一、微分的定义
二、微分的几何意义
三、基本微分公式与微分运算法则
§ 2.7 函数的微分
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四、微分在近似计算中的应用
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一、微分的定义
?引例
一块正方形金属片受热后其边长 x 由 x0 变到 x0?Dx?
考查 此薄片的面积 A 的改变情况 ?
因为 A?x2? 所以金属片面积
的改变量为
DA?(x0?Dx)2?(x0)2
?2x0Dx?(Dx)2?
A?x02
x0
x0
Dx
Dxx0Dx
x0Dx
(Dx)2
当 Dx?0时 ? (Dx)2?o(Dx )?
DA的主要部分是 Dx的线性函数
2x0Dx? 2x0Dx是 DA的近似值 ?
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设函数 y?f(x)在某区间内有定义 ? x0及 x0?Dx在这区间
内 ? 如果函数的增量
Dy?f(x0?Dx)?f(x0)
可表示为
Dy?ADx?o(Dx)?
其中 A是不依赖于 Dx的常数 ? o(Dx)是比 Dx高阶的无穷小 ?
那么称函数 y?f(x)在点 x0是可微的 ? 而 ADx叫做函数 y?f(x)
在点 x0相应于自变量增量 Dx的微分 ? 记作 dy? 即
dy?ADx?
?微分的定义
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函数 f(x)在点 x0可微 ? 函数 f(x)在点 x0可导 ?
函数在点 x0的微分一定是
dy?f ?(x0)Dx?
?可微与可导的关系
y?f(x)在点 x0可微 ?Dy?ADx?o(Dx)? dy?ADx?
这是因为 ? 一方面
另一方面
其中 a?0(当 Dx?0)? 且 A?f(x0)是常数 ? aDx ?o(Dx)?
AxfxyxxoAxyxoxAy x ???DD?DD??DD?D?D?D ?D )(lim)()( 00 ?
xxxfyxfxyxfxy
x
D?D??D????DD???DD
?D
aa )()()(lim 000
0 ?
AxfxyxxoAxyxoxAy x ???DD?DD??DD?D?D?D ?D )(lim)()( 00 ? AxfxyxxoAxyxoxAy x ???DD?DD??DD??D?D ?D )(lim)()( 00 ?
xxxfyxfxyxfy
x
D?D??D????DD???DD
?D
aa )()()(lim 000
0 ?
xxfyxfxfxy
x
D?D??D????DD???DD
?D
aa )()()(lim 000
0 ?
?
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函数 y?f(x)在任意点 x 的微分 ? 称为函数的微分 ? 记
作 dy 或 df(x)? 即
dy?f ?(x)Dx?
例如 ? dcos x?(cos x)?Dx ??sin x Dx?
dex?(e x)?Dx?exDx?
函数 f(x)在点 x0可微 ? 函数 f(x)在点 x0可导 ?
函数在点 x0的微分一定是
dy?f ?(x0)Dx?
y?f(x)在点 x0可微 ?Dy?ADx?o(Dx)? dy?ADx?
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?可微与可导的关系
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例 1 求函数 y?x2在 x?1和 x?3处的微分 ?
dy?(x2)?|x?1Dx?2Dx?
函数 y?x2在 x?3处的微分为
dy?(x2)?|x?3Dx?6Dx?
例 2 求函数 y?x3当 x?2? Dx ?0?02时的微分 ?
y?f(x)在点 x0可微 ?Dy?ADx?o(Dx)? dy?ADx?
解 函数 y?x2在 x?1处的微分为
解 先求函数在任意点 x 的微分 ?
dy?(x3)?Dx?3x2Dx?
再求函数当 x?2? Dx?0?02时的微分 ?
dy|x?2? Dx?0.02 ?3?22?0.02?0.24??3x2| x?2,Dx?0.02
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因为当 y?x时 ?
dy?dx?(x)?Dx?Dx?
所以通常把自变量 x 的增量 Dx称为自变量的微分 ? 记作
dx? 即
dx?Dx?
因此 ? 函数 y?f(x)的微分又可记作
dy?f ?(x)dx?
