§ 3.2 洛必达法则
还有其它类型的未定式 ? 0??,???,00,1?,?0?
在函数商的极限中 ? 如果分子和分母同是无穷小或
同是无穷大 ? 那么极限可能存在 ? 也可能不存在 ? 这种极
0
0－或
?
?－ ?限称为未定式 ? 记为
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?未定式
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如果函数 f(x)和 g(x)满足如下条件 ?
(1) f(x)和 g(x)都是当 x?a时的无穷小 (或无穷大 )?
(2) f(x)和 g(x)在点 a的某去心邻域内都可导且 g?(x)?0?
定理证明
说明：
把定理中的,x?a,换成,x??, ? 把条件 (2)换成
“当 |x|>N时 f(x)和 g(x)都可导且 g?(x)?0”? 结论仍然成立 ?
?定理 (洛必达法则 )
( 3 ) )( )(lim xg xf
ax ?
?
?
存在 ( 或为无穷大 ) ?
那么 )( )(l i m xg xf
ax ? )(
)(l i m
xg
xf
ax ?
??
?
?
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?“零比零”型未定式的定值法
例 1
解
例 2
例 2, 求 123lim 23 31 ??? ??? xxx xxx ?
解 ? )1( )23(lim123lim 23 3
123
3
1 ????
????
???
??
?? xxx
xx
xxx
xx
xx
2
3
26
6lim
123
33lim
12
2
1 ?????
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?? x
x
xx
x
xx ?
解 ? )1( )3(lim123lim 23 3
123
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xx
xxx
xx
xx
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3
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6lim
12
33lim
12
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x
xx
x
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3
26
6lim
123
33lim
12
2
1 ?????
??
?? x
x
xx
x
xx ?
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求 型lim ln ( ) ( )x x x? ? ? ? ? ?0 0 0 0? ?
lim ln ( )x x x? ? ? ??0 0 0? 型
? ??
? ?
lim ln ( )
x
x
x
0 0 1
?
型
?
? ?
? ? ?
lim ( )
x
x
x
x
0 0 1
2
1
? ?
?
用罗必达法则
? ? ?
? ?
1 0
0 0?
?lim
x
x
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解
解
例 3 例 3 ? 求
30
s inlim
x
xx
x
?
? ?
解 ? 30 s inlim x xxx ?? 20 3c o s1lim x xx ?? ? x xx 6s inlim 0?? 61? ?
例 4 例 4 ? 求
x
x
x 1
a r c ta n
2lim
?
???
?
?
解 ?
x
x
x 1
a r c t a n
2lim
?
???
?
2
2
1
1
1
lim
x
x
x ?
?
?
?
???
1
1
lim
2
2
?
?
?
??? x
x
x
?
解 ? 30 s inlim x xxx ?? 20 o s1lim xx? ? x xx 6s inlim 0?? 61? ? 解 ? 30 s inx xx ? 20 3c o s1lim x xx ?? x xx 6s inlim 0?? 61? ? 解 ? 30 sinlim xxx ?? 20 3cos1lim x xx ?? ? xxx 6sinlim?? 61? ?
解 ?
x
x
x 1
a r c t a n
2lim
?
???
?
2
2
1
1
1
lim
x
x
x ?
?
?
?
???
1
1
lim
2
2
?
?
?
??? x
x
x
? 解 ?
x
x
x 1
a r c t a n
2lim
?
???
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2
2
1
1
1
lim
x
x
x ?
?
?
?
???
1
1
lim
2
2
?
?
?
??? x
x
x
? 解 ?
x
x
x 1
arctan
2lim
?
???
?
2
2
1
1
1
lim
x
x
x ?
?
?
?
??
1
1 2
2
?
?
?
?? x
x
x
?
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?“零比零”型未定式的定值法
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?“无穷比无穷”型未定式的定值法
解
解
例 5
例 5 ? 求 n
x x
xlnlim
???
( n > 0 ) ?
解 ? n
x x
xlnlim
??? 1
1
lim ?
???
? n
x nx
x 01lim ??
??? nx nx
?
例 6
例 6 ? 求 xnx ex ????lim ( n 为正整数 ? ? > 0 ) ?
解 ? xnx ex????lim xnx enx ?? 1lim ????? x nx e xnn ??2 2)1(lim ???? ?? ? ? ? ?
0!lim ?? ??? xnx en ?? ?
解 ? n
x x
xlnlim
??? 1
1
lim ?
???
? n
x nx
x 01lim ??
??? nx nx
? 解 ? n
x
li
? 1
1
lim ?
???
? n
x nx
x 01lim ??
??? nx nx
? 解 ? n
x x
xlnlim
??? 1
1
lim ?
???
? nnxx 01lim ??
??? nx nx
?
