一、空间曲线的切线与法平面
二、曲面的切平面与法线
§ 8?6 多元函数微分学的几何应用
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一、空间曲线的切线与法平面
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设空间曲线 ?的参数方程为
x??(t),y??(t),z??(t),
这里假定 ?(t),?(t),?(t)都在 [?,?]上可导 ?
设 t?t0和 t?t0??t分别对应于曲线上的
点 M0(x0,y0,z0)和 M(x0+?x,y0+?y,z0+?z)?
当 M?M0,即 ?t?0时,
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作曲线的割线 MM0,其方程为
得曲线在点 M0处的切线方程为
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设空间曲线 ?的参数方程为
x??(t),y??(t),z??(t),
这里假定 ?(t),?(t),?(t)都在 [?,?]上可导 ?
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过曲线 ?上 t?t0所对应的点 M0切线方
程为
向量 T?(??(t0),??(t0),??(t0))称为曲线 ?在点 M0的切向量 ?
通过点 M0而与切线垂直的平面称为曲线 ?在点 M0处的法
平面,其法平面方程为
??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0?
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一、空间曲线的切线与法平面
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3
1
2
1
1
1 ????? zyx,
解
xt??1,
点 (1,1,1)所对应的参数 t?1?
因为 zt??3t2,yt??2t,
于是,切线方程为
所以切向量为 T?(1,2,3)?
法平面方程为
即 x?2y?3z?6? (x?1)?2(y?1)?3(z?1)?0,
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例 1 求曲线 x?t,y?t2,z?t3在点 (1,1,1)处的切线及法平面
方程 ?
曲线 x??(t),y??(t),z??(t)在 t?t0所对应的点 M0的切向量
为 T?(??(t0),??(t0),??(t0))?
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讨论,
1? 若曲线的方程为 y??(x),z??(x),则 切向量 T??
提示,
1? 曲线的参数方程可视为, x?x,y??(x),z??(x),
切向量为 T?(1,??(x),??(x))?
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曲线 x??(t),y??(t),z??(t)在 t?t0所对应的点 M0的切向量
为 T?(??(t0),??(t0),??(t0))?
2?若曲线的方程为 F(x,y,z)?0,G(x,y,z)?0,则 切向量 T??
2? 两方程可确定两个隐函数, y??(x),z??(x)?
切向量为 T?(1,??(x),??(x)),而 ??(x),??(x)要通过解方程组得
到 ? >>>
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0222
dx
dz
dx
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dx
dz
z
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dy
yx
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例 2 求曲线 x2?y2?z2?6,x?y?z?0在点 (1,?2,1)处的切线及
法平面方程 ?
解
方程组在点 (1,?2,1)处化为
为求切向量,将所给方
程的两边对 x求导数,得
所求切线方程为
从而 T?{1,0,?1}?
法平面方程为
(x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0,
即 x?z?0?
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dz
dx
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解方程组得 0?dxdy,1??dxdz ?
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二、曲面的切平面与法线
因为曲线 ?在曲面 ?上,所以有
F[?(t),?(t),?(t)]?0?
向量 n?(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))与曲线 ?上 点
M0处的切向量 T?(??(t0),??(t0),??(t0))是垂直的 ?
Fx(x0,y0,z0)??(t0)?Fy(x0,y0,z0)??(t0)?Fz(x0,y0,z0)??(t0)?0?
等式的两边在 t?t0点求全导数得
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设 M0(x0,y0,z0)是曲面 ?,F(x,y,z)?0上的一点,?是 曲面 ?
上过点 M0的任意一条曲线,
x??(t),y??(t),z??(t),
t?t0对应于点 M0(x0,y0,z0)?
其参数方程为
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二、曲面的切平面与法线
向量 n?(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))与曲线 ?上 点
M0处的切向量 T?(??(t0),??(t0),??(t0))是垂直的 ?
设 M0(x0,y0,z0)是曲面 ?,F(x,y,z)?0上的一点,?是 曲面 ?
上过点 M0的任意一条曲线,
x??(t),y??(t),z??(t),
t?t0对应于点 M0(x0,y0,z0)?
其参数方程为
曲面上通过点 M0的一切曲线在点 M0的切线都在同一个
平面上,这个平面称为曲面 ?在点 M0的 切平面 ; 通过点 M0而垂
直于切平面的直线称为曲面在该点的 法线 ?
?曲面的切平面与法线
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?曲面的切平面方程
曲面 ?在点 M0(x0,y0,z0)的切平面方程为
Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0?
?曲面的法线方程
曲面 ?通过点 M0(x0,y0,z0)的法线方程为
?曲面的法向量
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 ? 向量
n?(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))
是曲面 ?在点 M0(x0,y0,z0)处的一个法向量 ?
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0
000
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3
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例 3 求球面 x2?y2?z2?14在点 (1,2,3)处的切平面及法线方
程 ?
F(x,y,z)?x2?y2?z2?14,解 Fx?2x,Fy?2y,Fz?2z,
Fx(1,2,3)?2,Fy(1,2,3)?4,Fz(1,2,3)?6?
法向量为 n?(2,4,6),
法线方程为
或 n?(1,2,3)?
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曲面 ?,F(x,y,z)?0在点 M0(x0,y0,z0)处的法向量为
n?(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))?
即 x?2y?3z?14?0? (x?1)?2(y?2)?3(z?3)?0,
所求切平面方程为
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讨论,
若曲面方程为 z?f(x,y),问曲面的切平面及法线方程式是
什么形式?
提示, 此时曲面方程可写为 f(x,y)?z?0,F(x,y,z)?f(x,y)?z,
切向量为 n?(fx(x0,y0),fy(x0,y0),?1)?
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曲面 ?,F(x,y,z)?0在点 M0(x0,y0,z0)处的法向量为
n?(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))?
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例 4 求旋转抛物面 z?x2?y2?1在点 (2,1,4)处的切平面及法
线方程 ?
解 f(x,y)?x2?y2?1,
n?(fx,fy,?1)|(2,1,4) ?(2x,2y,?1)|(2,1,4) ?(4,2,?1)?
结束
法线方程为
即 4x?2y?z?6?0? 4(x?2)?2(y?1)?(z?4)?0,
所以在点 (2,1,4)处的切平面方程为
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?
????? zyx ?
曲面 ?,z?f(x,y)在点 M0(x0,y0,z0)处的法向量为
n?(fx(x0,y0),fy(x0,y0),?1)?