§ 8.4 多元复合函数的求导法则
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设 z ? f ( u ? v ) ? 而 u ? ? ( t ) ? v ? ? ( t ) ? 如何求
dt
dz？
设 z ? f ( u ? v ) ? 而 u ? ? ( x ? y ) ? v ? ? ( x ? y ) ? 如何求
x
z
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? 和
y
z
?
?
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设 z?f(u? v? w)? u??(t)? v??(t)? w?w(t)? 则
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>>>
定理 1 如果函数 u??(t)及 v??(t)都在点 t可导 ? 函数 z?f(u? v)
在对应点 (u? v)具有连续偏导数 ? 则复合函数 z?f[?(t)? ?(t)]在点
t可导 ?且有
dt
dv
v
z
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?定理 1的推广
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?中间变量为一元函数的情形
上述 dtdz 称为全导数 ?
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?? ? 设 z?f(u?v)? u??(t)? v??(t)?则
定理 2 如果函数 u??(x?y)? v??(x?y)都在点 (x?y)具有对 x及
y的偏导数 ?函数 z?f(u?v)在对应点 (u?v)具有连续偏导数 ?则复
合函数 z?f[?(x?y)??(x?y)]在点 (x?y)的两个偏导数存在 ?且有
?中间变量为多元函数的情形
?定理 1的推广
设 z?f(u?v? w)? u??(x?y)? v??(x?y)? w?w(x? y)?则
x
w
w
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x
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x
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z
x
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设 z?f(u?v)? u??(x? y)? v??(x?y)?则
例 1 设 z ? e u s i n v ? u ? x y ? v ? x ? y ? 求 xz?? 和 yz?? ? 例 1
解 xvvzxuuzxz ?????????????? 解
?exy[y sin(x?y)?cos(x?y)]??eusin v ?1 ?eucos v ?y
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?eusin v ?exy[x sin(x?y)?cos(x?y)]??1?eucos v ?x
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?? ? 设 z?f(u?v)? u??(t)? v??(t)?则
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设 z?f(u?v)? u??(x? y)? v??(x?y)?则
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?? ? 设 z?f(u?v)? u??(t)? v??(t)?则
( 1 ) 设 z ? f ( u ? v ) ? u ? ? ( x ? y ) ? v ? ? ( y ) ? 则 ??? xz？ ??? yz？
( 2 ) 设 z ? f ( u ? x ? y ) ? 且 u ? ? ( x ? y ) ? 则 ??? xz？ ??? yz？
讨论 ?
提示 ?
( 1 ) xuuzxz ???????? ? dydvvzyuuzyz ???????????? ?
( 2 ) xfxuufxz ?????????? ? yfyuufyz ?????????? ?
( 1 ) xuuzxz ???????? ? dydvvzyuuzyz ????????? ?
( 2 ) xfxuufxz ?????????? ? yfyuufyz ????????? ?
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设 z?f(u?x? y)?且 u??(x?y)?则
x
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x
u
u
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例 2 设 u ? f ( x ? y ? z ) 222 zyxe ??? ? 而 z ? x 2 s i n y ? yuxu ???? 和求 ? 例 2
yxyxeyxx 2422 s i n22 )s i n21(2 ????? ?
解 xzzfxfxu ??????????? yxzexe zyxzyx s in222 222222 ??? ????
y
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? yxzeye zyxzyx c os22 2222222 ??? ????
yxyxeyyxy 2422 s i n4 )c o ss i n(2 ???? ?
解 解
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? yxzexe zyxzyx s in222 222222 ??? ??? 解
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? yxzexe zyxzyx s in222 222222 ??? ???? 解
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? yxzexe zyxzyx sin22 222222 ??? ???
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? yxzeye zyxzyx c os22 2222222 ??? ????
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? yxzeye zyxzyx c os22 2222222 ??? ????
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? yxzeye zyxzyx cos2 2222222 ??? ????
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?etcos t?etsin t?cos t
?v ?cos t ?u ?et ?(?sin t)
下页
解 解
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?et(cos t?sin t)?cos t?
例 3 设 z ? uv ? s i n t ? 而 u ? e t? v ? c o s t ? 求全导数 dtdz ?
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引入记号 ?
u
vuff
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??? ),(
1 ? vu
vuff
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12 ? 同理有 2f ? ? 11f ?? ? 22f ?? 等 ?