解 ? xnx ex????lim xnx enx ?? 1lim ????? x nx e xnn ?? 2 2)1(lim ???? ?? ? ? ? ? 解 ? xnx ex????lim xnx nx ?? 1lim ????? x nx e xnn ?? 2 2)1(lim ???? ?? ? ? ? ? 解 ? xnx ex????lim xnx enx ?? 1lim ????? x nx e xnn ??2 2)1(lim ?? ?? ? ? ? ?
0!lim ?? ??? xnx en? ?
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?其它类型未定式的定值法
未定式 0??,???,00,1?,?0都可以转化为,零
比零” 型或,无穷比无穷” 型未定式 ?
解
解
例 7
例 7 ? 求 xx nx lnlim 0?? ( n > 0 ) ?
解 ? xx n
x
lnlim
0?? nx x
x
????
lnlim
0 10
1
lim ??
?? ?
? n
x nx
x 0lim
0
???
?? n
x n
x
? 解 ? x
x
lim
0?? nx x
x
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lnlim
0 10
1
lim ??
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x nx
x 0lim
0
???
?? n
x n
x
? 解 ? xx nx lnlim 0?? nx x
x
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lnlim
0 10
1
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x nx
x 0lim
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x n
x
? 解 ? xx n
x
lnlim
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1
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? nnxx 0lim
0
???
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x n
x
? 解 ? xxn
x
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?? nx x
x
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lnlim
0 10
1
lim ??
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x nx
x 0lim
0
??
?? n
xn
x
例 8
例 8 ? 求 xx x0lim?? ?
解 ? xx x0lim?? 1lim 0ln0 ??? ?? ee xxx (根据例 7)? 解 xx x0lim?? 1lim 0ln0 ??? ?? ee xxx (根据例 7 )? 解 ? xx x0lim ?? 1lim 0ln0 ??? ?? ee xxx ( 根据例 7 ) ?
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解
例 9
例 9 ? 求 )t a n( s e clim
2
xx
x
?
? ?
?
解 ? )t a n( s e clim
2
xx
x
?
? ? x
x
x c o s
s in1lim
2
??
? ?
0s inc o slim
2
???
? x
x
x ?
?
未定式 0??,???,00,1?,?0都可以转化为,零
比零” 型或,无穷比无穷” 型未定式 ?
解 ? )t a n( s e clim
2
xx
x
?
? ? x
x
x c o s
s in1lim
2
??
? ?
0s inc o slim
2
???
? x
x
x ?
? 解 ? )t a n( s e clim
2
xx
x
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? ? x
x
x c o s
s in1lim
2
??
? ?
0s inc o slim
2
???
? x
x
x ?
? 解 ? )tan(seclim
2
xx
x
?
?? x
x
x cos
sin1lim
2
??
?
0sincosli
2
??? xx
x ?
?
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?其它类型未定式的定值法
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1? 洛必达法则是求未定式的一种有效方法 ? 但最好
能与其它求极限的方法结合使用 ? 例如能化简时应尽可
能先化简 ? 可以应用等价无穷小替代或重要极限时 ? 应尽
可能应用 ? 这样可以使运算简捷 ?
?应注意的问题
解
例 10
例 10 ? 求 xx xxx s inta nlim 20 ?? ?
解 ? xx xxx s inta nlim 20 ?? 30 ta nlim x xxx ?? ? 220 3 1s e clim x xx ?? ?
x
xx
x 6
ta ns e c2lim 2
0?
? 31ta ns e clim31 2
0
???
? x
xx
x
?
解 ? xx xxx s inta nlim 20 ?? 30 ta nlim x xxx ?? ? 220 3 1s e clim x xx ?? ? 解 ? xx xxx s inta nlim 20 ?? 30 ta nlim xxx ?? ? 220 3 1s e clim x xx ?? ?
x
xx
x 6
ta ns e c2lim 2
0?
? 31ta ns e clim31 2
0
???
? x
xx
x
? x xx
x 6
tansec2lim 2
0?
? 31taneclim31 2
0
???
? x
xx
x
?
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2? 本节定理给出的是求未定式的一种方法 ? 当定理
条件满足时 ? 所求的极限当然存在 (或为 ?)? 但定理条件
不满足时 ? 所求极限却不一定不存在 ?
所以不能用洛必达法则 ? 但其极限是存在的 ?
解
例 11
例 11 ? 求 x xxx s inlim ???? ?
解 ? 因为极限 )( )s i n(lim ? ??
??? x
xx
x 1
c o s1l i m x
x
??
??? 不存在 ?
x
xx
x
s inlim ?
??? 1)
s in1(lim ???
??? x
x
x ?
解 ? 因为极限 )( )s in(lim ? ??
??? x
xx
x 1
c o s1lim x
x
??
