第 4 章 齿 轮 机 构
§ 4-1 齿轮机构的特点和类型
§ 4-2 齿廓实现定角速比传动的条件
§ 4-3 渐 开 线 齿 廓
§ 4-4 齿轮各部分名称及渐开线标准齿轮的基本尺寸
§ 4-5 渐开线标准齿轮的啮合
§ 4-8 平行轴斜齿轮机构
§ 4-7 根切、最少齿数及变位齿轮
§ 4-6 渐开线齿轮的切制原理
§ 4-9 圆锥齿轮机构
§ 4-1 齿轮机构的特点和类型
? 齿轮传动是用来传递任意两轴间的运动和动力的, 它是应用
最为广泛的一种机械传动 。
(1) 主要优点 1)适用的圆周速度和功率范围广； 2)机械效率高；
3)可实现准确的传动比, 且传动平稳； 4)寿命长； 5)工作可靠；
6)可实现平行轴, 相交轴, 交错轴之间的传动； 7)结构紧凑 。
(2) 主要缺点 1)要求有较高的制造和安装精度, 成本相对较高；
2)不适宜于远距离两轴之间的传动 。
? 按照两轴的相对位置和齿向, 齿轮机构分类如下：
§ 4-2 齿廓实现定角速比传动的条件
? 一对齿轮传动，是依靠主动齿轮的齿廓依次推动从动齿轮的齿
廓来实现的，齿轮的齿廓曲线与传动比有密切的关系 。
? 齿轮传动的瞬时角速度比 ω1/ω2恒定不变是对齿轮齿廓的最基
本要求。
? 如 图 4-2表示一对相互啮合的齿廓 E1和 E2在 K点接触。过 K点作
两齿廓的公法线 n-n,与两齿轮的连心线 O1O2的交点 C，称为 啮
合节点 (节点 )。 C点也是两齿轮的相对速度瞬心，因此，两齿轮
的传动比为
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1
2
2
1 ??
CO
CO
?
?
? 上式表明, 一对传动齿轮的瞬时角
速度比与其连心线 O1O2被齿廓接触
点的公法线 n-n所分割的两线段长度
成反比 。 这一规律称为 齿廓啮合基
本定律, 它反映了齿廓形状与传动
比的关系 。
? 由齿廓啮合基本定律可知,要使两
齿轮瞬时角速度比恒定不变，则不
论两齿廓在任何位置接触，过接触
点所作的齿廓公法线都必须与连心
线交于一定点 (节点 )。
动画演示
? 凡能实现预定传动比的一对相互啮合的齿廓称为 共轭齿
廓 。
? 节点在分别与两齿轮固联的平面上的运动轨迹 称为两齿
轮的 节线 。 对于 定传动比齿轮传动, 节线为圆形, 称其
为 节圆 (以点 O1为圆心, r1′=O1C为半径的圆和以点 O2为
圆心, r2′=O2C为半径的圆 )。
? 两节圆在节点处相切, 且在节点处的相对速度为零, 故
两齿轮的啮合传动可以看作是两节圆作无滑动的纯滚动 。
? 齿轮传动比等于两节圆半径的反比 。
? 一对外啮合齿轮的中心距恒等于其节圆半径之和 。
§ 4-3 渐 开 线 齿 廓
? 如图 4-3所示,当一直线沿一圆周作纯
滚动时，直线上任意点 K的轨迹 AK称
为该圆的 渐开线 。 这个圆 称为渐开线
的 基圆,基圆的半径用 rb表示。而 该
直线 称为 渐开线的发生线 。 动画演示
? 渐开线的特性 动画演示
(1)发生线在基圆上滚过的一段长度等于
基圆上被滚过的弧长 。
一、渐开线的形成和特性
(2)渐开线上任一点的法线必与基圆相切 。 渐开线上某点的曲率
中心是该点法线与基圆的切点 。
(3)渐开线上任一点 K所受法向力的方向线与该点绕基圆中心转动
的速度方向线所夹的锐角 αK称为该点的 压力角 。 由 图 可知,
压力角 αK与向径 rK及基圆半径 rb的关系为：
cosαK=OB/OK=rb/rK (4-2)
? 上式表明渐开线上各点的压力角是不相等的, 向径 rk愈大,
其压力角也愈大 。 基圆上的压力角为零 。
(4)渐开线的形状取决于基圆的大小, 基圆半径越小, 渐开线越
弯曲, 反之, 渐开线越平直 (如 图 4-4)。 当基圆半径趋于无穷
大时, 其渐开线将成为垂直于 B3K的直线, 它就是渐开线齿
条的齿廓 。
(5) 基圆内无渐开线 。
二, 渐开线齿廓满足定角速比 (传动比 )要求 动画演示
如图 4-5所示，两齿轮在任一点 K
啮合时，其公法线 n-n必内切于
两基圆且位置不变，因而节点 C
位置不变，角速比恒定。 证明
了 渐开线齿廓能够满足定角速
比要求 。
定角速比传动的角速比 ω1/ω2也
等于转速比 n1/n2。角速比又称传
动比，用 i表示。
三, 渐开线齿廓传动的特点
1,渐开线齿轮传动的中心距可分性
? 式 (4-3)表明,渐开线齿轮的传动比等于两基圆半径的反比。
? 在两渐开线齿廓加工完成之后，其基圆半径已完全确定，所以只
要两渐开线齿廓能够啮合上，实际中心距与设计中心距略有偏差，
传动比 i 不变。这种性质称为 渐开线齿轮传动的中心距可分性 。
可分性对于齿轮的加工和装配都是十分有利。
在图 4-5中，△ O1N1C∽ △ O2N2C，故一对齿轮的传动比为
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1
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b
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r
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2,渐开线齿廓传动正压力方位不变，传动平稳
? 如 图 4-5所示，齿轮传动时,两齿廓啮合点的轨迹,称为 啮合
线 。
? 一对渐开线齿廓在任何位置啮合时，其接触点的公法线都是
两基圆的内公切线 N1N2，这就是说一对渐开线齿廓从开始啮
合到脱离啮合，所有的啮合点都应在直线 N1N2 上，因此，直
线 N1N2就是渐开线齿廓的啮合线。
? 两齿廓在传动时其正压力是沿着公法线 N1N2的，由于 N1N2为
一定线，故知在两齿廓传动的过程中，齿廓之间正压力的方
向始终不变，所以 渐开线齿廓传动具有力平稳性。
?如 图 4-5所示，过节点 C作两节圆的公切线 t-t，它与
啮合线 N1N2间的夹角称为啮合角。
?渐开线齿轮传动中啮合角为常数，在数值上等于节
圆上的压力角。
§ 4-4 齿轮各部分名称及渐开线标准齿轮的基本尺寸
一、齿轮各部分名称 动画演示
? 齿轮各部分名称如 图 4-6所示。
? 齿顶圆 —— 齿顶所确定的圆，其直径用 da表示。
? 齿槽 —— 相邻两齿之间的空间。
? 齿根圆 —— 齿槽底部所确定的圆，其直径用 df表示。
? 齿厚 —— 在齿轮任意直径 dK的圆周上，轮齿两侧齿廓间的弧长，
用 sK表示；
? 齿槽宽 —— 齿槽两侧齿廓间的弧长，用 eK表示；
? 齿距 —— 相邻两齿同侧齿廓间的弧长，用 pK表示。
二,齿轮的基本参数
? 齿轮各部分尺寸由 齿轮的基本参数来决定，这些基本参数是：
1,齿数 —— 一个齿轮上轮齿的总数，用 z表示。
2,模数 —— 特定圆 (分度圆 )上齿距 p与 π的比值,用 m表示，并规
定为一些简单的数值，使之标准化，单位为 mm，即
因此有 pK=sK+eK 。 设齿轮齿数为 z，则
πdK=pKz
故 )44( ?? zpd KK ?
