§ 8.2 偏 导 数
一、偏导数的定义及其计算法
二、高阶偏导数
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一、偏导数的定义及其计算法
类似地,可定义 函数 z?f(x,y)在点 (x0,y0)处对 y的偏导数,
?偏导数的定义
下页
设函数 z?f(x,y)在点 (x0,y0)的某一邻域内有定义,若极限
x
yxfyxxf
x ?
???
??
),(),(lim 0000
0
存在,则称此极限为函数 z?f(x,y)在点 (x0,y0)处对 x的偏导数,
记作
0
0
yy
xx
x
z
?
?
?
?,
0
0
yy
xxx
f
?
??
?,
0
0
yy
xxxz
?
?,或 f x ( x 0,y 0 ),
>>>
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一、偏导数的定义及其计算法
?偏导数的定义
x
yxfyxxfyxf
xx ?
????
??
),(),(lim),( 0000
000
,
?偏导数的符号
0
0yy xxx
z
?
???,
0
0yy xxx
f
?
??
?,
0
0yy xxxz ??,),( 00 yxf x,
如果函数 z?f(x,y)在区域 D内每一点 (x,y)处对 x的偏导数
都存在,那么 f(x,y)对 x的偏导数是 x,y的函数,这个函数称为
函数 z?f(x,y)对 x的偏导函数 (简称 偏导数 ),记作
x
z
?
?,
x
f
?
?,
xz,或 ),( yxf x,
?偏导函数
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一、偏导数的定义及其计算法
?偏导数的定义
x
yxfyxxfyxf
xx ?
????
??
),(),(lim),( 0000
000
,
?偏导数的符号
0
0yy xxx
z
?
???,
0
0yy xxx
f
?
??
?,
0
0yy xxxz ??,),( 00 yxf x,
x
z
?
?,
x
f
?
?,
xz,或 ),( yxf x,
?偏导函数
x
yxfyxxfyxf
xx ?
????
??
),(),(lim),(
0
,
?偏导函数的符号
>>>
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x
yxfyxxfyxf
xx ?
????
??
),(),(lim),( 0000
000
,?偏导函数
x
yxfyxxfyxf
xx ?
????
??
),(),(lim),(
0
,
偏导数的概念还可推广到二元以上的函数,
例如,三元函数 u?f(x,y,z)在点 (x,y,z)处对 x的偏导数定义
为
x
zyxfzyxxfzyxf
xx ?
????
??
),,(),,(lim),,(
0
,
其中 (x,y,z)是函数 u?f(x,y,z)的定义域的内点,
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?偏导数的求法
求函数对一个自变量的偏导数时,只要把其它自变量看
作常数,然后按一元函数求导法求导即可,
下页
x
yxfyxxfyxf
xx ?
????
??
),(),(lim),( 0000
000
,?偏导函数
x
yxfyxxfyxf
xx ?
????
??
),(),(lim),(
0
,
讨论 ?
下列求偏导数的方法是否正确？
0
0),(),( 00 yy xxxx yxfyxf ???,
0
]),([),( 000 xxx yxfdxdyxf ?? ?
0
0),(),( 00 yy xxyy yxfyxf ???,0]),([),( 000 yyy yxfdy
dyxf
??,
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yxxz 32????,yxyz 23????,
例 1 求 z?x2?3xy?y2在点 (1,2)处的偏导数,
解
例 2 求 z?x2sin2y的偏导数,
解
下页
0
0),(),( 00 yy xxxx yxfyxf ???,
0
]),([),( 000 xxx yxfdxdyxf ?? ?
0
0),(),( 00 yy xxyy yxfyxf ???,0]),([),( 000 yyy yxfdy
dyxf
??,
82312
2
1 ??????
?
?
?
y
xx
z,72213
2
1 ??????
?
?
?
y
xy
z, 82312
2
1 ?????
?
?
?
y
xx
z,72213
2
1 ??????
?
?
?
y
xy
z,
yxxz 2sin2???,yxyz 2cos22???, yxxz 2sin2???,yxyz 2cos22???,
82312
2
1 ??????
