一、空间曲线的一般方程
二、空间曲线的参数方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
§ 7.4 空间曲线及其方程
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一、空间曲线的一般方程
空间曲线可以看作两个曲面的交线,
设曲线 C是曲面 S1与 S2的交线,
??
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF,
因此,曲线 C可以用上述方程组来表示,
上述方程组叫做空间曲线 C的一般方程,
则点 P在曲线 C上当且仅当 点 P的坐标
满足方程组
S1?F(x,y,z)?0,
S2?G(x,y,z)?0,
而曲面的方程分别为
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例 1, 方程组 ??? ?? ?? 632 122 zx yx 表示怎样的曲线 ?
例 1
方程组中第一个方程表示母线平行于 z轴的圆柱面,其
准线是 xOy面上的圆,圆心在原点 O,半行为 1.
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方程组中第二个方程表示一个母
线平行于 y轴的柱面,由于它的准线是
zOx面上的直线,因此它是一个平面,
方程组所表示的是上述平面与圆
柱面的交线,
解
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方程组中第一个方程表示球心在坐标原点 O,半行为
2a的上半球面,
因此,方程组表示上述半球面与
圆柱面的交线,
首页
解
方程组中第二个方程表示母线平行于 z轴的圆柱面,它的
准线是 xOy 面上的圆,这圆的圆心在点 (a,0),半行为 a.
例 2 例 2 方程组
?
?
?
???
???
222
222
)(
4
ayax
yxaz 表示怎样的曲线 ?
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二、空间曲线的参数方程
空间曲线 C的方程除了一般方程之外,也可以用参数形式
表示,只要将 C上动点的坐标 x,y,z表示为参数 t的函数 ?
??
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
,
当给定 t?t1时,就得到 C上的一个点 (x1,y1,z1); 随着 t的变
动便得曲线 C上的全部点, 上述 方程组叫做空间曲线的参数方
程,
下页
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例 3 空间一动点 M在圆柱面 x2?y2?a2上以角速度 w绕 z轴旋
转,同时又以线速度 v沿平行于 z轴的正方向上升 (其中 w,v都
是常数 ),试建立动点轨迹的参数方程,
设当 t?0时,动点位于 x轴上的一点
A(a,0,0)处, 经过时间 t,动点由 A运动
到 M(x,y,z),
所以动点轨迹的参数方程为
??
?
?
?
?
?
?
vtz
tay
tax
w
w
s in
c o s
,
x?acoswt,y?asinwt,
取时间 t为参数, 解
下页
z?vt,
因为
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动点轨迹的参数方程为
令 q?wt,则参数方程又可写为
??
?
?
?
?
?
?
q
q
q
bz
ay
ax
s in
c o s
,
这种动点的轨迹叫做螺旋线,
首页
例 3 空间一动点 M在圆柱面 x2?y2?a2上以角速度 w绕 z轴旋
转,同时又以线速度 v沿平行于 z轴的正方向上升 (其中 w,v都
是常数 ),试建立动点轨迹的参数方程,
取时间 t为参数, 解
??
?
?
?
?
?
?
vtz
tay
tax
w
w
s in
c o s
,
其中 wvb ?,而参数为 q,
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三、空间曲线在坐标面上的投影
投影柱面与 xOy面的交线叫做曲线
C在 xOy面上的投影曲线,或简称投影,
类似地可以定义曲线 C在其它坐标
面上的投影,
?投影柱面与投影 (曲线 )
下页
以空间曲线 C为准线、母线平行于
z轴的柱面叫做曲线 C关于 xOy面的投影
柱面,
投影柱面
投影曲线
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??
?
?
?
0
0),(
z
yxH,
?投影 (曲线 )的确定
设空间曲线 C的一般方程为
??
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF,
方程组中的两个方程消去变量 z后可
得一个关于 x,y的方程
H(x,y)?0,
曲线 C在 xOy面上的投影曲线的方程为
下页
三、空间曲线在坐标面上的投影
这就是曲线 C关于 xOy面的投影柱面的方程,
投影柱面
投影曲线
讨论
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例 4 已知两球面的方程为
x2?y2?z2?1和 x2?(y?1)2?(z?1)2?1,
求它们的交线 C在 xOy面上的投影方程,
解
x2?y2?z2?2y?2z??1,
将 x2?y2?z2?1代入得
1?2y?2z??1,即 y?z?1.
将 z?1?y代入方程 x2?y2?z2?1,得
x2?y2?(1?y)2?1,即 x2?2y2?2y?0,
方程 x2?(y?1)2?(z?1)2?1化为
两球面的交线 C在 xOy面上的投影方程为
这就是交线 C关于 xOy面的投影柱面方程,
下页
??
?
?
???
0
022 22
z
yyx,
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??
?
?
??
0
122
z
yx,
由两个方程消去 z得到解
x2?y2?1.
