?无穷小的性质
?极限的四则运算法则
§ 1.5 极限运算法则
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证明
设 ?及 ?是当 x?x0时的两个无穷小 ? 则 ???0?
??1?0? 当 0?|x?x0|??1 时 ? 有 |?|?? ?
??2?0? 当 0?|x?x0|??2 时 ? 有 |?|???
取 ??min{?1? ?2}? 则当 0?|x?x0|??时 ? 有
这说明 ??? 也是当 x?x0时的无穷小 ?
|???|?|?|?|?|?2? ?
?定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小 ?
?无穷小的性质
仅就两个 x?x0时的无穷小情形证明 ?
举例, 当 x?0时 ? x与 sin x都是无穷小 ? 所以 x?sin x也是当
x?0时的无穷小 ?
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设函数 u在 x0的某一去心邻域 {x|0?|x?x0|??1}内
有界 ?即 ?M?0? 使当 0?|x?x0|??1时 ? 有 |u|?M?
又设 ?是当 x?x0时的无穷小 ? 即 ???0? 存在 ?2?0? 使当
0?|x?x0|??2时 ? 有 |?|?? ?
取 ??min{?1? ?2}? 则当 0?|x?x0|?? 时 ? 有
|u??|?|u|?|?|?M? ?
这说明 u?? 也是当 x?x0时的无穷小 ?
证明
?定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 ?
?定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小 ?
?无穷小的性质
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举例,
当 x ? ? 时 ? x1 是无穷小 ? a r c ta n x 是有界函数 ?
所以 x1 a r c ta n x 也是无穷小 ?
?推论 2 有限个无穷小的乘积也是无穷小 ?
?定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 ?
?定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小 ?
?无穷小的性质
?推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小 ?
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(2)lim f(x)?g(x)?lim f(x)?lim g(x)?A?B?
?推论 1 如果 lim f(x)存在 ? 而 c为常数 ? 则
lim[c?f(x)]?c?limf(x)?
?推论 2 如果 limf(x)存在 ? 而 n是正整数 ? 则
lim[f(x)]n?[limf(x)]n ?
?定理 3
如果 lim f(x)?A? lim g(x)?B? 那么
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?极限的四则运算法则
( 3 ) BAxg xfxg xf ?? )(lim )(lim)( )(lim ( B ? 0 ) ?
(1)lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?B? >>>
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?数列极限的四则运算法则
?定理 5 如果 j(x)?y(x)? 而 limj(x)?a? limy(x)?b? 那么 a?b?
?不等式
( 1 ) BAyx nnn ????? )(lim ?
( 2 ) BAyx nnn ????? )(lim ?
( 3 ) 当 0?ny ( n ? 1 ? 2 ? ? ? ?) 且 B ? 0 时 ? BAyx
n
n
n
?
??
l i m ?
?定理 4 设有数列 {xn}和 {yn}? 如果
Ax n
n
?
??
lim ? By n
n
?
??
l i m ?
那么
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?求极限举例
?讨论
?提示
例 1 ? 求 )12(lim
1
?
?
x
x
?
例 1
解
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若 nnnn axaxaxaxP ???????? ?? 1110 )( ? 则?)(l i m
0
?? xPxx
)()(lim 0
0
xPxPxx ?? ?
>>>
解 ?
)35(lim
)1(lim
35
1lim
2
2
3
2
2
3
2 ??
?
?
??
?
?
?
? xx
x
xx
x
x
x
x
3
7
3102
12
2
3 ??
??
?? ?
例 2 ? 求 35 1lim 2 3 2 ?? ?? xx xx ?
例 2
解 解 ?
)35(lim
)1(lim
35
1lim
2
2
3
2
2
3
2 ??
?
?
??
?
?
?
? xx
x
xx
x
x
x
x
3
7
102
12
2
3 ??
??
?? ?
提问
11121lim21lim2lim)12(lim 1 1 1 1 ????????? ???? xxx xxxx ? 11121lim21lim2lim12(lim 1 1 1 1 ????????? ???? xxx xxxx ? 11121lim21lim2i(li 1 1 1 1 ??????? ??? xx xxx ? 1111lim21lim2lim)12(lim 1 1 1 1 ???????? ???? xx xxxx ?
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解
例 3
例 3 ? 求 93lim 2 3 ??? xxx ?
解 ? 31lim)3)(3( 3lim93lim 3 32 3 ???? ???? ??? xxx xxx xxx
6
1
)3(lim
1lim
3
3 ?
??
?
?
x
x
x ?
解 ? 31lim)3)(3( 3lim93lim 3 32 3 ???? ???? ??? xxx xxx xxx 解 ? 31lim)3)(3( 393lim 3 32 3 ???? ??? ?? xxx xxx xx
6
1
)(lim
1lim
3
3 ?
