一、平面图形的面积
二、体积
§ 6.2 定积分在几何学上的应用
三、平面曲线的弧长
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[f上 (x)?f下 (x)]dx,
它也就是面积元素,
一、平面图形的面积
设平面图形由上下两条曲线
y?f上 (x)与 y?f下 (x)及左右两条直线
x?a与 x?b所围成,
因此平面图形的面积为
在点 x处面积增量的近似值为
1.直角坐标情形
dxxfxfS ba? ?? )]()([ 下上,
下页
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讨论：
由左右两条曲线 x?j左 (y)与 x?j右 (y)
及上下两条直线 y?d与 y?c所围成的平面
图形的面积如何表示为定积分？
提示：
面积为
面积元素为 [j右 (y)?j左 (y)]dy,
? ?? dc dyyyS )]()([ 左右 jj,
下页
dxxfxfS ba? ?? )]()([ 下上, ? ?? dc dyyyS )]()([ 左右 jj,
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( 3 ) 确定上下曲线 ?? ? 2)(,)( xxfxxf ?? 下上,
例 1 计算抛物线 y2?x与 y?x2所围成的图形的面积,
解
(2)确定在 x轴上的投影区间 ???
(4)计算积分
[0,1];??
dxxfxfS ba? ?? )]()([ 下上, ? ?? dc dyyyS )]()([ 左右 jj,
(1)画图 ;??
( 3 ) 确定上下曲线 ?? ? 2)(,)( xxfxxf ?? 下上,
? ?? 10 2 )( dxxxS
3
1]
3
1
3
2[ 10323 ??? xx,
下页
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例 2 计算抛物线 y2?2x与直线 y?x?4所围成的图形的面积,
(2)确定在 y轴上的投影区间 ?
(4)计算积分
(3)确定左右曲线 ?
[?2,4].
dxxfxfS ba? ?? )]()([ 下上, ? ?? dc dyyyS )]()([ 左右 jj,
解 (1)画图 ;??
4)(,21)( 2 ??? yyyy 右左 jj,
?? ??? 4 2 2 )214( dyyyS
18]61421[ 4 232 ???? ?yyy,
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例 3 求椭圆 12222 ?? byax 所围成的图形的面积,
例 3
因为椭圆的参数方程为
x?acost,y?bsint,
所以
解 椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍,
?? a y d xS 04, 于是
?? a y d xS 04 ?? 0
2
)c o s(s in4 ? tatdb
ydx,?椭圆在第一象限部分的面积元素为
??? 0 2
2
s in4 ? td tab ? ?? 20 )2c o s1(2
?
dttab
?? abab ??? 22,
?? a y d xS 04 ?? 0
2
)c o s(s in4 ? tatdb
??? 0 2
2
s in4 ? td tab ? ?? 20 )2c o s1(2
?
dttab
下页
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?曲边扇形
?曲边扇形的面积元素
曲边扇形是由曲线 ??j(?)及射线 ???,???所 围成的图形,
?曲边扇形的面积
2.极坐标情形
??j ddS 2)]([21?,
?? ?? ??j dS 2)]([21,
下页
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例 4 计算阿基米德螺线 ??a?(a>0)上相应于 ?从 0变到 2?
的一段弧与极轴所围成的图形的面积,
解
解 ?? ? ??20 2)(21 daS 322032 34]31[21 ?? ? aa ??, 解 ?? ? ??20 2)(21 daS 322032 34]31[21 ?? ? aa ??, 解 ? ? ?? 2)(21 daS 322032 34]31[ ?? ? aa ??,
例 5 计算心形线 ??a(1?cos?)(a>0)所
围成的图形的面积,
解
解 ? ?? ? ??0 2]c o s1([212 daS
? ??? ? ???02 )2c o s21c o s221( da
???? ? 202 23]2s i n41s i n223[ aa ????,
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曲边扇形的面积：
?? ?? ??j dS 2)]([21 ) ),(( ????j? ???,
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二、体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一
周而成的立体,这直线叫做旋转轴,
下页
1.旋转体的体积
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旋转体都可以看作是由连续曲线 y?f(x)、直线 x?a,a?b
及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体,
下页
二、体积
1.旋转体的体积
?旋转体的体积元素
考虑旋转体内点 x处垂直于 x轴的厚度为 dx的切片,
用圆柱体的体积 ?[f(x)]2dx作为切片体积的近似值,
?旋转体的体积
于是 体积元素为 dV??[f(x)]2dx.
