一、隐函数的导数
二、由参数方程所确定的函数的导数
§ 2.6 由方程所确定的函数的导数
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三、相关变化率
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一、隐函数的导数
?显函数与隐函数
形如 y?f(x)的函数称为显函数 ?
例如 ? y?sin x? y?ln x?ex 都是显函数 ?
由方程 F(x? y)?0所确的函数称为隐函数 ?
把一个隐函数化成显函数 ? 叫做隐函数的显化 ?
例如 ? 方程 x?y3?1?0确定的隐函数为 3 1 xy ?? ?
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提示,
例 1 求由方程 ey?xy?e?0所确定的隐函数 y的导数 ?
(ey)??(xy)??(e)??(0)??
即 ey?y??y?xy??0?
?隐函数的求导法
把方程两边分别对 x求导数 ? 然后从所得的新的方程
中把隐函数的导数解出 ?
一、隐函数的导数
方程中每一项对 x求导得解
从而 yex yy ???? ( x ? e y ? 0) ?
(xy)??y?xy?? (ey)??e y?y??
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例 2 求由方程 y5?2y?x?3x7?0所确定的隐函数 y?f(x)
在 x?0处的导数 y?|x?0?
因为当 x?0时 ? 从原方程得 y?0? 所以
5y4?y??2y??1?21x6?0?
把方程两边分别对 x求导数得解法一
由此得 25 211 4 6???? y xy ?
2
1|
25
211|
04
6
0 ??
???
?? xx y
xy ?
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5y4?y??2y??1?21x6?0?
根据原方程 ? 当 x?0时 ? y?0? 将其代入上述方程得
2y??1?0?
从而 y?|x?0?0?5?
把方程两边分别对 x求导数得解法二
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例 2 求由方程 y5?2y?x?3x7?0所确定的隐函数 y?f(x)
在 x?0处的导数 y?|x?0?
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解
例 3 例 3 ? 求椭圆 1
916
22 ?? yx 在 )3
2
3,2( 处的切线方程 ?
把椭圆方程的两边分别对 x求导 ? 得
所求的切线方程为
从而 yxy 169??? ?
当 x ? 2 时 ? 323?y ? 代入上式得所求切线的斜率
4
3|
2 ???? ?xyk ?
)2(4 3323 ???? xy ? 即 03843 ??? yx ? )2(4 3323 ???? xy ? 即 03843 ??? yx ?
当 x? 2 时 ? 323?y ? 代入上式得所求切线的斜率 当 x ? 2 时 ? 323?y ? 代入上式得所求切线的斜率
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0928 ???? yyx ?
?
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解
上式两边再对 x求导 ? 得
的二阶导数 ?
例 4 例 4, 求由方程 0s i n
2
1 ??? yyx 所确定的隐函数 y
方程两边对 x求导 ? 得
0c o s211 ???? dxdyydxdy ?
于是 ydxdy c o s2 2?? ?
322
2
)cos2(
sin4
)cos2(
sin2
y
y
y
dx
dyy
dx
yd
?
??
?
??
? ?
322
2
)c o s2(
s in4
)c o s(
s in2
y
y
y
dx
dyy
dx
yd
?
??
?
??
? ?
322
2
)c o s2(
s in4
)c s2(
s in2
y
y
y
dx
dyy
dx
yd
?
??
?
??
? ?
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y?? f(x)?[ln f(x)]??
对数求导法适用于求幂指函数 y?[u(x)]v(x)的导数及多
因子之积和商的导数 ?
此方法是先在 y?f(x)的两边取对数 ? 然后用隐函数求
导法求出 y的导数 ?
设 y?f(x)? 两边取对数 ? 得
ln y?ln f(x)?
两边对 x 求导 ? 得
?对数求导法
])([ ln1 ??? xfyy ?
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例 5 求 y?x sin x (x>0)的导数 ?
xxxxyy
1s i nlnc o s1 ????? ?
于是 )1s i nln( c o s xxxxyy ????? )s i nlnc o ss i n x xxxx x ??? ?
解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求 ?
解法一
上式两边对 x 求导 ? 得
两边取对数 ? 得
ln y?sin x?ln x?
y?x sin x?e sin x·ln x?