?
?
?x
z,72213
2
1 ??????
?
?
?
y
xy
z, 82312
2
1 ?????
?
?
?
y
xx
z,72213
2
1 ??????
?
?
?
y
xy
z,
xxz 2s in2?,yxyz 2c o s2 2???, xxz 2s in2???,yxyz 2c o s2 2??,
yxz 32 ???,yxyz 23 ????, yxxz 32????,yxyz 23????, yx 3,yxyz 23 ????,
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解
证
下页
例 3 例 3 设 )1,0( ??? xxxz y,求证 ? z
y
z
xx
z
y
x 2
ln
1 ?
?
??
?
?,
证 1???? yyxxz,xxyz y ln???, 证 1???? yyxxz,xxyz y ln???,
zxxxxxyxyxyzxxzyx yyyy 2lnln 1ln 1 1 ?????????? ?, zxxxxxyxyxyzxxzyx yyyy 2lnln 1ln 1 1 ??????????, zxxxxxyxyxyzxxz yyyy 2lnln 1ln 1 1 ?????????? ?,
例 4 例 4 求 222 zyxr ??? 的偏导数,
解
r
x
zyx
x
x
r ?
??
?
?
?
222
?
r
y
zyx
y
y
r ?
??
?
?
?
222
,解
r
x
zyx
x
x
r ?
??
?
?
?
222
?
r
y
zyx
y
y
r ?
??
?
?
?
222
,解
r
x
zyx
x
x
r ?
??
?
?
?
2
?
r
y
zyx
y
y
r ?
??
?
?
?
222
,解
r
x
zyx
x
x
r ?
?
?
?
?
222
?
r
y
zyx
y
y
r ?
??
?
?
?
222
,解
r
x
zx
x
x
r ?
??
?
?
?
2
?
r
y
zyx
y
y
r ?
??
?
?
?
222
,解
r
x
zyx
x
x
r ?
??
?
?
?
222
?
r
y
zyx
y
y
r ?
??
?
?
?
22
,
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证
本例说明一个问题 ? 偏导数的记号是一个整体记号,不能
看作分子分母之商,
下页
例 5 已知理想气体的状态方程为 pV=RT(R为常数 ),求证 ?
1?????????? pTTVVp,
证 因为 VRTp ?,2VRTVp ???? ? 证 因为 VRTp ?,2RTVp ???? ?
p
RTV ?,
p
R
T
V ?
?
? ?
R
pVT ?,
R
V
p
T ?
?
? ?
所以 12 ???????????????? pVRTRVpRVRTpTTVVp,
p
RT,
p
R
T
V ?
?
? ?
T,RVpT ??? ?
所以 12 ???????????????? pVRTRVpRVRTpTTVVp, 所以 1??????????????? pVRTRVpRVRTpTTVVp, 所以 12 ???????????????? pVRTRVpRRTpTTVVp,
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?偏导数的几何意义
fx(x0,y0)?[ f(x,y0)]x?
fy(x0,y0)?[ f(x0,y)]y?
z?f(x,y0) z?f(x0,y)
是截线 z?f(x,y0)在点 (x0,y0)处的切线 Tx
对 x轴的斜率,
是截线 z?f(x0,y)在点 (x0,y0)处的切线 Ty
对 y轴的斜率,
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?偏导数的几何意义
下页
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?偏导数与连续性
对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能
保证函数在该点连续,例如
首页
??
?
?
?
??
??
??
.0 0
,0
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
但函数在点 (0,0)并不连续,在点 (0,0),有 fx(0,0)?0,fy(0,0)?0,
提示：
0)0,( ?xf,0),0( ?yf ?
0)]0,([)0,0( ?? xfdxdf x,0)],0([)0,0( ?? yfdydf y,
提示,当点 P(x,y)沿直线 y?kx趋于点 (0,0)时,有
2222
2
022
)0,0(),( 1
limlim kkxkx kxyx xy
x
kxy
yx ?
????
?
?
?
