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高等数学与初等数学有什么不同？ 它们各自研究的
对象和方法是什么？
大千世界万事万物, 无不在一定的空间中运动变化,
而在这过程中都存在一定的数量关系 。
数学 ——研究现实中数量关系与空间形式的科学。
绪论
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阿基米德圆锥曲线的研究, 变速运动, 坐标系的出现是
数学的转折点 。
初等数学：形式逻辑 。 孤立, 静止, 一个一个的数 。
微积分 ——无穷小量分析
在微积分中要加强而不是回避逻辑, 要从直观上理解和
分析漂亮的概念, 严密性不妨碍直观理解 。 学会方向思
维 。
21世纪的高科技 ——“数学技术,, 不仅是工具, 而且
从后台走到了前台 。 要明白,（ 1） 数学作为科学方法
的效力, 他应有的统一与美； （ 2） 数学的应用, 最好
的学习就是用？ 要培养应用数学的意识, 兴趣和能力 。
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说明,
记号 f和 f(x)的区别, 前者表示自变量 x和因变量 y之间的对
应法则,而后者表示与自变量 x对应的函数值,
说明
为了叙述方便,常用记号, f(x),x?D”或, y?f(x),x?D”来
表示定义在 D上的函数,这时应理解为由它所确定的函数 f.
说明
函数的记号是可以任意选取的,除了用 f 外,还可用,g”
、,F”、,?”等,此时函数就记作 y?g(x),y?F(x),y??(x)
等,
但在同一问题中,不同的函数应选用不同的记号,
三、函数
设数集 D?R,则称映射 f, D ?R为定义在 D上的函数,
通常简记为
y?f(x),x?D,
其中 x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作 Df,
即 Df?D.
1.函数概念
?定义
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构成函数的要素是定义域 Df及对应法则 f.
如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么
这两个函数就是相同的,否则就是不同的,
?函数的两要素
函数的定义域通常按以下两种情形来确定,
对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际
意义确定,
?函数的定义域
对抽象地用算式表达的函数,其定义域是使得算式
有意义的一切实数组成的集合,这种定义域称为函数的
自然定义域,
求函数的定义域举例 >>>
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?单值函数与多值函数
在函数的定义中,对每个 x?D,对应的函数值 y总是唯
一的,这样定义的函数称为单值函数,
如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个 x?D,总
有确定的 y值与之对应,但这个 y不总是唯一的,我们称这
种法则确定了一个多值函数,
例如,由方程 x2?y2?r2确定的函数是一个多值函数,
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此多值函数附加条件,y?0”后可得到一个单值分支
221 )( xrxyy ???,
22 xry ???,
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表示函数的主要方法有三种, 表格法, 图形法, 解
析法 (公式法 ).
用图形法表示函数是基于函数图形的概念,坐标平
面上的点集
{P(x,y)|y?f(x),x?D}
称为函数 y?f(x),x?D的图形,
?函数的表示法
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此函数称为绝对值函数,
其定义域为 D?(??,+?),
其值域为 Rf ?[0,+ ?).
例 6, 函数 ??? ?? ??? 0 0 || xx xxxy,
例 6
例 5 函数 y?2.
这是一个常值函数,
其定义域为 D?(??,??),
其值域为 Rf ?{2}.
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?函数举例
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此函数称为符号函数,
其 定义域为 D?(??,+?),
其值域为 Rf ?{?1,0,1}.
例 8 函数 y?[x].
例 7 例 7, 函数
??
?
?
?
??
?
?
??
01
00
0 1
s g n
x
x
x
xy
,
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注, 设 x为任上实数,不超过 x的最大整数称为 x的整数部
分,记作 [x],
此函数 称为取整函数,
其定义域为 D?(??,+?),
其值域为 Rf ?Z.
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例 6, 函数
??
?
??
???
11
10 2
xx
xxy
,
例 9
此函数 的 定义域为 D?[0,1]?(0,??)?[0,??).
当 0 ? x ? 1 时,xy 2? ? 当 x >1 时,y ? 1 ? x,
例 如 2212)21( ??f ?
