一、引例
二、导数的定义
三、导数的几何意义
四、函数的可导性与连续性的关系
§ 2.1 导数概念
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一、引例
设动点于时刻在直线上所处的位置为 s，于是 s=f(t)，
称此函数为 位置函数 。该如何定义动点在 某一时刻的
瞬时速度 呢?
1.直线运动的速度
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求曲线 y=f(x)在点 M(x0? y0)处的切线的斜率 ?
在曲线上另取一点 N(x0+?x? y0+?y)? 作割线 MN?
设其倾角为 j? 观察切线的形成 ?
2.切线问题
当 ?x?0时 ? 动点 N将沿曲线趋向于定点 M? 从而割线
MN也将随之变动而趋向于切线 MT?
此时割线 MN的斜率趋向
于切线 MT的斜率 ?
动画演示
x
y
xx ?
?==
???? 00
l i mt a nl i mt a n j?
x
xfxxf
x ?
??+=
??
)()(lim 00
0
?
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x
xfxxf
x
yxf
xx ?
??+=
?
?=?
????
)()(limlim)( 00
000 ?
二、导数的定义
存在 ? 则称函数 f(x)在点 x0处可导 ? 并称此极限值为函数
f(x)在点 x0处的导数 ? 记为 f ?(x0)? 即
x
xfxxf
x
yxf
xx ?
??+=
?
?=?
????
)()(limlim)( 00
000 ?
下页
设函数 y=f(x)在点 x0的某个邻域内有定义 ? 如果极限
?导数的定义
1.函数在一点处的导数与导函数
如果上述极限不存在 ? 则称函数 f(x)在点 x0处不可导 ?
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?导数的其它符号
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?导数的其它定义式
h
xfhxfxf
h
)()(lim)( 00
00
?+=?
?
?
0
0
0
)()(l i m)(
0 xx
xfxfxf
xx ?
?=?
?
?
0
| xxy =? ?
0
xxdx
dy
=
或
0
)(
xxdx
xdf
=
?
导数的定义式,
x
xfxxf
x
yxf
xx ?
??+=
?
?=?
????
)()(limlim)( 00
000 ?
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例 1 求函数 y=x2在点 x=2处的导数 ?
解
h
xfhxfxf
h
)()(lim)( 00
00
?+=?
? 0
0 )()(lim
0 xx
xfxf
xx ?
?=
?
?
x
x
x
fxff
xx ?
??+=
?
??+=?
????
22
00
2)2(lim)2()2(lim)2(
4)4(lim 0 =?+= ?? xx
?
4)2(lim22lim2 )2()(lim)2(
2
22
22
=+=??=??=?
???
xxxx fxff
xxx
或
x
x
x
fxff
xx ?
??+=
?
??+=?
????
22
00
2)2(lim)2()2(lim)2(
4)2(lim22lim2 )2()(lim)2(
2
22
22
=+=??=??=?
???
xxxfxff
xxx
?
4)2(22lim2 )2()(lim)2(
2
22
22
=+=??=??=?
??
xx fxff
xx
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x
xfxxf
x
yxf
xx ?
??+=
?
?=?
????
)()(limlim)( 00
000 ?
导数的定义式,
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h
xfhxfxf
h
)()(lim)( 00
00
?+=?
? 0
0 )()(lim
0 xx
xfxf
xx ?
?=
?
?
x
xfxxf
x
yxf
xx ?
??+=
?
?=?
????
)()(limlim)( 00
000 ?
导数的定义式,
?导函数的定义
如果函数 y=f(x)在区间 I内每一点 x都对应一个导数值 ?
则这一对应关系所确定的函数称为函数 y=f(x)的导函数 ?
简称导数 ? 记作
y ? ? )( xf ? ? dxdy ? 或 dx xdf )( ?
提问, 导函数的定义式如何写? f ?(x0)与 f ?(x)是什么关系?
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h
xhx
h
xfhxfxf
hh
11
lim)()(lim)(
00
?