,
因此,函数 f(x,y)在 (0,0)的极限不存在,当然也不连续,
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二、高阶偏导数
?二阶偏导数
如果函数 z?f(x,y)的偏导数 fx(x,y),fy(x,y)也具有偏导数,
则它们的偏导数称为函数 z?f(x,y)的二阶偏导数,
函数 z?f(x,y)的二阶偏导数有四个 ?
其中 fxy(x,y),fyx(x,y)称为混合偏导数,
类似地可定义三阶、四阶以及 n阶偏导数,
下页
),()( 2
2
yxf
x
z
x
z
x xx
?
?
??
?
?
?
?,),()( 2 yxf
yx
z
x
z
y xy
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??
??
?
?
?
?,
),()(
2
yxf
xy
z
y
z
x yx
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?
?
?
?,),()(
2
2
yxf
y
z
y
z
y yy
?
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?
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?,
),()( 2
2
yxf
x
z
x
z
x xx
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?,),()( 2 yxf
yx
z
x
z
y xy
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?,
),()(
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yxf
xy
z
y
z
x yx
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??
?
?
?
?,),()(
2
2
yxf
y
z
y
z
y yy
?
?
??
?
?
?
?,
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解
2
2)(
x
z
x
z
x ?
??
?
?
?
?,
yx
z
x
z
y ??
??
?
?
?
? 2)(,
xy
z
y
z
x ??
??
?
?
?
? 2)(,
2
2)(
y
z
y
z
y ?
??
?
?
?
?,
此例中两个混合偏导数是相等的,
下页
解 yyyxxz ????? 322 33,xxyyxyz ????? 23 92 ? 解 yyyxxz ????? 322 33,xxyyxyz ????? 23 92 ? 解 yyyxxz ????? 32 33,xxyyxyz ????? 23 92 ? 解 yyxxz ????? 322 33,xxyyxyz ????? 23 92 ?
例 6 设 z ? x 3 y 2 ? 3 xy 3 ? xy ? 1,求 22x z??, 33x z??, xy z??? 2 和 yx z??? 2,
2
2
2 6xy
x
z?
?
?,2
3
3 6y
x
z?
?
? ?
196 222 ?????? yyxyxz,196 222 ?????? yyxxyz,
2
2
2 6xy
x
z ?
?
?,2
3
3 6y
x
z ?
?
? ? 2
2
2 6xy
x
z?
?
?,23 6y
x ??
? ? 2
2
2 xyz
?
?,2
3
3 6y
x
z ?
?
? ?
196 222 ?????? yyxyx z,196 222 ?????? yyxxy z, 196 222 ????? yyxyx z,196 222 ?????? yyxxyz, 196 222 ?????? yyxyx z,196 222 ????? yyxxy z,
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定理 如果 二阶混合偏导数 xy z??? 2 及 yx z??? 2 在区域 D 内连续,
那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等,
定理
解
2
2)(
x
z
x
z
x ?
??
?
?
?
?,
yx
z
x
z
y ??
??
?
?
?
? 2)(,
xy
z
y
z
x ??
??
?
?
?
? 2)(,
2
2)(
y
z
y
z
y ?
??
?
?
?
?,
解 yyyxxz ????? 322 33,xxyyxyz ????? 23 92 ? 解 yyyxxz ????? 322 33,xxyyxyz ????? 23 92 ? 解 yyyxxz ????? 32 33,xxyyxyz ????? 23 92 ? 解 yyxxz ????? 322 33,xxyyxyz ????? 23 92 ?
例 6 设 z ? x 3 y 2 ? 3 xy 3 ? xy ? 1,求 22x z??, 33x z??, xy z??? 2 和 yx z??? 2,
2
2
2 6xy
x
z?
?
?,2
3
3 6y
x
z?
?
? ?
196 222 ?????? yyxyxz,196 222 ?????? yyxxyz,
2
2
2 6xy
x
z ?
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?,2
3
3 6y
x
z ?
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? ? 2
2
2 6xy
x
z?
?
?,23 6y
x ??
? ? 2
2
2 xyz
?
?,2
3
3 6y
x
z ?
?
? ?