dxxfV ba 2)]([???,
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例 6 连接坐标原点 O及点 P(h,r)的直线, 直线 x?h及 x轴围
成一个直角三角形, 将它绕 x轴旋转构成一个底半径为 r,高
为 h的圆锥体,计算这圆锥体的体积,
旋转体的体积：
解
下页
dxxfV ba 2)]([???,
解 直角三角形斜边的直线方程为 xhry ?,
dxxhrV h 20 )(???
hx
h
r
032
2 ]
3
1[?? 2
3
1 hr??, hx
h
r
032
2 ][?? 2
3
1 hr??,
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?? ?? ??? a aa a dxxaabdxyV )( 22222 ??
解
解 旋转椭球体 可以看作是由半个椭圆 22 xaaby ?? 及 x
轴围成的图形绕 x轴旋转而成的立体,
旋转椭球体的体积为
下页
旋转体的体积：
dxxfV ba 2)]([???,
例 7 计算由椭圆 所成的图形绕 x轴旋转而成的
旋转体 (旋转椭球体 )的体积,
12222 ?? byax
a axxa
a
b
??? ]3
1[ 32
2
2? 2
3
4 ab??,
? ?? ??? a aa a dxxaabdxyV )( 22222 ??
a axxa
a
b
??? ]3
1[ 32
2
2? 2
3
4 ab??,
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例 8 计算由摆线 x?a(t?sint),?y?a(1?cost)的一拱,直线 y?0
所围成的图形分别绕 x轴,y轴旋转而成的旋转体的体积,
解 所给图形绕 x轴旋转而成的旋转体的体积为
下页
?? ax dxyV ? ?20 2 ? ???? ?? 20 22 )c o s1()c o s1( dttata
322
0
323 5)c o sc o s3c o s31( adtttta ?? ? ????? ?,
?? ax dxyV ? ?20 2 ? ???? ?? 20 22 )c o s1()o s1( dttata
322
0
323 5)c osc os3c os31( adtttta ?? ? ????? ?,
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例 8 计算由摆线 x?a(t?sint),?y?a(1?cost)的一拱,直线 y?0
所围成的图形分别绕 x轴,y轴旋转而成的旋转体的体积,
解
下页
设曲线左半边为 x?x1(y),?右半边为 x?x2(y).??
所给图形绕 y轴旋转而成的旋转体的体积为
?? ?? aay dyyxdyyxV 20 2120 22 )()( ??
?? ?????? ??? ?? 0 222 22 s i n)s i n(s i n)s i n( td tattatd tatta
? ??? ?? 20 23 s i n)s i n( td ttta
?6?3a3,
?? ?? aay dyyxdyyxV 20 2120 22 )()( ??
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设立体在 x轴上的投影区间为 [a,b],立体内垂直于 x轴的
截面面积为 A(x).
立体的体积元素为
立体的体积为
下页
2.平行截面面积为已知的立体的体积
dxxAV ba )(??,
A(x)dx.??
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截面面积为 A(x)的立体体积：
例 9 一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中心,并与底面
交成角 ?.计算这平面截圆柱所得立体的体积,
建立坐标系如图,?则 底圆的方程为 x2?y2?R2.
所求立体的体积为
dxxAV ba )(??,
解
?ta n)(21)( 22 xRxA ??,
dxxRV R R ?ta n)(21 22 ?? ??
R RxxR ??? ]
3
1[ta n
2
1 32? ?ta n
3
2 3R?, R
RxxR ??? ]3
1[ta n
2
1 32? ?ta n
3
2 3R?,
下页
立体中过点 x且垂直于 x轴的截面为直角
三角形,?其 面积为
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例 10求以半径为 R的圆为底、平行且等于底圆直径的线
段为顶、高为 h的正劈锥体的体积,
建立坐标系如图,则底圆的方程为 x2?y2?R2.
于是所求正劈锥体的体积为
截面面积为 A(x)的立体体积：
dxxAV ba )(??,
解
22)( xRhyhxA ????,
?? ?? R R dxxRhV 22
hRdhR 220 22 21c o s2 ???? ?? ?, hRdhR 220 22 21c o s2 ???? ?? ?,
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立体中过点 x且垂直于 x轴的截面面积为
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三、平面曲线的弧长
设曲线弧由直角坐标方程
y?f(x) (a?x?b)
给出,其中 f(x)在区间 [a,b]上具有一阶连续导数, 现在来计算
这曲线弧的长度,
在曲率一节中,我们已经知道弧微分的表达式为
这也就是弧长元素,?
