一、全微分的定义
二 *、全微分在近似计算中的应用
§ 8.3 全微分及其应用
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一、全微分的定义
———— 函数 f(x,y)对 x的偏微分
—— 函数 f(x,y)对 y的偏增量
———— 函数 f(x,y)对 y的偏微分
?全增量
?z?f(x??x,y??y)?f(x,y).
?偏增量与偏微分
f(x??x,y)?f(x,y)?fx(x,y)?x,
f(x,y??y)?f(x,y)?fy(x,y)?y,
—— 函数 f(x,y)对 x的偏增量
下页
根据一元函数微分学中增量与微分的关系,有
f(x??x,y)?f(x,y)
f(x,y??y)?f(x,y)
fx(x,y)?x
fy(x,y)?y
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?全微分的定义
其中 A,B不依赖于 ?x,?y而仅与 x,y有关,则称函数 z?f(x,y)
在点 (x,y)可微分,而 A?x?B?y称为函数 z?f(x,y)在点 (x,y)的全
微分,记作 dz,即 dz?A?x?B?y.
如果函数在区域 D内各点处都可微分,那么称这函数在 D
内可微分,
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如果函数 z?f(x,y)在点 (x,y)的全增量
?z?f(x??x,y??y)?f(x,y)
可表示为
) )()(( )( 22 yxoyBxAz ?????????? ??,
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?可微分与连续
偏导数存在不一定连续,但可微分必连续,
这是因为,如果 z?f(x,y)在点 (x,y)可微,则
?z?f(x??x,y??y)?f(x,y)?A?x?B?y?o(?),
因此函数 z?f(x,y)在点 (x,y)处连续,
下页
0lim 0 ??? z?,
于是
),(]),([lim),(lim 0)0,0(),( yxfzyxfyyxxfyx ???????? ???? ?, 从而 ),(]),([lim),(lim 0)0,0(),( yxfzyxfyyxxfyx ???????? ???? ?, ),(]),([lim),(lim 0)0,0(),( yxfzyxfyyxxfyx ??????? ???? ?,
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?可微分的必要条件
>>>
?应注意的问题
>>>
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?可微分与连续
偏导数存在不一定连续,但可微分必连续,
如果函数 z?f(x,y)在点 (x,y)可微分,则函数在该点的偏导
数 xz??, yz?? 必定存在,且函数 z ? f ( x,y ) 在点 ( x,y ) 的全微分为
yyzxxzdz ????????,
偏导数存在是可微分的必要条件,但不是充分条件,
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?可微分的充分条件
以上结论可推广到三元及三元以上函数,
下页
?可微分的必要条件
?可微分与连续
偏导数存在不一定连续,但可微分必连续,
如果函数 z?f(x,y)在点 (x,y)可微分,则函数在该点的偏导
数 xz??, yz?? 必定存在,且函数 z ? f ( x,y ) 在点 ( x,y ) 的全微分为
yyzxxzdz ????????,
则函数在该点可微分,
如果函数 z ? f ( x,y ) 的偏导数 xz??, yz?? 在点 ( x,y ) 连续,
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?叠加原理
按着习惯,?x,?y分别记作 dx,dy,并分别称为自变量的
微分,这样函数 z?f(x,y)的全微分可写作
二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为
二元函数的微分符合叠加原理,
叠加原理也适用于二元以上的函数,例如 u?f(x,y,z)的全
微分为
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dyyzdxxzdz ??????,
dzzudyyudxxudu ?????????,
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例 1 计算函数 z?x2y?y2的全微分,
解
所以
例 2 计算函数 z?exy在点 (2,1)处的全微分,
解
所以
dz?2xydx?(x2?2y)dy,
dz?e2dx?2e2dy.
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设 z ? f ( x,y ),则 dyyzdxxzdz ??????,
解 因为 xyxz 2???,yxyz 22 ????,解 因为 xyxz 2???,yxyz 22 ???,
因为
因为 xyye
x
z ?
?
?,xyxe
y
z ?
