§ 1 关于实数完备性的基本定理
§ 2 闭区间上连续函数性质的证明
第七章 实数的完备性
第七章 实数的完备性
§ 1 关于实数完备性的基本定理
说明,
?定义
定义表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,即
闭区间的端点满足不等式,
{ },],[ 具有如下性质设闭区间列 nn ba;,2,1],,[],[)( 11 L=? ++ nbabai nnnn
,0)(lim)( =-?? nnn abii
{ },,],[ 简称区间套为闭区间套则称 nn ba
.1221 bbbaaa nn ???????? LLL
一 区间套定理
?定理 (区间套定理 )
?定理的几何意义
区间套定理的几何意义是,有一列闭线段 (两个端点也属于此
线段 ),后者被包含在前者之中,并且这些闭线段的长构成的数列以 0
为极限,则这一列闭线段存在唯一一个公共点
{ },],[ x的一点则在实数系中存在唯一是一个区间套若,ba nn
.,2,1],,[ L=? nba nnx使得,,2,1,L=?? nba nn x即
x
?
?定理的证明
{ },an 为递增有界数列由区间套定义知
{ },a,n x有极限依单调有界定理,,2,1 L=?, nan x且有
{ } 有并按区间套的条件也有极限递减有界数列同理 )(ii，b,n
,limlim x== ???? n
nnn
ab,,2,1 L=?, nbn x且
.,2,1 L=??, nba nn x从而有
.是唯一的的下面证明满足题设条件 x
,,2,1,'' L=?? nba nn xx 也满足设
.,2,1,' L=-?- nab nnxx则
得由区间套定义 )(ii
,0)(lim' =-?- ?? nn
n
abxx则
.'xx =故有
证毕,
?推论
是闭区间套若 ),2,1](,[ ?=? nbax { }],[ nn ba 则所确定的点,
).;(],[,,,0 ?x? UbaNnNN nn ??????? + 有
说明,
区间套中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理结论的成立,
二 聚点定理
?定义
设 为数轴上的点集,为定点,(它可以属于,也可以不属于S x SS
若 的任何邻域内都含有 中无穷多个点,则称 为 的聚点,SS xx
说明, 聚点概念和下面两个定义等价,
对于点集,若点 的任何 邻域都含有 中异于
的点,即,则称 为 的聚点,S
SS x
x
x
,);( ??x ?。U
?
说明
若存在各项互异的收敛数,则其极限
称为 的聚点,
{ } Sxn ?
x=?? nn xlim S
M][ - M,]b,[aM ],[ - M,S0,M，S 11 =??? 记使得故为有界点集因
?定理 (Weierstrass聚点定理 )
实轴上任一有界无限点集 至少有一个聚点,S
?定理的证明
故两个区间中至少为无限点集因等分为两个区间现将,S，]b,[a 11
则记此子区间为中无穷多个点有一个含有 ],b,[a，S 22
.)(21],b,[a]b,[a 11222211 Mabab =-=-? 且
中间含有则其中至少有一个子区等分成两个子区间将 S，]b,[a 22
则记其为无穷多个点 ],b,[a,33
.2)(21],b,[a]b,[a 22333322 Mabab =-=-? 且
满足则得区间列无限进行 ] },,{[,nn ba
,,2,1],b,[a]b,[a 1n1nnn L=? ++ n
),(,02 1 ???=- - nMab nnn
.S，]}b,{ [ a nn 中无穷多外点有且其中每个闭区间都含是区间套即
，由区间套定理及推论
).;(],[,0,0,,2,1,]b,[a nn ?x?x UbaNnNn nn ???????=?? 有L
，S);U( 中无穷多个点内含有即 ?x
,S 的一个聚点为从而 x
证毕,
?推论 (致密性定理 ) 有界数列必含有收敛子列,
三 有限覆盖定理
?定义
若 中开区间的个数是无限 (有限 )的,则称 为 的一个
无限 (有限 )开覆盖,
SHH
设 为数轴上的点集,为开区间的集合,(即 的每一个
元素都是形如 的开区间 ).若 中任何一点都含在至少一个
开区间内,则称 为 的一个开覆盖,或简称 覆盖,
S
H
S
H
H
H
SS
),( ??
