§ 1.7 无穷小的比较
?观察与比较
观察两个无穷小比值的极限
两个无穷小比值的极限的各种不同情况 ? 反映了不
同的无穷小趋于零的, 快慢, 程度 ?
在 x?0的过程中 ? x2比 3x趋于零的速度 快些 ? 反过来
3x比 x2趋于零的速度 慢些 ? 而 sin x与 x趋于零的速度 相仿 ?
03lim 20 ?? xxx ? ??? 20 3l i m x xx ? 1s i nl i m 0 ?? x xx ?
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?无穷小的阶
设 a 及 b 为 同一个自变量的变化过程中的无穷小 ?
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如果 0l i m ?ab ? 就说 b 是比 a 高阶的无穷小 ? 记为 b ? o ( a ) ?
如果 ??abl i m ? 就说 b 是比 a 低阶的无穷小 ?
如果 0l i m ?? cab ? 就说 b 与 a 是同阶无穷小 ?
如果 0lim ?? ckab ? k >0 ? 就说 b 是关于 a 的 k 阶无穷小 ?
如果 1lim ?ab ? 就说 b 与 a 是等价无穷小 ? 记为 a ~ b ?
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?阶的比较举例
所以当 x?0时 ? 3x2是比 x高阶的无穷小 ? 即 3x2?o(x)(x?0)?
所以当 x?3时 ? x2-9与 x-3是同阶无穷小 ?
所以当 n ? ? 时 ? n1 是比 21n 低阶的无穷小 ?
因为 ??
??
2
1
1
lim
n
n
n
? 例 2
例 3 ? 因为 639lim 23 ?--? xxx ? 例 3
例 1 ? 因为 03lim 20 ?? xxx ?
例 1
下页
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所以当 x?0时 ? 1-cos x 是关于 x 的二阶无穷小 ?
所以当 x?0时 ? sin x 与 x是等价无穷小 ? 即 sin x~x(x?0)?
例 4 ? 因为 21c os1l i m 20 ?-? x xx ?
例 4
例 5 ? 因为 1s inlim 0 ?? x xx ?
例 5
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?阶的比较举例
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?定理 1
b与 a是等价无穷小的充分必要条件为
b ?a+o(a)?
下页
?关于等价无穷小的定理
必要性,证明
01lim)1lim (lim ?-?-?- ababa ab ?
所以 b –a?o(a)?
因为设 a~b? 只需证 b –a?o(a)?
01lim)1lim ( ?-?-?- ababa ab ? 01lim)1lim (lim ?--?- aba ab ?
充分性, 设 b?a+o(a)? 则
1])(1lim[)(limlim ?+?+? aaaaaab oo ? 1])(1lim [)(limlim ?+?+? aaaaab oo ? 1])(1lim [)(limlim ?+?+ aaaaab oo ? 1])(lim[)(limlim ?+?+? aaaaab oo ?
因此 a~b?
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所以当 x?0时 ? 有
sin x?x+o(x)?
tan x?x+o(x)?
1 - c o s x ? )(21 22 xox + ?
例 6 ? 因为当 x ? 0 时 s i n x ~ x ? ta n x ~ x ? 1 - c o s x ~ 221 x ?
例 6
下页
?定理 1
b与 a是等价无穷小的充分必要条件为
b ?a+o(a)?
?关于等价无穷小的定理
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?定理 1
b与 a是等价无穷小的充分必要条件为
b ?a+o(a)?
?关于等价无穷小的定理
设 a ~ a ?? b ~ b ?? 且 ab ??lim 存在 ? 则 abab ??? limlim ?
?定理 2
a
a
a
b
b
b
a
b ??
?
??
??limlim
a
b
a
a
a
b
b
b
?
????
?
??
?? limlimlimlim ?
证明
a
a
a
b
b
b
a
b ??
?
??
?? limlim
a
b
a
a
a
b
b
b
?
????
?
??
?? limlimlimlim ?
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求两个无穷小比值的极限时 ? 分子及分母都可用等
价无穷小来代替 ? 因此 ? 如果用来代替的无穷小选取得
适当 ? 则可使计算简化 ?
定理 2的意义,
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?定理 1
b与 a是等价无穷小的充分必要条件为
b ?a+o(a)?
?关于等价无穷小的定理
设 a ~ a ?? b ~ b ?? 且 ab ??lim 存在 ? 则 abab ??? limlim ?
?定理 2
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解 当 x?0时 ? tan 2x~2x? sin 5x~5x? 所以
解 当 x?0时 sin x~x? 无穷小 x3+3x与它本身显然是等
价的 ? 所以
若 a ~ a ?? b ~ b ?? 且 ab ??lim 存在 ? 则 abab ??? limlim ?
例 7
例 ? ? 求 xxx 5s in 2t a nlim 0? ?
x
x
x 5s in
2ta nlim
0? 5
2
5
2lim
0 ?? ? x
x
x ?
例 8
例 ? ? 求 xx xx 3s inlim 30 +? ?
x
x
x 5s in
2tanlim
0? 5
2
5
2lim
0 ?? x
x
x ? x
x
x 5sin
2tanlim
0? 5
2
5
2lim
0 ?? ? x
x
x ?
结束
3
1
3
1lim
3lim3
s inlim
202030 ?+?+?+ ??? xx
x
xx
x
xxx ? 3
1
3
1lim
3lim3
s i
20203 ?+?+? ?? xx
x
x
x
xx ?
inlim
30 +xx 3
1lim
33
sinlim
202030 +?+?+ ?? xx
x
xx
x
xx ?
