一、变力沿直线所作的功
二、水压力
三、引力
§ 6.3 定积分在物理学上的应用
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电场力对它所作的功近似为 drrqk 2 ?
一、变力沿直线所作的功
例 1 电量为 +q的点电荷位于 r轴的坐标原点 O处 ? 它所产
生的电场力使 r轴上的一个单位正电荷从 r?a处移动到 r?b(a<b)
处 ?求电场力对单位正电荷所作的功 ?
解 在 r 轴上 ?当单位正电荷从 r 移动到 r+dr时 ?
提示：
根据物理学 ? 在电量为 +q的点电荷所产生的电场中 ? 距离
点电荷 r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为
2r
qkF ? ( k 是常数 ) ?
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即功元素为 drrqkdW 2? ?
于是所求的功为
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一、变力沿直线所作的功
例 1 电量为 +q的点电荷位于 r轴的坐标原点 O处 ? 它所产
生的电场力使 r轴上的一个单位正电荷从 r?a处移动到 r?b(a<b)
处 ?求电场力对单位正电荷所作的功 ?
解 在 r 轴上 ?当单位正电荷从 r 移动到 r+dr时 ?
电场力对它所作的功近似为 drrqk 2 ?
)11(]1[2 bakqrkqdrrkqW baba ????? ? ? )11(]1[2 bakqrkqdrrkqW baba ????? ? ?
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x
kS
xS
kSpF ????? ?
例 2 在底面积为 S的圆柱形容器中盛有一定量的气体 ? 在
等温条件下 ? 由于气体的膨胀 ? 把容器中的一个活塞从点 a处
推移到点 b处 ?计算在移动过程中 ?气体压力所作的功 ?
解
所以作用在活塞上的力为
在点 x处 ?因为 V?xS?
x
kS
xS
kSpF ???? ?
提示：
由物理学知道 ? 一定量的气体在等温条件下 ? 压强 p与体
积 V的乘积是常数 k?即
p V ? k 或 Vkp ? ?
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于是所求的功为
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例 2 在底面积为 S的圆柱形容器中盛有一定量的气体 ? 在
等温条件下 ? 由于气体的膨胀 ? 把容器中的一个活塞从点 a处
推移到点 b处 ?计算在移动过程中 ?气体压力所作的功 ?
解 在点 x处 ?因为 V?xS?
x
kS
xS
kSpF ????? ?
x
kS
xS
kSpF ???? ?
当活塞从 x 移动到 x ? dx 时 ? 变力所作的功近似为 dxxk ?
即功元素为 dxxkdW ? ?
a
bkxkdx
x
kW b
a
b
a ln][ ln ???? ? a
bkxkdx
x
kW b
a
b
a ln][ ln ??? ? ?
所以作用在活塞上的力为
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因为这薄层水的重力为 9?8??32dx?
例 3 一圆柱形的贮水桶高为 5m? 底圆半径为 3m? 桶内盛满
了水 ?试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？
在区间 [0?5]上点 x处任取一薄层水,其的高度为 dx?
解 作 x轴如图 ?
此即功元素 ?
dW? 9?8??32?xdx
所以把这薄层水吸出桶外所需作的功
近似为
?88?2??x?dx?
于是所求的功为
首页
?? 50 2.88 x d xW ?
2
252.88]
2[2.88
5
0
2 ??? ?? x
( k j ) ?
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? ?? R dxxRxP 0 22 2 ?
二、水压力
例 4 一个横放着的圆柱形水桶 ? 桶内盛有半桶水 ? 设桶的
底半径为 R?水的比重为 ??计算桶的一个端面上所受的压力 ?
解 取坐标系如图 ?
在水深 x处于圆片上取一窄条 ?其宽为 dx?
桶的一个端面上所受的压力为
背景知识 首页
得压力元素为 dxxRxdP 222 ?? ? ?
302322
3
2])(
3
2[ RrxR R ???? ? ?
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三、引力例 5 求长度为 l,线密度为 ?的均匀细直棒对其中垂线上
距棒 a单位的质量为 m的质点 M的引力 ?
解 取坐标系如图 ?
引力在垂直方向上的分量为零 ?