?定理 (Heine-Borele 有限覆盖定理 )
设 为闭区间 的一个 (无限 )开覆盖,则从 中可
选出有限个开区间来覆盖,
HH
],[ ba
],[ ba
?定理的证明
中有限个即不能用假设定理的结论不成立用反证法 H，
].,[ ba开区间来覆盖
H，ba 间不能用则其中至少有一个子区等分为两个子区间将 ],[
则记其为中有限个开区间来覆盖 ],,[,11 ba
).(21],[],[ 11,11 ababbaba -=-? 且
它满足则得到一个闭区间列不断进行下去 ] },,{[ nn ba，
区间不能用同样其中至少有一个子等分为两个子区间将,ba ],[ 11
则记其为中有限个开区间来覆盖 ],,[,22 baH
).(21],[],[ 222,1122 ababbaba -=-? 且
,,2,1],[],[,11 L=? ++ nbaba nnnn
).(0)(21 ???-=- nabab nnn
中有限个不能用且其中每一个闭区间都是区间套即 H，ba nn ]},{[
由区间套定理有限个开区间来覆盖,
的一个开覆盖是由于 ],[,,2,1],[,baHnba nn L=?? x
于是由区间套定理推论使故 ),,(,),( ??x?? ??? H
).,(],[ ???nn ban 充分大时有当
，Hba nn 就能覆盖中的一个开区间只须用这表明 ),(],[ ??
.”“],[ 矛盾中有限个开区间来覆盖不能用时的假设与挑选 Hba nn
].,[ baH 的有限个开区间能覆盖从而证得必存在属于
四 小结
(1) 区间套的概念 ;
(2) 区间套定理 ;
(3) 聚点的概念 ;
(4) Weierstrass聚点定理 ;
(5) 开覆盖的概念 ;
(6) Heine-Borel有限覆盖定理 ;
五 作业 P168,1,2,3,5,6.
第八章 实数的完备性
§ 2 闭区间上连续函数性质的证明
一 有界性定理
若函数 在闭区间 上连续,则 在 上有界,f f ],[ ba],[ ba
证明,
，性由连续函数的局部有界
使得0),;(],,[ '''' ????? xx MxUbax ?
].,[);()( '' ' baxUxMxf xx ??? ?
] },,[);({ '' ' baxxUH x ?= ?考虑开区间集
，，baH 由有限覆盖定理的一个无限开覆盖是显然 ],[
},,2,1],,[);({ kibaxxUHH iii L=?=? ?的一个有限子集存在
(应用有限覆盖定理证明 )
.,,2,1)(].,[);( kiMxfbaxUx iii L=???? 有?
iki MM ??= 1m a x令
.)();(],,[ MMxfxUxbax iii ????? ?必属于某则
.],[ 上有界在从而 baf
二 最大最小值定理
若函数 在闭区间 上连续,则 在 上有最大值和最小值,f f ],[ ba],[ ba
证明,
使得且存在正数覆盖了,,,,],[ 21 KMMM，ba L
(应用确界原理证明 )
，bafbaf 有上确界故由确界原理上有界在由于已证得 ]),([,.],[
.M记为
.)(],,[,Mfba =?? xx 使以下证明
令都有假设,)(],[ Mxfbax ???
].,[,)(1)( baxxfMxg ?-=
，gG，baxg，baxg 的一个上界是设上有界在故上连续在则 ],[)(],[)(
].,[,)(1)(0 baxGxfMxg ??-=?则
].,[,1)( baxGMxf ?-?从而推得
.)(]),([ 相矛盾最小上界的上确界为这与 bafM
.],[.)(],,[ 上有最大值在即使所以必 bafMfba =?? xx
.],[ 上有最小值在同理可证 baf
三 介值性定理
设函数 在闭区间 上连续,且,若 为介于
和 之间任何实数,则存在,使得,
f
?=)( 0xf
],[ ba
),(0 bax ?
)()( bfaf ? ?
)(af )(bf
证明, (应用区间套定理证明 )
,)()(),()( ?? -=?? xfxgbfaf 令不妨设
0)(,0)(],[ ?? bgag，bag 且上的连续函数是则
).(0)(),,( 00 根的存在性定理使得即证 =? xgbax;,0)(],[],[],[ 即为所求则若与等分为两个子区间将 ccg，bccaba =
，cabacgcg ],[],[0)(,0)( 11 =?? 时记则当若
，bcbacg ],[],[0)( 11 =? 时记当
).(21],[],[,0)(0)( 111111 abab，babab，gag -=-??? 且则有
:],[ 11 得到重复上述过程出发再从,，ba
,0)(],[ 1111 =cgcba 上有的中点或者在
且上满足或者在,0)(,0)(],[ 2222 ?? bgagba
:将出现两种情形去将上述过程不断进行下,
).(21],,[],[ 2221122 ababbaba -=-?;,0)()( 即为所求则上有在某一区间的中点 iii ccgci =
]},{[,0)()( nnii bacgcii 则得到闭区间列上均有在任一区间的中点 ?
