一、空间直线的一般方程
二、空间直线的对称式方程与参数方程
三、两直线的夹角
四、直线与平面的夹角
五、杂例
§ 7.8 空间直线及其方程
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分析,点 M在直线 L上 ?点 M同时在这两个平面上,
?点 M的坐标同时满足这两个平面的方程,
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看作是两个平面的交线,
设直线 L是平面 ?1和 ?2的交线,平面的方程分别为
A1x+B1y+C1z+D1=0和 A2x+B2y+C2z+D2=0,
这就是空间直线的一般方程,
??
?
=+++
=+++
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA,
来表示,
那么直线 L可以用方程组
首页
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二、空间直线的对称式方程与参数方程
如果一个非零向量平行于一条已知直线,这个向量就叫
做这条直线的方向向量,
?方向向量
直线上任一向量都平行于该直线的方向向量,
当直线 L上一点 M0(x0,y0,x0)和它的
一方向向量 s=(m,n,p)为已知时,直线 L
的位置就完全确定了,
?确定直线的条件
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?直线的对称式方程
求通过点 M0(x0,y0,x0),方向向量为 s=(m,n,p)的直线的方
程,
(x-x0,y-y0,z-z0)//s,
从而有
这 就是直线的方程,叫做直线的对称式方程,
p
zz
n
yy
m
xx 000 -=-=-,
直线的任一方向向量 s的坐标 m,n,p叫做这直线的一
组 方向数,向量 s的方向余弦叫做该直线的 方向余弦,
则从 M0到 M的向量平行于方向向量,
设 M(x,y,z)为直线上的任一点,
下页
>>>注
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通过点 M0(x0,y0,x0),方向向量为 s=(m,n,p)的直线方程,
?直线的参数方程
设 pzzn yym xx 000 -=-=- = t,得 方 程 组
??
?
?
?
+=
+=
+=
ptzz
ntyy
mtxx
0
0
0
,
此方程组就是直线的参数方程,
下页
p
zz
n
yy
m
xx 000 -=-=-,
设 pzznyymxx 000 -=-=- =t,得 方 程 组
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提示：
先求直线上的一点,再求这直线的方向向量 s.
提示：
当 x = 1 时,有 ??? =+- -=+ 23 2zy zy,此 方 程 组 的 解 为 y = - 2,z = 0,
提示：
kji
kji
kjikjis 34
312
111
)32()( --=
-
=+-?++=,
提示：
令 tzyx =-=-+=- 31 24 1,有 x = 1 + 4 t,y = - 2 - t,z = - 3 t,
于是 (1,-2,0)是直线上的一点,
在直线的一般方程中 令 x=1,解
以平面 x+y+z=-1和 2x-y+3z=4的法线向量的向量积作为
直线的方向向量 s:
=4i-j-3k.s=(i+j+k)?(2i-j+3k)
可得 y=-2,z=0.
所给直线的对称式方程为
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例 1
例 1 用对称式方程及参数方程表示直线 ??? =+- =++ 432 1zyx zyx,
31
2
4
1
-=-
+=- zyx,
所给直线的参数方程为 x=1+4t,y=-2-t,z=-3t.
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三、两直线的夹角
两直线的方向向量的夹角 (通常指锐角 )叫做两直线的夹
角,
设直线 L1和 L2的方向向量分别为
s1=(m1,n1,p1)和 s2=(m2,n2,p2),
那么 L1和 L2的夹角 j满足
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|),c o s (|c o s 2^1 ss=j
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||
pnmpnm
ppnnmm
++?++
++=,
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方向向量分别为 (m1,n1,p1)和 (m2,n2,p2)的直线的夹角余弦,
例 2 求直线 L 1, 1 341 1 +=-=- zyx 和 L 2, 12 22 -=-+= zyx 的夹角, 例 2
解 两直线的方向向量分别为
设两直线的夹角为 j,则
(1,-4,1)和 (2,-2,-1).
下页
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||c o s
pnmpnm
ppnnmm
++?++
++=j,
2
2
2
1
)1()2(21)4(1
|)1(1)2()4(21|c o s
222222
==
-+-+?+-+
-?+-?-+?=j,
所以 4?j =,
2
2
2
1
)1()2(21)4(1
|)1(1)2()4(21|c o s
222222
==
-+-+?+-+
-?+-?-+?=j,
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?两直线垂直与平行的条件
设有两直线
L1?L2?m1m2+n1n2+p1p2=0;则
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方向向量分别为 (m1,n1,p1)和 (m2,n2,p2)的直线的夹角余弦,
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||c o s
pnmpnm
ppnnmm
++?++
++=j,
L 1,
1
1
1
1
1
1
p
zz
n
yy
m
xx -=-=-,L
2,
2
2
2
2
2
2
p
zz
n
yy
m
xx -=-=-,
L 1 // L 2 ?