2 1 2)1( ??f ? f(3)?1?3?4.
例 如 2212)21( ??f ?
2 1 2)1( ? ?
?分段函数
在自变量的不同变化范围中,对
应法则用不同式子来表示的函数称
为分段函数,
当 0 ? x ? 1 时,xy 2? ? 当 x >1 时,y 1 ? x,
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设函数 f(x)的定义域为 D,数集 X?D,
如果存在数 K1,使对任一 x?X,有 f(x)?K1,则称函数 f(x)
在 X上有上界,
(1)函数的有界性
如果存在数 K2,使对任一 x?X,有 f(x)?K2,则称函数 f(x)
在 X上有下界,
如果存在正数 M,使对任一 x?X,
有 |f(x)|?M,则称函数 f(x)在 X上有界 ;
如果这样的 M不存在,则称函数 f(x)
在 X上无界,
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2.函数的几种特性
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f(x)?sin x在 (??,+?)上是有界的, |sin x|?1.
函数 xxf 1)( ? 在开区间 (0,1 ) 内是无 上 界的,
Mxxf ??
11
1)(,
所以函数无上界,
函数 xxf 1)( ? 在 ( 1,2 ) 内是有界的,
这 是 因 为,对 于 任 一 M >1,总有 1x, 110 1 ??? Mx,使
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?函数的有界性举例
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设函数 y?f(x)在区间 I上有定义,x1及 x2为区间 I上任意
两点,且 x1<x2.
如果恒有 f(x1)<f(x2),则称 f(x)在 I上是单调增加的,
(2)函数的单调性
如果恒有 f(x1)>f(x2),则称 f(x)在 I上是单调减少的,
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数,
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设函数 f(x)的定义域 D关于原点对称,
如果在 D上有 f(?x)?f(x),则称 f(x)为偶函数,
如果在 D上有 f(?x)??f(x),则称 f(x)为奇函数,
(3)函数的奇偶性
?奇偶函数举例
y?x2,y?cos x都是偶函数,
y?x3,y?sin x 都是奇函数,
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奇函数的图形对称于原点偶函数的图形对称于 y轴
?奇偶函数的图形特点
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设函数 f(x)的定义域 D关于原点对称,
如果在 D上有 f(?x)?f(x),则称 f(x)为偶函数,
如果在 D上有 f(?x)??f(x),则称 f(x)为奇函数,
(3)函数的奇偶性
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(4)函数的周期性
设函数 f(x)的定义域为 D,如果存在一个不为零的数 l,
使得对于任一 x?D有 (x?l)?D,且 f(x+l)?f(x),则称 f(x)为周
期函数,l称为 f(x)的周期,
?周期函数的图形特点
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3.反函数与复合函数
?反函数
设函数 f, D?f(D)是单射,则它存在逆映射
f ?1,f(D)?D,
称此映射 f ?1为函数 f 的反函数,
按习惯,y?f(x),x?D的反函数记成 y?f ?1(x),x?f(D).
例如,函数 y?x3,x?R是单射,所以它的反函数存在,
其反函数为
3
1
xy ?,x ? R,
3
1
yx ?,y ? R, 函数 y?x
3,x?R的反函数是
提问, 下列结论是否正确？
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3.反函数与复合函数
?反函数
设函数 f, D?f(D)是单射,则它存在逆映射
f ?1,f(D)?D,
称此映射 f ?1为函数 f 的反函数,
按习惯,y?f(x),x?D的反函数记成 y?f ?1(x),x?f(D).
若 f 是定义在 D上的单调函数,则 f, D?f(D)是单射,
于是 f 的反函数 f ?1必定存在,而且容易证明 f ?1也是 f(D)上
的单调函数,
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相对于反函数 y?f ?1(x)来说,
原来的函数 y?f(x)称为直接函数,
函数 y?f(x)和 y?f ?1(x)的图形
关于直线 y?x 是对称的,
3.反函数与复合函数
?反函数
设函数 f, D?f(D)是单射,则它存在逆映射
f ?1,f(D)?D,
称此映射 f ?1为函数 f 的反函数,
按习惯,y?f(x),x?D的反函数记成 y?f ?1(x),x?f(D).
