二、两向量的向量积
一、两向量的数量积
§ 7.2 数量积 向量积
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一、两向量的数量积
设一物体在常力 F作用下沿直线从点 M1移动到点 M2,以 s
表示位移,
?数量积的物理背景
由物理学知道,力 F所作的功为
W?|F||s|cos?,
其中 ?为 F与 s的夹角,
下页
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对于两个向量 a和 b,它们的模 |a|,|b|及它们的夹角 ? 的余
弦的乘积称为向量 a和 b的数量积,记作 a?b,即
a·b?|a||b|cos?,
?数量积的定义
根据数量积,力 F所作的功 W就是力 F与位移 s的数量积,
即
W?F?s,
下页
一、两向量的数量积
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?数量积与投影
由于 |b|cos??|b|cos(a,^ b),
下页
当 a?0时,|b|cos(a,^ b)是向量 b在向量 a
的方向上的投影,于是
a·b?|a|Prjab,
同理,当 b?0时,a·b?|b|Prjba,
所以,
对于两个向量 a和 b,它们的模 |a|,|b|及它们的夹角 ? 的余
弦的乘积称为向量 a和 b的数量积,记作 a?b,即
a·b?|a||b|cos?,
?数量积的定义
一、两向量的数量积
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?数量积的性质
(1) a·a?|a|2.
(2) 对于两个非零向量 a,b,如果 a·b?0,则 a?b;
反之,如果 a?b,则 a·b?0.
如果认为零向量与任何向量都垂直,则
a?b?a·b?0.
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对于两个向量 a和 b,它们的模 |a|,|b|及它们的夹角 ? 的余
弦的乘积称为向量 a和 b的数量积,记作 a?b,即
a·b?|a||b|cos?,
?数量积的定义
一、两向量的数量积
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?数量积的运算律
(1)交换律, a·b?b·a;
(2)分配律, (a?b)·c?a·c?b·c.
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>>>
(3)(?a)·b?a·(?b)??(a·b),
(?a)·(?b)???(a·b),
其中 ?,?为数,
对于两个向量 a和 b,它们的模 |a|,|b|及它们的夹角 ? 的余
弦的乘积称为向量 a和 b的数量积,记作 a?b,即
a·b?|a||b|cos?,
?数量积的定义
一、两向量的数量积
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例 1 试用向量证明三角形的余弦定理,
要证 c2?a2?b2-2abcos?,
则有 c?a-b,
从而 |c|2?c?c?(a-b)(a-b)
?a?a?b?b-2a?b
?|a|2?|b|2-2|a||b|cos(a,^ b),
即 c2?a2?b2-2abcos?.
证明 在 DABC中,∠ BCA??,|CB|?a,|CA|?b,|AB|?c,
下页
记 ?CB ? a,?CA ? b,?AB ? c,则有
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提示：
?数量积的坐标表示
下页
a?axi?ay j?azk,b?bxi?by j?bzk,
a·b?(axi?ay j?azk)·(bxi?by j?bzk)
?axbxi·i?axbyi·j?axbzi·k
?aybx j·i?ayby j·j?aybz j·k
?azbxk·i?azbyk·j?azbzk·k
?axbx?ayby?azbz,
a·b?axbx?ayby?azbz, 设 a?(ax,ay,az ),b?(bx,by,bz ),则
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?数量积的坐标表示
a·b?axbx?ayby?azbz, 设 a?(ax,ay,az ),a?(bx,by,bz ),则
设 ??(a,^ b),则当 a?0,b?0时,有
?向量夹角余弦的坐标表示
提示,
a ·b?|a||b|cos?,
222222||||
c o s
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
????
??
??? ba ba?,
222222||||
c o s
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
babab
????
??
??? ba ba?,
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例 2 已知三点 M(1,1,1),A(2,2,1)和 B(2,1,2),求 ?AMB.
从 M到 A的向量记为 a,从 M到 B的向量记为 b,则 ?AMB
就是向量 a与 b的夹角,
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2011|| 222 ????a,
2101|| 222 ????b,
所以 2122 1||||c o s ?????? ba baA M B,
从而 3??? A M B,
因为 a?b?1?1?1?0?0?1?1,
b ?(2,1,2)-(1,1,1)
a ?(2,2,1)-(1,1,1)?(1,1,0),
?(1,0,1),
解
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从而,所求 液体的质量为
P??Av·n.
体积为
A|v|cos??Av·n.
这柱体的高为
|v|cos?,
解 单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为 A、
斜高为 |v|的斜柱体,
例 3 在流速为 (常向量 )v的 液体内有一个平面区域 A,n为
垂直于 A的单位向量,计算单位时间内经过这区域流向 n所指
一方的液体的质量 P(液体的密度为 ?).