且满足,0)(.0)( ?? nn bgag
.,2,1],,[0 L=?? nbax，由区间套定理
.0)( 0 =xg下证
由局部保号性不妨设假设,0)(.0)( 00 ?? xgxg
,0)(),;( 00 ?? xgxU 使在其内有?
),;(],[ 0 ?xUban,nn ?充分大时有当由区间套定理推论
.0)(],[ 矛盾选取时这与 ?nnn agba
.0)( ?nag因而有
.0)( 0 =xg故必有
.,2,1),(2 1],[],[ 11 L=-=-?++ nabab，baba nnnnnnn
四 一致连续性定理
若函数 在闭区间 上连续,则 在 上一致连续,f f ],[ ba],[ ba
证明, (应用有限覆盖定理证明 )
上的连续性在由 ],[ baf
时有当 );(,0],,[,0 ' xx xUxbax ??? ???????
.)()( ' ??- xfxf
] },,[)2,({ baxxUH x ?= ?考虑开区间集合
由在限覆盖定理的一个开覆盖是显然,baH ],[
},,2,1)2,({ kixUHH ii L==? ?的一个有限子集存在
.02m i n].,[
1
???????=
??
i
kk
ba ??记覆盖了
，Hxxxbaxx 中某个开区间必属于 ??-?? ''''''',],,[,?
此时有即设,xxxUx iii 2),2,(' ?? ?-?
,222'''''' iiiiii xxxxxx ????? =+?+?-+-?-
.2)()(2)()( ''' ?? ?-?- ii xfxf，xfxf同时有
.)()( ''' ??- xfxf由此得
.],[ 上一致连续在所以 baf
五 小结
(1) 有界性定理的证明 ;
(2) 最大,最小值定理的证明 ;
(3) 介值性定理的证明 ;
(4) 一致连续性定理的证明 ;
(5) 实数完备性定理的应用 ;
六 作业 P172,1,2,3,4.
§ 2 闭区间上连续函数性质的证明
第七章 实数的完备性
第七章 实数的完备性
§ 1 关于实数完备性的基本定理
说明,
?定义
定义表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,即
闭区间的端点满足不等式,
{ },],[ 具有如下性质设闭区间列 nn ba;,2,1],,[],[)( 11 L=? ++ nbabai nnnn
,0)(lim)( =-?? nnn abii
{ },,],[ 简称区间套为闭区间套则称 nn ba
.1221 bbbaaa nn ???????? LLL
一 区间套定理
?定理 (区间套定理 )
?定理的几何意义
区间套定理的几何意义是,有一列闭线段 (两个端点也属于此
线段 ),后者被包含在前者之中,并且这些闭线段的长构成的数列以 0
为极限,则这一列闭线段存在唯一一个公共点
{ },],[ x的一点则在实数系中存在唯一是一个区间套若,ba nn
.,2,1],,[ L=? nba nnx使得,,2,1,L=?? nba nn x即
x
?
?定理的证明
{ },an 为递增有界数列由区间套定义知
{ },a,n x有极限依单调有界定理,,2,1 L=?, nan x且有
{ } 有并按区间套的条件也有极限递减有界数列同理 )(ii，b,n
,limlim x== ???? n
nnn
ab,,2,1 L=?, nbn x且
.,2,1 L=??, nba nn x从而有
.是唯一的的下面证明满足题设条件 x
,,2,1,'' L=?? nba nn xx 也满足设
.,2,1,' L=-?- nab nnxx则
得由区间套定义 )(ii
,0)(lim' =-?- ?? nn
n
abxx则
.'xx =故有
证毕,
?推论
是闭区间套若 ),2,1](,[ ?=? nbax { }],[ nn ba 则所确定的点,
).;(],[,,,0 ?x? UbaNnNN nn ??????? + 有
说明,
区间套中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理结论的成立,
二 聚点定理
?定义
设 为数轴上的点集,为定点,(它可以属于,也可以不属于S x SS
若 的任何邻域内都含有 中无穷多个点,则称 为 的聚点,SS xx
说明, 聚点概念和下面两个定义等价,
对于点集,若点 的任何 邻域都含有 中异于
的点,即,则称 为 的聚点,S
SS x
x
x
,);( ??x ?。U
?
