一、平面的点法式方程
二、平面的一般方程
三、两平面的夹角
§ 7.5 平面及其方程
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一、平面的点法式方程
如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的
法线向量,
?法线向量
平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直,
当平面 ?上一点 M0(x0,y0,z0)和它的
一个法线向量 n=(A,B,C)为已知时,平面
?的位置就完全确定了,
?唯一确定平面的条件
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已知 M0(x0,y0,z0)为平面 ?上一点,n=(A,B,C)为平面 ?的
一个法线向量,
设 M(x,y,z)是平面 ?上的任一点,则有
因为 n=(A,B,C),
?平面的点法式方程
所以 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
这就是平面 ?的方程,称为点法式方程,
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? 0
0 =? MMn,
? ),,(
0000 zzyyxxMM ---=,
一、平面的点法式方程
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过点 M0(x0,y0,z0)且法线向量为 n=(A,B,C)的平面的方程
为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
(x-2)-2(y+3)+3z=0,
即 x-2y+3z-8=0.
例 1 求过点 (2,-3,0)且以 n=(1,-2,3)为法线向量的平面的
方程,
解 根据平面的点法式方程,得所求平面的方程为
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?平面的点法式方程
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? ?
kji
kji
n -+=
--
--=?= 914
132
6433121 MMMM,
例 2 求过三点 M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2)和 M3(0,2,3)的平
面的方程,
解
所以
根据平面的点法式方程,得所求平面的方程为
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过点 M0(x0,y0,z0)且法线向量为 n=(A,B,C)的平面的方程
为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
?平面的点法式方程
解 我们可以用 ? ? 3121 MMMM ? 作为平面的法线向量 n,
因为 ? )6,4,3(21 --=MM,? )1,3,2(31 --=MM,
14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0,即 14x+9y-z-15=0.
因为 ? )6,4,3(21 --=MM,? )1,3,2(31 --=MM,
? ?
kji
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--
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132
6433121 MMMM,
? ?
kji
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n -+=
--
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132
6433121 MMMM,
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二、平面的一般方程
由于平面的点法式方程是 x,y,z的一次方程,而任一平面
都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定,所以任一平
面都可以用三元一次方程来表示,
反过来,可以证明 任一三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0的图
形总是一个平面,
方程 Ax+By+Cz+D=0称 为平面的一般方程,其法线向量为
n=(A,B,C).
例如,方程 3x-4y+z-9=0表示一个平面,n=(3,-4,1)是这平
面的一个法线向量,
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平面的一般方程为 Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为 n=(A,B,C),
平面方程
By+Cz+D=0
Ax+Cz+D=0
Ax+By+D=0
Cz+D=0
Ax+D=0
By+D=0
法线向量 法线向量垂直于 平面平行于
x轴
y轴
z轴
xOy平面
yOz平面
zOx平面
n=(0,B,C)
n=(A,0,C)
n=(A,B,0)
n=(0,0,C)
n=(A,0,0)
n=(0,B,0)
x轴
y轴
z轴
x轴和 y轴
y轴和 z轴
x轴和 z轴
讨论：
1.填写下表,
提示,D=0,平面过原点,
2.平面 Ax+By+Cz=0有什么特点？
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提示,平面通过 x轴,表明 A=0(它的 法线向量垂直于 x轴 )且
D=0(它通过原点 ).
可设此平面的方程为
By+Cz=0.
又因为此平面通过点 (4,-3,-1),所以有
-3B-C=0.
将 C=-3B其代入所设方程,得
By-3Bz=0.
于是所求的平面方程为
y-3z=0,
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平面的一般方程为 Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为 n=(A,B,C),
例 3 求通过 x轴和点 (4,-3,-1)的平面的方程,
解
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例 4 设一平面与 x,y,z轴的交点依次为 P(a,0,0)、
Q(0,b,0),R(0,0,c),求此平面的方程 (a?0,b?0,c?0).