?自变量的微分
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?结论
在 f ?(x0)?0的条件下 ? 以微分 dy?f ?(x0)Dx近似代替增
量 Dy?f(x0?Dx)?f(x0)时 ? 其误差为 o(dy)?
因此 ? 当 |Dx|很小时 ? 有 近似等式 Dy?dy?
当 f ?(x0)?0时 ? 有
根据等价无穷小的性质 ? Dy?dy?o(dy)?
?增量与微分的关系
1lim)(1)(limlim
00000
?D??D? D?D
?D?D?D dx
y
xfxxf
y
dy
y
xxx
?
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二、微分的几何意义
当 |Dx|很小时 ? |Dy?dy|
比 |Dx|小得多 ?
因此 ? 在点 M的邻近 ?
我们可以用切线段来近似
代替曲线段 ?
Dy是曲线上点的纵坐标的增量 ?
dy是过点 (x0? f(x0))的切线上点的纵坐标的增量 ?
当 x从 x0变到 x0?Dx时 ?
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三、基本微分公式与微分运算法则
d(xm)?mxm?1dx
d(sin x)?cos xdx
d(cos x)??sin xdx
d(tan x)?sec2xdx
d(cot x)??csc2xdx
d(sec x)?sec x tan xdx
d(csc x)??csc x cot xdx
d(a x)?ax ln adx
d(e x)?exdx
(xm)??mxm?1
(sin x)??cos x
(cos x)???sin x
(tan x)??sec2 x
(cot x)???csc2x
(sec x)??sec x tan x
(csc x)???csc x cot x
(a x)??ax ln a
(e x)?ex
微分公式,导数公式,
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1.基本初等函数的微分公式
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axxa ln
1)( lo g ??
xx
1)(ln ??
21
1)( a r c s in
xx ???
21
1)( a r c c o s
xx ????
21
1)( a r c ta n
xx ???
21
1)c o ta r c(
xx ????
dxaxxd a ln1)( lo g ?
dxxxd 1)( ln ?
dxxxd 21 1)( a r c s i n ??
dxxxd 21 1)( a r c c o s ???
dxxxd 21 1)( a r c ta n ??
dxxxd 21 1)c o ta r c( ???
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微分公式,导数公式,
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2.函数和、差、积、商的微分法则
公式 d(u?v)?vdu?udv 的证明 ?
因为
d(uv)?(u?v?uv?)dx?u?vdx?uv?dx?
而 u?dx?du? v?dx?dv?
所以 d(uv)?vdu?udv?
(u?v)??u??v?
(Cu)??Cu?
(u?v)??u?v?uv?
)0()( 2 ?????? vv vuvuvu
d(u?v)?du?dv
d(Cu)?Cdu
d(u?v)?vdu?udv
)0()( 2 ??? vdxv u d vv d uvud
求导法则 微分法则
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设 y?f(u)及 u?j(x)可微 ? 则复合函数 y?f[j(x)]的微分为
dy?y?xdx?f ?(u)j?(x)dx?
因为 j?(x)dx?du? 所以 ? 复合函数 y?f[j(x)]的微分公式
也可以写成
dy?f ?(u)du 或 dy?y?udu?
3.复合函数的微分法则
由此可见 ? 无论 u是自变量还是另一个变量的可微函
数 ? 微分形式 dy?f ?(u)du保持不变 ? 这一性质称为微分形
式不变性 ?
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在求复合函数的导数时 ? 可以不写出中间变量 ?
例 3 y?sin(2x?1)? 求 dy?
?2cos(2x?1)dx??cos(2x?1)?2dx
?cos(2x?1)d(2x?1)dy?d(sin u)?cos udu
若 y?f(u)? u?j(x)? 则 dy?f ?(u)du?
解 把 2x?1看成中间变量 u? 则
例 4 例 4 ? )1l n (
2xey ?? ? 求 dy ?
解 ? )1(1 1)1ln ( 222 xxx edeeddy ?????
x d xeexdee xxxx 21 1)(1 1 2222 2 ??????? dxexe xx 2212?? ?
解 解 ? )1(
1
1)1ln ( 2
2
2 x
xx edeeddy ?????
x d xeexdee xxxx 21 1)(1 1 2222 2 ??????? dxexe xx 2212?? ? x d xeexdee xxxx 21 1)1 1 2222 2 ??????? dxexe xx 2212?? ?