提示 ?
1211111 fxyfz
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1211111 fxyfz
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2221222 fxyfz
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v
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解 令 u?x?y?z? v?xyz? 则 w?f(u? v)?
22221211 )( fzxyfyfzxyf ???????????? ?
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例 4 设 w?f(x?y?z? xyz)? f具有二阶连续偏导数 ?
求 xw?? 及 zx w??? 2 ?
21 fyzfx
v
v
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2121
2 )(
2222121211 fzxyfyzfyfxyf ?????????????? 2222121211 fzxyfyzfyfxyf ?????????????? 22221211 fzxyfyzfyfxyf ??????????????
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其中 x ? ? c o s θ ? y ? ? s i n θ ? 22 yx ??? ? xya r c t a n?? ?
应用复合函数求导法则 ?得
x
u
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22 )()( yuxu ?????例 5 设 u?f(x?y)具有连续的偏导数 ?把 转换成
极坐标系中的形式 ?
两式平方后相加 ?得
解 u?f(x?y)?f(?cos???sin?)?F(?? ?)?
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设 z?f(u? v)具有连续偏导数 ? 则有全微分
?全微分形式不变性
如果 z?f(u? v)具有连续偏导数 ? 而 u??(x? y)? v??(x? y)也具
有连续偏导数 ? 则
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dvvzduuzdz ?????? ?
dyyzdxxzdz ??????
dyyvvzyuuzdxxvvzxuuz )()( ????????????????????
)()( dyyvdxxvvzdyyudxxuuz ????????????????
dvvzduuz ?????? ?
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由此可见 ? 无论 z是自变量 u,v的函数或中间变量 u,v的函数 ?
它的全微分形式是一样的 ? 这个性质叫做全微分形式不变性 ?
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设 z?f(u? v)具有连续偏导数 ? 则有全微分
?全微分形式不变性
如果 z?f(u? v)具有连续偏导数 ? 而 u??(x? y)? v??(x? y)也具
有连续偏导数 ? 则
dvvzduuzdz ?????? ?
dyyzdxxzdz ?????? dvvzduuz ?????? ?
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例 6 设 z?eusinv? u?xy? v?x?y? 利用全微分形式不变性求全
微分 ?
解
?exy[ysin(x?y)?cos(x?y)]dx
?(yeusinv?eucosv)dx?(xeusinv?eucosv)dy
?eusinv
?eusinv
?exy[xsin(x?y)?cos(x?y)]dy?
dv ?eucosv du
(dx?dy) ?eucosv (ydx?xdy)
结束
dvvzduuzdz ?????? ?
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设 z ? f ( u ? v ) ? 而 u ? ? ( t ) ? v ? ? ( t ) ? 如何求
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设 z ? f ( u ? v ) ? 而 u ? ? ( x ? y ) ? v ? ? ( x ? y ) ? 如何求
x
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设 z?f(u? v? w)? u??(t)? v??(t)? w?w(t)? 则
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定理 1 如果函数 u??(t)及 v??(t)都在点 t可导 ? 函数 z?f(u? v)
在对应点 (u? v)具有连续偏导数 ? 则复合函数 z?f[?(t)? ?(t)]在点
t可导 ?且有
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dv
v
z
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du
u
z
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?定理 1的推广
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w
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?中间变量为一元函数的情形
上述 dtdz 称为全导数 ?
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?? ? 设 z?f(u?v)? u??(t)? v??(t)?则
定理 2 如果函数 u??(x?y)? v??(x?y)都在点 (x?y)具有对 x及
y的偏导数 ?函数 z?f(u?v)在对应点 (u?v)具有连续偏导数 ?则复
合函数 z?f[?(x?y)??(x?y)]在点 (x?y)的两个偏导数存在 ?且有
?中间变量为多元函数的情形
?定理 1的推广
设 z?f(u?v? w)? u??(x?y)? v??(x?y)? w?w(x? y)?则
x
w
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设 z?f(u?v)? u??(x? y)? v??(x?y)?则
例 1 设 z ? e u s i n v ? u ? x y ? v ? x ? y ? 求 xz?? 和 yz?? ? 例 1
解 xvvzxuuzxz ?????????????? 解
?exy[y sin(x?y)?cos(x?y)]??eusin v ?1 ?eucos v ?y
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?eusin v ?exy[x sin(x?y)?cos(x?y)]??1?eucos v ?x
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?? ? 设 z?f(u?v)? u??(t)? v??(t)?则
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?? ? 设 z?f(u?v)? u??(t)? v??(t)?则
( 1 ) 设 z ? f ( u ? v ) ? u ? ? ( x ? y ) ? v ? ? ( y ) ? 则 ??? xz？ ??? yz？
( 2 ) 设 z ? f ( u ? x ? y ) ? 且 u ? ? ( x ? y ) ? 则 ??? xz？ ??? yz？
讨论 ?
