一、多元函数的极值及最大值、最小值
二、条件极值 拉格朗日乘数法
§ 8.8 多元函数的极值及其求法
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一、多元函数的极值及最大值、最小值
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?极值的定义
设函数 z?f(x? y)在点 (x0? y0)的某个邻域内有定义 ? 如果对
于该邻域内任何异于 (x0?y0)的点 (x?y)?都有
f(x?y)<f(x0?y0)(或 f(x?y)>f(x0?y0))?
则称函数在点 (x0?y0)有极大值 (或极小值 )f(x0?y0)?
极大值, 极小值统称为极值 ?
使函数取得极值的点称为极值点 ?
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一、多元函数的极值及最大值、最小值
?极值的定义
设函数 z?f(x? y)在点 (x0? y0)的某个邻域内有定义 ? 如果对
于该邻域内任何异于 (x0?y0)的点 (x?y)?都有
f(x?y)<f(x0?y0)(或 f(x?y)>f(x0?y0))?
则称函数在点 (x0?y0)有极大值 (或极小值 )f(x0?y0)?
例 1 函数 z?3x2?4y2在点 (0? 0)处有极小值 ?
提示,
当 (x? y)?(0? 0)时 ? z?0? 而当 (x? y)?(0? 0)
时 ? z?0?因此 z?0是函数的极小值 ?
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一、多元函数的极值及最大值、最小值
?极值的定义
设函数 z?f(x? y)在点 (x0? y0)的某个邻域内有定义 ? 如果对
于该邻域内任何异于 (x0?y0)的点 (x?y)?都有
f(x?y)<f(x0?y0)(或 f(x?y)>f(x0?y0))?
则称函数在点 (x0?y0)有极大值 (或极小值 )f(x0?y0)?
提示,
函数 22 yxz ??? 在点 (0 ? 0 ) 处有极大值 ? 例 2
当 (x? y)?(0?0)时 ? z?0? 而当 (x? y)?(0?0)
时 ? z?0? 因此 z?0是函数的极大值 ?
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提示,
因为在点 (0? 0)处的函数值为零 ? 而在点 (0? 0)的任一邻域
内 ?总有使函数值为正的点 ?也有使函数值为负的点 ?
例 3 函数 z?xy在点 (0? 0)处既不取得极大值也不取得极小
值 ?
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一、多元函数的极值及最大值、最小值
?极值的定义
设函数 z?f(x? y)在点 (x0? y0)的某个邻域内有定义 ? 如果对
于该邻域内任何异于 (x0?y0)的点 (x?y)?都有
f(x?y)<f(x0?y0)(或 f(x?y)>f(x0?y0))?
则称函数在点 (x0?y0)有极大值 (或极小值 )f(x0?y0)?
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说明,
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?定理 1(取得极值的必要条件 )
设函数 z?f(x? y)在点 (x0? y0)具有偏导数 ? 且在点 (x0? y0)处有
极值 ?则有
fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0?
类似地可推得 ? 如果三元函数 u?f (x? y? z)在点 (x0? y0? z0)具
有偏导数 ?则它在点 (x0?y0? z0)具有极值的必要条件为
fx(x0? y0? z0)?0? fy(x0? y0? z0)?0? fz(x0? y0? z0)?0?
从几何上看 ? 这时如果曲面 z?f(x? y)在点 (x0? y0? z0)处有切
平面 ?则切平面
z?z0?fx(x0?y0)(x?x0)?fy(x0? y0)(y?y0)
成为平行于 xOy坐标面的平面 z?z0?
>>>
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凡是能使 fx(x? y)?0? fy(x? y)?0同时成立的点 (x0? y0)称为函
数 z?f(x?y)的驻点 ?
?驻点
设函数 z?f(x? y)在点 (x0? y0)具有偏导数 ? 且在点 (x0? y0)处有
极值 ?则有
fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0?
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讨论,
驻点与极值点的关系怎样？
提示,
具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 ?