因此,?曲线弧的长度为
下页
dxyds 21 ???,
? ??? ba dxys 21,
?直角坐标情形
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例 1 ? 计算曲线 2332 xy ? 上相应于 x 从 a 到 b 的一段弧的 例 11
长度,?
因此,所求弧长为
解
曲线 y?f(x)(a?x?b)的弧长：
下页
? ??? ba dxys 21,
解 ? 21xy ??,从而弧长元素
dxxdxyds ????? 11 2,
bab
a xdxxs ])1(3
2[1 23???? ? ])1()1[(
3
2 2323 ab ????, b
a
b
a xdxxs ])1(3
2[1 23???? ? ])1()1[(
3
2 2323 ab ????, b
a
b
a xdxxs ])1(3
2[1 23???? ? ])1()[( 2323 ab ????,
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解
因此,所求弧长为
曲线 y?f(x)(a?x?b)的弧长,? ??? b
a dxys
21,
例 12
弧的长度,
例 2 计算悬链线 cxcy ch? 上介于 x ? ? b 与 x ? b 之间一段
解 cxy sh??,从而弧长元素为
dxcxdxcxds chsh1 2 ???,
?? ?? ? bb b dxcxdxcxs 0 ch2ch
c
bc
c
xc b sh2]sh[2
0 ??,
?? ?? ? bbb dxcxdxcxs 0 ch2ch
ccxc b 2]sh[2 0 ??
下页
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设曲线弧由参数方程 x?j(t),y??(t)(??t??)给出,其中
j(t),?(t)在 [?,?]上具有连续导数,??
于是曲线弧的长为
下页
曲线 y?f(x)(a?x?b)的弧长,? ??? b
a dxys
21,
?参数方程情形
因为 )( )( ttdxdy j? ???,dx ? j ? ( t ) d t,所以弧长元素为
dtttdttttds )()()()( )(1 222
2
?jjj? ?????????,
? ???? ?? ?j dttts )()( 22,
dtttdttttds )()()()( )(1 222
2
?jjj? ?????????,
因为 )( )(ttdxdy j? ???,dx ? j ?( t ) d t,所以弧长元素为
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曲线 x?j(t),y??(t)(??t??)的弧长：
例 13求摆线 x?a(??sin?),y?a(1?cos?)的一拱 (0???2?)的
长度,
解
于是所求弧长为
曲线 y?f(x)(a?x?b)的弧长,? ??? b
a dxys
21,
? ???? ?? ?j dttts )()( 22,
弧长元素为
??? daads 2222 s i n)c o s1( ??? ?? da 2s i n2?,
?? ? ??20 2s in2 das
?? 2
0]2c o s2[2 ?? a ? 8 a,
??? daads 2222 s in)c o s1( ??? ?? da 2s in2?,
?? 2
0]2cos2[?? a ?8a,
下页
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? ??? ?? ????? ds )()( 22,
??? dyxds )()( 22 ???? ????? d)()( 22 ???,
设曲线弧由极坐标方程 ???(?)(?????)给出,其中 ?(?)在
[?,?]上具有连续导数,
因为 x??(?)cos?,y??(?)sin??(?????),
所以弧长元素为
曲线弧的长为
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?极坐标情形
曲线 y?f(x)(a?x?b)的弧长,? ??? b
a dxys
21,
? ???? ?? ?j dttts )()( 22, 曲线 x?j(t),y??(t)(??t??)的弧长：
??? dyxds )()( 22 ???? ????? d)()( 22 ???,
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? ??? ?? ????? ds )()( 22, 曲线 ???(?)(?????)的弧长：
例 14求阿基米德螺线 ??a? (a>0)相应于 ?从 0到 2?一段的
弧长,
解
于是所求弧长为
结束
弧长元素为
???? dadaads 2222 1 ????,
? ?? ? ??20 21 das )]412ln (412[2 22 ???? ????? a,
曲线 y?f(x)(a?x?b)的弧长,? ??? b
a dxys
21,
? ???? ?? ?j dttts )()( 22, 曲线 x?j(t),y??(t)(??t??)的弧长：
? ?? ? ??20 21 das )]412l n (412[2 22 ???? ????? a,
二、体积
§ 6.2 定积分在几何学上的应用
三、平面曲线的弧长
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[f上 (x)?f下 (x)]dx,
它也就是面积元素,
一、平面图形的面积
设平面图形由上下两条曲线
y?f上 (x)与 y?f下 (x)及左右两条直线
x?a与 x?b所围成,
因此平面图形的面积为
在点 x处面积增量的近似值为
1.直角坐标情形
dxxfxfS ba? ?? )]()([ 下上,
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讨论：
由左右两条曲线 x?j左 (y)与 x?j右 (y)
及上下两条直线 y?d与 y?c所围成的平面
图形的面积如何表示为定积分？
提示：
面积为
面积元素为 [j右 (y)?j左 (y)]dy,
? ?? dc dyyyS )]()([ 左右 jj,
下页
dxxfxfS ba? ?? )]()([ 下上, ? ?? dc dyyyS )]()([ 左右 jj,
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( 3 ) 确定上下曲线 ?? ? 2)(,)( xxfxxf ?? 下上,
例 1 计算抛物线 y2?x与 y?x2所围成的图形的面积,
解
(2)确定在 x轴上的投影区间 ???