）54( ?? ?pm
? 模数是决定齿轮尺寸的一个基本参数,齿数相同的齿轮，模
数大则齿轮尺寸也大，如图所示。
m越大，则 p越大，轮齿就越
大，轮齿的抗弯能力也越强，
所以 模数 m又是轮齿抗弯能力
的重要标志。
我国的标准模数系列见表 4-1。
分度圆 —— 为了便于齿轮各
部分尺寸的计算，在齿轮上
选择一个作为计算基准的圆 。
? 分度圆的直径、半径，及其上的齿厚、齿槽宽和齿距分别用 d、
r,s,e和 p表示，且
p=s+e =πm (4-6)
? 故分度圆直径为
在标准齿轮的分度圆上，齿厚 s与齿槽宽 e相等 。
3,压力角
由式 (4-2)cosαK=rb/rK可知，齿轮齿廓在不同的圆周上的
压力角不相同，通常所说的 齿轮的压力角指的就是分度
圆上的压力角,用 α表示。
)74( ??? mzzpd ?
α= arc cos rb/r 或 cosα=rb/r
? 由上式可见：分度圆大小相同的齿廓, 当压力角 α 不同时,
其基圆的大小也不同, 因而渐开线齿廓的形状也不同, 所以
压力角 α 是决定渐开线齿廓形状和齿轮啮合性能的一个基本
参数 。
? 国标中规定分度圆上的压力角为标准值, 即 α= 20° 。
? 因此可以给出分度圆的明确定义为,齿轮上具有标准模数和
标准压力角的圆 。
4,齿顶高系数和顶隙系数
? 轮齿上介于齿顶圆与分度圆之间的部分称为 齿顶 (如图 ),其
径向高度称为 齿顶高, 用 ha表示 。
? 轮齿上介于齿根圆与分度圆之间的部分称为 齿根, 其径向高度
称为 齿根高, 用 hf 表示 。
? 齿顶圆与齿根圆之间的径向高度称为 全齿高, 用 h表示, 故
h = ha + hf (4-8)
? 齿轮的齿顶高, 齿根高的标准值可用模数表示为
)94()( **
*
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?
???
??
?
mchh
mhh
af
aa
式中 ha* 称为 齿顶高系数, c* 称为 顶隙系数 。 这两个系数
也已标准化, 其正常齿制的数值为,ha* = 1,c* = 0.25。
? 齿顶圆, 齿根圆直径的计算公式为
da = d + 2ha =(z + 2 ha* )m (4-10)
df = d - 2hf = (z - 2 ha* - 2 c* ) m (4-11)
? 上述 5个基本参数决定了标准直齿圆柱齿轮的各部分尺寸。
? 标准齿轮 是指 具有标准模数、标准压力角、标准齿顶高系数、
标准顶隙系数，且分度圆上齿厚等于齿槽宽的齿轮 。因此，对
于标准齿轮
s=e=p/2=πm/2 (4-12)
? 由式 (4-2)可知, 基圆与分度圆的关系为
db=dcosα=zmcosα (4-13)
§ 4-5 渐开线标准齿轮的啮合
一、正确啮合条件 动画演示
? 虽然渐开线齿廓能满足定传动比传动的要求，但并非任意两
个渐开线齿轮都可以正确啮合传动。如 图 所示，模数特别大
的齿轮与模数特别小的齿轮无法进行正确啮合。 要使一对齿
轮正确啮合，就必须使共轭齿廓的啮合点都处于啮合线 N1N2上。
为此，如 图 4-7所示,一对齿轮要正确啮合，两齿轮的法向齿
距必须相等,即
K1K1′=K2K2′
? 由渐开线的性质可知：
K1K1′=pb1 =πm1cosα1
K2K2′= pb2 =πm2cosα2
? 所以, 两齿轮的正确啮合条件为
m1cosα1=m2cosα2
? 又由于模数和压力角都已标准化，
故一对齿轮的正确啮合条件是：
m1=m2=m (4-14)
α1=α2=α (4-15)
? 即一对渐开线直齿圆柱齿轮的正确
啮合条件是,两齿轮的模数和压力角应分别相等 。
?这样，一对齿轮的传动比可表示为：
二、标准中心距
一对标准齿轮分度圆相切时的中心距称为 标准中心距, 即
)164(''
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b
b
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如 图 4-8，在标准中心距的情况下，两齿轮的分度圆分别与各
自的节圆重合，轮齿的齿侧间隙为零，一齿轮的齿顶圆与另
一齿轮的齿根圆之间的间隙 —— 顶隙，刚好为标准顶隙，即
c=c*m=0.25 m =hf-ha (4-18)
?分度圆与节圆的区别,
分 度 圆 节 圆
1.定义
模数和压力角为标准值
的一个特定圆，为计算
方便所取的基准圆
传动过程中作纯滚动的
圆，节点相对齿轮的运
动轨迹
2.性质 一个齿轮有一个分度圆 一对齿轮啮合时才有
3.大小 d=mz，固定不变 随中心距变化而变化
4.位置
标准安装时两分度圆相
切，非标准安装时相交
或分离
两节圆始终相切
5.压力角 标准值 α=20° 随节圆直径变化而变化
三、重合度
? 如图 4-9所示, 设轮 1为主动轮, 顺时针
转动, 则一对齿廓在 A点 (从动轮的齿顶
圆与啮合线的交点 )进入啮合, 到 E点 (主
动轮的齿顶圆与啮合线的交点 )脱离啮合 。
线段 AE为啮合点的实际轨迹, 称为 实际
啮合线 。 N1和 N2点称为 啮合极限点, 线
段 N1N2称为 理论啮合线 。
? 为了使一对齿轮的正确啮合传动不致中
断, 必须保证前一对轮齿尚未脱离啮合
时, 后一对轮齿就已经进入啮合 。
?因此, 一对齿轮 连续传动 的条件是,两齿轮的实际啮
合线段 AE的长度大于齿轮的法向齿距 pb。
? 实际啮合线段的长度与法向齿距的比值 称为齿轮传动
的 重合度, 用 ε 表示 。 这样, 齿轮的连续传动条件为
)194(1 ???
bp
AE?
