§ 5.3 定积分的换元法和分部积分法
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一、定积分的换元法
二、定积分的分部积分法
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一、定积分的换元法
假设函数 f(x)在区间 [a,b]上连续,函数 x=?(t)满足条件,
(1)?(a)=a,?(?)=b;
(2)?(t)在 [a,?](或 [?,a])上具有连续导数,且其值域不越
出 [a,b],则有
dtttfdxxfba )()]([)( ???a ?= ?? ?
定理证明
?定理
—— 换元公式,
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?? ?? = 20s i n0 22 c o sc o s
?
td tatadxxa taxa 令 解
例 1 计算 ? ?a dxxa0 22 ( a > 0 ) ? 例 1
提示：
tataaxa c o ss i n 22222 =?=?,t dtadx c os= ? tataaxa c o ss in 22222 =?=?,t dtadx c os= ?
?? ?== 20
2
2
0
22 )2c o s1(
2c o s
??
dttat d ta
22
0
2
4
1]2s in
2
1[
2 att
a ?? =?= ?
?? == 20
2
2
0
22 )2c o s1(
2c o s
??
dttat d ta
22
0
2
4
1]2sin
2
1[
2 att
a ?? =?= ?
dtttfdxxf txba )()]([ )( )( ???a? ??? =令 ( 当 x = a 时 t = a,当 x = b 时 t = ? ) ?
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?? ?? = 20sin0 22 coscos
?
tdtatadxxa taxa 令 ?? ?? = 20s i n0 22 c o sc o s
?
td ttdxxa taxa 令
当 x = 0 时 t = 0,当 x = a 时 2?=t ?
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例 2 计算 x d xx s i nc o s 520? ? ?
例 2
解 xxdx d xx c o sc o ss inc o s 5
2
0
52
0 ?? ?=
??
xxdx d xx c o sc o ss inc o s 520520 ?? ?=
??
xxdx d xx c o sc o ss inc o s 520520 ?? ?=
??
6
10c o s
6
1
2c o s6
1]c o s
6
1[ 662
0
6 =??=?= ??x ?
6
10c o s
6
1
2c o s6
1]c o s
6
1[ 662
0
6 =??=?= ??x ?
6
1]
6
1[ 1
0
61
0
50
1
5cos ===? ??= tdttdtttx令 ?
6
1]
6[
1
0
61
0
50
1
5cos ===? ??= tdttdtttx令 ?
6
1]
6
1[ 1
0
61
0
50
1
5cos ===? ??= tdttdtttx令 ?
6
1]
6[
1
0
61
0
50
1
5cos ===? ??= tdttdtttx令 ?
6
1]
6
1[ 1
0
61
0
50
1
5cos ==? ??= tdttdtttx令 ?
xxdx d xx c o sc o ss inc o s 520520 ?? ?=
??
或
提示：
当 x = 0 时 t = 1,当 2?=x 时 t = 0 ?
dtttfdxxf txba )()]([ )( )( ???a? ??? =令 ( 当 x = a 时 t = a,当 x = b 时 t = ? ) ?
提示：
换元一定要换积分限,不换元积分限不变 ?
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解
例 3 例 3 计算 ? ??
0
53 s i ns i n dxxx ?
dxxxdxxx |c o s|s ins ins in 2
3
00
53 ?? =? ?? dxxxdxxx |c o s|s ins ins in 23
00
53 ?? =? ??
?? ?= ??? 2 2320 23 c o ss i nc o ss i n x d xxx d xx
?? ?= ??? 2 2320 23 s i ns i ns i ns i n xxdxxd
提示：
|c o s|s i n)s i n1(s i ns i ns i n 232353 xxxxxx =?=? ?
在 ]2,0[ ? 上 | c o s x |= c o s x,在 ],2[ ?? 上 | c o s x |= ? c o s x ?
dtttfdxxf txba )()]([ )( )( ???a? ??? =令 ( 当 x = a 时 t = a,当 x = b 时 t = ? ) ?
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5
4)
5
2(
5
2]s i n
5
2[]s i n
5
2[
2
2
5
2
0
2
5
=??=?= ??
?
xx ? 54)52(52]s in52[]s in52[
2
2
5
2
0
2
5
=??=?= ??
?
x ?
解
例 3 例 3 计算 ? ??