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?
例 5 y?e1?3xcos x? 求 dy?
??e1?3x(3cos x?sin x)dx?
?(cos x)e1?3x(?3dx)?e1?3x(?sin xdx)
dy?d(e1?3xcos x) ?cos xd(e1?3x)?e1?3xd(cos x)
若 y?f(u)? u?j(x)? 则 dy?f ?(u)du?
应用积的微分法则 ? 得解
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例 6 在括号中填入适当的函数 ? 使等式成立 ?
(1) d( )?xdx? (2) d( )?cos w t dt?
(2)因为 d(sin w t)?w cos w tdt? 所以
(1)因为 d(x2)?2xdx? 所以解
)21()(21 22 xdxdxdx ?? ? 即 xdxxd ?)21( 2 ? )21()(21 22 xdxdd x ?? ? 即 xd xxd ?)21( 2 ? )21()(2 22 xdxdx ? ? 即 x d xxd ?)21( 2 ? )21()(21 22 xdxdx d x ?? 即 x d xxd ?)21( 2 ?
一般地 ? 有 x d xCxd ?? )21( 2 ( C 为任意常数 ) ?
) s in1() (s in1 c os tdtdtd t wwwww ?? ? ) s in1() ( s in1 c o s tdtdtd t wwwww ?? ? ) s in1() ( s in1 c o s tdtdtd t wwwww ?? ?
因此 td tCtd c o s) s i n1( www ?? ( C 为任意常数 ) ?
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四、微分在近似计算中的应用
1.函数的近似计算
当函数 y?f(x)在点 x0处的导数 f ?(x)?0? 且 |Dx|很小时 ?
我们有
Dy?dy?f ?(x0)Dx?
f(x0?Dx)?f(x0)?dy?f ?(x0)Dx?
f(x0?Dx)?f(x0)?f ?(x0)Dx?
若令 x?x0?Dx? 即 Dx?x?x0? 那么又有
f(x)?f(x0)?f ?(x0)(x?x0)?
特别当 x0?0时 ? 有 f(x)?f(0)?f ?(0)x?
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例 7 有一批半径为 1cm 的球 ? 为了提高球面的光洁
度 ? 要镀上一层铜 ? 厚度定为 0?01cm? 估计一下每只球需
用铜多少 g (铜的密度是 8?9g/cm3)?
求函数增量的近似公式 ? f(x0?Dx)?f(x0)?f ?(x0)Dx
镀层的体积为
DV?V(R0?DR)?V(R0)
?V ?(R0)DR?4pR02DR
?4?3?14?12?0?01?0?13(cm3)?
于是镀每只球需用的铜约为
0?13?8?9?1?16(g)?
解 已知球体体积为 ? R0?1cm? DR?0?01cm?
334 RV p?
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解 ? 已知 30 ? 30 ? 3606 pp ?? ? 6 0 p?x ? 360p?D x ?
求函数值的近似公式 ? f(x0?Dx)?f(x0)?f ?(x0)Dx
例 8 利用微分计算 sin 30?30?的近似值 ?
? sin x0? cos x0 Dx
即 sin 30?30??0?5076?
sin 30?30??sin(x0?Dx)
解
3606
c os
6
s i n ppp ???
5 0 7 6.03 6 02 321 ???? p ?
解 ? 已知 30 ?30 ? 3606 pp ?? ? 6 0 p?x ? 360p?Dx ? 解 ? 已知 30 ?30 ? 3606 pp ?? ? 6 p? ? 360p?D x ?
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(2)sin x?x (x用弧度作单位来表达 )?
(3)tan x?x(x用弧度作单位来表达 )?
(4)ex?1?x?
(5)ln(1?x)?x?
常用的近似公式 (假定 |x|是较小的数值 )?
求函数在 x?0附近的值的近似公式 ? f(x)?f(0)?f ?(0)x
( 1 ) xnxn 111 ??? ?
例 9 例 3, 计算 05.1 的近似值 ?
解 ? 已知 xnxn 111 ??? ? 故
025.105.021105.0105.1 ?????? ?