(4)计算积分
[0,1];??
dxxfxfS ba? ?? )]()([ 下上, ? ?? dc dyyyS )]()([ 左右 jj,
(1)画图 ;??
( 3 ) 确定上下曲线 ?? ? 2)(,)( xxfxxf ?? 下上,
? ?? 10 2 )( dxxxS
3
1]
3
1
3
2[ 10323 ??? xx,
下页
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例 2 计算抛物线 y2?2x与直线 y?x?4所围成的图形的面积,
(2)确定在 y轴上的投影区间 ?
(4)计算积分
(3)确定左右曲线 ?
[?2,4].
dxxfxfS ba? ?? )]()([ 下上, ? ?? dc dyyyS )]()([ 左右 jj,
解 (1)画图 ;??
4)(,21)( 2 ??? yyyy 右左 jj,
?? ??? 4 2 2 )214( dyyyS
18]61421[ 4 232 ???? ?yyy,
下页
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例 3 求椭圆 12222 ?? byax 所围成的图形的面积,
例 3
因为椭圆的参数方程为
x?acost,y?bsint,
所以
解 椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍,
?? a y d xS 04, 于是
?? a y d xS 04 ?? 0
2
)c o s(s in4 ? tatdb
ydx,?椭圆在第一象限部分的面积元素为
??? 0 2
2
s in4 ? td tab ? ?? 20 )2c o s1(2
?
dttab
?? abab ??? 22,
?? a y d xS 04 ?? 0
2
)c o s(s in4 ? tatdb
??? 0 2
2
s in4 ? td tab ? ?? 20 )2c o s1(2
?
dttab
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?曲边扇形
?曲边扇形的面积元素
曲边扇形是由曲线 ??j(?)及射线 ???,???所 围成的图形,
?曲边扇形的面积
2.极坐标情形
??j ddS 2)]([21?,
?? ?? ??j dS 2)]([21,
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例 4 计算阿基米德螺线 ??a?(a>0)上相应于 ?从 0变到 2?
的一段弧与极轴所围成的图形的面积,
解
解 ?? ? ??20 2)(21 daS 322032 34]31[21 ?? ? aa ??, 解 ?? ? ??20 2)(21 daS 322032 34]31[21 ?? ? aa ??, 解 ? ? ?? 2)(21 daS 322032 34]31[ ?? ? aa ??,
例 5 计算心形线 ??a(1?cos?)(a>0)所
围成的图形的面积,
解
解 ? ?? ? ??0 2]c o s1([212 daS
? ??? ? ???02 )2c o s21c o s221( da
???? ? 202 23]2s i n41s i n223[ aa ????,
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曲边扇形的面积：
?? ?? ??j dS 2)]([21 ) ),(( ????j? ???,
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二、体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一
周而成的立体,这直线叫做旋转轴,
下页
1.旋转体的体积
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旋转体都可以看作是由连续曲线 y?f(x)、直线 x?a,a?b
及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体,
下页
二、体积
1.旋转体的体积
?旋转体的体积元素
考虑旋转体内点 x处垂直于 x轴的厚度为 dx的切片,
用圆柱体的体积 ?[f(x)]2dx作为切片体积的近似值,
?旋转体的体积
于是 体积元素为 dV??[f(x)]2dx.