0
53 s i ns i n dxxx ?
dxxxdxxx |c o s|s ins ins in 2
3
00
53 ?? =? ?? dxxxdxxx |c o s|s ins ins in 23
00
53 ?? =? ??
?? ?= ??? 2 2320 23 c o ss i nc o ss i n x d xxx d xx
?? ?= ??? 2 2320 23 s i ns i ns i ns i n xxdxxd
dtttfdxxf txba )()]([ )( )( ???a? ??? =令 ( 当 x = a 时 t = a,当 x = b 时 t = ? ) ?
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提示：
解 ??? ?=?
??
?
? =? 3
1
23
1
2
124
0
)3(21
22 1
12
2 dtttd t
t
t
dx
x
x tx令 解
例 4
例 4 计算 dxxx? ??40 12 2 ?
3
22)]3
3
1()9
3
27[(
2
1]3
3
1[
2
1 3
1
3 =???=?= tt ?
3
22)]3
3
1()9
3
27[(
2
1]3
3
1[
2
1 3
1
3 =???=?= tt ?
2
12 ?= tx,dx = td t; 当 x = 0 时 t= 1,当 x = 4 时 t= 3 ?
2
12 ?= tx,dx = td t ; 当 x = 0 时 t = 1,当 x = 4 时 t = 3 ?
解 ??? ?=?
??
?
? =? 3
1
23
1
2
124
0
)3(21
22 1
2
2 dtttd t
t
t
dx
x
x tx令 解 ??? ???
?
?
? =? 3
1
23
1
2
124
0
)3(21
22 1
12
2 dtttd
t
t
dx
x
x tx令 解 ??? ?=??
?
?
? =? 3
1
23
1
124
0
)3(21
21
12
2 dtttd t
t
t
dx
x
x tx令
dtttfdxxf txba )()]([ )( )( ???a? ??? =令 ( 当 x = a 时 t = a,当 x = b 时 t = ? ) ?
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证明
例 5 证明,若 f(x)在 [?a,a]上连续且为偶函数,则
?? =? aa a dxxfdxxf 0 )(2)( ?
证明 因为 dxxfdxxfdxxf aaa a )()()( 00 ??? ?= ??,
而 ???? ?=?=???=? aaatxa dxxfdttfdttfdxxf 0000 )()()( )( 令,
所以当 f(x)为偶函数时,有
??? ??=? aaa a dxxfdxxfdxxf 00 )()()(
??? ==??= ? aa aa dxxfdxxfdxxfxf 00 )(2)(2)]()([ ?
而 ???? ?=?=???=? aaatxa dxxfdttfdttfdxxf 0000 )()()( )( 令,而 ???? ?=?=??=? aaatxa dxxfdttfdttfdxxf 0000 )()()( )( 令,而 ? ?=? txa fdxxf0 )( 令而 ??? ??=???=? aatxa dxxfdttfdttfdxxf 0000 )()()( )( 令,
??? ==??= ? aaaa dxxfdxxfdxxfxf 00 )(2)(2)]()([ ? ??? ==??= ? aa aa dxxfdxxfdxxfxf 00 )(2)(2)]()([ ?
讨论：
若 f ( x ) 在 [ ? a,a ] 上连续且为奇函数,问 =??a a dxxf )(？
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证明
例 6 若 f(x)在 [0,1]上连续,证明
( 2 ) ?? = ?? ? 00 )( s i n2 )( s i n dxxfdxxxf ?
( 1 ) ?? = 2020 )( c o s)( s i n
??
dxxfdxxf ;
证明 ( 1 ) 令 tx ?= 2?,则
dttfdxxf )]2[ s in ()( s in 0
2
2
0 ??= ??
?
?
?
?? =?= 2020 )( c o s)]2[ s in (
?? ?
dxxfdttf ?
dttfdxxf )]2[ s in ()( s in 0
2
2
0 ??= ??
?
?
?
?? =?= 2020 )( c o s)]2[ s in (
?? ?
dxxfdttf ?
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f x dxaa ( )?? = 00)( =?
?
a
a
dxxf
0)( =?
?
a
a
dxxf
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(2)令 x=??t?因为
例 6 若 f(x)在 [0,1]上连续,证明
( 2 ) ?? = ?? ? 00 )( s i n2 )( s i n dxxfdxxxf ?