??
?
?
x
x
x ?
解
例 4
例 4 ? 求 45 32lim 2 1 ?? ?? xx xx ?
解 ? 0312 415132 45lim 22 1 ??? ????? ??? x xxx ?
45
32lim
2 1 ??
?
? xx
x
x ? ? ?
根据无穷大与无穷小的关系得
解 ? 0312 415132 45lim 22 1 ??? ????? ??? x xxx ?
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因为
提问
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有理函数的极限?)( )(l i m
0
?
? xQ
xP
xx
?讨论
?提示
当 Q(x0)?P(x0)?0时 ? 约去分子分母的公因式 (x?x0) ?
当 0)( 0 ?xQ 时 ? )( )()( )(lim
0
0
0 xQ
xP
xQ
xP
xx
?
?
?
当 0)( 0 ?xQ 且 0)( 0 ?xP 时 ? ??
? )(
)(lim
0 xQ
xP
xx
?
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先用 x3去除分子及分母 ? 然后取极限 ?
解 先用 x3去除分子及分母 ? 然后取极限 ?
例 5
例 5 ? 求 357 243l im 23 23 ?? ???? xx xxx ?
解,
7
3
357
243
lim
357
243lim
3
3
23
23
?
??
??
?
??
??
????
xx
xx
xx
xx
xx
?
7
3
357
243
lim
357
243lim
3
3
23
23
?
??
??
?
??
?
????
xx
xx
x
xx
xx
?
7
3
37
23
lim
357
243lim
3
3
23
23
?
??
??
??
??
????
xx
x
xx
xx
xx
?
例 6
例 6 ? 求 52 123lim 232 ?? ???? xx xxx ?
0
2
0
512
123
lim
52
123lim
3
32
23
2
??
??
??
?
??
??
????
xx
xxx
xx
xx
xx
? 0
2
0
512
123
lim
52
123lim
3
32
23
2
??
??
??
?
??
?
????
xx
xxx
xx
xx
xx
? 0
2
0
512
123
lim
52
123lim
3
32
23
2
??
??
??
?
?
??
???
xx
xxx
xx
xx
xx
?
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?讨论
?提示
例 7 ? 求 123 52lim 2 23 ?? ???? xx xxx ?
例 7
解
解 ? 因为 052 123lim 232 ??? ???? xx xxx ? 所以
???? ???? 123 52lim 2 23 xx xxx ?
所以
有理函数的极限? l i m 1
10
110
??????? ?????? ?
?
?? mmm
nnn
x bxbxb
axaxa
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??????
??????
?
?
??
mn
mn
b
a
mn
bxbxb
axaxa
m
mm
n
nn
x
0
l i m
0
0
1
10
1
10 ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??????
??????
?
?
??
mn
mn
b
a
mn
bxbxb
axaxa
m
mm
n
nn
x
0
lim
0
0
1
10
1
10 ?
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解 当 x??时 ? 分子及分母的极限都不存在 ? 故关于
商的极限的运算法则不能应用 ?
例 8
例 8 ? 求 x xx s inlim ?? ?
所以 0s inlim ??? x xx ?
因为 xxx x s i n1s i n ?? ? 是
是无穷小与有界函数的乘积 ?
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?定理 6(复合函数的极限运算法则 )
?说明
设函数 y?f[g(x)]是由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成 ?
f[g(x)]在点 x0的某去心邻域内有定义 ? 若 g(x)?u0(x?x0)?
f(u)?A(u?u0)?且在 x0的某去心邻域内 g(x)?u0? 则
Aufxgf uuxx ?? ?? )(lim)]([lim
00
?
把定理中 g(x)?u0(x?x0)换成 g(x)??(x?x0或 x??)?
而把 f(u)?A(u?u0)换成 f(u)?A(u??)可类似结果 ?
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>>>
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?定理 6(复合函数的极限运算法则 )
结束
设函数 y?f[g(x)]是由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成 ?
f[g(x)]在点 x0的某去心邻域内有定义 ? 若 g(x)?u0(x?x0)?
f(u)?A(u?u0)?且在 x0的某去心邻域内 g(x)?u0? 则
Aufxgf uuxx ?? ?? )(lim)]([lim
00
?
例 9 求 39lim
2
3 ?
?
? x
x
x
?
例 9
解 ? 392 ??? xxy 是由 uy ? 与 392 ??? xxu 复合而成的 ? 解
因 为 639l i m
2
3
???
? x
x
x
? 所 以 6l i m39l i m
6
2
3
????
??
uxx
ux
? 因 为 639lim
2
3
???
? x
x
x
? 所 以 6lim39lim
6
2
3
????
??
uxx
ux
? 因 为 639lim
2
3
???
? x
x
x
? 所 以 6lim39lim
6
2
3
????