+=?+=?
??
例 2 求函数 f(x)=C 的导数 (C为常数 ) ?
解
即 (C)?=0?
解 ? f ? ( x ) h xfhxfh )()(lim 0 ?+= ? 0l i m 0 =?= ? h CCh ? 解 ? f ?( x ) h xfhxfh )()(lim 0 ?+= ? 0lim 0 =?= ? h CCh ?
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2.求导数举例
解
例 2 ? 求 xxf 1)( = 的 导 数 ?
例 3
200
1
)(
1lim
)(lim xxhxxhxh
h
hh
?=+?=+?=
??
? 2
00
1
)(
1lim
)(lim xxhxxhxh
h
hh
?=+?=+?=
??
? 2
00
1
)
1lim
)(lim xxhxxhxh
h
hh
?=+?+?=
??
?
h
xhx
h
xfhxfxf
hh
11
lim)()(lim)(
00
?
+=?+=?
??
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解 ? h xhxh xfhxfxf hh ?+=?+=? ?? 00 lim)()(lim)(
解
例 3 ? 求 xxf =)( 的导数 ?
例 4
解 ? h xhxh xfhxfxf hh ?+=?+=? ?? 00 lim)()(lim)(
xxhxxhxh
h
hh 2
11lim
)(lim 00 =++=++= ?? ? xxhxxhxh
h
hh 2
11lim
)(lim 00 =++=++= ?? ? xxhxxhxh
h
hh 2
11lim
)(lim 00 =+=++= ?? ?
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2.求导数举例
( C )?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx 2 1)( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C )?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx 2 1)( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C ) ?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx )( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ?
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( C )?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx 2 1)( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C )?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx 2 1)( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C ) ?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx )( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C ) ?= 0 ? 21)1( xx ?? ? xx 2 1)( =? ? )( ??=? ?? ? xx ?
2.求导数举例
解 ? f ? ( a ) ax afxf
ax ?
?=
?
)()(lim
ax
ax nn
ax ?
?=
?
l i m
例 5 求函数 f(x)=x n (n为正整数 )在 x=a处的导数 ?
更一般地 ? 有
(x ?)?=?x??1(其中 ?为常数 )?
把以上结果中的 a换成 x得 f ?(x)=nxn?1? 即 (xn)?=nxn?1?
解
=nan?1?
解 ? f ?( a ) ax afxf
ax ?
?=
?
)()(lim
a
ax nn
ax ?
?=
?
lim
(xn?1+axn?2+ ???+an?1)
ax?=lim
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( C )?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx 2 1)( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C )?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx 2 1)( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C ) ?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx )( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C ) ?= 0 ? 21)1( xx ?? ? xx 2 1)( =? ? )( ??=? ?? ? xx ?
2.求导数举例
例 6 求函数 f(x)=sin x的导数 ?
解
解 ? f ? ( x ) h xfhxf
h
)()(lim
0
?+=
? h
xhx
h
s i n)s i n (lim
0
?+=
?
2s i n)2c o s (2
1lim
0
hhx
hh +?= ?
x
h
h
hx
h
c o s
2
2
s i n
)
2
c o s (lim
0
=?+=
?
?
解 ? f ? ( x ) h xfhxf
h
)()(lim
0
?+=
? h
xhx
h
s i n)s i n (lim
0
?+=
?
x
h
h
hx
h
c o s
2
2
s in
)
2
c o s (lim
0
=?+=
?
?
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(sin x)?=cos x? 同理可得 (cos x)?=?sin x ?
( C )?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx 2 1)( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C )?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx 2 1)( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C ) ?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx )( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C ) ?= 0 ? 21)1( xx ?? ? xx 2 1)( =? ? )( ??=? ?? ? xx ?
2.求导数举例
例 7 求函数 f(x)=ax(a>0? a ?1)的导数 ?