这是半球面与锥面的交线 C关于 xOy面
的投影柱面,
因此,交线 C在 xOy面上的投影曲线
为
所求立体在 xOy面上的投影就是 xOy面上圆 x2?y2?1所围
的部分 ?x2?y2?1,
结束
x2?y2?1
成立体在 xOy面上的投影,
例 5例 5 求由上半球面
224 yxz ??? 和锥面 )(3 22 yxz ?? 所围
二、空间曲线的参数方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
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一、空间曲线的一般方程
空间曲线可以看作两个曲面的交线,
设曲线 C是曲面 S1与 S2的交线,
??
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF,
因此,曲线 C可以用上述方程组来表示,
上述方程组叫做空间曲线 C的一般方程,
则点 P在曲线 C上当且仅当 点 P的坐标
满足方程组
S1?F(x,y,z)?0,
S2?G(x,y,z)?0,
而曲面的方程分别为
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例 1, 方程组 ??? ?? ?? 632 122 zx yx 表示怎样的曲线 ?
例 1
方程组中第一个方程表示母线平行于 z轴的圆柱面,其
准线是 xOy面上的圆,圆心在原点 O,半行为 1.
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方程组中第二个方程表示一个母
线平行于 y轴的柱面,由于它的准线是
zOx面上的直线,因此它是一个平面,
方程组所表示的是上述平面与圆
柱面的交线,
解
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方程组中第一个方程表示球心在坐标原点 O,半行为
2a的上半球面,
因此,方程组表示上述半球面与
圆柱面的交线,
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解
方程组中第二个方程表示母线平行于 z轴的圆柱面,它的
准线是 xOy 面上的圆,这圆的圆心在点 (a,0),半行为 a.
例 2 例 2 方程组
?
?
?
???
???
222
222
)(
4
ayax
yxaz 表示怎样的曲线 ?
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二、空间曲线的参数方程
空间曲线 C的方程除了一般方程之外,也可以用参数形式
表示,只要将 C上动点的坐标 x,y,z表示为参数 t的函数 ?
??
?
?
?
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txx
,
当给定 t?t1时,就得到 C上的一个点 (x1,y1,z1); 随着 t的变
动便得曲线 C上的全部点, 上述 方程组叫做空间曲线的参数方
程,
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例 3 空间一动点 M在圆柱面 x2?y2?a2上以角速度 w绕 z轴旋
转,同时又以线速度 v沿平行于 z轴的正方向上升 (其中 w,v都
是常数 ),试建立动点轨迹的参数方程,
设当 t?0时,动点位于 x轴上的一点
A(a,0,0)处, 经过时间 t,动点由 A运动
到 M(x,y,z),
所以动点轨迹的参数方程为
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下页
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动点轨迹的参数方程为
令 q?wt,则参数方程又可写为
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这种动点的轨迹叫做螺旋线,
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例 3 空间一动点 M在圆柱面 x2?y2?a2上以角速度 w绕 z轴旋
转,同时又以线速度 v沿平行于 z轴的正方向上升 (其中 w,v都
是常数 ),试建立动点轨迹的参数方程,
取时间 t为参数, 解
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其中 wvb ?,而参数为 q,
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三、空间曲线在坐标面上的投影
投影柱面与 xOy面的交线叫做曲线
C在 xOy面上的投影曲线,或简称投影,
类似地可以定义曲线 C在其它坐标
面上的投影,
?投影柱面与投影 (曲线 )
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以空间曲线 C为准线、母线平行于
z轴的柱面叫做曲线 C关于 xOy面的投影
柱面,
投影柱面
投影曲线
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??
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0
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z
yxH,
?投影 (曲线 )的确定
设空间曲线 C的一般方程为
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zyxF,
方程组中的两个方程消去变量 z后可
得一个关于 x,y的方程
H(x,y)?0,
曲线 C在 xOy面上的投影曲线的方程为
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三、空间曲线在坐标面上的投影
这就是曲线 C关于 xOy面的投影柱面的方程,
投影柱面
投影曲线
讨论
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例 4 已知两球面的方程为
x2?y2?z2?1和 x2?(y?1)2?(z?1)2?1,
求它们的交线 C在 xOy面上的投影方程,
解
x2?y2?z2?2y?2z??1,
将 x2?y2?z2?1代入得
1?2y?2z??1,即 y?z?1.
将 z?1?y代入方程 x2?y2?z2?1,得
x2?y2?(1?y)2?1,即 x2?2y2?2y?0,
方程 x2?(y?1)2?(z?1)2?1化为
两球面的交线 C在 xOy面上的投影方程为
这就是交线 C关于 xOy面的投影柱面方程,
下页
??
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0
022 22
z
yyx,
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??
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122
z
yx,
由两个方程消去 z得到解
x2?y2?1.
这是半球面与锥面的交线 C关于 xOy面
的投影柱面,
因此,交线 C在 xOy面上的投影曲线
为
所求立体在 xOy面上的投影就是 xOy面上圆 x2?y2?1所围
的部分 ?x2?y2?1,
结束
x2?y2?1
成立体在 xOy面上的投影,
例 5例 5 求由上半球面
224 yxz ??? 和锥面 )(3 22 yxz ?? 所围
