nnuu
n
n ????? ? ????即
,1时当 ??
,1时当 ??
,1 ????取,1?????r使
,11 ??? ? NmmN uru
,12 ?? ? NN ruu,1223 ??? ?? NNN urruu,?
,
1
1
1??
?
?
?
m
N
m ur 收敛而级数
,
11
收敛?? ?
??
?
?
? ??
Nn
u
m
mN uu 收敛
,1?? ??取,1??? ??r使
,时当 Nn ?,1 nnn uruu ???,0lim ??? nn u 发散
比值审敛法的优点, 不必找参考级数,
两点注意,
1,当 1?? 时比值审敛法失效 ;
,1
1
发散级数例 ?
?
?n n
,1
1
2 收敛级数 ?
?
?n n
)1( ?
??
? ?
,232 )1(2 nnn
n
n vu ??
????例
,2 )1(2
11
收敛级数 ??
?
?
?
?
????
n
n
n
n
nu
,))1(2(2 )1(2
1
1
nn
n
n
n a
u
u ?
??
??? ??但,
6
1l i m
2 ??? nn a
,23l i m 12 ??
?? nn
a,l i ml i m 1 不存在n
nn
n
n
auu
??
?
??
??
2,条件是充分的,而非必要,
例 4 判别下列级数的收敛性,
(1 ) ?
?
? 1 !
1
n n; (2 ) ?
?
? 1 10
!
n
n
n; (3 ) ?
?
? ??1 2)12(
1
n nn
.
解 )1(
!
1
)!1(
1
1
n
n
u
u
n
n ????
1
1
?? n ),(0 ??? n
.!1
1
收敛故级数 ?
?
?n n
),( ???? n)2( !
10
10
)!1(
1
1
n
n
u
u n
n
n
n ???
?
??
10
1?? n
.10 !
1
发散故级数 ?
?
?n
n
n
)3( )22()12(
2)12(limlim 1
???
???
??
?
?? nn
nn
u
u
nn
n
n
?,1?
比值审敛法失效,改用比较审敛法
,12)12( 1 2nnn ????,1
1
2 收敛级数 ?
?
?n n
?
.)12(2 1
1
收敛故级数 ?
?
? ??n nn
7,根值审敛法 ( 柯西判别法 ),设 ?
?
? 1n
nu 是正项级数,如果 ??
??
n
n
n
ulim
)( ??为数或?,
则 1?? 时级数收敛 ;
,1,
1
??
?n
nn设级数例如
n nn n
nu
1??
n
1? )(0 ??? n 级数收敛,
1?? 时级数发散 ; 1?? 时失效,
思考题
设正项级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛,能否推得 ?
?
? 1
2
n
n
u 收敛?
反之是否成立?
思考题解答
由正项级数 ?
?
? 1n
nu 收敛，可以推得 ?
?
? 1
2
n
nu 收敛,
n
n
n u
u 2lim
??
?
nn u??? lim 0?
由比较审敛法知 收敛,?
?
?1
2
n
nu
反之不成立, 例如,?
?
?1
2
1
n n
收敛,?
?
?1
1
n n
发散,
一,填空题,
1, ?p 级数当 __ __ __ _ 时收敛,当 __ __ __ _ 时发散；
2,若正项级数 ?
?
? 1n
n
u 的后项与前项之比值的根 ?等于,
则当 _ __ _ __ __ 时级数收敛； __ __ __ _ _ 时级数发散；
__ __ __ __ _ __ _ 时级数可能收敛也可能发散,
二,用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛
性,
1, ?? ?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
222
1
1
31
31
21
21
1
n
n；
2, )0(
1
1
1
?
?
?
?
?
a
an
n
,
练 习 题
三,用比值审敛法判别下列级数的收敛性,
1, ?? ?
?
??
?
?
?
?
?
n
n
n 2
3
23
3
22
3
21
3
3
3
2
2； 2, ?
?
?
?
1
!2
n
n
n
n
n
.
四,用根值审敛法判别下列级数的收敛性,
1, ?
?
?
?
1
)]1[l n (
1
n
n
n； 2,
12
1
)
13
(
?
?
?
?
?
n
n
n
n
.
五,判别下列级数的收敛性,
1, ?? ?
?
???
n
n 1
2
3
2 ；
2, ?
?
