一、罗尔定理
二、拉格朗日中值定理
三、柯西中值定理
§ 3.1 中值定理
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一、罗尔定理
设连续光滑的曲线 y=f(x) 在端点 A,B 处的纵坐标
相等 ?
提问：
f ?(x)=?
?观察与思考
提示：
f ?(x)=0?
下页
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?罗尔定理
如果函数 y=f(x)在闭区间 [a? b]上连续 ? 在开区间 (a? b)
内可导 ? 且有 f(a)=f(b)? 那么至少存在一点 x?(a? b)? 使得
f ?(x)=0?
简要证明 ?
(1)若 f(x)是常函数 ? 则 f ?(x)?0? 定理的结论显然是成
立的 ?
下页
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0)()(lim)()( ???=?=?
??? x
xxx
x x
fxfff
x
?
(2)若 f(x)不是常函数 ? 则 f(x)在 (a? b)内至少有一个最
大值点或最小值点 ? 不妨设有一最大值点 x?(a? b)? 于是
因此必有 f ?(x)=0?
下页
简要证明 ?
?
0)()(lim)()( ???=?=?
??? x
xxx
x x
fxfff
x
?
0)()(lim)()( ???=?=?
??? x
xxx
x x
fxfff
x
?
0)()(lim)()( ???=?=?
??? x
xxx
x x
fxff
x
?
?罗尔定理
如果函数 y=f(x)在闭区间 [a? b]上连续 ? 在开区间 (a? b)
内可导 ? 且有 f(a)=f(b)? 那么至少存在一点 x?(a? b)? 使得
f ?(x)=0?
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应注意的问题：
如果定理的三个条件有一个不满足 ? 则定理的结论
有可能不成立 ?
下页
?罗尔定理
如果函数 y=f(x)在闭区间 [a? b]上连续 ? 在开区间 (a? b)
内可导 ? 且有 f(a)=f(b)? 那么至少存在一点 x?(a? b)? 使得
f ?(x)=0?
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二、拉格朗日中值定理
?观察与思考
设连续光滑的曲线 y=f(x)在 端点 A,B处的纵坐标不
相等 ?
提问：
直线 AB的斜率 k=? f ?(x)=?
提示：
下页
f ? ( x ) = ab afbf ?? )()( ?
k = ab afbf ?? )()( ?
直线 AB的斜率
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如果函数 f(x)在闭区间 [a? b]上连续 ? 在开区间 (a? b)内
可导 ? 那么在 (a? b)内至少有一点 x? 使得
f(b)?f(a)=f ?(x)(b?a)?
?拉格朗日中值定理
下页
f ? ( x ) = ab afbf ?? )()( ?
k = ab afbf ?? )()( ?
直线 AB的斜率
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则函数 j(x)在区间 [a? b]上满足罗尔定理的条件 ?
于是至少存在一点 x?(a? b)? 使 j?(x)=0? 即
简要证明
由此得 f(b)?f(a)=f ?(x)(b?a)?
令 ?j ( x ) = f ( x ) ? f ( a ) ? ab afbf ?? )()( ( x ? a ) ?
j? ? ( x ) = f ? ( x ) ? ab afbf ?? )()( ?
下页
如果函数 f(x)在闭区间 [a? b]上连续 ? 在开区间 (a? b)内
可导 ? 那么在 (a? b)内至少有一点 x? 使得
f(b)?f(a)=f ?(x)(b?a)?
?拉格朗日中值定理
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f(b)?f(a)=f ?(x)(b?a)?
f(x?Dx)?f(x)=f ?(x?qDx)Dx (0<q?<1)?
Dy=f ?(x?qDx)Dx (0<q?<1)?
?拉格朗日中值公式
下页
如果函数 f(x)在闭区间 [a? b]上连续 ? 在开区间 (a? b)内
可导 ? 那么在 (a? b)内至少有一点 x? 使得
f(b)?f(a)=f ?(x)(b?a)?
?拉格朗日中值定理
注：
dy=f ?(x)Dx是函数增量 Dy的近似表达式 ?
f ?(x?qDx)Dx是函数增量 Dy 的精确表达式 ?
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f(b)?f(a)=f ?(x)(b?a)?
f(x?Dx)?f(x)=f ?(x?qDx)Dx (0<q?<1)?
Dy=f ?(x?qDx)Dx (0<q?<1)?