解
解 ? f ? ( x ) h xfhxf
h
)()(lim
0
?+=
? h
aa xhx
h
?= +
? 0
lim 解 ? f ?( x ) h xfhxf
h
)()(lim
0
?+=
? h
aa xhx
h
?= +
? 0
lim
h
aa h
h
x 1lim
0
?=
?
ta h =? 1令
)1(lo glim 0 t
ta
at
x
+? h
aa h
h
x 1lim
0
?=
?
ta h =?1令
)1(lo glim 0 t
ta
at
x
+? h
aa h
h
x 1lim
0
?=
?
ta h =? 1令
)1(lo glim 0 t
ta
at
x
+?
aaea x
a
x ln
l o g
1 == ?
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(sin x)?=cos x? (cos x)?=?sin x ?
( C )?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx 2 1)( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C )?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx 2 1)( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C ) ?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx )( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C ) ?= 0 ? 21)1( xx ?? ? xx 2 1)( =? ? )( ??=? ?? ? xx ?
(ax)?=axln a? 特别地有 (ex )?=ex ?
2.求导数举例
例 8 求对数函数 y=log ax的导数 ?
解
解 ? h xhxxf aa
h
l o g)(l o gl i m)(
0
?+=?
?
)1(l og1l i m
0 x
h
h ah += ? 解 ? h
xhxxf aa
h
lo g)(lo glim)(
0
?+=?
?
)1(log1lim
0 x
h
h ah += ?
h
x
ah x
h
x )1(lo glim
1
0
+=
? ax
ex a ln1log1 == ? h
x
ah x
h
x )1(lo glim
1
0
+=
? ax
ex a ln1log1 == ?
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(sin x)?=cos x? (cos x)?=?sin x ?
( C )?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx 2 1)( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C )?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx 2 1)( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C ) ?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx )( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C ) ?= 0 ? 21)1( xx ?? ? xx 2 1)( =? ? )( ??=? ?? ? xx ?
(ax)?=axln a?
axxa ln
1)( lo g =? ?
xx
1)( ln =? ?
2.求导数举例
以上得到的是部分基本初等函数的导数公式 ?
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axxa ln
1)( lo g =? ?
xx
1)ln =? ? 特别地有
特别地有 (ex )?=ex ?
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3.单侧导数
?导数与单侧导数的关系
函数 f(x)在开区间 (a? b)内可导是指函数在区间内每
一点可导 ?
函数 f(x)在闭区间 [a? b]上可导是指函数 f(x)在开区间
(a? b)内可导 ? 且在 a点有右导数、在 b点有左导数 ?
?函数在区间上的可导性
f ( x ) 在 0x 处 的 左导数 ? h xfhxfxf
h
)()(lim)(
00
?+=?
???
?
f ( x ) 在 0x 处 的 右 导数 ? h xfhxfxf
h
)()(lim)(
00
?+=?
+?+
?
f ( x ) 在 0x 处 的 左导数 ? h xhxfxf
h
)()(lim)(
00
?+=?
???
?
f ( x ) 在 0x 处 的 右 导数 ? h xhxfxf
h
)()(lim)(
00
?+=?
+?+
?
Axf =? )( 0 ? Axfxf =?=? +? )()( 00 ?
下页
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例 9 求函数 f(x)=|x|在 x=0处的导数 ?
?导数与单侧导数的关系
Axf =? )( 0 ? Axfxf =?=? +? )()( 00 ?
f ( x ) 在 0x 处 的 左导数 ? h xfhxfxf
h
)()(lim)(
00
?+=?
???
?
f ( x ) 在 0x 处 的 右 导数 ? h xfhxfxf
h
)()(lim)(
00
?+=?
+?+
?
f ( x ) 在 0x 处 的 左导数 ? h xhxfxf
h
)()(lim)(
00
?+=?
???
?
f ( x ) 在 0x 处 的 右 导数 ? h xhxfxf
h
)()(lim)(
00
?+=?
+?+
?