提示 ?
( 1 ) xuuzxz ???????? ? dydvvzyuuzyz ???????????? ?
( 2 ) xfxuufxz ?????????? ? yfyuufyz ?????????? ?
( 1 ) xuuzxz ???????? ? dydvvzyuuzyz ????????? ?
( 2 ) xfxuufxz ?????????? ? yfyuufyz ????????? ?
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设 z?f(u?x? y)?且 u??(x?y)?则
x
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例 2 设 u ? f ( x ? y ? z ) 222 zyxe ??? ? 而 z ? x 2 s i n y ? yuxu ???? 和求 ? 例 2
yxyxeyxx 2422 s i n22 )s i n21(2 ????? ?
解 xzzfxfxu ??????????? yxzexe zyxzyx s in222 222222 ??? ????
y
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? yxzeye zyxzyx c os22 2222222 ??? ????
yxyxeyyxy 2422 s i n4 )c o ss i n(2 ???? ?
解 解
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? yxzexe zyxzyx s in222 222222 ??? ??? 解
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? yxzexe zyxzyx s in222 222222 ??? ???? 解
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? yxzeye zyxzyx cos2 2222222 ??? ????
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?etcos t?etsin t?cos t
?v ?cos t ?u ?et ?(?sin t)
下页
解 解
t
z
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dv
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?et(cos t?sin t)?cos t?
例 3 设 z ? uv ? s i n t ? 而 u ? e t? v ? c o s t ? 求全导数 dtdz ?
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引入记号 ?
u
vuff
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??? ),(
1 ? vu
vuff
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??? ),(
12 ? 同理有 2f ? ? 11f ?? ? 22f ?? 等 ?
提示 ?
1211111 fxyfz
v
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1211111 fxyfz
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2221222 fxyfz
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v
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????????
解 令 u?x?y?z? v?xyz? 则 w?f(u? v)?
22221211 )( fzxyfyfzxyf ???????????? ?
下页
例 4 设 w?f(x?y?z? xyz)? f具有二阶连续偏导数 ?
求 xw?? 及 zx w??? 2 ?
21 fyzfx
v
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其中 x ? ? c o s θ ? y ? ? s i n θ ? 22 yx ??? ? xya r c t a n?? ?
应用复合函数求导法则 ?得
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22 )()( yuxu ?????例 5 设 u?f(x?y)具有连续的偏导数 ?把 转换成
极坐标系中的形式 ?
两式平方后相加 ?得
解 u?f(x?y)?f(?cos???sin?)?F(?? ?)?
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设 z?f(u? v)具有连续偏导数 ? 则有全微分
?全微分形式不变性
如果 z?f(u? v)具有连续偏导数 ? 而 u??(x? y)? v??(x? y)也具
有连续偏导数 ? 则
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由此可见 ? 无论 z是自变量 u,v的函数或中间变量 u,v的函数 ?
它的全微分形式是一样的 ? 这个性质叫做全微分形式不变性 ?
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设 z?f(u? v)具有连续偏导数 ? 则有全微分
?全微分形式不变性
如果 z?f(u? v)具有连续偏导数 ? 而 u??(x? y)? v??(x? y)也具
有连续偏导数 ? 则
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dyyzdxxzdz ?????? dvvzduuz ?????? ?
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例 6 设 z?eusinv? u?xy? v?x?y? 利用全微分形式不变性求全
微分 ?
解
?exy[ysin(x?y)?cos(x?y)]dx
?(yeusinv?eucosv)dx?(xeusinv?eucosv)dy
?eusinv
?eusinv
?exy[xsin(x?y)?cos(x?y)]dy?
dv ?eucosv du
(dx?dy) ?eucosv (ydx?xdy)
结束
dvvzduuzdz ?????? ?