196 222 ?????? yyxyx z,196 222 ?????? yyxxy z, 196 222 ????? yyxyx z,196 222 ?????? yyxxyz, 196 222 ?????? yyxyx z,196 222 ????? yyxxy z,
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证
下页
证 因为 )l n (21ln 2222 yxyxz ????,所以
22 yx
x
x
z
???
?,
22 yx
y
y
z
???
?,
222
22
222
22
2
2
)()(
2)(
yx
xy
yx
xxyx
x
z
?
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?
????
?
?,
222
22
222
22
2
2
)()(
2)(
yx
yx
yx
yyyx
y
z
?
??
?
????
?
?,
因此 0)()( 222 22222 222222 ???????????? yx xyyx yxyzxz,
证 因为 )ln(21ln 2222 yxyxz ????,所以
22 yx
x
x
z
???
?,
22 yx
y
y
z
???
?,
22 yx
x
x
z
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?,
22 yx
y
y
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22 yx
x
x
z
???
?,
22 yx
y
y
z
???
?,
222
22
222
2
2
2
)()(
2)(
yx
xy
yx
xxyx
x
z
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????
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?,
222
22
2
22
2
2
)()(
2)(
yx
xy
yx
xxyx
x
z
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?
????
?
?,
222
22
222
22
2
2
)()(
2)(
yx
yx
yx
yyyx
y
z
?
??
?
????
?
?,
22
22
22
22
2
2
)()(
2)(
yx
yx
yx
yyyx
y
z
?
??
?
????
?
?,
因此 0)()( 222 22222 222222 ???????????? yx xyyx yxyzxz, 因此 0)()( 222
22
22
22
2
2
2
2 ?
?
???
?
??
?
?
yx
xy
yx
yx
y
z
x
z, 因此 0
() 22
2
222
22
2 ?
??
?
??
?
??
?
?
yx
xy
yx
yx
y
z
x
z,
例 7 例 7 验证函数 22ln yxz ?? 满足方程 0
2
2
2
2 ?
?
??
?
?
y
z
x
z,
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同理 5
2
32
2 31
r
y
ry
u ???
?
?,
5
2
32
2 31
r
z
rz
u ???
?
?,
证 ? 322 11 rxrxrxrrxu ????????????,证
例 8 例 8 证明函数
ru
1? 满足方程 0
2
2
2
2
2
2 ?
?
??
?
??
?
?
z
u
y
u
x
u,
其中 222 zyxr ???,
5
2
3432
2 3131
r
x
rx
r
r
x
rx
u ???
?
?????
?
?,
5
2
342
3131
r
x
rx
r
r
x
r
u ???
?
?????
?
?,
5
2
3432
2 3131
r
x
rx
r
r
x
rx
u ???
?
????
?
?,
提示 ?
6
23
6
33
32
2 3)(
)( r x
rrxr
r
rxxr
r
x
xx
u ?
???
???
???
????????, 6
23
6
33
32
2 3)(
)( r x
rrxr
r
rxxr
r
x
xx
u ?
???
???
???
???????, 6
23
6
33
32
2 3)(
)( r x
rrxr
r
rxxr
r
x
xx
u ?
???
???
???
????????,
证 ? 322 11 rxrxrxrxu ???????????,证 ? 322 11 rxrxrrrxu ?????????,证 ? 322 11 rxrxrxrrxu ?????????,
下页
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页 结束
因此 )31()31()31( 5 235 235 23222222 rzrryrrxrz uy ux u ?????????????????
033)(33 5 235 2223 ????????? rrrr zyxr,
因此 )31()31()31( 5 235 235 23222222 rzrryrrxrz uy ux u ????????????????
033)(33 5235 2223 ????????? rrrr zyxr,
同理 5
2
32
2 31
r
y
ry
u ???
?
?,
5
2
32
2 31
r
z
rz
u ???
?
?,
证 ? 322 11 rxrxrxrrxu ????????????,证
例 8 例 8 证明函数
ru
1? 满足方程 0
2
2
2
2
2
2 ?
?
??
?
??
?
