§ 1 定积分的概念
§ 2 牛顿 ---莱布尼兹公式
§ 3 定积分的性质
§ 4 微积分学基本定理
§ 5 定积分的计算
§ 1 定积分概念
一,引例 曲边梯形面积
曲边梯形,
由连续曲线 y=f(x),直线 x=a,x=b及 x轴所
围成的图形
y=f(x)
a b0 x
y
怎样求面积呢？
a b x
y
o
?A
1 面积问题
曲边梯形由连续曲线
)( xfy ? )0)(( ?xf,
x 轴与两条直线 ax ?,
bx ? 所围成,
二 问题的提出
)( xfy ?
我们有两个问题要解决，一个是给出面积的定
义，一个是找出计算面积的方法。微积分的最大功
绩在于，用干净利索的方法解决了这一问题，并用
非常有效的方法解决了相当复杂的图形的面积的计
算问题 。
思想方法（想象圆的面积的求法）
（ 1）分割：将曲边梯形分成许多细长条
在区间 [a,b]中任取若干分点：
bxxxxxxxa nnii ?????????? ?? 11210 ??
把曲边梯形的底 [a,b]分成 n个小区间,
),,3,2,1(1 nixxx iii ????? ?的长度记为小区间 ],[ 1 ii xx ?
过各分点作垂直于 x轴的直线段，把整个曲边梯形分
成 n个小曲边梯形,其中第 i个小曲边梯形的面积记为
iA?
x
y
0
y=f(x)
0xa? 1x 3x 1?ix ix 1?nx bxn ?2x
（ 2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形
iii
iii
iiiii
xfA
fxf
xxxxi
???
?
????
)(
)(,).(
),],[ 11
?
??
??
曲边梯形的面积，即面积来近似代替这个小
的小矩形长为用相应的宽为它所对应的函数值是
（上任取一点个小曲边梯形的底在第
x
y
0
y=f(x)
0xa? 1x 2x 1?ix ix 1?nx bxn ?ξｉ
f(ξ)ｉ
（ 3）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一
个近似值。
把 n个小矩形的面积相加得和式
i
n
i
i xf ??
?
)(
1
?
它就是曲边梯 形面积 A的近似值，即,)(
1
i
n
i
i xfA ?? ?
?
?
x
y
0
y=f(x)
0xa? 1x 2x 1?ix ix 1?nx bxn ?ξｉ
f(ξ)ｉ
（ 4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之
和的极限 就是曲边梯形面积 A的精确值。
小区间长度最大值趋近于零，即 || || 0（ || ||表示
i
n
i
i xf ??
?
)(
1
?
ix? ix?
i
n
i
i xf ??
?
)(
1
?
这些小区间的长度最大者）时，和式 的
分割越细,就越接近于曲边梯形的面积 A，当
极限就是 A，即
i
n
i
ix xfA
i
?? ?
???
)(lim
10||||
?
可见，曲边梯形的面积是一和式的极限
x
y
0
y=f(x)
0xa? 1x 2x 1?ix ix 1?nx bxn ?ξｉ
f(ξ)ｉ
a b x
y
oa b x
y
o
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近
曲边梯形面积．
（四个小矩形） （九个小矩形）
解决问题的基本思路, 变“曲”为“直”
曲边梯形如图所示，
,
],[
1210 bxxxxxa
ba
nn ??????? ??个分点，
内插入若干在区间
a b x
y
o i?ix1x 1?ix 1?nx;
],[
],[
1
1
?
?
??? iii
ii
xxx
xx
nba
长度为
，个小区间
分成把区间
，上任取一点
在每个小区间
i
ii xx
?
],[ 1?
iii xfA ?? )(?
为高的小矩形面积为为底，以 )(],[ 1 iii fxx ??
i
n
i
i xfA ?? ?
?
)(
1
?
曲边梯形面积的近似值为
i
n
i
i xfA ?? ?
??
)(lim
10
?
?
时，趋近于零
即小区间的最大长度当分割无限加细
)0(
},,m a x {
,
21
?
????
?
? nxxx ?
曲边梯形面积为
例 2 路程问题
设某质点作直线运动，速度 )( tvv ? 是时间
间隔 ],[ 21 TT 上 t 的一个连续函数，求物体在这
段时间内所经过的路程,
把整段时间分割成若干小时间段，每小段
上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，
便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限
细分过程求得路程的精确值．
对于匀速运动，我们有公式
路程 =速度 X时间
解决变速运动的路程的基本思路
（ 1）分割 212101 TtttttT nn ??????? ??
1???? iii ttt
iii tvs ??? )(?
（ 3）作和 ii
n
i
tvs ?? ?
?
)(
1
?
（ 4）取极限 },,,m a x { 21 nttt ???? ??
i
n
i
i tvs ?? ?
??
)(l i m
10
?
?
路程的精确值
(2) 取点
ii t???
三、定积分的定义
定义,设函数 y=f(x)在区间 [a,b]上有定义。在区间
[a,b]中任取分点
,113210 bxxxxxxxxa nnii ?????????? ?? ??
将区间 [a,b]分成 n个小区间,其长度为][
1 ii xx,?
的和式：乘积
作上，任取一点，在每个小区间
),,2,1()(
)(][ 11
nixf
xxxx
ii
iiiiii
???
????
?
??
1???? iii xxx ),,2,1 ni ??（
.)(
1 i
n
i i
xf ??
?
?
,)( dxxfba? dxxfxf bain
i
ix i )()(lim
10|||| ?
? ??
???
?
如果不论对区间 [a,b]采取何种分法及 如何选取，当
n个小区间的长度最大的趋于零，即 时，和
式（ 1）的极限存在，则称函数 f(x)在区间 [a,b]上 可积,
并称此极限值为函数 f(x)在区间 [a,b]上的 定积分,记作
0||| ?? ix
i?
即
（ 1）
注：
? ??ba Idxxf )( ii
n
i
xf ??
??
)(lim
10
?
?
(1)利用极限的,”的说法，将定积分的
定义精确表述如下,
?? ?
有中怎样取法，只要在
的任何分法，不论对于区间
,][
],[,0,0
,1 ??
???
?
????
? ii
i
xx
ba
?? ????
?
Ixf ii
n
i
)(
1
.],[)( 上的定积分在区间是成立，则称 baxfI
( 2 ) 积分值仅与被积函数及积分区间有关,
?ba dxxf )( ?? ba dttf )( ?? ba duuf )(
（ 3 ）积分值与区间的分法和 i? 的取法是无关的,
（ 4 ）当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的定积分存在时,
而与积分变量的写法无关,
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上可积,
（ 5） 曲边梯形由连续曲线 )( xfy ? )0)(( ?xf,
x 轴与两条直线 ax ?,bx ? 所围成,
??
b
a
dxxfA
baxfA
)(
],[)(
即
上的定积分，在区间等于函数其面积 ( 6 ) 设某质点作直线运动，速度 )( tvv ? 是时
间间隔 ],[ 21 TT 上 t 的一个连续函数，物体在这
段时间内所经过的路程,
?? 21 )(TT dttvS
1.
? dxxf )(
与
?ba dxxf )(
的差别
3．定积分的值与积分变量用 什么字母表示无关,即有
? ?? ?? ba baba duufdttfdxxf )()()(
4．规定：
?? ?? abba dxxfdxxf )()( 0)( ??a
a dxxf
? dxxf )(
是 )(xf 的全体原函数 是 函数
?ba dxxf )(
是一个和式的极限 是一个确定的 常数
注：
2,当 xf
i
n
i
??
?
)(
1
? 的极限存在时,其极限值仅与被积函数
及积分区间 有关,而与区间 ? ?ba,的分法及 ?
i
点的取法 无关 。
f(x) [a,b]
,0)( ?xf
? ?ba Adxxf )(
曲边梯形的面积
,0)( ?xf
? ??ba Adxxf )(
曲边梯形的面积
的负值
四 定积分的几何意义
a b x
y
o
o
y
a b x
几何意义
积取负号．
轴下方的面在轴上方的面积取正号；在
数和．之间的各部分面积的代直线
的图形及两条轴、函数它是介于
xx
bxax
xfx
??,
)(
1A
2A
3A
321)( AAAdxxf
b
a ?????
? ? ? x
y
o
A.与区间及被积函数有关； B.与区间无关与被积函数有关
C.与积分变量用何字母表示有关； D.与被积函数的形式无关
)( xfy ? 在 ? ?ba,上连续，则定积分 ?b
a dxxf )(
的值4.(B)
??22 3s in td t
中，积分上限是 积分下限是 积分区间是2.(A)
及 x轴所围成的曲边梯形
的面积，用定积分表示为 12 ?? xy
与直线 3,1 ?? xx1,由曲线(B)
举例
dxx )1( 231 ??
2 -2
[-2,2]
0
A
??? 22 2 )1( dxx
3.定积分(A)
?? dxxfba )(.1
A
-A
0)( ?xf
0)( ?xf
A表示以 y=f(X)为曲边的 曲 边梯形面积
a b
a b
y=f(x)>0
y=f(x)<0
x x
y y
0 0
A
A
321)( AAAdxxf
b
a ????则
2.如果 f(x)在 [a,b]上时正，时负，如下图
3.结论：
的代数和表示
积的值都可用区边梯形面dxxfba )(? 几何意义
a b x
y
y=f(x)
2A
1A 3
A
0
应用
例 1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
积为义，可得阴影部分的面
根据定积分的几何意上连续，且
，在）在图①中，被积函数（
,0)(
]0[)(1 2
?
?
xf
axxf
解：
dxxA a 20??
0 0 0 0a
y
x
y
x
y
x
y
x
f(x)=x2 f(x)=x2
-1 2
f(x)=1
a b -1 2
f(x)=(x-1)2-1
① ② ③ ④
积为义，可得阴影部分的面
根据定积分的几何意上连续，且
，在）在图②中，被积函数（
,0)(
]21[)(2 2
?
??
xf
xxf
解：
dxxA 22 1? ??