?
?,xyye
x
z ?
?
?,xyxe
y
z ?
?
?,
2
1
2 exz
y
x ???
?
?,2
1
2 2 ey
z
y
x ??
?
?
?,212 ex
z
y
x ???
?
?,2
1
2 2 ey
z
y
x ??
?
?
?,
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解
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设 u ? f ( x,y,z ),则 dzzudyyudxxudu ?????????,
例 3 例 3 计算函数 yzeyxu ???
2s i n 的全微分,
因为 1???xu,yzzeyyu ???? 2cos21,yzyezu ???,因为因为 1??? xu,yzzeyyu ???? 2c o s21,yzyezu ???,因为 1??? xu,yzzeyyu ???? 2c o s,yzyezu ???,
所以 dzyedyzeydxdu yzyz ???? )2c o s21(,
所以
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二 *、全微分在近似计算中的应用
当函数 z?f(x,y)在点 (x,y)的两个偏导数 fx(x,y),fy(x,y)连续,
并且 |?x|,|?y|都较小时,有近似等式
?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y,
即 f(x??x,y??y)?f(x,y)?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y,
我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算,
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例 4 有一圆柱体,受压后发生形变,它的半径由 20cm增大
到 20,05cm,高度由 100cu减少到 99cm,求此圆柱体体积变化
的近似值,
解 设圆柱体的半径, 高和体积依次为 r,h和 V,
则有 V?? r2h.
即此圆柱体在受压后体积约减少了 200?cm3,
?2??20?100?0.05???202?(?1)
?V?dV ?2?rh?r??r2?h
??200?(cm3),
?Vr?r?Vh?h
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f(x??x,y??y)?f(x,y)?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y,
?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y,
已知 r?20,h?100,?r?0,05,?h??1,根据近似公式,有
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例 5 计算 (1.04)2.02的近似值,
(1.04)2.02 所以
?x y?yx y?1?x?x yln x ?y,
f(x??x,y??y)?f(x,y)?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y
?1.08,?12?2?12?1?0.04?12?ln1?0.02
解 设函数 f(x,y)?x y,显然,要计算的值就是函数在
x?1.04,y?2.02时的函数值 f(1.04,2.02).
结束
f(x??x,y??y)?f(x,y)?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y,
?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y,
因为取 x?1,y?2,?x?0.04,?y?0.02,
二 *、全微分在近似计算中的应用
§ 8.3 全微分及其应用
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一、全微分的定义
———— 函数 f(x,y)对 x的偏微分
—— 函数 f(x,y)对 y的偏增量
———— 函数 f(x,y)对 y的偏微分
?全增量
?z?f(x??x,y??y)?f(x,y).
?偏增量与偏微分
f(x??x,y)?f(x,y)?fx(x,y)?x,
f(x,y??y)?f(x,y)?fy(x,y)?y,
—— 函数 f(x,y)对 x的偏增量
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根据一元函数微分学中增量与微分的关系,有
f(x??x,y)?f(x,y)
f(x,y??y)?f(x,y)
fx(x,y)?x
fy(x,y)?y
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?全微分的定义
其中 A,B不依赖于 ?x,?y而仅与 x,y有关,则称函数 z?f(x,y)
在点 (x,y)可微分,而 A?x?B?y称为函数 z?f(x,y)在点 (x,y)的全
微分,记作 dz,即 dz?A?x?B?y.
