一、无穷小
二、无穷大
§ 1.4 无穷小与无穷大
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一、无穷小
如果函数 f(x)当 x?x0(或 x??)时的极限为零 ? 那么称
函数 f(x)为当 x?x0(或 x??)时的无穷小 ?
?无穷小的定义
下页
讨论 ?
很小很小的数是否是无穷小？ 0是否为无穷小？
提示 ?
无穷小是这样的函数 ? 在 x?x0(或 x??)的过程中 ? 极
限为零 ? 很小很小的数 ? 作为常数函数在自变量的任何变
化过程中 ? 其极限就是这个常数本身 ?
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一、无穷小
例 1
下页
因为 01lim ?
?? xx
? 所以函数 x1 为 当 x? ? 时 的 无穷小 ?
因为 0)1(l im
1
??
?
x
x
? 所以函数 为 x ? 1 当 x ? 1 时 的 无穷小 ?
因为 011l im ??
?? nn
? 所以数列 { 11?n } 为 当 n ? ? 时 的 无穷小 ?
因为 01l i m ?
?? xx
? 所以函数 x1 为 当 x ? ? 时 的 无穷小 ?
因为 0)1(l i m
1
??
?
x
x
? 所以函数 为 x ? 1 当 x ? 1 时 的 无穷小 ?
因为 011l i m ??
?? nn
? 所以数列 { 11?n } 为 当 n ? ? 时 的 无穷小 ?
如果函数 f(x)当 x?x0(或 x??)时的极限为零 ? 那么称
函数 f(x)为当 x?x0(或 x??)时的无穷小 ?
?无穷小的定义
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一、无穷小
如果函数 f(x)当 x?x0(或 x??)时的极限为零 ? 那么称
函数 f(x)为当 x?x0(或 x??)时的无穷小 ?
?无穷小的定义
在自变量的同一变化过程 x?x0(或 x??)中 ? 函数 f(x)
具有极限 A的充分必要条件是 f(x)?A?a? 其中 a是无穷小 ?
?定理 1(无穷小与函数极限的关系 )
定理 1证明
例如 ? 因为 33 3 2 12121 xxx ??? ? 而 02 1l i m 3 ??? xx ?
所以 2121lim 3 3 ???? xxx ?
例如 ? 因为 33 3 2 12121 xxx ??? ? 而 02 1lim 3 ??? xx ? 例如 ? 因为 333 212121 xxx ??? 而 021lim 3 ??? xx ?
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说明,
二,无穷大
如果当 x?x0(或 x??)时 ? 对应的函数值的绝对值 |f(x)|
无限增大 ? 那么称函数 f(x)为 x?x0(或 x??)时的无穷大 ?
记为
当 x?x0(或 x??)时为无穷大的函数 f(x)? 按函数极限
定义来说 ? 极限是不存在的 ? 但为了便于叙述函数的这一
性态 ?我们也说, 函数的极限是无穷大, ?
?无穷大的定义
??? )(lim
0
xfxx ( 或 ???? )(l i m xfx ) ?
下页
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?讨论
无穷大的精确定义如何叙述？ 很大很大的数是否是
无穷大?
?提示
??? )(lim
0
xfxx
??M?0??d ?0? 当 0?|x?x0|?d 时 ?有 |f(x)|?M?
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二,无穷大
如果当 x?x0(或 x??)时 ? 对应的函数值的绝对值 |f(x)|
无限增大 ? 那么称函数 f(x)为 x?x0(或 x??)时的无穷大 ?
记为
?无穷大的定义
??? )(lim
0
xfxx ( 或 ???? )(l i m xfx ) ?
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?正无穷大与负无穷大
???
??
?
)(lim
)(
0
xf
x
xx
? ???
??
?
)(lim
)(
0
xf
x
xx
?
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二,无穷大
如果当 x?x0(或 x??)时 ? 对应的函数值的绝对值 |f(x)|
无限增大 ? 那么称函数 f(x)为 x?x0(或 x??)时的无穷大 ?
记为
?无穷大的定义
??? )(lim
0
xfxx ( 或 ???? )(l i m xfx ) ?
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?铅直渐近线
1
1
?? xy
1
的铅直渐近线 ?
如果 ??? )(lim
0
xfxx ? 则称直线 0xx ? 是函数 y ? f ( x ) 的图形
下页
例 2 例 2 证明 ??
?? 1
1lim
1 xx ?
证
证 因为 ? M ? 0 ? ? M1?d ?
当 0?|x?1|?d 时 ? 有
Mx ?? |11| ?
所 以 ???? 11lim 1 xx ?
铅直渐近线
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?定理 2(无穷大与无穷小之间的关系 )
结束定理 2证明
在自变量的同一变化过程中 ? 如果 f(x)为无穷大 ?
则 )(1 xf 为无穷大 ?
则 )(1 xf 为无穷小 ? 反之 ? 如果 f ( x ) 为无穷小 ? 且 f ( x ) ? 0 ?