1||lim)0()0(lim)0(
00
==?+=?
++ ??+ h
h
h
fhff
hh
?
因为 f ??(0)? f ?+(0)?
解 ? 1||lim)0()0(lim)0(
00
?==?+=?
?? ??? h
h
h
fhff
hh
? 解
所以函数 f(x)=|x|在 x=0处不可导 ?
解 ? 1||lim)0()0(lim)0(
00
?==?+=?
?? ??? h
h
h
fhff
hh
?
1||lim)0()0(lim)0(
00
==?+=?
++ ??+ h
h
h
fhff
hh
?
3.单侧导数
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三、导数的几何意义
导数 f ?(x0)在几何上表示曲线 y=f(x) 在点 M(x0? f(x0))
处的切线的斜率 ? 即
f ?(x0)=tan ??
其中 ?是切线的倾角 ?
)()(1 0
00
xxxfyy ???=? ?
切线方程为 ?
y?y0=f ?(x0)(x?x0) ?
法线方程为 ?
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解 ? 21xy ?=? ? 解
所求法线方程为
并写出在该点处的切线方程和法线方程 ?
例 10
例 8 ? 求等边双曲线 xy 1= 在点 )2,21( 处的切线的斜率 ?
所求切线及法线的斜率分别为
4)1(
2
121 ?=?= =xxk ? 411
1
2 =?= kk ?
所求切线方程为
)21(42 ??=? xy ? 即 4x+y?4=0?
)21(412 ?=? xy ? 即 2x?8y+15=0?
4)1(
2
121 ?=?= =xxk ? 411
1
2 =?= kk ?
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例 9 求曲线 xxy = 的通过点 (0 ? ? 4) 的切线方程 ? 例 11
设切点的横坐标为 x0?解
02
1
2
3
0 2
3
2
3)()(
0
xxxxf xx ==?=? = ?
于是所求切线的方程可设为
)(23 0000 xxxxxy ?=? ?
已知点 (0??4)在切线上 ?所以
)0(234 0000 xxxx ?=?? ?
解之得 x0=4?
)4(42344 ?=? xy ? 即 3 x ? y ? 4 = 0 ?
于是所求切线的方程为
则切线的斜率为
02
1
2
3
2
3
2
3)((
0
xxxxf xx ==?=? = ? 0230 2323)()(
0
xxxxf xx ==?=? = ?
)4(42344 ?=? xy ? 即 3 ? y ? 4 = 0 ?
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四、函数的可导性与连续性的关系
?结论
如果函数 y=f(x)在点 x0处可导 ? 则它在点 x0处连续 ?
这是因为
应注意的问题,
这个结论的逆命题不成立 ? 即函数 y=f(x)在点 x0处连
续 ? 但在点 x0处不一定可导 ?
00)(limlimlimlim 00000 =??=????=????=? ???????? xfxxyxxyy xxxx ? 00)(limlimlimlim 00000 =??=????=???=? ??????? xfxxyxxyy xxxx ? 00)(limlimlimlim 00000 =??=??=????=? ???????? xfxxyxxyy xxxx ? 00)(limlimlimlim 0000 =??=????=???= ???????? xfxxyxxyy xxx ?
下页
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?连续但不可导的函数
例 7, 函数 3)( xxf = 在区间 ( ? ?,+ ? ) 内连续 ?
但在点 x=0处不可导 ?
例 12
h
fhf
h
)0()0(lim
0
?+
?
+?=?=
? h
h
h
0lim 3
0
? h fhf
h
)0()0(lim
0
?+
?
+?=?=
? h
h
h
0lim 3
0
? h fhf
h
)0()0(lim
0
?
?
+?=
?
h
h
0lim 3
0
?
例 13 函数 y=|x|在区间 (???+?)内
连续 ?但在点 x=0处不可导 ?