解
025.105.021105.0105.1 ?????? ? 025.105.21105.0105.1 ?????? ?
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?绝对误差与相对误差
如果某个量的精确值为 A? 其近似值为 a? 那么 |A?a|叫
做 a的绝对误差 ?
绝对误差 | A ? a | 与 | a | 的比值 || || a aA ? 叫做 a 的相对误差 ?
2.误差估计
?间接测量误差 ?
由于测量仪器的精度, 测量的条件和测量的方法等
各种因素的影响 ? 测得的数据往往带有误差 ? 而根据带有
误差的数据计算所得的结果也会有误差 ? 我们把它叫做
间接测量误差 ?
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如果某个量的精确值是 A? 测得它的近似值是 a? 又知
道它的误差不超过 dA,|A?a|?dA? 则 dA叫做测量 A的绝对误
差限 ?
|| a Ad 叫做测量 A 的相对误差限 ( 简称 绝对误差 ) ?
?绝对误差限与相对误差限
若 x是直接测量值 ? |Dx|?dx ?而 y?f(x)? 那么由
Dy?dy?y?Dx?
有 |Dy|?|dy|?|y?|?|Dx|?|y?|?dx ?
所以测量 y的绝对误差为 dy?|y?|?d x ?
提问,
测量 y的相对误差是什么？
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已知 D?60?03? dD?0?05? 所以
例 10 设测得圆钢截面的直径 D?60?03mm?测量 D的
积时 ?试估计面积的误差 ?
绝对误差限 Dd ? 0 ? 05 ? 利用公式 24 DA p? 计算圆钢的截面
解 ? DDDAdAA D??D????D 2 p ?
解
|D A |?|dA | DDDD dpp ??D?? 2||2 ?
7 1 5.405.003.602 2 ?????? pdpd DA D
%17.0
03.60
05.022
4
2
2
?????
?
?
DD
D
A
D
D
A d
p
dpd
?
7 1 5.405.003.602 2 ?????? pdpd DA D
(mm2)?
715405.003.2 2 ?????? pdpd DA D
%17.0
03.60
05.022
4
2
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D
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4
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DD
D
A
D
D
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03.60
05.022
4
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2
?????
?
DD
D
A
D
D
A d
p
dd
?
|D |dA | DDDD dpp ??D?? 2||2 ? |D A |? |dA | DD dp ??D? 2|| ?
解 ? DDAdAA D??D????D 2 p ? 解 ? DDDA D??????D 2 p ?
结束
二、微分的几何意义
三、基本微分公式与微分运算法则
§ 2.7 函数的微分
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四、微分在近似计算中的应用
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一、微分的定义
?引例
一块正方形金属片受热后其边长 x 由 x0 变到 x0?Dx?
考查 此薄片的面积 A 的改变情况 ?
因为 A?x2? 所以金属片面积
的改变量为
DA?(x0?Dx)2?(x0)2
?2x0Dx?(Dx)2?
A?x02
x0
x0
Dx
Dxx0Dx
x0Dx
(Dx)2
当 Dx?0时 ? (Dx)2?o(Dx )?
DA的主要部分是 Dx的线性函数
2x0Dx? 2x0Dx是 DA的近似值 ?
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设函数 y?f(x)在某区间内有定义 ? x0及 x0?Dx在这区间
内 ? 如果函数的增量
Dy?f(x0?Dx)?f(x0)
可表示为
Dy?ADx?o(Dx)?
其中 A是不依赖于 Dx的常数 ? o(Dx)是比 Dx高阶的无穷小 ?
那么称函数 y?f(x)在点 x0是可微的 ? 而 ADx叫做函数 y?f(x)
在点 x0相应于自变量增量 Dx的微分 ? 记作 dy? 即
dy?ADx?
?微分的定义
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函数 f(x)在点 x0可微 ? 函数 f(x)在点 x0可导 ?
函数在点 x0的微分一定是
dy?f ?(x0)Dx?
?可微与可导的关系
y?f(x)在点 x0可微 ?Dy?ADx?o(Dx)? dy?ADx?
这是因为 ? 一方面
另一方面
其中 a?0(当 Dx?0)? 且 A?f(x0)是常数 ? aDx ?o(Dx)?