说明
若存在各项互异的收敛数,则其极限
称为 的聚点,
{ } Sxn ?
x=?? nn xlim S
M][ - M,]b,[aM ],[ - M,S0,M，S 11 =??? 记使得故为有界点集因
?定理 (Weierstrass聚点定理 )
实轴上任一有界无限点集 至少有一个聚点,S
?定理的证明
故两个区间中至少为无限点集因等分为两个区间现将,S，]b,[a 11
则记此子区间为中无穷多个点有一个含有 ],b,[a，S 22
.)(21],b,[a]b,[a 11222211 Mabab =-=-? 且
中间含有则其中至少有一个子区等分成两个子区间将 S，]b,[a 22
则记其为无穷多个点 ],b,[a,33
.2)(21],b,[a]b,[a 22333322 Mabab =-=-? 且
满足则得区间列无限进行 ] },,{[,nn ba
,,2,1],b,[a]b,[a 1n1nnn L=? ++ n
),(,02 1 ???=- - nMab nnn
.S，]}b,{ [ a nn 中无穷多外点有且其中每个闭区间都含是区间套即
，由区间套定理及推论
).;(],[,0,0,,2,1,]b,[a nn ?x?x UbaNnNn nn ???????=?? 有L
，S);U( 中无穷多个点内含有即 ?x
,S 的一个聚点为从而 x
证毕,
?推论 (致密性定理 ) 有界数列必含有收敛子列,
三 有限覆盖定理
?定义
若 中开区间的个数是无限 (有限 )的,则称 为 的一个
无限 (有限 )开覆盖,
SHH
设 为数轴上的点集,为开区间的集合,(即 的每一个
元素都是形如 的开区间 ).若 中任何一点都含在至少一个
开区间内,则称 为 的一个开覆盖,或简称 覆盖,
S
H
S
H
H
H
SS
),( ??
?定理 (Heine-Borele 有限覆盖定理 )
设 为闭区间 的一个 (无限 )开覆盖,则从 中可
选出有限个开区间来覆盖,
HH
],[ ba
],[ ba
?定理的证明
中有限个即不能用假设定理的结论不成立用反证法 H，
].,[ ba开区间来覆盖
H，ba 间不能用则其中至少有一个子区等分为两个子区间将 ],[
则记其为中有限个开区间来覆盖 ],,[,11 ba
).(21],[],[ 11,11 ababbaba -=-? 且
它满足则得到一个闭区间列不断进行下去 ] },,{[ nn ba，
区间不能用同样其中至少有一个子等分为两个子区间将,ba ],[ 11
则记其为中有限个开区间来覆盖 ],,[,22 baH
).(21],[],[ 222,1122 ababbaba -=-? 且
,,2,1],[],[,11 L=? ++ nbaba nnnn
).(0)(21 ???-=- nabab nnn
中有限个不能用且其中每一个闭区间都是区间套即 H，ba nn ]},{[
由区间套定理有限个开区间来覆盖,
的一个开覆盖是由于 ],[,,2,1],[,baHnba nn L=?? x
于是由区间套定理推论使故 ),,(,),( ??x?? ??? H
).,(],[ ???nn ban 充分大时有当
，Hba nn 就能覆盖中的一个开区间只须用这表明 ),(],[ ??
.”“],[ 矛盾中有限个开区间来覆盖不能用时的假设与挑选 Hba nn
].,[ baH 的有限个开区间能覆盖从而证得必存在属于
四 小结
(1) 区间套的概念 ;
(2) 区间套定理 ;
(3) 聚点的概念 ;
(4) Weierstrass聚点定理 ;
(5) 开覆盖的概念 ;
(6) Heine-Borel有限覆盖定理 ;
五 作业 P168,1,2,3,5,6.
第八章 实数的完备性
§ 2 闭区间上连续函数性质的证明
一 有界性定理
若函数 在闭区间 上连续,则 在 上有界,f f ],[ ba],[ ba
证明,
，性由连续函数的局部有界
使得0),;(],,[ '''' ????? xx MxUbax ?
].,[);()( '' ' baxUxMxf xx ??? ?