?拉格朗日中值公式
如果函数 f(x)在闭区间 [a? b]上连续 ? 在开区间 (a? b)内
可导 ? 那么在 (a? b)内至少有一点 x? 使得
f(b)?f(a)=f ?(x)(b?a)?
?拉格朗日中值定理
?定理
如果函数 f(x)在区间 I上的导数恒为零 ? 那么 f(x)在区
间 I上是一个常数 ? >>>
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证明 设 f(x)=ln(1?x)? 显然 f(x)在区间 [0? x]上满足拉格
朗日中值定理的条件 ? 根据定理 ? 就有
f(x)?f(0)=f ?(x)(x?0)? 0<x<x ?
又由 0<x<x? 有
例 2
例 2 ? 证明当 x > 0 时 ? xxxx <?<? )1l n (1 ?
由于 f ( 0 ) = 0 ? xxf ?=? 1 1)( ? 因此上式即为
x?=? 1)1ln (
xx ?
xxxx <?<? )1ln (1 ?
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三、柯西中值定理
?柯西中值定理
函数 f(x)及 F(x)在闭区间 [a? b]上连续 ? 在开区间 (a? b)
内可导 ? 且 F ?(x)在 (a? b)内恒不为零 ? 那么在 (a? b)内至少
有一点 x? 使得
)(
)(
)()(
)()(
x
x
F
f
aFbF
afbf
?
?=
?
? ?
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显然 ? 如果取 F(x)=x? 那么 F(b)?F(a)=b?a? F ?(x)=1? 因
而柯西中值公式就可以写成 ?
f(b)?f(a)=f ?(x)(b?a) (a<x<b)?
这样就变成了拉格朗日中值公式了 ?
——— 柯西中值公式
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?定理的几何意义
)(
)(
)()(
)()(
x
x
F
f
aFbF
afbf
?
?=
?
? ?
结束
弦 AB 的斜率为 )()( )()( aFbF afbf ?? ?
而 在 点 x = x? 处 ? )( )(xxFfdXdY ??= ?
三、柯西中值定理
?柯西中值定理
函数 f(x)及 F(x)在闭区间 [a? b]上连续 ? 在开区间 (a? b)
内可导 ? 且 F ?(x)在 (a? b)内恒不为零 ? 那么在 (a? b)内至少
有一点 x? 使得
二、拉格朗日中值定理
三、柯西中值定理
§ 3.1 中值定理
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一、罗尔定理
设连续光滑的曲线 y=f(x) 在端点 A,B 处的纵坐标
相等 ?
提问：
f ?(x)=?
?观察与思考
提示：
f ?(x)=0?
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?罗尔定理
如果函数 y=f(x)在闭区间 [a? b]上连续 ? 在开区间 (a? b)
内可导 ? 且有 f(a)=f(b)? 那么至少存在一点 x?(a? b)? 使得
f ?(x)=0?
简要证明 ?
(1)若 f(x)是常函数 ? 则 f ?(x)?0? 定理的结论显然是成
立的 ?
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0)()(lim)()( ???=?=?
??? x
xxx
x x
fxfff
x
?
(2)若 f(x)不是常函数 ? 则 f(x)在 (a? b)内至少有一个最
大值点或最小值点 ? 不妨设有一最大值点 x?(a? b)? 于是
因此必有 f ?(x)=0?
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简要证明 ?
?
0)()(lim)()( ???=?=?
??? x
xxx
x x
fxfff
x
?
0)()(lim)()( ???=?=?
??? x
xxx
x x
fxfff
x
?
0)()(lim)()( ???=?=?
??? x
xxx
x x
fxff
x
?
?罗尔定理
如果函数 y=f(x)在闭区间 [a? b]上连续 ? 在开区间 (a? b)
内可导 ? 且有 f(a)=f(b)? 那么至少存在一点 x?(a? b)? 使得
f ?(x)=0?
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应注意的问题：
如果定理的三个条件有一个不满足 ? 则定理的结论
有可能不成立 ?
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?罗尔定理
如果函数 y=f(x)在闭区间 [a? b]上连续 ? 在开区间 (a? b)
内可导 ? 且有 f(a)=f(b)? 那么至少存在一点 x?(a? b)? 使得
f ?(x)=0?
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二、拉格朗日中值定理
?观察与思考
设连续光滑的曲线 y=f(x)在 端点 A,B处的纵坐标不
相等 ?
提问：
直线 AB的斜率 k=? f ?(x)=?