0 0 0 0a
y
x
y
x
y
x
y
x
f(x)=x2 f(x)=x2
-1 2
f(x)=1
a b -1 2
f(x)=(x-1)2-1
① ② ③ ④
积为义，可得阴影部分的面
根据定积分的几何意上连续，且
，在）在图③中，被积函数（
,0)(
][1)(3
?
?
xf
baxf
解：
dxA ba??
0 0 0 0a
y
x
y
x
y
x
y
x
f(x)=x2 f(x)=x2
-1 2
f(x)=1
a b -1 2
f(x)=(x-1)2-1
① ② ③ ④
可得阴影部分的面积为根据定积分的几何意义
，上，在上，上连续，且在
，在）在图④中，被积函数（
0)(]20[,0)(]01[
]21[1)1()(4 2
???
????
xfxf
xxf
解：
dxxdxxA ?? ?????? ? ]1)1[(]1)1[( 22020 1
0 0 0 0a
y
x
y
x
y
x
y
x
f(x)=x2 f(x)=x2
-1 2
f(x)=1
a b -1 2
f(x)=(x-1)2-1
① ② ③ ④
成立。
说明等式利用定积分的几何意义 0s i n2
2
??
?
x d x
?
?
例 2：
解：
所以
并有上，在
上，上连续，且在，在
在右图中，被积函数
,
,0s i n]
2
0[,0s i n
]0
2
[]
22
[
s i n)(
21
AA
xx
xxf
?
??
??
?
?
???
0)( 122
2
????
?
AAdxxf
?
?
2
??
2
?
2A
1A x
y
f(x)=sinx
1
-1
利用定积分的几何意义，判断下列定积分
值的正、负号。
? 20 sin? xdx ??21 2dxx
利用定积分的几何意义，说明下列各式。
成立：
0s in20 ?? ? x d x ?? ? 200 s i n2s i n
??
x d xx d x
1）,2）,
1）,2）,
练习,
试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
0
y
x
y=x2
1 2 0 x
y=f(x)
y=g(x)
a b
y
例 1 利用定义计算定积分,1
0
2dxx?
解
将 ]1,0[ n 等分，分点为 nix i ?, ( ni,,2,1 ?? )
小区间 ],[ 1 ii xx ? 的长度 nx i 1??, ( ni,,2,1 ?? )
取 ii x??, ( ni,,2,1 ?? )
ii
n
i
xf ??
?
)(
1
? iin
i
x?? ?
?
2
1
?,
1
2
i
n
i
i xx ?? ?
?
(1) 分割
（ 2） 取点
（ 3） 求和
nn
in
i
12
1
??
?
??
?
?? ?
?
?
?
?
n
i
in
1
2
3
1
6
)12)(1(1
3
???? nnn
n
,121161 ?????? ??????? ?? nn ???? n0?
dxx?10 2 ii
n
i
x?? ?
??
2
10
l i m ?
?
?????? ??????? ?? ?? nnn 121161lim,31?
（ 4） 求极限
例 2
dxx? ?10 21计算积分
义知，该积分值等于解：由定积分的几何意
的面积（见下图）
所围及轴，曲线 10,1 2 ???? xxxxy
x1
y
面积值为圆的面积的
4
1
41
1
0
2 ???? dxx所以
１ 定积分的实质,和式的极限．
２ 定积分的思想方法：
求近似以直（不变）代曲（变）
取极限
取点、求和 积零为整
分割 化整为零
取极限 精确值 —— 定积分
小结与作业
小结与作业
作业, P204
1,2 (1) ~ (4),
定积分的定义是一种构造性定义，
通过四步骤归结为一个和式的极限,
定积分的几何意义及简单应用
§ 2 牛顿 ----莱布尼兹公式
一个实例一,
间的关系与速度函数位移函数 )()(—— tVtS
物体所经过的路程显然有两种表达方式,
);()()( aSbStS ?将其表示为应用路程函数第一种,
第二种, ? b
a dttV )(将其表示为应用定积分的物理意义
).()(),()()( ' tStVaSbSdttVba ???? ? 其中
时刻物体所对应直线运动一物体在直线上作变速 t,
物体所经过时变到由当速度为的路程为,),(),( battVtS
的路程是多少
变上限的定积分二,
一种表达函数的新方法——
.)()( ?? ? baba dttfdxxf且
存在则有定积分上可积在若 ? ba dxxfbaf )(,],[
因而有上可积在,],[ xaf 存在],[ bax ?? ? xa dttf )(
定义
],[,)()(],[)( baxdttfx，baxf xa ?? ??则上可积在设
称为变上为自变量的函数定义了一个以积分上限,x
.或积分上限函数限的定积分,
.],[,)()( 称为变下限的定积分类似地 baxdttfx,bx ?? ??
.统称为变限积分与 ??
定理 9.9
上的连续函数是与则上可积在若 ],[],[ ba，baf ??
证明, ],,[],[ baxxx,ba ???只要上任一确定的点对
按变上限积分的定义有
.)()()( ? ?? ???? ???? xa xxxxxa dttfdttfdttf?
].,[,)(,],[ batMtfbaf ??可设上有界在因
时有当于是 0,?? x;)()( xMdttfdttf xxxxxx ????? ?? ?????
,0lim.0 0 ??????? ?? ?? xxMx 由此得到时则有当
.],[,,上处处连续在的任意性由连续在点即证得 bafxx?
基本定理三,
微积分学基本定理——
定理 9.10
上在则可变上限积分上连续在若 ],[],[ ba，baf ?
且处处可导,
].,[),()()( baxxfdttfdxdx x
a
???? ??
分析, 前提 )()(],[)(],[ ' xfxbaxbaf ?? ?? 可导且在连续在
只须 ).(l i m],[
0
xfxbaf
x
????
??
?连续在
a b x
y
o xx ??
证 dttfxx xx
a?
?????? )()(
)()( xxx ????????
dttfdttf xaxxa ?? ?? ?? )()(
)(?
x
定理 9.10
基本定理三,
微积分学基本定理——
上在则可变上限积分上连续在若 ],[],[ ba，baf ?
且处处可导,
].,[),()()( baxxfdttfdxdx x
a
???? ??
?
dttfdttfdttf xaxxxxa ??? ??? ?? )()()(
,)(? ??? xxx dttf
由积分中值定理得
xf ???? )(? ],,[ xxx ????
xx ??? ?,0
),(?fx ???? )(l i ml i m 00 ?fx xx ???? ????
).()( xfx ?? ??
a b x
y
o xx ??
)(x?
x
推论
? ? )()]([)()( xxfxxf ???? ???? ??? )(
)( )()(
x
x dttfdx
dxF ?
?
(3) dttfxF
x
x?
? )(
)(
)()( ?
?
则 )( xF ? 的导数为
如果 )( tf 连续,)( x?, )( x? 可导，
（ 1）
)(])([)(
)()(
xfdttfxF
dttfxF
x
a
a
x
???????
??
则
（ 2）
)())((])([)(
)()(
)(
)(
xxfdttfxF
dttfxF
x
a
x
a
???
?
??????
??
则
要性微积分学基本定理的重
(i) 解决了原函数的存在性问题
(ii) 沟通了导数与定积分之间的内在联系
(iii) 为寻找定积分的计算方法提供了理论依据
精僻地得出, 上的连续函数一定存在原函数,且],[ ba
是 的一个原函数这一基本结论,)(x? )(xf
为微分学和积分学架起了桥梁,因此被称为微积分学
基本定理,
)(x?定理指出 是 的一个原函数,而 又是变上限)(xf)(x?
积分,故 ??? ? ?b
a
a
a dxxfadxxfb )()(,)()( ??
.)()()(? ??ba abdxxf ??
比较变速直线运动中
).()()( aSbSdttVba ???
).()()( abdxxfba ?? ???
共同点, 等式左端同是 [ a,b ]上的定积分,等式右端又
都是原函数在 [a,b ]上的增量,
定积分的基本公式四,
莱布尼兹公式牛顿 ———
定理 9.11
上的在是且上连续在若函数 ],[)()(,],[ baxfxFbaf
则一个原函数,
? ??ba aFbFdxxf ).()()(
分析, 前提条件
.)()2(
,)()1(],[
存在原函数
存在连续在
xf
dxxfbaf
b
a??
.)( 就是它的一个原函数? xa dttf
证明,
连续在因为 ],[)( baxf
的一个原函数是故 )()( xfdttfxa?
，xfxF 的原函数是又 )()(
).(0)( aFCdttfa,x aa ??? ? 得到则由在上式中令
移项得 ).()()( aFxFdttfx
a ???
即得令 b,x ? ).()()( aFbFdxxfba ???
此式称为定积分的基本公式,又称牛顿 ----莱布尼兹公式
常表示为
b
a
b
a
xFdxxf )()( ??
.)()( CdttfxF xa ?? ?所以
例题五,
例 1,.s i n? b
a xdx计算
解,
xx s i n)co s( ' ??且
，bax 连续在因 ],[s i n
b
a
b
a xx d x c o ss i n ???所以
.c o sc o s ba ??
例 2 已知 dtttb
x )1ln(s i n ???
求
dx
dy
解
)) ( s i n1s i nlns i n( ????? xxx
xxx c o s)1s i nlns i n( ????
dttt
dx
dy x
b
)1ln(s i n ???? ?
例 3,以及直线计算由抛物线 3,12 ???? yxxy
.S坐标轴所围图形的面积
解,
如右图
由于抛物线
o x
y
1 3
与直线
)2,1(相交于点
(1,2)
故所围曲边梯形面积
.)(30?? dxxfS
??
?
?
?
???
???
?
.31,3
,10,1
)(
2
xx
xx
xf其中
? ? ???? 10 312 )3()1( dxxdxxS
3
1
2
1
0
2
)23()3( xxxx ????
.313?