)s i nln( c o s)ln( s i n s i nlns i n x xxxxxxey xxx ??????? ? ? )s i nln( c o s)ln( s i n s i nlns i n x xxxxxxey xxx ??????? ? ?
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上式两边对 x求导 ? 得
说明 ?
严格来说 ? 本题应分 x?4? x?1? 2?x?3三种情况讨论 ?
但结果都是一样的 ?
例 6
例 6 ? 求函数 )4)(3( )2)(1( ?? ??? xx xxy 的导数 ?
先在两边取对数 ? 得
l n y 21? [ l n ( x ? 1) ? l n ( x ? 2) ? l n ( x ? 3) ? l n ( x ? 4 ) ] ?
)41312111(211 ????????? xxxxyy ?
于是 )41312111(2 ????????? xxxxyy ?
解
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二、由参数方程所确定的函数的导数
设 x?j(t)具有反函数 t?j?1(x)? 且 t?j?1(x)与 y?y(t)构成
复合函数 y?y[j?1(x)]? 若 x?j(t)和 y?y(t)都可导 ? 则
)(
)(1
t
t
dt
dxdt
dy
dx
dt
dt
dy
dx
dy
j
y
?
?????? ?
即
)(
)(
t
t
dx
dy
j
y
?
?
? 或
dt
dx
dt
dy
dx
dy
? ?
)(
)(1
t
t
dt
dxdt
dy
dt
dy
dx
dy
j
y
?
?????? ?
)(
)(1
t
t
dt
dxdt
dy
dx
dt
dt
dy
dx
dy
j
y
?
?????? ?
设 y 与 x 的函数关系 是 由 参数方程 ??? ?? )( )( ty tx yj 确定 的 ?
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若 x ? j ( t ) 和 y ? y ( t ) 都可导 ? 则 )( )( ttdxdy jy ??? ?
例 7
例 7 ? 求椭圆 ??? ?? tby tax s i nc o s 在相应于 4 ??t 点处 的切线方程 ?
解 ? tabta tbta tbdxdy c o ts inc o s)c o s( )s in( ??????? ?
解
解 ? tabta tbttbdxdy c o ts inc o s)c o s )s in ??????? ? 解 ? tabta tbta tb c o ts inc o s)c o s( )s in( ?????? ?
所求 切线的斜率为 abdxdy t ???
4
? ?
切点的坐标为 2 24 c o s0 aax ?? ? ? 2 24s i n0 bby ?? ? ?
切线方程为 )2 2(2 2 axabby ???? ?
即 bx ? ay 2? ab ? 0 ?
切点的坐标为 224 c o s0 aax ?? ? ? 224s in0 bby ?? ? ?
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再求速度的方向 ?
设 a是切线的倾角 ? 则轨道的切线方向为
于是抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为
x?(t)?v1? y?(t)?v2?gt?
求抛射体在时刻 t的运动速度的大小和方向 ?
例 8 抛射体运动轨迹的参数方程为 ?
??
?
?
?
??
?
2
2
1
2
1 gttvy
tvx
速度的水平分量与铅直分量分别为
先求速度的大小 ?解
22 )]([)]([ tytxv ???? 2221 )( gtvv ??? ?
1
2
)(
)(ta n
v
gtv
tx
ty
dx
dy ??
?
???a ?
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提示 ?
讨论 ?
已知 x?j(t),y?y(t)? 如何求 y对 x的二阶导数 y???
由 x ? j ( t ) ? )( )( ttdxdy jy ??? ?
dx
dt
t
t
dt
d
dx
dy
dx
d
dx
yd )
)(
)(()(
2
2
j
y
?
???
)(
1
)(
)()()()(
2 tt
tttt
jj
jyjy
???
????????
)(
)()()()(
3 t
tttt
j
jyjy
?
???????? ?
dx
dt
t
t
dt
d
dx
dy
dx
d
dx
yd )
)(
)(()(
2
2
j
y
?
???
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的函数 y?f(x)的二阶导数 ?
例 9
例 9, 计算由摆线的参数方程 ??? ?? ?? )c o s1( )s i n( tay ttax 所确定
解 ? )( )(tx tydxdy ??? )c o s1( s in])s in([ ])c o s1([ ta tatta ta ???? ???
解
2c o tc o s1
s in t
t
t ?