dxxfV ba 2)]([???,
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例 6 连接坐标原点 O及点 P(h,r)的直线, 直线 x?h及 x轴围
成一个直角三角形, 将它绕 x轴旋转构成一个底半径为 r,高
为 h的圆锥体,计算这圆锥体的体积,
旋转体的体积：
解
下页
dxxfV ba 2)]([???,
解 直角三角形斜边的直线方程为 xhry ?,
dxxhrV h 20 )(???
hx
h
r
032
2 ]
3
1[?? 2
3
1 hr??, hx
h
r
032
2 ][?? 2
3
1 hr??,
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?? ?? ??? a aa a dxxaabdxyV )( 22222 ??
解
解 旋转椭球体 可以看作是由半个椭圆 22 xaaby ?? 及 x
轴围成的图形绕 x轴旋转而成的立体,
旋转椭球体的体积为
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旋转体的体积：
dxxfV ba 2)]([???,
例 7 计算由椭圆 所成的图形绕 x轴旋转而成的
旋转体 (旋转椭球体 )的体积,
12222 ?? byax
a axxa
a
b
??? ]3
1[ 32
2
2? 2
3
4 ab??,
? ?? ??? a aa a dxxaabdxyV )( 22222 ??
a axxa
a
b
??? ]3
1[ 32
2
2? 2
3
4 ab??,
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例 8 计算由摆线 x?a(t?sint),?y?a(1?cost)的一拱,直线 y?0
所围成的图形分别绕 x轴,y轴旋转而成的旋转体的体积,
解 所给图形绕 x轴旋转而成的旋转体的体积为
下页
?? ax dxyV ? ?20 2 ? ???? ?? 20 22 )c o s1()c o s1( dttata
322
0
323 5)c o sc o s3c o s31( adtttta ?? ? ????? ?,
?? ax dxyV ? ?20 2 ? ???? ?? 20 22 )c o s1()o s1( dttata
322
0
323 5)c osc os3c os31( adtttta ?? ? ????? ?,
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例 8 计算由摆线 x?a(t?sint),?y?a(1?cost)的一拱,直线 y?0
所围成的图形分别绕 x轴,y轴旋转而成的旋转体的体积,
解
下页
设曲线左半边为 x?x1(y),?右半边为 x?x2(y).??
所给图形绕 y轴旋转而成的旋转体的体积为
?? ?? aay dyyxdyyxV 20 2120 22 )()( ??
?? ?????? ??? ?? 0 222 22 s i n)s i n(s i n)s i n( td tattatd tatta
? ??? ?? 20 23 s i n)s i n( td ttta
?6?3a3,
?? ?? aay dyyxdyyxV 20 2120 22 )()( ??
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设立体在 x轴上的投影区间为 [a,b],立体内垂直于 x轴的
截面面积为 A(x).
立体的体积元素为
立体的体积为
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2.平行截面面积为已知的立体的体积
dxxAV ba )(??,
A(x)dx.??
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截面面积为 A(x)的立体体积：
例 9 一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中心,并与底面
交成角 ?.计算这平面截圆柱所得立体的体积,
建立坐标系如图,?则 底圆的方程为 x2?y2?R2.
所求立体的体积为
dxxAV ba )(??,
解
?ta n)(21)( 22 xRxA ??,
dxxRV R R ?ta n)(21 22 ?? ??
R RxxR ??? ]
3
1[ta n
2
1 32? ?ta n
3
2 3R?, R
RxxR ??? ]3
1[ta n
2
1 32? ?ta n
3
2 3R?,
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立体中过点 x且垂直于 x轴的截面为直角
三角形,?其 面积为
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例 10求以半径为 R的圆为底、平行且等于底圆直径的线
段为顶、高为 h的正劈锥体的体积,
建立坐标系如图,则底圆的方程为 x2?y2?R2.
于是所求正劈锥体的体积为
截面面积为 A(x)的立体体积：
dxxAV ba )(??,
解
22)( xRhyhxA ????,
?? ?? R R dxxRhV 22
hRdhR 220 22 21c o s2 ???? ?? ?, hRdhR 220 22 21c o s2 ???? ?? ?,
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立体中过点 x且垂直于 x轴的截面面积为
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三、平面曲线的弧长
设曲线弧由直角坐标方程
y?f(x) (a?x?b)
给出,其中 f(x)在区间 [a,b]上具有一阶连续导数, 现在来计算
这曲线弧的长度,
在曲率一节中,我们已经知道弧微分的表达式为
这也就是弧长元素,?
