二、麦克劳林公式
一、泰勒公式
§ 3.3 泰勒公式
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一、泰勒公式
?问题的提出
根据函数的微分,有
f(x)=f(x0)+f ?(x0)(x-x0)+o(x-x0)(当 |x-x0|很小时 ),
略掉 o(x-x0),得到求 f(x)的近似公式
f(x)?f(x0)+f ?(x0)(x-x0)(当 |x-x0|很小时 ),
其误差为
R(x)=f(x)-f(x0)-f ?(x0)(x-x0).
近似公式的不足,精确度不高,误差难于估计,
为了达到一定的精确度要求,可考虑用 n次多项式
Pn(x)来近似表达 f(x).
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设函数 f(x)在含 x0的开区间内具有直到 (n+1)阶导数,
我们希望找出一个关于 (x-x0)的 n次多项式
Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ ???+an(x-x0)n
来近似表达 f(x),我们自然希望 Pn(x)与 f(x)在 x0的各阶导数
(直到 (n+1)阶导数 )相等,
f(x0)=Pn(x0),f?(x0)=Pn?(x0),
f??(x0)=Pn??(x0),f ???(x0)=Pn???(x0),
??????,
f (n)(x0)=Pn(n)(x0).
?多项式 Pn(x)的确定
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Pn(x)=a0+a1(x-x0)+ a2(x-x0)2+ ???+ an (x-x0)n,?(x)= a1+2a2( -x0) +???+nan (x-x0)n-1,??(x)=2a2 +3?2a3(x-x0) +???+n(n-1)an (x-x0)n-2,???(x)=3! 3+4?3?2a4( -x0) +? +n(n-1)(n-2)an (x-x0)n-3,(n) n!an.
?多项式系数的确定
=a0,a0 =f(x0),
=a1,a1 =f ?(x0),
=2!a2,
=3!a3,
??????,
f(x0)=Pn(x0)
f ?(x0)=Pn?(x0)
f ??(x0)=Pn??(x0)
f ???(x0)=Pn???(x0)
f (n)(x0)=Pn(n)(x0) =n!an.
??????,
)(!21 02 xfa ??=,
)(!31 03 xfa ???=,
)(!1 0)( xfna nn =,
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Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ ???+an(x-x0)n
于是所求多项式为
)(!1 0)( xfka kk = ( k = 0,1,2,? ? ?,n ),
=f(x0)+ f ?(x0)(x-x0) (x-x0)2
)(!21 0xf ??+
)(!1 0)( xfn n+
+??? (x-x0) n.
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?多项式系数的确定
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?泰勒中值定理
如果函数 f(x)在含有 x0的某个开区间 (a,b)内具有直到
(n+1)的阶导数,则对任一 x?(a,b),有
展开式称为 f(x)按 (x-x0)的幂展开的 n阶 泰勒公式,
而 Rn(x)的表达式称为 拉格朗日型余项,
200000 ))((!21))(()()( xxxfxxxfxfxf -??+-?+=
+ ? ? ? )())((!1 00)( xRxxxfn nnn +-+,
其中 10)1( )()!1( )()( ++ -+= nnn xxnfxR ? ( ? 介 于 x 0 与 x 之间 ),
其中 (? 介于 x0与 x之间 ).
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如果在区间 (a,b)内,对于某个固定的 n,|f (n+1)(x)|总不
超过一个常数 M,则有估计式,
可见,当 x?x0时,误差 |Rn(x)|是比 (x-x0)n高阶的无穷小,即
Rn(x)=o[(x-x0)n].
?误差估计
及 0)(l i m
0
)(
0
=-
? n
xn
xx xx
R,
1010
)1(
||)!1( |)()!1( )(| |)(| ++
+
-+?-+= nn
n
n xxn
Mxx
n
fxR ?,1
010
)1(
||)!1( |)()!1( )(| |)(| ++
+
-+?-+= nn
n
n xxn
Mxx
n
fxR ?,
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Rn(x)=o[(x-x0)n].
在不需要精确表达余项时,n阶泰勒公式也可写成
200000 ))((!21))(()()( xxxfxxxfxfxf -??+-?+=
+ ? ? ? ])[())((!1 000)( nnn xxoxxxfn -+-+,
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如果在区间 (a,b)内,对于某个固定的 n,|f (n+1)(x)|总不
超过一个常数 M,则有估计式,
?误差估计
1010
)1(
||)!1( |)()!1( )(| |)(| ++
+
-+?-+= nn
n
n xxn
Mxx
n
fxR ?,1
010
)1(
||)!1( |)()!1( )(| |)(| ++
+
-+?-+= nn
n
n xxn
Mxx
n
fxR ?,
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二、麦克劳林公式
?麦克劳林公式
当 x0=0时,泰勒公式及其余项
将变成什么形式？
200000 ))((!21))(()()( xxxfxxxfxfxf -??+-?+=
+ ? ? ? )())((!1 00)( xRxxxfn nnn +-+,
10)1( )(
)!1(
)()( ++ -
+=
nnn xx
n
fxR ?
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提问：
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当 x0=0时,泰勒公式称为麦克劳林公式,
?近似公式
其中 1)1( )!1( )()( +++= nnn xnfxR ?,
)(! )0( !2 )0()0()0()( )(2 xRxnfxfxffxf nnn ++???+??+?+=,
或 )(! )0( !2 )0()0()0()( )(2 nnn xoxnfxfxffxf ++???+??+?+=,
nn xnfxfxffxf ! )0( !2 )0()0()0()( )(2 +???+??+?+?,
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二、麦克劳林公式
?麦克劳林公式
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例 1 写出函数 f(x)=ex的 n阶麦克劳林公式,
解 因为
f(x)=f ?(x)=f ??(x)= ???=f ( n)(x)=ex,
所以
f(0)=f ?(0)=f ??(0)= ???=f ( n)(0)=1,
)(! )0( !2 )0()0()0()( )(2 xRxnfxfxffxf nnn ++???+??+?+=,
于是 12 )!1(!1 !211 ++++???+++= nxnx xn exnxxe ? ( 0 < ? ?? ),
并有 nx xnxxe !1 !211 2 +???+++?,
当 x = 1 时,可得 e 的近似式, !1 !2111 ne x +???+++?,
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例 2 求 f(x)=sin x的 n阶麦克劳林公式,
解 因为
f ???(x)= -cos x,f ??(x)=-sin x,f ?(x)=cos x,
f (0)=0,f ?(0)=1,f ??(0)=0,f ???(0)=-1,
f (4)(0)=0,???,
)(! )0( !2 )0()0()0()( )(2 xRxnfxfxffxf nnn ++???+??+?+=,
xxf s i n)()4( =,? ? ?,)2 s i n ()()( ??+= nxxf n,
于是 )()!12( )1(!51!31s i n 212153 xRxmxxxx mmm +--+???++-= --,
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当 m=1,2,3时,函数曲线的比较,
0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5
3
2
1
0
1
2
s i n ( )x
x
.
1
6
x
3
x
.
1
6
x
3
.
1
120
x
5
x
.
1
6
x
3
.
1
120
x
5
.
1
5040
x
7
x
3
!3
1s in xxx -?,
53
!5
1
!3
1s in xxxx +-? 。 sin x?x，
结束