AxfxyxxoAxyxoxAy x ???DD?DD??DD?D?D?D ?D )(lim)()( 00 ?
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xxxfyxfxyxfy
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0 ?
?
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函数 y?f(x)在任意点 x 的微分 ? 称为函数的微分 ? 记
作 dy 或 df(x)? 即
dy?f ?(x)Dx?
例如 ? dcos x?(cos x)?Dx ??sin x Dx?
dex?(e x)?Dx?exDx?
函数 f(x)在点 x0可微 ? 函数 f(x)在点 x0可导 ?
函数在点 x0的微分一定是
dy?f ?(x0)Dx?
y?f(x)在点 x0可微 ?Dy?ADx?o(Dx)? dy?ADx?
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?可微与可导的关系
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例 1 求函数 y?x2在 x?1和 x?3处的微分 ?
dy?(x2)?|x?1Dx?2Dx?
函数 y?x2在 x?3处的微分为
dy?(x2)?|x?3Dx?6Dx?
例 2 求函数 y?x3当 x?2? Dx ?0?02时的微分 ?
y?f(x)在点 x0可微 ?Dy?ADx?o(Dx)? dy?ADx?
解 函数 y?x2在 x?1处的微分为
解 先求函数在任意点 x 的微分 ?
dy?(x3)?Dx?3x2Dx?
再求函数当 x?2? Dx?0?02时的微分 ?
dy|x?2? Dx?0.02 ?3?22?0.02?0.24??3x2| x?2,Dx?0.02
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因为当 y?x时 ?
dy?dx?(x)?Dx?Dx?
所以通常把自变量 x 的增量 Dx称为自变量的微分 ? 记作
dx? 即
dx?Dx?
因此 ? 函数 y?f(x)的微分又可记作
dy?f ?(x)dx?
?自变量的微分
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?结论
在 f ?(x0)?0的条件下 ? 以微分 dy?f ?(x0)Dx近似代替增
量 Dy?f(x0?Dx)?f(x0)时 ? 其误差为 o(dy)?
因此 ? 当 |Dx|很小时 ? 有 近似等式 Dy?dy?
当 f ?(x0)?0时 ? 有
根据等价无穷小的性质 ? Dy?dy?o(dy)?
?增量与微分的关系
1lim)(1)(limlim
00000
?D??D? D?D
?D?D?D dx
y
xfxxf
y
dy
y
xxx
?
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二、微分的几何意义
当 |Dx|很小时 ? |Dy?dy|
比 |Dx|小得多 ?
因此 ? 在点 M的邻近 ?
我们可以用切线段来近似
代替曲线段 ?
Dy是曲线上点的纵坐标的增量 ?
dy是过点 (x0? f(x0))的切线上点的纵坐标的增量 ?
当 x从 x0变到 x0?Dx时 ?
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三、基本微分公式与微分运算法则
d(xm)?mxm?1dx
d(sin x)?cos xdx
d(cos x)??sin xdx
d(tan x)?sec2xdx
d(cot x)??csc2xdx
d(sec x)?sec x tan xdx
d(csc x)??csc x cot xdx
d(a x)?ax ln adx
d(e x)?exdx
(xm)??mxm?1
(sin x)??cos x
(cos x)???sin x
(tan x)??sec2 x
(cot x)???csc2x
(sec x)??sec x tan x
(csc x)???csc x cot x
(a x)??ax ln a
(e x)?ex
微分公式,导数公式,
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1.基本初等函数的微分公式
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axxa ln
1)( lo g ??
xx
1)(ln ??
21
1)( a r c s in
xx ???
21
1)( a r c c o s
xx ????
21
1)( a r c ta n
xx ???
21
1)c o ta r c(
xx ????
dxaxxd a ln1)( lo g ?
dxxxd 1)( ln ?
dxxxd 21 1)( a r c s i n ??
dxxxd 21 1)( a r c c o s ???
dxxxd 21 1)( a r c ta n ??
dxxxd 21 1)c o ta r c( ???
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微分公式,导数公式,
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2.函数和、差、积、商的微分法则
公式 d(u?v)?vdu?udv 的证明 ?
因为
d(uv)?(u?v?uv?)dx?u?vdx?uv?dx?