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m ==,
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提示：
四、直线与平面的夹角
当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直线
的夹角 j称为直线与平面的夹角,当直线与平面垂直时,规定
直线与平面的夹角为 90?.
设直线的方向向量为 s=(m,n,p),平
面的法线向量为 n=(A,B,C),则 直线与平
面的夹角 j满足
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222222
||s i n
pnmCBA
CpBnAm
++?++
++=j,
|),(2| ^ ns-= ?j,|),c o s (|s i n ^ ns=j,
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方向向量为 (m,n,p)的直线 与 法线向量为 (A,B,C)的平面
的夹角 j满足
?直线与平面垂直和平行的条件
设直线 L的方向向量为 s=(m,n,p),平面 ? 的法线向量为
n=(A,B,C),则
L//? ?Am+Bn+Cp=0.
下页
222222
||s i n
pnmCBA
CpBnAm
++?++
++=j,
L ? ? ? pCnBmA == ;
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例 3 求过点 (1,-2,4)且与平面 2x-3y+z-4=0垂直的直线的
方程,
平面的法线向量 (2,-3,1)可以作为所求直线的方向向
量,由此可得所求直线的方程为
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解
1
4
3
2
2
1 -=
-
+=- zyx,
设直线 L的方向向量为 s=(m,n,p),平面 ? 的法线向量为
n=(A,B,C),则
L//? ?Am+Bn+Cp=0.
L ? ? ? pCnBmA == ;
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平面 x-4z=3和 2x-y-5z=1的交线的方向向量就是所求
直线的方向向量 s.
五、杂例
例 4 求与两平面 x-4z=3和 2x-y-5z=1的交线平行且过点
(-3,2,5)的直线的方程,
解
因为
所以,所求直线的方程为
下页
)34(
512
401
)52()4( kji
kji
kjikis ++-=
--
-=--?-=,
1
5
3
2
4
3 -=-=+ zyx,
)34(
512
401
)52()4( kji
kji
kjikis ++-=
--
-=--?-=,)34
512
401
)52()4( kji
kji
kjikis ++-=
--
=--?-=,
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x=2+t,y=3+t,z=4+2t,
代入平面方程中,得
2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0.
解上列方程,得 t=-1.
将 t=-1代入直线的参数方程,得所求交点的坐标为
x=1,y=2,z=2.
解 所给直线的参数方程为
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例 5例 5 求直线
2
4
1
3
1
2 -=-=- zyx 与平面 2 x + y + z - 6 = 0 的交点,
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解
下页
例 6
的直线的方程,
例 6 求过点 (2,1,2 ) 且与直线 2 41 31 2 -=-=- zyx 垂直相交
所求直线的方向向量为
s=(1,2,2)-(2,1,2)=(-1,1,0),
过已知点且与已知直线相垂直的平面的方程为
(x-2)+(y-1)+2(z-2)=0,即 x+y+2z=7.
此平面与已知直线的交点为 (1,2,2).
提示：
求出两直线的交点是关键,而交点就是过已知点且与已
知直线相垂直的平面与已知直线的交点,
>>>
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解
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例 6
的直线的方程,
例 6 求过点 (2,1,2 ) 且与直线 2 41 31 2 -=-=- zyx 垂直相交
所求直线的方向向量为
s=(1,2,2)-(2,1,2)=(-1,1,0),
过已知点且与已知直线相垂直的平面的方程为
(x-2)+(y-1)+2(z-2)=0,即 x+y+2z=7.
此平面与已知直线的交点为 (1,2,2).
0
2
1
1
1
2 -=-=
-
- zyx,即
??
?
?
?
=-
-=
-
-
02
1
1
1
2
z
yx
,
0
2
1
1
1
2 -=-=
-
- zyx,即
??
?
?
?