小结六,
1,变上限定积分的概念 ;
P229,1,2,3 (1)~(2),
2,微积分学基本定理 ;
3,牛顿 ----莱布尼兹公式,
作业,
§ 3 定积分的性质
对定积分的补充规定,
（ 1 ）当 ba ? 时,0)( ?? aa dxxf ；
( 2 ) ?? ?? abba dxxfdxxf )()(,
注意 在下面的性质中，假定定积分都存
在，且不考虑积分上下限的大小,
? ?ba dxxgxf )]()([ ?? ba dxxf )( ?? ba dxxg )(,
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质 1
?? ? baba dxxfkdxxkf )()( ( k 为常数 ).性质 2
? ba dxxf )( ?? ?? bcca dxxfdxxf )()(,
注意, 不论 的相对位置如何,上式总成立,cba,,
性质 3
例 若,cba ??
?ca dxxf )( ?? ?? cbba dxxfdxxf )()(
?ba dxxf )( ?? ?? cbca dxxfdxxf )()(
.)()( ?? ?? bcca dxxfdxxf
（定积分对于积分区间具有可加性）
则
推论 1
证 ),()( xgxf ??,0)()( ??? xfx
,0)]()([ ??? ? dxxfxgba
,0)()( ?? ?? baba dxxfdxxg
于是 dxxfba? )( dxxgba?? )(,
则 dxxfba? )( dxxgba?? )(, )( ba ?
如果在区间 ],[ ba 上 )()( xgxf ?,（ 1）
dxba ?? 1 dxba?? ab ??,
则 0)( ?? dxxfba, )( ba ?
证,0)( ?xf?,0)( ??? if ),,2,1( ni ??
,0?? ix?,0)(
1
???? ?
?
ii
n
i
xf
},,,m a x { 21 nxxx ???? ??
ii
n
i
xf ?? ?
??
)(lim
10
?
?,0)(? ??
b
a dxxf
性质 4
性质 5如果在区间 ],[ ba 上 0)( ?xf,
dxxfba? )( dxxfba?? )(,)( ba ?
证,)()()( xfxfxf ????
,)()()( dxxfdxxfdxxf bababa ??? ????
即 dxxfba? )( dxxfba?? )(,
说明,| )( xf | 在区间 ],[ ba 上的可积性
可由 )( xf 区间 ],[ ba 上的可积性推出,
推论 2
（ 2）
设 M 及 m 分别是函数
证,)( Mxfm ???
,)( ??? ??? bababa M d xdxxfdxm
).()()( abMdxxfabm ba ???? ?
（此性质说明，由被积函数在积分区间上的
最值，可用于估计积分值的大致范围）
则 )()()( abMdxxfabm ba ???? ?,
)( xf 在区间 ],[ ba 上的最大值及最小值，
性质 6
如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，
证
Mdxxfabm ba ???? ? )(1
)()()( abMdxxfabm ba ???? ??
由闭区间上连续函数的介值定理知
则在积分区间 ],[ ba 上至少存在一个点 ?,
使 dxxfba? )( ))(( abf ?? ?, )( ba ?? ?
性质 7（定积分中值定理）
积分中值公式
在区间 ],[ ba 上至少存在一个点 ?,
使,)(1)( ???? ba dxxfabf
dxxfba? )( ))(( abf ?? ?,)( ba ?? ?
在区间 ],[ ba 上至少存在一
个点 ?,
即
积分中值公式的几何解释：
x
y
o a b?
)(?f 使得以区间 ],[ ba 为以曲线 )( xfy ?底边,
为曲边的曲边梯形的面积
等于同一底边而高为 )( ?f
的一个矩形的面积 。
平均值在函数 ],[)( baxf
例 2 比较积分值 dxe x? ? 20 和 dxx? ? 20 的大小,
解 令 xxgexf x ?? )(,)( ]0,2[??x
)()( 0)(,0)( xgxfxgxf ?????
于是由性质 5的推论 1 dxe x??20,20 dxx???
§ 4 微积极分学基本定理
定理 3（微积分基本定理）
如果 )( xF 是连续函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上
的一个原函数，则 )()()( aFbFdxxf
b
a
???,
又 ? dttfx xa??? )()( 也是 )( xf 的一个原函数,
? 已知 )( xF 是 )( xf 的一个原函数,
CxxF ???? )()( ],[ bax ?
证
令 ax?
0)()( ??? ? dttfa aa?,)( CaF ??
),()()( aFxFdttfxa ??? ?
,)()( CdttfxF xa ?? ??
令 bx ?
牛顿 (Newton)— 莱布尼茨 (Leibniz)公式
,)()( CaaF ???则
).()()( aFbFdxxfba ???则
)()()( aFbFdxxfba ???
微积分基本公式表明：
? ?baxF )(?
( 1 ) 一个连续函数在区间 ],[ ba 上的定积分等
于它的任意一个原函数在区间 ],[ ba 上的增量,
( 3 ) 当 ba ? 时,)()()( aFbFdxxf
b
a
??? 仍成立,
(2)求定积分问题转化为求原函数不定积分
的的问题,
例 1 求,1
0
2dxx?
解 由于 2x 的一个原函数是 3 3x,
.
3
1
3
1
0
31
0
2 ?
?
?
?
?
?
?
?? xdxx所以
例 2 求,
1
13
1 2
dxx?
? ?
? ? 313
1 2
a r c t a n1 1 ?
?
??? xdxx
???
12
7)
4
(
3
????
)1a r c t a n (3a r c t a n ???
解
例 3 计算 ??
?
2
1 x
dx
? ? 2ln1ln2lnln 212
1
???? ???
??
xxdx
解
例 4 设
?
?
?
?
??
?
? 0,
0,1
)(
2
xe
xx
xf
x
? ?31 )2( dxxf求
解 ??
????
1
1
3
1 )(2)2( dttftxdxxf 令
? ? ? ?
e
ett
dtedtt
t
t
1
3
7
3
1
)1(
1
0
0
1
30
1
0
1
1
0
2
????
?
?
?
?
?
??
???
?
?
?
?
?
? ?
例 5 求,l i m 2
1
c o s
0
2
x
dte
x
t
x
? ?
?
解 ? ?1co s 2x t dtedxd,c o s
1
2? ??? x t dte
dx
d
)(co s2co s ???? ? xe x,s i n 2c o s xex ???
2
1
c o s
0
2
lim x
dte
x
t
x
? ?
? x
ex x
x 2
s i nlim 2c o s
0
?
?
??,
2
1
e?
0
0
分析,这是 型不定式，应用洛必达法则,
例 7 设 )( xf 在 ),( ???? 内连续，且 0)( ?xf,
证明函数
?
?
?
x
x
dttf
dtttf
xF
0
0
)(
)(
)( 在 ),0( ?? 内为单调增
加函数,
证 ? x dtttfdxd 0 )( ),( xxf? ? x dttfdxd 0 )( ),( xf?
? ?2
0
00
)(
)()()()(
)(
?
?? ???
x
xx
dttf
dtttfxfdttfxxf
xF
? ?
,
)(
)()()(
)( 2
0
0
?
? ???
x
x
dttf
dttftxxf
xF
)0(,0)( ?? xxf?,0)(0? ?? x dttf
,0)()( ?? tftx?,0)()(0? ??? x dttftx
).0(0)( ???? xxF
故 )( xF 在 ),0( ?? 内为单调增加函数,
例 8 设,求, ??
?
??
???
215
102)(
x
xxxf
?20 )( dxxf
解 ? ?? ?? 10 2120 )()()( dxxfdxxfdxxf
? ??? 10 21 52 dxx d x原式,6?
例 9 计算曲线 xy s i n? 在 ],0[ ? 上与 x 轴所围
成的平面图形的面积,
解
x
y
o ??
??
0 s in xdxA
? ? 2c o s 0 ??? ?x
?? ??? 10202 )(2)()( dxxfdxxfxxxf例 10 已知
求 )(xf
解
babaxxxf
dxxfbdxxfa
,2)(
)(,)(
2
1
0
2
0
代入上式则
，设
???
?? ??
)2( 2b
2
-
3
1
)2(
)1( 42
3
8
)2(
1
0
2
2
0
2
?????
??????
?
?
a
dxbaxxb
badxbaxxa
由 （ 1）（ 2） 解之得
3
2
3
4)(
3
1,
3
4 2 ?????? xxxfba
3.微积分基本公式
1.积分上限函数 ??? xa dttfx )()(
2.积分上限函数的导数 )()( xfx ?? ?
)()()( aFbFdxxfba ???
四 小结 (sumary)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学
（不定积分与定积分）之间的关系．
4.上述大部分例题都是定积分所特有的而不
定积分所没有的,
五 思考与判断题
设 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则 dttf
x
a?
)( 与
duuf
b
x?
)( 都是 x 的函数 （ ）
（ 1）
（ 2）求定积分可以先求不定积分，从而求出原
函数，由牛顿 -莱布尼茨公式可得结果（ ）
§ 5 定积分的计算
一 问题的提出
我们知道求定积分的关键是求原函数，而
求原函数的方法是求不定积分，然而不定积分中
有换元法，那么定积分是否也有换元法，有哪些
不同？
在一定条件下，可以用换元积分法与分
部积分法来计算定积分,
牛顿 ---莱布尼兹公式：
)a(F)b(F)x(Fdx)x(f baba ????
求出 f(x)的原函数 F(x)
问,求 f(x)的原函数（不定积分）学过
了哪些方法？
xdxs i n)2 0? ?dxx)1 9
1?
关键：
复习引入
定理 假设 )( xf 在 ],[ ba 上连续；
（ 1 ）函数 )( tx ?? 在 ],[ ?? 上是单值的且有连续
导数；（ 2 ）当 t 在区间 ],[ ?? 上变化时,)( tx ?? 的值
在 ],[ ba 上变化，且 a?)( ??, b?)( ??,
则 有 dtttfdxxfba ?? ?? ?? ?? )()]([)(,
二 定积分的换元法
(Formula for Integration by Substitution)
换元公式
证 设 )( xF 是 )( xf 的一个原函数,
),()()( aFbFdxxfba ???
)],([)( tFt ????
dt
dx
dx
dFt ??? ? )( )()( txf ? ?? ),()]([ ttf ? ???
),()()()]([ ??????? ??? ?? dtttf
)( t?? 是 )()]([ ttf ?? ? 的一个原函数,
a?)(??, b?)( ??,
)()( ?? ??? )]([)]([ ???? FF ??
),()( aFbF ??