重合度越大, 表示同时啮合的齿的对数越多 。
正确啮合条件和连续传动条件是保证一对齿轮能够正确啮合并
连续平稳传动的缺一不可的条件 。 如果前者不满足, 两齿轮便
不能正确进入啮合；如果后者得不到保证, 则两轮的正确啮合
传动将会出现中断现象 。
§ 4-6 渐开线齿轮的切制原理
一, 成形法
? 成形法 （ 仿形法 ） 是用渐开线齿形的成形铣刀直接切出齿形 。
常用的刀具有盘形铣刀和指状铣刀等 。
成形法切齿方法简
单, 不需要专用机
床, 但加工的齿轮
精度底, 同时由于
加工不连续, 生产
效率也底 。
二,范成法
? 范成法 又称 展成法 或 包络法,它是利用齿轮啮合的原理来切制齿
廓的 。设想将一对相互啮合传动的齿轮之一变为刀具，而另一轮
作为轮坯，并使两者仍按原来的传动比转动。这样刀具的齿廓便
将在轮坯上包络出与其共轭的齿廓，这就是展成法切齿的基本原
理。
1,齿轮插刀
图 4-11所示
为用齿轮插
刀切齿的情
形 。
2.齿条插刀
? 图 4-13为齿条插
刀齿廓在水平面
上的投影 。
图 4-12所示为
齿条插刀切齿
的情形 。
3.齿轮滚刀
如将齿条插刀沿一圆柱体作螺旋形排列, 则成为滚齿刀,
如图 4-14a所示 。 用滚齿刀切齿的情形如图 4-14b所示 。
§ 4-7 根切、最少齿数及变位齿轮
一,根切和最少齿数
? 如 图 4-15a所示,当用齿条型 (或齿轮型 )刀具加工齿轮时，若刀
具的齿顶线 (或齿顶圆 )就会超过轮坯的啮合极限点 N1，这时将
会出现刀刃把被加工齿轮的齿根部渐开线齿廓切去一部分的现
象,称为 轮齿的 根切现象 。 过度的根切使得轮齿根部被削弱，
轮齿的抗弯能力下降；齿廓实际工作段缩短，传动的重合度减
小，影响传动的平稳性，故应当避免出现严重的根切 。
? 标准齿轮是否发生根切取决于其齿数的多少。
? 用齿条型刀具加工渐开线标准直齿圆柱齿轮，可以证明轮齿 不发
生根切的最少齿数 zmin=17。
二,变位齿轮及其齿厚的确定
? 在用齿条型刀具加工齿轮时, 轮坯的直径为标准齿轮的齿顶圆直
径, 若 刀具的分度线 (又称为中线 )与轮坯的分度圆相切, 这种安
装称为 标准安装, 这时刀具所处的位置为标准位置, 如 图 4-15a
所示, 这样加工出来的齿轮称为 标准齿轮 。
? 用改变刀具与轮坯相对位置加工齿轮的方法 称为 变位修正法,加
工出来的齿轮称为 变位齿轮 。 刀具移动的距离 xm称为 变位量,
其中,m为模数,x为 变位系数 。
? 在加工齿轮时, 若刀具是向外离开标准位置, 则称为 正变位, 变
位系数 x>0, 加工出来的齿轮称为 正变位齿轮 ； 若刀具是向内离
开标准位置, 则称为 负变位, 变位系数 x<0, 加工出来的齿轮称
为 负变位齿轮 。
具有相同模数,
齿数和压力角的
变位齿轮与标准
齿轮的齿形比较
如右图所示 。
标准齿轮与变位齿轮齿体
形状比较
? 由于渐开线的形状决定于基圆的大小, 所以, 基本参数相同的
标准齿轮和变位齿轮的齿廓曲线相同 。
? 变位齿轮和标准齿轮的分度圆及基圆尺寸相同 。 与标准齿轮相
比, 正变位齿轮的齿根厚度增大, 轮齿的抗弯能力提高 。 但 正
变位齿轮的齿顶厚度减小, 因此, 变位量不宜过大, 以免造成
齿顶变尖 。 与标准齿轮相比, 负变位齿轮的齿根厚度减小, 轮
齿的抗弯能力降低, 因此, 通常只在有特殊需要的场合才采用
负变位齿轮 。
? 如 图 4-15a所示, 正变位后, 齿轮的分度圆齿厚增大了 2ab,齿
轮分度圆上的齿槽宽则减小了 2ab 。
ab=xmtgα (4-20)
? 变位齿轮分度圆齿厚和齿槽宽的计算公式为：
)214(tg22 ??? ?? xmms
)224(tg22 ??? ?? xmme
变位齿轮与标准齿轮相比, 有如下优点：
1) 采用正变位, 可以加工出齿数 z<zmin而不发生根切的齿轮,
使齿轮传动的结构尺寸减小 。
2) 正变位齿轮的齿厚及齿顶高比标准齿轮的大, 负变位
齿轮的齿厚及齿顶高比标准齿轮的小 。 当实际中心距
a′不等于标准中心距 a时, 可以采用变位齿轮, 来满足
中心距的要求 。
3) 在标准齿轮传动中, 小齿轮的齿根厚度比大齿轮的齿
根厚度小, 因此, 小齿轮轮齿的抗弯能力较弱 。 另外,
小齿轮轮齿的啮合频率比大齿轮高, 相对地降低了小
齿轮的强度 。 设计中可以通过正变位来提高小齿轮的
强度, 从而提高一对齿轮传动的整体强度 。
§ 4-8 平行轴斜齿轮机构
一、斜齿轮啮合的共轭齿廓曲面 动画演示
? 直齿轮齿廓曲面和斜齿轮齿廓曲面的形成比较如 图 所示 。
? 图 4-16为互相啮合的一对渐开线斜齿轮齿廓 。 当发生面 S绕基
圆柱作纯滚动时, 面上与母线 N1N1,N2N2成 βb角的斜直线 KK
的轨迹即为齿轮 1和 2的齿廓曲面 。 这样形成的两个齿廓曲面一
定能沿直线 KK接触 。 KK在空间所形成的曲面为一渐开螺旋面 。
直线在基圆柱上形成螺旋线, 故 螺旋线的螺旋角也就是直线对
轴线方向的偏斜角 β b,即轮齿在基圆柱上的 螺旋角 。
? 斜齿轮啮合传动时, 轮齿齿面
间的接触线都是平行于 KK的斜
直线 (图 4-17b),齿廓接触线的
长度是由短变长, 再由长变短,
即 轮齿是逐渐进入啮合, 再逐
渐退出啮合, 故工作平稳 。
斜齿轮的端面齿廓曲线为渐开线 。
斜齿轮传动的正确啮合条件：两个齿轮的模数及压力角分
别相等, 两 齿轮 的螺 旋 角必 须相 匹 配, 即,mn1=mn2，
?n1=?n2,?1= ± ?2。 当外啮合时旋向相反, 取, －, 号；
内啮合时旋向相同, 取, +”号 。
二、斜齿轮各部分名称和几何尺寸计算
? 斜齿轮的端面齿形和法面齿形是不相同的 。 因而 斜齿轮的端
面参数与法面参数也不相同 。
? 斜齿轮法面上的参数 (mn,αn,法向齿顶高系数及法向顶隙系
数 )为标准值, 是选择刀具的依据 。
? 端面参数是计算斜齿轮的主要几何尺寸的依据 。
? 分别用下标 n,t区别斜齿轮的法面参数和端面参数 。
? 斜齿轮的基本参数比直齿轮多个螺旋角 。
? 如 图 4-18所示, 斜齿轮分度圆柱上齿轮的螺旋线展开的斜直
线与轴线的夹角为 β,称为斜齿轮分度圆柱面上的 螺旋角 。 螺
旋角表示斜齿轮轮齿的倾斜程度 。
? 斜齿轮分度圆柱面上轮齿的法面齿距
pn和端面齿距 pt 的关系为
pn=ptcosβ （ 4-23）
? 法面模数 mn与端面模数 mt的关系为
mn =mtcosβ （ 4-24）
? 由图 4-19所示的几何关系, 可得斜齿
轮法面压力角 αn和端面压力角 αt 的关
系为
tgαn = tgαt cosβ (4-25)
? 斜齿轮几何尺寸的计算公式见表 4-4。
三、斜齿轮传动的重合度
? 如图 4-20所示，斜齿轮传动的实际啮合区
比直齿轮传动增大了 GH=btgβ，因此，斜
齿轮传动的重合度比直齿轮传动的大，其
重合度为
)264(tg ??????