这是因为函数在点 x=0处导数为无
穷大 ?>>>
结束
二、导数的定义
三、导数的几何意义
四、函数的可导性与连续性的关系
§ 2.1 导数概念
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一、引例
设动点于时刻在直线上所处的位置为 s，于是 s=f(t)，
称此函数为 位置函数 。该如何定义动点在 某一时刻的
瞬时速度 呢?
1.直线运动的速度
下页
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求曲线 y=f(x)在点 M(x0? y0)处的切线的斜率 ?
在曲线上另取一点 N(x0+?x? y0+?y)? 作割线 MN?
设其倾角为 j? 观察切线的形成 ?
2.切线问题
当 ?x?0时 ? 动点 N将沿曲线趋向于定点 M? 从而割线
MN也将随之变动而趋向于切线 MT?
此时割线 MN的斜率趋向
于切线 MT的斜率 ?
动画演示
x
y
xx ?
?==
???? 00
l i mt a nl i mt a n j?
x
xfxxf
x ?
??+=
??
)()(lim 00
0
?
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x
xfxxf
x
yxf
xx ?
??+=
?
?=?
????
)()(limlim)( 00
000 ?
二、导数的定义
存在 ? 则称函数 f(x)在点 x0处可导 ? 并称此极限值为函数
f(x)在点 x0处的导数 ? 记为 f ?(x0)? 即
x
xfxxf
x
yxf
xx ?
??+=
?
?=?
????
)()(limlim)( 00
000 ?
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设函数 y=f(x)在点 x0的某个邻域内有定义 ? 如果极限
?导数的定义
1.函数在一点处的导数与导函数
如果上述极限不存在 ? 则称函数 f(x)在点 x0处不可导 ?
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?导数的其它符号
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?导数的其它定义式
h
xfhxfxf
h
)()(lim)( 00
00
?+=?
?
?
0
0
0
)()(l i m)(
0 xx
xfxfxf
xx ?
?=?
?
?
0
| xxy =? ?
0
xxdx
dy
=
或
0
)(
xxdx
xdf
=
?
导数的定义式,
x
xfxxf
x
yxf
xx ?
??+=
?
?=?
????
)()(limlim)( 00
000 ?
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例 1 求函数 y=x2在点 x=2处的导数 ?
解
h
xfhxfxf
h
)()(lim)( 00
00
?+=?
? 0
0 )()(lim
0 xx
xfxf
xx ?
?=
?
?
x
x
x
fxff
xx ?
??+=
?
??+=?
????
22
00
2)2(lim)2()2(lim)2(
4)4(lim 0 =?+= ?? xx
?
4)2(lim22lim2 )2()(lim)2(
2
22
22
=+=??=??=?
???
xxxx fxff
xxx
或
x
x
x
fxff
xx ?
??+=
?
??+=?
????
22
00
2)2(lim)2()2(lim)2(
4)2(lim22lim2 )2()(lim)2(
2
22
22
=+=??=??=?
???
xxxfxff
xxx
?
4)2(22lim2 )2()(lim)2(
2
22
22
=+=??=??=?
??
xx fxff
xx
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x
xfxxf
x
yxf
xx ?
??+=
?
?=?
????
)()(limlim)( 00
000 ?
导数的定义式,
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h
xfhxfxf
h
)()(lim)( 00
00
?+=?
? 0
0 )()(lim
0 xx
xfxf
xx ?
?=
?
?
x
xfxxf
x
yxf
xx ?
??+=
?
?=?
????
)()(limlim)( 00
000 ?
导数的定义式,
?导函数的定义
如果函数 y=f(x)在区间 I内每一点 x都对应一个导数值 ?
则这一对应关系所确定的函数称为函数 y=f(x)的导函数 ?
简称导数 ? 记作
y ? ? )( xf ? ? dxdy ? 或 dx xdf )( ?
提问, 导函数的定义式如何写? f ?(x0)与 f ?(x)是什么关系?
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h
xhx
h
xfhxfxf
hh
11
lim)()(lim)(
00
?
+=?+=?