??? 不存在 ? 解 ? 因为极限 )(
)s in(lim
?
??
??? x
xx
x 1
c o s1lim
x
??
? 不存在 ?
x
xx
x
s inlim ?
??? 1)
in1(lim ???
??? x
x
x ? x
xx
x
sinlim ?
??? 1)
sin1(lim ???
??? x
x
x ?
结束
?应注意的问题
还有其它类型的未定式 ? 0??,???,00,1?,?0?
在函数商的极限中 ? 如果分子和分母同是无穷小或
同是无穷大 ? 那么极限可能存在 ? 也可能不存在 ? 这种极
0
0－或
?
?－ ?限称为未定式 ? 记为
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?未定式
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如果函数 f(x)和 g(x)满足如下条件 ?
(1) f(x)和 g(x)都是当 x?a时的无穷小 (或无穷大 )?
(2) f(x)和 g(x)在点 a的某去心邻域内都可导且 g?(x)?0?
定理证明
说明：
把定理中的,x?a,换成,x??, ? 把条件 (2)换成
“当 |x|>N时 f(x)和 g(x)都可导且 g?(x)?0”? 结论仍然成立 ?
?定理 (洛必达法则 )
( 3 ) )( )(lim xg xf
ax ?
?
?
存在 ( 或为无穷大 ) ?
那么 )( )(l i m xg xf
ax ? )(
)(l i m
xg
xf
ax ?
??
?
?
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?“零比零”型未定式的定值法
例 1
解
例 2
例 2, 求 123lim 23 31 ??? ??? xxx xxx ?
解 ? )1( )23(lim123lim 23 3
123
3
1 ????
????
???
??
?? xxx
xx
xxx
xx
xx
2
3
26
6lim
123
33lim
12
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?? x
x
xx
x
xx ?
解 ? )1( )3(lim123lim 23 3
123
3
1 ???
????
???
??
?? xxx
xx
xxx
xx
xx
2
3
26
6lim
12
33lim
12
2
1 ?????
??
?? x
x
xx
x
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3
26
6lim
123
33lim
12
2
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x
xx
x
xx ?
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求 型lim ln ( ) ( )x x x? ? ? ? ? ?0 0 0 0? ?
lim ln ( )x x x? ? ? ??0 0 0? 型
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lim ln ( )
x
x
x
0 0 1
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型
?
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lim ( )
x
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0 0 1
2
1
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?
用罗必达法则
? ? ?
? ?
1 0
0 0?
?lim
x
x
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解
解
例 3 例 3 ? 求
30
s inlim
x
xx
x
?
? ?
解 ? 30 s inlim x xxx ?? 20 3c o s1lim x xx ?? ? x xx 6s inlim 0?? 61? ?
例 4 例 4 ? 求
x
x
x 1
a r c ta n
2lim
?
???
?
?
解 ?
x
x
x 1
a r c t a n
2lim
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??? x
x
x
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解 ? 30 s inlim x xxx ?? 20 o s1lim xx? ? x xx 6s inlim 0?? 61? ? 解 ? 30 s inx xx ? 20 3c o s1lim x xx ?? x xx 6s inlim 0?? 61? ? 解 ? 30 sinlim xxx ?? 20 3cos1lim x xx ?? ? xxx 6sinlim?? 61? ?
解 ?
x
x
x 1
a r c t a n
2lim
?
???
?
2
2
1
1
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x
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?
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x
x
x 1
a r c t a n
2lim
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x
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? 解 ?
x
x
x 1
arctan
2lim
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lim
x
x
x ?
?
?
?
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1
1 2
2
?
?
?
?? x
x
x
?
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?“零比零”型未定式的定值法
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?“无穷比无穷”型未定式的定值法
解
解
例 5
例 5 ? 求 n
x x
xlnlim
???
( n > 0 ) ?
解 ? n
x x
xlnlim
??? 1
1
lim ?
???
? n
x nx
x 01lim ??
??? nx nx
?
例 6
例 6 ? 求 xnx ex ????lim ( n 为正整数 ? ? > 0 ) ?
解 ? xnx ex????lim xnx enx ?? 1lim ????? x nx e xnn ??2 2)1(lim ???? ?? ? ? ? ?
0!lim ?? ??? xnx en ?? ?
解 ? n
x x
xlnlim
??? 1
1
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???
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x nx
x 01lim ??
??? nx nx
? 解 ? n
x
li
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1
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???
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x nx
x 01lim ??
??? nx nx
? 解 ? n
x x
xlnlim
??? 1
1
lim ?
???
? nnxx 01lim ??
??? nx nx
?