如果函数在区域 D内各点处都可微分,那么称这函数在 D
内可微分,
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如果函数 z?f(x,y)在点 (x,y)的全增量
?z?f(x??x,y??y)?f(x,y)
可表示为
) )()(( )( 22 yxoyBxAz ?????????? ??,
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?可微分与连续
偏导数存在不一定连续,但可微分必连续,
这是因为,如果 z?f(x,y)在点 (x,y)可微,则
?z?f(x??x,y??y)?f(x,y)?A?x?B?y?o(?),
因此函数 z?f(x,y)在点 (x,y)处连续,
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于是
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?可微分的必要条件
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?应注意的问题
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?可微分与连续
偏导数存在不一定连续,但可微分必连续,
如果函数 z?f(x,y)在点 (x,y)可微分,则函数在该点的偏导
数 xz??, yz?? 必定存在,且函数 z ? f ( x,y ) 在点 ( x,y ) 的全微分为
yyzxxzdz ????????,
偏导数存在是可微分的必要条件,但不是充分条件,
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?可微分的充分条件
以上结论可推广到三元及三元以上函数,
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?可微分的必要条件
?可微分与连续
偏导数存在不一定连续,但可微分必连续,
如果函数 z?f(x,y)在点 (x,y)可微分,则函数在该点的偏导
数 xz??, yz?? 必定存在,且函数 z ? f ( x,y ) 在点 ( x,y ) 的全微分为
yyzxxzdz ????????,
则函数在该点可微分,
如果函数 z ? f ( x,y ) 的偏导数 xz??, yz?? 在点 ( x,y ) 连续,
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?叠加原理
按着习惯,?x,?y分别记作 dx,dy,并分别称为自变量的
微分,这样函数 z?f(x,y)的全微分可写作
二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为
二元函数的微分符合叠加原理,
叠加原理也适用于二元以上的函数,例如 u?f(x,y,z)的全
微分为
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dyyzdxxzdz ??????,
dzzudyyudxxudu ?????????,
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例 1 计算函数 z?x2y?y2的全微分,
解
所以
例 2 计算函数 z?exy在点 (2,1)处的全微分,
解
所以
dz?2xydx?(x2?2y)dy,
dz?e2dx?2e2dy.
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设 z ? f ( x,y ),则 dyyzdxxzdz ??????,
解 因为 xyxz 2???,yxyz 22 ????,解 因为 xyxz 2???,yxyz 22 ???,
因为
因为 xyye
x
z ?
?
?,xyxe
y
z ?
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?,xyye
x
z ?
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?,xyxe
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x ???
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1
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设 u ? f ( x,y,z ),则 dzzudyyudxxudu ?????????,
例 3 例 3 计算函数 yzeyxu ???
2s i n 的全微分,
因为 1???xu,yzzeyyu ???? 2cos21,yzyezu ???,因为因为 1??? xu,yzzeyyu ???? 2c o s21,yzyezu ???,因为 1??? xu,yzzeyyu ???? 2c o s,yzyezu ???,
所以 dzyedyzeydxdu yzyz ???? )2c o s21(,
所以
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二 *、全微分在近似计算中的应用
当函数 z?f(x,y)在点 (x,y)的两个偏导数 fx(x,y),fy(x,y)连续,
并且 |?x|,|?y|都较小时,有近似等式
?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y,
即 f(x??x,y??y)?f(x,y)?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y,
我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算,
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例 4 有一圆柱体,受压后发生形变,它的半径由 20cm增大
到 20,05cm,高度由 100cu减少到 99cm,求此圆柱体体积变化
的近似值,
解 设圆柱体的半径, 高和体积依次为 r,h和 V,
则有 V?? r2h.
即此圆柱体在受压后体积约减少了 200?cm3,
?2??20?100?0.05???202?(?1)
?V?dV ?2?rh?r??r2?h
??200?(cm3),
?Vr?r?Vh?h
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f(x??x,y??y)?f(x,y)?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y,
?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y,
已知 r?20,h?100,?r?0,05,?h??1,根据近似公式,有
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例 5 计算 (1.04)2.02的近似值,
(1.04)2.02 所以
?x y?yx y?1?x?x yln x ?y,
f(x??x,y??y)?f(x,y)?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y
?1.08,?12?2?12?1?0.04?12?ln1?0.02
解 设函数 f(x,y)?x y,显然,要计算的值就是函数在
x?1.04,y?2.02时的函数值 f(1.04,2.02).
结束
f(x??x,y??y)?f(x,y)?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y,
?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y,
因为取 x?1,y?2,?x?0.04,?y?0.02,