而 u?dx?du? v?dx?dv?
所以 d(uv)?vdu?udv?
(u?v)??u??v?
(Cu)??Cu?
(u?v)??u?v?uv?
)0()( 2 ?????? vv vuvuvu
d(u?v)?du?dv
d(Cu)?Cdu
d(u?v)?vdu?udv
)0()( 2 ??? vdxv u d vv d uvud
求导法则 微分法则
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设 y?f(u)及 u?j(x)可微 ? 则复合函数 y?f[j(x)]的微分为
dy?y?xdx?f ?(u)j?(x)dx?
因为 j?(x)dx?du? 所以 ? 复合函数 y?f[j(x)]的微分公式
也可以写成
dy?f ?(u)du 或 dy?y?udu?
3.复合函数的微分法则
由此可见 ? 无论 u是自变量还是另一个变量的可微函
数 ? 微分形式 dy?f ?(u)du保持不变 ? 这一性质称为微分形
式不变性 ?
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在求复合函数的导数时 ? 可以不写出中间变量 ?
例 3 y?sin(2x?1)? 求 dy?
?2cos(2x?1)dx??cos(2x?1)?2dx
?cos(2x?1)d(2x?1)dy?d(sin u)?cos udu
若 y?f(u)? u?j(x)? 则 dy?f ?(u)du?
解 把 2x?1看成中间变量 u? 则
例 4 例 4 ? )1l n (
2xey ?? ? 求 dy ?
解 ? )1(1 1)1ln ( 222 xxx edeeddy ?????
x d xeexdee xxxx 21 1)(1 1 2222 2 ??????? dxexe xx 2212?? ?
解 解 ? )1(
1
1)1ln ( 2
2
2 x
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x d xeexdee xxxx 21 1)(1 1 2222 2 ??????? dxexe xx 2212?? ? x d xeexdee xxxx 21 1)1 1 2222 2 ??????? dxexe xx 2212?? ?
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?
例 5 y?e1?3xcos x? 求 dy?
??e1?3x(3cos x?sin x)dx?
?(cos x)e1?3x(?3dx)?e1?3x(?sin xdx)
dy?d(e1?3xcos x) ?cos xd(e1?3x)?e1?3xd(cos x)
若 y?f(u)? u?j(x)? 则 dy?f ?(u)du?
应用积的微分法则 ? 得解
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例 6 在括号中填入适当的函数 ? 使等式成立 ?
(1) d( )?xdx? (2) d( )?cos w t dt?
(2)因为 d(sin w t)?w cos w tdt? 所以
(1)因为 d(x2)?2xdx? 所以解
)21()(21 22 xdxdxdx ?? ? 即 xdxxd ?)21( 2 ? )21()(21 22 xdxdd x ?? ? 即 xd xxd ?)21( 2 ? )21()(2 22 xdxdx ? ? 即 x d xxd ?)21( 2 ? )21()(21 22 xdxdx d x ?? 即 x d xxd ?)21( 2 ?
一般地 ? 有 x d xCxd ?? )21( 2 ( C 为任意常数 ) ?
) s in1() (s in1 c os tdtdtd t wwwww ?? ? ) s in1() ( s in1 c o s tdtdtd t wwwww ?? ? ) s in1() ( s in1 c o s tdtdtd t wwwww ?? ?
因此 td tCtd c o s) s i n1( www ?? ( C 为任意常数 ) ?
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四、微分在近似计算中的应用
1.函数的近似计算
当函数 y?f(x)在点 x0处的导数 f ?(x)?0? 且 |Dx|很小时 ?
我们有
Dy?dy?f ?(x0)Dx?
f(x0?Dx)?f(x0)?dy?f ?(x0)Dx?
f(x0?Dx)?f(x0)?f ?(x0)Dx?
若令 x?x0?Dx? 即 Dx?x?x0? 那么又有
f(x)?f(x0)?f ?(x0)(x?x0)?
特别当 x0?0时 ? 有 f(x)?f(0)?f ?(0)x?
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例 7 有一批半径为 1cm 的球 ? 为了提高球面的光洁
度 ? 要镀上一层铜 ? 厚度定为 0?01cm? 估计一下每只球需
用铜多少 g (铜的密度是 8?9g/cm3)?