t
t
tt p
b
p
GHFG
p
FH ???
由上式可知：斜齿轮传动的重合度随
齿宽 b和螺旋角 β的增大而增大，可以
达到很大的数值，这是斜齿轮传动平
稳，传动能力较高的主要原因。
四、斜齿轮的当量齿数
? 当用成形法切制斜齿轮时, 铣刀刀刃的形状应与斜齿轮的法面齿
形相对应；进行斜齿轮的强度计算时, 其强度是按法面齿形来计
算的, 都需要知道斜齿轮的法面齿形 。 为此, 需要找出一个 与斜
齿轮法面齿形相当的虚拟直齿轮 (称为斜齿轮的 当量齿轮 )来, 然
后按该直齿轮的齿数决定刀具的刀号, 进行斜齿轮的强度计算 。
当量齿轮的齿数 称为 当量齿数, 用 zv表示 。 如 图 4-21所示, 斜
齿轮的当量齿数为
)274(c o sc o sc o s2 333 ????? ???? zm zmm dmz
n
n
nn
v
? 正常齿标准斜齿轮不发
生根切的最少齿数 zmin
也可由其当量直齿轮的
最少齿数 zvmin(zvmin
=17)求得
zmin= zvmincos3β （ 4-28）
五、斜齿齿轮的优缺点：
1) 由于两斜齿圆柱齿轮齿
面的接触线为倾斜的直
线，且在啮合过程中是
逐渐进入和逐渐退出啮
合，所以其接触情况好、
传动平稳、冲击和噪音
小。
2) 斜齿圆柱齿轮的重合度大，
同时啮合的齿数多，所以其
轮齿强度高，运转平稳，适
用于高速传动。
3) 斜齿齿轮的最少齿数 Zmin比直
齿轮小，所以结构相对紧凑。
4) 斜齿轮传动的缺点是要产生轴向力（如图 4-22），为此在结
构上必须采用相应措施来保证其正常工作。螺旋角 β直接影
响到轴向力的大小,β越大，轴向力也越大，但 β过小则显不
出斜齿轮的优点，所以螺旋角 β一般取 8° ~20° 。
动画演示
人字齿轮可以看作由两个螺旋角大小相等、方向相反的斜齿
轮合并而成，可以消除轴向力。
§ 4-9 圆锥齿轮机构
一,圆锥齿轮概述
? 圆锥齿轮传动是用来传递两相交
轴之间的运动和动力的。圆锥齿
轮的轮齿分布在一个截圆锥体上，
其齿形从大端到小端逐渐变小，
如右图所示。
为了计算和测量的方便，通常取 圆锥齿轮大端的参数为标准
值,即大端的模数按表 4-1选取，其压力角的标准值为 200。
? 一对圆锥齿轮传动相当于一
对节圆锥的纯滚动。除了节
圆锥外，圆锥齿轮还有分度
圆锥、齿顶圆锥、齿根圆锥
和基圆锥。图 4-23所示为一
对正确安装的标准圆锥齿轮，
其节圆锥与分度圆锥重合。
)294(s i ns i n
1
2
1
2
1
2
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?
?
?
?
r
r
z
zi
圆锥齿轮传动的传动比为
二、背锥与当量齿数
? 如图 4-24所示为一对圆锥齿轮的
轴剖面, △ OCA和 △ OCB代表其
分度圆锥 。 线段 OC称为 外锥距 。
? 分别 以 OO1 和 OO2 为轴线, 以
O1C 和 O2C 为母线作两个圆锥
O1CA和 O2CB,该两圆锥称为圆
锥齿轮的 背锥 。
? 背锥与球面相切于大端分度圆 CA
和 CB, 并与分度圆锥面垂直相交 。
? 因圆锥齿轮大端的齿廓曲线与分布在背锥上的齿廓曲线非常接
近, 如将背锥展成平面则为一扇形, 扇形的半径即为背锥的锥
距 O1C和 O2C,现以 rv1=O1C和 rv2=O2C为分度圆半径, 取圆锥齿
轮大端的模数和压力角, 画出 扇形 直齿轮的齿形, 则此齿形即
可近似地视为圆锥齿轮大端的齿形 。
? 扇形齿轮上的齿数 z就是圆锥齿轮的齿数。如 将扇形齿轮的缺口
补足，使其成为一个虚拟的圆柱齿轮，其齿数将增加至 zv1和 zv2。
该虚拟的圆柱齿轮 称为圆锥齿轮的 当量齿轮,而 其齿数 zv1和 zv2
称为圆锥齿轮的 当量齿数 。
)304(
c o s
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2
2
2
1
1
1
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z
z
z
z
v
v
由上式可见,zv>z,且一般不是整数。
? 直齿圆锥齿轮不发生根切的最少齿数 zmin=zvmin cosδ。可见,直齿
圆锥齿轮的最少齿数比直齿圆柱齿轮的少。
? 一对圆锥齿轮正确啮合的条件为, 两轮大端的模数和压力角分别
相等。另外，两轮的外锥距必须相等。
? 一对圆锥齿轮的重合度可以按照其当量齿轮传动的重合度计算 。
二、直齿圆锥齿轮几何尺寸计算
? 直齿圆锥齿轮的齿高由大端到小端逐渐收缩, 称为收缩齿圆锥齿
轮 。 直齿圆锥齿轮传动按顶隙不同分为不等顶隙收缩齿传动和等
顶隙收缩齿传动两种, 如图 4-25所示 。 GB12369-90规定采用等顶
隙圆锥齿轮传动 。
? 计算圆锥齿轮几何尺寸时, 是以其大端为基准的 。
?轴交角 ∑=90° 时，标准直齿圆锥齿轮各部分名称和
几何尺寸计算公式见表 4-5。
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§ 4-1 齿轮机构的特点和类型
§ 4-2 齿廓实现定角速比传动的条件
§ 4-3 渐 开 线 齿 廓
§ 4-4 齿轮各部分名称及渐开线标准齿轮的基本尺寸
§ 4-5 渐开线标准齿轮的啮合
§ 4-8 平行轴斜齿轮机构
§ 4-7 根切、最少齿数及变位齿轮
§ 4-6 渐开线齿轮的切制原理
§ 4-9 圆锥齿轮机构
§ 4-1 齿轮机构的特点和类型
? 齿轮传动是用来传递任意两轴间的运动和动力的, 它是应用
最为广泛的一种机械传动 。
(1) 主要优点 1)适用的圆周速度和功率范围广； 2)机械效率高；
3)可实现准确的传动比, 且传动平稳； 4)寿命长； 5)工作可靠；
6)可实现平行轴, 相交轴, 交错轴之间的传动； 7)结构紧凑 。
(2) 主要缺点 1)要求有较高的制造和安装精度, 成本相对较高；
2)不适宜于远距离两轴之间的传动 。
? 按照两轴的相对位置和齿向, 齿轮机构分类如下：
§ 4-2 齿廓实现定角速比传动的条件
? 一对齿轮传动，是依靠主动齿轮的齿廓依次推动从动齿轮的齿
廓来实现的，齿轮的齿廓曲线与传动比有密切的关系 。
? 齿轮传动的瞬时角速度比 ω1/ω2恒定不变是对齿轮齿廓的最基
本要求。
? 如 图 4-2表示一对相互啮合的齿廓 E1和 E2在 K点接触。过 K点作
两齿廓的公法线 n-n,与两齿轮的连心线 O1O2的交点 C，称为 啮
合节点 (节点 )。 C点也是两齿轮的相对速度瞬心，因此，两齿轮
的传动比为
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1
2
2
1 ??