在 y点处取长为 dy的一小段 ?
于是引力在水平方向的分量为
由对称性知 ?
2222 ya
a
ya
dymGdF
x ?
??
??
?
2/322 )( ya
dyamG
???
? ?
?? ??? 2
2
2/322 )(
l
lx ya
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224
12
laa
lGm
?
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l
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二、水压力
三、引力
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电场力对它所作的功近似为 drrqk 2 ?
一、变力沿直线所作的功
例 1 电量为 +q的点电荷位于 r轴的坐标原点 O处 ? 它所产
生的电场力使 r轴上的一个单位正电荷从 r?a处移动到 r?b(a<b)
处 ?求电场力对单位正电荷所作的功 ?
解 在 r 轴上 ?当单位正电荷从 r 移动到 r+dr时 ?
提示：
根据物理学 ? 在电量为 +q的点电荷所产生的电场中 ? 距离
点电荷 r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为
2r
qkF ? ( k 是常数 ) ?
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即功元素为 drrqkdW 2? ?
于是所求的功为
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一、变力沿直线所作的功
例 1 电量为 +q的点电荷位于 r轴的坐标原点 O处 ? 它所产
生的电场力使 r轴上的一个单位正电荷从 r?a处移动到 r?b(a<b)
处 ?求电场力对单位正电荷所作的功 ?
解 在 r 轴上 ?当单位正电荷从 r 移动到 r+dr时 ?
电场力对它所作的功近似为 drrqk 2 ?
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x
kS
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例 2 在底面积为 S的圆柱形容器中盛有一定量的气体 ? 在
等温条件下 ? 由于气体的膨胀 ? 把容器中的一个活塞从点 a处
推移到点 b处 ?计算在移动过程中 ?气体压力所作的功 ?
解
所以作用在活塞上的力为
在点 x处 ?因为 V?xS?
x
kS
xS
kSpF ???? ?
提示：
由物理学知道 ? 一定量的气体在等温条件下 ? 压强 p与体
积 V的乘积是常数 k?即
p V ? k 或 Vkp ? ?
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例 2 在底面积为 S的圆柱形容器中盛有一定量的气体 ? 在
等温条件下 ? 由于气体的膨胀 ? 把容器中的一个活塞从点 a处
推移到点 b处 ?计算在移动过程中 ?气体压力所作的功 ?
解 在点 x处 ?因为 V?xS?
x
kS
xS
kSpF ????? ?
x
kS
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当活塞从 x 移动到 x ? dx 时 ? 变力所作的功近似为 dxxk ?
即功元素为 dxxkdW ? ?
a
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x
kW b
a
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kW b
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所以作用在活塞上的力为
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因为这薄层水的重力为 9?8??32dx?
例 3 一圆柱形的贮水桶高为 5m? 底圆半径为 3m? 桶内盛满
了水 ?试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？
在区间 [0?5]上点 x处任取一薄层水,其的高度为 dx?
解 作 x轴如图 ?
此即功元素 ?
dW? 9?8??32?xdx
所以把这薄层水吸出桶外所需作的功
近似为
?88?2??x?dx?
于是所求的功为
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?? 50 2.88 x d xW ?
2
252.88]
2[2.88
5
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2 ??? ?? x
( k j ) ?
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? ?? R dxxRxP 0 22 2 ?
二、水压力
例 4 一个横放着的圆柱形水桶 ? 桶内盛有半桶水 ? 设桶的
底半径为 R?水的比重为 ??计算桶的一个端面上所受的压力 ?
解 取坐标系如图 ?
在水深 x处于圆片上取一窄条 ?其宽为 dx?
桶的一个端面上所受的压力为
背景知识 首页
得压力元素为 dxxRxdP 222 ?? ? ?
302322
3
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3
2[ RrxR R ???? ? ?
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三、引力例 5 求长度为 l,线密度为 ?的均匀细直棒对其中垂线上
距棒 a单位的质量为 m的质点 M的引力 ?
解 取坐标系如图 ?
引力在垂直方向上的分量为零 ?
在 y点处取长为 dy的一小段 ?
于是引力在水平方向的分量为
由对称性知 ?
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224
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背景知识 结束