?
z
u
y
u
x
u,
其中 222 zyxr ???,
5
2
3432
2 3131
r
x
rx
r
r
x
rx
u ???
?
?????
?
?,
5
2
342
3131
r
x
rx
r
r
x
r
u ???
?
?????
?
?,
5
2
3432
2 3131
r
x
rx
r
r
x
rx
u ???
?
????
?
?,
证 ? 322 11 rxrxrxrxu ???????????,证 ? 322 11 rxrxrrrxu ?????????,证 ? 322 11 rxrxrxrrxu ?????????,
一、偏导数的定义及其计算法
二、高阶偏导数
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一、偏导数的定义及其计算法
类似地,可定义 函数 z?f(x,y)在点 (x0,y0)处对 y的偏导数,
?偏导数的定义
下页
设函数 z?f(x,y)在点 (x0,y0)的某一邻域内有定义,若极限
x
yxfyxxf
x ?
???
??
),(),(lim 0000
0
存在,则称此极限为函数 z?f(x,y)在点 (x0,y0)处对 x的偏导数,
记作
0
0
yy
xx
x
z
?
?
?
?,
0
0
yy
xxx
f
?
??
?,
0
0
yy
xxxz
?
?,或 f x ( x 0,y 0 ),
>>>
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一、偏导数的定义及其计算法
?偏导数的定义
x
yxfyxxfyxf
xx ?
????
??
),(),(lim),( 0000
000
,
?偏导数的符号
0
0yy xxx
z
?
???,
0
0yy xxx
f
?
??
?,
0
0yy xxxz ??,),( 00 yxf x,
如果函数 z?f(x,y)在区域 D内每一点 (x,y)处对 x的偏导数
都存在,那么 f(x,y)对 x的偏导数是 x,y的函数,这个函数称为
函数 z?f(x,y)对 x的偏导函数 (简称 偏导数 ),记作
x
z
?
?,
x
f
?
?,
xz,或 ),( yxf x,
?偏导函数
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一、偏导数的定义及其计算法
?偏导数的定义
x
yxfyxxfyxf
xx ?
????
??
),(),(lim),( 0000
000
,
?偏导数的符号
0
0yy xxx
z
?
???,
0
0yy xxx
f
?
??
?,
0
0yy xxxz ??,),( 00 yxf x,
x
z
?
?,
x
f
?
?,
xz,或 ),( yxf x,
?偏导函数
x
yxfyxxfyxf
xx ?
????
??
),(),(lim),(
0
,
?偏导函数的符号
>>>
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x
yxfyxxfyxf
xx ?
????
??
),(),(lim),( 0000
000
,?偏导函数
x
yxfyxxfyxf
xx ?
????
??
),(),(lim),(
0
,
偏导数的概念还可推广到二元以上的函数,
例如,三元函数 u?f(x,y,z)在点 (x,y,z)处对 x的偏导数定义
为
x
zyxfzyxxfzyxf
xx ?
????
??
),,(),,(lim),,(
0
,
其中 (x,y,z)是函数 u?f(x,y,z)的定义域的内点,
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?偏导数的求法
求函数对一个自变量的偏导数时,只要把其它自变量看
作常数,然后按一元函数求导法求导即可,
下页
x
yxfyxxfyxf
xx ?
????
??
),(),(lim),( 0000
000
,?偏导函数
x
yxfyxxfyxf
xx ?
????
??
),(),(lim),(
0
,
讨论 ?
下列求偏导数的方法是否正确？
0
0),(),( 00 yy xxxx yxfyxf ???,
0
]),([),( 000 xxx yxfdxdyxf ?? ?
0
0),(),( 00 yy xxyy yxfyxf ???,0]),([),( 000 yyy yxfdy
dyxf
??,
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yxxz 32????,yxyz 23????,
例 1 求 z?x2?3xy?y2在点 (1,2)处的偏导数,
解
例 2 求 z?x2sin2y的偏导数,
解
下页
0
0),(),( 00 yy xxxx yxfyxf ???,
0
]),([),( 000 xxx yxfdxdyxf ?? ?