( 1 ) ?? = 2020 )( c o s)( s i n
??
dxxfdxxf ;
证明
?? ???= 00 )][ s in ()()( s in ?? ?? dttftdxxxf
?? ?=??= ?? ??? 00 )( s in)()][ s i n ()( dttftdttft
?? ?= ??? 00 )( s i n)( s i n dtttfdttf
?? ?= ??? 00 )( s i n)( s i n dxxxfdxxf
所以 ?? = ?? ? 00 )( s i n2 )( s i n dxxfdxxxf ?
? ???= 00 )][ s i n ()()( s i n ?? ?? dttftdxxxf
?? ?=??= ?? ?? 00 )( s in)()][ s in)( dttftdttft
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提示：
解 设 x?2=t,则
???? ??? ??==? 20012141 2c o s1 1)()2( dttedttdttfdxxf t
2
1
2
1
2
1t a n]
2
1[]
2[ t a n
42
0
0
1
2 ??=?= ??
? ee
t t ?
???? ??? ??== 20012141 2c o s1 1)()2( dttedttdttfdxxf t ???? ??? ??==? 200 12 141 2c o s1 1)()2( dttedttdttfdxxf t
2
1
2
1
2
1t a n]
2
1[]
2[ t a n
42
0
0
1
2 ??=?= ??
? ee
t t ?
例 7 例 7 设函数
??
?
?
?
<<??
?
=
?
01 c o s1 1
0
)(
2
xx
xxe
xf
x
,计算 ? ?4
1
)2( dxxf ??
当 x=1时 t=?1,当 x=4时 t=2?
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二、定积分的分部积分法
设函数 u(x),v(x)在区间 [a,b]上具有连续导数 ?
分部积分过程：
由 (uv)?=u?v?uv?,
得 uv?=(uv)??u?v,
等式两端在区间 [a,b]上积分得
v d xuuvdxvu bababa ??=? ?? ][,或 v d uuvu d v bababa ?? ?= ][ ? v d xuuvdxvu bababa ??=? ?? ][,或 v d uuvu d v bababa ?? ?= ][ ?
这就是定积分的分部积分公式 ?
][][ ???=??=?==? ???? v d xuuvv d uuvudvdxvu babababababa ?
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][][ ???=??=?==? ???? v d xuuvv d uuvudvdxvu babababababa ?
分部积分过程：
解
例 8 例 1 计算 x d xa r c s in21
0? ?
解 x d xa r c s in2
1
0? xxdxx a r c s in]a r c s in[
2
1
0
2
1
0 ??=
)1(
1
1
2
1
12162
1 2
2
2
1
02
2
1
0 xdxdxx
x ?
?
?=
?
??= ?? ??
12312]1[12 2
1
0
2 ??=??= ?? x ?
解 x d xa r c s i n2
1
0? xxdxx a r c s i n]a r c s i n
2
1
0
2
1
0 ??=
)1(
1
1
2
1
12162
1 2
2
2
1
02
2
1
0 xdxdxx
x ?
?
?=
?
??= ?? ??
12312]1[12 2
1
0
2 ??=??= ?? x ?
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解
例 2 计算 ?10 dxe x ? 例 9
][][ ???=??=?==? ???? v d xuuvv d uuvudvdxvu babababababa ?
分部积分过程：
解 ??? == 101010 22 tttxx tdetdtedxe 令
2 ][222 ][2 101010 =?=?= ? ttt eedtete ?
解 ??? == 101010 22 tttxx tdetedxe 令 解 ??? == 101010 22 tttxx tdetdtedxe 令 解 ??? == 1010 22 tttx td etd tee 令
2 ][222 ][2 10010 =?=?= ? ttt eedtete ?
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解
? ??= ?20 2 )s i n( s i n)1(
?
dxxxn nn
例 10 例 1 0 求 ?= 2
0 s in
? x d xI n
n ?
解 ?? ??== 20 120 c o ss ins in ?? xxdx d xI nnn
?? ???= ? 2020 2 s i n)1(s i n)1(
??
x d xnx d xn nn
nn InIn )1()1( 1 ???= ?,
由此得 21 ??= nn InnI ?