提示：
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f ? ( x ) = ab afbf ?? )()( ?
k = ab afbf ?? )()( ?
直线 AB的斜率
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如果函数 f(x)在闭区间 [a? b]上连续 ? 在开区间 (a? b)内
可导 ? 那么在 (a? b)内至少有一点 x? 使得
f(b)?f(a)=f ?(x)(b?a)?
?拉格朗日中值定理
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f ? ( x ) = ab afbf ?? )()( ?
k = ab afbf ?? )()( ?
直线 AB的斜率
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则函数 j(x)在区间 [a? b]上满足罗尔定理的条件 ?
于是至少存在一点 x?(a? b)? 使 j?(x)=0? 即
简要证明
由此得 f(b)?f(a)=f ?(x)(b?a)?
令 ?j ( x ) = f ( x ) ? f ( a ) ? ab afbf ?? )()( ( x ? a ) ?
j? ? ( x ) = f ? ( x ) ? ab afbf ?? )()( ?
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如果函数 f(x)在闭区间 [a? b]上连续 ? 在开区间 (a? b)内
可导 ? 那么在 (a? b)内至少有一点 x? 使得
f(b)?f(a)=f ?(x)(b?a)?
?拉格朗日中值定理
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f(b)?f(a)=f ?(x)(b?a)?
f(x?Dx)?f(x)=f ?(x?qDx)Dx (0<q?<1)?
Dy=f ?(x?qDx)Dx (0<q?<1)?
?拉格朗日中值公式
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如果函数 f(x)在闭区间 [a? b]上连续 ? 在开区间 (a? b)内
可导 ? 那么在 (a? b)内至少有一点 x? 使得
f(b)?f(a)=f ?(x)(b?a)?
?拉格朗日中值定理
注：
dy=f ?(x)Dx是函数增量 Dy的近似表达式 ?
f ?(x?qDx)Dx是函数增量 Dy 的精确表达式 ?
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f(b)?f(a)=f ?(x)(b?a)?
f(x?Dx)?f(x)=f ?(x?qDx)Dx (0<q?<1)?
Dy=f ?(x?qDx)Dx (0<q?<1)?
?拉格朗日中值公式
如果函数 f(x)在闭区间 [a? b]上连续 ? 在开区间 (a? b)内
可导 ? 那么在 (a? b)内至少有一点 x? 使得
f(b)?f(a)=f ?(x)(b?a)?
?拉格朗日中值定理
?定理
如果函数 f(x)在区间 I上的导数恒为零 ? 那么 f(x)在区
间 I上是一个常数 ? >>>
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证明 设 f(x)=ln(1?x)? 显然 f(x)在区间 [0? x]上满足拉格
朗日中值定理的条件 ? 根据定理 ? 就有
f(x)?f(0)=f ?(x)(x?0)? 0<x<x ?
又由 0<x<x? 有
例 2
例 2 ? 证明当 x > 0 时 ? xxxx <?<? )1l n (1 ?
由于 f ( 0 ) = 0 ? xxf ?=? 1 1)( ? 因此上式即为
x?=? 1)1ln (
xx ?
xxxx <?<? )1ln (1 ?
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三、柯西中值定理
?柯西中值定理
函数 f(x)及 F(x)在闭区间 [a? b]上连续 ? 在开区间 (a? b)
内可导 ? 且 F ?(x)在 (a? b)内恒不为零 ? 那么在 (a? b)内至少
有一点 x? 使得
)(
)(
)()(
)()(
x
x
F
f
aFbF
afbf
?
?=
?
? ?
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显然 ? 如果取 F(x)=x? 那么 F(b)?F(a)=b?a? F ?(x)=1? 因
而柯西中值公式就可以写成 ?
f(b)?f(a)=f ?(x)(b?a) (a<x<b)?
这样就变成了拉格朗日中值公式了 ?
——— 柯西中值公式
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?定理的几何意义
)(
)(
)()(
)()(
x
x
F
f
aFbF
afbf
?
?=
?
? ?
结束
弦 AB 的斜率为 )()( )()( aFbF afbf ?? ?
而 在 点 x = x? 处 ? )( )(xxFfdXdY ??= ?
三、柯西中值定理
?柯西中值定理
函数 f(x)及 F(x)在闭区间 [a? b]上连续 ? 在开区间 (a? b)
内可导 ? 且 F ?(x)在 (a? b)内恒不为零 ? 那么在 (a? b)内至少
有一点 x? 使得