将其代入所设方程,得
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解
由此得 aDA -=,bDB -=,cDC -=,
因为点 P,Q,R都在这平面上,所以
它们的坐标都满足所设方程,即有
aA+D=0,bB+D=0,cC+D=0,
设所求平面的方程为 Ax+By+Cz+D=0,
0=+--- DzcDybDxaD,即 1=++ czbyax, 0=+--- DzcDybDxaD,即 1=++ czbyax,
上述方程叫做 平面的截距式方程,而 a,b,c依次叫做平
面在 x,y,z轴上的截距,
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三、两平面的夹角
设平面 ?1和 ?2的法线向量分别为
n1=(A1,B1,C1),
n2=(A2,B2,C2),
那么平面 ?1和 ?2的夹角 ?应满足
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2
2
2
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2
1
2
1
2
1
212121
2
^
1
|||),c o s (|c o s
CBACBA
CCBBAA
++?++
++== nn?,
两平面的法线向量的夹角 (通常指锐
角 )称为两平面的夹角,
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例 5 求两平面 x-y+2z-6=0和 2x+y+z-5=0的夹角,
平面 A1x+B1y+C1z+D1=0和 A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦,
n1=(1,-1,2),n2=(2,1,1).因为解
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212121 ||c o s
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2
1
1122)1(1
|121)1(21|
222222
=
++?+-+
?+?-+?=,
所 以,所求夹角为 3?? =,
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平面 A1x+B1y+C1z+D1=0和 A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直的
充要条件是
A1A2+B1B2+C1C2=0.
?两平面垂直的条件
?两平面平行的条件
平面 A1x+B1y+C1z+D1=0和 A2x+B2y+C2z+D2=0互相平行的
充要条件是
A1,A2=B1,B2=C1,C2.
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平面 A1x+B1y+C1z+D1=0和 A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦,
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212121 ||c o s
CBACBA
CCBBAA
++?++
++=?,
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例 6 一平面通过两点 M1(1,1,1)和 M2(0,1,-1)且垂直于平
面 x+y+z=0,求它的方程,
设所求平面的法线向量为 n=(A,B,C).
因为 M1和 M2在所求平面上,所以 n?n1,即
-A-2C=0,A=-2C.
又因为所求平面垂直于平面 x+y+z=0,所以 n?n1,即
A+B+C=0,B=C.
由点法式方程,所求平面为
-2C(x-1)+C(y-1)+C(z-1)=0,
即 2x-y-z=0.
从点 M1到点 M2的向量为 n1=(-1,0,-2),
平面 x+y+z=0的法线向量为 n2=(1,1,1).
解
下页
方法一：
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所求平面的法线向量 n可取为 n1?n2.
因为
所以所求平面方程为
2(x-1)-(y-1)-(z-1)=0,
即 2x-y-z=0.
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例 6 一平面通过两点 M1(1,1,1)和 M2(0,1,-1)且垂直于平
面 x+y+z=0,求它的方程,
从点 M1到点 M2的向量为 n1=(-1,0,-2),
平面 x+y+z=0的法线向量为 n2=(1,1,1).