二、无穷大
§ 1.4 无穷小与无穷大
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一、无穷小
如果函数 f(x)当 x?x0(或 x??)时的极限为零 ? 那么称
函数 f(x)为当 x?x0(或 x??)时的无穷小 ?
?无穷小的定义
下页
讨论 ?
很小很小的数是否是无穷小？ 0是否为无穷小？
提示 ?
无穷小是这样的函数 ? 在 x?x0(或 x??)的过程中 ? 极
限为零 ? 很小很小的数 ? 作为常数函数在自变量的任何变
化过程中 ? 其极限就是这个常数本身 ?
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一、无穷小
例 1
下页
因为 01lim ?
?? xx
? 所以函数 x1 为 当 x? ? 时 的 无穷小 ?
因为 0)1(l im
1
??
?
x
x
? 所以函数 为 x ? 1 当 x ? 1 时 的 无穷小 ?
因为 011l im ??
?? nn
? 所以数列 { 11?n } 为 当 n ? ? 时 的 无穷小 ?
因为 01l i m ?
?? xx
? 所以函数 x1 为 当 x ? ? 时 的 无穷小 ?
因为 0)1(l i m
1
??
?
x
x
? 所以函数 为 x ? 1 当 x ? 1 时 的 无穷小 ?
因为 011l i m ??
?? nn
? 所以数列 { 11?n } 为 当 n ? ? 时 的 无穷小 ?
如果函数 f(x)当 x?x0(或 x??)时的极限为零 ? 那么称
函数 f(x)为当 x?x0(或 x??)时的无穷小 ?
?无穷小的定义
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一、无穷小
如果函数 f(x)当 x?x0(或 x??)时的极限为零 ? 那么称
函数 f(x)为当 x?x0(或 x??)时的无穷小 ?
?无穷小的定义
在自变量的同一变化过程 x?x0(或 x??)中 ? 函数 f(x)
具有极限 A的充分必要条件是 f(x)?A?a? 其中 a是无穷小 ?
?定理 1(无穷小与函数极限的关系 )
定理 1证明
例如 ? 因为 33 3 2 12121 xxx ??? ? 而 02 1l i m 3 ??? xx ?
所以 2121lim 3 3 ???? xxx ?
例如 ? 因为 33 3 2 12121 xxx ??? ? 而 02 1lim 3 ??? xx ? 例如 ? 因为 333 212121 xxx ??? 而 021lim 3 ??? xx ?
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说明,
二,无穷大
如果当 x?x0(或 x??)时 ? 对应的函数值的绝对值 |f(x)|
无限增大 ? 那么称函数 f(x)为 x?x0(或 x??)时的无穷大 ?
记为
当 x?x0(或 x??)时为无穷大的函数 f(x)? 按函数极限
定义来说 ? 极限是不存在的 ? 但为了便于叙述函数的这一
性态 ?我们也说, 函数的极限是无穷大, ?
?无穷大的定义
??? )(lim
0
xfxx ( 或 ???? )(l i m xfx ) ?
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?讨论
无穷大的精确定义如何叙述？ 很大很大的数是否是
无穷大?
?提示
??? )(lim
0
xfxx
??M?0??d ?0? 当 0?|x?x0|?d 时 ?有 |f(x)|?M?
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二,无穷大
如果当 x?x0(或 x??)时 ? 对应的函数值的绝对值 |f(x)|
无限增大 ? 那么称函数 f(x)为 x?x0(或 x??)时的无穷大 ?
记为
?无穷大的定义
??? )(lim
0
xfxx ( 或 ???? )(l i m xfx ) ?
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?正无穷大与负无穷大
???
??
?
)(lim
)(
0
xf
x
xx
? ???
??
?
)(lim
)(
0
xf
x
xx
?
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二,无穷大
如果当 x?x0(或 x??)时 ? 对应的函数值的绝对值 |f(x)|
无限增大 ? 那么称函数 f(x)为 x?x0(或 x??)时的无穷大 ?
记为
?无穷大的定义
??? )(lim
0
xfxx ( 或 ???? )(l i m xfx ) ?
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?铅直渐近线
1
1
?? xy
1
的铅直渐近线 ?
如果 ??? )(lim
0
xfxx ? 则称直线 0xx ? 是函数 y ? f ( x ) 的图形
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例 2 例 2 证明 ??
?? 1
1lim
1 xx ?
证
证 因为 ? M ? 0 ? ? M1?d ?
当 0?|x?1|?d 时 ? 有
Mx ?? |11| ?
所 以 ???? 11lim 1 xx ?
铅直渐近线
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?定理 2(无穷大与无穷小之间的关系 )
结束定理 2证明
在自变量的同一变化过程中 ? 如果 f(x)为无穷大 ?
则 )(1 xf 为无穷大 ?
则 )(1 xf 为无穷小 ? 反之 ? 如果 f ( x ) 为无穷小 ? 且 f ( x ) ? 0 ?