CO
CO
?
?
? 上式表明, 一对传动齿轮的瞬时角
速度比与其连心线 O1O2被齿廓接触
点的公法线 n-n所分割的两线段长度
成反比 。 这一规律称为 齿廓啮合基
本定律, 它反映了齿廓形状与传动
比的关系 。
? 由齿廓啮合基本定律可知,要使两
齿轮瞬时角速度比恒定不变，则不
论两齿廓在任何位置接触，过接触
点所作的齿廓公法线都必须与连心
线交于一定点 (节点 )。
动画演示
? 凡能实现预定传动比的一对相互啮合的齿廓称为 共轭齿
廓 。
? 节点在分别与两齿轮固联的平面上的运动轨迹 称为两齿
轮的 节线 。 对于 定传动比齿轮传动, 节线为圆形, 称其
为 节圆 (以点 O1为圆心, r1′=O1C为半径的圆和以点 O2为
圆心, r2′=O2C为半径的圆 )。
? 两节圆在节点处相切, 且在节点处的相对速度为零, 故
两齿轮的啮合传动可以看作是两节圆作无滑动的纯滚动 。
? 齿轮传动比等于两节圆半径的反比 。
? 一对外啮合齿轮的中心距恒等于其节圆半径之和 。
§ 4-3 渐 开 线 齿 廓
? 如图 4-3所示,当一直线沿一圆周作纯
滚动时，直线上任意点 K的轨迹 AK称
为该圆的 渐开线 。 这个圆 称为渐开线
的 基圆,基圆的半径用 rb表示。而 该
直线 称为 渐开线的发生线 。 动画演示
? 渐开线的特性 动画演示
(1)发生线在基圆上滚过的一段长度等于
基圆上被滚过的弧长 。
一、渐开线的形成和特性
(2)渐开线上任一点的法线必与基圆相切 。 渐开线上某点的曲率
中心是该点法线与基圆的切点 。
(3)渐开线上任一点 K所受法向力的方向线与该点绕基圆中心转动
的速度方向线所夹的锐角 αK称为该点的 压力角 。 由 图 可知,
压力角 αK与向径 rK及基圆半径 rb的关系为：
cosαK=OB/OK=rb/rK (4-2)
? 上式表明渐开线上各点的压力角是不相等的, 向径 rk愈大,
其压力角也愈大 。 基圆上的压力角为零 。
(4)渐开线的形状取决于基圆的大小, 基圆半径越小, 渐开线越
弯曲, 反之, 渐开线越平直 (如 图 4-4)。 当基圆半径趋于无穷
大时, 其渐开线将成为垂直于 B3K的直线, 它就是渐开线齿
条的齿廓 。
(5) 基圆内无渐开线 。
二, 渐开线齿廓满足定角速比 (传动比 )要求 动画演示
如图 4-5所示，两齿轮在任一点 K
啮合时，其公法线 n-n必内切于
两基圆且位置不变，因而节点 C
位置不变，角速比恒定。 证明
了 渐开线齿廓能够满足定角速
比要求 。
定角速比传动的角速比 ω1/ω2也
等于转速比 n1/n2。角速比又称传
动比，用 i表示。
三, 渐开线齿廓传动的特点
1,渐开线齿轮传动的中心距可分性
? 式 (4-3)表明,渐开线齿轮的传动比等于两基圆半径的反比。
? 在两渐开线齿廓加工完成之后，其基圆半径已完全确定，所以只
要两渐开线齿廓能够啮合上，实际中心距与设计中心距略有偏差，
传动比 i 不变。这种性质称为 渐开线齿轮传动的中心距可分性 。
可分性对于齿轮的加工和装配都是十分有利。
在图 4-5中，△ O1N1C∽ △ O2N2C，故一对齿轮的传动比为
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1
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1
2
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b
r
r
r
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n
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2,渐开线齿廓传动正压力方位不变，传动平稳
? 如 图 4-5所示，齿轮传动时,两齿廓啮合点的轨迹,称为 啮合
线 。
? 一对渐开线齿廓在任何位置啮合时，其接触点的公法线都是
两基圆的内公切线 N1N2，这就是说一对渐开线齿廓从开始啮
合到脱离啮合，所有的啮合点都应在直线 N1N2 上，因此，直
线 N1N2就是渐开线齿廓的啮合线。
? 两齿廓在传动时其正压力是沿着公法线 N1N2的，由于 N1N2为
一定线，故知在两齿廓传动的过程中，齿廓之间正压力的方
向始终不变，所以 渐开线齿廓传动具有力平稳性。
?如 图 4-5所示，过节点 C作两节圆的公切线 t-t，它与
啮合线 N1N2间的夹角称为啮合角。
?渐开线齿轮传动中啮合角为常数，在数值上等于节
圆上的压力角。
§ 4-4 齿轮各部分名称及渐开线标准齿轮的基本尺寸
一、齿轮各部分名称 动画演示
? 齿轮各部分名称如 图 4-6所示。
? 齿顶圆 —— 齿顶所确定的圆，其直径用 da表示。
? 齿槽 —— 相邻两齿之间的空间。
? 齿根圆 —— 齿槽底部所确定的圆，其直径用 df表示。
? 齿厚 —— 在齿轮任意直径 dK的圆周上，轮齿两侧齿廓间的弧长，
用 sK表示；
? 齿槽宽 —— 齿槽两侧齿廓间的弧长，用 eK表示；
? 齿距 —— 相邻两齿同侧齿廓间的弧长，用 pK表示。
二,齿轮的基本参数
? 齿轮各部分尺寸由 齿轮的基本参数来决定，这些基本参数是：
1,齿数 —— 一个齿轮上轮齿的总数，用 z表示。
2,模数 —— 特定圆 (分度圆 )上齿距 p与 π的比值,用 m表示，并规
定为一些简单的数值，使之标准化，单位为 mm，即
因此有 pK=sK+eK 。 设齿轮齿数为 z，则
πdK=pKz
故 )44( ?? zpd KK ?