)()()( aFbFdxxfba ??? )()( ?? ????
.)()]([ dtttf? ?? ?? ??
注意 当 ?? ? 时，换元公式仍成立,
说明
（ 2）
求出 )()]([ ttf ?? ? 的一个原函数 )( t? 后，
不必象计算不定积分那样再要把 )( t? 变换
成原变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的
上、下限分别代入 )( t? 然后相减就行了,
（ 3）
用 )( tx ?? 把变量 x 换成新变量 t 时，
积分限也相应的改变,
.)(
,)(),(
)( )1(
dxtx
dttdxtdx
dxxf
b
a
的微分
这正好是换成则换成的
中如果把应用换元公式的时候，
?
??
?
?
?
例 1 计算
解
? ??a adxxa0 22 )0(.
令,s i n tax ?
ax?,2??? t 0?x,0?? t
,c o s td tadx ?
原式
?? 20 22 c o s
?
td ta
? ?? ?? 2
0
2
2c o s12
?
dtta
? ? 202 2s i n2 ?tta ??,
4
2a?
?
例 2 计算,s i nco s20 5? ? x d xx
解 令,c o s xt ?
2
??x,0?? t 0?x,1?? t
? ?20 5 s i nco s x d xx ??? 01 5dtt
1
0
6
6
t?
.61?
,s i n x d xdt ??
此题也可简要记法如下：
? 20 5 s i nc o s? xdxx,c o sc o s20 5??? ? xxd
6
1
6
c o s 2
0
6
???
?
x
例 3 计算
解
.s i ns i n0 53? ? ? dxxx
xxxf 53 s i ns i n)( ??? ? ? 23s i nc o s xx?
? ? ?? 0 53 s ins in dxxx ? ?? ?? 0 23s inc o s dxxx
? ?? ?? 20 23s inco s dxxx ? ?? ???
2
2
3
s inco s dxx
? ?? ?? 20 23 s i ns i n xdx ? ?? ???
2
2
3
s ins in xdx
? ? 2
0
2
5
s i n52
?
? x ? ?
?
?
?
2
2
5
s i n
5
2 x
.54)52(52 ????
例 4 计算 ?
?
?4
0 12
2 dx
x
x
解 令
3410
,,
2
1
,12
2
????
?
?
???
txtx
t d tdx
t
xtx
时，，当时，且
则
? ? ??
??
?
3
1
3
1
2
2
)3(
2
122
1
dttt d t
t
t
3
22]3
3[2
1 3
1
2
??? tt
? ??40 12 2 dxxx
例 5 当 )( xf 在 ],[ aa? 上连续，且有
① )( xf 为偶函数，则
? ?
?
?
a
a
a
dxxfdxxf
0
)(2)( ；
② )( xf 为奇函数，则 ?
?
?
a
a
dxxf 0)(,
证,)()()(
0
0? ??
? ? ??
a
a
a
a dxxfdxxfdxxf
在 ??0 )(a dxxf 中令 tx ??,
?? ?0 )(a dxxf ? ??? 0 )(a dttf,)(0? ?a dttf
① )( xf 为偶函数，则 ),()( tftf ??
? ??? ? ??a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()(;)(2 0?? a dttf
② )( xf 为奇函数，则 ),()( tftf ???
? ??? ? ??a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()(,0?
奇函数
例 6 计算
解
.11 c o s21
1 2
2
?? ?? ? dxx xxx
原式 ?
? ??
? 1
1 2
2
11
2 dx
x
x ?
? ???
1
1 211
c o s dx
x
xx
偶函数
? ??? 10 2
2
114 dxx
x?
??
??? 1
0 2
22
)1(1
)11(4 dx
x
xx
? ??? 10 2 )11(4 dxx? ??? 10 2144 dxx
.4 ???
例 7 若 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，证明
（ 1 ） ??
??
?
22
00
)( c o s)( s i n dxxfdxxf ;
（ 2 ） ??
?? ?
?
00
)( s i n
2
)( s i n dxxfdxxxf,
由此计算 ?
?
?0
2
c o s1
s i n
dx
x
xx
.
证 （ 1）设 tx ??? 2,dtdx ???
0?x,2??? t 2??x,0?? t
? ?20 )( s i n dxxf ?? ?????? ?????? ???? 02 2s i n dttf
? ?? 20 )( co s dttf ;)( co s20? ?? dxxf
（ 2）设 tx ???,dtdx ???
0?x,??? t ??x,0?? t
? ?0 )( s in dxxxf ?? ?????? 0 )][ s in()( dttft
,)( s in)(0? ? ??? dttft
? ??? 0 )( s in dttf ? ?? 0 )( s in dtttf
? ??? 0 )( s in dxxf,)( s in0? ?? dxxxf
.)( s in2)( s in 00 ?? ?? ??? dxxfdxxxf
? ? ?0 2co s1 s i n dxxxx ? ? ??? 0 2c o s1 s in2 dxxx
? ? ???? 0 2 )( c o sc o s1 12 xdx? ????? 0)a rct a n ( co s2 x
.4
2?
? )44(2 ???????
? ?0 )( s in dxxxf
例 8 计算
解
? ?41 )2( dxxf
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
01-,
c o s1
1
,0,
)(
2
x
x
xxe
xf
x
设
。于是时，；当时，且当
，，则设
2411
2
?????
???
txtx
dtdxtx
? ?41 )2( dxxf
dttetdtdttf t??? ?
??
???? 2
0
2
1
2
1
2
c o s1)(
2
1
2
1
2
1t a n]
2
1[]
2[ t a n
42
0
0
1
2 ????? ??
? ee
t t
设函数 )( xu, )( xv 在区间 ? ?ba,上具有连续
导数，则有 ? ? ?? ??
b
a
b
a
b
a
v d uuvu d v,
定积分的分部积分公式
? ?,vuvuuv ?????? ? ?,)(
b
a
b
a uvdxuv? ??
? ?,?? ???? bababa dxvudxvuuv
? ?,?? ??? bab
a
b
a v d uuvu d v
三 定积分的分部积分法
(Formula for Integration by Parts)
例 9 计算,a rc s i n210? x d x
解 令,a r c s i n xu ?,dxdv ?
,1 2xdxdu ??,xv ?
? 210 a rc s i n x d x? ? 210a r c s i n xx? ? ?? 2
1
0 21 x
x d x
62
1 ??? )1(
1
1
2
1 2
0 2
2
1
xdx ??? ?
12
?? ? ? 21
021 x??,12
3
12 ???
?
则
例 10 计算 dxxe?
1 ln
??? ?? e
e
e
e
x d xx d xdxx 1111 lnlnln
解
? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
2
2
lnln
lnln
)lnln(
1
1
1
111
1
1
1
1
1
1
???
????
??
???
?
?
e
xxxxxx
xxdxx
xxdxx
ee
ee
e
e
ee
去掉绝对值时注意分积分限
例 11 计算
? 10 dxe x
解
?10 dxe x
2,txtx ?? 则令
?10 2dte t
? ??? 10 1022 tt td edtte
? ? ? ? )(2)(2 101010 ttt eedtete ???? ?
? ? 2)1(2 ???? ee
注 本题是一个集凑微分法、根式换元法、
分布积分法的综合题。
例 12 设 求
解
?? 21,s i n)( x dtt txf,)(10? dxxxf
因为
t
ts i n
没有初等形式的原函数，
无法直接求出 )( xf,所以采用分部积分法
?10 )( dxxxf ?? 10 2 )()(21 xdxf
? ?102 )(21 xfx? ?? 10 2 )(21 xdfx
)1(21 f? ? ?? 10 2 )(21 dxxfx
?? 21,s i n)( x dtt txf?
,s in22s in)(
2
2
2
x
xx
x
xxf ????
?? 10 )( dxxxf )1(21 f? ? ?? 10 2 )(21 dxxfx
??? 10 2s i n221 dxxx ??? 10 22s i n21 dxx
? ?102c o s21 x? ).11( co s21 ??
,0s i n)1( 11? ?? dtt tf
例 13 证明定积分公式
?? ?? ?? 22 00 c o ss i n xdxxdxI nnn
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
,
3
2
5
4
2
31
,
22
1
4
3
2
31
?
?
?
为正偶数
为大于 1的正奇数
证 设,s i n 1 xu n ??,s i n xdxdv ?
,c o ss i n)1( 2 xdxxndu n ???,c o s xv ??
? ? dxxxnxxI nnn ? ?? ?? ???? 22 0 2201 c o ss i n)1(c o ss i n
x2s in1 ?0
dxxndxxnI nnn ?? ???? ? 22 00 2 s i n)1(s i n)1( ??
nn InIn )1()1( 2 ???? ?
2
1
?
??
nn In
nI 积分 关于下标的递推公式
nI
42 2
3
?? ?
??
nn In
nI,?? 直到下标减到 0或 1为止
,21436522 322 12 02 ImmmmI m ????????? ?
,32547612 2212 2 112 Immm mI m ?????????? ?
),2,1( ??m
,2200 ??? ? ? dxI,1s i n201 ?? ? ? x d xI
,221436522 322 122 ??????????? ?mmmmI m
.32547612 2212 212 ?????????? ?mmm mI m
于是
几个特殊积分、定积分的几个等式
定积分的换元公式
dxxfba? )( dtttf? ?? ?? ?? )()]([
四 小结
（ 1）根式代换（ 2）三角代换（ 3）其它代换
一, 定积分换元法：
二,定积分的分部积分法
vdu]uv[udvdx)x(g)x(f babababa ??? ????1.法则,
2.选 u与定 v的方法与不定积分分部积分法完全
相同。
3.不定积分分部积分法时常用的三种解题技巧
在定积分的分部积分法中仍要继续使用。
作业：
P229 4 (1) ~ (12)
五 思考、判断题
判断如下 ?
?
? ?
2
2 2 1xx
dx
的解法的正误
解 令,s e c tx ?,4332,???,s e ct a n td ttdx ?
? ?? ?22 2 1xx dx td tttt t a ns e ct a ns e c 143
3
2 ??? ?
?
?
dt? ??? 43
3
2,12
??