??
例 2 求函数 f(x)=C 的导数 (C为常数 ) ?
解
即 (C)?=0?
解 ? f ? ( x ) h xfhxfh )()(lim 0 ?+= ? 0l i m 0 =?= ? h CCh ? 解 ? f ?( x ) h xfhxfh )()(lim 0 ?+= ? 0lim 0 =?= ? h CCh ?
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2.求导数举例
解
例 2 ? 求 xxf 1)( = 的 导 数 ?
例 3
200
1
)(
1lim
)(lim xxhxxhxh
h
hh
?=+?=+?=
??
? 2
00
1
)(
1lim
)(lim xxhxxhxh
h
hh
?=+?=+?=
??
? 2
00
1
)
1lim
)(lim xxhxxhxh
h
hh
?=+?+?=
??
?
h
xhx
h
xfhxfxf
hh
11
lim)()(lim)(
00
?
+=?+=?
??
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解 ? h xhxh xfhxfxf hh ?+=?+=? ?? 00 lim)()(lim)(
解
例 3 ? 求 xxf =)( 的导数 ?
例 4
解 ? h xhxh xfhxfxf hh ?+=?+=? ?? 00 lim)()(lim)(
xxhxxhxh
h
hh 2
11lim
)(lim 00 =++=++= ?? ? xxhxxhxh
h
hh 2
11lim
)(lim 00 =++=++= ?? ? xxhxxhxh
h
hh 2
11lim
)(lim 00 =+=++= ?? ?
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2.求导数举例
( C )?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx 2 1)( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C )?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx 2 1)( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C ) ?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx )( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ?
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( C )?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx 2 1)( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C )?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx 2 1)( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C ) ?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx )( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C ) ?= 0 ? 21)1( xx ?? ? xx 2 1)( =? ? )( ??=? ?? ? xx ?
2.求导数举例
解 ? f ? ( a ) ax afxf
ax ?
?=
?
)()(lim
ax
ax nn
ax ?
?=
?
l i m
例 5 求函数 f(x)=x n (n为正整数 )在 x=a处的导数 ?
更一般地 ? 有
(x ?)?=?x??1(其中 ?为常数 )?
把以上结果中的 a换成 x得 f ?(x)=nxn?1? 即 (xn)?=nxn?1?
解
=nan?1?
解 ? f ?( a ) ax afxf
ax ?
?=
?
)()(lim
a
ax nn
ax ?
?=
?
lim
(xn?1+axn?2+ ???+an?1)
ax?=lim
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( C )?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx 2 1)( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C )?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx 2 1)( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C ) ?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx )( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C ) ?= 0 ? 21)1( xx ?? ? xx 2 1)( =? ? )( ??=? ?? ? xx ?
2.求导数举例
例 6 求函数 f(x)=sin x的导数 ?
解
解 ? f ? ( x ) h xfhxf
h
)()(lim
0
?+=
? h
xhx
h
s i n)s i n (lim
0
?+=
?
2s i n)2c o s (2
1lim
0
hhx
hh +?= ?
x
h
h
hx
h
c o s
2
2
s i n
)
2
c o s (lim
0
=?+=
?
?
解 ? f ? ( x ) h xfhxf
h
)()(lim
0
?+=
? h
xhx
h
s i n)s i n (lim
0
?+=
?
x
h
h
hx
h
c o s
2
2
s in
)
2
c o s (lim
0
=?+=
?
?
下页
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(sin x)?=cos x? 同理可得 (cos x)?=?sin x ?
( C )?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx 2 1)( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C )?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx 2 1)( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C ) ?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx )( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C ) ?= 0 ? 21)1( xx ?? ? xx 2 1)( =? ? )( ??=? ?? ? xx ?
2.求导数举例
例 7 求函数 f(x)=ax(a>0? a ?1)的导数 ?