）54( ?? ?pm
? 模数是决定齿轮尺寸的一个基本参数,齿数相同的齿轮，模
数大则齿轮尺寸也大，如图所示。
m越大，则 p越大，轮齿就越
大，轮齿的抗弯能力也越强，
所以 模数 m又是轮齿抗弯能力
的重要标志。
我国的标准模数系列见表 4-1。
分度圆 —— 为了便于齿轮各
部分尺寸的计算，在齿轮上
选择一个作为计算基准的圆 。
? 分度圆的直径、半径，及其上的齿厚、齿槽宽和齿距分别用 d、
r,s,e和 p表示，且
p=s+e =πm (4-6)
? 故分度圆直径为
在标准齿轮的分度圆上，齿厚 s与齿槽宽 e相等 。
3,压力角
由式 (4-2)cosαK=rb/rK可知，齿轮齿廓在不同的圆周上的
压力角不相同，通常所说的 齿轮的压力角指的就是分度
圆上的压力角,用 α表示。
)74( ??? mzzpd ?
α= arc cos rb/r 或 cosα=rb/r
? 由上式可见：分度圆大小相同的齿廓, 当压力角 α 不同时,
其基圆的大小也不同, 因而渐开线齿廓的形状也不同, 所以
压力角 α 是决定渐开线齿廓形状和齿轮啮合性能的一个基本
参数 。
? 国标中规定分度圆上的压力角为标准值, 即 α= 20° 。
? 因此可以给出分度圆的明确定义为,齿轮上具有标准模数和
标准压力角的圆 。
4,齿顶高系数和顶隙系数
? 轮齿上介于齿顶圆与分度圆之间的部分称为 齿顶 (如图 ),其
径向高度称为 齿顶高, 用 ha表示 。
? 轮齿上介于齿根圆与分度圆之间的部分称为 齿根, 其径向高度
称为 齿根高, 用 hf 表示 。
? 齿顶圆与齿根圆之间的径向高度称为 全齿高, 用 h表示, 故
h = ha + hf (4-8)
? 齿轮的齿顶高, 齿根高的标准值可用模数表示为
)94()( **
*
??
?
???
??
?
mchh
mhh
af
aa
式中 ha* 称为 齿顶高系数, c* 称为 顶隙系数 。 这两个系数
也已标准化, 其正常齿制的数值为,ha* = 1,c* = 0.25。
? 齿顶圆, 齿根圆直径的计算公式为
da = d + 2ha =(z + 2 ha* )m (4-10)
df = d - 2hf = (z - 2 ha* - 2 c* ) m (4-11)
? 上述 5个基本参数决定了标准直齿圆柱齿轮的各部分尺寸。
? 标准齿轮 是指 具有标准模数、标准压力角、标准齿顶高系数、
标准顶隙系数，且分度圆上齿厚等于齿槽宽的齿轮 。因此，对
于标准齿轮
s=e=p/2=πm/2 (4-12)
? 由式 (4-2)可知, 基圆与分度圆的关系为
db=dcosα=zmcosα (4-13)
§ 4-5 渐开线标准齿轮的啮合
一、正确啮合条件 动画演示
? 虽然渐开线齿廓能满足定传动比传动的要求，但并非任意两
个渐开线齿轮都可以正确啮合传动。如 图 所示，模数特别大
的齿轮与模数特别小的齿轮无法进行正确啮合。 要使一对齿
轮正确啮合，就必须使共轭齿廓的啮合点都处于啮合线 N1N2上。
为此，如 图 4-7所示,一对齿轮要正确啮合，两齿轮的法向齿
距必须相等,即
K1K1′=K2K2′
? 由渐开线的性质可知：
K1K1′=pb1 =πm1cosα1
K2K2′= pb2 =πm2cosα2
? 所以, 两齿轮的正确啮合条件为
m1cosα1=m2cosα2
? 又由于模数和压力角都已标准化，
故一对齿轮的正确啮合条件是：
m1=m2=m (4-14)
α1=α2=α (4-15)
? 即一对渐开线直齿圆柱齿轮的正确
啮合条件是,两齿轮的模数和压力角应分别相等 。
?这样，一对齿轮的传动比可表示为：
二、标准中心距
一对标准齿轮分度圆相切时的中心距称为 标准中心距, 即
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b
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如 图 4-8，在标准中心距的情况下，两齿轮的分度圆分别与各
自的节圆重合，轮齿的齿侧间隙为零，一齿轮的齿顶圆与另
一齿轮的齿根圆之间的间隙 —— 顶隙，刚好为标准顶隙，即
c=c*m=0.25 m =hf-ha (4-18)
?分度圆与节圆的区别,
分 度 圆 节 圆
1.定义
模数和压力角为标准值
的一个特定圆，为计算
方便所取的基准圆
传动过程中作纯滚动的
圆，节点相对齿轮的运
动轨迹
2.性质 一个齿轮有一个分度圆 一对齿轮啮合时才有
3.大小 d=mz，固定不变 随中心距变化而变化
4.位置
标准安装时两分度圆相
切，非标准安装时相交
或分离
两节圆始终相切
5.压力角 标准值 α=20° 随节圆直径变化而变化
三、重合度
? 如图 4-9所示, 设轮 1为主动轮, 顺时针
转动, 则一对齿廓在 A点 (从动轮的齿顶
圆与啮合线的交点 )进入啮合, 到 E点 (主
动轮的齿顶圆与啮合线的交点 )脱离啮合 。
线段 AE为啮合点的实际轨迹, 称为 实际
啮合线 。 N1和 N2点称为 啮合极限点, 线
段 N1N2称为 理论啮合线 。
? 为了使一对齿轮的正确啮合传动不致中
断, 必须保证前一对轮齿尚未脱离啮合
时, 后一对轮齿就已经进入啮合 。
?因此, 一对齿轮 连续传动 的条件是,两齿轮的实际啮
合线段 AE的长度大于齿轮的法向齿距 pb。
? 实际啮合线段的长度与法向齿距的比值 称为齿轮传动
的 重合度, 用 ε 表示 。 这样, 齿轮的连续传动条件为
)194(1 ???
bp
AE?