解
方法二：
kji
kji
nnn --=--=?= 2
111
201
21,kji
kji
nn --=--=? 2
11
01
21,kji
kji
nnn --=--=?= 2
111
201
1,
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提示：
例 7 设 P0(x0,y0,z0)是平面 Ax+By+Cz+D=0外一点,求 P0到
这平面的距离,
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解 设 en是平面上的单位法线向量,
在平面上任取一点 P1(x1,y1,z1),
? ||
01 nPPd e?=
222
101010 |)()()(|
CBA
zzCyyBxxA
++
-+-+-=
222
111000 |)(|
CBA
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++
++-++=
222
000 ||
CBA
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++
+++=,
),,(1
222
CBA
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则 P0到这平面的距离为
222
111000 |)(|
CBA
CzByAxCzByAx
++
++-++=
22
000 ||
CBA
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++
+++=,
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例 8 求点 (2,1,1)到平面 x+y-z+1=0的距离,
点 P0(x0,y0,z0)到平面 Ax+By+Cz+D=0距离,
解
结束
222
000 ||
CBA
DCzByAxd
++
+++=,
222
000 ||
CBA
DCzByAxd
++
+++=,
222 )1(11
|11)1(1121|
-++
+?--?+?=
333 ==,
二、平面的一般方程
三、两平面的夹角
§ 7.5 平面及其方程
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一、平面的点法式方程
如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的
法线向量,
?法线向量
平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直,
当平面 ?上一点 M0(x0,y0,z0)和它的
一个法线向量 n=(A,B,C)为已知时,平面
?的位置就完全确定了,
?唯一确定平面的条件
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已知 M0(x0,y0,z0)为平面 ?上一点,n=(A,B,C)为平面 ?的
一个法线向量,
设 M(x,y,z)是平面 ?上的任一点,则有
因为 n=(A,B,C),
?平面的点法式方程
所以 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
这就是平面 ?的方程,称为点法式方程,
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? 0
0 =? MMn,
? ),,(
0000 zzyyxxMM ---=,
一、平面的点法式方程
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过点 M0(x0,y0,z0)且法线向量为 n=(A,B,C)的平面的方程
为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
(x-2)-2(y+3)+3z=0,
即 x-2y+3z-8=0.
例 1 求过点 (2,-3,0)且以 n=(1,-2,3)为法线向量的平面的
方程,
解 根据平面的点法式方程,得所求平面的方程为
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?平面的点法式方程
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? ?
kji
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n -+=
--
--=?= 914
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6433121 MMMM,
例 2 求过三点 M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2)和 M3(0,2,3)的平
面的方程,
解
所以
根据平面的点法式方程,得所求平面的方程为
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过点 M0(x0,y0,z0)且法线向量为 n=(A,B,C)的平面的方程
为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
?平面的点法式方程
解 我们可以用 ? ? 3121 MMMM ? 作为平面的法线向量 n,
因为 ? )6,4,3(21 --=MM,? )1,3,2(31 --=MM,
14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0,即 14x+9y-z-15=0.
因为 ? )6,4,3(21 --=MM,? )1,3,2(31 --=MM,
? ?
kji
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132
6433121 MMMM,
? ?
kji
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6433121 MMMM,
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二、平面的一般方程
由于平面的点法式方程是 x,y,z的一次方程,而任一平面
都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定,所以任一平
面都可以用三元一次方程来表示,
反过来,可以证明 任一三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0的图
形总是一个平面,
方程 Ax+By+Cz+D=0称 为平面的一般方程,其法线向量为
n=(A,B,C).
例如,方程 3x-4y+z-9=0表示一个平面,n=(3,-4,1)是这平
面的一个法线向量,
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平面的一般方程为 Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为 n=(A,B,C),
平面方程
By+Cz+D=0
Ax+Cz+D=0
Ax+By+D=0
Cz+D=0
Ax+D=0
By+D=0
法线向量 法线向量垂直于 平面平行于
x轴
y轴
z轴
xOy平面
yOz平面
zOx平面
n=(0,B,C)
n=(A,0,C)
n=(A,B,0)
n=(0,0,C)
n=(A,0,0)
n=(0,B,0)
x轴
y轴
z轴
x轴和 y轴
y轴和 z轴
x轴和 z轴
讨论：
1.填写下表,
提示,D=0,平面过原点,
2.平面 Ax+By+Cz=0有什么特点？
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提示,平面通过 x轴,表明 A=0(它的 法线向量垂直于 x轴 )且
D=0(它通过原点 ).
可设此平面的方程为
By+Cz=0.
又因为此平面通过点 (4,-3,-1),所以有
-3B-C=0.
将 C=-3B其代入所设方程,得
By-3Bz=0.