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二、两向量的向量积
下页背景知识
设向量 c是由两个向量 a与 b按下列方式定出,
c的模 |c|?|a||b|sin(a,^ b);
c的方向垂直于 a与 b所决定的平面,c的指向按右手规则
从 a转向 b来确定,
?向量积的定义
右手规则
那么,向量 c叫做向量 a与 b的向量积,记作 a?b,即
c?a?b,
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?向量积的定义
二、两向量的向量积
下页
向量 a与 b的向量积 c?a?b:
|c|?|a||b|sin(a,^b);
c的方向垂直于 a与 b所决定的平面,c的指向按右手规则
从 a转向 b来确定,
?向量积的性质 (1) a?a?0;
(2) 对于两个非零向量 a,b,如果 a?b?0,则 a//b;
反之,如果 a//b,则 a?b?0,如果认为零向量与任何向量都平行,
则 a//b?a?b?0.（ 3） 模 ? ?a b?
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在空间直角坐标系中
i?i?j?j?k?k??
i?j?? j?k?? k?i??
(1) 交换律, a?b?-b?a;
(2) 分配律, (a?b)?c?a?c?b?c;
(3) (?a)?b?a?(?b)??(a?b)(?为数 ),
?向量积的运算律
讨论：
提示,i?i?j?j?k?k?0,
i?j?k,j?k?i,k?i?j.
下页
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?向量积的坐标表示
设 a?axi?ay j?azk,b?bxi?by j?bzk,则
提示：
a?b ?(aybz-azby)i?(azbx-axbz)j?(axby-aybx)k,
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?azbxk?i?azbyk?j,
a?b?(axi?ay j?az k)?(bxi?by j?bzk)
?axbyi?j?axbzi?k?aybx j?i?aybz j?k
?(aybz-azby)i?(azbx-axbz)j?(axby-aybx)k,
i?i?j?j?k?k?0,i?j?k,j?k?i,k?i?j.
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?aybzi?azbx j?axbyk-aybxk-axbz j-azbyi
利用三阶行列式符号,上式可写成
?记忆方法
?(aybz-azby)i?(azbx-axbz)j?(axby-aybx)k.
下页
?向量积的坐标表示
设 a?axi?ay j?azk,b?bxi?by j?bzk,则
a?b ?(aybz-azby)i?(azbx-axbz)j?(axby-aybx)k,
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba ??
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例 4 设 a?(2,1,-1),b?(1,-1,2),计算 a?b,
设 a?axi?ay j?azk,b?bxi?by j?bzk,则
?(aybz-azby)i?(azbx-axbz)j?(axby-aybx)k,
解 ?2i-j-2k-k-4j-i ?i-5j-3k,
下页
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba ??
211
112
-
-??
kji
ba
cbacp r jbahbaV ba ???????? ?? ????????? ? )(
4.
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由于 ?AB ? ( 2,2,2),?AC ? ( 1,2,4),
解 三角形 ABC的面积
例 5 已知三角形 ABC的三个顶点分别
是 A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7),求三角
形 ABC的面积,
下页
因此
? ?
421
222
kji
?? ACAB ? 4 i- 6 j? 2 k,
? ? ? ? ||
2
1s i n||||
2
1 ACABAACABS
ABC ????D,
? ? ? ? ||
2
1s in||||
2
1 ACABAACABS
ABC ????D,
由于 ?AB ? ( 2,2,2),?AC ? ( 1,2,4),
因此
? ?
421
222
kji
?? ACAB ?4i-6j?2k,因此
? ?