由此得
? ?? ??= 20 1201 s i nc o s]s i n[ c o s
??
xxdxx nn
? ??= 20 22 s i nc o s)1(
?
x d xxn n
解 ?? ??== 20 120 c o ss ins in ?? xxdx d xI nnn
练习 结束
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一、定积分的换元法
二、定积分的分部积分法
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一、定积分的换元法
假设函数 f(x)在区间 [a,b]上连续,函数 x=?(t)满足条件,
(1)?(a)=a,?(?)=b;
(2)?(t)在 [a,?](或 [?,a])上具有连续导数,且其值域不越
出 [a,b],则有
dtttfdxxfba )()]([)( ???a ?= ?? ?
定理证明
?定理
—— 换元公式,
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?? ?? = 20s i n0 22 c o sc o s
?
td tatadxxa taxa 令 解
例 1 计算 ? ?a dxxa0 22 ( a > 0 ) ? 例 1
提示：
tataaxa c o ss i n 22222 =?=?,t dtadx c os= ? tataaxa c o ss in 22222 =?=?,t dtadx c os= ?
?? ?== 20
2
2
0
22 )2c o s1(
2c o s
??
dttat d ta
22
0
2
4
1]2s in
2
1[
2 att
a ?? =?= ?
?? == 20
2
2
0
22 )2c o s1(
2c o s
??
dttat d ta
22
0
2
4
1]2sin
2
1[
2 att
a ?? =?= ?
dtttfdxxf txba )()]([ )( )( ???a? ??? =令 ( 当 x = a 时 t = a,当 x = b 时 t = ? ) ?
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?? ?? = 20sin0 22 coscos
?
tdtatadxxa taxa 令 ?? ?? = 20s i n0 22 c o sc o s
?
td ttdxxa taxa 令
当 x = 0 时 t = 0,当 x = a 时 2?=t ?
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例 2 计算 x d xx s i nc o s 520? ? ?
例 2
解 xxdx d xx c o sc o ss inc o s 5
2
0
52
0 ?? ?=
??
xxdx d xx c o sc o ss inc o s 520520 ?? ?=
??
xxdx d xx c o sc o ss inc o s 520520 ?? ?=
??
6
10c o s
6
1
2c o s6
1]c o s
6
1[ 662
0
6 =??=?= ??x ?
6
10c o s
6
1
2c o s6
1]c o s
6
1[ 662
0
6 =??=?= ??x ?
6
1]
6
1[ 1
0
61
0
50
1
5cos ===? ??= tdttdtttx令 ?
6
1]
6[
1
0
61
0
50
1
5cos ===? ??= tdttdtttx令 ?
6
1]
6
1[ 1
0
61
0
50
1
5cos ===? ??= tdttdtttx令 ?
6
1]
6[
1
0
61
0
50
1
5cos ===? ??= tdttdtttx令 ?
6
1]
6
1[ 1
0
61
0
50
1
5cos ==? ??= tdttdtttx令 ?
xxdx d xx c o sc o ss inc o s 520520 ?? ?=
??
或
提示：
当 x = 0 时 t = 1,当 2?=x 时 t = 0 ?
dtttfdxxf txba )()]([ )( )( ???a? ??? =令 ( 当 x = a 时 t = a,当 x = b 时 t = ? ) ?
提示：
换元一定要换积分限,不换元积分限不变 ?
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解
例 3 例 3 计算 ? ??
0
53 s i ns i n dxxx ?
dxxxdxxx |c o s|s ins ins in 2
3
00
53 ?? =? ?? dxxxdxxx |c o s|s ins ins in 23
00
53 ?? =? ??
?? ?= ??? 2 2320 23 c o ss i nc o ss i n x d xxx d xx
?? ?= ??? 2 2320 23 s i ns i ns i ns i n xxdxxd
提示：
|c o s|s i n)s i n1(s i ns i ns i n 232353 xxxxxx =?=? ?
在 ]2,0[ ? 上 | c o s x |= c o s x,在 ],2[ ?? 上 | c o s x |= ? c o s x ?
dtttfdxxf txba )()]([ )( )( ???a? ??? =令 ( 当 x = a 时 t = a,当 x = b 时 t = ? ) ?
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5
4)
5
2(
5
2]s i n
5
2[]s i n
5
2[
2
2
5
2
0
2
5
=??=?= ??
?
xx ? 54)52(52]s in52[]s in52[
2
2
5
2
0
2
5
=??=?= ??
?
x ?
解
例 3 例 3 计算 ? ??