] },,[);({ '' ' baxxUH x ?= ?考虑开区间集
，，baH 由有限覆盖定理的一个无限开覆盖是显然 ],[
},,2,1],,[);({ kibaxxUHH iii L=?=? ?的一个有限子集存在
(应用有限覆盖定理证明 )
.,,2,1)(].,[);( kiMxfbaxUx iii L=???? 有?
iki MM ??= 1m a x令
.)();(],,[ MMxfxUxbax iii ????? ?必属于某则
.],[ 上有界在从而 baf
二 最大最小值定理
若函数 在闭区间 上连续,则 在 上有最大值和最小值,f f ],[ ba],[ ba
证明,
使得且存在正数覆盖了,,,,],[ 21 KMMM，ba L
(应用确界原理证明 )
，bafbaf 有上确界故由确界原理上有界在由于已证得 ]),([,.],[
.M记为
.)(],,[,Mfba =?? xx 使以下证明
令都有假设,)(],[ Mxfbax ???
].,[,)(1)( baxxfMxg ?-=
，gG，baxg，baxg 的一个上界是设上有界在故上连续在则 ],[)(],[)(
].,[,)(1)(0 baxGxfMxg ??-=?则
].,[,1)( baxGMxf ?-?从而推得
.)(]),([ 相矛盾最小上界的上确界为这与 bafM
.],[.)(],,[ 上有最大值在即使所以必 bafMfba =?? xx
.],[ 上有最小值在同理可证 baf
三 介值性定理
设函数 在闭区间 上连续,且,若 为介于
和 之间任何实数,则存在,使得,
f
?=)( 0xf
],[ ba
),(0 bax ?
)()( bfaf ? ?
)(af )(bf
证明, (应用区间套定理证明 )
,)()(),()( ?? -=?? xfxgbfaf 令不妨设
0)(,0)(],[ ?? bgag，bag 且上的连续函数是则
).(0)(),,( 00 根的存在性定理使得即证 =? xgbax;,0)(],[],[],[ 即为所求则若与等分为两个子区间将 ccg，bccaba =
，cabacgcg ],[],[0)(,0)( 11 =?? 时记则当若
，bcbacg ],[],[0)( 11 =? 时记当
).(21],[],[,0)(0)( 111111 abab，babab，gag -=-??? 且则有
:],[ 11 得到重复上述过程出发再从,，ba
,0)(],[ 1111 =cgcba 上有的中点或者在
且上满足或者在,0)(,0)(],[ 2222 ?? bgagba
:将出现两种情形去将上述过程不断进行下,
).(21],,[],[ 2221122 ababbaba -=-?;,0)()( 即为所求则上有在某一区间的中点 iii ccgci =
]},{[,0)()( nnii bacgcii 则得到闭区间列上均有在任一区间的中点 ?
且满足,0)(.0)( ?? nn bgag
.,2,1],,[0 L=?? nbax，由区间套定理
.0)( 0 =xg下证
由局部保号性不妨设假设,0)(.0)( 00 ?? xgxg
,0)(),;( 00 ?? xgxU 使在其内有?
),;(],[ 0 ?xUban,nn ?充分大时有当由区间套定理推论
.0)(],[ 矛盾选取时这与 ?nnn agba
.0)( ?nag因而有
.0)( 0 =xg故必有
.,2,1),(2 1],[],[ 11 L=-=-?++ nabab，baba nnnnnnn
四 一致连续性定理
若函数 在闭区间 上连续,则 在 上一致连续,f f ],[ ba],[ ba
证明, (应用有限覆盖定理证明 )
上的连续性在由 ],[ baf
时有当 );(,0],,[,0 ' xx xUxbax ??? ???????
.)()( ' ??- xfxf
] },,[)2,({ baxxUH x ?= ?考虑开区间集合
由在限覆盖定理的一个开覆盖是显然,baH ],[
},,2,1)2,({ kixUHH ii L==? ?的一个有限子集存在
.02m i n].,[
1
???????=
??
i
kk
ba ??记覆盖了
，Hxxxbaxx 中某个开区间必属于 ??-?? ''''''',],,[,?
此时有即设,xxxUx iii 2),2,(' ?? ?-?
,222'''''' iiiiii xxxxxx ????? =+?+?-+-?-
.2)()(2)()( ''' ?? ?-?- ii xfxf，xfxf同时有
.)()( ''' ??- xfxf由此得
.],[ 上一致连续在所以 baf
五 小结
(1) 有界性定理的证明 ;
(2) 最大,最小值定理的证明 ;
(3) 介值性定理的证明 ;
(4) 一致连续性定理的证明 ;
(5) 实数完备性定理的应用 ;
六 作业 P172,1,2,3,4.