?观察与比较
观察两个无穷小比值的极限
两个无穷小比值的极限的各种不同情况 ? 反映了不
同的无穷小趋于零的, 快慢, 程度 ?
在 x?0的过程中 ? x2比 3x趋于零的速度 快些 ? 反过来
3x比 x2趋于零的速度 慢些 ? 而 sin x与 x趋于零的速度 相仿 ?
03lim 20 ?? xxx ? ??? 20 3l i m x xx ? 1s i nl i m 0 ?? x xx ?
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?无穷小的阶
设 a 及 b 为 同一个自变量的变化过程中的无穷小 ?
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如果 0l i m ?ab ? 就说 b 是比 a 高阶的无穷小 ? 记为 b ? o ( a ) ?
如果 ??abl i m ? 就说 b 是比 a 低阶的无穷小 ?
如果 0l i m ?? cab ? 就说 b 与 a 是同阶无穷小 ?
如果 0lim ?? ckab ? k >0 ? 就说 b 是关于 a 的 k 阶无穷小 ?
如果 1lim ?ab ? 就说 b 与 a 是等价无穷小 ? 记为 a ~ b ?
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?阶的比较举例
所以当 x?0时 ? 3x2是比 x高阶的无穷小 ? 即 3x2?o(x)(x?0)?
所以当 x?3时 ? x2-9与 x-3是同阶无穷小 ?
所以当 n ? ? 时 ? n1 是比 21n 低阶的无穷小 ?
因为 ??
??
2
1
1
lim
n
n
n
? 例 2
例 3 ? 因为 639lim 23 ?--? xxx ? 例 3
例 1 ? 因为 03lim 20 ?? xxx ?
例 1
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所以当 x?0时 ? 1-cos x 是关于 x 的二阶无穷小 ?
所以当 x?0时 ? sin x 与 x是等价无穷小 ? 即 sin x~x(x?0)?
例 4 ? 因为 21c os1l i m 20 ?-? x xx ?
例 4
例 5 ? 因为 1s inlim 0 ?? x xx ?
例 5
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?阶的比较举例
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?定理 1
b与 a是等价无穷小的充分必要条件为
b ?a+o(a)?
下页
?关于等价无穷小的定理
必要性,证明
01lim)1lim (lim ?-?-?- ababa ab ?
所以 b –a?o(a)?
因为设 a~b? 只需证 b –a?o(a)?
01lim)1lim ( ?-?-?- ababa ab ? 01lim)1lim (lim ?--?- aba ab ?
充分性, 设 b?a+o(a)? 则
1])(1lim[)(limlim ?+?+? aaaaaab oo ? 1])(1lim [)(limlim ?+?+? aaaaab oo ? 1])(1lim [)(limlim ?+?+ aaaaab oo ? 1])(lim[)(limlim ?+?+? aaaaab oo ?
因此 a~b?
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所以当 x?0时 ? 有
sin x?x+o(x)?
tan x?x+o(x)?
1 - c o s x ? )(21 22 xox + ?
例 6 ? 因为当 x ? 0 时 s i n x ~ x ? ta n x ~ x ? 1 - c o s x ~ 221 x ?
例 6
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?定理 1
b与 a是等价无穷小的充分必要条件为
b ?a+o(a)?
?关于等价无穷小的定理
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?定理 1
b与 a是等价无穷小的充分必要条件为
b ?a+o(a)?
?关于等价无穷小的定理
设 a ~ a ?? b ~ b ?? 且 ab ??lim 存在 ? 则 abab ??? limlim ?
?定理 2
a
a
a
b
b
b
a
b ??
?
??
??limlim
a
b
a
a
a
b
b
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?? limlimlimlim ?
证明
a
a
a
b
b
b
a
b ??
?
??
?? limlim
a
b
a
a
a
b
b
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????
?
??
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求两个无穷小比值的极限时 ? 分子及分母都可用等
价无穷小来代替 ? 因此 ? 如果用来代替的无穷小选取得
适当 ? 则可使计算简化 ?
定理 2的意义,
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?定理 1
b与 a是等价无穷小的充分必要条件为
b ?a+o(a)?
?关于等价无穷小的定理
设 a ~ a ?? b ~ b ?? 且 ab ??lim 存在 ? 则 abab ??? limlim ?
?定理 2
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解 当 x?0时 ? tan 2x~2x? sin 5x~5x? 所以
解 当 x?0时 sin x~x? 无穷小 x3+3x与它本身显然是等
价的 ? 所以
若 a ~ a ?? b ~ b ?? 且 ab ??lim 存在 ? 则 abab ??? limlim ?
例 7
例 ? ? 求 xxx 5s in 2t a nlim 0? ?
x
x
x 5s in
2ta nlim
0? 5
2
5
2lim
0 ?? ? x
x
x ?
例 8
例 ? ? 求 xx xx 3s inlim 30 +? ?
x
x
x 5s in
2tanlim
0? 5
2
5
2lim
0 ?? x
x
x ? x
x
x 5sin
2tanlim
0? 5
2
5
2lim
0 ?? ? x
x
x ?
结束
3
1
3
1lim
3lim3
s inlim
202030 ?+?+?+ ??? xx
x
xx
x
xxx ? 3
1
3
1lim
3lim3
s i
20203 ?+?+? ?? xx
x
x
x
xx ?
inlim
30 +xx 3
1lim
33
sinlim
202030 +?+?+ ?? xx
x
xx
x
xx ?
