§ 3,6 函数图形的描绘
用描点法作函数图形需要计算许多点,才能画出较
精确的函数图形,
当我们对函数曲
线的性态有了全面了
解之后,只需少数几
个点就能画出较精确
的函数图形,
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(1)确定函数的定义域 ?
(2)求函数的一阶和二阶导数,求出一阶, 二阶导数
为零的点,求出一阶, 二阶导数不存在的点 ?
(3)列表分析,确定曲线的单调性和凹凸性 ?
(4)确定曲线的渐近性 ?
(5)确定并描出曲线上极值对应的点, 拐点, 与坐标
轴的交点, 其它点 ?
(6)联结这些点画出函数的图形,
?描绘函数图形的一般步骤
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例 1 画出函数 y?x 3-x 2-x+1的图形,
解 (1)函数的定义域为 (-?,+?).
(2)f ?(x)?3x2-2x-1?(3x+1)(x-1),f ??(x)?6x-2?2(3x-1).
令 f ?(x)?0得 x?-1/3,1? 令 f ??(x)?0得 x?1/3.
(3)曲线性态分析表 ?
f ?(x)
f ??(x)
f (x)
＋ ＋－ － －0 0
－ －－ 0 ＋＋＋
32/27极大 0极小16/27拐点 ↗∪↘∪↗ ∩ ↘ ∩
(4)特殊点的函数值 ? f(0)?1,f(-1)?0,f(3/2)?5/8.
(-?,-1/3) -1/3 (-1/3,1/3) 1/3 (1/3,1) (1,+?)1x
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描点联线画出图形,
特殊点的函数值 ? f(0)?1,f(-1)?0,f(3/2)?5/8.
)2732,31(-
)2716,31( )85,23(
y?x3-x2-x+1
f (x)
(-?,-1/3) -1/3 (-1/3,1/3) 1/3 (1/3,1) (1,+?)1
32/27极大 0极小16/27拐点 ↗∪↘∪↗ ∩ ↘ ∩
x
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例 1 画出函数 y?x 3-x 2-x+1的图形,
解 曲线性态分析表 ?
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解 (1)函数 f(x)的定义域为 (-?,+?),
f(x)是 偶函数,图形关于 y 轴对称,
例 2, 作函数 22121)( xexf -? ? 的图形, 例 2
令 f ?(x)?0,得 x?0?令 f ??(x)?0,得 x?-1和 x?1.
(3)曲线性态分析表 ?
极大
?2
1
e?2
1 拐点
(1,+?)1(0,1)0x
f ?(x)
f ??(x)
y?f(x)的图形
0 － －－
－ 0 ＋－
↘ ∩ ↘∪
(4)曲线有水平渐近线 y?0.
( 2 ) 2212)( xexxf --?? ?,2212 )1)(1()( xexxxf --+??? ?, ( 2 ) 2212)( xexxf --?? ?,2212 )1)(1()( xexxf --+??? ?,
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0.5
1
y?0是曲线的水平渐近线,
极大
?2
1
e?2
1 拐点
(1,+?)1(0,1)0x
y?f(x)的图形 ↘ ∩ ↘∪
先作出区间 (0,+?)内的图形,然后利用对称性作出区间
(-?,0)内的图形,
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解 函数性态分析表 ?
例 2, 作函数 22121)( xexf -? ? 的图形, 例 2
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例 3, 作函数 2)3( 361 ++? x xy 的图形,
例 3
解 (1)函数的定义域为 (-?,-3)?(-3,+?).
令 f ?(x)?0得 x?3,令 f ??(x)?0得 x?6.
(3)曲线性态分析表 ?
(-?,-3) (-3,3) 3 (3,6) 6 (6,+?)x
f ?(x)
f ??(x)
y?f(x)的图形
－
－ － － －
－－－＋
＋0
0
?) ?) ?) ?*11/3拐点4极大
(4)曲线有铅直渐近线 x?-3与水平渐近线 y?1.
(5)特殊点的函数值 ?f(0)?1,f(-1)?-8,f(-9)?-8,
f(-15)?-11/4.
( 2 ) 3)3( )3(36)( + -?? x xxf,4)3( )6(72)( + -??? x xxf,
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63 9 12-3-6-9-12-15
3
-3
(-?,-3) (-3,3) 3 (3,6) 6 (6,+?)x
y?f(x)的图形 ?) ?) ?) ?*11/3拐点4极大
铅直渐近线为 x?-3,水平渐近线为 y?1.
f(0)?1,f(-1)?-8,f(-9)?-8,f(-15)?-11/4.
y?1
x?-3
(3,4) )
311,6(
(-1,-8)(-9,-8)
)411,15( --
结束
例 3, 作函数 2)3( 361 ++? x xy 的图形,
例 3
解 函数性态分析表 ?