函数的驻点不一定是极值点 ?>>>
?定理 1(取得极值的必要条件 )
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?定理 2(取得极值的充分条件 )
设函数 z?f(x? y)在点 (x0? y0)的某邻域内连续且有一阶及二
阶连续偏导数 ?又 fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0?令
fxx(x0? y0)?A? fxy(x0? y0)?B? fyy(x0? y0)?C?
则 f (x? y)在 (x0?y0)处是否取得极值的条件如下,
(1)AC?B2>0时具有极值 ? 且当 A<0时有极大值 ? 当 A>0时
有极小值 ?
(2)AC?B2<0时没有极值 ?
(3)AC?B2?0时可能有极值 ?也可能没有极值 ?
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?极值的求法
第一步 解方程组
fx(x?y)?0? fy(x? y)?0?
求得一切实数解 ?即可得一切驻点 ?
第二步 对于每一个驻点 (x0?y0)?求出
fxx(x0?y0)? fxy(x0?y0)? fyy(x0?y0)?
第三步 定出 fxx(x0?y0)?fyy(x0?y0)?fxy2(x0?y0)的符号 ?
判定 f(x0?y0)是否是极值, 是极大值还是极小值 ?
函数 f(x? y)在驻点处如果 fxx?fyy?fxy2>0? 则函数在驻点处取
得极值 ?如果 fxx?fyy?fxy2>0?则函数在驻点处不取得极值 ?
在极值点处 ?当 fxx<0时有极大值 ?当 fxx>0时有极小值 ?
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解
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例 4 求函数 f(x?y)?x3?y3?3x2?3y2?9x的极值 ?
解 解方程组
?
?
?
????
????
063),(
0963),(
2
2
yyyxf
xxyxf
y
x ?
求得函数的驻点为 (1?0),(1?2),(?3?0),(?3?2)?
函数的二阶偏导数为
fxx(x? y)?6x?6?fxy(x? y)?0? fyy(x? y)??6y?6?
所以函数的 (?3?2)处有极大值 f(?3?2)?31?
又 A<0?在点 (?3? 2)处 ? fxx?fyy?fxy2??12?(?6)>0?
所以 f(?3?0)不是极值 ?在点 (?3? 0)处 ? fxx?fyy?fxy2 ??12?6<0?
所以 f(1?2)不是极值 ?在点 (1? 2)处 ? fxx?fyy?fxy2 ?12?(?6)<0?
所以函数在 (1?0)处有极小值 f(1?0)??5?
又 fxx>0?在点 (1? 0)处 ? fxx?fyy?fxy2 ?12?6>0?
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?应注意的问题
不是驻点也可能是极值点 ?
因此 ? 在考虑函数的极值问题时 ? 除
了考虑函数的驻点外 ? 如果有偏导数不存
在的点 ?那么对这些点也应当考虑 ?
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但 (0?0)不是函数的驻点 ?
例如 ? 函数 22 yxz ??? 在点 (0 ? 0 ) 处有极大值 ?
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?最大值和最小值问题
如果 f(x? y)在有界闭区域 D上连续 ? 则 f(x? y)在 D上必定能
取得最大值和最小值 ?
讨论,
比较极值的大小就能确定函数的最大值和最小值吗？
提示,
不能 ? 最大值和最小值也可能在区域的边界上取得 ? 而极
值是在区域的内部求得的 ?
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使函数取得最大值或最小值的点既可能在 D的内部 ? 也可
能在 D的边界上 ?
?最大值和最小值的求法
将函数 f(x? y)在 D内的所有驻点处的函数值及在 D的边界
上的最大值和最小值相互比较 ? 其中最大的就是最大值 ? 最小
的就是最小值 ?
如果函数 f(x? y)的最大值 (最小值 )一定在 D的内部取得 ?
而函数在 D内只有一个驻点 ? 那么该驻点处的函数值就是函数
f(x?y)在 D上的最大值 (最小值 )?