=-
-=
-
-
02
1
1
1
2
z
yx
,
所求直线的方程为
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分析：
因为 A1,B1,C1与 A2,B2,C2不成比例,所以对于任何一
个 l值,上述方程的系数不全为零,从而它表示一个平面,
分析：
对于不同的 l值,所对应的平面也不同,而且这些平面都
通过直线 L,即 这个方程表示通过直线 L的一族平面,
分析：
另一方面,任何通过直线 L的平面也一定包含在上述通过
L的平面族中,
?平面束
考虑三元一次方程,
A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0,
即 (A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,
其中 l为任意常数,
下页
其中系数 A1,B1,C1与 A2,B2,C2不成比例,
??
?
=+++
=+++
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA,
设直线 L的一般方程为
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上述方程表示通过定直线 L的所有平面的全体,称为平面束,
下页
?平面束
考虑三元一次方程,
A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0,即
(A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,其中 l为任意常数,
其中系数 A1,B1,C1与 A2,B2,C2不成比例,
??
?
=+++
=+++
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA,
设直线 L的一般方程为
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提示,
我们要在通过已知直线的平面束中找出与已知平面相垂
直的平面,此平面与已知平面的交线就是 所求的投影直线,
提示,
这是平面束的法线向量 (1+l,1-l,-1+l)与已知平面的法
线向量 (1,1,1)的数量积,
(x+y-z-1)+l(x-y+z+1)=0,
即 (1+l)x+(1-l)y+(-1+l)z+(-1+l)=0.
为了求得与已知平面 x+y+z=0垂直的平面,令
(1+l)?1+(1-l)?1+(-1+l)?1=0,
解 设通过已知直线的平面束的方程为
下页
的方程,
例 7
例 7 求直线 ??? =++- =--+ 01 01zyx zyx 在平面 x + y + z = 0 上的投影直线
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即 y-z-1=0.2y-2z-2=0,
于是 得到与已知平面垂直的平面的方程为解得 l=-1.
所以投影直线的方程为
结束
(x+y-z-1)+l(x-y+z+1)=0,
即 (1+l)x+(1-l)y+(-1+l)z+(-1+l)=0.
为了求得与已知平面 x+y+z=0垂直的平面,令
(1+l)?1+(1-l)?1+(-1+l)?1=0,
解 设通过已知直线的平面束的方程为
的方程,
例 7
例 7 求直线 ??? =++- =--+ 01 01zyx zyx 在平面 x + y + z = 0 上的投影直线
??
?
=++
=--
0
01
zyx
zy,
二、空间直线的对称式方程与参数方程
三、两直线的夹角
四、直线与平面的夹角
五、杂例
§ 7.8 空间直线及其方程
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分析,点 M在直线 L上 ?点 M同时在这两个平面上,
?点 M的坐标同时满足这两个平面的方程,
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看作是两个平面的交线,
设直线 L是平面 ?1和 ?2的交线,平面的方程分别为
A1x+B1y+C1z+D1=0和 A2x+B2y+C2z+D2=0,
这就是空间直线的一般方程,
??
?
=+++
=+++
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA,
来表示,
那么直线 L可以用方程组
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二、空间直线的对称式方程与参数方程
如果一个非零向量平行于一条已知直线,这个向量就叫
做这条直线的方向向量,
?方向向量
直线上任一向量都平行于该直线的方向向量,
当直线 L上一点 M0(x0,y0,x0)和它的
一方向向量 s=(m,n,p)为已知时,直线 L
的位置就完全确定了,
?确定直线的条件
下页
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?直线的对称式方程
求通过点 M0(x0,y0,x0),方向向量为 s=(m,n,p)的直线的方
程,
(x-x0,y-y0,z-z0)//s,
从而有
这 就是直线的方程,叫做直线的对称式方程,
p
zz
n
yy
m
xx 000 -=-=-,
直线的任一方向向量 s的坐标 m,n,p叫做这直线的一
组 方向数,向量 s的方向余弦叫做该直线的 方向余弦,
则从 M0到 M的向量平行于方向向量,
设 M(x,y,z)为直线上的任一点,
下页
>>>注
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通过点 M0(x0,y0,x0),方向向量为 s=(m,n,p)的直线方程,
?直线的参数方程
设 pzzn yym xx 000 -=-=- = t,得 方 程 组
??
?
?
?
+=
+=
+=
ptzz
ntyy
mtxx
0
0
0
,
此方程组就是直线的参数方程,
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p
zz
n
yy
m
xx 000 -=-=-,
设 pzznyymxx 000 -=-=- =t,得 方 程 组
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提示：
先求直线上的一点,再求这直线的方向向量 s.