因此,?曲线弧的长度为
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dxyds 21 ???,
? ??? ba dxys 21,
?直角坐标情形
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例 1 ? 计算曲线 2332 xy ? 上相应于 x 从 a 到 b 的一段弧的 例 11
长度,?
因此,所求弧长为
解
曲线 y?f(x)(a?x?b)的弧长：
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? ??? ba dxys 21,
解 ? 21xy ??,从而弧长元素
dxxdxyds ????? 11 2,
bab
a xdxxs ])1(3
2[1 23???? ? ])1()1[(
3
2 2323 ab ????, b
a
b
a xdxxs ])1(3
2[1 23???? ? ])1()1[(
3
2 2323 ab ????, b
a
b
a xdxxs ])1(3
2[1 23???? ? ])1()[( 2323 ab ????,
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解
因此,所求弧长为
曲线 y?f(x)(a?x?b)的弧长,? ??? b
a dxys
21,
例 12
弧的长度,
例 2 计算悬链线 cxcy ch? 上介于 x ? ? b 与 x ? b 之间一段
解 cxy sh??,从而弧长元素为
dxcxdxcxds chsh1 2 ???,
?? ?? ? bb b dxcxdxcxs 0 ch2ch
c
bc
c
xc b sh2]sh[2
0 ??,
?? ?? ? bbb dxcxdxcxs 0 ch2ch
ccxc b 2]sh[2 0 ??
下页
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设曲线弧由参数方程 x?j(t),y??(t)(??t??)给出,其中
j(t),?(t)在 [?,?]上具有连续导数,??
于是曲线弧的长为
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曲线 y?f(x)(a?x?b)的弧长,? ??? b
a dxys
21,
?参数方程情形
因为 )( )( ttdxdy j? ???,dx ? j ? ( t ) d t,所以弧长元素为
dtttdttttds )()()()( )(1 222
2
?jjj? ?????????,
? ???? ?? ?j dttts )()( 22,
dtttdttttds )()()()( )(1 222
2
?jjj? ?????????,
因为 )( )(ttdxdy j? ???,dx ? j ?( t ) d t,所以弧长元素为
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曲线 x?j(t),y??(t)(??t??)的弧长：
例 13求摆线 x?a(??sin?),y?a(1?cos?)的一拱 (0???2?)的
长度,
解
于是所求弧长为
曲线 y?f(x)(a?x?b)的弧长,? ??? b
a dxys
21,
? ???? ?? ?j dttts )()( 22,
弧长元素为
??? daads 2222 s i n)c o s1( ??? ?? da 2s i n2?,
?? ? ??20 2s in2 das
?? 2
0]2c o s2[2 ?? a ? 8 a,
??? daads 2222 s in)c o s1( ??? ?? da 2s in2?,
?? 2
0]2cos2[?? a ?8a,
下页
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? ??? ?? ????? ds )()( 22,
??? dyxds )()( 22 ???? ????? d)()( 22 ???,
设曲线弧由极坐标方程 ???(?)(?????)给出,其中 ?(?)在
[?,?]上具有连续导数,
因为 x??(?)cos?,y??(?)sin??(?????),
所以弧长元素为
曲线弧的长为
下页
?极坐标情形
曲线 y?f(x)(a?x?b)的弧长,? ??? b
a dxys
21,
? ???? ?? ?j dttts )()( 22, 曲线 x?j(t),y??(t)(??t??)的弧长：
??? dyxds )()( 22 ???? ????? d)()( 22 ???,
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? ??? ?? ????? ds )()( 22, 曲线 ???(?)(?????)的弧长：
例 14求阿基米德螺线 ??a? (a>0)相应于 ?从 0到 2?一段的
弧长,
解
于是所求弧长为
结束
弧长元素为
???? dadaads 2222 1 ????,
? ?? ? ??20 21 das )]412ln (412[2 22 ???? ????? a,
曲线 y?f(x)(a?x?b)的弧长,? ??? b
a dxys
21,
? ???? ?? ?j dttts )()( 22, 曲线 x?j(t),y??(t)(??t??)的弧长：
? ?? ? ??20 21 das )]412l n (412[2 22 ???? ????? a,