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?最大值和最小值问题
如果 f(x? y)在有界闭区域 D上连续 ? 则 f(x? y)在 D上必定能
取得最大值和最小值 ?
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例 5 某厂要用铁板做成一个体积为 8m3的有盖长方体水
箱 ?问当长、宽、高各取多少时 ?才能使用料最省 ?
解
)0,0( )88(2)88(2 ?????????? yxyxxyxyxxyyxyA ?
令 0)8(2 2 ??? xyA x ? 0)8(2 2 ??? yxA y ? 得 x ? 2 ? y ? 2 ? 令 0)8(2 2 ??? xyA x ? 0)8(2 2 ??? yxA y ? 得 x ? 2 ? y ? 2 ?
根据题意可知 ?水箱所用材料面积的最小值一定存在 ?并
在开区域 D?{(x?y)|x>0? y>0}内取得 ?又 因为函数在 D内只有一
个驻点 (2?2)?所以此驻点一定是 A的最小值点 ?
设水箱的长为 x m?宽为 y m?则所用材料的面积为
因此 ? 当水箱的长为 2m,宽为 2m,高为 222 8 ?? m 时 ?
水箱所用的材料最省 ?
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例 6 有一宽为 24cm的长方形铁板 ? 把它两边折起来做成
一断面为等腰梯形的水槽 ?问怎样折可使断面的面积最大？
提示,
解 则断面面积为
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设折起来的边长为 xcm?倾角为 a?
(0<x<12?0?a<90?)?A?24x?sina?2x2sina?x2sinacosa
aaaa s i n)c o s224(s i n)224c o s2224(21 xxxxxxxA ????????? ? aaaa s in)c o s224(s in)224c o s2224(21 xxxxxxxA ????????? ?
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根据题意可知断面面积的最大值一定存在 ?并且在
D?{(x?y)|0<x<12?0?a?90?}
内取得 ? 又函数在 D内只有一个驻点 ? 因此可以断定 ? 当 x?8cm?
a?60?时 ?就能使断面的面积最大 ?
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令 Ax?24sina?4xsina?2xsinacosa?0?
Aa?24xcosa?2x2cosa?x2(cos2a?sin2a)?0?
解这方程组 ?得 a?60??x?8cm?
例 6 有一宽为 24cm的长方形铁板 ? 把它两边折起来做成
一断面为等腰梯形的水槽 ?问怎样折可使断面的面积最大？
解 则断面面积为设折起来的边长为 xcm?倾角为 a?
A?24x?sina?2x2sina?x2sinacosa (0<x<12?0?a<90?)?
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二、条件极值 拉格朗日乘数法
?条件极值
对自变量有附加条件的极值称为条件极值 ?
上述问题就是求函数 V?xyz在条件 2(xy?yz?xz)?a2下的最
大值问题 ?这是一个条件极值问题 ?
例如 ?求表面积为 a2而体积为最大的长方体的体积问题 ?
设长方体的三棱的长为 x?y? z?则体积 V?xyz?
又因假定表面积为 a2? 所以自变量 x? y? z还必须满足附加
条件 2(xy?yz?xz)?a2?
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?求条件极值的方法
(1)将条件极值化为无条件极值
例如 ?求 V?xyz在条件 2(xy?yz?xz)?a2下的最大值 ?
有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题 ?
这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题 ?
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二、条件极值 拉格朗日乘数法
?条件极值
对自变量有附加条件的极值称为条件极值 ?
由条件 2)(2 axzyzxy ??? ? 解得 )(2 2
2
yx
xyaz
?
?? ? 于是得
))( 2(2
2
yx
xyaxyV
?
?? ?
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(2)用拉格朗日乘数法
在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值 ? 需要
用一种求条件极值的专用方法 ?这就是拉格朗日乘数法 ?
下面导出函数 z?f(x? y)在条件 j(x? y)?0下取得的极值的必
要条件 ?假定 f(x?y)及 j(x?y)有各种所需要的条件 ?