?? ( t?2 n?? n 为整数 )?
dx
dtt
dt
d
dx
dy
dx
d
dx
yd ??? )
2( c o t)(2
2
(t?2n?? n为整数 )?
22 )c os1(
1
)c os1(
1
2s i n2
1
tatat ???????
解 ? )( )(xydxdy ??? )c o s1( s in])s in([ ])c o s1([ ta tatta ta ???? ??? 解 ? )( )(tx tydxdy ??? )c o s1( s in])in([ ])o s1([ ta tatta ta ?????
2c o tc o s1
s i n t
t
t ?
?? ( t ? 2 n ? ? n 为整数 ) ?
dx
dtt
dt
d
dx
dy
dx
d
dx
yd ??? )
2( c o t)(2
2
22 )c os1(
1
)c os1(
1
2s in2
1
tatat ???????
结束
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三、相关变化率
设 x?x(t)及 y?y(t)都是可导函数 ? 而变量 x与 y间存在某
种关系 ? 从而变化率与间也存在一定关系 ? 这两个相互依
赖的变化率称为相关变化率 ?
相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系 ?
以便从其中一个变化率求出另一个变化率 ?
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例 10 一气球从离开观察员 500m处离地面铅直上升 ?
其速度为 140m/min(分 )? 当气球高度为 500m时 ? 观察员视
线的仰角增加率是多少？
解 设气球上升 t(秒 )后 ?
其高度为 h? 观察员视线的
仰角为 a? 则
500ta n
h?a ?
dt
dh
dt
d ???
5 0 0
1s e c 2 aa ?
上式两边对 t求导 ? 得
已 知 140?dtdh ( 米 / 秒 ) ?
又当 h?500(米 )时 ? sec2a?2?
500m
500m
a
气球
观察员
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例 10 一气球从离开观察员 500m处离地面铅直上升 ?
其速度为 140m/min(分 )? 当气球高度为 500m时 ? 观察员视
线的仰角增加率是多少？
解 设气球上升 t(秒 )后 ?
其高度为 h? 观察员视线的
仰角为 a? 则
500ta n
h?a ?
dt
dh
dt
d ???
5 0 0
1s e c 2 aa ?
1 4 05 0 012 ??dtd a ?
上式两边对 t求导 ? 得
已 知 140?dtdh ( 米 / 秒 ) ?
又当 h?500(米 )时 ? sec2a?2?
将已知数据代入上式得
14.05 0 070 ??dtd a ( 弧 度 / 秒 ) ?
即观察员视线的仰角增加
率是每秒 0? 14弧度 ?
所以
二、由参数方程所确定的函数的导数
§ 2.6 由方程所确定的函数的导数
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三、相关变化率
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一、隐函数的导数
?显函数与隐函数
形如 y?f(x)的函数称为显函数 ?
例如 ? y?sin x? y?ln x?ex 都是显函数 ?
由方程 F(x? y)?0所确的函数称为隐函数 ?
把一个隐函数化成显函数 ? 叫做隐函数的显化 ?
例如 ? 方程 x?y3?1?0确定的隐函数为 3 1 xy ?? ?
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提示,
例 1 求由方程 ey?xy?e?0所确定的隐函数 y的导数 ?
(ey)??(xy)??(e)??(0)??
即 ey?y??y?xy??0?
?隐函数的求导法
把方程两边分别对 x求导数 ? 然后从所得的新的方程
中把隐函数的导数解出 ?
一、隐函数的导数
方程中每一项对 x求导得解
从而 yex yy ???? ( x ? e y ? 0) ?
(xy)??y?xy?? (ey)??e y?y??
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例 2 求由方程 y5?2y?x?3x7?0所确定的隐函数 y?f(x)
在 x?0处的导数 y?|x?0?
因为当 x?0时 ? 从原方程得 y?0? 所以
5y4?y??2y??1?21x6?0?
把方程两边分别对 x求导数得解法一
由此得 25 211 4 6???? y xy ?
2
1|
25
211|
04
6
0 ??
???
?? xx y
xy ?
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5y4?y??2y??1?21x6?0?
根据原方程 ? 当 x?0时 ? y?0? 将其代入上述方程得
2y??1?0?
从而 y?|x?0?0?5?
把方程两边分别对 x求导数得解法二
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例 2 求由方程 y5?2y?x?3x7?0所确定的隐函数 y?f(x)
在 x?0处的导数 y?|x?0?