??
uxx
ux
? 因 为 639lim
2
3
???
? x
x
x
? 所 以 6lim39lim
6
2
3
????
??
ux
ux
?
?极限的四则运算法则
§ 1.5 极限运算法则
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证明
设 ?及 ?是当 x?x0时的两个无穷小 ? 则 ???0?
??1?0? 当 0?|x?x0|??1 时 ? 有 |?|?? ?
??2?0? 当 0?|x?x0|??2 时 ? 有 |?|???
取 ??min{?1? ?2}? 则当 0?|x?x0|??时 ? 有
这说明 ??? 也是当 x?x0时的无穷小 ?
|???|?|?|?|?|?2? ?
?定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小 ?
?无穷小的性质
仅就两个 x?x0时的无穷小情形证明 ?
举例, 当 x?0时 ? x与 sin x都是无穷小 ? 所以 x?sin x也是当
x?0时的无穷小 ?
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设函数 u在 x0的某一去心邻域 {x|0?|x?x0|??1}内
有界 ?即 ?M?0? 使当 0?|x?x0|??1时 ? 有 |u|?M?
又设 ?是当 x?x0时的无穷小 ? 即 ???0? 存在 ?2?0? 使当
0?|x?x0|??2时 ? 有 |?|?? ?
取 ??min{?1? ?2}? 则当 0?|x?x0|?? 时 ? 有
|u??|?|u|?|?|?M? ?
这说明 u?? 也是当 x?x0时的无穷小 ?
证明
?定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 ?
?定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小 ?
?无穷小的性质
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举例,
当 x ? ? 时 ? x1 是无穷小 ? a r c ta n x 是有界函数 ?
所以 x1 a r c ta n x 也是无穷小 ?
?推论 2 有限个无穷小的乘积也是无穷小 ?
?定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 ?
?定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小 ?
?无穷小的性质
?推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小 ?
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(2)lim f(x)?g(x)?lim f(x)?lim g(x)?A?B?
?推论 1 如果 lim f(x)存在 ? 而 c为常数 ? 则
lim[c?f(x)]?c?limf(x)?
?推论 2 如果 limf(x)存在 ? 而 n是正整数 ? 则
lim[f(x)]n?[limf(x)]n ?
?定理 3
如果 lim f(x)?A? lim g(x)?B? 那么
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?极限的四则运算法则
( 3 ) BAxg xfxg xf ?? )(lim )(lim)( )(lim ( B ? 0 ) ?
(1)lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?B? >>>
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?数列极限的四则运算法则
?定理 5 如果 j(x)?y(x)? 而 limj(x)?a? limy(x)?b? 那么 a?b?
?不等式
( 1 ) BAyx nnn ????? )(lim ?
( 2 ) BAyx nnn ????? )(lim ?
( 3 ) 当 0?ny ( n ? 1 ? 2 ? ? ? ?) 且 B ? 0 时 ? BAyx
n
n
n
?
??
l i m ?
?定理 4 设有数列 {xn}和 {yn}? 如果
Ax n
n
?
??
lim ? By n
n
?
??
l i m ?
那么
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?求极限举例
?讨论
?提示
例 1 ? 求 )12(lim
1
?
?
x
x
?
例 1
解
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若 nnnn axaxaxaxP ???????? ?? 1110 )( ? 则?)(l i m
0
?? xPxx
)()(lim 0
0
xPxPxx ?? ?
>>>
解 ?
)35(lim
)1(lim
35
1lim
2
2
3
2
2
3
2 ??
?
?
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? xx
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3102
12
2
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?? ?
例 2 ? 求 35 1lim 2 3 2 ?? ?? xx xx ?
例 2
解 解 ?
)35(lim
)1(lim
35
1lim
2
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3
2
2
3
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?
?
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?
?
? xx
x
xx
x
x
x
x
3
7
102
12
2
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?? ?
提问
11121lim21lim2lim)12(lim 1 1 1 1 ????????? ???? xxx xxxx ? 11121lim21lim2lim12(lim 1 1 1 1 ????????? ???? xxx xxxx ? 11121lim21lim2i(li 1 1 1 1 ??????? ??? xx xxx ? 1111lim21lim2lim)12(lim 1 1 1 1 ???????? ???? xx xxxx ?
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解
例 3
例 3 ? 求 93lim 2 3 ??? xxx ?
解 ? 31lim)3)(3( 3lim93lim 3 32 3 ???? ???? ??? xxx xxx xxx
6
1
)3(lim
1lim
3
3 ?
??
?
?
x
x
x ?
解 ? 31lim)3)(3( 3lim93lim 3 32 3 ???? ???? ??? xxx xxx xxx 解 ? 31lim)3)(3( 393lim 3 32 3 ???? ??? ?? xxx xxx xx
6
1
)(lim
1lim
3
3 ?