重合度越大, 表示同时啮合的齿的对数越多 。
正确啮合条件和连续传动条件是保证一对齿轮能够正确啮合并
连续平稳传动的缺一不可的条件 。 如果前者不满足, 两齿轮便
不能正确进入啮合；如果后者得不到保证, 则两轮的正确啮合
传动将会出现中断现象 。
§ 4-6 渐开线齿轮的切制原理
一, 成形法
? 成形法 （ 仿形法 ） 是用渐开线齿形的成形铣刀直接切出齿形 。
常用的刀具有盘形铣刀和指状铣刀等 。
成形法切齿方法简
单, 不需要专用机
床, 但加工的齿轮
精度底, 同时由于
加工不连续, 生产
效率也底 。
二,范成法
? 范成法 又称 展成法 或 包络法,它是利用齿轮啮合的原理来切制齿
廓的 。设想将一对相互啮合传动的齿轮之一变为刀具，而另一轮
作为轮坯，并使两者仍按原来的传动比转动。这样刀具的齿廓便
将在轮坯上包络出与其共轭的齿廓，这就是展成法切齿的基本原
理。
1,齿轮插刀
图 4-11所示
为用齿轮插
刀切齿的情
形 。
2.齿条插刀
? 图 4-13为齿条插
刀齿廓在水平面
上的投影 。
图 4-12所示为
齿条插刀切齿
的情形 。
3.齿轮滚刀
如将齿条插刀沿一圆柱体作螺旋形排列, 则成为滚齿刀,
如图 4-14a所示 。 用滚齿刀切齿的情形如图 4-14b所示 。
§ 4-7 根切、最少齿数及变位齿轮
一,根切和最少齿数
? 如 图 4-15a所示,当用齿条型 (或齿轮型 )刀具加工齿轮时，若刀
具的齿顶线 (或齿顶圆 )就会超过轮坯的啮合极限点 N1，这时将
会出现刀刃把被加工齿轮的齿根部渐开线齿廓切去一部分的现
象,称为 轮齿的 根切现象 。 过度的根切使得轮齿根部被削弱，
轮齿的抗弯能力下降；齿廓实际工作段缩短，传动的重合度减
小，影响传动的平稳性，故应当避免出现严重的根切 。
? 标准齿轮是否发生根切取决于其齿数的多少。
? 用齿条型刀具加工渐开线标准直齿圆柱齿轮，可以证明轮齿 不发
生根切的最少齿数 zmin=17。
二,变位齿轮及其齿厚的确定
? 在用齿条型刀具加工齿轮时, 轮坯的直径为标准齿轮的齿顶圆直
径, 若 刀具的分度线 (又称为中线 )与轮坯的分度圆相切, 这种安
装称为 标准安装, 这时刀具所处的位置为标准位置, 如 图 4-15a
所示, 这样加工出来的齿轮称为 标准齿轮 。
? 用改变刀具与轮坯相对位置加工齿轮的方法 称为 变位修正法,加
工出来的齿轮称为 变位齿轮 。 刀具移动的距离 xm称为 变位量,
其中,m为模数,x为 变位系数 。
? 在加工齿轮时, 若刀具是向外离开标准位置, 则称为 正变位, 变
位系数 x>0, 加工出来的齿轮称为 正变位齿轮 ； 若刀具是向内离
开标准位置, 则称为 负变位, 变位系数 x<0, 加工出来的齿轮称
为 负变位齿轮 。
具有相同模数,
齿数和压力角的
变位齿轮与标准
齿轮的齿形比较
如右图所示 。
标准齿轮与变位齿轮齿体
形状比较
? 由于渐开线的形状决定于基圆的大小, 所以, 基本参数相同的
标准齿轮和变位齿轮的齿廓曲线相同 。
? 变位齿轮和标准齿轮的分度圆及基圆尺寸相同 。 与标准齿轮相
比, 正变位齿轮的齿根厚度增大, 轮齿的抗弯能力提高 。 但 正
变位齿轮的齿顶厚度减小, 因此, 变位量不宜过大, 以免造成
齿顶变尖 。 与标准齿轮相比, 负变位齿轮的齿根厚度减小, 轮
齿的抗弯能力降低, 因此, 通常只在有特殊需要的场合才采用
负变位齿轮 。
? 如 图 4-15a所示, 正变位后, 齿轮的分度圆齿厚增大了 2ab,齿
轮分度圆上的齿槽宽则减小了 2ab 。
ab=xmtgα (4-20)
? 变位齿轮分度圆齿厚和齿槽宽的计算公式为：
)214(tg22 ??? ?? xmms
)224(tg22 ??? ?? xmme
变位齿轮与标准齿轮相比, 有如下优点：
1) 采用正变位, 可以加工出齿数 z<zmin而不发生根切的齿轮,
使齿轮传动的结构尺寸减小 。
2) 正变位齿轮的齿厚及齿顶高比标准齿轮的大, 负变位
齿轮的齿厚及齿顶高比标准齿轮的小 。 当实际中心距
a′不等于标准中心距 a时, 可以采用变位齿轮, 来满足
中心距的要求 。
3) 在标准齿轮传动中, 小齿轮的齿根厚度比大齿轮的齿
根厚度小, 因此, 小齿轮轮齿的抗弯能力较弱 。 另外,
小齿轮轮齿的啮合频率比大齿轮高, 相对地降低了小
齿轮的强度 。 设计中可以通过正变位来提高小齿轮的
强度, 从而提高一对齿轮传动的整体强度 。
§ 4-8 平行轴斜齿轮机构
一、斜齿轮啮合的共轭齿廓曲面 动画演示
? 直齿轮齿廓曲面和斜齿轮齿廓曲面的形成比较如 图 所示 。
? 图 4-16为互相啮合的一对渐开线斜齿轮齿廓 。 当发生面 S绕基
圆柱作纯滚动时, 面上与母线 N1N1,N2N2成 βb角的斜直线 KK
的轨迹即为齿轮 1和 2的齿廓曲面 。 这样形成的两个齿廓曲面一
定能沿直线 KK接触 。 KK在空间所形成的曲面为一渐开螺旋面 。
直线在基圆柱上形成螺旋线, 故 螺旋线的螺旋角也就是直线对
轴线方向的偏斜角 β b,即轮齿在基圆柱上的 螺旋角 。
? 斜齿轮啮合传动时, 轮齿齿面
间的接触线都是平行于 KK的斜
直线 (图 4-17b),齿廓接触线的
长度是由短变长, 再由长变短,
即 轮齿是逐渐进入啮合, 再逐
渐退出啮合, 故工作平稳 。
斜齿轮的端面齿廓曲线为渐开线 。
斜齿轮传动的正确啮合条件：两个齿轮的模数及压力角分
别相等, 两 齿轮 的螺 旋 角必 须相 匹 配, 即,mn1=mn2，
?n1=?n2,?1= ± ?2。 当外啮合时旋向相反, 取, －, 号；
内啮合时旋向相同, 取, +”号 。
二、斜齿轮各部分名称和几何尺寸计算
? 斜齿轮的端面齿形和法面齿形是不相同的 。 因而 斜齿轮的端
面参数与法面参数也不相同 。
? 斜齿轮法面上的参数 (mn,αn,法向齿顶高系数及法向顶隙系
数 )为标准值, 是选择刀具的依据 。
? 端面参数是计算斜齿轮的主要几何尺寸的依据 。
? 分别用下标 n,t区别斜齿轮的法面参数和端面参数 。
? 斜齿轮的基本参数比直齿轮多个螺旋角 。
? 如 图 4-18所示, 斜齿轮分度圆柱上齿轮的螺旋线展开的斜直
线与轴线的夹角为 β,称为斜齿轮分度圆柱面上的 螺旋角 。 螺
旋角表示斜齿轮轮齿的倾斜程度 。
? 斜齿轮分度圆柱面上轮齿的法面齿距
pn和端面齿距 pt 的关系为
pn=ptcosβ （ 4-23）
? 法面模数 mn与端面模数 mt的关系为
mn =mtcosβ （ 4-24）
? 由图 4-19所示的几何关系, 可得斜齿
轮法面压力角 αn和端面压力角 αt 的关
系为
tgαn = tgαt cosβ (4-25)
? 斜齿轮几何尺寸的计算公式见表 4-4。
三、斜齿轮传动的重合度
? 如图 4-20所示，斜齿轮传动的实际啮合区
比直齿轮传动增大了 GH=btgβ，因此，斜
齿轮传动的重合度比直齿轮传动的大，其
重合度为
)264(tg ??????