（ ）
§ 2 牛顿 ---莱布尼兹公式
§ 3 定积分的性质
§ 4 微积分学基本定理
§ 5 定积分的计算
§ 1 定积分概念
一,引例 曲边梯形面积
曲边梯形,
由连续曲线 y=f(x),直线 x=a,x=b及 x轴所
围成的图形
y=f(x)
a b0 x
y
怎样求面积呢？
a b x
y
o
?A
1 面积问题
曲边梯形由连续曲线
)( xfy ? )0)(( ?xf,
x 轴与两条直线 ax ?,
bx ? 所围成,
二 问题的提出
)( xfy ?
我们有两个问题要解决，一个是给出面积的定
义，一个是找出计算面积的方法。微积分的最大功
绩在于，用干净利索的方法解决了这一问题，并用
非常有效的方法解决了相当复杂的图形的面积的计
算问题 。
思想方法（想象圆的面积的求法）
（ 1）分割：将曲边梯形分成许多细长条
在区间 [a,b]中任取若干分点：
bxxxxxxxa nnii ?????????? ?? 11210 ??
把曲边梯形的底 [a,b]分成 n个小区间,
),,3,2,1(1 nixxx iii ????? ?的长度记为小区间 ],[ 1 ii xx ?
过各分点作垂直于 x轴的直线段，把整个曲边梯形分
成 n个小曲边梯形,其中第 i个小曲边梯形的面积记为
iA?
x
y
0
y=f(x)
0xa? 1x 3x 1?ix ix 1?nx bxn ?2x
（ 2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形
iii
iii
iiiii
xfA
fxf
xxxxi
???
?
????
)(
)(,).(
),],[ 11
?
??
??
曲边梯形的面积，即面积来近似代替这个小
的小矩形长为用相应的宽为它所对应的函数值是
（上任取一点个小曲边梯形的底在第
x
y
0
y=f(x)
0xa? 1x 2x 1?ix ix 1?nx bxn ?ξｉ
f(ξ)ｉ
（ 3）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一
个近似值。
把 n个小矩形的面积相加得和式
i
n
i
i xf ??
?
)(
1
?
它就是曲边梯 形面积 A的近似值，即,)(
1
i
n
i
i xfA ?? ?
?
?
x
y
0
y=f(x)
0xa? 1x 2x 1?ix ix 1?nx bxn ?ξｉ
f(ξ)ｉ
（ 4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之
和的极限 就是曲边梯形面积 A的精确值。
小区间长度最大值趋近于零，即 || || 0（ || ||表示
i
n
i
i xf ??
?
)(
1
?
ix? ix?
i
n
i
i xf ??
?
)(
1
?
这些小区间的长度最大者）时，和式 的
分割越细,就越接近于曲边梯形的面积 A，当
极限就是 A，即
i
n
i
ix xfA
i
?? ?
???
)(lim
10||||
?
可见，曲边梯形的面积是一和式的极限
x
y
0
y=f(x)
0xa? 1x 2x 1?ix ix 1?nx bxn ?ξｉ
f(ξ)ｉ
a b x
y
oa b x
y
o
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近
曲边梯形面积．
（四个小矩形） （九个小矩形）
解决问题的基本思路, 变“曲”为“直”
曲边梯形如图所示，
,
],[
1210 bxxxxxa
ba
nn ??????? ??个分点，
内插入若干在区间
a b x
y
o i?ix1x 1?ix 1?nx;
],[
],[
1
1
?
?
??? iii
ii
xxx
xx
nba
长度为
，个小区间
分成把区间
，上任取一点
在每个小区间
i
ii xx
?
],[ 1?
iii xfA ?? )(?
为高的小矩形面积为为底，以 )(],[ 1 iii fxx ??
i
n
i
i xfA ?? ?
?
)(
1
?
曲边梯形面积的近似值为
i
n
i
i xfA ?? ?
??
)(lim
10
?
?
时，趋近于零
即小区间的最大长度当分割无限加细
)0(
},,m a x {
,
21
?
????
?
? nxxx ?
曲边梯形面积为
例 2 路程问题
设某质点作直线运动，速度 )( tvv ? 是时间
间隔 ],[ 21 TT 上 t 的一个连续函数，求物体在这
段时间内所经过的路程,
把整段时间分割成若干小时间段，每小段
上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，
便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限
细分过程求得路程的精确值．
对于匀速运动，我们有公式
路程 =速度 X时间
解决变速运动的路程的基本思路
（ 1）分割 212101 TtttttT nn ??????? ??
1???? iii ttt
iii tvs ??? )(?
（ 3）作和 ii
n
i
tvs ?? ?
?
)(
1
?
（ 4）取极限 },,,m a x { 21 nttt ???? ??
i
n
i
i tvs ?? ?
??
)(l i m
10
?
?
路程的精确值
(2) 取点
ii t???
三、定积分的定义
定义,设函数 y=f(x)在区间 [a,b]上有定义。在区间
[a,b]中任取分点
,113210 bxxxxxxxxa nnii ?????????? ?? ??
将区间 [a,b]分成 n个小区间,其长度为][
1 ii xx,?
的和式：乘积
作上，任取一点，在每个小区间
),,2,1()(
)(][ 11
nixf
xxxx
ii
iiiiii
???
????
?
??
1???? iii xxx ),,2,1 ni ??（
.)(
1 i
n
i i
xf ??
?
?
,)( dxxfba? dxxfxf bain
i
ix i )()(lim
10|||| ?
? ??
???
?
如果不论对区间 [a,b]采取何种分法及 如何选取，当
n个小区间的长度最大的趋于零，即 时，和
式（ 1）的极限存在，则称函数 f(x)在区间 [a,b]上 可积,
并称此极限值为函数 f(x)在区间 [a,b]上的 定积分,记作
0||| ?? ix
i?
即
（ 1）
注：
? ??ba Idxxf )( ii
n
i
xf ??
??
)(lim
10
?
?
(1)利用极限的,”的说法，将定积分的
定义精确表述如下,
?? ?
有中怎样取法，只要在
的任何分法，不论对于区间
,][
],[,0,0
,1 ??
???
?
????
? ii
i
xx
ba
?? ????
?
Ixf ii
n
i
)(
1
.],[)( 上的定积分在区间是成立，则称 baxfI
( 2 ) 积分值仅与被积函数及积分区间有关,
?ba dxxf )( ?? ba dttf )( ?? ba duuf )(
（ 3 ）积分值与区间的分法和 i? 的取法是无关的,
（ 4 ）当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的定积分存在时,
而与积分变量的写法无关,
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上可积,
（ 5） 曲边梯形由连续曲线 )( xfy ? )0)(( ?xf,
x 轴与两条直线 ax ?,bx ? 所围成,
??
b
a
dxxfA
baxfA
)(
],[)(
即
上的定积分，在区间等于函数其面积 ( 6 ) 设某质点作直线运动，速度 )( tvv ? 是时
间间隔 ],[ 21 TT 上 t 的一个连续函数，物体在这
段时间内所经过的路程,
?? 21 )(TT dttvS
1.
? dxxf )(
与
?ba dxxf )(
的差别
3．定积分的值与积分变量用 什么字母表示无关,即有
? ?? ?? ba baba duufdttfdxxf )()()(
4．规定：
?? ?? abba dxxfdxxf )()( 0)( ??a
a dxxf
? dxxf )(
是 )(xf 的全体原函数 是 函数
?ba dxxf )(
是一个和式的极限 是一个确定的 常数
注：
2,当 xf
i
n
i
??
?
)(
1
? 的极限存在时,其极限值仅与被积函数
及积分区间 有关,而与区间 ? ?ba,的分法及 ?
i
点的取法 无关 。
f(x) [a,b]
,0)( ?xf
? ?ba Adxxf )(
曲边梯形的面积
,0)( ?xf
? ??ba Adxxf )(
曲边梯形的面积
的负值
四 定积分的几何意义
a b x
y
o
o
y
a b x
几何意义
积取负号．
轴下方的面在轴上方的面积取正号；在
数和．之间的各部分面积的代直线
的图形及两条轴、函数它是介于
xx
bxax
xfx
??,
)(
1A
2A
3A
321)( AAAdxxf
b
a ?????
? ? ? x
y
o
A.与区间及被积函数有关； B.与区间无关与被积函数有关
C.与积分变量用何字母表示有关； D.与被积函数的形式无关
)( xfy ? 在 ? ?ba,上连续，则定积分 ?b
a dxxf )(
的值4.(B)
??22 3s in td t
中，积分上限是 积分下限是 积分区间是2.(A)
及 x轴所围成的曲边梯形
的面积，用定积分表示为 12 ?? xy
与直线 3,1 ?? xx1,由曲线(B)
举例
dxx )1( 231 ??
2 -2
[-2,2]
0
A
??? 22 2 )1( dxx
3.定积分(A)
?? dxxfba )(.1
A
-A
0)( ?xf
0)( ?xf
A表示以 y=f(X)为曲边的 曲 边梯形面积
a b
a b
y=f(x)>0
y=f(x)<0
x x
y y
0 0
A
A
321)( AAAdxxf
b
a ????则
2.如果 f(x)在 [a,b]上时正，时负，如下图
3.结论：
的代数和表示
积的值都可用区边梯形面dxxfba )(? 几何意义
a b x
y
y=f(x)
2A
1A 3
A
0
应用
例 1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
积为义，可得阴影部分的面
根据定积分的几何意上连续，且
，在）在图①中，被积函数（
,0)(
]0[)(1 2
?
?
xf
axxf
解：
dxxA a 20??
0 0 0 0a
y
x
y
x
y
x
y
x
f(x)=x2 f(x)=x2
-1 2
f(x)=1
a b -1 2
f(x)=(x-1)2-1
① ② ③ ④
积为义，可得阴影部分的面
根据定积分的几何意上连续，且
，在）在图②中，被积函数（
,0)(
]21[)(2 2
?
??
xf
xxf
解：
dxxA 22 1? ??