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?求条件极值的方法
(1)将条件极值化为无条件极值
二、条件极值 拉格朗日乘数法
?条件极值
对自变量有附加条件的极值称为条件极值 ?
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提示,
0),(),( 00 0000 ??? ?? xxyxxx dxdyyxfyxfdxdz ?
?取得极值的必要条件
设函数 z?f(x?y)在附加条件 j(x?y)?0下在 (x0?y0)取得极值 ?
把由方程 j(x?y)?0所确定函数 y?y(x)代入函数 z?f(x?y)?
得一元函数 z?f[x?y(x)]?于是 x?x0是函数 z?f[x?y(x)]的极值点 ?
因 此有
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即 0),( ),(),(),(
00
00
0000 ?? yx
yxyxfyxf
y
x
yx j
j ?
即 0),( ),(),(),(
00
00
0000 ?? yx
yxyxfyxf
y
x
yx j
j ?
则 j(x0? y0)?0?
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提示,
?取得极值的必要条件
设函数 z?f(x?y)在附加条件 j(x?y)?0下在 (x0?y0)取得极值 ?
即 0),( ),(),(),(
00
00
0000 ?? yx
yxyxfyxf
y
x
yx j
j ?
则 j(x0? y0)?0?
?
?
?
?
?
?
??
??
0),(
0),(),(
0),(),(
00
0000
0000
yx
yxyxf
yxyxf
yy
xx
j
?j
?j
?
上述等式等价于
此 处 ),( ),(
00
00
yx
yxf
y
y
j? ?? ?
下页
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??
?
?
?
?
???
???
0),(
0),(),(),(
0),(),(),(
00
000000
000000
yx
yxyxfyxF
yxyxfyxF
yyy
xxx
j
?j
?j
?
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设 F(x? y)?f(x? y)??j(x? y),则上述等式还可写成
?取得极值的必要条件
设函数 z?f(x?y)在附加条件 j(x?y)?0下在 (x0?y0)取得极值 ?
即 0),( ),(),(),(
00
00
0000 ?? yx
yxyxfyxf
y
x
yx j
j ?
则 j(x0? y0)?0?
?
?
?
?
?
?
??
??
0),(
0),(),(
0),(),(
00
0000
0000
yx
yxyxf
yxyxf
yy
xx
j
?j
?j
?
上述等式等价于
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?拉格朗日乘数法
要找函数 z?f(x?y)在附加条件 j(x?y)?0下的可能极值点 ?
可以先作辅助函数 (拉格朗日函数 )
F(x? y)?f(x? y)??j(x? y)?
其中 ?为某一常数 (拉格朗日乘子 )?然后解方程组
上述方程组的解 (x?y)就是所要求的可能的极值点 ?
对于所求得的可能的极值点还需判断是否是极值点 ?
在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定 ?
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??
?
?
?
?
???
???
0),(
0),(),(),(
0),(),(),(
yx
yxyxfyxF
yxyxfyxF
yyy
xxx
j
?j
?j
?
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例 7 求表面积为 a2而体积为最大的长方体的体积 ?
设长方体的三个棱长 x? y? z? 则问题就是求函数 V?xyz
在条件 2(xy?yz?xz)?a2下的最大值 ?
作拉格朗日函数
?
?
?
??
?
?
???
????
????
????
2222
0)(2),,(
0)(2),,(
0)(2),,(
axzyzxy
xyxyzyxF
zxxzzyxF
zyyzzyxF
z
y
x
?
?
?
? 解方程组
F(x? y? z)?xyz??(2xy?2yz?2xz?a2)?
结束
得 azyx 66??? ? 这是唯一可能的极值点 ? 得 azyx 6 6??? ? 这是唯一可能的极值点 ?