0
0),(),( 00 yy xxyy yxfyxf ???,0]),([),( 000 yyy yxfdy
dyxf
??,
82312
2
1 ??????
?
?
?
y
xx
z,72213
2
1 ??????
?
?
?
y
xy
z, 82312
2
1 ?????
?
?
?
y
xx
z,72213
2
1 ??????
?
?
?
y
xy
z,
yxxz 2sin2???,yxyz 2cos22???, yxxz 2sin2???,yxyz 2cos22???,
82312
2
1 ??????
?
?
?x
z,72213
2
1 ??????
?
?
?
y
xy
z, 82312
2
1 ?????
?
?
?
y
xx
z,72213
2
1 ??????
?
?
?
y
xy
z,
xxz 2s in2?,yxyz 2c o s2 2???, xxz 2s in2???,yxyz 2c o s2 2??,
yxz 32 ???,yxyz 23 ????, yxxz 32????,yxyz 23????, yx 3,yxyz 23 ????,
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解
证
下页
例 3 例 3 设 )1,0( ??? xxxz y,求证 ? z
y
z
xx
z
y
x 2
ln
1 ?
?
??
?
?,
证 1???? yyxxz,xxyz y ln???, 证 1???? yyxxz,xxyz y ln???,
zxxxxxyxyxyzxxzyx yyyy 2lnln 1ln 1 1 ?????????? ?, zxxxxxyxyxyzxxzyx yyyy 2lnln 1ln 1 1 ??????????, zxxxxxyxyxyzxxz yyyy 2lnln 1ln 1 1 ?????????? ?,
例 4 例 4 求 222 zyxr ??? 的偏导数,
解
r
x
zyx
x
x
r ?
??
?
?
?
222
?
r
y
zyx
y
y
r ?
??
?
?
?
222
,解
r
x
zyx
x
x
r ?
??
?
?
?
222
?
r
y
zyx
y
y
r ?
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?
?
?
222
,解
r
x
zyx
x
x
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??
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?
?
2
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r
y
zyx
y
y
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222
,解
r
x
zyx
x
x
r ?
?
?
?
?
222
?
r
y
zyx
y
y
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?
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222
,解
r
x
zx
x
x
r ?
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2
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r
y
zyx
y
y
r ?
??
?
?
?
222
,解
r
x
zyx
x
x
r ?
??
?
?
?
222
?
r
y
zyx
y
y
r ?
??
?
?
?
22
,
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证
本例说明一个问题 ? 偏导数的记号是一个整体记号,不能
看作分子分母之商,
下页
例 5 已知理想气体的状态方程为 pV=RT(R为常数 ),求证 ?
1?????????? pTTVVp,
证 因为 VRTp ?,2VRTVp ???? ? 证 因为 VRTp ?,2RTVp ???? ?
p
RTV ?,
p
R
T
V ?
?
? ?
R
pVT ?,
R
V
p
T ?
?
? ?
所以 12 ???????????????? pVRTRVpRVRTpTTVVp,
p
RT,
p
R
T
V ?
?
? ?
T,RVpT ??? ?
所以 12 ???????????????? pVRTRVpRVRTpTTVVp, 所以 1??????????????? pVRTRVpRVRTpTTVVp, 所以 12 ???????????????? pVRTRVpRRTpTTVVp,
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?偏导数的几何意义
fx(x0,y0)?[ f(x,y0)]x?
fy(x0,y0)?[ f(x0,y)]y?
z?f(x,y0) z?f(x0,y)
是截线 z?f(x,y0)在点 (x0,y0)处的切线 Tx
对 x轴的斜率,
是截线 z?f(x0,y)在点 (x0,y0)处的切线 Ty
对 y轴的斜率,
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?偏导数的几何意义
下页
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?偏导数与连续性
对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能
保证函数在该点连续,例如
首页
??
?
?
?
??
??
??
.0 0
,0
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
但函数在点 (0,0)并不连续,在点 (0,0),有 fx(0,0)?0,fy(0,0)?0,
提示：
0)0,( ?xf,0),0( ?yf ?