解
解 ? f ? ( x ) h xfhxf
h
)()(lim
0
?+=
? h
aa xhx
h
?= +
? 0
lim 解 ? f ?( x ) h xfhxf
h
)()(lim
0
?+=
? h
aa xhx
h
?= +
? 0
lim
h
aa h
h
x 1lim
0
?=
?
ta h =? 1令
)1(lo glim 0 t
ta
at
x
+? h
aa h
h
x 1lim
0
?=
?
ta h =?1令
)1(lo glim 0 t
ta
at
x
+? h
aa h
h
x 1lim
0
?=
?
ta h =? 1令
)1(lo glim 0 t
ta
at
x
+?
aaea x
a
x ln
l o g
1 == ?
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(sin x)?=cos x? (cos x)?=?sin x ?
( C )?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx 2 1)( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C )?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx 2 1)( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C ) ?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx )( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C ) ?= 0 ? 21)1( xx ?? ? xx 2 1)( =? ? )( ??=? ?? ? xx ?
(ax)?=axln a? 特别地有 (ex )?=ex ?
2.求导数举例
例 8 求对数函数 y=log ax的导数 ?
解
解 ? h xhxxf aa
h
l o g)(l o gl i m)(
0
?+=?
?
)1(l og1l i m
0 x
h
h ah += ? 解 ? h
xhxxf aa
h
lo g)(lo glim)(
0
?+=?
?
)1(log1lim
0 x
h
h ah += ?
h
x
ah x
h
x )1(lo glim
1
0
+=
? ax
ex a ln1log1 == ? h
x
ah x
h
x )1(lo glim
1
0
+=
? ax
ex a ln1log1 == ?
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(sin x)?=cos x? (cos x)?=?sin x ?
( C )?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx 2 1)( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C )?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx 2 1)( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C ) ?= 0 ? 21)1( xx ?=? ? xx )( =? ? 1)( ??=? ?? ? xx ? ( C ) ?= 0 ? 21)1( xx ?? ? xx 2 1)( =? ? )( ??=? ?? ? xx ?
(ax)?=axln a?
axxa ln
1)( lo g =? ?
xx
1)( ln =? ?
2.求导数举例
以上得到的是部分基本初等函数的导数公式 ?
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axxa ln
1)( lo g =? ?
xx
1)ln =? ? 特别地有
特别地有 (ex )?=ex ?
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3.单侧导数
?导数与单侧导数的关系
函数 f(x)在开区间 (a? b)内可导是指函数在区间内每
一点可导 ?
函数 f(x)在闭区间 [a? b]上可导是指函数 f(x)在开区间
(a? b)内可导 ? 且在 a点有右导数、在 b点有左导数 ?
?函数在区间上的可导性
f ( x ) 在 0x 处 的 左导数 ? h xfhxfxf
h
)()(lim)(
00
?+=?
???
?
f ( x ) 在 0x 处 的 右 导数 ? h xfhxfxf
h
)()(lim)(
00
?+=?
+?+
?
f ( x ) 在 0x 处 的 左导数 ? h xhxfxf
h
)()(lim)(
00
?+=?
???
?
f ( x ) 在 0x 处 的 右 导数 ? h xhxfxf
h
)()(lim)(
00
?+=?
+?+
?
Axf =? )( 0 ? Axfxf =?=? +? )()( 00 ?
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例 9 求函数 f(x)=|x|在 x=0处的导数 ?
?导数与单侧导数的关系
Axf =? )( 0 ? Axfxf =?=? +? )()( 00 ?
f ( x ) 在 0x 处 的 左导数 ? h xfhxfxf
h
)()(lim)(
00
?+=?
???
?
f ( x ) 在 0x 处 的 右 导数 ? h xfhxfxf
h
)()(lim)(
00
?+=?
+?+
?
f ( x ) 在 0x 处 的 左导数 ? h xhxfxf
h
)()(lim)(
00
?+=?
???
?
f ( x ) 在 0x 处 的 右 导数 ? h xhxfxf
h
)()(lim)(
00
?+=?