因为由问题本身可知最大值一定存在 ?所以最大值就在
3
36
6 aV ? ? 这个可能的值点处取得 ?此时
解
二、条件极值 拉格朗日乘数法
§ 8.8 多元函数的极值及其求法
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一、多元函数的极值及最大值、最小值
下页
?极值的定义
设函数 z?f(x? y)在点 (x0? y0)的某个邻域内有定义 ? 如果对
于该邻域内任何异于 (x0?y0)的点 (x?y)?都有
f(x?y)<f(x0?y0)(或 f(x?y)>f(x0?y0))?
则称函数在点 (x0?y0)有极大值 (或极小值 )f(x0?y0)?
极大值, 极小值统称为极值 ?
使函数取得极值的点称为极值点 ?
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一、多元函数的极值及最大值、最小值
?极值的定义
设函数 z?f(x? y)在点 (x0? y0)的某个邻域内有定义 ? 如果对
于该邻域内任何异于 (x0?y0)的点 (x?y)?都有
f(x?y)<f(x0?y0)(或 f(x?y)>f(x0?y0))?
则称函数在点 (x0?y0)有极大值 (或极小值 )f(x0?y0)?
例 1 函数 z?3x2?4y2在点 (0? 0)处有极小值 ?
提示,
当 (x? y)?(0? 0)时 ? z?0? 而当 (x? y)?(0? 0)
时 ? z?0?因此 z?0是函数的极小值 ?
下页
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一、多元函数的极值及最大值、最小值
?极值的定义
设函数 z?f(x? y)在点 (x0? y0)的某个邻域内有定义 ? 如果对
于该邻域内任何异于 (x0?y0)的点 (x?y)?都有
f(x?y)<f(x0?y0)(或 f(x?y)>f(x0?y0))?
则称函数在点 (x0?y0)有极大值 (或极小值 )f(x0?y0)?
提示,
函数 22 yxz ??? 在点 (0 ? 0 ) 处有极大值 ? 例 2
当 (x? y)?(0?0)时 ? z?0? 而当 (x? y)?(0?0)
时 ? z?0? 因此 z?0是函数的极大值 ?
下页
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提示,
因为在点 (0? 0)处的函数值为零 ? 而在点 (0? 0)的任一邻域
内 ?总有使函数值为正的点 ?也有使函数值为负的点 ?
例 3 函数 z?xy在点 (0? 0)处既不取得极大值也不取得极小
值 ?
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一、多元函数的极值及最大值、最小值
?极值的定义
设函数 z?f(x? y)在点 (x0? y0)的某个邻域内有定义 ? 如果对
于该邻域内任何异于 (x0?y0)的点 (x?y)?都有
f(x?y)<f(x0?y0)(或 f(x?y)>f(x0?y0))?
则称函数在点 (x0?y0)有极大值 (或极小值 )f(x0?y0)?
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说明,
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?定理 1(取得极值的必要条件 )
设函数 z?f(x? y)在点 (x0? y0)具有偏导数 ? 且在点 (x0? y0)处有
极值 ?则有
fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0?
类似地可推得 ? 如果三元函数 u?f (x? y? z)在点 (x0? y0? z0)具
有偏导数 ?则它在点 (x0?y0? z0)具有极值的必要条件为
fx(x0? y0? z0)?0? fy(x0? y0? z0)?0? fz(x0? y0? z0)?0?
从几何上看 ? 这时如果曲面 z?f(x? y)在点 (x0? y0? z0)处有切
平面 ?则切平面
z?z0?fx(x0?y0)(x?x0)?fy(x0? y0)(y?y0)
成为平行于 xOy坐标面的平面 z?z0?
>>>
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凡是能使 fx(x? y)?0? fy(x? y)?0同时成立的点 (x0? y0)称为函
数 z?f(x?y)的驻点 ?
?驻点
设函数 z?f(x? y)在点 (x0? y0)具有偏导数 ? 且在点 (x0? y0)处有
极值 ?则有
fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0?
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讨论,
驻点与极值点的关系怎样？
提示,
具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 ?