42
22
kji
?? ACAB ? 4 i- 6 j? 2 k,
于是 142)6(421|264|21 222 ??-???-?D kjiABCS, 于是 142)6(421|264|21 222 ??-???-?D kjiABCS,
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提示：
例 6 设刚体以等角速度 ?绕 l轴旋转,计算刚体上一点 M的
线速度,
刚体绕 l轴旋转时,我们可以用在 l轴上的一个向量 ?表示
角速度,它的大小等于角速度的大小,它的方向由右手规则定
出, 即以右手握住 l轴,当右手的四个手指的转向与刚体的旋转
方向一致时,大姆指的指向就是 ?的方向,
下页
解
轴上任取一点 O作向量 r?,并以 ?表示
设点 M到旋转轴 l的距离为 a,再在 l
?与 r的夹角,那么
?OM
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设线速度为 v,那么由物理学可知
|v|?|?|a?|?||r|sin? ;
a?|r|sin?,
v垂直于 ?与 r,且 v的指向是使 ?,r,v符合右手规则,因此有
v???r,
结束
例 6 设刚体以等角速度 ?绕 l轴旋转,计算刚体上一点 M的
线速度,
解
轴上任取一点 O作向量 r?,并以 ?表示
设点 M到旋转轴 l的距离为 a,再在 l
?与 r的夹角,那么
?OM
一、两向量的数量积
§ 7.2 数量积 向量积
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一、两向量的数量积
设一物体在常力 F作用下沿直线从点 M1移动到点 M2,以 s
表示位移,
?数量积的物理背景
由物理学知道,力 F所作的功为
W?|F||s|cos?,
其中 ?为 F与 s的夹角,
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对于两个向量 a和 b,它们的模 |a|,|b|及它们的夹角 ? 的余
弦的乘积称为向量 a和 b的数量积,记作 a?b,即
a·b?|a||b|cos?,
?数量积的定义
根据数量积,力 F所作的功 W就是力 F与位移 s的数量积,
即
W?F?s,
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一、两向量的数量积
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?数量积与投影
由于 |b|cos??|b|cos(a,^ b),
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当 a?0时,|b|cos(a,^ b)是向量 b在向量 a
的方向上的投影,于是
a·b?|a|Prjab,
同理,当 b?0时,a·b?|b|Prjba,
所以,
对于两个向量 a和 b,它们的模 |a|,|b|及它们的夹角 ? 的余
弦的乘积称为向量 a和 b的数量积,记作 a?b,即
a·b?|a||b|cos?,
?数量积的定义
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?数量积的性质
(1) a·a?|a|2.
(2) 对于两个非零向量 a,b,如果 a·b?0,则 a?b;
反之,如果 a?b,则 a·b?0.
如果认为零向量与任何向量都垂直,则
a?b?a·b?0.
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弦的乘积称为向量 a和 b的数量积,记作 a?b,即
a·b?|a||b|cos?,
?数量积的定义
一、两向量的数量积
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?数量积的运算律
(1)交换律, a·b?b·a;
(2)分配律, (a?b)·c?a·c?b·c.
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>>>
(3)(?a)·b?a·(?b)??(a·b),
(?a)·(?b)???(a·b),
其中 ?,?为数,
对于两个向量 a和 b,它们的模 |a|,|b|及它们的夹角 ? 的余
弦的乘积称为向量 a和 b的数量积,记作 a?b,即
a·b?|a||b|cos?,
?数量积的定义
一、两向量的数量积
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例 1 试用向量证明三角形的余弦定理,
要证 c2?a2?b2-2abcos?,
则有 c?a-b,
从而 |c|2?c?c?(a-b)(a-b)
?a?a?b?b-2a?b
?|a|2?|b|2-2|a||b|cos(a,^ b),
即 c2?a2?b2-2abcos?.
证明 在 DABC中,∠ BCA??,|CB|?a,|CA|?b,|AB|?c,
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记 ?CB ? a,?CA ? b,?AB ? c,则有
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提示：
?数量积的坐标表示
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a?axi?ay j?azk,b?bxi?by j?bzk,
a·b?(axi?ay j?azk)·(bxi?by j?bzk)
?axbxi·i?axbyi·j?axbzi·k
?aybx j·i?ayby j·j?aybz j·k
?azbxk·i?azbyk·j?azbzk·k
?axbx?ayby?azbz,
a·b?axbx?ayby?azbz, 设 a?(ax,ay,az ),b?(bx,by,bz ),则
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?数量积的坐标表示
a·b?axbx?ayby?azbz, 设 a?(ax,ay,az ),a?(bx,by,bz ),则
设 ??(a,^ b),则当 a?0,b?0时,有
?向量夹角余弦的坐标表示
提示,
a ·b?|a||b|cos?,
222222||||
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bababa
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babab
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例 2 已知三点 M(1,1,1),A(2,2,1)和 B(2,1,2),求 ?AMB.
从 M到 A的向量记为 a,从 M到 B的向量记为 b,则 ?AMB
就是向量 a与 b的夹角,
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2011|| 222 ????a,
2101|| 222 ????b,
所以 2122 1||||c o s ?????? ba baA M B,
从而 3??? A M B,
因为 a?b?1?1?1?0?0?1?1,
b ?(2,1,2)-(1,1,1)
a ?(2,2,1)-(1,1,1)?(1,1,0),
?(1,0,1),
解
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从而,所求 液体的质量为
P??Av·n.
体积为
A|v|cos??Av·n.