? 1
3
s i n2
n
n
n
?； 3, )0(
)
1
(
)2l n (
1
?
?
?
?
?
?
a
n
a
n
n n
.
练习题答案
一,1, 1,1 ?? pp ；
2, 1),l i m(1,1
1
?????
?
??
???
n
n
n u
u
或,
二,1,发散； 2,发散,
三,1,发散； 2,收敛,
四,1,收敛； 2,收敛,
五,1,发散； 2,收敛； 3,
?
?
?
?
?
?
??
?
.,1;,10;,1
发散
发散
收敛
a
a
a
§ 3 一般项级数
任意项级数的敛散性
1,交错级数及其敛散性
交错级数是各项正负相间的一种级数，它的
一般形式为
?? ??????? ? nn uuuuu 14321 )1(
或 ?? ????????
nn uuuuu )1(4321
其中,un?0 (n=1,2,…)
定理 (莱布尼兹判别法 ) 若交错级数 ??
?
??
1
1)1(
n
n
n u
满足条件
(1)
(2) un?un+1 (n=1,2,…)
则交错级数收敛，且其和 S的值小于 u1.
0lim ??? nn u
(级数收敛的必要条件 )
证 只需证明级数部分和 Sn当 n??时的极限存在,
1) 取交错级前 2m项之和
mmm uuuuuuS 21243212 ??????? ??
)()()( 2124321 mm uuuuuu ??????? ??
由条件 (2),un?un+1,un?0,得 S2m?以及
121222543212 )()()( uuuuuuuuuS mmmm ?????????? ???
由极限存在准则：
.l i m 12 uSSS mm ???? 存在，且
2) 取交错级数的前 2m+1项之和
12212212432112 ???? ?????????? mmmmmm uSuuuuuuuS ?
由条件 1):
故,0lim ??? nn u
SuSuSS mmmmmmmmm ????? ??????????? 12212212 l i ml i m)(l i ml i m
综上所述，有
.lim 1uSSS nn ????,且
例 1,讨论级数 ??
?
??
1
1)1(
n
n
n
的敛散性,
解, 这是一个交错级数，
，nu n 1?
又
，01limlim ??
???? n
u
nnn
，1111 ????? nn unnu
由莱布尼兹判别法，该级数是收敛,
例 2,判别级数 ??
?
?
2 ln
)1(
n
p
n
nn
的敛散性,
解, 这是一个交错级数，
又
，nnu pn ln1?
，0ln 1limlim ??
???? nn
u p
nnn
令
，xxxf pln1)( ?
x?[2,+?),则
，0ln lnln)( 22
1
?????
?
xx
xpxxf
p
pp x?[2,+?)，
故 f (x)? [2,+?),即有 un?un+1成立，由莱布尼兹判
别法，该级数收敛,
例 3 判别级数 ?
?
? ?
?
2 1
)1(
n
n
n
n
的收敛性,
解 2)1(2
)1()
1( ?
????
? xx
x
x
x?
)2(0 ?? x
,1 单调递减故函数 ?x x,1??? nn uu
1limlim ?? ???? n
nu
nnn
又,0? 原级数收敛,
2,任意项级数及其敛散性
(1) 级数的绝对敛和条件收敛
定义,若级数
收敛,||
1
??
?n
nu 是绝则称原级数 ||
1
??
?n
nu
对收敛的；若级数
,
1
是条件收敛的则称原级数 ?
?
?n
nu
但级数
收敛,
1
??
?n
nu 发散,||
1
??
?n
nu
定理,若
收敛,||
1
??
?n
nu,
1
收敛必则 ?
?
?n
nu
(即绝对收敛的级数必定收敛 )
证, ? un ? |un|
? ||2||0
nnn uuu ???
收敛，已知 ||
1
??
?n
nu 收敛，故 )||(
1
?
?
?
?
n
nn uu
从而
,]||)||([
11
收敛??
?
?
?
?
???
n
nnn
n
n uuuu
上定理的作用：
任意项级数 正项级数
定义, 若 ?
?
? 1n
nu 收敛,则称 ?
?
? 1n
nu 为绝对收敛 ;
若 ?
?
? 1n
nu 发散,而 ?
?
? 1n
nu 收敛,则称 ?
?
? 1n
nu 为条件收敛,
例 4 判别级数 ?
?