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解
例 3 例 3 ? 求椭圆 1
916
22 ?? yx 在 )3
2
3,2( 处的切线方程 ?
把椭圆方程的两边分别对 x求导 ? 得
所求的切线方程为
从而 yxy 169??? ?
当 x ? 2 时 ? 323?y ? 代入上式得所求切线的斜率
4
3|
2 ???? ?xyk ?
)2(4 3323 ???? xy ? 即 03843 ??? yx ? )2(4 3323 ???? xy ? 即 03843 ??? yx ?
当 x? 2 时 ? 323?y ? 代入上式得所求切线的斜率 当 x ? 2 时 ? 323?y ? 代入上式得所求切线的斜率
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0928 ???? yyx ?
?
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解
上式两边再对 x求导 ? 得
的二阶导数 ?
例 4 例 4, 求由方程 0s i n
2
1 ??? yyx 所确定的隐函数 y
方程两边对 x求导 ? 得
0c o s211 ???? dxdyydxdy ?
于是 ydxdy c o s2 2?? ?
322
2
)cos2(
sin4
)cos2(
sin2
y
y
y
dx
dyy
dx
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?
??
?
??
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2
)c o s2(
s in4
)c o s(
s in2
y
y
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dx
dyy
dx
yd
?
??
?
??
? ?
322
2
)c o s2(
s in4
)c s2(
s in2
y
y
y
dx
dyy
dx
yd
?
??
?
??
? ?
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y?? f(x)?[ln f(x)]??
对数求导法适用于求幂指函数 y?[u(x)]v(x)的导数及多
因子之积和商的导数 ?
此方法是先在 y?f(x)的两边取对数 ? 然后用隐函数求
导法求出 y的导数 ?
设 y?f(x)? 两边取对数 ? 得
ln y?ln f(x)?
两边对 x 求导 ? 得
?对数求导法
])([ ln1 ??? xfyy ?
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例 5 求 y?x sin x (x>0)的导数 ?
xxxxyy
1s i nlnc o s1 ????? ?
于是 )1s i nln( c o s xxxxyy ????? )s i nlnc o ss i n x xxxx x ??? ?
解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求 ?
解法一
上式两边对 x 求导 ? 得
两边取对数 ? 得
ln y?sin x?ln x?
y?x sin x?e sin x·ln x?
)s i nln( c o s)ln( s i n s i nlns i n x xxxxxxey xxx ??????? ? ? )s i nln( c o s)ln( s i n s i nlns i n x xxxxxxey xxx ??????? ? ?
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上式两边对 x求导 ? 得
说明 ?
严格来说 ? 本题应分 x?4? x?1? 2?x?3三种情况讨论 ?
但结果都是一样的 ?
例 6
例 6 ? 求函数 )4)(3( )2)(1( ?? ??? xx xxy 的导数 ?
先在两边取对数 ? 得
l n y 21? [ l n ( x ? 1) ? l n ( x ? 2) ? l n ( x ? 3) ? l n ( x ? 4 ) ] ?
)41312111(211 ????????? xxxxyy ?
于是 )41312111(2 ????????? xxxxyy ?
解
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二、由参数方程所确定的函数的导数
设 x?j(t)具有反函数 t?j?1(x)? 且 t?j?1(x)与 y?y(t)构成
复合函数 y?y[j?1(x)]? 若 x?j(t)和 y?y(t)都可导 ? 则
)(
)(1
t
t
dt
dxdt
dy
dx
dt
dt
dy
dx
dy
j
y
?
?????? ?
即
)(
)(
t
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?
?
? 或
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)(
)(1
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dx
dt
dt
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dx
dy
j
y
?
?????? ?
设 y 与 x 的函数关系 是 由 参数方程 ??? ?? )( )( ty tx yj 确定 的 ?
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若 x ? j ( t ) 和 y ? y ( t ) 都可导 ? 则 )( )( ttdxdy jy ??? ?
例 7
例 7 ? 求椭圆 ??? ?? tby tax s i nc o s 在相应于 4 ??t 点处 的切线方程 ?
解 ? tabta tbta tbdxdy c o ts inc o s)c o s( )s in( ??????? ?