+?+
?
1||lim)0()0(lim)0(
00
==?+=?
++ ??+ h
h
h
fhff
hh
?
因为 f ??(0)? f ?+(0)?
解 ? 1||lim)0()0(lim)0(
00
?==?+=?
?? ??? h
h
h
fhff
hh
? 解
所以函数 f(x)=|x|在 x=0处不可导 ?
解 ? 1||lim)0()0(lim)0(
00
?==?+=?
?? ??? h
h
h
fhff
hh
?
1||lim)0()0(lim)0(
00
==?+=?
++ ??+ h
h
h
fhff
hh
?
3.单侧导数
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三、导数的几何意义
导数 f ?(x0)在几何上表示曲线 y=f(x) 在点 M(x0? f(x0))
处的切线的斜率 ? 即
f ?(x0)=tan ??
其中 ?是切线的倾角 ?
)()(1 0
00
xxxfyy ???=? ?
切线方程为 ?
y?y0=f ?(x0)(x?x0) ?
法线方程为 ?
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解 ? 21xy ?=? ? 解
所求法线方程为
并写出在该点处的切线方程和法线方程 ?
例 10
例 8 ? 求等边双曲线 xy 1= 在点 )2,21( 处的切线的斜率 ?
所求切线及法线的斜率分别为
4)1(
2
121 ?=?= =xxk ? 411
1
2 =?= kk ?
所求切线方程为
)21(42 ??=? xy ? 即 4x+y?4=0?
)21(412 ?=? xy ? 即 2x?8y+15=0?
4)1(
2
121 ?=?= =xxk ? 411
1
2 =?= kk ?
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例 9 求曲线 xxy = 的通过点 (0 ? ? 4) 的切线方程 ? 例 11
设切点的横坐标为 x0?解
02
1
2
3
0 2
3
2
3)()(
0
xxxxf xx ==?=? = ?
于是所求切线的方程可设为
)(23 0000 xxxxxy ?=? ?
已知点 (0??4)在切线上 ?所以
)0(234 0000 xxxx ?=?? ?
解之得 x0=4?
)4(42344 ?=? xy ? 即 3 x ? y ? 4 = 0 ?
于是所求切线的方程为
则切线的斜率为
02
1
2
3
2
3
2
3)((
0
xxxxf xx ==?=? = ? 0230 2323)()(
0
xxxxf xx ==?=? = ?
)4(42344 ?=? xy ? 即 3 ? y ? 4 = 0 ?
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四、函数的可导性与连续性的关系
?结论
如果函数 y=f(x)在点 x0处可导 ? 则它在点 x0处连续 ?
这是因为
应注意的问题,
这个结论的逆命题不成立 ? 即函数 y=f(x)在点 x0处连
续 ? 但在点 x0处不一定可导 ?
00)(limlimlimlim 00000 =??=????=????=? ???????? xfxxyxxyy xxxx ? 00)(limlimlimlim 00000 =??=????=???=? ??????? xfxxyxxyy xxxx ? 00)(limlimlimlim 00000 =??=??=????=? ???????? xfxxyxxyy xxxx ? 00)(limlimlimlim 0000 =??=????=???= ???????? xfxxyxxyy xxx ?
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?连续但不可导的函数
例 7, 函数 3)( xxf = 在区间 ( ? ?,+ ? ) 内连续 ?
但在点 x=0处不可导 ?
例 12
h
fhf
h
)0()0(lim
0
?+
?
+?=?=
? h
h
h
0lim 3
0
? h fhf
h
)0()0(lim
0
?+
?
+?=?=
? h
h
h
0lim 3
0
? h fhf
h
)0()0(lim
0
?
?
+?=
?
h
h
0lim 3
0
?
例 13 函数 y=|x|在区间 (???+?)内
连续 ?但在点 x=0处不可导 ?
这是因为函数在点 x=0处导数为无
穷大 ?>>>
结束