? 1
2
s i n
n n
n
的收敛性,
解,
1s i n
22 nn
n ??,1
1
2 收敛而 ?
?
? n
,s in
1
2?
?
?
?
n n
n 收敛
故由定理知原级数绝对收敛,
定理 (达朗贝尔判别法 ) 设有级数,
1
??
?n
nu
若
存在，则???
?? ||
||lim 1
n
n
n u
u
(1) ?<1时,级数绝对收敛；
(2) ?>1 (包括 ?= ??)时，级数发散；
(3) ?=1时，不能由此断定级数的敛散性,
例 5,判别级数 ??
?1
2
5
sin
n n
n? 的敛散性,
解：
22
15
s i n
||
nn
n
u n ??
?
由 P一级数的敛散性，
收敛，?
?
?1
2
1
n n
收敛，故 ||
1
?
?
?n
nu
即原级数绝对收敛,
例 6,判别 ??
? ?1 1n
n
n
x
x 的敛散性，其中,x??1为常数,
解, 记
n
n
n x
xu
?? 1
|)1(|
|)1(|l i m
||
||l i m
1
1
1
?
?
??
?
?? ?
??
nn
nn
nn
n
n xx
xx
u
u
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?? 1||,1
1||,||
1
lim 1
1
x
xx
x
xx
n
n
n
当 |x|<1时,?=|x|<1,原级数绝对收敛,
当 |x|>1时,?=1,此时不能判断其敛散性,
由达朗贝尔判别法：
但 |x|>1时，
，01
1
lim||lim ??
?
?
???? n
n
nnn x
xu
从而，原级数发散,
例 6,级数
?
?
?
?
??1
1
)1ln (
1)1(
n
n
n
是否绝对收敛?
1
1
)1l n (
1
)1l n (
1)1( 1
??????
?
nnn
n
解：
由调和级数的发散性可知，
发散，?
?
? ?1 1
1
n n
故
?
?
?
?
??1
1
)1ln (
1)1(
n
n
n
发散,
但原级数是一个收敛的交错级数：
，)1ln ( 1 ?? nu n
故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的,
(2) 绝对收敛级数的性质
性质 1,任意交换绝对敛级数中各项的位置，其
敛散性不变，其和也不变,
性质 2,两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对
收敛的级数，且其和等于原来两个级数的和之积,
(3) 任意项级数敛散性的一个判别法
定理 (迪利赫勒判别法 ) 设有级数,
1
??
?n
nn vu
任意的 n ? 1,有 un ? un+1,且；0lim ??? nn u
又
，Mv
n
k
k ??
?
||
1
n=1,2,…,M > 0为与 n无关的常数，则级数
若对
?
?
?1n
nn vu
收敛,
例 8,判别级数 ??
?1
c o s
n n
nx 的敛散性,其中,x?2k?,k?Z.
解, 记,
nu n
1? vn=cosnx,则
11
11
????? nn unnu
n=1,2,…,
01limlim ??
???? n
u
nnn
又
，kxxxkxk c o s2s i n2)21s i n ()21s i n ( ????
而 x?2k?,k?Z，
于是
，02s in ?x
且,
2
s in2
2
1
s in)
2
1
s in (
c o s
1
x
xxn
kx
n
k
??
??
?
故
M
x
kxv
n
k
n
k
k ??? ??
?? |
2
s i n|
1|c o s|||
11
又迪利赫勒判别法，级数
??
?1
c o s
n n
nx (x?2k?,k?Z)收敛,
小结
正 项 级 数 任意项级数
审
敛
法
1.
2.
4.充要条件
5.比较法
6.比值法
7.根值法
4.绝对收敛
5.交错级数
(莱布尼茨定理 )
3,按基本性质 ;;,则级数收敛若 SS n ?;,0,则级数发散当 ??? nun
一,别下列级数是否收敛? 如果是收敛的,是绝对收敛
还是条件收敛?
1, ?
?
?
?
?
?
1
1
1
3
)1(
n
n
n
n；
2, ?????
5ln
1
4ln
1
3ln
1
2ln
1；
3, ?
?
?
?
?
2
ln
)1(
n
n
nn
,
二、若
n
n
un
2
l i m
???
存在,证明, 级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛,
三、证明, 0
!
lim
3
?
??
n
n
n
an
b
,