解
解 ? tabta tbttbdxdy c o ts inc o s)c o s )s in ??????? ? 解 ? tabta tbta tb c o ts inc o s)c o s( )s in( ?????? ?
所求 切线的斜率为 abdxdy t ???
4
? ?
切点的坐标为 2 24 c o s0 aax ?? ? ? 2 24s i n0 bby ?? ? ?
切线方程为 )2 2(2 2 axabby ???? ?
即 bx ? ay 2? ab ? 0 ?
切点的坐标为 224 c o s0 aax ?? ? ? 224s in0 bby ?? ? ?
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再求速度的方向 ?
设 a是切线的倾角 ? 则轨道的切线方向为
于是抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为
x?(t)?v1? y?(t)?v2?gt?
求抛射体在时刻 t的运动速度的大小和方向 ?
例 8 抛射体运动轨迹的参数方程为 ?
??
?
?
?
??
?
2
2
1
2
1 gttvy
tvx
速度的水平分量与铅直分量分别为
先求速度的大小 ?解
22 )]([)]([ tytxv ???? 2221 )( gtvv ??? ?
1
2
)(
)(ta n
v
gtv
tx
ty
dx
dy ??
?
???a ?
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提示 ?
讨论 ?
已知 x?j(t),y?y(t)? 如何求 y对 x的二阶导数 y???
由 x ? j ( t ) ? )( )( ttdxdy jy ??? ?
dx
dt
t
t
dt
d
dx
dy
dx
d
dx
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)(
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2
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j
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yd )
)(
)(()(
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2
j
y
?
???
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的函数 y?f(x)的二阶导数 ?
例 9
例 9, 计算由摆线的参数方程 ??? ?? ?? )c o s1( )s i n( tay ttax 所确定
解 ? )( )(tx tydxdy ??? )c o s1( s in])s in([ ])c o s1([ ta tatta ta ???? ???
解
2c o tc o s1
s in t
t
t ?
?? ( t?2 n?? n 为整数 )?
dx
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2( c o t)(2
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(t?2n?? n为整数 )?
22 )c os1(
1
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1
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1
tatat ???????
解 ? )( )(xydxdy ??? )c o s1( s in])s in([ ])c o s1([ ta tatta ta ???? ??? 解 ? )( )(tx tydxdy ??? )c o s1( s in])in([ ])o s1([ ta tatta ta ?????
2c o tc o s1
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t
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?? ( t ? 2 n ? ? n 为整数 ) ?
dx
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2
22 )c os1(
1
)c os1(
1
2s in2
1
tatat ???????
结束
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三、相关变化率
设 x?x(t)及 y?y(t)都是可导函数 ? 而变量 x与 y间存在某
种关系 ? 从而变化率与间也存在一定关系 ? 这两个相互依
赖的变化率称为相关变化率 ?
相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系 ?
以便从其中一个变化率求出另一个变化率 ?
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例 10 一气球从离开观察员 500m处离地面铅直上升 ?
其速度为 140m/min(分 )? 当气球高度为 500m时 ? 观察员视
线的仰角增加率是多少？
解 设气球上升 t(秒 )后 ?
其高度为 h? 观察员视线的
仰角为 a? 则
500ta n
h?a ?
dt
dh
dt
d ???
5 0 0
1s e c 2 aa ?
上式两边对 t求导 ? 得
已 知 140?dtdh ( 米 / 秒 ) ?
又当 h?500(米 )时 ? sec2a?2?
500m
500m
a
气球
观察员
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例 10 一气球从离开观察员 500m处离地面铅直上升 ?
其速度为 140m/min(分 )? 当气球高度为 500m时 ? 观察员视
线的仰角增加率是多少？
解 设气球上升 t(秒 )后 ?
其高度为 h? 观察员视线的
仰角为 a? 则
500ta n
h?a ?
dt
dh
dt
d ???
5 0 0
1s e c 2 aa ?
1 4 05 0 012 ??dtd a ?
上式两边对 t求导 ? 得
已 知 140?dtdh ( 米 / 秒 ) ?
又当 h?500(米 )时 ? sec2a?2?
将已知数据代入上式得
14.05 0 070 ??dtd a ( 弧 度 / 秒 ) ?
即观察员视线的仰角增加
率是每秒 0? 14弧度 ?
所以