t
t
tt p
b
p
GHFG
p
FH ???
由上式可知：斜齿轮传动的重合度随
齿宽 b和螺旋角 β的增大而增大，可以
达到很大的数值，这是斜齿轮传动平
稳，传动能力较高的主要原因。
四、斜齿轮的当量齿数
? 当用成形法切制斜齿轮时, 铣刀刀刃的形状应与斜齿轮的法面齿
形相对应；进行斜齿轮的强度计算时, 其强度是按法面齿形来计
算的, 都需要知道斜齿轮的法面齿形 。 为此, 需要找出一个 与斜
齿轮法面齿形相当的虚拟直齿轮 (称为斜齿轮的 当量齿轮 )来, 然
后按该直齿轮的齿数决定刀具的刀号, 进行斜齿轮的强度计算 。
当量齿轮的齿数 称为 当量齿数, 用 zv表示 。 如 图 4-21所示, 斜
齿轮的当量齿数为
)274(c o sc o sc o s2 333 ????? ???? zm zmm dmz
n
n
nn
v
? 正常齿标准斜齿轮不发
生根切的最少齿数 zmin
也可由其当量直齿轮的
最少齿数 zvmin(zvmin
=17)求得
zmin= zvmincos3β （ 4-28）
五、斜齿齿轮的优缺点：
1) 由于两斜齿圆柱齿轮齿
面的接触线为倾斜的直
线，且在啮合过程中是
逐渐进入和逐渐退出啮
合，所以其接触情况好、
传动平稳、冲击和噪音
小。
2) 斜齿圆柱齿轮的重合度大，
同时啮合的齿数多，所以其
轮齿强度高，运转平稳，适
用于高速传动。
3) 斜齿齿轮的最少齿数 Zmin比直
齿轮小，所以结构相对紧凑。
4) 斜齿轮传动的缺点是要产生轴向力（如图 4-22），为此在结
构上必须采用相应措施来保证其正常工作。螺旋角 β直接影
响到轴向力的大小,β越大，轴向力也越大，但 β过小则显不
出斜齿轮的优点，所以螺旋角 β一般取 8° ~20° 。
动画演示
人字齿轮可以看作由两个螺旋角大小相等、方向相反的斜齿
轮合并而成，可以消除轴向力。
§ 4-9 圆锥齿轮机构
一,圆锥齿轮概述
? 圆锥齿轮传动是用来传递两相交
轴之间的运动和动力的。圆锥齿
轮的轮齿分布在一个截圆锥体上，
其齿形从大端到小端逐渐变小，
如右图所示。
为了计算和测量的方便，通常取 圆锥齿轮大端的参数为标准
值,即大端的模数按表 4-1选取，其压力角的标准值为 200。
? 一对圆锥齿轮传动相当于一
对节圆锥的纯滚动。除了节
圆锥外，圆锥齿轮还有分度
圆锥、齿顶圆锥、齿根圆锥
和基圆锥。图 4-23所示为一
对正确安装的标准圆锥齿轮，
其节圆锥与分度圆锥重合。
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圆锥齿轮传动的传动比为
二、背锥与当量齿数
? 如图 4-24所示为一对圆锥齿轮的
轴剖面, △ OCA和 △ OCB代表其
分度圆锥 。 线段 OC称为 外锥距 。
? 分别 以 OO1 和 OO2 为轴线, 以
O1C 和 O2C 为母线作两个圆锥
O1CA和 O2CB,该两圆锥称为圆
锥齿轮的 背锥 。
? 背锥与球面相切于大端分度圆 CA
和 CB, 并与分度圆锥面垂直相交 。
? 因圆锥齿轮大端的齿廓曲线与分布在背锥上的齿廓曲线非常接
近, 如将背锥展成平面则为一扇形, 扇形的半径即为背锥的锥
距 O1C和 O2C,现以 rv1=O1C和 rv2=O2C为分度圆半径, 取圆锥齿
轮大端的模数和压力角, 画出 扇形 直齿轮的齿形, 则此齿形即
可近似地视为圆锥齿轮大端的齿形 。
? 扇形齿轮上的齿数 z就是圆锥齿轮的齿数。如 将扇形齿轮的缺口
补足，使其成为一个虚拟的圆柱齿轮，其齿数将增加至 zv1和 zv2。
该虚拟的圆柱齿轮 称为圆锥齿轮的 当量齿轮,而 其齿数 zv1和 zv2
称为圆锥齿轮的 当量齿数 。
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由上式可见,zv>z,且一般不是整数。
? 直齿圆锥齿轮不发生根切的最少齿数 zmin=zvmin cosδ。可见,直齿
圆锥齿轮的最少齿数比直齿圆柱齿轮的少。
? 一对圆锥齿轮正确啮合的条件为, 两轮大端的模数和压力角分别
相等。另外，两轮的外锥距必须相等。
? 一对圆锥齿轮的重合度可以按照其当量齿轮传动的重合度计算 。
二、直齿圆锥齿轮几何尺寸计算
? 直齿圆锥齿轮的齿高由大端到小端逐渐收缩, 称为收缩齿圆锥齿
轮 。 直齿圆锥齿轮传动按顶隙不同分为不等顶隙收缩齿传动和等
顶隙收缩齿传动两种, 如图 4-25所示 。 GB12369-90规定采用等顶
隙圆锥齿轮传动 。
? 计算圆锥齿轮几何尺寸时, 是以其大端为基准的 。
?轴交角 ∑=90° 时，标准直齿圆锥齿轮各部分名称和
几何尺寸计算公式见表 4-5。
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