0)]0,([)0,0( ?? xfdxdf x,0)],0([)0,0( ?? yfdydf y,
提示,当点 P(x,y)沿直线 y?kx趋于点 (0,0)时,有
2222
2
022
)0,0(),( 1
limlim kkxkx kxyx xy
x
kxy
yx ?
????
?
?
?
,
因此,函数 f(x,y)在 (0,0)的极限不存在,当然也不连续,
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二、高阶偏导数
?二阶偏导数
如果函数 z?f(x,y)的偏导数 fx(x,y),fy(x,y)也具有偏导数,
则它们的偏导数称为函数 z?f(x,y)的二阶偏导数,
函数 z?f(x,y)的二阶偏导数有四个 ?
其中 fxy(x,y),fyx(x,y)称为混合偏导数,
类似地可定义三阶、四阶以及 n阶偏导数,
下页
),()( 2
2
yxf
x
z
x
z
x xx
?
?
??
?
?
?
?,),()( 2 yxf
yx
z
x
z
y xy
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?
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?,
),()(
2
yxf
xy
z
y
z
x yx
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?,),()(
2
2
yxf
y
z
y
z
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?,
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2
yxf
x
z
x
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x xx
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yx
z
x
z
y xy
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yxf
xy
z
y
z
x yx
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?,),()(
2
2
yxf
y
z
y
z
y yy
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?,
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解
2
2)(
x
z
x
z
x ?
??
?
?
?
?,
yx
z
x
z
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??
?
?
?
? 2)(,
xy
z
y
z
x ??
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?
?
?
? 2)(,
2
2)(
y
z
y
z
y ?
??
?
?
?
?,
此例中两个混合偏导数是相等的,
下页
解 yyyxxz ????? 322 33,xxyyxyz ????? 23 92 ? 解 yyyxxz ????? 322 33,xxyyxyz ????? 23 92 ? 解 yyyxxz ????? 32 33,xxyyxyz ????? 23 92 ? 解 yyxxz ????? 322 33,xxyyxyz ????? 23 92 ?
例 6 设 z ? x 3 y 2 ? 3 xy 3 ? xy ? 1,求 22x z??, 33x z??, xy z??? 2 和 yx z??? 2,
2
2
2 6xy
x
z?
?
?,2
3
3 6y
x
z?
?
? ?
196 222 ?????? yyxyxz,196 222 ?????? yyxxyz,
2
2
2 6xy
x
z ?
?
?,2
3
3 6y
x
z ?
?
? ? 2
2
2 6xy
x
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x ??
? ? 2
2
2 xyz
?
?,2
3
3 6y
x
z ?
?
? ?
196 222 ?????? yyxyx z,196 222 ?????? yyxxy z, 196 222 ????? yyxyx z,196 222 ?????? yyxxyz, 196 222 ?????? yyxyx z,196 222 ????? yyxxy z,
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定理 如果 二阶混合偏导数 xy z??? 2 及 yx z??? 2 在区域 D 内连续,
那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等,
定理
解
2
2)(
x
z
x
z
x ?
??
?
?
?
?,
yx
z
x
z
y ??
??
?
?
?
? 2)(,
xy
z
y
z
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?
?
?
? 2)(,
2
2)(
y
z
y
z
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?
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?,
解 yyyxxz ????? 322 33,xxyyxyz ????? 23 92 ? 解 yyyxxz ????? 322 33,xxyyxyz ????? 23 92 ? 解 yyyxxz ????? 32 33,xxyyxyz ????? 23 92 ? 解 yyxxz ????? 322 33,xxyyxyz ????? 23 92 ?
例 6 设 z ? x 3 y 2 ? 3 xy 3 ? xy ? 1,求 22x z??, 33x z??, xy z??? 2 和 yx z??? 2,
2
2
2 6xy
x
z?
?
?,2
3
3 6y
x
z?
?
? ?
196 222 ?????? yyxyxz,196 222 ?????? yyxxyz,
2
2
2 6xy
x
z ?
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3
3 6y
x
z ?
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2
2 6xy
x
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?,23 6y
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2
2 xyz
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3
3 6y
x
z ?