0 0 0 0a
y
x
y
x
y
x
y
x
f(x)=x2 f(x)=x2
-1 2
f(x)=1
a b -1 2
f(x)=(x-1)2-1
① ② ③ ④
积为义，可得阴影部分的面
根据定积分的几何意上连续，且
，在）在图③中，被积函数（
,0)(
][1)(3
?
?
xf
baxf
解：
dxA ba??
0 0 0 0a
y
x
y
x
y
x
y
x
f(x)=x2 f(x)=x2
-1 2
f(x)=1
a b -1 2
f(x)=(x-1)2-1
① ② ③ ④
可得阴影部分的面积为根据定积分的几何意义
，上，在上，上连续，且在
，在）在图④中，被积函数（
0)(]20[,0)(]01[
]21[1)1()(4 2
???
????
xfxf
xxf
解：
dxxdxxA ?? ?????? ? ]1)1[(]1)1[( 22020 1
0 0 0 0a
y
x
y
x
y
x
y
x
f(x)=x2 f(x)=x2
-1 2
f(x)=1
a b -1 2
f(x)=(x-1)2-1
① ② ③ ④
成立。
说明等式利用定积分的几何意义 0s i n2
2
??
?
x d x
?
?
例 2：
解：
所以
并有上，在
上，上连续，且在，在
在右图中，被积函数
,
,0s i n]
2
0[,0s i n
]0
2
[]
22
[
s i n)(
21
AA
xx
xxf
?
??
??
?
?
???
0)( 122
2
????
?
AAdxxf
?
?
2
??
2
?
2A
1A x
y
f(x)=sinx
1
-1
利用定积分的几何意义，判断下列定积分
值的正、负号。
? 20 sin? xdx ??21 2dxx
利用定积分的几何意义，说明下列各式。
成立：
0s in20 ?? ? x d x ?? ? 200 s i n2s i n
??
x d xx d x
1）,2）,
1）,2）,
练习,
试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
0
y
x
y=x2
1 2 0 x
y=f(x)
y=g(x)
a b
y
例 1 利用定义计算定积分,1
0
2dxx?
解
将 ]1,0[ n 等分，分点为 nix i ?, ( ni,,2,1 ?? )
小区间 ],[ 1 ii xx ? 的长度 nx i 1??, ( ni,,2,1 ?? )
取 ii x??, ( ni,,2,1 ?? )
ii
n
i
xf ??
?
)(
1
? iin
i
x?? ?
?
2
1
?,
1
2
i
n
i
i xx ?? ?
?
(1) 分割
（ 2） 取点
（ 3） 求和
nn
in
i
12
1
??
?
??
?
?? ?
?
?
?
?
n
i
in
1
2
3
1
6
)12)(1(1
3
???? nnn
n
,121161 ?????? ??????? ?? nn ???? n0?
dxx?10 2 ii
n
i
x?? ?
??
2
10
l i m ?
?
?????? ??????? ?? ?? nnn 121161lim,31?
（ 4） 求极限
例 2
dxx? ?10 21计算积分
义知，该积分值等于解：由定积分的几何意
的面积（见下图）
所围及轴，曲线 10,1 2 ???? xxxxy
x1
y
面积值为圆的面积的
4
1
41
1
0
2 ???? dxx所以
１ 定积分的实质,和式的极限．
２ 定积分的思想方法：
求近似以直（不变）代曲（变）
取极限
取点、求和 积零为整
分割 化整为零
取极限 精确值 —— 定积分
小结与作业
小结与作业
作业, P204
1,2 (1) ~ (4),
定积分的定义是一种构造性定义，
通过四步骤归结为一个和式的极限,
定积分的几何意义及简单应用
§ 2 牛顿 ----莱布尼兹公式
一个实例一,
间的关系与速度函数位移函数 )()(—— tVtS
物体所经过的路程显然有两种表达方式,
);()()( aSbStS ?将其表示为应用路程函数第一种,
第二种, ? b
a dttV )(将其表示为应用定积分的物理意义
).()(),()()( ' tStVaSbSdttVba ???? ? 其中
时刻物体所对应直线运动一物体在直线上作变速 t,
物体所经过时变到由当速度为的路程为,),(),( battVtS
的路程是多少
变上限的定积分二,
一种表达函数的新方法——
.)()( ?? ? baba dttfdxxf且
存在则有定积分上可积在若 ? ba dxxfbaf )(,],[
因而有上可积在,],[ xaf 存在],[ bax ?? ? xa dttf )(
定义
],[,)()(],[)( baxdttfx，baxf xa ?? ??则上可积在设
称为变上为自变量的函数定义了一个以积分上限,x
.或积分上限函数限的定积分,
.],[,)()( 称为变下限的定积分类似地 baxdttfx,bx ?? ??
.统称为变限积分与 ??
定理 9.9
上的连续函数是与则上可积在若 ],[],[ ba，baf ??
证明, ],,[],[ baxxx,ba ???只要上任一确定的点对
按变上限积分的定义有
.)()()( ? ?? ???? ???? xa xxxxxa dttfdttfdttf?
].,[,)(,],[ batMtfbaf ??可设上有界在因
时有当于是 0,?? x;)()( xMdttfdttf xxxxxx ????? ?? ?????
,0lim.0 0 ??????? ?? ?? xxMx 由此得到时则有当
.],[,,上处处连续在的任意性由连续在点即证得 bafxx?
基本定理三,
微积分学基本定理——
定理 9.10
上在则可变上限积分上连续在若 ],[],[ ba，baf ?
且处处可导,
].,[),()()( baxxfdttfdxdx x
a
???? ??
分析, 前提 )()(],[)(],[ ' xfxbaxbaf ?? ?? 可导且在连续在
只须 ).(l i m],[
0
xfxbaf
x
????
??
?连续在
a b x
y
o xx ??
证 dttfxx xx
a?
?????? )()(
)()( xxx ????????
dttfdttf xaxxa ?? ?? ?? )()(
)(?
x
定理 9.10
基本定理三,
微积分学基本定理——
上在则可变上限积分上连续在若 ],[],[ ba，baf ?
且处处可导,
].,[),()()( baxxfdttfdxdx x
a
???? ??
?
dttfdttfdttf xaxxxxa ??? ??? ?? )()()(
,)(? ??? xxx dttf
由积分中值定理得
xf ???? )(? ],,[ xxx ????
xx ??? ?,0
),(?fx ???? )(l i ml i m 00 ?fx xx ???? ????
).()( xfx ?? ??
a b x
y
o xx ??
)(x?
x
推论
? ? )()]([)()( xxfxxf ???? ???? ??? )(
)( )()(
x
x dttfdx
dxF ?
?
(3) dttfxF
x
x?
? )(
)(
)()( ?
?
则 )( xF ? 的导数为
如果 )( tf 连续,)( x?, )( x? 可导，
（ 1）
)(])([)(
)()(
xfdttfxF
dttfxF
x
a
a
x
???????
??
则
（ 2）
)())((])([)(
)()(
)(
)(
xxfdttfxF
dttfxF
x
a
x
a
???
?
??????
??
则
要性微积分学基本定理的重
(i) 解决了原函数的存在性问题
(ii) 沟通了导数与定积分之间的内在联系
(iii) 为寻找定积分的计算方法提供了理论依据
精僻地得出, 上的连续函数一定存在原函数,且],[ ba
是 的一个原函数这一基本结论,)(x? )(xf
为微分学和积分学架起了桥梁,因此被称为微积分学
基本定理,
)(x?定理指出 是 的一个原函数,而 又是变上限)(xf)(x?
积分,故 ??? ? ?b
a
a
a dxxfadxxfb )()(,)()( ??
.)()()(? ??ba abdxxf ??
比较变速直线运动中
).()()( aSbSdttVba ???
).()()( abdxxfba ?? ???
共同点, 等式左端同是 [ a,b ]上的定积分,等式右端又
都是原函数在 [a,b ]上的增量,
定积分的基本公式四,
莱布尼兹公式牛顿 ———
定理 9.11
上的在是且上连续在若函数 ],[)()(,],[ baxfxFbaf
则一个原函数,
? ??ba aFbFdxxf ).()()(
分析, 前提条件
.)()2(
,)()1(],[
存在原函数
存在连续在
xf
dxxfbaf
b
a??
.)( 就是它的一个原函数? xa dttf
证明,
连续在因为 ],[)( baxf
的一个原函数是故 )()( xfdttfxa?
，xfxF 的原函数是又 )()(
).(0)( aFCdttfa,x aa ??? ? 得到则由在上式中令
移项得 ).()()( aFxFdttfx
a ???
即得令 b,x ? ).()()( aFbFdxxfba ???
此式称为定积分的基本公式,又称牛顿 ----莱布尼兹公式
常表示为
b
a
b
a
xFdxxf )()( ??
.)()( CdttfxF xa ?? ?所以
例题五,
例 1,.s i n? b
a xdx计算
解,
xx s i n)co s( ' ??且
，bax 连续在因 ],[s i n
b
a
b
a xx d x c o ss i n ???所以
.c o sc o s ba ??
例 2 已知 dtttb
x )1ln(s i n ???
求
dx
dy
解
)) ( s i n1s i nlns i n( ????? xxx
xxx c o s)1s i nlns i n( ????
dttt
dx
dy x
b
)1ln(s i n ???? ?
例 3,以及直线计算由抛物线 3,12 ???? yxxy
.S坐标轴所围图形的面积
解,
如右图
由于抛物线
o x
y
1 3
与直线
)2,1(相交于点
(1,2)
故所围曲边梯形面积
.)(30?? dxxfS
??
?
?
?
???
???
?
.31,3
,10,1
)(
2
xx
xx
xf其中
? ? ???? 10 312 )3()1( dxxdxxS
3
1
2
1
0
2
)23()3( xxxx ????
.313?