用描点法作函数图形需要计算许多点,才能画出较
精确的函数图形,
当我们对函数曲
线的性态有了全面了
解之后,只需少数几
个点就能画出较精确
的函数图形,
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(1)确定函数的定义域 ?
(2)求函数的一阶和二阶导数,求出一阶, 二阶导数
为零的点,求出一阶, 二阶导数不存在的点 ?
(3)列表分析,确定曲线的单调性和凹凸性 ?
(4)确定曲线的渐近性 ?
(5)确定并描出曲线上极值对应的点, 拐点, 与坐标
轴的交点, 其它点 ?
(6)联结这些点画出函数的图形,
?描绘函数图形的一般步骤
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例 1 画出函数 y?x 3-x 2-x+1的图形,
解 (1)函数的定义域为 (-?,+?).
(2)f ?(x)?3x2-2x-1?(3x+1)(x-1),f ??(x)?6x-2?2(3x-1).
令 f ?(x)?0得 x?-1/3,1? 令 f ??(x)?0得 x?1/3.
(3)曲线性态分析表 ?
f ?(x)
f ??(x)
f (x)
＋ ＋－ － －0 0
－ －－ 0 ＋＋＋
32/27极大 0极小16/27拐点 ↗∪↘∪↗ ∩ ↘ ∩
(4)特殊点的函数值 ? f(0)?1,f(-1)?0,f(3/2)?5/8.
(-?,-1/3) -1/3 (-1/3,1/3) 1/3 (1/3,1) (1,+?)1x
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描点联线画出图形,
特殊点的函数值 ? f(0)?1,f(-1)?0,f(3/2)?5/8.
)2732,31(-
)2716,31( )85,23(
y?x3-x2-x+1
f (x)
(-?,-1/3) -1/3 (-1/3,1/3) 1/3 (1/3,1) (1,+?)1
32/27极大 0极小16/27拐点 ↗∪↘∪↗ ∩ ↘ ∩
x
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例 1 画出函数 y?x 3-x 2-x+1的图形,
解 曲线性态分析表 ?
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解 (1)函数 f(x)的定义域为 (-?,+?),
f(x)是 偶函数,图形关于 y 轴对称,
例 2, 作函数 22121)( xexf -? ? 的图形, 例 2
令 f ?(x)?0,得 x?0?令 f ??(x)?0,得 x?-1和 x?1.
(3)曲线性态分析表 ?
极大
?2
1
e?2
1 拐点
(1,+?)1(0,1)0x
f ?(x)
f ??(x)
y?f(x)的图形
0 － －－
－ 0 ＋－
↘ ∩ ↘∪
(4)曲线有水平渐近线 y?0.
( 2 ) 2212)( xexxf --?? ?,2212 )1)(1()( xexxxf --+??? ?, ( 2 ) 2212)( xexxf --?? ?,2212 )1)(1()( xexxf --+??? ?,
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0.5
1
y?0是曲线的水平渐近线,
极大
?2
1
e?2
1 拐点
(1,+?)1(0,1)0x
y?f(x)的图形 ↘ ∩ ↘∪
先作出区间 (0,+?)内的图形,然后利用对称性作出区间
(-?,0)内的图形,
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解 函数性态分析表 ?
例 2, 作函数 22121)( xexf -? ? 的图形, 例 2
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例 3, 作函数 2)3( 361 ++? x xy 的图形,
例 3
解 (1)函数的定义域为 (-?,-3)?(-3,+?).
令 f ?(x)?0得 x?3,令 f ??(x)?0得 x?6.
(3)曲线性态分析表 ?
(-?,-3) (-3,3) 3 (3,6) 6 (6,+?)x
f ?(x)
f ??(x)
y?f(x)的图形
－
－ － － －
－－－＋
＋0
0
?) ?) ?) ?*11/3拐点4极大
(4)曲线有铅直渐近线 x?-3与水平渐近线 y?1.
(5)特殊点的函数值 ?f(0)?1,f(-1)?-8,f(-9)?-8,
f(-15)?-11/4.
( 2 ) 3)3( )3(36)( + -?? x xxf,4)3( )6(72)( + -??? x xxf,
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3
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(-?,-3) (-3,3) 3 (3,6) 6 (6,+?)x
y?f(x)的图形 ?) ?) ?) ?*11/3拐点4极大
铅直渐近线为 x?-3,水平渐近线为 y?1.
f(0)?1,f(-1)?-8,f(-9)?-8,f(-15)?-11/4.
y?1
x?-3
(3,4) )
311,6(
(-1,-8)(-9,-8)
)411,15( --
结束
例 3, 作函数 2)3( 361 ++? x xy 的图形,
例 3
解 函数性态分析表 ?