?
? ?
196 222 ?????? yyxyx z,196 222 ?????? yyxxy z, 196 222 ????? yyxyx z,196 222 ?????? yyxxyz, 196 222 ?????? yyxyx z,196 222 ????? yyxxy z,
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证
下页
证 因为 )l n (21ln 2222 yxyxz ????,所以
22 yx
x
x
z
???
?,
22 yx
y
y
z
???
?,
222
22
222
22
2
2
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2)(
yx
xy
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x
z
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22
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22
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2
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2)(
yx
yx
yx
yyyx
y
z
?
??
?
????
?
?,
因此 0)()( 222 22222 222222 ???????????? yx xyyx yxyzxz,
证 因为 )ln(21ln 2222 yxyxz ????,所以
22 yx
x
x
z
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?,
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y
y
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x
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y
y
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2
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2)(
yx
xy
yx
xxyx
x
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yx
xxyx
x
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222
22
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2)(
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yx
yx
yyyx
y
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?,
22
22
22
22
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)()(
2)(
yx
yx
yx
yyyx
y
z
?
??
?
????
?
?,
因此 0)()( 222 22222 222222 ???????????? yx xyyx yxyzxz, 因此 0)()( 222
22
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2
2
2
2 ?
?
???
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??
?
?
yx
xy
yx
yx
y
z
x
z, 因此 0
() 22
2
222
22
2 ?
??
?
??
?
??
?
?
yx
xy
yx
yx
y
z
x
z,
例 7 例 7 验证函数 22ln yxz ?? 满足方程 0
2
2
2
2 ?
?
??
?
?
y
z
x
z,
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同理 5
2
32
2 31
r
y
ry
u ???
?
?,
5
2
32
2 31
r
z
rz
u ???
?
?,
证 ? 322 11 rxrxrxrrxu ????????????,证
例 8 例 8 证明函数
ru
1? 满足方程 0
2
2
2
2
2
2 ?
?
??
?
??
?
?
z
u
y
u
x
u,
其中 222 zyxr ???,
5
2
3432
2 3131
r
x
rx
r
r
x
rx
u ???
?
?????
?
?,
5
2
342
3131
r
x
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r
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x
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u ???
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?????
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?,
5
2
3432
2 3131
r
x
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r
r
x
rx
u ???
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????
?
?,
提示 ?
6
23
6
33
32
2 3)(
)( r x
rrxr
r
rxxr
r
x
xx
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???
???
???
????????, 6
23
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)( r x
rrxr
r
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x
xx
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???
???
???
???????, 6
23
6
33
32
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)( r x
rrxr
r
rxxr
r
x
xx
u ?
???
???
???
????????,
证 ? 322 11 rxrxrxrxu ???????????,证 ? 322 11 rxrxrrrxu ?????????,证 ? 322 11 rxrxrxrrxu ?????????,
下页
上页 下页 铃结束返回首页 上页 下页 铃结束返回首页 结束
因此 )31()31()31( 5 235 235 23222222 rzrryrrxrz uy ux u ?????????????????
033)(33 5 235 2223 ????????? rrrr zyxr,
因此 )31()31()31( 5 235 235 23222222 rzrryrrxrz uy ux u ????????????????
033)(33 5235 2223 ????????? rrrr zyxr,
同理 5
2
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u ???
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5
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32
2 31
r
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u ???
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证 ? 322 11 rxrxrxrrxu ????????????,证
例 8 例 8 证明函数
ru
1? 满足方程 0
2
2
2
2
2
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??
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??
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?
z
u
y
u
x
u,
其中 222 zyxr ???,
5
2
3432
2 3131
r
x
rx
r
r
x
rx
u ???
?
?????
?
?,
5
2
342
3131
r
x
rx
r
r
x
r
u ???
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?????
?
?,
5
2
3432
2 3131
r
x
rx
r
r
x
rx
u ???
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????
?
?,
证 ? 322 11 rxrxrxrxu ???????????,证 ? 322 11 rxrxrrrxu ?????????,证 ? 322 11 rxrxrxrrxu ?????????,