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?
?
x
x
x ?
解
例 4
例 4 ? 求 45 32lim 2 1 ?? ?? xx xx ?
解 ? 0312 415132 45lim 22 1 ??? ????? ??? x xxx ?
45
32lim
2 1 ??
?
? xx
x
x ? ? ?
根据无穷大与无穷小的关系得
解 ? 0312 415132 45lim 22 1 ??? ????? ??? x xxx ?
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因为
提问
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有理函数的极限?)( )(l i m
0
?
? xQ
xP
xx
?讨论
?提示
当 Q(x0)?P(x0)?0时 ? 约去分子分母的公因式 (x?x0) ?
当 0)( 0 ?xQ 时 ? )( )()( )(lim
0
0
0 xQ
xP
xQ
xP
xx
?
?
?
当 0)( 0 ?xQ 且 0)( 0 ?xP 时 ? ??
? )(
)(lim
0 xQ
xP
xx
?
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先用 x3去除分子及分母 ? 然后取极限 ?
解 先用 x3去除分子及分母 ? 然后取极限 ?
例 5
例 5 ? 求 357 243l im 23 23 ?? ???? xx xxx ?
解,
7
3
357
243
lim
357
243lim
3
3
23
23
?
??
??
?
??
??
????
xx
xx
xx
xx
xx
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7
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3
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xx
x
xx
xx
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7
3
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lim
357
243lim
3
3
23
23
?
??
??
??
??
????
xx
x
xx
xx
xx
?
例 6
例 6 ? 求 52 123lim 232 ?? ???? xx xxx ?
0
2
0
512
123
lim
52
123lim
3
32
23
2
??
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?
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????
xx
xxx
xx
xx
xx
? 0
2
0
512
123
lim
52
123lim
3
32
23
2
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??
?
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xxx
xx
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0
512
123
lim
52
123lim
3
32
23
2
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??
??
?
?
??
???
xx
xxx
xx
xx
xx
?
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?讨论
?提示
例 7 ? 求 123 52lim 2 23 ?? ???? xx xxx ?
例 7
解
解 ? 因为 052 123lim 232 ??? ???? xx xxx ? 所以
???? ???? 123 52lim 2 23 xx xxx ?
所以
有理函数的极限? l i m 1
10
110
??????? ?????? ?
?
?? mmm
nnn
x bxbxb
axaxa
?
?
?
?
?
??
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?
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??????
??????
?
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??
mn
mn
b
a
mn
bxbxb
axaxa
m
mm
n
nn
x
0
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0
0
1
10
1
10 ?
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?
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?
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?
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??????
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mn
mn
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mn
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axaxa
m
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n
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x
0
lim
0
0
1
10
1
10 ?
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解 当 x??时 ? 分子及分母的极限都不存在 ? 故关于
商的极限的运算法则不能应用 ?
例 8
例 8 ? 求 x xx s inlim ?? ?
所以 0s inlim ??? x xx ?
因为 xxx x s i n1s i n ?? ? 是
是无穷小与有界函数的乘积 ?
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?定理 6(复合函数的极限运算法则 )
?说明
设函数 y?f[g(x)]是由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成 ?
f[g(x)]在点 x0的某去心邻域内有定义 ? 若 g(x)?u0(x?x0)?
f(u)?A(u?u0)?且在 x0的某去心邻域内 g(x)?u0? 则
Aufxgf uuxx ?? ?? )(lim)]([lim
00
?
把定理中 g(x)?u0(x?x0)换成 g(x)??(x?x0或 x??)?
而把 f(u)?A(u?u0)换成 f(u)?A(u??)可类似结果 ?
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?定理 6(复合函数的极限运算法则 )
结束
设函数 y?f[g(x)]是由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成 ?
f[g(x)]在点 x0的某去心邻域内有定义 ? 若 g(x)?u0(x?x0)?
f(u)?A(u?u0)?且在 x0的某去心邻域内 g(x)?u0? 则
Aufxgf uuxx ?? ?? )(lim)]([lim
00
?
例 9 求 39lim
2
3 ?
?
? x
x
x
?
例 9
解 ? 392 ??? xxy 是由 uy ? 与 392 ??? xxu 复合而成的 ? 解
因 为 639l i m
2
3
???
? x
x
x
? 所 以 6l i m39l i m
6
2
3
????
??
uxx
ux
? 因 为 639lim
2
3
???
? x
x
x
? 所 以 6lim39lim
6
2
3
????
??
uxx
ux
? 因 为 639lim
2
3
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x
x
? 所 以 6lim39lim
6
2
3
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uxx
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? 因 为 639lim
2
3
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x
x
? 所 以 6lim39lim
6
2
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ux
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