函数的驻点不一定是极值点 ?>>>
?定理 1(取得极值的必要条件 )
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?定理 2(取得极值的充分条件 )
设函数 z?f(x? y)在点 (x0? y0)的某邻域内连续且有一阶及二
阶连续偏导数 ?又 fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0?令
fxx(x0? y0)?A? fxy(x0? y0)?B? fyy(x0? y0)?C?
则 f (x? y)在 (x0?y0)处是否取得极值的条件如下,
(1)AC?B2>0时具有极值 ? 且当 A<0时有极大值 ? 当 A>0时
有极小值 ?
(2)AC?B2<0时没有极值 ?
(3)AC?B2?0时可能有极值 ?也可能没有极值 ?
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?极值的求法
第一步 解方程组
fx(x?y)?0? fy(x? y)?0?
求得一切实数解 ?即可得一切驻点 ?
第二步 对于每一个驻点 (x0?y0)?求出
fxx(x0?y0)? fxy(x0?y0)? fyy(x0?y0)?
第三步 定出 fxx(x0?y0)?fyy(x0?y0)?fxy2(x0?y0)的符号 ?
判定 f(x0?y0)是否是极值, 是极大值还是极小值 ?
函数 f(x? y)在驻点处如果 fxx?fyy?fxy2>0? 则函数在驻点处取
得极值 ?如果 fxx?fyy?fxy2>0?则函数在驻点处不取得极值 ?
在极值点处 ?当 fxx<0时有极大值 ?当 fxx>0时有极小值 ?
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解
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例 4 求函数 f(x?y)?x3?y3?3x2?3y2?9x的极值 ?
解 解方程组
?
?
?
????
????
063),(
0963),(
2
2
yyyxf
xxyxf
y
x ?
求得函数的驻点为 (1?0),(1?2),(?3?0),(?3?2)?
函数的二阶偏导数为
fxx(x? y)?6x?6?fxy(x? y)?0? fyy(x? y)??6y?6?
所以函数的 (?3?2)处有极大值 f(?3?2)?31?
又 A<0?在点 (?3? 2)处 ? fxx?fyy?fxy2??12?(?6)>0?
所以 f(?3?0)不是极值 ?在点 (?3? 0)处 ? fxx?fyy?fxy2 ??12?6<0?
所以 f(1?2)不是极值 ?在点 (1? 2)处 ? fxx?fyy?fxy2 ?12?(?6)<0?
所以函数在 (1?0)处有极小值 f(1?0)??5?
又 fxx>0?在点 (1? 0)处 ? fxx?fyy?fxy2 ?12?6>0?
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?应注意的问题
不是驻点也可能是极值点 ?
因此 ? 在考虑函数的极值问题时 ? 除
了考虑函数的驻点外 ? 如果有偏导数不存
在的点 ?那么对这些点也应当考虑 ?
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但 (0?0)不是函数的驻点 ?
例如 ? 函数 22 yxz ??? 在点 (0 ? 0 ) 处有极大值 ?
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?最大值和最小值问题
如果 f(x? y)在有界闭区域 D上连续 ? 则 f(x? y)在 D上必定能
取得最大值和最小值 ?
讨论,
比较极值的大小就能确定函数的最大值和最小值吗？
提示,
不能 ? 最大值和最小值也可能在区域的边界上取得 ? 而极
值是在区域的内部求得的 ?
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使函数取得最大值或最小值的点既可能在 D的内部 ? 也可
能在 D的边界上 ?
?最大值和最小值的求法
将函数 f(x? y)在 D内的所有驻点处的函数值及在 D的边界
上的最大值和最小值相互比较 ? 其中最大的就是最大值 ? 最小
的就是最小值 ?
如果函数 f(x? y)的最大值 (最小值 )一定在 D的内部取得 ?
而函数在 D内只有一个驻点 ? 那么该驻点处的函数值就是函数
f(x?y)在 D上的最大值 (最小值 )?