提示：
当 x = 1 时,有 ??? =+- -=+ 23 2zy zy,此 方 程 组 的 解 为 y = - 2,z = 0,
提示：
kji
kji
kjikjis 34
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)32()( --=
-
=+-?++=,
提示：
令 tzyx =-=-+=- 31 24 1,有 x = 1 + 4 t,y = - 2 - t,z = - 3 t,
于是 (1,-2,0)是直线上的一点,
在直线的一般方程中 令 x=1,解
以平面 x+y+z=-1和 2x-y+3z=4的法线向量的向量积作为
直线的方向向量 s:
=4i-j-3k.s=(i+j+k)?(2i-j+3k)
可得 y=-2,z=0.
所给直线的对称式方程为
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例 1
例 1 用对称式方程及参数方程表示直线 ??? =+- =++ 432 1zyx zyx,
31
2
4
1
-=-
+=- zyx,
所给直线的参数方程为 x=1+4t,y=-2-t,z=-3t.
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三、两直线的夹角
两直线的方向向量的夹角 (通常指锐角 )叫做两直线的夹
角,
设直线 L1和 L2的方向向量分别为
s1=(m1,n1,p1)和 s2=(m2,n2,p2),
那么 L1和 L2的夹角 j满足
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|),c o s (|c o s 2^1 ss=j
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||
pnmpnm
ppnnmm
++?++
++=,
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方向向量分别为 (m1,n1,p1)和 (m2,n2,p2)的直线的夹角余弦,
例 2 求直线 L 1, 1 341 1 +=-=- zyx 和 L 2, 12 22 -=-+= zyx 的夹角, 例 2
解 两直线的方向向量分别为
设两直线的夹角为 j,则
(1,-4,1)和 (2,-2,-1).
下页
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||c o s
pnmpnm
ppnnmm
++?++
++=j,
2
2
2
1
)1()2(21)4(1
|)1(1)2()4(21|c o s
222222
==
-+-+?+-+
-?+-?-+?=j,
所以 4?j =,
2
2
2
1
)1()2(21)4(1
|)1(1)2()4(21|c o s
222222
==
-+-+?+-+
-?+-?-+?=j,
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?两直线垂直与平行的条件
设有两直线
L1?L2?m1m2+n1n2+p1p2=0;则
首页
方向向量分别为 (m1,n1,p1)和 (m2,n2,p2)的直线的夹角余弦,
2
2
2
2
2
2
2
1
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1
212121 ||c o s
pnmpnm
ppnnmm
++?++
++=j,
L 1,
1
1
1
1
1
1
p
zz
n
yy
m
xx -=-=-,L
2,
2
2
2
2
2
2
p
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n
yy
m
xx -=-=-,
L 1 // L 2 ?
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m ==,
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提示：
四、直线与平面的夹角
当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直线
的夹角 j称为直线与平面的夹角,当直线与平面垂直时,规定
直线与平面的夹角为 90?.
设直线的方向向量为 s=(m,n,p),平
面的法线向量为 n=(A,B,C),则 直线与平
面的夹角 j满足
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||s i n
pnmCBA
CpBnAm
++?++
++=j,
|),(2| ^ ns-= ?j,|),c o s (|s i n ^ ns=j,
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方向向量为 (m,n,p)的直线 与 法线向量为 (A,B,C)的平面
的夹角 j满足
?直线与平面垂直和平行的条件
设直线 L的方向向量为 s=(m,n,p),平面 ? 的法线向量为
n=(A,B,C),则
L//? ?Am+Bn+Cp=0.
下页
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||s i n
pnmCBA
CpBnAm
++?++
++=j,
L ? ? ? pCnBmA == ;
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例 3 求过点 (1,-2,4)且与平面 2x-3y+z-4=0垂直的直线的
方程,
平面的法线向量 (2,-3,1)可以作为所求直线的方向向
量,由此可得所求直线的方程为
首页
解
1
4
3
2
2
1 -=
-
+=- zyx,
设直线 L的方向向量为 s=(m,n,p),平面 ? 的法线向量为
n=(A,B,C),则
L//? ?Am+Bn+Cp=0.
L ? ? ? pCnBmA == ;
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平面 x-4z=3和 2x-y-5z=1的交线的方向向量就是所求
直线的方向向量 s.