小结六,
1,变上限定积分的概念 ;
P229,1,2,3 (1)~(2),
2,微积分学基本定理 ;
3,牛顿 ----莱布尼兹公式,
作业,
§ 3 定积分的性质
对定积分的补充规定,
（ 1 ）当 ba ? 时,0)( ?? aa dxxf ；
( 2 ) ?? ?? abba dxxfdxxf )()(,
注意 在下面的性质中，假定定积分都存
在，且不考虑积分上下限的大小,
? ?ba dxxgxf )]()([ ?? ba dxxf )( ?? ba dxxg )(,
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质 1
?? ? baba dxxfkdxxkf )()( ( k 为常数 ).性质 2
? ba dxxf )( ?? ?? bcca dxxfdxxf )()(,
注意, 不论 的相对位置如何,上式总成立,cba,,
性质 3
例 若,cba ??
?ca dxxf )( ?? ?? cbba dxxfdxxf )()(
?ba dxxf )( ?? ?? cbca dxxfdxxf )()(
.)()( ?? ?? bcca dxxfdxxf
（定积分对于积分区间具有可加性）
则
推论 1
证 ),()( xgxf ??,0)()( ??? xfx
,0)]()([ ??? ? dxxfxgba
,0)()( ?? ?? baba dxxfdxxg
于是 dxxfba? )( dxxgba?? )(,
则 dxxfba? )( dxxgba?? )(, )( ba ?
如果在区间 ],[ ba 上 )()( xgxf ?,（ 1）
dxba ?? 1 dxba?? ab ??,
则 0)( ?? dxxfba, )( ba ?
证,0)( ?xf?,0)( ??? if ),,2,1( ni ??
,0?? ix?,0)(
1
???? ?
?
ii
n
i
xf
},,,m a x { 21 nxxx ???? ??
ii
n
i
xf ?? ?
??
)(lim
10
?
?,0)(? ??
b
a dxxf
性质 4
性质 5如果在区间 ],[ ba 上 0)( ?xf,
dxxfba? )( dxxfba?? )(,)( ba ?
证,)()()( xfxfxf ????
,)()()( dxxfdxxfdxxf bababa ??? ????
即 dxxfba? )( dxxfba?? )(,
说明,| )( xf | 在区间 ],[ ba 上的可积性
可由 )( xf 区间 ],[ ba 上的可积性推出,
推论 2
（ 2）
设 M 及 m 分别是函数
证,)( Mxfm ???
,)( ??? ??? bababa M d xdxxfdxm
).()()( abMdxxfabm ba ???? ?
（此性质说明，由被积函数在积分区间上的
最值，可用于估计积分值的大致范围）
则 )()()( abMdxxfabm ba ???? ?,
)( xf 在区间 ],[ ba 上的最大值及最小值，
性质 6
如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，
证
Mdxxfabm ba ???? ? )(1
)()()( abMdxxfabm ba ???? ??
由闭区间上连续函数的介值定理知
则在积分区间 ],[ ba 上至少存在一个点 ?,
使 dxxfba? )( ))(( abf ?? ?, )( ba ?? ?
性质 7（定积分中值定理）
积分中值公式
在区间 ],[ ba 上至少存在一个点 ?,
使,)(1)( ???? ba dxxfabf
dxxfba? )( ))(( abf ?? ?,)( ba ?? ?
在区间 ],[ ba 上至少存在一
个点 ?,
即
积分中值公式的几何解释：
x
y
o a b?
)(?f 使得以区间 ],[ ba 为以曲线 )( xfy ?底边,
为曲边的曲边梯形的面积
等于同一底边而高为 )( ?f
的一个矩形的面积 。
平均值在函数 ],[)( baxf
例 2 比较积分值 dxe x? ? 20 和 dxx? ? 20 的大小,
解 令 xxgexf x ?? )(,)( ]0,2[??x
)()( 0)(,0)( xgxfxgxf ?????
于是由性质 5的推论 1 dxe x??20,20 dxx???
§ 4 微积极分学基本定理
定理 3（微积分基本定理）
如果 )( xF 是连续函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上
的一个原函数，则 )()()( aFbFdxxf
b
a
???,
又 ? dttfx xa??? )()( 也是 )( xf 的一个原函数,
? 已知 )( xF 是 )( xf 的一个原函数,
CxxF ???? )()( ],[ bax ?
证
令 ax?
0)()( ??? ? dttfa aa?,)( CaF ??
),()()( aFxFdttfxa ??? ?
,)()( CdttfxF xa ?? ??
令 bx ?
牛顿 (Newton)— 莱布尼茨 (Leibniz)公式
,)()( CaaF ???则
).()()( aFbFdxxfba ???则
)()()( aFbFdxxfba ???
微积分基本公式表明：
? ?baxF )(?
( 1 ) 一个连续函数在区间 ],[ ba 上的定积分等
于它的任意一个原函数在区间 ],[ ba 上的增量,
( 3 ) 当 ba ? 时,)()()( aFbFdxxf
b
a
??? 仍成立,
(2)求定积分问题转化为求原函数不定积分
的的问题,
例 1 求,1
0
2dxx?
解 由于 2x 的一个原函数是 3 3x,
.
3
1
3
1
0
31
0
2 ?
?
?
?
?
?
?
?? xdxx所以
例 2 求,
1
13
1 2
dxx?
? ?
? ? 313
1 2
a r c t a n1 1 ?
?
??? xdxx
???
12
7)
4
(
3
????
)1a r c t a n (3a r c t a n ???
解
例 3 计算 ??
?
2
1 x
dx
? ? 2ln1ln2lnln 212
1
???? ???
??
xxdx
解
例 4 设
?
?
?
?
??
?
? 0,
0,1
)(
2
xe
xx
xf
x
? ?31 )2( dxxf求
解 ??
????
1
1
3
1 )(2)2( dttftxdxxf 令
? ? ? ?
e
ett
dtedtt
t
t
1
3
7
3
1
)1(
1
0
0
1
30
1
0
1
1
0
2
????
?
?
?
?
?
??
???
?
?
?
?
?
? ?
例 5 求,l i m 2
1
c o s
0
2
x
dte
x
t
x
? ?
?
解 ? ?1co s 2x t dtedxd,c o s
1
2? ??? x t dte
dx
d
)(co s2co s ???? ? xe x,s i n 2c o s xex ???
2
1
c o s
0
2
lim x
dte
x
t
x
? ?
? x
ex x
x 2
s i nlim 2c o s
0
?
?
??,
2
1
e?
0
0
分析,这是 型不定式，应用洛必达法则,
例 7 设 )( xf 在 ),( ???? 内连续，且 0)( ?xf,
证明函数
?
?
?
x
x
dttf
dtttf
xF
0
0
)(
)(
)( 在 ),0( ?? 内为单调增
加函数,
证 ? x dtttfdxd 0 )( ),( xxf? ? x dttfdxd 0 )( ),( xf?
? ?2
0
00
)(
)()()()(
)(
?
?? ???
x
xx
dttf
dtttfxfdttfxxf
xF
? ?
,
)(
)()()(
)( 2
0
0
?
? ???
x
x
dttf
dttftxxf
xF
)0(,0)( ?? xxf?,0)(0? ?? x dttf
,0)()( ?? tftx?,0)()(0? ??? x dttftx
).0(0)( ???? xxF
故 )( xF 在 ),0( ?? 内为单调增加函数,
例 8 设,求, ??
?
??
???
215
102)(
x
xxxf
?20 )( dxxf
解 ? ?? ?? 10 2120 )()()( dxxfdxxfdxxf
? ??? 10 21 52 dxx d x原式,6?
例 9 计算曲线 xy s i n? 在 ],0[ ? 上与 x 轴所围
成的平面图形的面积,
解
x
y
o ??
??
0 s in xdxA
? ? 2c o s 0 ??? ?x
?? ??? 10202 )(2)()( dxxfdxxfxxxf例 10 已知
求 )(xf
解
babaxxxf
dxxfbdxxfa
,2)(
)(,)(
2
1
0
2
0
代入上式则
，设
???
?? ??
)2( 2b
2
-
3
1
)2(
)1( 42
3
8
)2(
1
0
2
2
0
2
?????
??????
?
?
a
dxbaxxb
badxbaxxa
由 （ 1）（ 2） 解之得
3
2
3
4)(
3
1,
3
4 2 ?????? xxxfba
3.微积分基本公式
1.积分上限函数 ??? xa dttfx )()(
2.积分上限函数的导数 )()( xfx ?? ?
)()()( aFbFdxxfba ???
四 小结 (sumary)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学
（不定积分与定积分）之间的关系．
4.上述大部分例题都是定积分所特有的而不
定积分所没有的,
五 思考与判断题
设 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则 dttf
x
a?
)( 与
duuf
b
x?
)( 都是 x 的函数 （ ）
（ 1）
（ 2）求定积分可以先求不定积分，从而求出原
函数，由牛顿 -莱布尼茨公式可得结果（ ）
§ 5 定积分的计算
一 问题的提出
我们知道求定积分的关键是求原函数，而
求原函数的方法是求不定积分，然而不定积分中
有换元法，那么定积分是否也有换元法，有哪些
不同？
在一定条件下，可以用换元积分法与分
部积分法来计算定积分,
牛顿 ---莱布尼兹公式：
)a(F)b(F)x(Fdx)x(f baba ????
求出 f(x)的原函数 F(x)
问,求 f(x)的原函数（不定积分）学过
了哪些方法？
xdxs i n)2 0? ?dxx)1 9
1?
关键：
复习引入
定理 假设 )( xf 在 ],[ ba 上连续；
（ 1 ）函数 )( tx ?? 在 ],[ ?? 上是单值的且有连续
导数；（ 2 ）当 t 在区间 ],[ ?? 上变化时,)( tx ?? 的值
在 ],[ ba 上变化，且 a?)( ??, b?)( ??,
则 有 dtttfdxxfba ?? ?? ?? ?? )()]([)(,
二 定积分的换元法
(Formula for Integration by Substitution)
换元公式
证 设 )( xF 是 )( xf 的一个原函数,
),()()( aFbFdxxfba ???
)],([)( tFt ????
dt
dx
dx
dFt ??? ? )( )()( txf ? ?? ),()]([ ttf ? ???
),()()()]([ ??????? ??? ?? dtttf
)( t?? 是 )()]([ ttf ?? ? 的一个原函数,
a?)(??, b?)( ??,
)()( ?? ??? )]([)]([ ???? FF ??
),()( aFbF ??