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?最大值和最小值问题
如果 f(x? y)在有界闭区域 D上连续 ? 则 f(x? y)在 D上必定能
取得最大值和最小值 ?
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例 5 某厂要用铁板做成一个体积为 8m3的有盖长方体水
箱 ?问当长、宽、高各取多少时 ?才能使用料最省 ?
解
)0,0( )88(2)88(2 ?????????? yxyxxyxyxxyyxyA ?
令 0)8(2 2 ??? xyA x ? 0)8(2 2 ??? yxA y ? 得 x ? 2 ? y ? 2 ? 令 0)8(2 2 ??? xyA x ? 0)8(2 2 ??? yxA y ? 得 x ? 2 ? y ? 2 ?
根据题意可知 ?水箱所用材料面积的最小值一定存在 ?并
在开区域 D?{(x?y)|x>0? y>0}内取得 ?又 因为函数在 D内只有一
个驻点 (2?2)?所以此驻点一定是 A的最小值点 ?
设水箱的长为 x m?宽为 y m?则所用材料的面积为
因此 ? 当水箱的长为 2m,宽为 2m,高为 222 8 ?? m 时 ?
水箱所用的材料最省 ?
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例 6 有一宽为 24cm的长方形铁板 ? 把它两边折起来做成
一断面为等腰梯形的水槽 ?问怎样折可使断面的面积最大？
提示,
解 则断面面积为
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设折起来的边长为 xcm?倾角为 a?
(0<x<12?0?a<90?)?A?24x?sina?2x2sina?x2sinacosa
aaaa s i n)c o s224(s i n)224c o s2224(21 xxxxxxxA ????????? ? aaaa s in)c o s224(s in)224c o s2224(21 xxxxxxxA ????????? ?
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根据题意可知断面面积的最大值一定存在 ?并且在
D?{(x?y)|0<x<12?0?a?90?}
内取得 ? 又函数在 D内只有一个驻点 ? 因此可以断定 ? 当 x?8cm?
a?60?时 ?就能使断面的面积最大 ?
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令 Ax?24sina?4xsina?2xsinacosa?0?
Aa?24xcosa?2x2cosa?x2(cos2a?sin2a)?0?
解这方程组 ?得 a?60??x?8cm?
例 6 有一宽为 24cm的长方形铁板 ? 把它两边折起来做成
一断面为等腰梯形的水槽 ?问怎样折可使断面的面积最大？
解 则断面面积为设折起来的边长为 xcm?倾角为 a?
A?24x?sina?2x2sina?x2sinacosa (0<x<12?0?a<90?)?
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二、条件极值 拉格朗日乘数法
?条件极值
对自变量有附加条件的极值称为条件极值 ?
上述问题就是求函数 V?xyz在条件 2(xy?yz?xz)?a2下的最
大值问题 ?这是一个条件极值问题 ?
例如 ?求表面积为 a2而体积为最大的长方体的体积问题 ?
设长方体的三棱的长为 x?y? z?则体积 V?xyz?
又因假定表面积为 a2? 所以自变量 x? y? z还必须满足附加
条件 2(xy?yz?xz)?a2?
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?求条件极值的方法
(1)将条件极值化为无条件极值
例如 ?求 V?xyz在条件 2(xy?yz?xz)?a2下的最大值 ?
有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题 ?
这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题 ?
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二、条件极值 拉格朗日乘数法
?条件极值
对自变量有附加条件的极值称为条件极值 ?
由条件 2)(2 axzyzxy ??? ? 解得 )(2 2
2
yx
xyaz
?
?? ? 于是得
))( 2(2
2
yx
xyaxyV
?
?? ?
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(2)用拉格朗日乘数法
在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值 ? 需要
用一种求条件极值的专用方法 ?这就是拉格朗日乘数法 ?
下面导出函数 z?f(x? y)在条件 j(x? y)?0下取得的极值的必
要条件 ?假定 f(x?y)及 j(x?y)有各种所需要的条件 ?