五、杂例
例 4 求与两平面 x-4z=3和 2x-y-5z=1的交线平行且过点
(-3,2,5)的直线的方程,
解
因为
所以,所求直线的方程为
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)34(
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401
)52()4( kji
kji
kjikis ++-=
--
-=--?-=,
1
5
3
2
4
3 -=-=+ zyx,
)34(
512
401
)52()4( kji
kji
kjikis ++-=
--
-=--?-=,)34
512
401
)52()4( kji
kji
kjikis ++-=
--
=--?-=,
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x=2+t,y=3+t,z=4+2t,
代入平面方程中,得
2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0.
解上列方程,得 t=-1.
将 t=-1代入直线的参数方程,得所求交点的坐标为
x=1,y=2,z=2.
解 所给直线的参数方程为
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例 5例 5 求直线
2
4
1
3
1
2 -=-=- zyx 与平面 2 x + y + z - 6 = 0 的交点,
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解
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例 6
的直线的方程,
例 6 求过点 (2,1,2 ) 且与直线 2 41 31 2 -=-=- zyx 垂直相交
所求直线的方向向量为
s=(1,2,2)-(2,1,2)=(-1,1,0),
过已知点且与已知直线相垂直的平面的方程为
(x-2)+(y-1)+2(z-2)=0,即 x+y+2z=7.
此平面与已知直线的交点为 (1,2,2).
提示：
求出两直线的交点是关键,而交点就是过已知点且与已
知直线相垂直的平面与已知直线的交点,
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解
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例 6
的直线的方程,
例 6 求过点 (2,1,2 ) 且与直线 2 41 31 2 -=-=- zyx 垂直相交
所求直线的方向向量为
s=(1,2,2)-(2,1,2)=(-1,1,0),
过已知点且与已知直线相垂直的平面的方程为
(x-2)+(y-1)+2(z-2)=0,即 x+y+2z=7.
此平面与已知直线的交点为 (1,2,2).
0
2
1
1
1
2 -=-=
-
- zyx,即
??
?
?
?
=-
-=
-
-
02
1
1
1
2
z
yx
,
0
2
1
1
1
2 -=-=
-
- zyx,即
??
?
?
?
=-
-=
-
-
02
1
1
1
2
z
yx
,
所求直线的方程为
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分析：
因为 A1,B1,C1与 A2,B2,C2不成比例,所以对于任何一
个 l值,上述方程的系数不全为零,从而它表示一个平面,
分析：
对于不同的 l值,所对应的平面也不同,而且这些平面都
通过直线 L,即 这个方程表示通过直线 L的一族平面,
分析：
另一方面,任何通过直线 L的平面也一定包含在上述通过
L的平面族中,
?平面束
考虑三元一次方程,
A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0,
即 (A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,
其中 l为任意常数,
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其中系数 A1,B1,C1与 A2,B2,C2不成比例,
??
?
=+++
=+++
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA,
设直线 L的一般方程为
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上述方程表示通过定直线 L的所有平面的全体,称为平面束,
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?平面束
考虑三元一次方程,
A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0,即
(A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,其中 l为任意常数,
其中系数 A1,B1,C1与 A2,B2,C2不成比例,
??
?
=+++
=+++
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA,
设直线 L的一般方程为
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提示,
我们要在通过已知直线的平面束中找出与已知平面相垂
直的平面,此平面与已知平面的交线就是 所求的投影直线,
提示,
这是平面束的法线向量 (1+l,1-l,-1+l)与已知平面的法
线向量 (1,1,1)的数量积,
(x+y-z-1)+l(x-y+z+1)=0,
即 (1+l)x+(1-l)y+(-1+l)z+(-1+l)=0.
为了求得与已知平面 x+y+z=0垂直的平面,令
(1+l)?1+(1-l)?1+(-1+l)?1=0,
解 设通过已知直线的平面束的方程为
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的方程,
例 7
例 7 求直线 ??? =++- =--+ 01 01zyx zyx 在平面 x + y + z = 0 上的投影直线
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即 y-z-1=0.2y-2z-2=0,
于是 得到与已知平面垂直的平面的方程为解得 l=-1.
所以投影直线的方程为
结束
(x+y-z-1)+l(x-y+z+1)=0,
即 (1+l)x+(1-l)y+(-1+l)z+(-1+l)=0.
为了求得与已知平面 x+y+z=0垂直的平面,令
(1+l)?1+(1-l)?1+(-1+l)?1=0,
解 设通过已知直线的平面束的方程为
的方程,
例 7
例 7 求直线 ??? =++- =--+ 01 01zyx zyx 在平面 x + y + z = 0 上的投影直线
??
?
=++
=--
0
01
zyx
zy,