这柱体的高为
|v|cos?,
解 单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为 A、
斜高为 |v|的斜柱体,
例 3 在流速为 (常向量 )v的 液体内有一个平面区域 A,n为
垂直于 A的单位向量,计算单位时间内经过这区域流向 n所指
一方的液体的质量 P(液体的密度为 ?).
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二、两向量的向量积
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设向量 c是由两个向量 a与 b按下列方式定出,
c的模 |c|?|a||b|sin(a,^ b);
c的方向垂直于 a与 b所决定的平面,c的指向按右手规则
从 a转向 b来确定,
?向量积的定义
右手规则
那么,向量 c叫做向量 a与 b的向量积,记作 a?b,即
c?a?b,
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?向量积的定义
二、两向量的向量积
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向量 a与 b的向量积 c?a?b:
|c|?|a||b|sin(a,^b);
c的方向垂直于 a与 b所决定的平面,c的指向按右手规则
从 a转向 b来确定,
?向量积的性质 (1) a?a?0;
(2) 对于两个非零向量 a,b,如果 a?b?0,则 a//b;
反之,如果 a//b,则 a?b?0,如果认为零向量与任何向量都平行,
则 a//b?a?b?0.（ 3） 模 ? ?a b?
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在空间直角坐标系中
i?i?j?j?k?k??
i?j?? j?k?? k?i??
(1) 交换律, a?b?-b?a;
(2) 分配律, (a?b)?c?a?c?b?c;
(3) (?a)?b?a?(?b)??(a?b)(?为数 ),
?向量积的运算律
讨论：
提示,i?i?j?j?k?k?0,
i?j?k,j?k?i,k?i?j.
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?向量积的坐标表示
设 a?axi?ay j?azk,b?bxi?by j?bzk,则
提示：
a?b ?(aybz-azby)i?(azbx-axbz)j?(axby-aybx)k,
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?azbxk?i?azbyk?j,
a?b?(axi?ay j?az k)?(bxi?by j?bzk)
?axbyi?j?axbzi?k?aybx j?i?aybz j?k
?(aybz-azby)i?(azbx-axbz)j?(axby-aybx)k,
i?i?j?j?k?k?0,i?j?k,j?k?i,k?i?j.
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?aybzi?azbx j?axbyk-aybxk-axbz j-azbyi
利用三阶行列式符号,上式可写成
?记忆方法
?(aybz-azby)i?(azbx-axbz)j?(axby-aybx)k.
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?向量积的坐标表示
设 a?axi?ay j?azk,b?bxi?by j?bzk,则
a?b ?(aybz-azby)i?(azbx-axbz)j?(axby-aybx)k,
zyx
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例 4 设 a?(2,1,-1),b?(1,-1,2),计算 a?b,
设 a?axi?ay j?azk,b?bxi?by j?bzk,则
?(aybz-azby)i?(azbx-axbz)j?(axby-aybx)k,
解 ?2i-j-2k-k-4j-i ?i-5j-3k,
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zyx
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4.
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由于 ?AB ? ( 2,2,2),?AC ? ( 1,2,4),
解 三角形 ABC的面积
例 5 已知三角形 ABC的三个顶点分别
是 A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7),求三角
形 ABC的面积,
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因此
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222
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1 ACABAACABS
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1 ACABAACABS
ABC ????D,
由于 ?AB ? ( 2,2,2),?AC ? ( 1,2,4),
因此
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222
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22
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于是 142)6(421|264|21 222 ??-???-?D kjiABCS, 于是 142)6(421|264|21 222 ??-???-?D kjiABCS,
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例 6 设刚体以等角速度 ?绕 l轴旋转,计算刚体上一点 M的
线速度,
刚体绕 l轴旋转时,我们可以用在 l轴上的一个向量 ?表示
角速度,它的大小等于角速度的大小,它的方向由右手规则定
出, 即以右手握住 l轴,当右手的四个手指的转向与刚体的旋转
方向一致时,大姆指的指向就是 ?的方向,
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解
轴上任取一点 O作向量 r?,并以 ?表示
设点 M到旋转轴 l的距离为 a,再在 l
?与 r的夹角,那么
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设线速度为 v,那么由物理学可知
|v|?|?|a?|?||r|sin? ;
a?|r|sin?,
v垂直于 ?与 r,且 v的指向是使 ?,r,v符合右手规则,因此有
v???r,
结束
例 6 设刚体以等角速度 ?绕 l轴旋转,计算刚体上一点 M的
线速度,
解
轴上任取一点 O作向量 r?,并以 ?表示
设点 M到旋转轴 l的距离为 a,再在 l
?与 r的夹角,那么
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