0
53 s i ns i n dxxx ?
dxxxdxxx |c o s|s ins ins in 2
3
00
53 ?? =? ?? dxxxdxxx |c o s|s ins ins in 23
00
53 ?? =? ??
?? ?= ??? 2 2320 23 c o ss i nc o ss i n x d xxx d xx
?? ?= ??? 2 2320 23 s i ns i ns i ns i n xxdxxd
dtttfdxxf txba )()]([ )( )( ???a? ??? =令 ( 当 x = a 时 t = a,当 x = b 时 t = ? ) ?
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提示：
解 ??? ?=?
??
?
? =? 3
1
23
1
2
124
0
)3(21
22 1
12
2 dtttd t
t
t
dx
x
x tx令 解
例 4
例 4 计算 dxxx? ??40 12 2 ?
3
22)]3
3
1()9
3
27[(
2
1]3
3
1[
2
1 3
1
3 =???=?= tt ?
3
22)]3
3
1()9
3
27[(
2
1]3
3
1[
2
1 3
1
3 =???=?= tt ?
2
12 ?= tx,dx = td t; 当 x = 0 时 t= 1,当 x = 4 时 t= 3 ?
2
12 ?= tx,dx = td t ; 当 x = 0 时 t = 1,当 x = 4 时 t = 3 ?
解 ??? ?=?
??
?
? =? 3
1
23
1
2
124
0
)3(21
22 1
2
2 dtttd t
t
t
dx
x
x tx令 解 ??? ???
?
?
? =? 3
1
23
1
2
124
0
)3(21
22 1
12
2 dtttd
t
t
dx
x
x tx令 解 ??? ?=??
?
?
? =? 3
1
23
1
124
0
)3(21
21
12
2 dtttd t
t
t
dx
x
x tx令
dtttfdxxf txba )()]([ )( )( ???a? ??? =令 ( 当 x = a 时 t = a,当 x = b 时 t = ? ) ?
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证明
例 5 证明,若 f(x)在 [?a,a]上连续且为偶函数,则
?? =? aa a dxxfdxxf 0 )(2)( ?
证明 因为 dxxfdxxfdxxf aaa a )()()( 00 ??? ?= ??,
而 ???? ?=?=???=? aaatxa dxxfdttfdttfdxxf 0000 )()()( )( 令,
所以当 f(x)为偶函数时,有
??? ??=? aaa a dxxfdxxfdxxf 00 )()()(
??? ==??= ? aa aa dxxfdxxfdxxfxf 00 )(2)(2)]()([ ?
而 ???? ?=?=???=? aaatxa dxxfdttfdttfdxxf 0000 )()()( )( 令,而 ???? ?=?=??=? aaatxa dxxfdttfdttfdxxf 0000 )()()( )( 令,而 ? ?=? txa fdxxf0 )( 令而 ??? ??=???=? aatxa dxxfdttfdttfdxxf 0000 )()()( )( 令,
??? ==??= ? aaaa dxxfdxxfdxxfxf 00 )(2)(2)]()([ ? ??? ==??= ? aa aa dxxfdxxfdxxfxf 00 )(2)(2)]()([ ?
讨论：
若 f ( x ) 在 [ ? a,a ] 上连续且为奇函数,问 =??a a dxxf )(？
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证明
例 6 若 f(x)在 [0,1]上连续,证明
( 2 ) ?? = ?? ? 00 )( s i n2 )( s i n dxxfdxxxf ?
( 1 ) ?? = 2020 )( c o s)( s i n
??
dxxfdxxf ;
证明 ( 1 ) 令 tx ?= 2?,则
dttfdxxf )]2[ s in ()( s in 0
2
2
0 ??= ??
?
?
?
?? =?= 2020 )( c o s)]2[ s in (
?? ?
dxxfdttf ?
dttfdxxf )]2[ s in ()( s in 0
2
2
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?
?
?
?? =?= 2020 )( c o s)]2[ s in (
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dxxfdttf ?
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f x dxaa ( )?? = 00)( =?
?
a
a
dxxf
0)( =?
?
a
a
dxxf
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(2)令 x=??t?因为
例 6 若 f(x)在 [0,1]上连续,证明
( 2 ) ?? = ?? ? 00 )( s i n2 )( s i n dxxfdxxxf ?