求函数增量的近似公式 ? f(x0?Dx)?f(x0)?f ?(x0)Dx
镀层的体积为
DV?V(R0?DR)?V(R0)
?V ?(R0)DR?4pR02DR
?4?3?14?12?0?01?0?13(cm3)?
于是镀每只球需用的铜约为
0?13?8?9?1?16(g)?
解 已知球体体积为 ? R0?1cm? DR?0?01cm?
334 RV p?
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解 ? 已知 30 ? 30 ? 3606 pp ?? ? 6 0 p?x ? 360p?D x ?
求函数值的近似公式 ? f(x0?Dx)?f(x0)?f ?(x0)Dx
例 8 利用微分计算 sin 30?30?的近似值 ?
? sin x0? cos x0 Dx
即 sin 30?30??0?5076?
sin 30?30??sin(x0?Dx)
解
3606
c os
6
s i n ppp ???
5 0 7 6.03 6 02 321 ???? p ?
解 ? 已知 30 ?30 ? 3606 pp ?? ? 6 0 p?x ? 360p?Dx ? 解 ? 已知 30 ?30 ? 3606 pp ?? ? 6 p? ? 360p?D x ?
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(2)sin x?x (x用弧度作单位来表达 )?
(3)tan x?x(x用弧度作单位来表达 )?
(4)ex?1?x?
(5)ln(1?x)?x?
常用的近似公式 (假定 |x|是较小的数值 )?
求函数在 x?0附近的值的近似公式 ? f(x)?f(0)?f ?(0)x
( 1 ) xnxn 111 ??? ?
例 9 例 3, 计算 05.1 的近似值 ?
解 ? 已知 xnxn 111 ??? ? 故
025.105.021105.0105.1 ?????? ?
解
025.105.021105.0105.1 ?????? ? 025.105.21105.0105.1 ?????? ?
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?绝对误差与相对误差
如果某个量的精确值为 A? 其近似值为 a? 那么 |A?a|叫
做 a的绝对误差 ?
绝对误差 | A ? a | 与 | a | 的比值 || || a aA ? 叫做 a 的相对误差 ?
2.误差估计
?间接测量误差 ?
由于测量仪器的精度, 测量的条件和测量的方法等
各种因素的影响 ? 测得的数据往往带有误差 ? 而根据带有
误差的数据计算所得的结果也会有误差 ? 我们把它叫做
间接测量误差 ?
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如果某个量的精确值是 A? 测得它的近似值是 a? 又知
道它的误差不超过 dA,|A?a|?dA? 则 dA叫做测量 A的绝对误
差限 ?
|| a Ad 叫做测量 A 的相对误差限 ( 简称 绝对误差 ) ?
?绝对误差限与相对误差限
若 x是直接测量值 ? |Dx|?dx ?而 y?f(x)? 那么由
Dy?dy?y?Dx?
有 |Dy|?|dy|?|y?|?|Dx|?|y?|?dx ?
所以测量 y的绝对误差为 dy?|y?|?d x ?
提问,
测量 y的相对误差是什么？
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已知 D?60?03? dD?0?05? 所以
例 10 设测得圆钢截面的直径 D?60?03mm?测量 D的
积时 ?试估计面积的误差 ?
绝对误差限 Dd ? 0 ? 05 ? 利用公式 24 DA p? 计算圆钢的截面
解 ? DDDAdAA D??D????D 2 p ?
解
|D A |?|dA | DDDD dpp ??D?? 2||2 ?
7 1 5.405.003.602 2 ?????? pdpd DA D
%17.0
03.60
05.022
4
2
2
?????
?
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DD
D
A
D
D
A d
p
dpd
?
7 1 5.405.003.602 2 ?????? pdpd DA D
(mm2)?
715405.003.2 2 ?????? pdpd DA D
%17.0
03.60
05.022
4
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D
A
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D
A d
p
dd
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|D |dA | DDDD dpp ??D?? 2||2 ? |D A |? |dA | DD dp ??D? 2|| ?
解 ? DDAdAA D??D????D 2 p ? 解 ? DDDA D??????D 2 p ?
结束