于是所求的平面方程为
y-3z=0,
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平面的一般方程为 Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为 n=(A,B,C),
例 3 求通过 x轴和点 (4,-3,-1)的平面的方程,
解
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例 4 设一平面与 x,y,z轴的交点依次为 P(a,0,0)、
Q(0,b,0),R(0,0,c),求此平面的方程 (a?0,b?0,c?0).
将其代入所设方程,得
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解
由此得 aDA -=,bDB -=,cDC -=,
因为点 P,Q,R都在这平面上,所以
它们的坐标都满足所设方程,即有
aA+D=0,bB+D=0,cC+D=0,
设所求平面的方程为 Ax+By+Cz+D=0,
0=+--- DzcDybDxaD,即 1=++ czbyax, 0=+--- DzcDybDxaD,即 1=++ czbyax,
上述方程叫做 平面的截距式方程,而 a,b,c依次叫做平
面在 x,y,z轴上的截距,
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三、两平面的夹角
设平面 ?1和 ?2的法线向量分别为
n1=(A1,B1,C1),
n2=(A2,B2,C2),
那么平面 ?1和 ?2的夹角 ?应满足
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CBACBA
CCBBAA
++?++
++== nn?,
两平面的法线向量的夹角 (通常指锐
角 )称为两平面的夹角,
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例 5 求两平面 x-y+2z-6=0和 2x+y+z-5=0的夹角,
平面 A1x+B1y+C1z+D1=0和 A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦,
n1=(1,-1,2),n2=(2,1,1).因为解
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CBACBA
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++?++
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=
++?+-+
?+?-+?=,
所 以,所求夹角为 3?? =,
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平面 A1x+B1y+C1z+D1=0和 A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直的
充要条件是
A1A2+B1B2+C1C2=0.
?两平面垂直的条件
?两平面平行的条件
平面 A1x+B1y+C1z+D1=0和 A2x+B2y+C2z+D2=0互相平行的
充要条件是
A1,A2=B1,B2=C1,C2.
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平面 A1x+B1y+C1z+D1=0和 A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦,
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CBACBA
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++?++
++=?,
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例 6 一平面通过两点 M1(1,1,1)和 M2(0,1,-1)且垂直于平
面 x+y+z=0,求它的方程,
设所求平面的法线向量为 n=(A,B,C).
因为 M1和 M2在所求平面上,所以 n?n1,即
-A-2C=0,A=-2C.
又因为所求平面垂直于平面 x+y+z=0,所以 n?n1,即
A+B+C=0,B=C.
由点法式方程,所求平面为
-2C(x-1)+C(y-1)+C(z-1)=0,
即 2x-y-z=0.
从点 M1到点 M2的向量为 n1=(-1,0,-2),
平面 x+y+z=0的法线向量为 n2=(1,1,1).
解
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方法一：
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所求平面的法线向量 n可取为 n1?n2.
因为
所以所求平面方程为
2(x-1)-(y-1)-(z-1)=0,
即 2x-y-z=0.
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例 6 一平面通过两点 M1(1,1,1)和 M2(0,1,-1)且垂直于平
面 x+y+z=0,求它的方程,
从点 M1到点 M2的向量为 n1=(-1,0,-2),
平面 x+y+z=0的法线向量为 n2=(1,1,1).
解
方法二：
kji
kji
nnn --=--=?= 2
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21,kji
kji
nn --=--=? 2
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01
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kji
nnn --=--=?= 2
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提示：
例 7 设 P0(x0,y0,z0)是平面 Ax+By+Cz+D=0外一点,求 P0到
这平面的距离,
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解 设 en是平面上的单位法线向量,
在平面上任取一点 P1(x1,y1,z1),
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01 nPPd e?=
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则 P0到这平面的距离为
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111000 |)(|
CBA
CzByAxCzByAx
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例 8 求点 (2,1,1)到平面 x+y-z+1=0的距离,
点 P0(x0,y0,z0)到平面 Ax+By+Cz+D=0距离,
解
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