( 1 ) ?? = 2020 )( c o s)( s i n
??
dxxfdxxf ;
证明
?? ???= 00 )][ s in ()()( s in ?? ?? dttftdxxxf
?? ?=??= ?? ??? 00 )( s in)()][ s i n ()( dttftdttft
?? ?= ??? 00 )( s i n)( s i n dtttfdttf
?? ?= ??? 00 )( s i n)( s i n dxxxfdxxf
所以 ?? = ?? ? 00 )( s i n2 )( s i n dxxfdxxxf ?
? ???= 00 )][ s i n ()()( s i n ?? ?? dttftdxxxf
?? ?=??= ?? ?? 00 )( s in)()][ s in)( dttftdttft
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提示：
解 设 x?2=t,则
???? ??? ??==? 20012141 2c o s1 1)()2( dttedttdttfdxxf t
2
1
2
1
2
1t a n]
2
1[]
2[ t a n
42
0
0
1
2 ??=?= ??
? ee
t t ?
???? ??? ??== 20012141 2c o s1 1)()2( dttedttdttfdxxf t ???? ??? ??==? 200 12 141 2c o s1 1)()2( dttedttdttfdxxf t
2
1
2
1
2
1t a n]
2
1[]
2[ t a n
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0
0
1
2 ??=?= ??
? ee
t t ?
例 7 例 7 设函数
??
?
?
?
<<??
?
=
?
01 c o s1 1
0
)(
2
xx
xxe
xf
x
,计算 ? ?4
1
)2( dxxf ??
当 x=1时 t=?1,当 x=4时 t=2?
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二、定积分的分部积分法
设函数 u(x),v(x)在区间 [a,b]上具有连续导数 ?
分部积分过程：
由 (uv)?=u?v?uv?,
得 uv?=(uv)??u?v,
等式两端在区间 [a,b]上积分得
v d xuuvdxvu bababa ??=? ?? ][,或 v d uuvu d v bababa ?? ?= ][ ? v d xuuvdxvu bababa ??=? ?? ][,或 v d uuvu d v bababa ?? ?= ][ ?
这就是定积分的分部积分公式 ?
][][ ???=??=?==? ???? v d xuuvv d uuvudvdxvu babababababa ?
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][][ ???=??=?==? ???? v d xuuvv d uuvudvdxvu babababababa ?
分部积分过程：
解
例 8 例 1 计算 x d xa r c s in21
0? ?
解 x d xa r c s in2
1
0? xxdxx a r c s in]a r c s in[
2
1
0
2
1
0 ??=
)1(
1
1
2
1
12162
1 2
2
2
1
02
2
1
0 xdxdxx
x ?
?
?=
?
??= ?? ??
12312]1[12 2
1
0
2 ??=??= ?? x ?
解 x d xa r c s i n2
1
0? xxdxx a r c s i n]a r c s i n
2
1
0
2
1
0 ??=
)1(
1
1
2
1
12162
1 2
2
2
1
02
2
1
0 xdxdxx
x ?
?
?=
?
??= ?? ??
12312]1[12 2
1
0
2 ??=??= ?? x ?
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解
例 2 计算 ?10 dxe x ? 例 9
][][ ???=??=?==? ???? v d xuuvv d uuvudvdxvu babababababa ?
分部积分过程：
解 ??? == 101010 22 tttxx tdetdtedxe 令
2 ][222 ][2 101010 =?=?= ? ttt eedtete ?
解 ??? == 101010 22 tttxx tdetedxe 令 解 ??? == 101010 22 tttxx tdetdtedxe 令 解 ??? == 1010 22 tttx td etd tee 令
2 ][222 ][2 10010 =?=?= ? ttt eedtete ?
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解
? ??= ?20 2 )s i n( s i n)1(
?
dxxxn nn
例 10 例 1 0 求 ?= 2
0 s in
? x d xI n
n ?
解 ?? ??== 20 120 c o ss ins in ?? xxdx d xI nnn
?? ???= ? 2020 2 s i n)1(s i n)1(
??
x d xnx d xn nn
nn InIn )1()1( 1 ???= ?,
由此得 21 ??= nn InnI ?
由此得
? ?? ??= 20 1201 s i nc o s]s i n[ c o s
??
xxdxx nn
? ??= 20 22 s i nc o s)1(
?
x d xxn n
解 ?? ??== 20 120 c o ss ins in ?? xxdx d xI nnn
练习 结束