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3.反函数与复合函数
设函数 y?f(u)的定义域为 D1,函数 u?g(x)在 D上有定义
且 g(D)?D1,则由
y?f[g(x)],x?D
确定的函数称为由函数 u?g(x)和函数 y?f(u)构成的复合函
数,它的定义域为 D,变量 u称为中间变量,
?复合函数
函数 g与函数 f 构成的复合函数通常记为 f o g,即
(f o g)(x)?f[g(x)].
说明, g与 f 构成的复合函数 f o g的条件是, 是函数 g在 D上
的值域 g(D)必须含在 f 的定义域 Df 内,即 g(D)?Df, 否则,
不能构成复合函数, 例如 >>>
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4.函数的运算
设函数 f(x),g(x)的定义域依次为 D1,D2,D?D1?D2??,
则可以定义这两个函数的下列运算,
和 (差 ) f ?g, (f ?g)(x)?f(x)?g(x),x?D;
积 f ?g, (f ?g)(x)?f(x)?g(x),x?D;
商 gf, )( )())(( xg xfxgf ?,x ? D \ { x | g ( x ) ? 0 },
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例 10 设函数 f(x)的定义域为 (?l,l),证明必存在 (?l,l)
上的偶函数 g(x)及奇函数 h(x),使得 f(x)?g(x)?h(x).
提示, 如果 f(x)?g(x)?h(x),则 f(?x)?g(x)?h(x),于是
)]()([21)( xfxfxg ???,)]()([21)( xfxfxh ???,
证 作 )]()([21)( xfxfxg ???,)]()([21)( xfxfxh ???,
证
则 f(x)?g(x)?h(x),且
)()]()([21)( xgxfxfxg ?????,
)()]()([21)]()([21)( xhxfxfxfxfxh ??????????,
)()]()[21)( xgxfxfxg ?????,)()]()([21)( xgxfxfxg ?????,
)()]()([21)]()([21)( xhxfxfxfxfxh ??????????, )()]()([21)]()([21)( xhxfxfxffxh ??????????, )()]()([21)]()([21)( xhxfxffxfxh ???????,
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?基本初等函数
幂函数, y?x ? (??R是常数 );
指数函数, y?a x(a?0且 a?1);
对数函数, y?loga x (a?0且 a?1),
特别当 a?e时,记为 y?ln x;
三角函数, y?sin x,y?cos x,
y?tan x,y?cot x,
y?sec x,y?csc x;
5.初等函数
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反三角函数, y?arcsin x,y?arccos x,
y?arctan x,y?arccot x, >>>
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5.初等函数
?初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有
限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,
称为初等函数,
都是初等函数,
例如,函数
21 xy ??,xy 2s i n?,2c o t xy ?
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?双曲函数
应用上常遇到的双曲函数是,
双曲正弦,
2s h
xx eex ???
双曲余弦,
2c h
xx eex ???
双曲正切,
xx
xx
ee
ee
x
xx
?
?
?
???
ch
shth
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?双曲函数与反双曲函数
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?双曲函数与反双曲函数
?双曲函数的性质
比较 sin(x?y)?sin x cos y?cos x sin y,
sh(x?y)?sh x ch y?ch x sh y,>>>
ch2 x? sh2 x?1,
ch(x?y)?ch x ch y?sh x sh y,
sh 2x?2sh x ch x,
ch 2x?ch2x+sh2x,
比较 cos(x?y)?cos x cos y sin x sin y,?
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?双曲函数与反双曲函数
?反双曲函数
双曲函数 y?sh x,y?ch x,y?th x的反函数依次记为
反双曲正弦, y=arsh x,
反双曲余弦, y=arch x,
反双曲正切, y=arth x.
可以证明
)1l n (a r s h 2 ???? xxxy,
)1l n (a r c h 2 ???? xxxy,
x
xxy
?
???
1
1ln
2
1a r th,
结束
>>>