)()()( aFbFdxxfba ??? )()( ?? ????
.)()]([ dtttf? ?? ?? ??
注意 当 ?? ? 时，换元公式仍成立,
说明
（ 2）
求出 )()]([ ttf ?? ? 的一个原函数 )( t? 后，
不必象计算不定积分那样再要把 )( t? 变换
成原变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的
上、下限分别代入 )( t? 然后相减就行了,
（ 3）
用 )( tx ?? 把变量 x 换成新变量 t 时，
积分限也相应的改变,
.)(
,)(),(
)( )1(
dxtx
dttdxtdx
dxxf
b
a
的微分
这正好是换成则换成的
中如果把应用换元公式的时候，
?
??
?
?
?
例 1 计算
解
? ??a adxxa0 22 )0(.
令,s i n tax ?
ax?,2??? t 0?x,0?? t
,c o s td tadx ?
原式
?? 20 22 c o s
?
td ta
? ?? ?? 2
0
2
2c o s12
?
dtta
? ? 202 2s i n2 ?tta ??,
4
2a?
?
例 2 计算,s i nco s20 5? ? x d xx
解 令,c o s xt ?
2
??x,0?? t 0?x,1?? t
? ?20 5 s i nco s x d xx ??? 01 5dtt
1
0
6
6
t?
.61?
,s i n x d xdt ??
此题也可简要记法如下：
? 20 5 s i nc o s? xdxx,c o sc o s20 5??? ? xxd
6
1
6
c o s 2
0
6
???
?
x
例 3 计算
解
.s i ns i n0 53? ? ? dxxx
xxxf 53 s i ns i n)( ??? ? ? 23s i nc o s xx?
? ? ?? 0 53 s ins in dxxx ? ?? ?? 0 23s inc o s dxxx
? ?? ?? 20 23s inco s dxxx ? ?? ???
2
2
3
s inco s dxx
? ?? ?? 20 23 s i ns i n xdx ? ?? ???
2
2
3
s ins in xdx
? ? 2
0
2
5
s i n52
?
? x ? ?
?
?
?
2
2
5
s i n
5
2 x
.54)52(52 ????
例 4 计算 ?
?
?4
0 12
2 dx
x
x
解 令
3410
,,
2
1
,12
2
????
?
?
???
txtx
t d tdx
t
xtx
时，，当时，且
则
? ? ??
??
?
3
1
3
1
2
2
)3(
2
122
1
dttt d t
t
t
3
22]3
3[2
1 3
1
2
??? tt
? ??40 12 2 dxxx
例 5 当 )( xf 在 ],[ aa? 上连续，且有
① )( xf 为偶函数，则
? ?
?
?
a
a
a
dxxfdxxf
0
)(2)( ；
② )( xf 为奇函数，则 ?
?
?
a
a
dxxf 0)(,
证,)()()(
0
0? ??
? ? ??
a
a
a
a dxxfdxxfdxxf
在 ??0 )(a dxxf 中令 tx ??,
?? ?0 )(a dxxf ? ??? 0 )(a dttf,)(0? ?a dttf
① )( xf 为偶函数，则 ),()( tftf ??
? ??? ? ??a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()(;)(2 0?? a dttf
② )( xf 为奇函数，则 ),()( tftf ???
? ??? ? ??a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()(,0?
奇函数
例 6 计算
解
.11 c o s21
1 2
2
?? ?? ? dxx xxx
原式 ?
? ??
? 1
1 2
2
11
2 dx
x
x ?
? ???
1
1 211
c o s dx
x
xx
偶函数
? ??? 10 2
2
114 dxx
x?
??
??? 1
0 2
22
)1(1
)11(4 dx
x
xx
? ??? 10 2 )11(4 dxx? ??? 10 2144 dxx
.4 ???
例 7 若 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，证明
（ 1 ） ??
??
?
22
00
)( c o s)( s i n dxxfdxxf ;
（ 2 ） ??
?? ?
?
00
)( s i n
2
)( s i n dxxfdxxxf,
由此计算 ?
?
?0
2
c o s1
s i n
dx
x
xx
.
证 （ 1）设 tx ??? 2,dtdx ???
0?x,2??? t 2??x,0?? t
? ?20 )( s i n dxxf ?? ?????? ?????? ???? 02 2s i n dttf
? ?? 20 )( co s dttf ;)( co s20? ?? dxxf
（ 2）设 tx ???,dtdx ???
0?x,??? t ??x,0?? t
? ?0 )( s in dxxxf ?? ?????? 0 )][ s in()( dttft
,)( s in)(0? ? ??? dttft
? ??? 0 )( s in dttf ? ?? 0 )( s in dtttf
? ??? 0 )( s in dxxf,)( s in0? ?? dxxxf
.)( s in2)( s in 00 ?? ?? ??? dxxfdxxxf
? ? ?0 2co s1 s i n dxxxx ? ? ??? 0 2c o s1 s in2 dxxx
? ? ???? 0 2 )( c o sc o s1 12 xdx? ????? 0)a rct a n ( co s2 x
.4
2?
? )44(2 ???????
? ?0 )( s in dxxxf
例 8 计算
解
? ?41 )2( dxxf
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
01-,
c o s1
1
,0,
)(
2
x
x
xxe
xf
x
设
。于是时，；当时，且当
，，则设
2411
2
?????
???
txtx
dtdxtx
? ?41 )2( dxxf
dttetdtdttf t??? ?
??
???? 2
0
2
1
2
1
2
c o s1)(
2
1
2
1
2
1t a n]
2
1[]
2[ t a n
42
0
0
1
2 ????? ??
? ee
t t
设函数 )( xu, )( xv 在区间 ? ?ba,上具有连续
导数，则有 ? ? ?? ??
b
a
b
a
b
a
v d uuvu d v,
定积分的分部积分公式
? ?,vuvuuv ?????? ? ?,)(
b
a
b
a uvdxuv? ??
? ?,?? ???? bababa dxvudxvuuv
? ?,?? ??? bab
a
b
a v d uuvu d v
三 定积分的分部积分法
(Formula for Integration by Parts)
例 9 计算,a rc s i n210? x d x
解 令,a r c s i n xu ?,dxdv ?
,1 2xdxdu ??,xv ?
? 210 a rc s i n x d x? ? 210a r c s i n xx? ? ?? 2
1
0 21 x
x d x
62
1 ??? )1(
1
1
2
1 2
0 2
2
1
xdx ??? ?
12
?? ? ? 21
021 x??,12
3
12 ???
?
则
例 10 计算 dxxe?
1 ln
??? ?? e
e
e
e
x d xx d xdxx 1111 lnlnln
解
? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
2
2
lnln
lnln
)lnln(
1
1
1
111
1
1
1
1
1
1
???
????
??
???
?
?
e
xxxxxx
xxdxx
xxdxx
ee
ee
e
e
ee
去掉绝对值时注意分积分限
例 11 计算
? 10 dxe x
解
?10 dxe x
2,txtx ?? 则令
?10 2dte t
? ??? 10 1022 tt td edtte
? ? ? ? )(2)(2 101010 ttt eedtete ???? ?
? ? 2)1(2 ???? ee
注 本题是一个集凑微分法、根式换元法、
分布积分法的综合题。
例 12 设 求
解
?? 21,s i n)( x dtt txf,)(10? dxxxf
因为
t
ts i n
没有初等形式的原函数，
无法直接求出 )( xf,所以采用分部积分法
?10 )( dxxxf ?? 10 2 )()(21 xdxf
? ?102 )(21 xfx? ?? 10 2 )(21 xdfx
)1(21 f? ? ?? 10 2 )(21 dxxfx
?? 21,s i n)( x dtt txf?
,s in22s in)(
2
2
2
x
xx
x
xxf ????
?? 10 )( dxxxf )1(21 f? ? ?? 10 2 )(21 dxxfx
??? 10 2s i n221 dxxx ??? 10 22s i n21 dxx
? ?102c o s21 x? ).11( co s21 ??
,0s i n)1( 11? ?? dtt tf
例 13 证明定积分公式
?? ?? ?? 22 00 c o ss i n xdxxdxI nnn
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
,
3
2
5
4
2
31
,
22
1
4
3
2
31
?
?
?
为正偶数
为大于 1的正奇数
证 设,s i n 1 xu n ??,s i n xdxdv ?
,c o ss i n)1( 2 xdxxndu n ???,c o s xv ??
? ? dxxxnxxI nnn ? ?? ?? ???? 22 0 2201 c o ss i n)1(c o ss i n
x2s in1 ?0
dxxndxxnI nnn ?? ???? ? 22 00 2 s i n)1(s i n)1( ??
nn InIn )1()1( 2 ???? ?
2
1
?
??
nn In
nI 积分 关于下标的递推公式
nI
42 2
3
?? ?
??
nn In
nI,?? 直到下标减到 0或 1为止
,21436522 322 12 02 ImmmmI m ????????? ?
,32547612 2212 2 112 Immm mI m ?????????? ?
),2,1( ??m
,2200 ??? ? ? dxI,1s i n201 ?? ? ? x d xI
,221436522 322 122 ??????????? ?mmmmI m
.32547612 2212 212 ?????????? ?mmm mI m
于是
几个特殊积分、定积分的几个等式
定积分的换元公式
dxxfba? )( dtttf? ?? ?? ?? )()]([
四 小结
（ 1）根式代换（ 2）三角代换（ 3）其它代换
一, 定积分换元法：
二,定积分的分部积分法
vdu]uv[udvdx)x(g)x(f babababa ??? ????1.法则,
2.选 u与定 v的方法与不定积分分部积分法完全
相同。
3.不定积分分部积分法时常用的三种解题技巧
在定积分的分部积分法中仍要继续使用。
作业：
P229 4 (1) ~ (12)
五 思考、判断题
判断如下 ?
?
? ?
2
2 2 1xx
dx
的解法的正误
解 令,s e c tx ?,4332,???,s e ct a n td ttdx ?
? ?? ?22 2 1xx dx td tttt t a ns e ct a ns e c 143
3
2 ??? ?
?
?
dt? ??? 43
3
2,12
??
（ ）