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?求条件极值的方法
(1)将条件极值化为无条件极值
二、条件极值 拉格朗日乘数法
?条件极值
对自变量有附加条件的极值称为条件极值 ?
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提示,
0),(),( 00 0000 ??? ?? xxyxxx dxdyyxfyxfdxdz ?
?取得极值的必要条件
设函数 z?f(x?y)在附加条件 j(x?y)?0下在 (x0?y0)取得极值 ?
把由方程 j(x?y)?0所确定函数 y?y(x)代入函数 z?f(x?y)?
得一元函数 z?f[x?y(x)]?于是 x?x0是函数 z?f[x?y(x)]的极值点 ?
因 此有
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即 0),( ),(),(),(
00
00
0000 ?? yx
yxyxfyxf
y
x
yx j
j ?
即 0),( ),(),(),(
00
00
0000 ?? yx
yxyxfyxf
y
x
yx j
j ?
则 j(x0? y0)?0?
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提示,
?取得极值的必要条件
设函数 z?f(x?y)在附加条件 j(x?y)?0下在 (x0?y0)取得极值 ?
即 0),( ),(),(),(
00
00
0000 ?? yx
yxyxfyxf
y
x
yx j
j ?
则 j(x0? y0)?0?
?
?
?
?
?
?
??
??
0),(
0),(),(
0),(),(
00
0000
0000
yx
yxyxf
yxyxf
yy
xx
j
?j
?j
?
上述等式等价于
此 处 ),( ),(
00
00
yx
yxf
y
y
j? ?? ?
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??
?
?
?
?
???
???
0),(
0),(),(),(
0),(),(),(
00
000000
000000
yx
yxyxfyxF
yxyxfyxF
yyy
xxx
j
?j
?j
?
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设 F(x? y)?f(x? y)??j(x? y),则上述等式还可写成
?取得极值的必要条件
设函数 z?f(x?y)在附加条件 j(x?y)?0下在 (x0?y0)取得极值 ?
即 0),( ),(),(),(
00
00
0000 ?? yx
yxyxfyxf
y
x
yx j
j ?
则 j(x0? y0)?0?
?
?
?
?
?
?
??
??
0),(
0),(),(
0),(),(
00
0000
0000
yx
yxyxf
yxyxf
yy
xx
j
?j
?j
?
上述等式等价于
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?拉格朗日乘数法
要找函数 z?f(x?y)在附加条件 j(x?y)?0下的可能极值点 ?
可以先作辅助函数 (拉格朗日函数 )
F(x? y)?f(x? y)??j(x? y)?
其中 ?为某一常数 (拉格朗日乘子 )?然后解方程组
上述方程组的解 (x?y)就是所要求的可能的极值点 ?
对于所求得的可能的极值点还需判断是否是极值点 ?
在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定 ?
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??
?
?
?
?
???
???
0),(
0),(),(),(
0),(),(),(
yx
yxyxfyxF
yxyxfyxF
yyy
xxx
j
?j
?j
?
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例 7 求表面积为 a2而体积为最大的长方体的体积 ?
设长方体的三个棱长 x? y? z? 则问题就是求函数 V?xyz
在条件 2(xy?yz?xz)?a2下的最大值 ?
作拉格朗日函数
?
?
?
??
?
?
???
????
????
????
2222
0)(2),,(
0)(2),,(
0)(2),,(
axzyzxy
xyxyzyxF
zxxzzyxF
zyyzzyxF
z
y
x
?
?
?
? 解方程组
F(x? y? z)?xyz??(2xy?2yz?2xz?a2)?
结束
得 azyx 66??? ? 这是唯一可能的极值点 ? 得 azyx 6 6??? ? 这是唯一可能的极值点 ?
因为由问题本身可知最大值一定存在 ?所以最大值就在
3
36
6 aV ? ? 这个可能的值点处取得 ?此时
解