解 ? xnx ex????lim xnx enx ?? 1lim ????? x nx e xnn ?? 2 2)1(lim ???? ?? ? ? ? ? 解 ? xnx ex????lim xnx nx ?? 1lim ????? x nx e xnn ?? 2 2)1(lim ???? ?? ? ? ? ? 解 ? xnx ex????lim xnx enx ?? 1lim ????? x nx e xnn ??2 2)1(lim ?? ?? ? ? ? ?
0!lim ?? ??? xnx en? ?
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?其它类型未定式的定值法
未定式 0??,???,00,1?,?0都可以转化为,零
比零” 型或,无穷比无穷” 型未定式 ?
解
解
例 7
例 7 ? 求 xx nx lnlim 0?? ( n > 0 ) ?
解 ? xx n
x
lnlim
0?? nx x
x
????
lnlim
0 10
1
lim ??
?? ?
? n
x nx
x 0lim
0
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? 解 ? x
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0?? nx x
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0 10
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?? ?
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x 0lim
0
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? 解 ? xx nx lnlim 0?? nx x
x
????
lnlim
0 10
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x nx
x 0lim
0
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? 解 ? xx n
x
lnlim
0?? x ??
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0 10
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? nnxx 0lim
0
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x
? 解 ? xxn
x
lnlim
?? nx x
x
????
lnlim
0 10
1
lim ??
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x nx
x 0lim
0
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xn
x
例 8
例 8 ? 求 xx x0lim?? ?
解 ? xx x0lim?? 1lim 0ln0 ??? ?? ee xxx (根据例 7)? 解 xx x0lim?? 1lim 0ln0 ??? ?? ee xxx (根据例 7 )? 解 ? xx x0lim ?? 1lim 0ln0 ??? ?? ee xxx ( 根据例 7 ) ?
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解
例 9
例 9 ? 求 )t a n( s e clim
2
xx
x
?
? ?
?
解 ? )t a n( s e clim
2
xx
x
?
? ? x
x
x c o s
s in1lim
2
??
? ?
0s inc o slim
2
???
? x
x
x ?
?
未定式 0??,???,00,1?,?0都可以转化为,零
比零” 型或,无穷比无穷” 型未定式 ?
解 ? )t a n( s e clim
2
xx
x
?
? ? x
x
x c o s
s in1lim
2
??
? ?
0s inc o slim
2
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x
x ?
? 解 ? )t a n( s e clim
2
xx
x
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x
x c o s
s in1lim
2
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2
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? 解 ? )tan(seclim
2
xx
x
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?? x
x
x cos
sin1lim
2
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?
0sincosli
2
??? xx
x ?
?
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?其它类型未定式的定值法
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1? 洛必达法则是求未定式的一种有效方法 ? 但最好
能与其它求极限的方法结合使用 ? 例如能化简时应尽可
能先化简 ? 可以应用等价无穷小替代或重要极限时 ? 应尽
可能应用 ? 这样可以使运算简捷 ?
?应注意的问题
解
例 10
例 10 ? 求 xx xxx s inta nlim 20 ?? ?
解 ? xx xxx s inta nlim 20 ?? 30 ta nlim x xxx ?? ? 220 3 1s e clim x xx ?? ?
x
xx
x 6
ta ns e c2lim 2
0?
? 31ta ns e clim31 2
0
???
? x
xx
x
?
解 ? xx xxx s inta nlim 20 ?? 30 ta nlim x xxx ?? ? 220 3 1s e clim x xx ?? ? 解 ? xx xxx s inta nlim 20 ?? 30 ta nlim xxx ?? ? 220 3 1s e clim x xx ?? ?
x
xx
x 6
ta ns e c2lim 2
0?
? 31ta ns e clim31 2
0
???
? x
xx
x
? x xx
x 6
tansec2lim 2
0?
? 31taneclim31 2
0
???
? x
xx
x
?
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2? 本节定理给出的是求未定式的一种方法 ? 当定理
条件满足时 ? 所求的极限当然存在 (或为 ?)? 但定理条件
不满足时 ? 所求极限却不一定不存在 ?
所以不能用洛必达法则 ? 但其极限是存在的 ?
解
例 11
例 11 ? 求 x xxx s inlim ???? ?
解 ? 因为极限 )( )s i n(lim ? ??
??? x
xx
x 1
c o s1l i m x
x
??
??? 不存在 ?
x
xx
x
s inlim ?
??? 1)
s in1(lim ???
??? x
x
x ?
解 ? 因为极限 )( )s in(lim ? ??
??? x
xx
x 1
c o s1lim x
x
??
??? 不存在 ? 解 ? 因为极限 )(
)s in(lim
?
??
??? x
xx
x 1
c o s1lim
x
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? 不存在 ?
x
xx
x
s inlim ?
??? 1)
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??? x
x
x ? x
xx
x
sinlim ?
??? 1)
sin1(lim ???
??? x
x
x ?
结束
?应注意的问题
